Các phương pháp số trong tính toán kết cấu

1
Chương 1
Giới thiệu các phương pháp số trong tính toán kết cấu
1. Khái niệm chung về phương pháp số giải bài toán CHKC

2. Các khái niệm về phương pháp PTHH
PP PTHH là kỹ thuật tính toán sử dụng lời giải xấp xỉ của bài toán giá trị biên
trong kỹ thuật. Nói một cách đơn giản, bài toán giá trị biên là bài toán mà trong đó một
hay nhiều biến phụ thuộc phải thỏa mãn một phương trình vi phân ở bất cứ đâu trong một
miền xác định của các biến độc lập và phải thỏa mãn các
điều kiện trên biên của miền.
Các bài toán giá trị biên còn được gọi là bài toán trường. Trường là miền xác định của
các cấu trúc vật lý. Biến trường là các biến phụ thuộc cân bằng bởi các phương trình vi
phân. Điều kiện biên là các giá trị xác định của biến trường (hoặc các biến liên quan như
đạo hàm của nó) trên các biên của trường. Phụ thuộc vào bài toán cụ thể, các biến trường
có thể là chuyển vị, nhiệt độ
, vận tốc dòng chảy, …

Hình 1.
a. Miền hai chiều tổng quát với biến trường Φ(x,y)
2
b. Phần tử tam giác xác định trong miền
c. Thêm các phần tử tam giác trong miền
Các kỹ thuật và thuật ngữ cơ bản của PP PTHH được giới thiệu qua hình 1. Hình
vẽ miêu tả một khối vật liệu với các đặc tính vật lý xác định. Khối vật liệu đại diện cho
miền xác định của bài toán giá trị biên cần giải. Để đơn giản, ở đây xem xét trường hợp
bài toán hai chiều với m
ột biến Φ(x,y) được xác định tại mỗi điểm P(x,y) bằng một
phương trình (hoặc hệ phương trình) vi phân đã biết và thỏa mãn chính xác tại mọi điểm
trong miền. Tại các điểm P trên biên của miền, biến Φ có các giá trị xác định đã biết.
Trong thực tế, các miền thường có hình dạng phức tạp và lời giải giải tích đối với hệ

phương trình vi phân cân bằ
ng rất khó nhận được. Do đó, lời giải xấp xỉ dựa trên các
phương pháp số thường được áp dụng trong các bài toán kỹ thuật. Phương pháp PTHH là
một phương pháp mạnh mẽ cho kết quả xấp xỉ với độ chính xác cao.
Một phần tử tam giác giới hạn một miền nhỏ có kích thước hữu hạn được gọi là
PTHH. Phần tử này khác với phần tử vi phân có kích thước dx, dy. Tại các góc của ph
ần
tử có các điểm nút. Có 2 loại nút: Nút ngoài là nút nằm trên biên và liên kết giữa các
phần tử, nút trong là nút thuộc phần tử và không liên kết các phần tử với nhau. Tại vị trí
nút của PTHH, giá trị của biến trường được tính toán chính xác. Với các điểm khác thuộc
phần tử và không phải là nút, giá trị của các biến trường được nội suy từ giá trị tại các
nút. Với ví dụ phần tử tam giác, các biến trường được x
ấp xỉ dưới dạng:
Φ

,




,

Φ




,

Φ





,

Φ


Trong đó, Φ
1
, Φ
2
, Φ
3
là các giá trị của biến trường tại các nút 1, 2, 3 của phần tử
tam giác và N1, N2, N3 là các hàm nội suy hay hàm dạng của phần tử. Trong phương
pháp PTHH, các giá trị của biến trường tại các nút là các ẩn số. Các hàm nội suy thường
có dạng đa thức và thỏa mãn các điều kiện xác định tại các nút. Các điều kiện này được
xác định với từng loại phần tử. Các hàm nội suy được xác định trước, là hàm đã biết c
ủa
các biến độc lập và làm miêu tả sự thay đổi của các biến trường trong phạm vi phần tử.
Trên toàn miền, các phần tử được liên kết với nhau tại các nút và tại đó, các biến
trường có chung giá trị cho tất cả các phần tử được liên kết vào. Như vậy, tính liên tục
của trường được đảm bảo tại các nút.
3. So sánh phương pháp PTHH với lời giải chính xác

4. So sánh phương pháp PTHH với phương pháp sai phân h
ữu hạn

3
5. Quá trình phân tích bài toán kỹ thuật bằng phương pháp PTHH
Kết cấu thực
Mô hình toán
(Các phương trình cân bằng)
Lời giải PTHH
Lựa chọn:
Kiểu phần tử
Số lượng phần tử
Các tham số giải phương trình
Miêu tả:
Tải trọng
Điều kiện biên
V.v
Kiểm tra kết quả
Điều chỉnh lại
mô hình toán


4
Chương 2
Cơ sở phương pháp PTHH
1. Các nguyên lý năng lượng sử dụng trong phương pháp PTHH
Trong PP PTHH mô hình chuyển vị, phương trình cân bằng được xây dựng từ
nguyên lý công khả dĩ hoặc nguyên lý giá trị dừng của thế năng toàn phần. Do PP PTHH
biểu diễn dưới dạng ma trận, nên cần biểu diễn hai nguyên lý này dưới dạng ma trận.
1.1 Nguyên lý công khả dĩ.
Xét hệ ở trạng thái cân bằng chịu tác dụng của hệ lực
{
}

R
. Véc tơ
{
}
q là véc tơ
chuyển vị tương ứng tại các nút của hệ.
Quan hệ
j
R
-
j
q tại toạ độ j và quan hệ σ - ε được biểu diễn trên hình 1.10.

Hình 1.10. Quan hệ R
j
– q
j
và
σ
-
ε
.
Ký hiệu:
j
W - công do
j
R
gây ra trên chuyển vị
j
q có giá trị bằng diện tích phía dưới

đường cong
j
R
-
j
q
.
A
- Năng lượng biến dạng có giá trị bằng diện tích phía dưới đường cong σ - ε.
1. Độ biến thiên công ngoại lực và năng lượng biến dạng.
Xét hệ ở hai trạng thái:
- Trạng thái 1:
{
}
R
,
{
}
q ,
{
}
σ
,
{
}
ε
.
- Trạng thái 2: có thay đổi giá trị vô cùng bé (VCB)
{
}

R
δ
dẫn đến sự thay đổi VCB
của
{
}
q
δ
và
{
}
δσ
,
{
}
δε
.
Khi đó, công
j
W
biến thiên một lượng:
1
2
jjj jj
WRq Rq
δδδ
Δ= +
Đối với toàn hệ, khi chỉ có lực tập trung
q 12
.01 3

W
j
Δ
W
j
q
R
O
q 12
.01 3
A
ΔΑ
q
R
O
R
j
δ
R
j
q
j
δ
q
j
ε
δε
σ
δσ
Tr¹ng th¸i 2

Tr¹ng th¸i 1
Tr¹ng th¸i 1
Tr¹ng th¸i 2
5

11
1
.
2
nn
jjj jj
jj j
WWRq Rq
δδδ
==
Δ= Δ = +
∑∑ ∑
(1.17)
hay dưới dạng ma trận

{}{} {}{ }
1
2
TT
WqR qR
δδδ
Δ= + (1.18)
Tương tự, độ biến thiên năng lượng biến dạng của toàn hệ

{}{} {}{ }

∫∫
δσδε+σδε=Δ
VV
TT
dV
2
1
dVA
(1.19)
2. Biểu thức công khả dĩ và năng lượng biến dạng khả dĩ.
Chuyển vị
{
}
q
δ
và biến dạng
{
}
δε
gọi là chuyển vị và biến dạng khả dĩ khi với sự
thay đổi nhỏ của chúng thì
{
}
R
và
{
}
σ
không thay đổi giá trị, nên:

{
}
{
}
{
}
0R
δδσ
==
(1.20)
Chú ý:
1/ Chuyển vị khả dĩ và biến dạng khả dĩ là chuyển vị và biến dạng ảo, không tồn
tại trong thực tế.
2/ Thoả mãn điều kiện liên tục về động học nghĩa là được các liên kết cho phép.
Từ (1.18), (1.19) chú ý đến (1.20), biểu thức công khả dĩ W
δ
và năng lượng biến
dạng khả dĩ
A
δ
có dạng:

{}{}
T
WqR
δδ
= (1.21)

{}{}
∫

σδε=δ
V
T
dVA (1.22)
Trong các biểu thức (1.21), (1.22) yêu cầu:
*
{
}
δε
và
{
}
q
δ
thoả mãn điều kiện liên tục.
*
{
}
R
và
{
}
σ
thoả mãn điều kiện cân bằng.
3. Nguyên lý công khả dĩ.
"Điều kiện cần và đủ để vật thể biến dạng ở trạng thái cân bằng là công khả dĩ của
ngoại lực
W
δ
bằng năng lượng biến dạng khả dĩ

A
δ
".
Biểu thức toán học của nguyên lý công khả dĩ có dạng:

WA
δδ
=
(1.23)
Chú ý đến (1.21), (1.22) nguyên lý công khả dĩ có dạng:
6

{}{} {}{}
∫
σδε=δ
V
TT
dVRq (1.24)
4. Nguyên lý công khả dĩ áp dụng cho hệ đàn hồi tuyến tính.
Đối với hệ đàn hồi tuyến tính, véc tơ biến dạng
{
}
ε
phụ thuộc tuyến tính với véc tơ
chuyển vị
{
}
q :

{

}
[
]
{
}
Dq
ε
= (1.25)
Do đó:
{
}
[
]
{
}
Dq
δε δ
=
(1.26)
Trong đó,
[
]
D là ma trận chuyển đổi biến dạng - chuyển vị.
Từ (1.26):
{} { }
[
]
T
TT
qD

δε δ
=

Thay vào (1.24), ta có:
{}{}
[]
{}
0
T
T
V
qR D dV
δσ
⎡⎤
−=
⎢⎥
⎣⎦
∫

Vì
{}
0
T
q
δ
≠ nên:

{}
[]
{}

∫
σ=
V
T
dVDR (1.27)
Biểu thức (1.27) biểu diễn điều kiện cân bằng theo nguyên lý công khả dĩ.
1.4.2 Nguyên lý giá trị dừng của thế năng toàn phần.
Thế năng toàn phần Π của hệ đàn hồi là tổng thế năng của ngoại lực
V và thế
năng biến dạng
A
. Song, thế năng của ngoại lực chính là công của ngoại lực W lấy với
dấu ngược lại, nên:
VW=−
. Do đó, thế năng toàn phần của hệ:

VAAWΠ= + = − (1.28)
Độ biến thiến của thế năng ngoại lực:

VW
δδ
=− (1.29)
Theo nguyên lý công khả dĩ (1.23) và chú ý đến (1.28), (1.29)

()
0AW AV AV
δδ δδ δ
−=+= +=
Hay:
0

δ
Π= (1.30)
Biểu thức (1.30) là biểu thức toán học của nguyên lý biến phân Lagrange.
"Trong tất cả các trường chuyển vị (trạng thái chuyển vị) khả dĩ động (thoả mãn
các điều kiện tương thích và điều kiện biên động học) thì trường chuyển vị thực (tương
ứng với trạng thái cân bằng của hệ) sẽ làm cho thế năng toàn phần Π đạt giá trị dừng".
7
Nếu hệ ở trạng thái cân bằng ổn định thì thế năng toàn phần có giá trị cực tiểu.

0
j
j
j
q
q
δδ
∂Π
Π= =
∂
∑

Vì
j
q
δ
độc lập và khác không nên để đa thức bằng không thì:

0
j
q

∂Π
=
∂
với j = 1,2 n (1.31)
Biểu thức (1.31), biểu thị điều kiện cân bằng tại toạ độ j.




Chương 3
Phương pháp PTHH tính toán tĩnh kết cấu hệ
thanh

3.2 Kết cấu khung

I. Giới thiệu






II. Phần tử thanh
1. Hệ khung phẳng và Phần tử thanh phẳng

L – Chiều dài phần tử
I – Mô men quán tính tiết diện
E – Mô đun đàn hồi của vật liệu
 – độ võng (hay chuyển vị theo phương
vuông góc với trục thanh)

 


– góc xoay của tiết diện












 – Véc tơ chuyển vị nút;














2. Hệ khung không gian và Phần tử thanh không gian






3. Các ma trận PTHH của phần tử thanh
3.1. Thanh phẳng
a) Phương pháp trực tiếp


b. Phương pháp hình thức
Phương trình đường độ võng (đường đàn hồi) của thanh chịu uốn:











(1)
Ứng suất trên tiết diện


,










(2)
Ma trận độ cứng:

















(3)
Các hàm dạng:






1
3




2



;





2














3




2



; 














(4)


Độ võng của dầm tại tọa độ x:















































(5)
Ma trận liên hệ chuyển vị - biến dạng:

















6



12



4


6


6



12




2


6



(5)
Ma trận độ cứng phần tử:






















12 6 12 6
6 4

6 2

12 6 12 6
6 2

6 4


(6)


Nếu kể đến các thành phần chuyển vị dọc trục:

(7)


3.2 Phần tử thanh không gian

(8)

4. Chuyển đổi giữa các hệ tọa độ











































(9)
4.1 Thanh phẳng

(10)


cos

,







;

cos

,










cos

,







;

cos

,







(11)

4.2 Thanh không gian

(12)

(13)

(14)


(15)
Véc tơ đơn vị của x

(16)
Véc tơ đơn vị của z

(17)
Véc tơ đơn vị của y

(18)
Cosin chỉ phương của x

(18)
Cosin chỉ phương của z

(18)
Cosin chỉ phương của y

(18)

III. Véc tơ lực quy nút tương đương
y
P
1
P
2
P
3
P
4
x
x
x
p(x)
Q
1
e
Q
1
M
1
M
1

{
}()()
() ( )
'
11
0

==
⎡⎤ ⎡ ⎤
⎡⎤
=++
⎣⎦
⎣⎦ ⎣ ⎦
∑∑
∫
Q
M
ii
n
L
n
TT
T
Qi M i
ii
R
Nx qxdx Nx Q N x M


IV. Các dạng phần tử thanh có liên kết đặc biệt ở đầu
1. Các loại liên kết đầu phần tử thanh
- Liên kết khớp
- Liên kết ngàm trượt
2. Công thức tổng quát xác định ma trận độ cứng
Tách riêng thành phần nội lực phần tử bằng không:

















0

Xác định ma trận [k] của phần tử




















