Nghiên cứu một số sai lầm của học sinh trung học phổ thông khi giải toán Đại số - Giải tích ở tỉnh Thanh Hóa

Số 59 - Tháng 7/2018

TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐẠI HỌC SÀI GÒN

Nghiên cứu một số sai lầm của học sinh trung học phổ thơng
khi giải tốn Đại số - Giải tích ở tỉnh Thanh Hóa
A Study on Errors Made in Solving Algebra - Calculus Problems by High School
Students in Thanh Hoa Province
TS. Nguyễn Hữu Hậu,
Trường Đại học Hồng Đức
Nguyen Huu Hau, Ph.D.,
Hong Duc University
Tóm tắt
Bài báo trình bày thực trạng của sai lầm của học sinh khi giải tốn Đại số - Giải tích, nhận định của giáo
viên về mức độ mắc sai lầm của học sinh (khảo sát 1008 học sinh, 66 giáo viên tại 25 lớp thuộc 05 trường
của tỉnh Thanh Hóa. Kết quả nghiên cứu cho thấy, học sinh có nhiều sai lầm phổ biến khác nhau trong
khi giải tốn, giáo viên cũng cho rằng những sai lầm đó của học sinh là phổ biến, thường xun và đều
thấy sự cần thiết phải có biện pháp hữu hiệu để tập luyện cho học sinh khả năng phát hiện và sửa chữa sai
lầm trong q trình giải tốn.
Từ khóa: sai lầm, phân tích sai lầm, dạy học Đại số - Giải tích, dạy học giải tốn.
Abstract
This paper presents the reality of errors made by high school students in solving Algebra- Calculus
problems and of teachers’ comments on their errors (A survey on 1008 students, 66 teachers in 25 classes
from 05 high schools in Thanh Hoa province). The results showed that students had many different
common errors when solving math problems. The teachers thought that the errors are so common and
frequent that it is neccessary to have effective methods to train the students to detect and correct the errors
on their own.
Keywords: errors, error analysis, teaching and learning Algebra - Calculus, teaching and learning
mathematics.

hình thành kĩ năng và kĩ xảo [7]. Hoạt động

giải tốn là điều kiện để thực hiện tốt các
mục đích khác của dạy học tốn. Do đó, tổ
chức có hiệu quả việc dạy giải tốn có vai
trò quyết định đối với chất lượng dạy học
tốn.
Tuy nhiên, thực tiễn cho thấy chất
lượng dạy học tốn ở trường phổ thơng có
lúc, có chỗ còn chưa tốt, biểu hiện qua việc

1. Mở đầu
Ở trường phổ thơng, dạy tốn là dạy
hoạt động tốn học. Đối với học sinh (HS),
phải xem giải tốn là hình thức chủ yếu của
hoạt động học tốn. Dạy học giải tốn có vai
trò đặc biệt trong dạy học tốn ở trường phổ
thơng. Các bài tốn là phương tiện có hiệu
quả khơng thể thay thế được trong việc giúp
HS nắm vững tri thức, phát triển tư duy,
62


NGUYỄN HỮU HẬU

năng lực giải toán của HS còn hạn chế do
HS còn mắc nhiều sai lầm (SL). Một trong
những nguyên nhân quan trọng là giáo viên
(GV) chưa chú ý một cách đúng mức việc
phát hiện, uốn nắn và sửa chữa các SL cho
HS ngay trong các giờ học toán. Hơn nữa
những SL này còn xuất phát từ HS, tác giả

Bell và cộng sự cho rằng HS thường nhìn
vào điểm số mà không nhìn vào các SL mắc
phải, bởi vì họ muốn biết câu trả lời của
mình là đúng hay điểm số đạt được trong bài
kiểm tra là gì, mà không muốn đi xa hơn
điểm số để nhìn lại để biết tại sao và làm thế
nào mà mình lại nhận điểm số như vậy [2].
Vì điều này, HS nhiều khi gặp phải tình
trạng SL nối tiếp SL, nhưng là cách duy nhất
để cải thiện điểm số và tiếp thu kiến thức
mới. Hơn nữa việc nghiên cứu các SL mà
HS mắc phải sẽ là nguồn để GV có thể thiết
kế các chiến lược dạy học hiệu quả nhằm
hạn chế và từng bước loại bỏ chúng.
Nhiều nhà khoa học đã nhấn mạnh tới
vai trò và sự cần thiết của việc sửa chữa SL
của HS trong quá trình giảng dạy toán, G.
Polia: “Con người phải biết học ở những SL
và những thiếu sót của mình” [13,
tr. 204], A.A. Stôliar: “Không được tiếc thời
gian để phân tích trên giờ học các SL của
HS” [1, tr. 105]; A.N. Kôlmôgôrôv “Năng
lực bình thường của HS trung học đủ để các
em nắm được Toán học trong nhà trường
phổ thông nếu có sự hướng dẫn tốt của thầy
giáo” [3, tr. 10]. R. Marzano [9] cũng xem
phân tích SL của HS là biện pháp để mở
rộng tinh lọc kiến thức và yêu cầu khi phân
tích SL cần chú ý: phải xác định đó là SL gì,
nguyên nhân nào dẫn đến SL và cách ngăn

ngừa. Về thái độ cần thiết của GV đối với
SL của HS, tác giả M. Lagutko [8] yêu cầu:
(1) GV thừa nhận quyền bị SL của HS; (2)
GV phải cố gắng hiểu biết SL đã xảy ra của
HS; (3) trong quá trình dạy học, cần dạy cho

HS các chiến lược hạn chế SL khi làm bài
như kiểm tra lại đáp số, kiểm tra lại các bước
biến đổi, kiểm tra lại việc tính toán, liên hệ
với bối cảnh thực tiễn, sử dụng đồ thị, giải
bài toán bằng các cách khác nhau. Về học
tập môn toán, tác giả Legutko còn cho rằng,
việc HS phạm lỗi là điều không thể tránh
khỏi. Như vậy, có thể khẳng định rằng, các
SL của HS trong giải toán là cần thiết và có
thể khắc phục được.
Các công trình nghiên cứu đề cập tới SL
của HS khi giải toán còn tương đối ít, trong
số đó có thể kể tới Luận án Phó tiến sĩ của tác
giả Lê Thống Nhất “Rèn luyện năng lực giải
Toán cho học sinh PTTH thông qua việc phân
tích và sửa chữa sai lầm của học sinh khi giải
Toán” [10]. Công trình này đã xem xét các
SL của HS ở từng chủ đề kiến thức, chẳng
hạn như chủ đề phương trình, chủ đề bất
phương trình, chủ đề giới hạn, chủ để hàm
số... Cách phân tích như trên của tác giả có ưu
điểm là giúp cho người đọc có thể vận dụng
ở mức độ nào đó vào thực tiễn giảng dạy,
nghiên cứu. Tuy nhiên, hạn chế ở chỗ: số

lượng chủ đề kiến thức rất nhiều, khó kể hết,
mà gộp lại như thế để thành các chủ đề lớn thì
nhiều khi dẫn tới sự chung chung, thiếu cụ
thể. Các nhóm tác giả trong ”Hãy cẩn thận!
Bài thi đơn giản quá” [11] và ”Sai lầm thường
gặp và sáng tạo khi giải Toán” [12] đều sắp
xếp SL của HS theo từng chủ đề kiến thức.
Tác giả Hodes và Nolting đã đề xuất 4 kiểu
SL và giải thích như sau: lỗi bất cẩn, các lỗi
này được bắt gặp một cách tự động sau khi
xem xét lại bài làm của mình; lỗi khái niệm,
các lỗi được tạo ra khi người học không hiểu
các tính chất hay quy tắc được đề cập trong
sách giáo khoa và bài giảng; lỗi áp dụng, các
lỗi mà người học tạo ra khi họ biết các khái
niệm đó nhưng không thể áp dụng vào tình
huống hay câu hỏi cụ thể; lỗi quy trình, các
lỗi này xuất hiện khi người học bỏ qua hoặc
63


NGHIÊN CỨU MỘT SỐ SAI LẦM CỦA HỌC SINH TRUNG HỌC PHỔ THÔNG KHI GIẢI TOÁN ĐẠI SỐ…

hiểu sai các bước nhưng vẫn trả lời cho câu
hỏi hay bài toán đó [6].
Cách sắp xếp SL dựa theo tiêu chí chủ
đề kiến thức như các tác giả nói trên chưa
thể giải thích một cách tường minh, dễ hiểu
và bao quát hết tất cả các kiểu SL cho HS.
Hơn nữa chưa thể đề cập được một số kiểu

SL thường gặp, như SL liên quan đến các
thao tác tư duy, SL liên quan đến nắm nội
hàm khái niệm hoặc điều kiện áp dụng định
lí... Có thể nói, việc nghiên cứu SL của HS
khi giải toán nhìn từ góc độ hoạt động toán
học, nghĩa là xem xét các SL theo phương
diện chất lượng tiến hành các hoạt động toán
học còn tương đối ít.
Để tìm hiểu những SL mà HS thường
gặp phải trong giải toán đại số - giải tích ra
sao, chúng tôi nghiên cứu trường hợp ở tỉnh
Thanh Hóa với hai câu hỏi nghiên cứu
chính: Trong giải toán đại số - giải tích, học
sinh mắc phải SL phổ biến nào? Ý kiến của

GV về mức độ thường xuyên của các SL
của HS?
2. Nội dung nghiên cứu
2.1. Mô tả khảo sát
Để thấy được thực trạng SL của HS khi
giải toán đại số - giải tích ở trường THPT,
chúng tôi tiến hành nghiên cứu thực tiễn ở 4
trường THPT tỉnh Thanh Hóa: THPT Đông
Sơn 2; THPT Hàm Rồng; THPT Đào Duy
Từ; THPT Hậu Lộc 2; THPT Thạch Thành
2, với sự tham gia của 1008 HS và 66 GV.
Nghiên cứu này dựa trên một số phương
pháp như: sau khi phân loại các SL của HS,
chúng tôi dùng bảng hỏi để tìm hiểu ý kiến
của GV về mức độ thường xuyên của các SL

ở HS; phỏng vấn, đánh giá qua dự giờ; đánh
giá qua việc nghiên cứu sản phẩm giáo dục
(phân tích bài làm của HS ở một số bài kiểm
tra trong năm học 2015-2016 để tìm và phân
loại các SL của HS). Dưới đây là một số kết
quả được rút ra từ quá trình nghiên cứu.

Bảng 1: Số bài làm của học sinh được phân tích
Trường

Lớp

Số bài

THPT Đông Sơn 2

10A1

10A6

11A2

12A4

12A1

170

THPT Hàm Rồng

10A1

10A4

11B6

11B2

12C2

230

THPT Đào Duy Từ

10B2

10B5

11C4

12C2

12C5

225

THPT Hậu Lộc 2

10C1

11B4

11B6

12C1

12C4

205

THPT Thạch Thành 2

10C1

10C2

11B1

12A1

12A6

178

2.2. Tổng hợp và phân tích số liệu khảo sát
2.2.1. Về một số sai lầm phổ biến của học sinh khi giải toán đại số - giải tích được thể
hiện qua kết quả bài kiểm tra

64

NGUYỄN HỮU HẬU

Bảng 2: Một số sai lầm phổ biến của học sinh khi giải toán đại số - giải tích
Trường
Các sai lầm

Đông
Sơn 2
(%)

SL liên quan đến cảm nhận trực quan

35,2% 26,08% 27,55%

Hàm
Rồng
(%)

Thạch
Đào Duy Hậu Lộc 2 Thành 2
Từ (%)
(%)
(%)
29,2%

33,7%

31,1%

34,6%

38,2%

SL liên quan đến nhận thức sự tương ứng

32,9% 25,65% 24,88%

27,3%

31,4%

SL liên quan đến “chủ nghĩa hình thức”

41,17% 30,4%

34,14%

39,3%

SL liên quan đến việc chuyển đổi bài toán 33,52% 26,95% 30,66%

27,31%

31,46%

SL liên quan đến suy luận

42,94% 30,43% 31,11%

34,14%

39,32%

SL liên quan đến thao tác tư duy

30,58% 22,6%

25,36%

29,21%

SL liên quan đến nắm nội hàm khái niệm 40,58%
hoặc điều kiện áp dụng định lí

30%

32%

23,11%

giải tích mức độ HS mắc phải sai lầm khi
giải toán như thế nào đối với mỗi sai lầm
sau? Thu thập số liệu và sử dụng phần mềm
SPSS phân tích số liệu, chúng tôi thu được
kết quả dưới đây:

2.2.2. Kết quả khảo sát giáo viên về
mức độ mắc sai lầm của học sinh
Chúng tôi sử dụng bảng hỏi nhằm tìm

hiểu những sai lầm mà HS thường mắc phải
khi giải toán đại số - giải tích. Với câu hỏi:
Thầy/ Cô cho biết hhi làm bài tập đại số và

Bảng 3: Nhận định của GV về mức độ mắc sai lầm của học sinh
Trường

Đông
Sơn 2

Hàm
Rồng

SL liên quan đến cảm nhận trực
quan

0,36

0,41

0,43

0,45

0,33

0,396

SL liên quan đến nắm nội hàm
khái niệm hoặc điều kiện áp dụng

định lí

0,40

0,41

0,45

0,46

0.38

0,42

SL liên quan đến nhận thức sự
tương ứng

0,37

0,61

0,62

0,41

0,33

0,468

SL liên quan đến “chủ nghĩa hình

thức”

0,38

0,42

0,44

0,46

0,36

0,412

SL liên quan đến việc chuyển đổi
bài toán

0,22

0,60

0,41

0,4

0,21

0,33

SL liên quan đến suy luận

0,39

0,21

0,23

0,29

0,35

0,294

SL liên quan đến thao tác tư duy

0,29

0,61

0,64

0,45

0,26

0,45

Các sai lầm

Đào Duy Hậu Lộc Thạch Kết quả

Từ
2
Thành 2 chung

(Từ 0 đến 0,2: rất thường xuyên; từ 0,21 đến 0,4: thường xuyên; từ 0,41 đến 0,60: thỉnh thoảng; từ 0,61 đến
0,80: rất ít khi; từ 0,81 đến 1: chưa bao giờ).

65


NGHIÊN CỨU MỘT SỐ SAI LẦM CỦA HỌC SINH TRUNG HỌC PHỔ THÔNG KHI GIẢI TOÁN ĐẠI SỐ…

nằm về hai phía của đường thẳng y = 2x.
(?): Đặt g(x) = x2  2mx  5
Hàm số có cực đại, cực tiểu nằm về hai
phía của đường thẳng y  2x tương đương

2.2.3. Đánh giá chung
Qua phân tích kết quả điều tra, chúng
tôi cho rằng SL của HS khi giải toán rất đa
dạng và có nhiều nguyên nhân khác nhau.
Các GV được khảo sát đều cho rằng những
SL đó xảy ra thường xuyên trong quá trình
dạy học. Ngoài ra, kết quả thu được còn cho
thấy thực tiễn phạm lỗi của học sinh tương
hợp với quan điểm về lỗi của M. Legutko.
Do vậy, để nâng cao hiệu quả dạy học môn
giải tích ở trường phổ thông, trong quá trình
dạy học GV cần chú ý ngăn ngừa và kịp thời
sửa lỗi cho HS, cũng như hướng dẫn HS các

cách hạn chế bị lỗi khi giải toán giải tích [5].
2.3. Phân tích một số sai lầm trong bài
làm của học sinh
Trong mục này, để thấy rõ nguyên nhân
SL của HS khi giải toán đại số - giải tích,
chúng tôi ghi lại 7 sai lầm (có tính đại diện)
của HS đã được chỉ ra trong Bảng 2. Để chỉ
ra những lời giải có mắc phải SL, chúng tôi
dùng kí hiệu (?) và sử dụng kí hiệu (!) để
bình luận và phân tích SL của HS.
2.3.1. Sai lầm liên quan đến cảm nhận
trực quan
Trực quan giúp cho ta phát hiện vấn đề,
chẳng hạn có những bài toán về hình học,
nếu như vẽ hình chính xác và thấy lặp đi lặp
lại một số quy luật, thì nhiều khi có thể
khám phá ra một vấn đề ẩn náu đằng sau
những hình ảnh đó. Tuy nhiên, trong toán
học không chấp nhận việc chứng minh mà
trong đó không có những luận cứ rõ ràng. Vì
vậy, trực quan chỉ là chỗ dựa để khám phá
chứ không phải là phép chứng minh. Nếu
không nhận thức được điều đó, nhiều khi ta
sẽ đưa ra những kết luận sai lầm liên quan
đến cảm nhận trực quan.
Ví dụ 1: Tìm m để hàm số

y

với hệ phương trình

g(1)  2m  6  0
 2
 x  2mx  5
 2x


x 1
vô nghiệm



1  15  m   1  15
(!): Từ trực quan của hình vẽ HS nghĩ
rằng cực đại, cực tiểu nằm về hai phía của
một đường thẳng nghĩa là đồ thị hàm số
không cắt đường thẳng y  2x . Nhưng
thực ra đường thẳng y = 2x có thể cắt đồ thị
tại hai điểm phân biệt mà điểm cực đại, điểm
cực tiểu vẫn nằm khác phía so với đường
thẳng y  2x .
Lẽ ra HS phải giải như sau:
Hàm số có cực đại và cực tiểu tương
đương với m  3 . Gọi A  x1 ; y1  , B  x2 ; y 2 
là các điểm cực trị của đồ thị hàm số,
phương trình đường thẳng đi qua hai điểm
cực trị là: y  2x  m , khi đó
y1  2x1  m ; y2  2x2  m . Để A và B

nằm về hai phía của đường thẳng y  2x ,
điều kiện cần và đủ là  2x1  y1  2x2  y2   0

 2  2 6  m  2  2 6 là giá trị cần tìm.
2.3.2. Sai lầm liên quan đến nắm nội hàm
khái niệm hoặc điều kiện áp dụng định lí
2.3.2.1. Sai lầm khi nắm các khái niệm
Toán học
Khảo sát điều tra 1008 HS cho thấy,
trong quá trình vận dụng khái niệm, việc
không nắm vững nội hàm và ngoại diên sẽ
dẫn tới HS hiểu không trọn vẹn, thậm chí
hiểu sai lệch bản chất của khái niệm. Mặt
khác, nhiều khái niệm toán học là sự mở
rộng hoặc thu hẹp của khái niệm trước đó,

x2  2mx  5
có cực đại, cực tiểu
x 1
66


NGUYỄN HỮU HẬU

nên việc không nắm và hiểu không đúng các
khái niệm này làm cho học sinh không hiểu,
không có biểu tượng đúng về khái niệm
mới.
Sai lầm về các khái niệm toán học (đặc
biệt là các khái niệm ban đầu có tính chất
nền tảng) sẽ dẫn đến hệ quả tất yếu là học
kém môn toán. Vì vậy, có thể nói sự “mất

gốc” của HS về kiến thức toán trước hết là
sự “mất gốc” về các khái niệm toán học. Có
nhiều nguyên nhân khác nhau dẫn tới sự
nhận thức khái niệm toán học một cách hình
thức biểu hiện ở chỗ:
+ HS không nắm vững nội hàm và
ngoại diên của khái niệm nên nhận dạng và
thể hiện khái niệm sai;
+ Hiểu sai ngôn ngữ, kí hiệu trong định
nghĩa khái niệm, nên diễn đạt và vận dụng
sai khái niệm (khi xây dựng khái niệm khác,
khi biến đổi tính toán, khi suy luận chứng
minh).
Ví dụ 2: Một dạ tiệc có 10 nam và 6 nữ
đều khiêu vũ giỏi. Người ta chọn 3 nam và
3 nữ để ghép thành 3 cặp nhảy. Hỏi có bao
nhiêu cách ghép 3 cặp nhảy.
Lời giải (3):
Mỗi cách sắp thứ tự 3 bạn nam trong 10
bạn nam là một chỉnh hợp chập 3 của 10,
nên số cách chọn 3 bạn nam có thứ tự là

A, C, B và thứ tự khác của 3 bạn nữ là a, c,
b thì ghép 3 cặp nhảy là (A, a), (C, c), (B, b)
vẫn là cách ghép 3 cặp nhảy trước. Sai lầm
dẫn tới số cách ghép lớn hơn thực tế vì có
những cách ghép 3 cặp nhảy được tính nhiều
lần.
Lời giải đúng là:
Mỗi cách chọn 3 bạn nam trong 10 bạn

là một tổ hợp chập 3 của 10 nên số cách
3
chọn là C10
; tương tự số cách chọn 3 bạn nữ

trong 6 bạn nữ là C 36 .
Với 3 bạn nam và 3 bạn nữ được chọn,
ta xem có bao nhiêu cách ghép thành 3 cặp
nhảy (tất nhiên mỗi cặp gồm một nam và
một nữ).
Giả sử 3 bạn nam là A, B, C và 3 bạn
nữ là a, b, c thì mỗi cách ghép 3 cặp nhảy
chẳng qua là một hoán vị của 3 nữ mà thôi
(tất nhiên có thể coi là một hoán vị của 3 bạn
nam thì kết quả vẫn thế). Vậy, số cách ghép
3 cặp nhảy cho 6 bạn này là 3!.
Do đó, số cách bố trí 3 cặp nhảy là
3
C10
.C36 .3!  14400 .

2.3.2.2. Sai lầm liên quan đến sử dụng
định lí
Cấu trúc thông thường của định lí có
dạng A  B, trong đó A là giả thiết của định
lí, B là kết luận của định lí. SL phổ biến khi
học định lí do xem thường ngôn ngữ và các
điều kiện của giả thiết A nên suy ra các kết
luận SL: không có A vẫn suy ra B; không có
A suy ra không có B; sử dụng định lí tương

tự chưa đúng. Không nắm vững kết luận B,
nên sử dụng B mà không nhớ A, có B suy ra
có A, có A nhưng suy ra không phải B. Do
chỉ chú trọng phương pháp giải trên trong
quá trình áp dụng vào giải toán, HS áp dụng
thiếu điều kiện, áp dụng đúng nhưng không
chính xác; hoặc sử dụng định lí như định
nghĩa. Đặc biệt là với những định lí HS bị

3
A10
 720 cách;

Tương tự số cách chọn 3 bạn nữ có thứ
tự là A36  120 cách;
Vậy, số cách bố trí 3 cặp nhảy là

A A36  84600 .
6
10

(!): Cách giải này HS mắc phải SL ở
chỗ: tại sao lại sắp thứ tự cả 3 bạn nam và 3
bạn nữ. Giả sử có 3 bạn nam theo thứ tự là
A, B, C ghép nhảy với 3 bạn nữ theo thứ tự
là a, b, c, tức là có cặp nhảy (A, a), (B, b),
(C, c). Nếu lấy thứ tự khác của 3 bạn nam là
67

NGHIÊN CỨU MỘT SỐ SAI LẦM CỦA HỌC SINH TRUNG HỌC PHỔ THÔNG KHI GIẢI TOÁN ĐẠI SỐ…

“mất gốc” hoặc không hiểu bản chất, thì khi
sử dụng họ không hiểu rõ phạm vi của
chúng.

f ,, (x 0 )  0 thì x 0 là một điểm cực trị của
hàm số”.
Hơn nữa:

x 1

Ví dụ 3: Giải phương trình 5x.8 x  500 (1)
(?): Với điều kiện x  0 thì (1)

 5x.2

3x 3
x

 53.22  5x3.2

  x  3 ln 5 

x 3
x

+ Nếu f (x 0 )  0 thì x 0 là một điểm
,,

cực tiểu;
+ Nếu f (x 0 )  0 thì x 0 là một điểm

1

,,

x 3
.ln 2  0
x

cực đại.
2.3.3. Sai lầm liên quan đến nhận thức
sự tương ứng
Tư duy hàm có bốn tư tưởng chủ đạo,
trong đó có việc “Tập luyện cho học sinh
phát hiện, thiết lập, nghiên cứu và lợi dụng
những sự tương ứng trong khi nhằm vào
truyền thụ kiến thức và rèn luyện kĩ năng
toán học...” [7]. Khi làm những bài toán có
liên quan đến tư duy hàm, HS thường SL
trong việc phát hiện, thiết lập sự tương ứng
giữa các đối tượng tham gia vào bài toán.
Điều đó, đặc biệt nổi bật trong các bài toán
về hàm số, phương trình, bất phương trình,
hệ phương trình có chứa tham số hoặc cần
đặt ẩn phụ.
Ví dụ 4: Tìm tất cả các điểm trên đường
thẳng y  1 sao cho từ đó có thể kẻ được

Xét hàm số
f(x) = f(x)   x  3 ln5  x  3 .ln 2 với x  0
x

3
ln 2  0 mọi x  0 ,
x2
suy ra hàm số đồng biến. Mà f(3)  0 nên
x  3 là nghiệm duy nhất.
(!): Sai lầm trong lời giải trên ở chỗ:
f , (x)  ln5 

Hàm f(x) đồng biến trên  ;0  và

đồng biến trên  0;  , do đó phương trình

f(x)  0 có không quá một nghiệm trên

 ; 0  và có không quá một nghiệm trên
 0;    , chứ không phải phương trình
f(x)  0 có không quá một nghiệm trên

ba tiếp tuyến đến đồ thị y  x  2x .
4

¡ \ 0 . Như vậy, do f(3)  0 nên x  3

(?): Gọi điểm cần tìm là A (m; -1) thì
đường thẳng qua A có hệ số góc k là
y  k(x m)  1 . Đường thẳng này là tiếp

là nghiệm duy nhất trên  0;  , ngoài ra

f(x)  0 vẫn có thể có nghiệm trên
 ;0  .

tuyến của đồ thị khi và chỉ khi hệ
x 4  2x 2  k(x  m)  1
có nghiệm đối với
 3
4x  4x  k
ẩn x. Từ hệ trên, ta được phương trình

Giải đúng như sau:
(1) 
(x 3)ln5 

2

x

x  3
x 3
ln2 

ln2  0   x  3  ln5    0  
x
x 

x   log5 2

2





 1 3x2  4x.m  1  0 (1). Để từ A

kẻ được ba tiếp tuyến thì (1) phải có ba

HS thường nhầm lẫn điều kiện cần và
điều kiện đủ; chẳng hạn, dạy về cực trị có
định lí: “Giả sử hàm số y  f(x) có đạo hàm

nghiệm phân biệt. Mặt khác x  1  0
 x  1 , do đó yêu cầu bài toán trở
thành
tìm
m
để
f(x)
=
2

liên tục tới cấp hai tại x 0 và f (x 0 )  0 ,
,

68

NGUYỄN HỮU HẬU

mx2  2(m  1)x  3(m  2)  0 có hai nghiệm

f(x)  3x2  4xm  1  0 có duy nhất
một nghiệm khác 1 , điều đó tương đương
  0
3
m
với 
.
f(

1)

0
2


phân biệt x1 và x2 thỏa mãn x1  2x2  1 .
(?): HS cho rằng, x 2 là nghiệm lớn còn

x1 là nghiệm nhỏ, nên sau khi tìm được điều
kiện có nghiệm, cần tìm từng nghiệm rồi
thay vào hệ thức đã cho trong bài toán. Suy
nghĩ như vậy làm mất sự bình đẳng giữa hai
nghiệm, trong khi kỳ thực hai nghiệm này
có vai trò như nhau; x1 ,x 2 chỉ là kí hiệu

Vậy có hai điểm A nằm trên đường
thẳng y  1 mà từ đó kẻ được ba tiếp
tuyến đến đồ thị.
(!): HS đã mắc phải SL khi nghĩ rằng có
ba tiếp tuyến nghĩa là có 3 giá trị của x.
Đúng ra có 3 tiếp tuyến tức là có 3 giá trị
của k, tuy nhiên không phải mỗi giá trị của
k tương ứng với một và chỉ một giá trị x.
Mỗi giá trị x thì tạo ra một giá trị của k,
nhưng có những giá trị k tạo ra nhiều giá trị
x, chẳng hạn, với k  0 thì tồn tại 3 giá trị
x  0;x  1.
Cách giải đúng của bài này phải là:
Để có ba tiếp tuyến, trước hết phương
trình (1) có không ít hơn 3 nghiệm theo ẩn x
(vì mỗi x chỉ tạo ra một k). Tuy nhiên các
nghiệm x  1 chỉ tạo ra được k  0 , do đó
phương trình 3x2  4mx  1  0 phải có hai
nghiệm x1  x 2 khác 1 , khác 0 sao cho

x13  x1  x32  x2



hình thức. Hơn nữa, nếu các nghiệm có chứa
căn bậc hai thay vào được phương trình vô
tỷ thì học sinh rất dễ giải sai.
(!): Phương trình có hai nghiệm phân

m  0


biệt   2  6
2  6 (*)

m


 2
2
Theo Định lí Viét và giả thiết thì x1, x2


thỏa mãn x1  x2 

x  2x  1
 1
2

m

;x1 .x 2 

3m  2
m

giải hệ và so sánh với (*), tìm được là m  3
2
hoặc m  .
3
2.3.5. Sai lầm liên quan đến việc

chuyển đổi bài toán
Ví dụ 6: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm



tức  x1  x2  x12  x1 x2  x22  1  0
 x12  x1x2  x22  1  0   x1  x2   x1x2  1  0  S2  P  1  0
2



2  m  1

số: f(x) = x2  x  1  x2  3x  1 x ¡

2

1
3.
 4m 

  1 0  m  
3
3
2



2

(?):

2.3.4. Sai lầm liên quan đến “chủ nghĩa
hình thức”
Chủ nghĩa hình thức trong nhận thức
của HS thường bắt nguồn từ chỗ: “Trong ý
thức HS có sự phá vỡ nào đó mối quan hệ
tương hỗ, đúng đắn giữa nội dung bên trong
của sự kiện toán học và cách diễn đạt bên
ngoài của sự kiện ấy” (dẫn theo [11]).
Ví dụ 5: Tìm m để phương trình

2

2
2

3 1
 1  3
f(x)   x        x     

2   2 
 2   2 


Trong hệ trục
1 3
 ;
 , B
2

2



tọa độ 0xy, xét các điểm A
 3 1
;  và M(x;0) , thì

2
2 

f(x)  MA MB . Theo bất đẳng thức tam
giác MA MB  AB ,
mà

69

AB 

2



 , nên min f(x)  2 

3 1
2

3 1
2

.


NGHIÊN CỨU MỘT SỐ SAI LẦM CỦA HỌC SINH TRUNG HỌC PHỔ THÔNG KHI GIẢI TOÁN ĐẠI SỐ…

(!): SL ở đây là khi chuyển đổi từ bài
toán đại số sang hình học, HS không ý thức
được vị trí tồn tại của M, nên đã chọn điểm

luận. HS thiếu kiến thức về logic, sử dụng
mệnh đề sai hoặc ngộ nhận là mệnh đề đúng,
đánh tráo luận đề, sẽ mắc phải SL trong suy
luận. SL trong suy luận khi giải toán thường
có các kiểu: SL về luận cứ; SL về luận
chứng; SL về luận đề.
Ví dụ 7: Cho x,y,z  0 thỏa mãn

 3 1


A 1; 3, B 
là hai điểm cùng
;
 2 2 
2 2 





phía so với trục hoành. Đoạn thẳng AB
không cắt x,x chứa 0x nên bất đẳng thức
MA MB  AB không xảy ra và không
tồn tại điểm M0  0x sao cho

x1997  y1997  z1997  3 , tìm giá trị lớn
nhất của F  x2  y2  z2 .
(?): Do vai trò x,y,z như nhau nên có

MA0  MB 0  AB .

thể giả sử: x  y  z  0 ; mặt khác dễ thấy

Để tránh SL trên, khi chuyển đổi bài
toán sang sử dụng công cụ tọa độ cần phải
lưu ý: trong mặt phẳng cho hai điểm A, B và
đường thẳng d đi qua M. Khi đó: nếu A, B
cùng phía so với d, MA MB đạt giá trị
nhỏ nhất khi M là giao điểm của AB1 với
đường thẳng d, trong đó B1 là điểm đối xứng
với B qua d, khi đó MA MB  AB1 .

x33 x  y  z  0
3  x1997  y1997  z1997  3z1997  z ≤ 1. Do

vai trò x, y, z như nhau, nên x  1;y  1

 F  3  maxF  3 , dấu bằng xẩy ra
khi x  y  z  1 .
Kết quả trên là đúng, nhưng việc HS

cho rằng x, y, z có vai trò như nhau lần thứ
hai là sai, vì khi giả sử x  y  z  0 thì

Nếu A, B khác phía so với đường thẳng d
thì MA MB đạt giá trị nhỏ nhất khi M là
giao điểm của AB với d.
Bài toán trên có lời giải đúng phải là:
Chọn

 1 3 ;
A  ;

2 2 

 3 1
B 
;  
2
 2

điều đó không còn đúng nữa.
Có HS lập luận như sau: Giả sử

x  y  z  0  x2  z 2 ;

và

x2  y2  z 2  3x2 , dấu bằng xẩy ra khi
x  y  z , thay vào điều kiện 

C(x;0) , ta có f(x)  MA MB  AB1 ,
trong đó
2

x  y  z  1 suy ra maxF  3x2  3 .

2

 3 1  1
3
AB1  
     
  2
 2 2  2 2 

nên f(x) 

x2  y2 

(!): Áp dụng Bất đẳng thức Côsi cho
1995 số 1 và hai số x1997 ta được

1995  2x1997 1997 1997 2
 (x )  x 2 ;
1997

2 , dấu bằng xảy ra khi

x  3 1.

tương tự

2.3.6. Sai lầm liên quan đến suy luận
Suy luận là một hình thức và cũng là
quá trình tư duy rút ra một mệnh đề mới từ
một hay nhiều mệnh đề đã cho. Một suy
luận thường có cấu trúc logic A  B ;
Trong đó, A là tiền đề, B là kết luận. Cấu
trúc logic đó phản ánh cách thức rút ra kết

1995  2y1997
1995  2z1997
 y2 ;
 z2 .
1997
1997
Cộng từng vế bất đẳng thức ta được
F  3 suy ra  maxF  3 dấu bằng xẩy
ra khi x  y  z  1 .

70


NGUYỄN HỮU HẬU

 n  a12  a22  ...  a2n    a1  a2  ...  a n 2  0

2.3.7. Sai lầm liên quan đến thao tác tư
duy

Nếu n  4   a1  a2  ...  a n 2  4  a12  a22  ...  a 2n  

Ví dụ 8: Chứng minh bất đẳng thức
a 2  b2  c2  d2  e2  a  b  c  d  e  (1), a, b,c,d  R
Xin nêu hai cách giải cho bài toán này
không phải nhằm tìm ra nhiều lời giải, mà
với mục đích: mỗi cách giải sẽ gợi lên một
phương hướng tổng quát hóa bài toán.
Cách 1:
Ta có a2  b2  c2  d2  e2  a  b  c  d  e   0

 a1  a2  ...  a n 


a

2

 

2

lại bốn lần và cộng lại bằng a . Nhưng, nếu
số hạng ở vế trái nhiều hơn hay ít hơn thì sự
phân tích như trên không còn đúng nữa. Nếu
tăng số hạng lên n số thì cần phải có n lần
2
 a  có tổng bằng a2, khi đó với cách viết



 n

tương tự ta được:
2



a 2  a12  a 22  ...  a 2n 

= a 2  a  a1  a 2  ...  a n   a12  a 22  ...  a 2n

Theo Bất đẳng thức Bunhiacôpxki:











n a12  a 22  ...  a 2n   a1  a 2  ...  a n 

2
a  a1  a 2  ...  a n 
n

3. Kết luận và kiến nghị

Phản hồi của GV và qua bài làm của
HS, cho thấy HS thường gặp nhiều sai lầm
khác nhau trong giải toán. Kết quả nghiên
cứu trên sẽ giúp cho HS nhận ra và sửa chữa
những SL trong quá trình giải toán. Ngoài ra
đó cũng là cơ sở để GV có thái độ tích cực
đối với SL của HS và xem chúng như là
thông tin phản hồi cần được lưu tâm để có
sự điều chỉnh về phương pháp, có những

Đây là một tam thức bậc hai đối với a.
Muốn tam thức này luôn không âm thì
2
  0   a1  a 2  ...  a n   4  a12  a 22  ...  a 2n   0 (1)



2

Bất đẳng thức được tổng quát đúng là:

(!): Với cách giải tương tự, xét hiệu:
f(a)  a2  a12  a22  ...  a2n  a  a1  a2  ...  a n 

 1  12  ...  12 a12  a22  ...  a 2n   a1  a 2  ...  a n 

2

 a
 a



 a

 an   0
 a1   
 a2   … 

 n
 n


 n


a  a1  a 2  ...  a n  a a1  a 2  ...  a n , a1 , a 2 ,...a n  R

2

2
n , khi đó
n2
n
n n
f(a)  f     n    4  n  .  0 (vì
2
4
2
4
2

 

2

Áp dụng Bất đẳng thức Bunhiacôpxki
ta được   0 , từ đó suy ra đpcm.
HS có thể tổng quát hóa bài toán từ cách
giải 2 như sau:
Do a là một số cố định nên mở rộng cho
n số hạng tiếp theo ta được:



chọn

trở lại với cách giải 1, vì vế trái có  a  lặp
2

là một tam thức bậc hai đối với a có
2
   b  c  d  e   4  b 2  c2  d 2  e2  .

2

nếu

n  4 ) nên bất đẳng thức tổng quát hóa
không đúng.
Vậy, bài toán tổng quát như thế nào? Ta

Cách 2:
Xét hiệu f(a)  a2  a  b  c  d  e   b2  c2  d2  e2

2

n  4,

a i .

nên tồn tại những giá trị của a làm cho giá
trị của tam thức f(a) âm. Cụ thể, ta có thể lấy


a
 a
  d   e  0
2
 2


2

với



a1  a2  ...  a n  1 thì   n2  4n  0

2

2



 n a12  a 22  ...  a 2n  0

(1) luôn được thỏa mãn
Nhưng

2
a
 a

   b  +  c
2
 2

2

2

2

2

71


NGHIÊN CỨU MỘT SỐ SAI LẦM CỦA HỌC SINH TRUNG HỌC PHỔ THÔNG KHI GIẢI TOÁN ĐẠI SỐ…

sinh khả năng phát hiện và sửa chữa sai lầm
trong quá trình chiếm lĩnh tri thức toán học, Kỷ
yếu Hội thảo Quốc gia về giáo dục toán học ở
trường phổ thông, Nxb Giáo dục Việt Nam.
5. Trần Công Thái Hòe, Nguyễn Phú Lộc, Lỗi của
học sinh trong giải toán Giải tích: Nghiên cứu
điều tra học sinh và giáo viên ở Thị xã Tân
Châu -Tỉnh An Giang, Tạp chí Khoa học
Trường Đại học Cần Thơ, phần C, số 34
(2014), tr 27 - 33.
6. Hodes, E. - Nolting, P. (1998), Winning
at Mathematics?. SBCC Mathematics
Department Academic Success Press.
7. Nguyễn Bá Kim (2002), Phương pháp dạy học
môn Toán, Nxb Đại học Sư phạm, Hà Nội.
8. Legutko, M (2008), An analysis of students’
mathematical errors in teaching- research
process. In “Handbook of Mathematics.
9. Marzano, R.(1992). A different kinds of
classroom- Teaching with dimensions of
learning. Alexandria, Va: Association for
Supervision and Curriculum Development.
10. Lê Thống Nhất (1996), Rèn luyện năng lực giải
Toán cho học sinh PTTH thông qua việc phân
tích và sửa chữa sai lầm của học sinh khi giải
Toán, Luận án Phó tiến sĩ khoa học Sư phạm Tâm lý, Trường Đại học Sư phạm Vinh, Vinh.
11. Trần Hữu Phúc, Nguyễn Cảnh Nam (2002),
Hãy cẩn thận! Bài thi đơn giản quá, Nxb Đại
học quốc gia Hà Nội, Hà Nội.
12. Trần Phương, Lê Hồng Đức (2004), Sai lầm

thường gặp và sáng tạo khi giải Toán, Nxb Hà
Nội, Hà Nội.
13. Pôlya G. (1997), Giải một bài toán như thế
nào?, Nxb Giáo dục, Hà Nội.
14. Nguyễn Văn Thuận, Nguyễn Hữu Hậu (2010),
Phát hiện và sửa chữa sai lầm cho học sinh
trong dạy học Đại số - Giải tích trường phổ
thông, Nxb Đại học Sư phạm, Hà Nội.

biện pháp ngăn ngừa SL của HS nhằm nâng
cao hiệu quả dạy học môn toán.
Theo chúng tôi, để tập luyện cho học
sinh khả năng phát hiện và sửa chữa sai lầm
trong quá trình giải toán cần thực hiện
những yêu cầu sau:
- Trong quá trình truyền thụ tri thức và
rèn luyện kĩ năng toán học, cần quan tâm tập
luyện cho HS những hoạt động và hoạt động
thành phần mà khi giải toán HS thường gặp
những khó khăn, vướng mắc, hoặc sai lầm
trong việc thực hiện các hoạt động này;
- Chú ý tới các yêu cầu: tính giáo dục,
tính kịp thời, tính chính xác trong quá trình
phát hiện và sửa chữa sai lầm cho HS;
- GV thiết kế các tình huống dạy học dễ
dẫn tới SL để học sinh được thử thách với
những SL đó;
- Cần tạo điều kiện cho HS bộc lộ
những khó khăn, SL thông qua việc rèn
luyện cho HS kĩ năng tự kiểm tra, tự đánh

giá [4].
TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. A. A. Stoliar (1969), Giáo dục học Toán học,
Nxb Giáo dục, Minsk (Tiếng Nga).
2. Bell, A, - The Tookit team (1993), Learning
from mistakes and misconceptions: Gaining
the skills. A strategy in the Toolkit for the
change Agents, MARS Micchigan Stale
University.
3. Cruchetxki V. A. (1973), Tâm lý năng lực toán
học của học sinh, Nxb Giáo dục, Hà Nội.
4. Nguyễn Hữu Hậu (2011), Tập luyện cho học

Ngày nhận bài: 28/10/2017

Biên tập xong: 15/7/2018

72

Duyệt đăng: 20/7/2018