Bài giảng Phương pháp số trong tính toán kết cấu: Chương 5 - TS. Nguyễn Ngọc Tuyển

5/30/2015

TRƯỜNG ĐẠI HỌC XÂY DỰNG

Bộ môn Cầu và Công trình ngầm

Website: 

Website:  />
PHƯƠNG PHÁP SỐ 
TRONG TÍNH TOÁN KẾT CẤU
TS. NGUYỄN NGỌC TUYỂN
Website môn học:  />Link dự phòng:  />vietnamese/phuong‐phap‐so‐trong‐tinh‐toan‐ket‐cau

Hà Nội, 5‐2015

CHƯƠNG V
Phần tử hai chiều chịu uốn ngoài mặt
phẳng phần tử (tấm chịu uốn)

275

1


5/30/2015

5.1. Khái niệm cơ bản về tấm chịu uốn
• Định nghĩa và phân loại tấm chịu uốn
– Phần tử tấm chịu uốn được giới hạn bởi 2 mặt phẳng song 
song và cách nhau một khoảng là t (gọi là chiều dày tấm). Tùy

theo tỷ số giữa bề dày tấm (t) và kích thước nhỏ nhất của mặt
phẳng tấm (b) mà người ta có thể chia tấm chịu uốn làm 2 loại
sau:
t 1

b 5
1 t 1
 
• Tấm mỏng:                                   và
độ võng lớn nhất
20 b 5
• Tấm dày:

zmax 

t
4

Chú ý: Trường hợp với tấm mỏng có độ võng z > zmax thì dưới tác dụng
của tải trọng vuông góc với tấm, các ứng suất trong tấm bao gồm cả ứng
suất màng và ứng suất do tấm bị uốn => khi đó phải tính toán tấm sử
dụng lý thuyết tấm có biến dạng lớn.
276

Khái niệm cơ bản về tấm chịu uốn (t.theo)
• Lý thuyết cổ điển của Kirchhoff
– Các giả thiết
• (1) Các đoạn thẳng vuông góc với mặt trung bình của tấm vẫn còn
thẳng và vuông góc với mặt trung bình khi chịu uốn và độ dài của
chúng là không đổi

• (2) Khi tấm bị uốn, mặt trung bình không bị kéo nén hay trượt
• (3) Bỏ qua ứng suất pháp vuông góc với mặt phẳng tấm
z

– Xét tấm chịu uốn bởi các
lực vuông góc với mặt
phẳng tấm như hình vẽ. 
Mặt phẳng xy của hệ tọa
độ trùng với mặt trung bình

y
t

x

b

a

Mặt trung bình
277

2


5/30/2015

Khái niệm cơ bản về tấm chịu uốn (t.theo)
– Áp dụng các giả thiết, các thành phần chuyển vị u và v của tấm
được biểu diễn theo độ võng q và góc xoay θx , θy của mặt

phẳng trung bình như sau:
v   z x   z

q
y

y  

q
x



q
u  z y   z
x

trong đó: q = q(x,y) là hàm
độ võng, tức chuyển vị theo
phương z của mặt phẳng
trung bình.

x 

q
y

q
x

q
y

278

Khái niệm cơ bản về tấm chịu uốn (t.theo)
– Khi đó, các thành phần biến dạng của một điểm bất kỳ thuộc
tấm được tính như sau:
x 

u   z y 
2q

  z 2  z  kx
x
x
x

y 

v    z x 
2q

 z 2  z  ky
y
y
y

 xy 

u v   z y     z x 
2q
2q
2q



 z
z
 2 z
 z  k xy
y x
y
x
yx
xy
xy

trong đó: kx, ky và kxy lần lượt là độ cong theo phương x, y và
hai lần độ xoắn.
– Các biến dạng góc εzx = εyz = 0 theo giả thiết số (1)
– Ứng suất theo phương z là σz = 0 theo giả thiết số (3)
279

3


5/30/2015

Khái niệm cơ bản về tấm chịu uốn (t.theo)

– Áp dụng định luật Hooke để tìm các thành phần ứng suất khác
trong phần tử như sau:
 x 
 
E
 y  
2
  1 

xy
 

Với:


2q
k x   2
x


2q
k y   2
y


2q
k xy  2
xy




1 
0   x 

 
zE
0   y  
 1
1  2

1    xy 
0 0
 
2 




1 
0  k x 

 
0  k y 
 1

1   k xy 
0 0
 
2 



 2q 

 2 
x
  'x 
 x 
1 
0  2
  z  E 

   q  
 1 0   2    ' y  z
  y  
2 
y
  1  
1    2   'xy 
 xy 

0 0
  q  
2  2


 xy 
280

Khái niệm cơ bản về tấm chịu uốn (t.theo)

– Nội lực trong tấm chính là hợp lực của các thành phần ứng
suất tương ứng, do đó:
t /2

Mx 



 t /2

t /2

x

zdz

My 



t /2
y

zdz

 t /2

M xy 



xy

zdz

 t /2

– Hoặc viết lại dưới dạng véc tơ như sau:
t /2
 t /2
  t /2
 
 
3
2
2


zdz

'
z
dz

'
 x
  x
  x  z dz   'x t 
 t /2
  12 

   t /2
 
 'x 
 M x    t /2
t /2
 
  t /2
 


  t /2
t3  t3 
2
2


M

zdz

'
z
dz

'
z
dz

  'y


 ' y 
 y   y
 
 y 
y
12
12
 t /2
 




   t /2
   t /2
 
t /2
 'xy 
 M xy   t /2
 
  t /2
 
t3 
   xy zdz     'xy z 2 dz   'xy  z 2 dz   'xy 
12 
 t /2
 
  t /2
   t /2
 

281

4


5/30/2015

Khái niệm cơ bản về tấm chịu uốn (t.theo)
– Như vậy các giá trị nội lực kể trên sẽ được biểu diễn theo hàm
độ võng q(x,y) của phần tử như sau:
 2q 
 2q 

 2 

 2 
x
x


M x 
 'x 
1 
1 
0  2
0  2

 t3 
 t3  E  

   q 

   q 
 1 0   2    D  1 0   2 
 M y    ' y   
2 
y
y

 12 
 12  1   

1    2 
1    2 
 M xy 
 'xy 
0 0
  q 
0 0
  q 
2  2
2  2




 xy 
 xy 

trong đó: D được gọi là độ cứng trụ của tấm chịu uốn D 

– Nếu đặt:



1 
0 


 D t  D  1 0 

1  
0 0


2 

Et 3
12 1  2 

với [D]t là ma trận các hệ số
đàn hồi của tấm
chịu uốn
282

Khái niệm cơ bản về tấm chịu uốn (t.theo)
– Ta có:
 2q 
 2 
 x


M x 


  2 q 
 M y    D t  2    D t k


 y

 M xy 
 2q 
2

 xy 

trong đó: {k} được gọi véc tơ độ cong của tấm chịu uốn

k   k x

k y k xy 

T

  2q
  2
 x

2q
 2

y

T

2q 
2

xy 

283

5


5/30/2015

Khái niệm cơ bản về tấm chịu uốn (t.theo)
• Lý thuyết tấm có kể tới biến dạng trượt của Mindlin
– Các giả thiết
• (1) Các đoạn thẳng vuông góc với mặt trung bình của tấm trước biến
dạng vẫn là thẳng nhưng không nhất thiết là vuông góc với mặt phẳng
trung hòa khi biến dạng
• (2) Độ võng của tấm là nhỏ, mặt trung bình không bị kéo nén và là mặt
trung hòa của tấm khi biến dạng
• (3) Bỏ qua ứng suất pháp vuông góc với mặt phẳng tấm
z

– Xét tấm chịu uốn bởi các
lực vuông góc với mặt
phẳng tấm như hình vẽ. 

Mặt phẳng xy của hệ tọa
độ trùng với mặt trung bình

y
a

t

x

Mặt trung bình

b

284

Khái niệm cơ bản về tấm chịu uốn (t.theo)
– Nếu gọi γx là biến dạng trượt trung bình đối với mặt cắt x = 
const nào đó thì góc xoay θy tính như sau:
y  

q
x
x



q
x

– Tương tự góc xoay θx bằng:
 x  

q
 y
y

trong đó: q = q(x,y) là hàm
độ võng, tức chuyển vị theo
phương z của mặt phẳng
trung bình.





q
x

q
y

285

6


5/30/2015

Khái niệm cơ bản về tấm chịu uốn (t.theo)

– Do vậy, các biến dạng trượt trung bình tính như sau:
 x  y 

q
x

 y   x 

q
y

– Như vậy, so với lý thuyết Kirchhoff, sự khác biệt chỉ ở giả thiết
thứ nhất tức là biến dạng trượt khác 0. 
Nếu bỏ qua biến dạng trượt thì ta sẽ trở lại ngay các kết quả
của lý thuyết Kirchhoff tức là:
x 

q
y

và

y  

q
x

khi  x   y  0
286

Khái niệm cơ bản về tấm chịu uốn (t.theo)
– Các biến dạng trượt  x ,  y trong công thức của Mindlin có
quan hệ với ứng suất tiếp  xz ,  yz theo định luật Hooke.
– Đối với vật liệu đẳng hướng thì quan hệ giữa biến dạng  x ,  y
với ứng suất  xz ,  yz như sau:
E 1 0   x 
 xz 
 

 
 yz  2 1   0 1  y 

– Các biến dạng trượt được giả thiết là không đổi trên suốt bề
dày tấm nên hợp lực của các ứng suất tiếp này trên 1 đơn vị
dài mặt cắt được tính theo các biến dạng trượt như sau
Qx 
 xz  E  t   1 0   x 
   t     

 
Qy 
 yz  2 1   0 1  y 
287

7


5/30/2015

Khái niệm cơ bản về tấm chịu uốn (t.theo)

Qx  E  t   1 0   x 
 

 
Qy  2 1   0 1  y 



Q   Dc  

Trong đó:
• α = 5/6 = hệ số hiệu chỉnh kể đến sự phân bố bậc 2 theo bề dày của
biến dạng trượt
• t = bề dày tấm
•

E
 G  mô đun đàn hồi trượt
2 1   

– Như vậy, lực cắt {Q} trong tấm được biểu diễn theo biến dạng
trượt.
– Mô men {M} trong tấm được biểu diễn theo độ cong {k} giống
như đã phân tích ở bài toán theo lý thuyết của Kirchhoff.
288

Khái niệm cơ bản về tấm chịu uốn (t.theo)
– Với tấm có vật liệu đẳng hướng, mô men {M} và lực cắt {Q} 
trong tấm được tính như sau:
M x 

1
M  
3

 y   Et

 M xy  12 1  2  




0

 
0
Q  
0
 x  


Qy 


1
0
0
0




0 
1   / 2
0 
0 
0

0
0

0
E  t   1
2 1   0

k x 
0   
 ky
0    
k 
0    xy 

 
0   
x

1   
 y 

– Hoặc viết ở dạng gọn hơn như sau:
 M    Du 


 
        

 
T
 Q    0

 0

 k 
 x 
       


 Dc     y 
289

8


5/30/2015

Khái niệm cơ bản về tấm chịu uốn (t.theo)
– Các thành phần nội lực trong tấm chịu uốn

290

5.2. Phần tử tấm chịu uốn dạng tam giác
• Phần tử tấm dạng tam giác theo lý thuyết Kirchoff
– Xét một phần tử tấm mỏng dạng tam giác chịu uốn trong hệ

tọa độ địa phương xyz như hình vẽ sau:
y

y

 0,b 

q7  qk

k

 q 
q9    
 x  k

z

b

k

j

i

 a, 0 

 0, 0 
a

x

q1  qi

i
 q 
q2   
 y i

 q 
q3    
 x i

 q 
q8   
 y k
q4  q j

j

 q 
q5   
 y  j

x

 q 
q6    
 x  j

• Mỗi nút thuộc phần tử có 3 bậc tự do => phần tử có 9 bậc tự do.

qe  qi  xi  yi

q j  xj  yj qk  xk  yk   q1 q2 q3 q4 q5 q6 q7 q8 q9 
T

T

291

9


5/30/2015

Phần tử tấm chịu uốn dạng tam giác (t.theo)
– Do phần tử tam giác có 9 bậc tự do nên hàm độ võng q(x,y) 
được xấp xỉ hóa bằng 1 đa thức chứa 9 tham số.

ae  a1 a2

a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 

T

– Ngoài ra, để đảm bảo tính đẳng hướng hình học, hàm đa thức
xấp xỉ của độ võng có dạng như sau:
q  x, y   a1  a2 x  a3 y  a4 x 2  a5 xy  a6 y 2  a7 x3  a8  x 2 y  xy 2   a9 y 3

– Nhận xét: đây là loại phần tử không tương thích
• Giả sử có 2 phần tử liền kề có chung biên là ij thì độ dốc tại các nút i và
j là như nhau đối với cả 2 phần tử nhưng có thể độ dốc là khác nhau tại
các điểm khác dọc theo cạnh biên chung ij (sẽ chứng minh tính không
tương thích của phần tử tấm tam giác chịu uốn ở phần sau).
• Mặc dù phần tử tam giác là phần tử không tương thích nhưng vẫn cho
ra kết quả tốt và được sử dụng rộng rãi trong thực tế.
292

Phần tử tấm chịu uốn dạng tam giác (t.theo)
– Hàm xấp xỉ độ võng có thể biểu diễn dưới dạng ma trận quen
thuộc như sau:
q  x, y    P  x, y   a

Trong đó:
[P(x,y)] = ma trận các đơn thức:
 P  x, y    1 x y x 2 xy y 2 x 3

x

2

y  xy 2  y 3 

và {a} là véc tơ tham số:

ae  a1 a2

a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 

T

– Chuyển vị tại các nút được biểu diễn dưới dạng véc tơ {q}e


qe  qi


 q   q 
   
 y i  x i

qj

 q   q 
   
 y  j  x  j

 q 
qk  
 y k

T

 q  
  
 x k 

293

10


5/30/2015

Phần tử tấm chịu uốn dạng tam giác (t.theo)
– Thực hiện đồng nhất chuyển vị nút với giá trị của hàm chuyển
vị tại các nút. 

qe



qi
 q 
 
 y i
q1  
    q 
q2   x i
q3  
  q j
q4  
   q 
 q5    
q   y  j
 6 
q7    q 
   x  j
q8  

q9  qk
 q 
 
 y  k

  q 
 x  k







 1
 0
 
 0
 
 1
 
  0
 0
 
 1
 
 0
 
 0







0
1

0
0

0
0

0
0

0
0

0
0

0

1

0

0

0

0

a

0

a2

0

0

a3

1

0

2a

0

0

3a 2
0

0

1

0

a

0

0

b

0

0

b2

0

1

0

0

b

0

0

0

1

0

0  2b 0

0  a1 

0  a2 
 
0
0  a3 
 
0
0  a4 
 
0
0  a5    H  x, y   a
 a 2 0  a6 

b3  a7 
0
 
b 2 0  a8 

 
0  3b 2  a9 
0
0

294

Phần tử tấm chịu uốn dạng tam giác (t.theo)
– Nghịch đảo của ma trận [H] là ma trận [H]‐1
This image cannot currently be display ed.

y

 0, b 
k
b
j

i

 a, 0 

 0, 0 

x

a

trong đó: c = b ‐ a
295

11


5/30/2015

Phần tử tấm chịu uốn dạng tam giác (t.theo)
– Như vậy sau khi thực hiện đồng nhất các bậc tự do của phần
tử với giá trị hàm chuyển vị tại nút ta có thể tìm được véc tơ
tham số {a} như sau: 

qe   H  x, y   a



a   H  qe
1

– Thay {a} vào công thức hàm độ võng ta có:
q  x, y    P  x, y   a   P  x, y    H 

1

qe   N  x, y   qe

trong đó [N] là ma trận các hàm dạng

 N    P  x, y   H 

1

  N1 N 2 N 3 N 4 N 5 N 6 N 7 N 8 N 9 

Sau khi thực hiện phép nhân ma trận
các hàm dạng Ni như sau:

 P  x, y    H  ta được
1

296

Phần tử tấm chịu uốn dạng tam giác (t.theo)
N1  1 

3 2 3 2 2 3 2 3
x  2 y  3x  3y
a2
b
a
b

N2  x 

2 2 a
1
1
1
x  xy  2 x3  x 2 y  xy 2
a
bc

a
bc
bc

N3   y 

N4 

b
2
1
1
1
xy  y 2  2 y 3  x 2 y  xy 2
ac
b
b
ac
ac

3 2 2 3
x  3x
a2
a

N7 

3 2 2 3
y  3y
b2

b

N5  

1 2 1 3
x  2x
a
a

N8  

N6  

b
1
1 2
xy  x 2 y 
xy
ac
ac
ac

N9 

a
1
1
xy  x 2 y  xy 2
bc
bc

bc

1 2 1 3
y  2 y
b
b
297

12


5/30/2015

Phần tử tấm chịu uốn dạng tam giác (t.theo)
– Các biến dạng trong tấm bao gồm 3 thành phần:

 e

 2q 
 2 
 x

 x 
k x 
  2 q 
 
 
  y   z k y    z  2 
 
 

 y

 xy 
k xy 
 2q 
2

 xy 

– Do:
q  x, y    P  x, y   a   P  x, y    H 

1

qe   N  x, y   qe

nên biến dạng có thể được biểu diễn theo véc tơ chuyển vị nút
{q}e như sau:
298

Phần tử tấm chịu uốn dạng tam giác (t.theo)



 e



  2  P  x, y    H  q



e

 2q 
2

 2 
x

 2
 x

1
2
P
x
,
y



   H  qe


  q 

 z  2   z 
y 2
 y



1
 2q 
 2
2

   P  x, y    H  qe
2
 xy 
xy

1










  2  P  x, y   




x 2




2
1

   P  x, y   
  z 
  H  qe
2

y




  2  P  x, y   


2 
xy





– Hoặc có thể viết gọn lại như sau:
 e   B qe
trong đó [B] được gọi là ma trận tính biến dạng

 B    z  L  H 

1

299

13


5/30/2015

Phần tử tấm chịu uốn dạng tam giác (t.theo)
  2  P  x, y   


x 2


2
   P  x, y    0



 L  
  0
2
y


 0
  2  P  x, y    


2 
xy



0

0

2

0

0

6x

0
0

0
0

0
0

0
2

2

0

0
0

0 
2x
6 y 
4 x  4 y 0 
2y

300

Phần tử tấm chịu uốn dạng tam giác (t.theo)
• Xác định ma trận độ cứng
– Ma trận độ cứng của phần tử tấm uốn dạng tam giác xác định
như sau:

 K e    B   D  B  dV
T

V

– Thay  B    z  L  H 1

vào phương trình trên ta có:

 K e     z  L A

1 T




V

t /2

 K e  

 t /2



z 2 dz   H 

 D    z  L A

1

 dV


  L  D L H 

1 T

T

1

dA

A

301

14


5/30/2015

Phần tử tấm chịu uốn dạng tam giác (t.theo)
– Do [H]‐1 chỉ chưa các hằng số => có thể đưa [H]‐1 ra ngoài dấu
tích phân như sau:

 K e 
 K e 

t /2



 t /2



z 2 dz   H 

  L  D L H 

1 T

1

T

dA

A



t3
1
H 
12



T



T
1
   L   D  L  dA   H 
A


với A là diện tích phần tử. 
– Ta có thể viết [K]e ở dạng gọn hơn như sau:

 K e   H 

  I  H 

1 T

1

 I     L   D t  L  dA
T

với

A

302

Phần tử tấm chịu uốn dạng tam giác (t.theo)
– Ma trận [D]t trong công thức

 I     L   D t  L  dA
T

được gọi

A

là ma trận các hệ số đàn hồi của tấm chịu uốn:


1 
0 


 D t  D  1 0 

1  
0 0

2 


với

D

t3
E
12 1  2 

là độ cứng trụ của tấm

303

15

5/30/2015

Phần tử tấm chịu uốn dạng tam giác (t.theo)
 I     L   D t  L  dA
T

– Khi tính tích phân

cần lưu ý:
y

A

 0, b 

 dA  A 
A

ab
2

k

Là diện tích tam giác phần tử

b

j

i

a, 0 

 0, 0 

x

a

 xdA  S y 
A

a 2b
6

2
 x dA  J y 
A

a 3b
12

a 2b 2
A xydA  J xy  8

Là mô men tĩnh của tam giác phần tử với trục y

Là mô men quán tính của tam giác phần tử với trục y

Là mô men quán tính ly tâm của tam giác phần tử

đối với hệ trục xy

…
304

Phần tử tấm chịu uốn dạng tam giác (t.theo)
– Thực hiện tính tích phân
0

0
0

0
D
I   0
6
0

0
0

0

 I     L   D t  L  dA
T

được:

A

Đối xứng

0
0
0

0
0 12ab

0

0

0

0 12 ab

6 1   ab

0
2

0
0

0 12a b
0
I 84

0

0

12 ab 2

0
0
I 85
0

12ab
12 a 2b 18a 3b
I 86
I 87
12ab 2

27 a 2b 2

I 88
6 a 3b  3a 2b 2















3
18ab 

trong đó:
I 84  4  ab 2  a 2b 

I85  4 1    a 2b  ab 2 

I84  4  ab 2  a 2b 

I 87  9a 2b 2  6 a 3b

I 88  2  a 3b  ab3   3  2   a 2b 2  2   
305

16


5/30/2015

Phần tử tấm chịu uốn dạng tam giác (t.theo)
– Sau khi tính được ma trận [I] sẽ xác định được ma trận độ
cứng của phần tử tam giác chịu uốn trong hệ tọa độ địa
phương như sau:

 k e   H 

  I  H 

1 T

1

– Để xác định ma trận độ cứng [K]e của phần tử trong hệ tọa độ
tổng thể (OXYZ) cần sử dụng ma trận chuyển hệ trục tọa độ
[T]e như sau: 

 K e  T e  k e T e
T

306

17