207 bộ đề toán thi lớp 10

270 ẹE BI DNG HS GII Huyứnh Thanh Laõm GVTHCS Loọc
Giang
PHN I: BI
1. Chng minh
7
l s vụ t.
2. a) Chng minh : (ac + bd)
2
+ (ad bc)
2
= (a
2
+ b
2
)(c
2
+ d
2
)
b) Chng minh bt dng thc Bunhiacụpxki : (ac + bd)
2
(a
2
+ b
2
)(c
2
+ d
2
)
3. Cho x + y = 2. Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc : S = x

2
+ y
2
.
4. a) Cho a 0, b 0. Chng minh bt ng thc Cauchy :
a b
ab
2
+

.
b) Cho a, b, c > 0. Chng minh rng :
bc ca ab
a b c
a b c
+ + + +
c) Cho a, b > 0 v 3a + 5b = 12. Tỡm giỏ tr ln nht ca tớch P = ab.
5. Cho a + b = 1. Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc : M = a
3
+ b
3
.
6. Cho a
3
+ b
3
= 2. Tỡm giỏ tr ln nht ca biu thc : N = a + b.
7. Cho a, b, c l cỏc s dng. Chng minh : a
3
+ b

3
+ abc ab(a + b + c)
8. Tỡm liờn h gia cỏc s a v b bit rng :
a b a b+ >
9. a) Chng minh bt ng thc (a + 1)
2
4a
b) Cho a, b, c > 0 v abc = 1. Chng minh : (a + 1)(b + 1)(c + 1) 8
10. Chng minh cỏc bt ng thc :
a) (a + b)
2
2(a
2
+ b
2
) b) (a + b + c)
2
3(a
2
+ b
2
+ c
2
)
11. Tỡm cỏc giỏ tr ca x sao cho :
a) | 2x 3 | = | 1 x | b) x
2
4x 5 c) 2x(2x 1) 2x 1.
12. Tỡm cỏc s a, b, c, d bit rng : a
2

+ b
2
+ c
2
+ d
2
= a(b + c + d)
13. Cho biu thc M = a
2
+ ab + b
2
3a 3b + 2001. Vi giỏ tr no ca a v b thỡ M t giỏ tr nh
nht ? Tỡm giỏ tr nh nht ú.
14. Cho biu thc P = x
2
+ xy + y
2
3(x + y) + 3. CMR giỏ tr nh nht ca P bng 0.
15. Chng minh rng khụng cú giỏ tr no ca x, y, z tha món ng thc sau :
x
2
+ 4y
2
+ z
2
2a + 8y 6z + 15 = 0
16. Tỡm giỏ tr ln nht ca biu thc :
2
1
A

x 4x 9
=
+
17. So sỏnh cỏc s thc sau (khụng dựng mỏy tớnh) :
a)
7 15 v 7+
b)
17 5 1 v 45+ +
c)
23 2 19
v 27
3

d)
3 2 v 2 3
18. Hóy vit mt s hu t v mt s vụ t ln hn
2
nhng nh hn
3
19. Gii phng trỡnh :
2 2 2
3x 6x 7 5x 10x 21 5 2x x+ + + + + =
.
20. Tỡm giỏ tr ln nht ca biu thc A = x
2
y vi cỏc iu kin x, y > 0 v 2x + xy = 4.
21. Cho
1 1 1 1
S .... ...
1.1998 2.1997 k(1998 k 1) 1998 1

= + + + + +
+
.
Hóy so sỏnh S v
1998
2.
1999
.
22. Chng minh rng : Nu s t nhiờn a khụng phi l s chớnh phng thỡ
a
l s vụ t.
23. Cho cỏc s x v y cựng du. Chng minh rng :
a)
x y
2
y x
+
1
270 ẹE BI DNG HS GII Huyứnh Thanh Laõm GVTHCS Loọc
Giang
b)
2 2
2 2
x y x y
0
y x y x


+ +
ữ

ữ


c)
4 4 2 2
4 4 2 2
x y x y x y
2
y x y x y x


+ + + +
ữ ữ
ữ


.
24. Chng minh rng cỏc s sau l s vụ t :
a)
1 2+
b)
3
m
n
+
vi m, n l cỏc s hu t, n 0.
25. Cú hai s vụ t dng no m tng l s hu t khụng ?
26. Cho cỏc s x v y khỏc 0. Chng minh rng :
2 2
2 2

x y x y
4 3
y x y x

+ + +
ữ

.
27. Cho cỏc s x, y, z dng. Chng minh rng :
2 2 2
2 2 2
x y z x y z
y z x y z x
+ + + +
.
28. Chng minh rng tng ca mt s hu t vi mt s vụ t l mt s vụ t.
29. Chng minh cỏc bt ng thc :
a) (a + b)
2
2(a
2
+ b
2
)
b) (a + b + c)
2
3(a
2
+ b
2

+ c
2
)
c) (a
1
+ a
2
+ .. + a
n
)
2
n(a
1
2
+ a
2
2
+ .. + a
n
2
).
30. Cho a
3
+ b
3
= 2. Chng minh rng a + b 2.
31. Chng minh rng :
[ ] [ ] [ ]
x y x y+ +
.

32. Tỡm giỏ tr ln nht ca biu thc :
2
1
A
x 6x 17
=
+
.
33. Tỡm giỏ tr nh nht ca :
x y z
A
y z x
= + +
vi x, y, z > 0.
34. Tỡm giỏ tr nh nht ca : A = x
2
+ y
2
bit x + y = 4.
35. Tỡm giỏ tr ln nht ca : A = xyz(x + y)(y + z)(z + x) vi x, y, z 0 ; x + y + z = 1.
36. Xột xem cỏc s a v b cú th l s vụ t khụng nu :
a) ab v
a
b
l s vụ t.
b) a + b v
a
b
l s hu t (a + b 0)
c) a + b, a

2
v b
2
l s hu t (a + b 0)
37. Cho a, b, c > 0. Chng minh : a
3
+ b
3
+ abc ab(a + b + c)
38. Cho a, b, c, d > 0. Chng minh :
a b c d
2
b c c d d a a b
+ + +
+ + + +
39. Chng minh rng
[ ]
2x
bng
[ ]
2 x
hoc
[ ]
2 x 1+
40. Cho s nguyờn dng a. Xột cỏc s cú dng : a + 15 ; a + 30 ; a + 45 ; ; a + 15n. Chng minh
rng trong cỏc s ú, tn ti hai s m hai ch s u tiờn l 96.
41. Tỡm cỏc giỏ tr ca x cỏc biu thc sau cú ngha :
2
2 2
1 1 1 2

A= x 3 B C D E x 2x
x
x 4x 5 1 x 3
x 2x 1
= = = = + +
+

2
G 3x 1 5x 3 x x 1= + + +
2
270 ẹE BI DNG HS GII Huyứnh Thanh Laõm GVTHCS Loọc
Giang
42. a) Chng minh rng : | A + B | | A | + | B | . Du = xy ra khi no ?
b) Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc sau :
2 2
M x 4x 4 x 6x 9= + + + +
.
c) Gii phng trỡnh :
2 2 2
4x 20x 25 x 8x 16 x 18x 81+ + + + = + +
43. Gii phng trỡnh :
2 2
2x 8x 3 x 4x 5 12 =
.
44. Tỡm cỏc giỏ tr ca x cỏc biu thc sau cú ngha :
2 2
2
1 1
A x x 2 B C 2 1 9x D
1 3x

x 5x 6
= + + = = =

+
2 2
2
1 x
E G x 2 H x 2x 3 3 1 x
x 4
2x 1 x
= = + = +

+ +
45. Gii phng trỡnh :
2
x 3x
0
x 3

=

46. Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc :
A x x= +
.
47. Tỡm giỏ tr ln nht ca biu thc :
B 3 x x= +
48. So sỏnh : a)
3 1
a 2 3 v b=
2

+
= +
b)
5 13 4 3 v 3 1 +
c)
n 2 n 1 v n+1 n+ +
(n l s nguyờn dng)
49. Vi giỏ tr no ca x, biu thc sau t giỏ tr nh nht :
2 2
A 1 1 6x 9x (3x 1)= + +
.
50. Tớnh :
a) 4 2 3 b) 11 6 2 c) 27 10 2 +
2 2
d) A m 8m 16 m 8m 16 e) B n 2 n 1 n 2 n 1= + + + + = + +
(n 1)
51. Rỳt gn biu thc :
8 41
M
45 4 41 45 4 41
=
+ +
.
52. Tỡm cỏc s x, y, z tha món ng thc :
2 2 2
(2x y) (y 2) (x y z) 0 + + + + =
53. Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc :
2 2
P 25x 20x 4 25x 30x 9= + + +
.

54. Gii cỏc phng trỡnh sau :
2 2 2 2 2
a) x x 2 x 2 0 b) x 1 1 x c) x x x x 2 0 = + = + + =
4 2 2
d) x x 2x 1 1 e) x 4x 4 x 4 0 g) x 2 x 3 5 + = + + + = + =
2 2 2
h) x 2x 1 x 6x 9 1 i) x 5 2 x x 25 + + + = + + =
k) x 3 4 x 1 x 8 6 x 1 1 l) 8x 1 3x 5 7x 4 2x 2+ + + = + + = + +
55. Cho hai s thc x v y tha món cỏc iu kin : xy = 1 v x > y. CMR:
2 2
x y
2 2
x y
+


.
56. Rỳt gn cỏc biu thc :
a) 13 30 2 9 4 2 b) m 2 m 1 m 2 m 1
c) 2 3. 2 2 3 . 2 2 2 3 . 2 2 2 3 d) 227 30 2 123 22 2
+ + + + +
+ + + + + + + + + +
57. Chng minh rng
6 2
2 3
2 2
+ = +
.
3
270 ẹE BI DNG HS GII Huyứnh Thanh Laõm GVTHCS Loọc

Giang
58. Rỳt gn cỏc biu thc :
( ) ( )
6 2 6 3 2 6 2 6 3 2
9 6 2 6
a) C b) D
2 3
+ + + +

= =
.
59. So sỏnh :
a) 6 20 v 1+ 6 b) 17 12 2 v 2 1 c) 28 16 3 v 3 2+ + +
60. Cho biu thc :
2
A x x 4x 4= +
a) Tỡm tp xỏc nh ca biu thc A.
b) Rỳt gn biu thc A.
61. Rỳt gn cỏc biu thc sau :
a) 11 2 10 b) 9 2 14
3 11 6 2 5 2 6
c)
2 6 2 5 7 2 10
+ + +
+ + +
62. Cho a + b + c = 0 ; a, b, c 0. Chng minh ng thc :
2 2 2
1 1 1 1 1 1
a b c a b c
+ + = + +

63. Gii bt phng trỡnh :
2
x 16x 60 x 6 + <
.
64. Tỡm x sao cho :
2 2
x 3 3 x +
.
65. Tỡm giỏ tr nh nht, giỏ tr ln nht ca A = x
2
+ y
2
, bit rng :
x
2
(x
2
+ 2y
2
3) + (y
2
2)
2
= 1 (1)
66. Tỡm x biu thc cú ngha:
2
2
1 16 x
a) A b) B x 8x 8

2x 1
x 2x 1

= = + +
+

.
67. Cho biu thc :
2 2
2 2
x x 2x x x 2x
A
x x 2x x x 2x
+
=
+
.
a) Tỡm giỏ tr ca x biu thc A cú ngha.
b) Rỳt gn biu thc A. c) Tỡm giỏ tr ca x A < 2.
68. Tỡm 20 ch s thp phõn u tiờn ca s :
0,9999....9
(20 ch s 9)
69. Tỡm giỏ tr nh nht, giỏ tr ln nht ca : A = | x -
2
| + | y 1 | vi | x | + | y | = 5
70. Tỡm giỏ tr nh nht ca A = x
4
+ y
4
+ z

4
bit rng xy + yz + zx = 1
71. Trong hai s :
n n 2 v 2 n+1+ +
(n l s nguyờn dng), s no ln hn ?
72. Cho biu thc
A 7 4 3 7 4 3= + +
. Tớnh giỏ tr ca A theo hai cỏch.
73. Tớnh :
( 2 3 5)( 2 3 5)( 2 3 5)( 2 3 5)+ + + + + +
74. Chng minh cỏc s sau l s vụ t :
3 5 ; 3 2 ; 2 2 3+ +
75. Hóy so sỏnh hai s :
a 3 3 3 v b=2 2 1=
;
5 1
2 5 v
2
+
+
76. So sỏnh
4 7 4 7 2+
v s 0.
77. Rỳt gn biu thc :
2 3 6 8 4
Q
2 3 4
+ + + +
=
+ +

.
78. Cho
P 14 40 56 140= + + +
. Hóy biu din P di dng tng ca 3 cn thc bc hai
4
270 ẹE BI DNG HS GII Huyứnh Thanh Laõm GVTHCS Loọc
Giang
79. Tớnh giỏ tr ca biu thc x
2
+ y
2
bit rng :
2 2
x 1 y y 1 x 1 + =
.
80. Tỡm giỏ tr nh nht v ln nht ca :
A 1 x 1 x= + +
.
81. Tỡm giỏ tr ln nht ca :
( )
2
M a b= +
vi a, b > 0 v a + b 1.
82. CMR trong cỏc s
2b c 2 ad ; 2c d 2 ab ; 2d a 2 bc ; 2a b 2 cd+ + + +
cú ớt nht
hai s dng (a, b, c, d > 0).
83. Rỳt gn biu thc :
N 4 6 8 3 4 2 18= + + +
.

84. Cho
x y z xy yz zx+ + = + +
, trong ú x, y, z > 0. Chng minh x = y = z.
85. Cho a
1
, a
2
, , a
n
> 0 v a
1
a
2
a
n
= 1. Chng minh: (1 + a
1
)(1 + a
2
)(1 + a
n
) 2
n
.
86. Chng minh :
( )
2
a b 2 2(a b) ab+ +
(a, b 0).
87. Chng minh rng nu cỏc on thng cú di a, b, c lp c thnh mt tam giỏc thỡ cỏc on

thng cú di
a , b , c
cng lp c thnh mt tam giỏc.
88. Rỳt gn : a)
2
ab b a
A
b b

=
b)
2
(x 2) 8x
B
2
x
x
+
=

.
89. Chng minh rng vi mi s thc a, ta u cú :
2
2
a 2
2
a 1
+

+

. Khi no cú ng thc ?
90. Tớnh :
A 3 5 3 5= + +
bng hai cỏch.
91. So sỏnh : a)
3 7 5 2
v 6,9 b) 13 12 v 7 6
5
+

92. Tớnh :
2 3 2 3
P
2 2 3 2 2 3
+
= +
+ +
.
93. Gii phng trỡnh :
x 2 3 2x 5 x 2 2x 5 2 2+ + + =
.
94. Chng minh rng ta luụn cú :
n
1.3.5...(2n 1) 1
P
2.4.6...2n
2n 1

= <
+

; n Z
+
95. Chng minh rng nu a, b > 0 thỡ
2 2
a b
a b
b a
+ +
.
96. Rỳt gn biu thc : A =
2
x 4(x 1) x 4(x 1)
1
. 1
x 1
x 4(x 1)
+ +


ữ



.
97. Chng minh cỏc ng thc sau :
a b b a 1
a) : a b
ab a b
+
=

(a, b > 0 ; a b)
14 7 15 5 1 a a a a
b) : 2 c) 1 1 1 a
1 2 1 3 7 5 a 1 a 1

+
+ = + =
ữ ữ ữ
+

(a > 0).
98. Tớnh :
a) 5 3 29 6 20 ; b) 2 3 5 13 48 + +
.
5
270 ẹE BI DNG HS GII Huyứnh Thanh Laõm GVTHCS Loọc
Giang
c) 7 48 28 16 3 . 7 48

+ +
ữ

.
99. So sỏnh :
a) 3 5 v 15 b) 2 15 v 12 7+ + +
16
c) 18 19 v 9 d) v 5. 25
2
+

100. Cho hng ng thc :

2 2
a a b a a b
a b
2 2
+
=
(a, b > 0 v a
2
b > 0).
p dng kt qu rỳt gn :
2 3 2 3 3 2 2 3 2 2
a) ; b)
2 2 3 2 2 3 17 12 2 17 12 2
+ +
+
+ + +
2 10 30 2 2 6 2
c) :
2 10 2 2 3 1
+

101. Xỏc nh giỏ tr cỏc biu thc sau :
2 2
2 2
xy x 1. y 1
a) A
xy x 1. y 1

=
+
vi
1 1 1 1
x a , y b
2 a 2 b

= + = +
ữ ữ

(a > 1 ; b > 1)
a bx a bx
b) B
a bx a bx
+ +
=
+
vi
( )
2
2am
x , m 1
b 1 m
= <
+
.
102. Cho biu thc
2
2
2x x 1

P(x)
3x 4x 1

=
+
a) Tỡm tt c cỏc giỏ tr ca x P(x) xỏc nh. Rỳt gn P(x).
b) Chng minh rng nu x > 1 thỡ P(x).P(- x) < 0.
103. Cho biu thc
2
x 2 4 x 2 x 2 4 x 2
A
4 4
1
x x
+ + + +
=
+
.
a) Rỳt gn biu thc A. b) Tỡm cỏc s nguyờn x biu thc A l mt s nguyờn.
104. Tỡm giỏ tr ln nht (nu cú) hoc giỏ tr nh nht (nu cú) ca cỏc biu thc sau:
2
a) 9 x b) x x (x 0) c) 1 2 x d) x 5 4 > +
2 2
1
e) 1 2 1 3x g) 2x 2x 5 h) 1 x 2x 5 i)
2x x 3
+ + +
+
105. Rỳt gn biu thc :
A x 2x 1 x 2x 1= +

, bng ba cỏch ?
106. Rỳt gn cỏc biu thc sau :
a) 5 3 5 48 10 7 4 3+ +
b) 4 10 2 5 4 10 2 5 c) 94 42 5 94 42 5+ + + + +
.
107. Chng minh cỏc hng ng thc vi b 0 ; a
b
a)
(
)
2
a b a b 2 a a b+ =
b)
2 2
a a b a a b
a b
2 2
+
=
6
270 ẹE BI DNG HS GII Huyứnh Thanh Laõm GVTHCS Loọc
Giang
108. Rỳt gn biu thc :
A x 2 2x 4 x 2 2x 4= + +
109. Tỡm x v y sao cho :
x y 2 x y 2+ = +
110. Chng minh bt ng thc :
( ) ( )
2 2
2 2 2 2

a b c d a c b d+ + + + + +
.
111. Cho a, b, c > 0. Chng minh :
2 2 2
a b c a b c
b c c a a b 2
+ +
+ +
+ + +
.
112. Cho a, b, c > 0 ; a + b + c = 1. Chng minh :
a) a 1 b 1 c 1 3,5 b) a b b c c a 6+ + + + + < + + + + +
.
113. CM :
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2 2 2 2 2
a c b c a d b d (a b)(c d)+ + + + + + +
vi a, b, c, d > 0.
114. Tỡm giỏ tr nh nht ca :
A x x= +
.
115. Tỡm giỏ tr nh nht ca :
(x a)(x b)
A
x
+ +
=
.
116. Tỡm giỏ tr nh nht, giỏ tr ln nht ca A = 2x + 3y bit 2x
2

+ 3y
2
5.
117. Tỡm giỏ tr ln nht ca A = x +
2 x
.
118. Gii phng trỡnh :
x 1 5x 1 3x 2 =
119. Gii phng trỡnh :
x 2 x 1 x 2 x 1 2+ + =
120. Gii phng trỡnh :
2 2
3x 21x 18 2 x 7x 7 2+ + + + + =
121. Gii phng trỡnh :
2 2 2
3x 6x 7 5x 10x 14 4 2x x+ + + + + =
122. Chng minh cỏc s sau l s vụ t :
3 2 ; 2 2 3 +
123. Chng minh
x 2 4 x 2 +
.
124. Chng minh bt ng thc sau bng phng phỏp hỡnh hc :
2 2 2 2
a b . b c b(a c)+ + +
vi a, b, c > 0.
125. Chng minh
(a b)(c d) ac bd+ + +
vi a, b, c, d > 0.
126. Chng minh rng nu cỏc on thng cú di a, b, c lp c thnh mt tam giỏc thỡ cỏc on
thng cú di

a , b , c
cng lp c thnh mt tam giỏc.
127. Chng minh
2
(a b) a b
a b b a
2 4
+ +
+ +
vi a, b 0.
128. Chng minh
a b c
2
b c a c a b
+ + >
+ + +
vi a, b, c > 0.
129. Cho
2 2
x 1 y y 1 x 1 + =
. Chng minh rng x
2
+ y
2
= 1.
130. Tỡm giỏ tr nh nht ca
A x 2 x 1 x 2 x 1= + +
131. Tỡm GTNN, GTLN ca
A 1 x 1 x= + +
.

132. Tỡm giỏ tr nh nht ca
2 2
A x 1 x 2x 5= + + +
133. Tỡm giỏ tr nh nht ca
2 2
A x 4x 12 x 2x 3= + + + +
.
134. Tỡm GTNN, GTLN ca :
(
)
2 2
a) A 2x 5 x b) A x 99 101 x= + = +
135. Tỡm GTNN ca A = x + y bit x, y > 0 tha món
a b
1
x y
+ =
(a v b l hng s dng).
7
270 ẹE BI DNG HS GII Huyứnh Thanh Laõm GVTHCS Loọc
Giang
136. Tỡm GTNN ca A = (x + y)(x + z) vi x, y, z > 0 , xyz(x + y + z) = 1.
137. Tỡm GTNN ca
xy yz zx
A
z x y
= + +
vi x, y, z > 0 , x + y + z = 1.
138. Tỡm GTNN ca
2 2 2

x y z
A
x y y z z x
= + +
+ + +
bit x, y, z > 0 ,
xy yz zx 1+ + =
.
139. Tỡm giỏ tr ln nht ca : a)
( )
2
A a b= +
vi a, b > 0 , a + b 1
b)
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
4 4 4 4 4 4
B a b a c a d b c b d c d= + + + + + + + + + + +
vi a, b, c, d > 0 v a + b + c + d = 1.
140. Tỡm giỏ tr nh nht ca A = 3
x
+ 3
y
vi x + y = 4.
141. Tỡm GTNN ca
b c
A
c d a b
= +
+ +
vi b + c a + d ; b, c > 0 ; a, d 0.

142. Gii cỏc phng trỡnh sau :
2 2
a) x 5x 2 3x 12 0 b) x 4x 8 x 1 c) 4x 1 3x 4 1 + = = + + =
d) x 1 x 1 2 e) x 2 x 1 x 1 1 g) x 2x 1 x 2x 1 2 + = = + + =
h) x 2 4 x 2 x 7 6 x 2 1 i) x x 1 x 1+ + + = + + =
2 2 2
k) 1 x x x 1 l) 2x 8x 6 x 1 2x 2 = + + + = +
2 2
m) x 6 x 2 x 1 n) x 1 x 10 x 2 x 5+ = + + + = + + +
( )
( )
2
o) x 1 x 3 2 x 1 x 3x 5 4 2x + + + + =
p) 2x 3 x 2 2x 2 x 2 1 2 x 2+ + + + + + = + +
.
2 2
q) 2x 9x 4 3 2x 1 2x 21x 11 + + = +
143. Rỳt gn biu thc :
( ) ( )
A 2 2 5 3 2 18 20 2 2= + +
.
144. Chng minh rng, n Z
+
, ta luụn cú :
( )
1 1 1
1 .... 2 n 1 1
2 3 n
+ + + + > +
.

145. Trc cn thc mu :
1 1
a) b)
1 2 5 x x 1+ + + +
.
146. Tớnh :
a) 5 3 29 6 20 b) 6 2 5 13 48 c) 5 3 29 12 5 + +
147. Cho
( ) ( )
a 3 5. 3 5 10 2= +
. Chng minh rng a l s t nhiờn.
148. Cho
3 2 2 3 2 2
b
17 12 2 17 12 2
+
=
+
. b cú phi l s t nhiờn khụng ?
149. Gii cỏc phng trỡnh sau :
( ) ( ) ( )
( ) ( )
a) 3 1 x x 4 3 0 b) 3 1 x 2 3 1 x 3 3
5 x 5 x x 3 x 3
c) 2 d) x x 5 5
5 x x 3
+ = = +
+
= + =
+

8
270 ẹE BI DNG HS GII Huyứnh Thanh Laõm GVTHCS Loọc
Giang
150. Tớnh giỏ tr ca biu thc :
M 12 5 29 25 4 21 12 5 29 25 4 21= + + +
151. Rỳt gn :
1 1 1 1
A ...
1 2 2 3 3 4 n 1 n
= + + + +
+ + + +
.
152. Cho biu thc :
1 1 1 1
P ...
2 3 3 4 4 5 2n 2n 1
= + +
+
a) Rỳt gn P. b) P cú phi l s hu t khụng ?
153. Tớnh :
1 1 1 1
A ...
2 1 1 2 3 2 2 3 4 3 3 4 100 99 99 100
= + + + +
+ + + +
.
154. Chng minh :
1 1 1
1 ... n
2 3 n

+ + + + >
.
155. Cho
a 17 1=
. Hóy tớnh giỏ tr ca biu thc: A = (a
5
+ 2a
4
17a
3
a
2
+ 18a 17)
2000
.
156. Chng minh :
a a 1 a 2 a 3 <
(a 3)
157. Chng minh :
2
1
x x 0
2
+ >
(x 0)
158. Tỡm giỏ tr ln nht ca
S x 1 y 2= +
, bit x + y = 4.
159. Tớnh giỏ tr ca biu thc sau vi
3 1 2a 1 2a

a : A
4
1 1 2a 1 1 2a
+
= = +
+ +
.
160. Chng minh cỏc ng thc sau :
( ) ( ) ( )
a) 4 15 10 6 4 15 2 b) 4 2 2 6 2 3 1+ = + = +
( ) ( ) ( )
2
c) 3 5 3 5 10 2 8 d) 7 48 3 1 e) 17 4 9 4 5 5 2
2
+ = + = + + =
161. Chng minh cỏc bt ng thc sau :
5 5 5 5
a) 27 6 48 b) 10 0
5 5 5 5
+
+ > + <
+
5 1 5 1 1
c) 3 4 2 0,2 1,01 0
3
1 5 3 1 3 5

+
+ + >
ữ ữ

+ + +

2 3 1 2 3 3 3 1
d) 3 2 0
2 6 2 6 2 6 2 6 2

+
+ + + >
ữ
+ +

e) 2 2 2 1 2 2 2 1 1,9 g) 17 12 2 2 3 1+ + > + >
(
)
( )
2 2 3 2 2
h) 3 5 7 3 5 7 3 i) 0,8
4
+ +
+ + + + < <
162. Chng minh rng :
1
2 n 1 2 n 2 n 2 n 1
n
+ < <
. T ú suy ra:
1 1 1
2004 1 ... 2005
2 3 1006009
< + + + + <

163. Trc cn thc mu :
3 3
2 3 4 3
a) b)
2 3 6 8 4 2 2 4
+ +
+ + + + + +
.
9
270 ẹE BI DNG HS GII Huyứnh Thanh Laõm GVTHCS Loọc
Giang
164. Cho
3 2 3 2
x v y=
3 2 3 2
+
=
+
. Tớnh A = 5x
2
+ 6xy + 5y
2
.
165. Chng minh bt ng thc sau :
2002 2003
2002 2003
2003 2002
+ > +
.
166. Tớnh giỏ tr ca biu thc :

2 2
x 3xy y
A
x y 2
+
=
+ +
vi
x 3 5 v y 3 5= + =
.
167. Gii phng trỡnh :
2
6x 3
3 2 x x
x 1 x

= +

.
168. Gii bt cỏc pt : a)
1
3 3 5x 72 b) 10x 14 1 c) 2 2 2 2x 4
4
+ + +
.
169. Rỳt gn cỏc biu thc sau :
a 1
a) A 5 3 29 12 5 b) B 1 a a(a 1) a
a

= = + +
2 2 2
2 2 2
x 3 2 x 9 x 5x 6 x 9 x
c) C d) D
2x 6 x 9 3x x (x 2) 9 x
+ + + + +
= =
+ + +
1 1 1 1
E ...
1 2 2 3 3 4 24 25
= +

170. Tỡm GTNN v GTLN ca biu thc
2
1
A
2 3 x
=

.
171. Tỡm giỏ tr nh nht ca
2 1
A
1 x x
= +

vi 0 < x < 1.
172. Tỡm GTLN ca :

a) A x 1 y 2= +
bit x + y = 4 ; b)
y 2
x 1
B
x y


= +
173. Cho
a 1997 1996 ; b 1998 1997= =
. So sỏnh a vi b, s no ln hn ?
174. Tỡm GTNN, GTLN ca :
2
2
1
a) A b) B x 2x 4
5 2 6 x
= = + +
+
.
175. Tỡm giỏ tr ln nht ca
2
A x 1 x=
.
176. Tỡm giỏ tr ln nht ca A = | x y | bit x
2
+ 4y
2
= 1.

177. Tỡm GTNN, GTLN ca A = x
3
+ y
3
bit x, y 0 ; x
2
+ y
2
= 1.
178. Tỡm GTNN, GTLN ca
A x x y y= +
bit
x y 1+ =
.
179. Gii phng trỡnh :
2
x 1
1 x x 3x 2 (x 2) 3
x 2

+ + + =

.
180. Gii phng trỡnh :
2 2
x 2x 9 6 4x 2x+ = + +
.
181. CMR, n Z
+
, ta cú :

1 1 1 1
... 2
2
3 2 4 3 (n 1) n
+ + + + <
+
.
182. Cho
1 1 1 1
A ...
1.1999 2.1998 3.1997 1999.1
= + + + +
. Hóy so sỏnh A v 1,999.
183. Cho 3 s x, y v
x y+
l s hu t. Chng minh rng mi s
x ; y
u l s hu t
10
270 ẹE BI DNG HS GII Huyứnh Thanh Laõm GVTHCS Loọc
Giang
184. Cho
3 2
a 2 6 ; b 3 2 2 6 4 2
3 2
+
= = + +

. CMR : a, b l cỏc s hu t.
185. Rỳt gn biu thc :

2 a a 2 a a a a 1
P .
a 1
a 2 a 1 a

+ +
=
ữ

+ +

. (a > 0 ; a 1)
186. Chng minh :
a 1 a 1 1
4 a a 4a
a 1 a 1 a

+

+ =
ữ
ữ
+


. (a > 0 ; a 1)
187. Rỳt gn :
( )
2
x 2 8x

2
x
x
+

(0 < x < 2)
188. Rỳt gn :
b ab a b a b
a :
a b ab b ab a ab

+

+ +
ữ
ữ
+ +


189. Gii bt phng trỡnh :
(
)
2
2 2
2 2
5a
2 x x a
x a
+ +
+

(a 0)
190. Cho
( )
2
1 a a 1 a a
A 1 a : a a 1
1 a 1 a


+
= + +

ữ ữ
+



a) Rỳt gn biu thc A. b) Tớnh giỏ tr ca A vi a = 9.
c) Vi giỏ tr no ca a thỡ | A | = A.
191. Cho biu thc :
a b 1 a b b b
B
a ab 2 ab a ab a ab

+
= + +
ữ
+ +

.

a) Rỳt gn biu thc B. b) Tớnh giỏ tr ca B nu
a 6 2 5= +
.
c) So sỏnh B vi -1.
192. Cho
1 1 a b
A : 1
a a b a a b a b

+

= + +
ữ
ữ
+ +


a) Rỳt gn biu thc A. b) Tỡm b bit | A | = -A.
c) Tớnh giỏ tr ca A khi
a 5 4 2 ; b 2 6 2= + = +
.
193. Cho biu thc
a 1 a 1 1
A 4 a a
a 1 a 1 a

+

= +
ữ

ữ
+


a) Rỳt gn biu thc A.
b) Tỡm giỏ tr ca A nu
6
a
2 6
=
+
. c) Tỡm giỏ tr ca a
A A>
.
194. Cho biu thc
a 1 a a a a
A
2
2 a a 1 a 1

+
=
ữ ữ
+

.
a) Rỳt gn biu thc A. b) Tỡm giỏ tr ca A A = - 4
195. Thc hin phộp tớnh :
1 a 1 a 1 a 1 a
A :

1 a 1 a 1 a 1 a

+ +
= +
ữ ữ
+ +

11
270 ẹE BI DNG HS GII Huyứnh Thanh Laõm GVTHCS Loọc
Giang
196. Thc hin phộp tớnh :
2 3 2 3
B
2 2 3 2 2 3
+
= +
+ +
197. Rỳt gn cỏc biu thc sau :
( )
3
x y
1 1 1 2 1 1
a) A : . .
x y
xy xy x y 2 xy x y
x y

= + + +
ữ
ữ
ữ

+ +

+




vi
x 2 3 ; y 2 3= = +
.
b)
2 2 2 2
x x y x x y
B
2(x y)
+
=

vi x > y > 0
c)
2
2
2a 1 x
C

1 x x
+
=
+
vi
1 1 a a
x
2 a 1 a


=
ữ


; 0 < a < 1
d)
( ) ( )
2 2
2
a 1 b 1
D (a b)
c 1
+ +
= +
+
vi a, b, c > 0 v ab + bc + ca = 1
e)
x 2 x 1 x 2 x 1
E . 2x 1
x 2x 1 x 2x 1

+ +
=
+ +
198. Chng minh :
2 2
x 4 x 4 2x 4
x x
x x
x
+
+ + =
vi x 2.
199. Cho
1 2 1 2
a , b
2 2
+
= =
. Tớnh a
7
+ b
7
.
200. Cho
a 2 1=
a) Vit a
2
; a
3
di dng

m m 1
, trong ú m l s t nhiờn.
b) Chng minh rng vi mi s nguyờn dng n, s a
n
vit c di dng trờn.
201. Cho bit x =
2
l mt nghim ca phng trỡnh x
3
+ ax
2
+ bx + c = 0 vi cỏc h s hu t. Tỡm
cỏc nghim cũn li.
202. Chng minh
1 1 1
2 n 3 ... 2 n 2
2 3 n
< + + + <
vi n N ; n 2.
203. Tỡm phn nguyờn ca s
6 6 ... 6 6+ + + +
(cú 100 du cn).
204. Cho
2 3
a 2 3. Tớnh a) a b) a

= +

.
205. Cho 3 s x, y,

x y+
l s hu t. Chng minh rng mi s
x , y
u l s hu t
206. CMR, n 1 , n N :
1 1 1 1
... 2
2
3 2 4 3 (n 1) n
+ + + + <
+
207. Cho 25 s t nhiờn a
1
, a
2
, a
3
, a
25
tha k :
1 2 3 25
1 1 1 1
... 9
a a a a
+ + + + =
. Chng
minh rng trong 25 s t nhiờn ú tn ti 2 s bng nhau.
12
270 ẹE BI DNG HS GII Huyứnh Thanh Laõm GVTHCS Loọc
Giang

208. Gii phng trỡnh
2 x 2 x
2
2 2 x 2 2 x
+
+ =
+ +
.
209. Gii v bin lun vi tham s a
1 x 1 x
a
1 x 1 x
+ +
=
+
.
210. Gii h phng trỡnh
( )
( )
( )
x 1 y 2y
y 1 z 2z
z 1 x 2x

+ =


+ =

+ =


211. Chng minh rng :
a) S
( )
7
8 3 7+
cú 7 ch s 9 lin sau du phy.
b) S
( )
10
7 4 3+
cú mi ch s 9 lin sau du phy.
212. Kớ hiu a
n
l s nguyờn gn
n
nht (n N
*
), vớ d :
1 2 3 4
1 1 a 1 ; 2 1,4 a 1 ; 3 1,7 a 2 ; 4 2 a 2= = = = = =
Tớnh :
1 2 3 1980
1 1 1 1
...
a a a a
+ + + +
.

213. Tỡm phn nguyờn ca cỏc s (cú n du cn) : a)
n
a 2 2 ... 2 2= + + + +

b)
n
a 4 4 ... 4 4= + + + +
c)
n
a 1996 1996 ... 1996 1996= + + + +
214. Tỡm phn nguyờn ca A vi n N :
2 2
A 4n 16n 8n 3
= + + +
215. Chng minh rng khi vit s x =
( )
200
3 2+
di dng thp phõn, ta c ch s lin trc
du phy l 1, ch s lin sau du phy l 9.
216. Tỡm ch s tn cựng ca phn nguyờn ca
( )
250
3 2+
.
217. Tớnh tng
A 1 2 3 ... 24

= + + + +

218. Tỡm giỏ tr ln nht ca A = x
2
(3 x) vi x 0.
219. Gii phng trỡnh : a)
3
3
x 1 7 x 2+ + =
b)
3
x 2 x 1 3 + + =
.
220. Cú tn ti cỏc s hu t dng a, b khụng nu : a)
a b 2+ =
b)
4
a b 2+ =
.
221. Chng minh cỏc s sau l s vụ t : a)
3 3
3
5 b) 2 4+

222. Chng minh bt ng thc Cauchy vi 3 s khụng õm :
3
a b c
abc
3
+ +

.

223. Cho a, b, c, d > 0. Bit
a b c d
1
1 a 1 b 1 c 1 d
+ + +
+ + + +
. Chng minh rng :
1
abcd
81

.
224. Chng minh bt ng thc :
2 2 2
2 2 2
x y z x y z
y z x y z x
+ + + +
vi x, y, z > 0
225. Cho
3 3
3 3 3
a 3 3 3 3 ; b 2 3= + + =
. Chng minh rng : a < b.
13
270 ẹE BI DNG HS GII Huyứnh Thanh Laõm GVTHCS Loọc
Giang
226. a) Chng minh vi mi s nguyờn dng n, ta cú :
n
1

1 3
n

+ <
ữ

.
b) Chng minh rng trong cỏc s cú dng
n
n
(n l s t nhiờn), s
3
3
cú giỏ tr ln nht
227. Tỡm giỏ tr nh nht ca
2 2
A x x 1 x x 1= + + + +
.
228. Tỡm giỏ tr nh nht ca A = x
2
(2 x) bit x 4.
229. Tỡm giỏ tr ln nht ca
2 2
A x 9 x=
.
230. Tỡm giỏ tr nh nht, giỏ tr ln nht ca A = x(x
2
6) bit 0 x 3.
231. Mt ming bỡa hỡnh vuụng cú cnh 3 dm. mi gúc ca hỡnh vuụng ln, ngi ta ct i mt hỡnh
vuụng nh ri gp bỡa c mt cỏi hp hỡnh hp ch nht khụng np. Tớnh cnh hỡnh vuụng nh

th tớch ca hp l ln nht.
232. Gii cỏc phng trỡnh sau :
3
3 3
a) 1 x 16 x 3 b) 2 x x 1 1+ = + + =
3
3 3 3
3
c) x 1 x 1 5x d) 2 2x 1 x 1+ + = = +
( )
3 2 2
3 3
3
3
3
x 3x x 1 x 4
7 x x 5
e) 2 3 g) 6 x
2
7 x x 5


= =
+
3
2 2 2
3 3
3
3 3
h) (x 1) (x 1) x 1 1 i) x 1 x 2 x 3 0+ + + = + + + + + =

24
4 4
4 4 4
k) 1 x 1 x 1 x 3 l) a x b x a b 2x + + + = + = +
(a, b l tham s)
233. Rỳt gn
4 2 2 4
3 3 3
2 2
3 3
3
a a b b
A
a ab b
+ +
=
+ +
.
234. Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc :
2 2
A x x 1 x x 1= + + + +
235. Xỏc nh cỏc s nguyờn a, b sao cho mt trong cỏc nghim ca phng trỡnh : 3x
3
+ ax
2
+ bx + 12
= 0 l
1 3+
.
236. Chng minh

3
3
l s vụ t.
237. Lm phộp tớnh :
3 6
6 3
a) 1 2. 3 2 2 b) 9 4 5. 2 5+ +
.
238. Tớnh :
3 3
a 20 14 2 20 14 2= + +
.
239. Chng minh :
3
3
7 5 2 7 2 5 2+ + =
.
240. Tớnh :
(
)
4 4 4
A 7 48 28 16 3 . 7 48= + +
.
241. Hóy lp phng trỡnh f(x) = 0 vi h s nguyờn cú mt nghim l :
3 3
x 3 9= +
.
242. Tớnh giỏ tr ca biu thc : M = x
3
+ 3x 14 vi

3
3
1
x 7 5 2
7 5 2
= +
+
.
243. Gii cỏc phng trỡnh : a)
3
3
x 2 25 x 3+ + =
.
2 2 2
4
3
b) x 9 (x 3) 6 c) x 32 2 x 32 3 = + + + =
244. Tỡm GTNN ca biu thc :
(
)
(
)
3 3 3 3
A x 2 1 x 1 x 2 1 x 1= + + + + + +
.
245. Cho cỏc s dng a, b, c, d. Chng minh : a + b + c + d
4
4 abcd
.
14

270 ẹE BI DNG HS GII Huyứnh Thanh Laõm GVTHCS Loọc
Giang
246. Rỳt gn :
3 3
2 2
3
3
3 3 3
3 2
8 x x 2 x x 4
P : 2 x
2 x 2 x x 2
x 2 x



= + + +
ữ ữ
ữ
ữ ữ
+
+


; x > 0 , x 8
247. CMR :
3 3
x 5 17 5 17= + +
l nghim ca phng trỡnh x
3

6x 10 = 0.
248. Cho
3
3
1
x 4 15
4 15
= +

. Tớnh giỏ tr biu thc y = x
3
3x + 1987.
249. Chng minh ng thc :
3
3
23
3
3
a 2 5. 9 4 5
a 1
2 5. 9 4 5 a a
+ +
=
+ +
.
250. Chng minh bt ng thc :
3
3 3
9 4 5 2 5 . 5 2 2,1 0

+ + + <
ữ

.
251. Rỳt gn cỏc biu thc sau :
a)
( )
3
4 2 2 4
3 3 3
3
2 2
3 3
3
3
3
1
1 2
a a b b b 4b 24
b
A b) .
1
b 8 b 8
a ab b
b 2
1 2.
b


+

ữ
+ +
ữ
ữ
=
ữ
+ +
ữ
+ +
ữ
+

ữ


c)
2 2 2 2
3 3 3
3 3
3 3
2 2
3 3
3
a a 2a b a b a b ab 1
C .
a b
a ab a

+
= +

ữ
ữ



.
252. Cho
2 2
M x 4a 9 x 4x 8= + + +
. Tớnh giỏ tr ca biu thc M bit rng:
2 2
x 4x 9 x 4x 8 2 + + =
.
253. Tỡm giỏ tr nh nht ca :
2 2 2 2
P x 2ax a x 2bx b= + + +
(a < b)
254. Chng minh rng, nu a, b, c l di 3 cnh ca mt tam giỏc thỡ :
abc (a + b c)(b + c a)(c + a b)
255. Tỡm giỏ tr ca biu thc | x y | bit x + y = 2 v xy = -1
256. Bit a b =
2
+ 1 , b c =
2
- 1, tỡm giỏ tr ca biu thc :
A = a
2
+ b
2
+ c

2
ab bc ca.
257. Tỡm x, y, z bit rng :
x y z 4 2 x 2 4 y 3 6 z 5+ + + = + +
.
258. Cho
y x 2 x 1 x 2 x 1= + +
. CMR, nu 1 x 2 thỡ giỏ tr ca y l mt hng s.
259. Phõn tớch thnh nhõn t :
3 2
M 7 x 1 x x x 1= +
(x 1).
260. Trong tt c cỏc hỡnh ch nht cú ng chộo bng 8
2
, hóy tỡm hỡnh ch nht cú din tớch ln
nht.
261. Cho tam giỏc vuụng ABC cú cỏc cnh gúc vuụng l a, b v cnh huyn l c. Chng minh rng ta
luụn cú :
a b
c
2
+

.
262. Cho cỏc s dng a, b, c, a, b, c. Chng minh rng :
Nu
a b c
aa' bb' cc' (a b c)(a ' b' c') thỡ
a' b' c'
+ + = + + + + = =

.
263. Gii phng trỡnh : | x
2
1 | + | x
2
4 | = 3.
264. Chng minh rng giỏ tr ca biu thc C khụng ph thuc vo x, y :
15
270 ẹE BI DNG HS GII Huyứnh Thanh Laõm GVTHCS Loọc
Giang
( )
4
x y
1 x y
C
4xy
2 x y
x y x y
x y x y
+
+
=

+ +

ữ
ữ
+ +

vi x > 0 ; y > 0.

265. Chng minh giỏ tr biu thc D khụng ph thuc vo a:
2 a a 2 a a a a 1
D
a 1
a 2 a 1 a

+ +
=
ữ

+ +

vi a > 0 ; a 1
266. Cho biu thc
c ac 1
B a
a c a c
a c
ac c ac a ac


= +
ữ
+
+

+
+
.
a) Rỳt gn biu thc B.

b) Tớnh giỏ tr ca biu thc B khi c = 54 ; a = 24
c) Vi giỏ tr no ca a v c B > 0 ; B < 0.
267. Cho biu thc :
2 2 2
2mn 2mn 1
A= m+ m 1
1+n 1 n n

+ +
ữ
+

vi m 0 ; n 1
a) Rỳt gn biu thc A. b) Tỡm giỏ tr ca A vi
m 56 24 5= +
.
c) Tỡm giỏ tr nh nht ca A.
268. Rỳt gn
2
2 2
1 x 1 x 1 1 x x
D 1
x x
1 x 1 x
1 x 1 x 1 x 1 x

+
=
ữ ữ
+

+ +


269. Cho
1 2 x 2 x
P : 1
x 1
x 1 x x x x 1

=
ữ ữ
+
+

vi x 0 ; x 1.
a) Rỳt gn biu thc P. b) Tỡm x sao cho P < 0.
270. Xột biu thc
2
x x 2x x
y 1
x x 1 x
+ +
= +
+
.
a) Rỳt gn y. Tỡm x y = 2. b) Gi s x > 1. Chng minh rng : y - | y | = 0
c) Tỡm giỏ tr nh nht ca y ?
PHN II: HNG DN GII
1. Gi s
7

l s hu t
m
7
n
=
(ti gin). Suy ra
2
2 2
2
m
7 hay 7n m
n
= =
(1). ng thc ny
chng t
2
m 7M
m 7 l s nguyờn t nờn m
M
7. t m = 7k (k Z), ta cú m
2
= 49k
2
(2). T (1) v
(2) suy ra 7n
2
= 49k
2
nờn n
2

= 7k
2
(3). T (3) ta li cú n
2

M
7 v vỡ 7 l s nguyờn t nờn n
M
7. m v n
cựng chia ht cho 7 nờn phõn s
m
n
khụng ti gin, trỏi gi thit. Vy
7
khụng phi l s hu t; do
ú
7
l s vụ t.
2. Khai trin v trỏi v t nhõn t chung, ta c v phi. T a) b) vỡ (ad bc)
2
0.
3. Cỏch 1 : T x + y = 2 ta cú y = 2 x. Do ú : S = x
2
+ (2 x)
2
= 2(x 1)
2
+ 2 2.
Vy min S = 2 x = y = 1.
16

270 ẹE BI DNG HS GII Huyứnh Thanh Laõm GVTHCS Loọc
Giang
Cỏch 2 : p dng bt ng thc Bunhiacopxki vi a = x, c = 1, b = y, d = 1, ta cú :
(x + y)
2
(x
2
+ y
2
)(1 + 1) 4 2(x
2
+ y
2
) = 2S S 2. mim S = 2 khi x = y = 1
4. b) p dng bt ng thc Cauchy cho cỏc cp s dng
bc ca bc ab ca ab
v ; v ; v
a b a c b c
, ta ln
lt cú:
bc ca bc ca bc ab bc ab
2 . 2c; 2 . 2b
a b a b a c a c
+ = + =
;
ca ab ca ab
2 . 2a
b c b c
+ =
cng

tng v ta c bt ng thc cn chng minh. Du bng xy ra khi a = b = c.
c) Vi cỏc s dng 3a v 5b , theo bt ng thc Cauchy ta cú :
3a 5b
3a.5b
2
+

.
(3a + 5b)
2
4.15P (vỡ P = a.b) 12
2
60P P
12
5
max P =
12
5
.
Du bng xy ra khi 3a = 5b = 12 : 2 a = 2 ; b = 6/5.
5. Ta cú b = 1 a, do ú M = a
3
+ (1 a)
3
= 3(a ẵ)
2
+ ẳ ẳ . Du = xy ra khi a = ẵ .
Vy min M = ẳ a = b = ẵ .
6. t a = 1 + x b
3

= 2 a
3
= 2 (1 + x)
3
= 1 3x 3x
2
x
3
1 3x + 3x
2
x
3
= (1 x)
3
.
Suy ra : b 1 x. Ta li cú a = 1 + x, nờn : a + b 1 + x + 1 x = 2.
Vi a = 1, b = 1 thỡ a
3
+ b
3
= 2 v a + b = 2. Vy max N = 2 khi a = b = 1.
7. Hiu ca v trỏi v v phi bng (a b)
2
(a + b).
8. Vỡ | a + b | 0 , | a b | 0 , nờn : | a + b | > | a b | a
2
+ 2ab + b
2
a
2

2ab + b
2

4ab > 0 ab > 0. Vy a v b l hai s cựng du.
9. a) Xột hiu : (a + 1)
2
4a = a
2
+ 2a + 1 4a = a
2
2a + 1 = (a 1)
2
0.
b) Ta cú : (a + 1)
2
4a ; (b + 1)
2
4b ; (c + 1)
2
4c v cỏc bt ng thc ny cú hai v u dng,
nờn : [(a + 1)(b + 1)(c + 1)]
2
64abc = 64.1 = 8
2
. Vy (a + 1)(b + 1)(c + 1) 8.
10. a) Ta cú : (a + b)
2
+ (a b)
2
= 2(a

2
+ b
2
). Do (a b)
2
0, nờn (a + b)
2
2(a
2
+ b
2
).
b) Xột : (a + b + c)
2
+ (a b)
2
+ (a c)
2
+ (b c)
2
. Khai trin v rỳt gn, ta c :
3(a
2
+ b
2
+ c
2
). Vy : (a + b + c)
2
3(a

2
+ b
2
+ c
2
).
11. a)
4
2x 3 1 x 3x 4
x
2x 3 1 x
3
2x 3 x 1 x 2
x 2

= =
=


=


= =

=

b) x
2
4x 5 (x 2)
2

3
3
| x 2 | 3 -3 x 2 3 -1 x 5.
c) 2x(2x 1) 2x 1 (2x 1)
2
0. Nhng (2x 1)
2
0, nờn ch cú th : 2x 1 = 0
Vy : x = ẵ .
12. Vit ng thc ó cho di dng : a
2
+ b
2
+ c
2
+ d
2
ab ac ad = 0 (1). Nhõn hai v ca (1) vi
4 ri a v dng : a
2
+ (a 2b)
2
+ (a 2c)
2
+ (a 2d)
2
= 0 (2). Do ú ta cú :
a = a 2b = a 2c = a 2d = 0 . Suy ra : a = b = c = d = 0.
13. 2M = (a + b 2)
2

+ (a 1)
2
+ (b 1)
2
+ 2.1998 2.1998 M 1998.
Du = xy ra khi cú ng thi :
a b 2 0
a 1 0
b 1 0
+ =


=


=

Vy min M = 1998 a = b = 1.
14. Gii tng t bi 13.
15. a ng thc ó cho v dng : (x 1)
2
+ 4(y 1)
2
+ (x 3)
2
+ 1 = 0.
16.
( )
2
2

1 1 1 1
A . max A= x 2
x 4x 9 5 5
x 2 5
= = =
+
+
.
17. a)
7 15 9 16 3 4 7+ < + = + =
. Vy
7 15+
< 7
b)
17 5 1 16 4 1 4 2 1 7 49 45+ + > + + = + + = = >
.
17
270 ẹE BI DNG HS GII Huyứnh Thanh Laõm GVTHCS Loọc
Giang
c)
23 2 19 23 2 16 23 2.4
5 25 27
3 3 3

< = = = <
.
d) Gi s
(
)
(

)
2 2
3 2 2 3 3 2 2 3 3 2 2 3 18 12 18 12> > > > >
.
Bt ng thc cui cựng ỳng, nờn :
3 2 2 3>
.
18. Cỏc s ú cú th l 1,42 v
2 3
2
+
19. Vit li phng trỡnh di dng :
2 2 2
3(x 1) 4 5(x 1) 16 6 (x 1)+ + + + + = +
.
V trỏi ca phng trỡnh khụng nh hn 6, cũn v phi khụng ln hn 6. Vy ng thc ch xy ra khi
c hai v u bng 6, suy ra x = -1.
20. Bt ng thc Cauchy
a b
ab
2
+

vit li di dng
2
a b
ab
2
+

ữ

(*) (a, b 0).
p dng bt dng thc Cauchy di dng (*) vi hai s dng 2x v xy ta c :
2
2x xy
2x.xy 4
2
+

=
ữ

Du = xy ra khi : 2x = xy = 4 : 2 tc l khi x = 1, y = 2. max A = 2 x = 2, y = 2.
21. Bt ng thc Cauchy vit li di dng :
1 2
a b
ab
>
+
. p dng ta cú S >
1998
2.
1999
.
22. Chng minh nh bi 1.
23. a)
2 2 2
x y x y 2xy (x y)

2 0
y x xy xy
+
+ = =
. Vy
x y
2
y x
+
b) Ta cú :
2 2 2 2
2 2 2 2
x y x y x y x y x y
A 2
y x y x y x y x y x


= + + = + + + +
ữ ữ
ữ ữ ữ


. Theo cõu a :
2
2
2 2
2 2
x y x y x y
A 2 2 1 1 0
y x y x y x

+ + + = +
ữ
ữ ữ ữ



c) T cõu b suy ra :
4 4 2 2
4 4 2 2
x y x y
0
y x y x

+ +
ữ ữ

. Vỡ
x y
2
y x
+
(cõu a). Do ú :
4 4 2 2
4 4 2 2
x y x y x y
2
y x y x y x

+ + + +
ữ ữ
ữ


.
24. a) Gi s
1 2+
= m (m : s hu t)
2
= m
2
1
2
l s hu t (vụ lớ)
b) Gi s m +
3
n
= a (a : s hu t)
3
n
= a m
3
= n(a m)
3
l s hu t, vụ
lớ.
25. Cú, chng hn

2 (5 2) 5+ =
26. t
2 2
2
2 2
x y x y
a 2 a
y x y x
+ = + + =
. D dng chng minh
2 2
2 2
x y
2
y x
+
nờn a
2
4, do ú
| a | 2 (1). Bt ng thc phi chng minh tng ng vi : a
2
2 + 4 3a
a
2
3a + 2 0 (a 1)(a 2) 0 (2)
18