Bài giảng Xử lý tín hiệu số - Chương 2: Biến đổi Z và ứng dụng

FITA- HUA

Chương 2: BIẾN ĐỔI Z VÀ ỨNG DỤNG

2.1 BIẾN ĐỔI Z
2.2 CÁC TÍNH CHẤT BIẾN ĐỔI Z
2.3 BIẾN ĐỔI Z NGƯỢC
2.4 HÀM TRUYỀN ĐẠT CỦA HỆ LTI RỜI RẠC
2.5 GIẢI PTSP DÙNG BIẾN ĐỔI Z 1 PHÍA


2.1 BIẾN ĐỔI Z
FITA- HUA

2.1.1 ĐỊNH NGHĨA BIẾN ĐỔI Z:


• Biến đổi Z của dãy x(n):

X (z) 

 x( n) z

n

(*)

n  

Trong đó Z – biến số phức

Biểu thức (*) còn gọi là biến đổi Z hai phía


Biến đổi Z 1 phía dãy x(n):

X ( z )   x ( n ) z  n (**)
n0

• Nếu x(n) nhân quả thì : (*)
• Ký hiệu:
Z
x(n) 
X(z)
Z 1
X(z) 
 x(n)

 (**)

hay X(z) = Z{x(n)}
hay x(n) = Z-1{X(z)}


2.1.2 MIỀN HỘI TỤ CỦA BIẾN ĐỔI Z
FITA- HUA
(ROC)
• Miền hội tụ của biến đổi Z - ROC (Region Of Convergence)
là tập hợp tất cả các giá trị Z nằm trong mặt phẳng phức sao
cho X(z) hội tụ.
Im(Z)

Rx+

• Để tìm ROC của X(z) ta áp dụng
tiêu chuẩn Cauchy

Rx-

Re(z)
0

0

• Tiêu chuẩn Cauchy:


Một chuỗi có dạng:

 x( n)  x(0)  x(1)  x( 2)  
n 0

hội tụ nếu:

1
n

lim x ( n)  1

n 

Ví dụ 2.1.1: Tìm biến đổi Z & ROC của:

FITA- HUA

x( n )  a n u( n)

Giải:


X (z) 

n
x
(
n
)
z


n  



 a u( n)z
n

n

n  

lim  az
n  




n 0

n 0

n

Im(z)
ROC
/a/

1
X (z) 
1  az 1
Nếu:



  a n . z  n   az 1 

Theo tiêu chuẩn Cauchy,
X(z) sẽ hội tụ:

1n
n

1



0

1 z  a

1
; ROC : Z  a
Vậy: X ( z ) 
1
1  az

Re(z)


Ví dụ 2.1.2: Tìm biến đổi Z & ROC của: x ( n)   a n u(  n  1)
FITA- HUA
Giải:


X (z) 

 x( n) z

n



n

1



n  

n  


  a u(  n  1)z



n

m



 

n  
m

 

   a 1z    a 1z
m 1

n n
a
 .z

Im(z)

1

m0

/a/

Theo tiêu chuẩn Cauchy,
X(z) sẽ hội tụ:

Re(z)
0

n

1
X ( z )    a z   1 
1
1

az
m 0


1

1n

1 n 

Nếu: lim  a z 
n  


1 

za

ROC


2.2 CÁC TÍNH CHẤT BIẾN ĐỔI Z
FITA- HUA

a) Tuyến tính
• Nếu:
• Thì:

Z
x1 (n) 
X1 ( z) : ROC  R1
Z
x2 (n) 
X 2 ( z) : ROC  R 2

Z
a1 x1 (n)  a2 x2 (n) 
a1 X 1 ( z )  a2 X 2 ( z )

ROC chứa R1 R2
Ví dụ 2.2.1: Tìm biến đổi Z & ROC của:
n

n

x(n)  a u (n)  b u ( n  1)
Giải:

với

ab


Im(z)

Theo ví dụ 2.1.1 và 2.1.2, ta có:

ROC

FITA- HUA

1
a u (n) 
1  az 1
Z

n

/a/

R1 : z  a

Re(z)

0

Im(z)

1
 b u ( n  1) 
1  bz 1
n

Z

R2 : z  b

Áp dụng tính chất tuyến tính, ta được:

1
1
Z
n
n


a u ( n)  b u ( n  1) 
1
1  az
1  bz 1
R  R1  R2 : a  z  b

/b/
Re(z)
0

ROC
Im(z)

ROC /b/
Re(z)
0

/a/


2.2 CÁC TÍNH CHẤT BIẾN ĐỔI Z
FITA- HUA

b) Dịch theo thời gian
Z
Nếu: x( n) 
X ( z ) : ROC  R

Thì:

Z
x( n  n0 ) 
Z  n0 X ( z ) : ROC  R'

R trừ giá trị z=0, khi n0>0
Với: R'  
R trừ giá trị z=∞, khi n0<0

Ví dụ 2.2.2: Tìm biến đổi Z & ROC của: x ( n)  a nu ( n  1)
Giải:
1
Z
n
; ROC : z  a
Theo ví dụ 2.1.1: a u ( n) 
1

1  az

1
az
Z
n 1
n
:z a
Vậy: x ( n)  a u ( n  1)  a.a u ( n  1) 
1
1  az

2.2 CÁC TÍNH CHẤT BIẾN ĐỔI Z
FITA- HUA

c) Nhân với hàm mũ an
Z
Nếu: x( n) 
X ( z ) : ROC  R
Z
n
a
x
(
n
)


X ( a 1 z ) : ROC  a R
Thì:

Ví dụ 2.2.3: Xét biến đổi Z & ROC của:
n

x1 (n)  a u (n) và

x2 (n)  u (n)

Giải:


1

x ( n )  u( n )  X ( z )   u( n )z 
;R : z  1
1
1 z
n  
1
Z
n
n
1
a x ( n)  a u( n)  X (az ) 
; R' : z  a
1
1  az
Z

1


2.2 CÁC TÍNH CHẤT BIẾN ĐỔI Z
FITA- HUA

d) Đạo hàm X(z) theo z
Z
x
(
n
)



X ( z ) : ROC  R
Nếu:

dX(z)
: ROC  R
Thì: n x( n)   z
dz
Z

Ví dụ 2.2.4: Tìm biến đổi Z & ROC của:g ( n)
Giải:
Theo ví dụ 2.1.1:

n

 na u (n)

1
x(n)  a u (n)  X ( z ) 
; ROC : z  a
1
1  az
n

Z

1
dX
(
z

)
az
Z

:z  a
g(n)  nx(n) 
G( z)   z
1 2
(1  az )
dz


2.2 CÁC TÍNH CHẤT BIẾN ĐỔI Z
FITA- HUA

e) Đảo biến số
Z
x
(
n
)


X ( z ) : ROC  R
Nếu:

Z
-1
Thì: x( n) 
X (z ) : ROC  1 R

• Ví dụ 2.2.5: Tìm biến đổi Z & ROC của: y ( n)  1 a n u (  n)
• Giải: Theo ví dụ 2.1.1:

1
x ( n)  a u ( n)  X ( z ) 
; ROC : z  a
1
1  az
Z

n

n

 y ( n)  1 a  u ( n)  a  nu ( n)  x( n)
Áp dụng tính chất đảo biến số:
1

Y(z)  X (z ) 

1

 

1 a z

1 1

1


; ROC : z  1 / a
1  az


2.2 CÁC TÍNH CHẤT BIẾN ĐỔI Z
FITA- HUA

f) Liên hiệp phức
Z
x
(
n
)


X ( z ) : ROC  R
Nếu:

Thì:

Z

x * ( n)  X * (z*) : ROC  R

g) Tích 2 dãy
Nếu:

Z
x1 (n) 

X 1 ( z ) : ROC  R 1
Z
x2 (n) 
X 2 ( z ) : ROC  R 2

Thì:

1
 z  1
x1 (n) x2 (n) 
X 1 ( ) X 1   d : ROC  R 1  R 2

2 c
 
Z

h) Định lý giá trị đầu
Nếu x(n) nhân quả thì: x(0)  Lim X(z)
Z 


• Ví dụ 2.2.5: Tìm x(0), biết X(z)=e1/z và x(n) nhân quả

FITA- HUA

• Giải:
Theo định lý giá trị đầu:

x(0)  lim X(z)  lim e1/z  1
Z 

Z 

i) Tích chập 2 dãy

Nếu:

Z
x1 ( n) 
X 1 ( z ) : ROC  R 1
Z
x2 ( n) 
X 2 ( z ) : ROC  R 2

Z
Thì: x1 (n) * x2 (n) 
X 1 ( z ) X 2 ( z ) ;ROC có chứa R1  R2


• Ví dụ 2.2.6: Tìm y(n) = x(n)*h(n), biết:

x(n)  (0.5) n u ( n) h(n)  2n u ( n  1)

FITA- HUA

• Giải:

1
x( n)  (0.5) u( n)  X ( z ) 
; ROC : z  0.5

1
1  0.5 z
n

Z

1
h( n)  2 u(  n  1)  H ( z ) 
; ROC : z  2
1
1  2z
n

Z

1
1
Y (z)  X (z)H (z) 
.
; ROC : 0,5  z  2
1
1
(1  0.5 z ) (1  2 z )
Z-1

1
1
4
1
 .

 .
; ROC : 0,5  z  2
1
1
3 (1  0.5 z ) 3 (1  2 z )

1
4 n
n
y (n)  x(n) * h(n)   (0.5) u (n)  2 u ( n  1)
3
3


TỔNG KẾT CÁC TÍNH CHẤT BIẾN ĐỔI Z
FITA- HUA

x(n)
a1x1(n)+a2x2(n)
x(n-n0)
an x(n)
nx(n)

X(z)
a1X1(z)+a2X2(z)
Z-n0 X(z)
X(a-1z)
-z dX(z)/dz

ROC

x(-n)
x*(n)

X(z -1)
X*(z*)

1/R
R

x1(n)x2(n)

1
 z  1
X
(
v
)
X
1
2  v dv

C
2j
v

R1  R2

x(n) nhân quả

x(0)=lim X(z ->∞)

x1(n)*x2(n)

X1(z)X2(z)

Chứa R1  R2

R’
R
R

Chứa R1  R2


BIẾN ĐỔI Z MỘT SỐ DÃY THÔNG DỤNG
FITA- HUA

x(n)

X(z)

ROC

(n)

1

z

u(n)

1
1
1 z

|z| >1

1
1  az 1

|z| > |a|
|z| > |a|

-nan u(-n-1)

az 1
(1  az 1 ) 2

cos(on)u(n)

(1-z-1coso)/(1-2z-1coso+z-2)

|z| >1

sin(on)u(n)

(z-1sino)/(1-2z-1coso+z-2)

|z| >1

-u(-n-1)
an u(n)
-an u(-n-1)
nan u(n)

|z| <1
|z| < |a|

|z| < |a|


2.3 BIẾN ĐỔI Z NGƯỢC
FITA- HUA

2.3.1 CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI Z NGƯỢC

1
n 1
x( n ) 
X
(
z
)
z
dz (*)

2j C
Với C - đường cong khép kín bao quanh gốc tọa độ trong
mặt phẳng phức, nằm trong miền hội tụ của X(z), theo

chiều (+) ngược chiều kim đồng hồ
 Trên thực tế, biểu thức (*) ít được sử dụng do tính chất
phức tạp của phép lấy tích phân vòng
• Các phương pháp biến đổi Z ngược:
 Thặng dư
 Khai triển thành chuỗi luỹ thừa
 Phân tích thành tổng các phân thức tối giản


FITA- HUA

2.3.2 PHƯƠNG PHÁP KHAI TRIỂN
THÀNH CHUỖI LUỸ THỪA


Giả thiết X(z) có thể khai triển: X ( z ) 

n
a
z
 n
n  

(*)



Theo định nghĩa biến đổi Z

X ( z) 

n
x
(
n
)
z

n  

Đồng nhất (*) & (**), rút ra:

(**)

x ( n )  an

2
1
2
X
(
z
)

(
z

1
)(
1


2
z

3
z
)
Ví dụ: 2.3.1: Tìm x(n) biết:
Giải:
ROC : 0  z  
Khai triển X(z) ta được:

X ( z )  z 2  2 z  4  2 z 1  3z 2 

2

n
x
(
n
)
z

n  2

Suy ra: x(n)  {1,-2, 4,-2,3}



1

: z 2
Ví dụ: 2.3.2: Tìm x(n) biết: X ( z ) 
1
1  2z
FITA- HUA

Giải:
Do ROC của X(z) là /z/>2, nên x(n) sẽ là dãy nhân quả
và sẽ được khai triển thành chuỗi có dạng:


X ( z )   an z n  a0  a1 z 1  a2 z 2  
n 0

(*)

Để có dạng (*), thực hiện phép chia đa thức dưới đây:

1

1 - 2z -1

1  2 z 1

1  2 z 1  22 z 2  

2 z 1



2 z 1 - 2 2 z -2
2 -2

2 z
.......... ....

 X ( z )   2n z  n
n0

 x ( n)  2 n : n  0  2 n u (n)


1
: z 2
Ví dụ: 2.3.3: Tìm x(n) biết: X ( z ) 
1
1  2z
FITA- HUA
Giải:

Do ROC của X(z) là /z/<2, nên x(n) sẽ là dãy phản nhân
quả và sẽ được khai triển thành chuỗi có dạng:


X ( z) 

n
a
z
 n  a1 z1  a2 z 2  a3 z 3  

n  1

(**)

Để có dạng (**), thực hiện phép chia đa thức dưới đây:
1 -1

1

- 2 z 1

1  2 1 z 1

 2 1 z1  22 z 2  23 z 3  


1 1

2 z

 X ( z) 

2 1 z 1 - 2 -2 z 2
-2

2 z
..............

2

n n

2
 z
n  1

 x( n)  2n : n  0  2n u ( n  1)


2.3.3 PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH THÀNH
FITA- HUA
TỔNG CÁC PHÂN THỨC TỐI GIẢN
Xét X(z) là phân thức hữu tỉ có dạng:

D( z ) d K z K  d K 1 z K 1  ...  d1 z  d 0
X ( z) 

B( z ) bN z N  bN 1 z N 1  ...  b1z  b0

với:

K, N  0

• Nếu K>N, thực hiện phép chia đa thức, ta được:

D( z )
A( z )
aM z M  aM 1 z M 1...  a1 z  a0
X ( z) 

 C ( z) 
 C ( z) 
bN z N  bN 1 z N 1  ...  b1z  b0
B( z )
B( z )
Ta được C(z) là đa thức và phân thức A(z)/B(z) có bậc MN
• Nếu KN, thì X(z) có dạng giống phân thức A(z)/B(z)
Việc lấy biến đổi Z ngược đa thức C(z) là đơn giản, vấn
đề phức tạp là tìm biến đổi Z ngược A(z)/B(z) có bậc MN


Xét X(z)/z là phân thức hữu tỉ có bậc MN :
FITA- HUA

X ( z ) A( z ) aM z M  aM 1 z M 1...  a1 z  a0


z
B ( z ) bN z N  bN 1 z N 1  ...  b1z  b0

Xét đén các điểm cực của X(z)/z, hay nghiệm của B(z) là
đơn, bội và phức liên hiệp
a) Xét X(z)/z có các điểm cực đơn: Zc1, Zc2, Zc3,…. ZcN,
A( z )
X ( z ) A( z )


z
B ( z ) bN ( z  zc1 )( z  zc 2 ) ( z  zcN )
Theo lý thuyết hàm hữu tỉ, X(z)/z phân tích thành:

N
K1
K2
KN
Ki
X ( z ) A( z )





( z  zcN ) i 1 ( z  zci )
z
B ( z ) ( z  zc1 ) ( z  zc 2 )
Với hệ số Ki xác định bởi:
X ( z)
Ki 
( z  zci )
hay
z
Z  Z ci

A( z )
Ki 
B' ( z) Z Z

ci


FITA- HUA

Suy ra X(z) có biểu thức:

N
K1
K2
KN
Ki
X ( z) 



1
1
1
(1  zc1 z ) (1  zc 2 z )
(1  zcN z ) i 1 (1  z ci z 1 )

Xét:

Ki
X i ( z) 
(1  zci z 1 )
n

•

Nếu ROC: |z| > |zci|

 xi (n)  K i ( zci ) u (n)

•

Nếu ROC: |z| < |zci|

 xi (n)   K i ( zci ) n u (n  1)

N

• Vậy: x(n)   xi ( n)
i 1


Ví dụ: 2.3.3: Tìm x(n) biết:
FITA- HUA

2 z  5z
X ( z)  2
z  5z  6

với các miền hội tụ: a) |z|>3, b) |z|<2, c) 2<|z|<3
Giải:

2z  5
K1
K2
X ( z)
2z  5




 2
z
z  5 z  6 ( z  2)( z  3) ( z  2) ( z  3)
Với các hệ số được tính bởi:

X ( z)
2z  5
1
K1 
( z  2) 
z
Z  2 ( z  3) Z  2
X ( z)
2z  5
1
K2 
( z  3) 
z
Z  3 ( z  2) Z  3

1
1
X ( z)
1
1
 X ( z) 




1
(1  2 z ) (1  3 z 1 )
z
( z  2) ( z  3)


FITA- HUA

1
1
X ( z) 

1
(1  2 z ) (1  3z 1 )
Với các miền hội tụ:
a) |z|>3 :

x(n)  2n u (n)  3n u (n)

b) |z|> < 2 :

x(n)  2n u ( n  1)  3n u (n  1)

c) 2<|z|<3 :

x (n )  2n u ( n )  3n u ( n  1)