Các chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán 9 cấp THCS

UBND HUYỆN CHIÊM HÓA
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
------------

CÁC CHUYÊN ĐỀ ÔN LUYỆN HỌC SINH GIỎI
MÔN TOÁN TRUNG HỌC CƠ SỞ

Năm học 2019-2020

1


CHUYÊN ĐỀ 1: PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
Tiết 1: PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN
CÁCH GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI KHUYẾT
(Hệ số b = 0 hoặc c = 0)
I. KIẾN THỨC CẦN GHI NHỚ:
1. Định nghĩa:
Phương trình bậc hai một ẩn (nói gọn là phương trình bậc hai ) là phương trình
có dạng : ax 2  bx  c  0
Với x là ẩn, a, b, c là các số cho trước gọi là các hệ số và a �0 .
Bài tập: Các phương trình sau là phương trình bậc hai :
a) 5x2 - 3x - 2 = 0
có a = 5
b=-3
c=-2
2
b) 7x - 7 = 0
có a = 7
b= 0
c = -7

2
c) 9x - 9x = 0
có a = 9
b = -9
c= 0
2. Giải phương trình bậc hai có hệ số b = 0 hoặc c = 0
* Trường hợp c = 0, phương trình có dạng: ax2 + bx = 0
A0
�

Phương pháp giải: Đặt thừa số chung để đưa về phương trình tích: A.B = 0 � �
B0
�
�x  0
� x=0
��
Ta có: ax + bx = 0 � x(ax +b)=0 � �
b
�
ax+b=0
x
�
a
�
2

Bài tập 1: Giải phương trình: 4x2 – 8x = 0
Giải
4x  0
�

 x 0

 
4x2 – 8x = 0  4x( x-2) = 0  �
x20
�
 x 2
Vậy phương trình có hai nghiệm x1 = 0; x2 = 2
* Trường hợp b = 0, phương trình có dạng: ax2 + c = 0
 Nếu a.c > 0 thì phương trình vô nghiệm.
 Nếu a.c < 0 phương trình có hai nghiệm phân biệt áp dụng quy tắc chuyển
c
vế và đưa phương trình về dạng x2 = rồi giải.
a
2
Bài tập 2: Phương trình x + 2 = 0 vô nghiệm vì a = 1, c = 2; 1.2 = 2 > 0
Bài tập 3: Giải phương trình: 5x2 – 100 = 0
Giải:
5x2 – 100 = 0  5x2 = 100  x2 = 20  x = 2 5
Vậy phương trình có hai nghiệm x1 = 2 5 ; x2 = - 2 5
II. BÀI TẬP MẪU
Dạng 1: Nhận biết phương trình bậc hai và các hệ số a, b, c
Bài tập 1: Trong các phương trình sau phương trình nào là phương trình bậc hai ?
Xác định các hệ số a, b, c của phương trình đó:
� 4x3 + 2x2 + 7x - 9 = 0
a) BAC
b) 6x2 + 2x - 3 = 4x2 + 3
c) 7x2 + 2x = 3 + 2x
d)  2 2 x 2  2 x  8 8

Giải :
2


a) Phương trình 4x3 + 2x2 + 7x - 9 = 0 không phải là phương trình bậc hai
b) Phương trình 6x2 + 2x - 3 = 4x2 + 3
 6x2 + 2x – 3 - 4x2 - 3 = 0
 2x2 + 2x - 6 = 0
Là phương trình bậc hai có a = 2, b = 2, c = - 6
c) Phương trình 7x2 + 2x = 3 + 2x
 7x2+2x -3 -2x = 0
 7x2 – 3
=0
Là phương trình bậc hai có a = 7, b = 0 , c = -3
d) Phương trình  2 2 x 2  2 x  8 8
�
  2 2 x 2  2 x  8  8 0 BAC
 - 2 2 x2 + 2 x
=0
Là phương trình bậc hai có a = -2 2 , b = 2 , c = 0

Dạng 2: Giải phương trình:
Bài tập 2: Giải các phương trình sau:
a) 2x2 + 5x = 0,
b) 5x2 - 15 = 0,
Giải

c) x2 + 2010 = 0

 x 0

� BAC
� BAC
�
2x + 5x = 0  x (2x + 5 ) = 0  
5 BAC
x 

2
2

a)

Vậy phương trình có hai nghiệm : x = 0 và x = 

5
2

b) 5x2 - 15 = 0  5x2 = 15  x2 = 3  x =  3
Vậy phương trình có hai nghiệm : x = 3 và x = - 3
2
c) x + 2010 = 0 Có a = 1, c = 2010, a.c = 2010 > 0.
Vậy phương trình vô nghiệm.
III. BÀI TẬP TỰ LUYỆN:
Bài 1: Các phương trình sau đây đâu là phương trình bậc hai, chỉ rõ các hệ số a, b, c của chúng.
a) 2x2 + 5x + 1 = 0
c)  3x 2 = 0
b) 2x2 – 2x = 0
d) 4x + 5 = 0
Giải
a) 2x + 5x + 1 = 0 là phương trình bậc hai có a = 2, b = 5, c = 1.

b) 2x2 – 2x = 0 là phương trình bậc hai có a = 2, b = -2, c = 0.
c)  3x 2 = 0 là phương trình bậc hai có a = - 3 , b = 0, c = 0.
d) 4x + 5 = 0 không phải là phương trình bậc hai.
Bài 2: Đưa các phương trình sau về phương trình dạng ax 2  bx  c  0 và giải các
phương trình đó:
a) 5x2 + 8 x = 2( 4 x  2) ; b) 7 x 2  7 x  86   x  86
Giải
2

a) 5 x 2  8 x  8 x  2 � 5 x 2  8 x  8 x  2  0
� 5x2  2  0 � x  �

2
5

Vậy phương trình có hai nghiệm x 

2
5

và x  

2
5

b, 7 x 2  7 x  86   x  86
3


� 7 x 2  7 x  86   x  86 � 7 x 2  7 x  86  x  86  0

� 7 x2  8x  0 � x





7x  8  0

x0
�
x0
�
�
��
�
8
�
x
�7 x  8  0
�
7

Vậy phương trình có hai nghiệm x  0 và x  

8
7

Tiết 2 +3: CÔNG THỨC NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
I. KIẾN THỨC CẦN GHI NHỚ
Công thức nghiệm của phương trình bậc hai:

Đối với phương trình ax 2  bx  c  0 , a �0 và biệt thức   b 2  4ac
- Nếu   0 thì phương trình vô nghiệm.
- Nếu   0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt:
x1 

b  
2a

và x2 

b  
2a

- Nếu   0 thì phương trình có nghiệm kép: x1  x2  

b
2a

Chú ý: Nếu phương trình ax 2  bx  c  0 , a �0 có a và c trái dấu, tức là a.c < 0 thì
  b 2  4ac  0 khi đó phương trình có hai nghiệm phân biệt.
II. BÀI TẬP MẪU
2 x2  5x  1  0
Bài 1: Giải phương trình
Giải
Phương trình 2 x 2  5 x  1  0 Có a = 2, b = - 5, c = 1
  b 2  4ac   5   4.2.1  25  8  17
2

  17  0

Phương trình có hai nghiệm phân biệt

b     5   17 5  17


2a
2.2
4
b     5   17 5  17
x2 


2a
2.2
4
2
Chú ý: Nếu phương trình ax  bx  c  0 , a �0 có a và c trái dấu, tức là a.c < 0 thì
  b 2  4ac  0 khi đó phương trình có hai nghiệm phân biệt.
x1 

Bài 2: Giải phương trình sau:

2 x2  2 2x  1  0

Giải
2 x  2 2 x  1  0 (a = 2, b = 2 2 , c = 1)
2



  b 2  4ac  2 2



2

 4.2.1  4.2  4.2  0

Vậy phương trình có nghiệm kép: x1  x2  

b
2 2
2


2a
2.2
2

Bài 3: Cho phương trình 2 x   m  4  x  m  0
a) Tìm m biết x = 3 là một nghiệm của phương trình ?
2

4


b) Chứng minh rằng phương trình luôn có nghiệm với mọi m?
Giải:
a) Phương pháp: Vì x0 là một nghiệm của phương trình nên ax 02  bx0  c phải bằng 0
Vì phương trình nhận x=3 là một nghiệm nên:

2.32   m  4  .3  m  0 � 18  3m  12  m  0 � 2m  6 � m  3

Vậy với m = 3 phương trình đã cho nhận x = 3 là một nghiệm.
b) Để phương trình ax 2  bx  c  0 luôn có nghiệm thì  �0
Ta có: a = 2, b = -(m+4), c = m
2
2
�
  m  4 �
�
� 4.2.m  m  8m  16  8m  m  16
2

Vì m 2 �0 với mọi m do đó   m 2  16  0 với mọi m
Vậy phương trình đã cho luôn có nghiệm với mọi m.
III. BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1: Giải các phương trình sau





1
2
b) x 2  2 x   0
3
3

a )2 x 2  1  2 2 x  2  0

a) 2x2-(1-2)x - = 0
 = (1-2)2 + 8 = 1 - 4 +8+ 8= 9+4 = (2+1)2
>0 phương trình có hai nghiệm phân biệt
x1,2 =
2
b) x - 2x - = 0
 = 22 +4. =
x1,2 = = 3
Bài 2: Tìm m để các phương trình sau có nghiệm, tính nghiệm đó
a )mx 2   2m  1 x  m  2  0

b)2 x 2   4m  3  x  2m 2  1  0

Giải:
a) mx +(2m-1)x+m+2 = 0 có nghiệm khi   0
 = (2m-1)2-4m(m+2) = 4m2-4m+1-4m2-8m = 1-12m
  0  1-12m0  m 
b) 2x2-(4m+3)x+2m2-1 = 0 có nghiệm khi   0
 = (4m+3)2-8(2m2-1) = 16m2+24m+9-16m2+8 = 24m+17
  0 24m+17  0  m  2

Tiết 4+5: CÔNG THỨC NGHIỆM THU GỌN
I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ:
* Công thức nghiệm thu gọn:
Cho phương trình bậc hai: ax2 + bx + c = 0 (a 0 ) (1) Đặt b = 2b'.
Ta có: ' = b’2 – ac
(1) vô nghiệm <=> ' < 0.
(1) có nghiệm kép <=> ' = 0; x1 = x2 =

 b'

a

(1) có hai nghiệm phân biệt <=> ' > 0
 b'  '
 b'  '
; x2 =
a
a
(1) có nghiệm <=> '  0

x1 =

5


II. BÀI TẬP MẪU:
Bài 1: Giải phương trình sau:
10x2 + 6x + 1 = 0 (2)
Giải:
Ta có:  ' = 32 - 10.1 = - 1.
 ' < 0 => phương trình (2) vô nghiệm.
Bài 2: Giải phương trình sau:
5x2 - 6x + 1 = 0 (3)
Giải:
2
Ta có:  ' = (-3) - 5.1 = 4 ; '  4 2 .
 ' > 0 => phương trình (3) có hai nghiệm phân biệt.
x1 =

 ( 3)  2

 ( 3)  2 1
1 ; x2 =

5
5
5

Bài 3: Giải phương trình sau:
x2 - 10x + 25 = 0 (4)
Giải:
2
Ta có:  ' = (-5) - 1. 25 = 0.
 ' = 0 => phương trình (4) có nghiệm kép:
x1 = x2 =

 ( 5)
5 ;
1

III. BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1: Xác định hệ số a, b', c trong các phương trình sau:
a) 12x2 - 8x + 1 = 0
b) x2 - 2 3 x - 3 = 0
c) 5 x2 - 4 ( 3 - 1)x - 2 = 0
d) x2 - 5 5 x - 7 = 6 - 3 5 x
Giải:
a) 12x2 - 8x + 1 = 0
b) x2 - 2 3 x - 3 = 0

8

 4 ; c = 1.
2
 2 3
Ta có: a = 1; b' =
 3 ; c = -3.
2

Ta có: a = 12; b' =

c) 5 x2 - 4 ( 3 - 1)x - 2 = 0
 4( 3  1)
 2( 3  1) 2(1  3 ) ;c = -2.
2
d) x2 - 5 5 x - 7 = 6 - 3 5 x  x2 - 5 5 x + 3 5 x - 7 - 6 = 0  x2 - 2 5 x - 13 = 0

Ta có: a = 5 ; b' =

Ta có: a = 1; b' =

 2 5
 5 ; c = -13.
2

Bài 2: Giải các phương trình sau.
a) -16x2 - 10x - 1 = 0 (5);
b) 2x2 + 4x + 1 = 0 ( 6)
c) 2 3 x2 - 4 ( 3 - 1)x - (2 3 + 4) = 0 (7);
Giải:
2
a) -16x - 10x - 1 = 0 ( 5) Ta có:  ' = (-5)2 - (-16).(-1) = 25 - 16 = 9; '  9 3 .

 ' > 0 => phương trình ( 5) có hai nghiệm phân biệt:
 ( 5)  3
8
1
 ( 5)  3
2
1

 ; x2 =


 16
 16
2
 16
 16 8
2
2
b) 4x + 4x + 1 = 0 ( 6) Ta có:  ' = 2 - 4 .1 = 0.
 2 1
 .
 ' = 0 => phương trình (6) có nghiệm kép: x1 = x2 =
4
2
2
c) 2 3 x - 4 ( 3 - 1)x + (2 3 + 4) = 0 (7)

x1 =

6

Ta có:  ' = {2(1 - 3 )}2 - 2 3 . (2 3 + 4) = 4 - 4 3 + 12 - 12 - 8 3 = 4 - 12 3 < 0.
 ' < 0 => phương trình (7) vô nghiệm.
Bài 3: Cho phương trình: ( m +1)x2 + 4mx + 4m - 1 = 0 (8).
a) Giải phương trình với m = 1.
b) Với giá trị nào của m thì phương trình (8) có hai nghiệm phân biệt?
Giải:
a) Với m = 1 thì phương trình (8) trở thành: 2x2 + 4x + 3 = 0. (8’)
 '  22  2.3  2  0 � phương trình (8’) vô nghiệm.
b) Phương trình (8) có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi:
 ' > 0  (2m)2 - (m + 1)(4m - 1) > 0  4m2 - 4m2 + m - 4m + 1 > 0
 3m < 1  m <

1
.
3

Bài 4: Với giá trị nào của m thì phương trình có nghiệm kép?
5x2 + 2mx - 2m + 15 = 0 (9)
Giải:
Phương trình (9) có nghiệm kép khi và chỉ khi:
 ' = 0  m2 - 5. ( 15 - 2m) = 0
 m2 + 10m - 75 = 0
  'm = 52 - 1.(-75) = 100 =>  ' 10
 m1 =

 5  10
 5  10
5 ; m2 =

 15 .
1
1

Vậy m =5 hoặc m = -15 thì phương trình (9) có nghiệm kép.
Bài 5: Giải các phương trình sau.
a) - x2 - 4x + 5 = 0 (6);

b) 25x2 - 16 = 0 (7)
Giải:
2
2
a) - x - 4x + 5 = 0 (6) Ta có:  ' = (-2) - (-1).5 = 4 + 5 = 9; '  9 3 .
 ' > 0 => phương trình (6) có hai nghiệm phân biệt:
x1 =

 ( 2)  3 5
 ( 2)  3  1
   5 ; x2 =
 1
1
1
1
1

b) 25x2 - 16 = 0; (7) Ta có:  ' = 02 - 25.(-16) = 400 > 0.
Vậy phương trình (7) có hai nghiệm: x1 =

0  20 4
0  20  4

 ; x2 =

.
25
5
25
5

Bài 6:
Tìm điều kiện của m để phương trình mx2 - 4(m - 1)x - 8 = 0 (12) có nghiệm kép.
Giải:
Phương trình (12) có nghiệm kép khi và chỉ khi:
 ' = 0  {-2(m - 1)}2 - m.(-8) = 0
 4m2 - 8m + 4 + 8m = 0
 4m2 + 4 = 0 điều này vô lý vì: 4m2 + 4 > 0
Vậy phương trình (12) không có nghiệm kép với mọi m  R.

7


Tiết 6+7: HỆ THỨC VI-Ðt
I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ:
* Định lý Vi-ét:
Nếu x1 và x2 là hai nghiệm (nghiệm kép hoặc hai nghiệm phân biệt) của
phương trình:
ax2 + bx + c = 0 ( a 0) thì:
b

x


x


1
2

a

 x .x  c
 1 2 a
II- BÀI TẬP MẪU
Bài 1: Không giải phương trình, hãy tính tổng và tích các nghiệm (nếu có) của các
phương trình sau:
a) 4x2 + 2 x - 5 = 0,
b) 9x2 - 12x + 4 = 0
Giải:
a) 4x2 + 2 x - 5 = 0 (a = 4; b = 2; c = -5)
Do a, c trái dấu PT chắc chắn có hai nghiệm phân biệt, gọi x 1, x2 là nghiệm của
PT đã cho, theo định lý Vi-ét ta có:
x1 + x2 =
x1 . x2 =

 b  2
1


a
4
2
c

5

a
4

b) 9x2 - 12x + 4 = 0 (a = 9; b = -12; c = 4)
Có  ' 36  36 0 => PT có nghiệm kép x1 = x2
x1 + x2 =

12 4

9 3

x1 . x2 =

4
9

Bài 2: Dùng hệ thức Vi-ét tính nhẩm các nghiệm của phương trình:
x2 – 7x + 12 = 0 (a = 1; b = -7; c = 12)
Giải:
Theo hệ thức Vi-ét ta có:

8


7
�
x


x


7
1
2
�
�
1
�
�x .x  12  12
�1 2 1

Suy ra x1 = 4; x2 = 3 hoặc x1 = 3; x2 = 4
* Trường hợp đặc biệt:
- Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 ( a 0)
có a + b + c = 0 thì phương trình có một nghiệm là x1 = 1, còn nghiệm kia là
x2=

c
a
- Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 ( a 0)

có a – b + c = 0 thì phương trình có một nghiệm là x 1=-1, còn nghiệm kia là
c
x2= a
Bài 3: Nhẩm nghiệm của các phương trình sau:
a) 2x2 – 5x + 3 = 0;

b) x2 - 49x - 50 = 0.

Giải:
a) 2x2 – 5x + 3 = 0 (a = 2; b = -5; c = 3)
Vì a + b + c = 2 + (-5) + 3 = 0 nên PT có nghiệm x1 = 1 và x2 =

c 3
=
2
a

b) x2 - 49x - 50 = 0 (a = 1; b = -49; c = -50)
Vì a - b + c = 1 – (-49) + (-50) = 1 + 49 – 50 = 0
Nên PT có nghiệm x1 = - 1 và x2 = -

c 50
=
= 50
a
1

III. BÀI TẬP TỰ LUYỆN:
Bài 1: Nhẩm nghiệm của các phương trình sau :
a) x2 + 7x + 12 = 0;

b) x2 + 3x - 10 = 0.

Giải:
a) x2 + 7x + 12 = 0 (a = 1; b = 7; c = 12)
Ta có:   7 2  4.12  1  0 � phương trình có hai nghiệm phân biệt. Theo hệ
thức Vi-ét ta có:

x1 + x2 = -7 ; x1.x2 = 12 => x1 = - 4; x2 = -3 hoặc x1 = - 3; x2 = -4
b) x2 + 3x - 10 = 0 (a = 1; b = 3; c = -10). Do a, c trái dấu PT chắc chắn có hai nghiệm
phân biệt. Theo hệ thức Vi-ét ta có:
x1 + x2 = -3 ; x1.x2 = -1 0 => x1 = - 5; x2 = 2 hoặc x1 = 2; x2 = -5
Bài 2: Nhẩm nghiệm của các phương trình sau:
a) 7x2 - 9x + 2 = 0;

b) 23x2 - 9x - 32 = 0.
9


Giải
a) 7x2 - 9x + 2 = 0 (a = 7; b = -9; c = 2)
Vì a + b + c = 7 + (-9) + 2 = 0 nên PT có nghiệm x1 = 1 và x2 =

2
c
=
a
7

b) 23x2 - 9x - 32 = 0 (a = 23; b = -9; c = -32)
Vì a - b + c = 23 – (-9) + (-32) = 23 + 9 – 32 = 0
Nên PT có nghiệm x1 = - 1 và x2 = -

c
 32 32

=
23

23
a

Bài 3: Không giải phương trình, dùng hệ thức Vi-ét hãy tính tổng và tích các nghiệm
(nếu có) của các phương trình sau:
a) 2x2 – 7x + 2 = 0;

b) 5x2 + x + 2 = 0;

c) 16x2 - 8x + 1 = 0

Giải:
a) 2x2 – 7x + 2 = 0 (a = 2; b = -7; c = 2)  = b2 - 4ac = (-7)2 – 4.2.2 = 33 >0
=> x1 + x2 =

 b  (  7) 7

 ;
a
2
2

x1.x2 =

c
1
a

b) 5x2 + x + 2 = 0 (a = 5; b = 1; c = 2)  = b2 - 4ac = 12 – 4.5.2 = - 39 < 0
Vậy phương trình vô nghiệm => không tồn tại x1 + x2 và x1.x2

c) 16x2 - 8x + 1 = 0 (a = 16; b = -8; c = 1)  = b2 - 4ac = (-8)2 – 4.16.1 = 0
=> x1 + x2 =

 b  ( 8) 1

 ,
a
16
2

x1.x2 =

c 1

a 16

IV. BÀI TẬP VỀ NHÀ:
Bài 1: Nhẩm nghiệm của các phương trình sau:
a) x2 - 10x + 21 = 0;

b) x2 + x - 12 = 0

c) x2 + 7x + 12 = 0

d) x2 - 2x + m= 0

Hướng dẫn: Xác định a = ?; b = ?; c = ? . Theo hệ thức Vi-ét ta tính:
x1 + x2 = ? ; x1.x2 = ? => x1 =?; x2 = ?
Bài 2: Nhẩm nghiệm của các phương trình sau:
a) x2 - 6x + 5 = 0;

b) 4x2 - 3x - 7 = 0

c) - 3x2 + 12x + 15 = 0;

d) 1,2x2 + 1,6 x – 2,8 = 0

Hướng dẫn: Xác định a = ?; b = ?; c = ?
Tính a + b + c = ? nếu a + b + c = 0 => x1 = 1, x2 =

c
a

Hoặc a – b + c = ? nếu a - b + c = 0 => x1 = -1, x2 = -

c
a

Bài 3: Biết x1 là nghiệm của phương trình, tìm x2?
10


a) x2 + 2x – 35 = 0 ; x1 = 2;

b) x2 - 7x – 144 = 0 ; x1 = - 9

Hướng dẫn: Xác định a = ?; b = ?; c = ?
c
c
Theo hệ thức Vi-ét x1.x2 =

=> x2 = a = ?
a
x1
Hoặc theo hệ thức Vi-ét x1 + x2 = 

b
b
=> x2 =  - x1 = ?
a
a

TIẾT 8: ỨNG DỤNG HỆ THỨC VI-ÉT GIẢI BÀI TOÁN
TÌM HAI SỐ KHI BIẾT TỔNG VÀ TÍCH
I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ :
Nếu hai số u và v có tổng là S và có tích là P thì ta tìm u và v theo các bước
sau:
Bước 1: Điều kiện để tồn tại hai số u và v là S2 – 4P  0.
Bước 2: Giải phương trình x2- Sx + P= 0
Tính  = S2- 4P
 S 
2
 S 
x2 =
2

x1 =

.

Bước 3: Hai số cần tìm là x1, x2

I.BÀI TẬP MẪU
Bài 1: Tìm hai số khi biết tổng của chúng là S = 3 và tích là P = 2.
Giải
Bước 1: S2 - 4P = 32 - 4.2 = 9 – 8 = 1>0 => tồn tại hai số.
Bước 2: Gọi hai số cần tìm là u và v và nó là nghiệm của phương trình:
x2 - 3x + 2 = 0. Ta có:  = S2 - 4P = 32 - 4.2 = 9 – 8 = 1
x1 =

 ( 3)  1
=1;
2

x2 =

 ( 3)  1
�
= 2 BAC
2

Bước 3: Vậy hai số cần tìm là 1 và 2.
Bài 2: Tìm hai số khi biết tổng của chúng là S = 4 và tích là P = 5.
Giải
S2 - 4P = 42 - 4.5= 16 – 20 = - 4 < 0 => không tồn tại hai số.
III. BÀI TẬP TỰ LUYỆN:
Bài 1: Tìm hai số u và v trong các trường hợp sau:
a) u + v = 1, uv = -6;
b) u + v = -5, uv = 6
c) u + v = 2, uv = 2
Giải:
a) Ta có: S2 - 4P = 12 - 4.(-6) = 25 > 0 => tồn tại hai số.

Gọi hai số cần tìm là u và v, u và v là nghiệm của phương trình:
x2 - x - 6 = 0. Ta có:  = S2 - 4P = (-1)2 - 4.1.(-6) = 25;
x1 =

1 5
3;
2

x2 =

1 5
�
 2 BAC
2

Vậy hai số cần tìm là 3 và -2.
b) Ta có: S2 - 4P = (-5)2 - 4.6 = 1>0 => tồn tại hai số.
11


Gọi hai số cần tìm là u và v, u và v là nghiệm của phương trình:
x2 + 5x + 6 = 0.
Ta có:  = S2 - 4P = 52 - 4.1.6 = 1;
x1 =

5  1
 2 ;
2

x2 =

5  1
�
 3 BAC
2

Vậy hai số cần tìm là -2 và -3.
c) Ta có: S2 - 4P = 22 - 4.2 = -4 < 0 => không tồn tại hai số u và v.
Bài 2:
a) Tìm hai số khi biết tổng của chúng là S = 32 và tích là P = 231.
b) Tìm hai số khi biết tổng của chúng là S = -8 và tích là P = -105.
c) Tìm hai số khi biết tổng của chúng là S = 2 và tích là P = 9.
Hướng dẫn:
a) Tìm điều kiện để hai số tồn tại S2 - 4P = 322 – 4.231=…
Tính  =……… x1 = ……
x2 =……
Vậy hai số cần tìm là……….
b) Tìm điêu kiện để hai số tồn tại S2 - 4P = (-8)2 – 4.(-105)=…
Tính  =……… x1 = ……
x2 =……
Vậy hai số cần tìm là……….
c) Tìm điêu kiện để hai số tồn tại S2 - 4P = 22 – 4.9 =…
Vậy có tồn tại hai số không ?………
Tiết 9: BÀI TẬP
Câu 1: Cho phương trình x2 + (2m + 1) x + m2 + 1 = 0

(1)

a) Giải phương trình (1) khi m = 1
b) Tìm m để phương trình (1) có 2 nghiệm âm.

Giải
2

2

x + (2m + 1) x + m + 1 = 0 (1)
a) Khi m = 1 ta có phương trình: x2 + 3x + 2 = 0
Vì a = 1; b = 3; c = 2 => a - b + c = 0
Vậy phương trình có x1 = - 1; x2 = - 2
b) Phương trình (1) có 2 nghiệm âm khi và chỉ khi:
� 3
�
(2m  1)2  4(m 2  1) �0
� �0
m�
�
4m  3 �0
�
�
3
�
�
S0 � �
(2m  1)  0
��
�� 4 � m� .
�
2m  1  0
1
4

�
�P  0
�
�
2
m


m

1

0
�
�
�
2

Câu 2: Cho phương trình x2 + 2 (m - 1) x + m + 1 = 0 với m là tham số.
Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình có đúng 2 nghiệm phân biệt.
Giải:
Đặt x = t, được t2 + 2(m - 1)t + m + 1 = 0 (1)
Phương trình có đúng 2 nghiệm phân biệt <=> (1) có 2 nghiệm khác dấu hoặc (1) có
nghiệm kép t > 0
12


+) (1) Có 2 nghiệm khác dấu <=> m + 1 < 0 <=> m < -1
m0
�

+) ' = 0 <=> m2 - 3m = 0 <=> �
m3
�

Thay vào (1) để xét thì m = 0 thỏa mãn, m = 3 bị loại.
Vậy m < - 1 hoặc m = 0.
Câu 3: Cho phương trình: x4 - 5x2 + m = 0 (1)
a) Giải phương trình khi m = 4.
b) Tìm m để phương trình (1) có đúng 2 nghiệm phân biệt.
Giải:
a) Với m = 4 ta có x4 - 5x2 + 4 = 0
Đặt x2 = t , với t �0 ta có pt t2 - 5t + 4 = 0 <=> t1 = 1; t2 = 4
�
x2  1
x  �1
�
��
Từ đó, ta được: �2
.
x  �2
x 4
�
�
Vậy phương trình có 4 nghiệm x  �1; x  �2.

b) x4 - 5x2 + m = 0 (1) có dạng f(y) = y2 - 5y + m = 0 (2) (với y = x2 ; y > 0)
Phương trình (1) có đúng 2 nghiệm phân biệt <=> phương trình (2):
� 25
0

m
�
25
�
��
4 �m
1) Hoặc có nghiệm kép khác 0 <=> �
.
f (0) �0
4
�
�
m
�
0
�

2) Hoặc có 2 nghiệm khác dấu � m  0 .
Vậy m =

25
hoặc m < 0 thì phương trình (1) có đúng 2 nghiệm phân biệt
4

Câu 4: Cho phương trình: x2 - 2(m - 1)x + m + 1= 0.
a) Giải phương trình khi m = - 1.

(1)
x

x

1
2
b) Tìm m để phương trình (1) có 2 nghiệm x1, x2 thoả mãn x  x 4 .
2
1

Giải:
a) Với m = - 1 ta được phương trình:
x2 + 4x = 0 <=> x(x + 4) = 0 <=> x = 0 ; x = - 4
b) Phương trình (1) có nghiệm khi ' > 0 <=> (m -1)2 - (m+ 1) = m2 - 3m = m(m - 3)
>0
<=> m > 3 ; m < 0. (1)
Khi đó theo hệ thức Viét ta có: x1 + x2 = 2(m - 1) và x1x2 = m + 1 (2)
x x
(x  x )  2x1x 2
1
2
Ta có: x  x = 1 2  1 2
.
x1 x 2
x 1x 2
2
1
x

x

2

2

2

x1 x 2
(x1  x 2 ) 2  2x1x 2

4�
 4 � (x1  x 2 ) 2  6x1x 2
nên
x 2 x1
x1 x 2

(3)

Từ (2). (3) ta được: 4(m - 1) 2 = 6(m + 1) <=> 4m2 - 8m + 4 = 6m + 6 <=> 2m 2 - 7m 1=0
13


 m = 49 + 8 = 57 nên m =

7

57
4

<0;m=

7  57

> 0.
4

Đối chiếu đk (1) thì cả 2 nghiệm đều thoả mãn.

Chuyên đề II. HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN
Tiết 1: PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN,
HỆ HAI PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN
I. KIẾN THỨC CƠ BẢN
1. Nhắc lại về phương trình bậc nhất hai ẩn.
Phương trình bậc nhất hai ẩn x và y là hệ thức dạng:
ax + by = c (1)
14


trong đó a,b và c là các số đã biết, (a ≠ 0 hoặc b ≠ 0).
Nghiệm của phương trình là cập số (x0 ; y0) thỏa mãn ax0 + by0 = c
Ví dụ: Các phương trình:
3x - y = 2 có nghiệm là (1;1) hoặc (2;4) ....
Vì 3.1 – 1 = 2 và 2.3 – 4 = 2 .......
x + 5y = 0 có nghiệm là (-5;1) hoặc (-10;2) ....
vì -5 + 5.1 = 0 và -10 + 5.2 = 0 ....
2. Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn
Cho hai phương trình bậc nhất hai ẩn ax + by = c và a’x + b’y = c’ khi đó ta có hệ
phương trình bậc nhất hai ẩn:
ax + by = c (2)
�
(I) �
a'x + b'y = c' (3)
�

Nếu hai phương trình (2) & (3) của hệ (I) có nghiệm chung (x0;y0) thì
(x0;y0) là một nghiệm của hệ (I).
2x + y = 3 �
2y = 3
2x + y = 0
�
�
Ví dụ 1: �
; �
;�
là các hệ phương trình bậc nhất
3x + y = 1 �
2x +4 y = 1 �
3x = 1
�
2 ẩn.
+) Nếu hai phương trình (2) & (3) của hệ (I) có nghiệm chung (x 0;y0) thì (x0;y0) là
một nghiệm của hệ (I).
2x  y  4
�
Ví dụ 2: �
có một cặp nghiệm (1;2),
x  y  1
�
2.1  2  4
�
Vì khi thay x = 1 và y = 2 vào hệ phương trình ta có �
vậy căp (1;2) thỏa
( 1)  2  1
�

2x  y  4
�
mãn hệ �
.
x  y  1
�

+) Nếu hai phương trình không có nghiệm chung thì ta nói hệ (I) vô nghiệm
3x  2 y  1
�
Ví dụ 3: �
Hệ vô nghiệm.
6 x  4 y  2
�
ax  by  c
�
�a ' x  b ' y  c '

+ Cho hệ phương trình �

Hệ có nghiệm duy nhất khi

a b
�
a' b'

II. BÀI TẬP MẪU.
�2 x  3 y  5
(II)
7x  4 y  3

�

Bài 1 Cho hệ phương trình. �

Hãy kiểm tra xem trong các cập số sau cặp số nào là nghiệm của hệ II.
15


A.(2;3)

B.(5;8)

C(10;-5)

D(1;1)
2 x0  3 y0  5
�
thỏa
7 x0  4 y0  3
�

Hướng dẫn: Để một cập số (x0;y0) là nghiệm của hệ (II) thì �

mãn hệ phương trình, tức là thay x  x0và y=y0 vào hệ phương trình phải thỏa
mãn.
Lời gải:
- Với A.(2;3) tức là thay x = 2,y = 3 vào hệ phương trình II ta có
�2.2  3.3 �5
�
không thỏa mãn vậy (2;3) không là nghiệm của hệ phương trình II.

7.2  4.3 �3
�

- Với B.(5;8) tức là thay x = 5,y = 8 vào hệ phương trình II ta có
�2.5  3.8 �5
�
không thỏa mãn vậy (5;8) không là nghiệm của hệ phương trình II.
7.5  4.8  3
�

- Với C(10;-5) tức là thay x = 10,y = -5vào hệ phương trình II ta có
�2.10  3.( 5)  5
�
không thỏa mãn vậy (10;-5) không là nghiệm của hệ phương
7.2  4.1 �3
�

trình II.
- Với C(1;1) tức là thay x = ,y = 1vào hệ phương trình II ta có
2.1  3.1  5
�
�
thỏa mãn vậy (1;1) là nghiệm của hệ phương trình II
7.1  4.1  3
�

Như vậy một cập số (x0;y0) là nghiệm của hệ (I) khi thay x  x0và y=y 0 vào hệ
ax + by = c (2)
�
phương trình �

phải thỏa mãn cả hai phương trình.
a'x
+
b'y
=
c'
(3)
�
III. BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Hãy kiểm tra xem mỗi cặp số sau có phải là một nghiệm của hệ phương trình
tương ứng hay không:
 7 x  5 y  53
  2 x  9 y  53

a) (-4 ; 5) 
b) (3 ; 11)

 x  y 2

  2 x  y 3

Tiết 2
GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN
BẰNG PHƯƠNG PHÁP THẾ
I. KIẾN THỨC CƠ BẢN
*) Quy tắc thế:
- Quy tắc: (SGK. Trang 13)
DẠNG 1. HỆ PHƯƠNG TRÌNH CÓ MỘT NGHIỆM.
16

ax  by  c
�
�a ' x  b ' y  c '

Cho hệ phương trình �

Hệ có nghiệm duy nhất khi

a b
�
a' b'

II. BÀI TẬP MẪU.
Bài 1: Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp thế:
�
�x  3 y  2
�
�2 x  5 y  1

 1
 2

Hướng dẫn:
- Từ phương trình (1) ta có thể viết (1) � x = 3y + 2
Thay x = 3y + 2 vào phương trình (2) của hệ ta được phương trình bậc nhất một ẩn là
-2 (3y + 2) + 5y = 1 1'
� -6y - 4 + 5y = 1
� -y= 5
� y = -5

Thay y = -5 vào phương trình (1) hoặc (2) chẳng hạn ta thay vào phương trình (1) ta
có x – 3.(-5) = 2
� x = -13
Như vậy nghiệm của hệ phương trình là (-13;-5)
Lời giải.
Từ phương trình (1) biểu diễn x theo y, ta có x = 3y + 2  *)
Thế phương trình * vào phương trình (2), ta được :
-2 (3y + 2) + 5y = 1 1'
Dùng phương trình 1' thay thế cho pt  2
Và dùng phương trình * thay thế cho phương trình 1 , ta được hệ mới:
 x 3 y  2

  2 3 y  2   5 y 1

Giải hệ phương trình  I 
 x 3 y  2
 x 3 y  2
 x  13
 
 
 
  2 3 y  2   5 y 1
 y  5
 y  5
Vậy hệ  I  có nghiệm duy nhất (x;y) =   13; 5

I

Ví dụ 2: Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp thế:

 II 

�x  2 y  4
�
2x  y  3
�

Hướng dẫn:
Từ phương trình 2x – y = 3 ta có y = 2x - 3 thay vào phương trình
x + 2y = 4 ta được phương trình 5x – 6 = 4  x = 2
Thay x = 2 vào phương trình 2x – y = 3 ta có y = 1
17


Vậy hệ phương trình (II) đã cho có nghiệm  2;1
Lời giải: Ta có:

 II 

�x  2  2 x  3  4
5x  6  4
�
�x  2
 x 2
��
��
��

�y  2 x  3
�y  2 x  3

�y  2 x  3
 y 1

Vậy hệ  II  có nghiệm duy nhất (x;y) =  2;1
- Như vậy hai phương trình trong hệ có vai trò như nhau, ta có thể rút một ẩn từ một
trong hai hệ phương trình và thế vào phương trình còn lại.
- Nhờ có phương pháp thế ta có thể tạm thời khử một ẩn của hệ để được phương
trình bậc nhất một ẩn.
- Thay ẩn vừa tìm được vào một trong hai phương trình để tìm ẩn còn lại
ặp số tìm được (x0;y0) là nghiệm của hệ phương trình đã cho.
II. BÀI TẬP TỰ LUYỆN.
Bài 1: Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp thế:
�x  y  3
3x  4 y  2
�

(III) �

Giải: Ta có:
�x  y  3

�x  y  3
�x  y  3 �x  10
��
��
��
3  y  3  4 y  2
3y  9  4 y  2
 y  7
�

�
�
�y  7

 III  �
�

Vậy hệ (III) có nghiệm duy nhất (x;y) = (10;7)
Bài 2: Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp thế:

 IV 

3 x  2 y  11
�
�
�4 x  5 y  3

Giải:
Nhận xét: Ta phải chia cả hai vế của một trong hai phương trình trên cho hệ số của x
hoặc y.
3
�5
3 x  2 y  11 �
3( y  )  2 y  11
�
�x  7
�
�4
4
��

Ta có:  IV  � � 5
3 ��
x y 
�y  5
�
�x  5 y  3
� 4
4
� 4
4

Vậy hệ (IV) có nghiệm duy nhất (x;y) = (7;5)

Tiết 3. GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN
BẰNG PHƯƠNG PHÁP THẾ
I. KIẾN THỨC CƠ BẢN
DẠNG 2. HỆ PHƯƠNG TRÌNH CÓ VÔ SỐ NGHIỆM VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH
VÔ NGHIỆM.
18


ax  by  c
�
�a ' x  b ' y  c '

Cho hệ phương trình �

a b c
 
a' b' c'

a b c
- Hệ vô nghiệm khi  �
a' b' c'

- Hệ vô số nghiệm khi

II. BÀI TẬP MẪU.
Bài 1.Giải hệ phương trình.

 I

�4 x  2 y  6
�
�2 x  y  3
2

�4

6

�

Ta thấy �    2 �� hệ (I) có vô số nghiệm.
3
�2 1
�
Ta thử kiểm tra lại bằng phương pháp thế:
Áp dụng phương pháp thế ta có.
�
4 x  2  2 x  3   6

 I � �
�

�y  2 x  3
�x �R
��
�y  2 x  3

�y  2 x  3
��
0x  0
�

Vậy hệ phương trình (I) có vô số nghiệm.
ax  by  c
�
�a ' x  b ' y  c '

Như vậy cho hệ phương trình �
Hệ vô số nghiệm khi

a b c
  .
a' b' c'

Bài 2. Giải hệ phương trình.
4x  y  2
�
8x  2 y  1

�

 II  �

�4
�

1

2�

Ta thấy �  � �hệ phương trình II vô nghiệm.
8 2 1
�

Sử dụng phương pháp thế ta có.
�y  2  4 x

�y  2  4 x
�y  2  4 x
��
��
8x  2  2 x  4  1 �
0 x  3  *
8x  4  8x  1 �
�

 III  � �
�

Không có x thoả mãn phương trình  * .
Vậy hệ phương trình (III) vô nghiệm.
ax  by  c
�
�a ' x  b ' y  c '

Hệ phương trình �
Hệ vô nghiệm khi

a b c
 �
a' b' c'

III. BÀI TẬP TỰ LUYỆN.
19


Bài 1. Tìm số nghiệm của các hệ phương trình sau.
4 x  5 y  20
�
0,8 x  y  4
�

a.  III  �
�4

5

20

�

Ta thấy �    5 �� hệ (II) có vô số nghiệm.
�0,8 1 4
�
10 x  16 y  12
�
5x  8 y  6
�

b. ( IV ) �

10 16 12


=2 vậy hệ phương trình (IV) có vô số nghiệm
5
8
6
4 x  5 y  20
�
c.  V  �
2 x  2,5 y  5
�

Ta thấy

4

5

20

Ta thấy 2  2,5 � 5
Vậy hệ phương trình (V) vô nghiệm.

Tiết 4. GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH
BẰNG PHƯƠNG PHÁP CỘNG ĐẠI SỐ
I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
�ax  by  c
�a ' x  b ' y  c '

Muốn giải hệ phương trình �

(1)
bằng phương pháp cộng đại số ta làm
(2)

như sau:
1) Nhân hai vế của mỗi phương trình với một số thích hợp (nếu cần) sao cho các hệ
số của một ẩn nào đó trong hai phương trình của hệ bằng nhau hoặc đối nhau.
2) Trừ hoặc cộng từng vế hai phương trình trong hệ ta được một phương trình một ẩn.
Thay thế phương trình một ẩn này cho một trong hai phương trình của hệ (giữ nguyên
phương trình kia), ta được hệ phương trình mới.
3) Giải phương trình một ẩn trong hệ mới tìm được giá trị của ẩn đó. Thay giá trị mới
tìm được vào phương trình còn lại ta tìm được giá trị tương ứng của ẩn kia.
II. BÀI TẬP MẪU
*Dạng 1: Các hệ số của cùng một ẩn trong hai phương trình bằng nhau
�4 x  7 y  16
�4 x  3 y  24

Ví dụ 1: Giải hệ phương trình: �

(1)
(2)

Cách giải: Hệ số của ẩn x bằng nhau, trừ vế với vế hai phương trình ta được
phương trình bậc nhất một ẩn : 10 y  40
Giải phương trình này ta được y = 4. Thay y = 4 vào phương trình (2) ta được
4x + 7.4 = 16  x = - 3.
Ta trình bày lời giải như sau:
10 y  40
(1)
�4 x  7 y  16
�
�y  4
�y  4
��
 �
�
�
4 x  7 y  16 (2)
4 x  7 y  16
�4 x  3 y  24
�
�
�x  3

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x; y) = (-3; 4)
20

* Nhận xét: Ta có thể thay y = 4 vào một trong hai phương trình ban đầu của
hệ, không nhất thiết là chỉ thay vào PT thứ 2
*Dạng 2. Hệ số của cùng một ẩn trong hai phương trình đối nhau
3x  y  3 (1)
�
�2 x  y  7 (2)

Ví dụ 2: Giải hệ phương trình: �

Nhận xét: Hệ số của ẩn y đối nhau, cộng vế với vế hai phương trình ta được:

5 x  10

Giải phương trình này ta được x = 2 thay x = 2 vào phương trình (2) ta được: 2.2 –y
= 7  y = -3.
Ta có thể trình bày lời giải như sau:
3x  y  3
�
�
2x  y  7
�

5 x  10
�
�x  2
� �
��
2x  y  7

�
�y  3

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x; y) = (2; -3)
III. BÀI TẬP TỰ LUYỆN.
Giải các hệ phương trình sau:
�2 x  5 y  8 (1)
�2 x  3 y  0 (2)

a) �

�2 x  5 y  8
Giải: �
�2 x  3 y  0

(I)
�y  1
8y  8
�
�y  1
�
��
��
�� 3
2x  3y  0
2 x  3.1  0
x
�
�
�

� 2

�3 �
� �

Vậy � ;1�là nghiệm của hệ phương trình (I)
2
2x  5 y  2
(1)
�
(II)
2 x  5 y  5 (2)
�

b) �

Cộng từng vế hai phương trình của hệ đã cho ta được:
0 x  0 y  3 phương trình này vô nghiệm
Vậy hệ đã cho vô nghiệm
2 x  11 y  7
�
10 x  11 y  31
�

c) �

(III)

Cộng từng vế hai phương trình của hệ đã cho và giữ nguyên phương trình thứ 2
12 x  24

�
�x  2
��
10 x  11 y  31 �y  1
�

ta được: �

Vậy nghiệm của hệ (III) là (2;1)

Tiết 5. GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH
BẰNG PHƯƠNG PHÁP CỘNG ĐẠI SỐ (tiếp)
I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
21


II. BÀI TẬP MẪU.
* Dạng 3: Các hệ số của cùng một ẩn trong hai phương trình không bằng nhau
hoặc không đối nhau
�4 x  3 y  6
�2 x  y  4

Ví dụ 3: Giải hệ phương trình: �

(1)
(2)

Nhận xét: Ta tìm cách đưa hệ phương trình đã cho về dạng 1 hoặc dạng 2 đã học
bằng một trong những cách sau:
�4 x  3 y  6

�4 x  2 y  8

- Nhân cả hai vế của phương trình 2 với 2, ta được HPT: �

�4 x  3 y  6
6 x  3 y  12
�

- Nhân cả hai vế của phương trình 2 với 3, ta được HPT: �
Ta có thể trình bày lời giải như sau:
4x  3 y  6
4x  3y  6
�
�
�y  2
�y  2
��
��
��
�
2x  y  4
4x  2 y  8 �
2x  y  4
�
�
�x  3

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x; y) = (3; -2)
3 x  2 y  11
�

bằng phương pháp cộng đại số.
�4 x  5 y  3

Ví dụ 4: Giải HPT �

Nhận xét: Ta tìm cách đưa hệ phương trình đã cho về dạng 1 hoặc dạng 2 đã học
bằng một trong những cách sau:
- Nhân hai vế của PT (1) với 4, hai vế của PT (2) với 3, ta được hệ phương trình
12 x  8 y  44
�
12 x  15 y  9
�

mới có dạng 1: �

- Nhân hai vế của PT (1) với 5, hai vế của PT (2) với 2, ta được hệ phương trình
15 x  10 y  55
�
8 x  10 y  6
�

mới có dạng 1: �

3 x  2 y  11
�
�4 x  5 y  3

Sử dụng cách thứ nhất ta có thể trình bày lời giải như sau: �
12 x  8 y  44 �
7 y  35

�
�y  5
��
��
��
12 x  15 y  9
�
�4 x  5 y  3 �x  7

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x; y) = (7; 5)
III. BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp cộng đại số:
2 x  3 y  2
�
3 x  2 y  3
�

a. �

2 x  3 y  2
6 x  9 y  6
13 y  0
�
�
�
�y  0
��
��
��
3 x  2 y  3

6 x  4 y  6
3x  2 y  3 �x  1
�
�
�

Giải: �

Vậy hệ phương trình có nghiệm là (-1 ; 0)
2x  7 y  2
�
6 x  11 y  26
�

b. �

22


2x  7 y  2
6 x  21 y  6
�
�
�x  8
��
��
6 x  11 y  26
6 x  11y  26
�
�

�y  2

Giải: �

Vậy HPT đã cho có nghiệm duy nhất (x;y) = (8;2)
�4 x  2 y  6
�2 x  y  3

c. �

4 x  2 y  6
4 x  2 y  6
0x  0 y  0
�
�
�
��
��
2 x  y  3
4 x  2 y  6
2 x  y  3
�
�
�

Giải: �

�x �R
��
�y  2 x  3

Vậy hệ đã cho có vô số nghiệm.
�2 x  3 y  6
�4 x  6 y  3

d. �

2 x  3 y  6
4 x  6 y  12
0 x  0 y  9 (*)
�
�
�
��
��
4 x  6 y  3
4 x  6 y  3
2 x  3 y  6
�
�
�

Giải: �

PT (*) vô nghiệm, vậy hệ đã cho vô nghiệm.
Tiết 6. GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH
BẰNG PHƯƠNG PHÁP CỘNG ĐẠI SỐ (tiếp)
I. KIẾN THỨC CƠ BẢN
II. BÀI TẬP MẪU
Dạng 4. Hệ phương trình có thể đưa được về hệ phương trình bậc nhất hai ẩn

�
�2  x  y   3  x  y   4
Ví dụ 1: Giải hệ phương trình: �
 x  y  2  x  y  5
�

Nhận xét: Hệ đã cho chưa có dạng tổng quát của hệ phương trình bậc nhất hai ẩn, ta
có thể đưa hệ này về dạng HPT bậc nhất hai ẩn ở dạng tổng quát bằng cách đặt ẩn
phụ:
�x  y  u
�x  y  v

Đặt �

2u  3v  4
�
u  2v  5
�

ta được HPT: �

�u  7
�v  6

Giải hệ đã cho với biến u, v ta được �

1
�
x
�

x

y


7
2x


1
�
�
�
2
��
��
Suy ra: �
�x  y  6
�x  y  7
�y   13
�
2
1
�2

�
Vậy hệ đã cho có nghiệm � ; 

13 �
�

2�

�1 1
�x  y  1
�
Ví dụ 2: Giải hệ phương trình sau: �
�3  4  5
�
�x y

23


Nhận xét: Hệ đã cho chưa có dạng tổng quát của hệ phương trình bậc nhất hai ẩn, ta
có thể đưa hệ này về dạng HPT bậc nhất hai ẩn ở dạng tổng quát bằng cách đặt ẩn
phụ như sau:
�1
u
�
�x
Đặt �1
� v
�y

ta được hệ phương trình :

� 2
v
�
u v 1

3u  3v  3
7 v  2
�
�
�
� 7
��
��
��
�
3u  4v  5
3u  4v  5 �
u v 1
9
�
�
�
u
� 7
�1 2
� 7

x
�
�
�x 7
� 2
Suy ra: �1 9 � �
� 
�y  7

� 9
�y 7
�7 7 �

Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhất � ; �
�2 9 �
III. BÀI TẬP TỰ LUYỆN.
�1 1
 3
a) �
�x y
�
�1  2  3
�
�x y

�1
u
�
�x
Đặt �1
� v
�y

(I)

(1)

uv 3
3u  3

u 1
�
�2u  2v  6 �
�
��
��
��
(2)
u  2v  3 �
u  2v  3 �
u  2v  3 �
v2
�

(I) � �

Thay (2) vào (1) ta được:
�1
1
�x  1
�
�x
�
�� 1
�1
y
� 2
�
�
2

�y
�1
�x  1 
�
b) �
�3 
�
�x  1

2
1
y 1
1
 4
y 1

(II)

�1
u
�
�x  1
Đặt � 1
�
v
�y  1

(3)

u  2v  1

u  2v  1
7u  7
u  1
u  1
�
�
�
�
�
��
��
��
��
(4)
3u  v  4 �
6u  2v  8
u  2v  1 �
u  2v  1 �
v 1
�
�

(II) � �

Thay (4) vào (3) ta được:
�1
 1
�
1  ( x  1)
�

�x  2
�x  1
��
��
�1
1  y 1
�
�y  2
�
1
�y  1
24


�2
�x  1 
�
c) �
�1 
�
�x  1

1
3
y 1
(III)
3
 1
y 1

�1
u
�
�x  1
Đặt � 1
�
v
�y  1

(5)

CHUYÊN ĐỀ 3 GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH,
HỆ PHƯƠNG TRÌNH
PHÂN PHỐI CHƯƠNG TRÌNH

Nội dung
I. GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH
Dạng toán số - chữ số
Dạng toán chuyển động
Dạng toán chuyển động (Tiếp)
Dạng toán năng suất
II.GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH
Dạng toán số - chữ số
Dạng toán chuyển động

Tiết thứ
1
2
3
4

5
6
25