Performance analysis of general hybrid TSR-PSR energy harvesting protocol for amplify and forward half duplex relaying networks

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tr❛♥s♠✐ss✐♦♥ ❛♥❞ ❡♥❡r❣② ❤❛r✈❡st✐♥❣ ♣r♦❝❡ss❡s ✐s
❡♠♣❧♦②❡❞ ❛t r❡❧❛② ♥♦❞❡✱ ❛s ✐❧❧✉str❛t❡❞ ✐♥ ❋✐❣✳ ✷✳
❚❤❡ ❡♥t✐r❡ s②♠❜♦❧ s❧♦t ✐s ❞❡♥♦t❡❞ ❜② T ✱ ✇❤✐❝❤
✐s ❞✐✈✐❞❡❞ ✐♥t♦ t❤r❡❡ ✐♥t❡r✈❛❧s✳ ❚❤❡ ✜rst ♣♦rt✐♦♥
♦❢ t✐♠❡ βT ✐s ✉s❡❞ ❢♦r ❡♥❡r❣② ❤❛r✈❡st✐♥❣ ❢r♦♠
t❤❡ s♦✉r❝❡ ♣♦✇❡r PS ✳ ■♥ t❤❡ s❡❝♦♥❞ ✐♥t❡r✈❛❧✱
✇❤♦s❡ ❧❡♥❣t❤ ✐s αT ✱ t❤❡ s♦✉r❝❡ s✐❣♥❛❧ ✐s ❞✐✈✐❞❡❞
✐♥t♦ t✇♦ str❡❛♠s✳ ❉✉r✐♥❣ t❤✐s ✐♥t❡r✈❛❧✱ ❛ ❢r❛❝t✐♦♥
♦❢ t❤❡ ♣♦✇❡r ρPS ✐s ✉s❡❞ ❢♦r ❡♥❡r❣② ❤❛r✈❡st✐♥❣
❢r♦♠ t❤❡ s♦✉r❝❡ s✐❣♥❛❧ ❜② t❤❡ r❡❧❛② ♥♦❞❡✱ ❛♥❞

t❤❡ ♦t❤❡r ❢r❛❝t✐♦♥ (1 − ρ)PS ✐s ✉s❡❞ ❢♦r ❞❡❝♦❞✐♥❣
t❤❡ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥ s✐❣♥❛❧ s❡♥t ❢r♦♠ t❤❡ s♦✉r❝❡✳ ❚❤❡
r❡♠❛✐♥✐♥❣ ✐♥t❡r✈❛❧ ♦❢ t❤❡ ❧❡♥❣t❤ T − αT − βT ✐s
✉s❡❞ ❢♦r ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥ ❢♦r✇❛r❞✐♥❣ ❢r♦♠ t❤❡ r❡❧❛②
t♦ t❤❡ ❞❡st✐♥❛t✐♦♥ ♥♦❞❡✳ ❖❜✈✐♦✉s❧②✱ 0 ≤ α ≤ 1
❛♥❞ 0 ≤ β ≤ 1✳ ■❢ α = 0✱ t❤✐s s❝❤❡♠❡ ❜❡❝♦♠❡s
P❙❘✳ ■❢ β = 1−α
2 ❛♥❞ ρ = 0 t❤❡♥ ✐t ❜❡❝♦♠❡s t❤❡
❚❙❘ ♣r♦t♦❝♦❧✳

❋✐❣✳ ✷✿ ●❡♥❡r❛❧ ❤②❜r✐❞ ❚❙❘✲P❙❘ r❡❧❛②✐♥❣ ♣r♦t♦❝♦❧✳

t✐✈❡❧②✳ ❆❧❧ ❝❤❛♥♥❡❧s ❛r❡ ❛ss✉♠❡❞ ❛s ❘❛②❧❡✐❣❤ ❢❛❞✲
✐♥❣ ❝❤❛♥♥❡❧s✱ ✇❤✐❝❤ ❦❡❡♣ ❝♦♥st❛♥t ❞✉r✐♥❣ ❡❛❝❤
tr❛♥s♠✐ss✐♦♥ ❜❧♦❝❦ ✭s❧♦✇ ❢❛❞✐♥❣✮✳ ❆s ❛ r❡s✉❧t✱
|h|2 ✐s ❛♥ ❡①♣♦♥❡♥t✐❛❧ r❛♥❞♦♠ ✈❛r✐❛❜❧❡ ✇✐t❤ ♣❛✲
r❛♠❡t❡r λh ✱ ❛♥❞ |g|2 ✐s ❛❧s♦ ❡①♣♦♥❡♥t✐❛❧❧② ❞✐s✲
tr✐❜✉t❡❞ ✇✐t❤ ♣❛r❛♠❡t❡r λg ✳
✷✳✶✳

❊♥❡r❣② ❍❛r✈❡st✐♥❣ P❤❛s❡

❉✉r✐♥❣ t❤❡ ❡♥❡r❣② ❤❛r✈❡st✐♥❣ ♣❤❛s❡✱ t❤❡ r❡❝❡✐✈❡❞
s✐❣♥❛❧ ❛t t❤❡ r❡❧❛② ♥♦❞❡ ❝❛♥ ❜❡ ❡①♣r❡ss❡❞ ❛s
✭✶✮

ye = hxe + nr

✇❤❡r❡ xe ✐s t❤❡ ❡♥❡r❣②✲tr❛♥s♠✐tt❡❞ s✐❣♥❛❧ ✇✐t❤
E[|xe |2 ] = Ps ✭✇❤❡r❡ E[·] ❞❡♥♦t❡s t❤❡ ❡①♣❡❝t❛✲

t✐♦♥ ♦♣❡r❛t✐♦♥✮ ❛♥❞ nr ✐s t❤❡ ③❡r♦✲♠❡❛♥ ❛❞❞✐✲
t✐✈❡ ✇❤✐t❡ ●❛✉ss✐❛♥ ♥♦✐s❡ ✭❆❲●◆✮ ✇✐t❤ ✈❛r✐✲
❛♥❝❡ N0 ✳ ❚❤❡ ❡♥❡r❣② ❤❛r✈❡st❡❞ ❛t t❤❡ r❡❧❛② ♥♦❞❡
✐s t❤❡ ❝♦♠❜✐♥❛t✐♦♥ ♦❢ t✇♦ ❝♦♠♣♦♥❡♥ts✿ t❤❡ ✜rst
♦♥❡ ✐s t❤❡ r❡❝❡✐✈❡❞ ❡♥❡r❣② ❞✉r✐♥❣ t❤❡ ✜rst ✐♥t❡r✲
✈❛❧ ❛s ✐♥ ❋✐❣✳ ✷✱ ✐✳❡✳ ❢r♦♠ ❚❙❘ ♣r♦t♦❝♦❧✱ ✇❤✐❧❡
t❤❡ s❡❝♦♥❞ ♦♥❡ ❝♦♠❡s ❢r♦♠ t❤❡ P❙❘ ✐♥t❡r✈❛❧✿
2

2

Eh = ηPs |h| αT + ηρPs |h| βT

✭✷✮

✇❤❡r❡ η ✐s ❛ ❝♦♥st❛♥t ❛♥❞ ❞❡♥♦t❡s t❤❡ ❡♥❡r❣②
❲❡ ❛ss✉♠❡ t❤❛t t❤❡ ❝❤❛♥♥❡❧ st❛t❡ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥
❝♦♥✈❡rs✐♦♥ ❡✣❝✐❡♥❝②✳
❝❛♥ ❜❡ ♦❜t❛✐♥❡❞ ♣❡r❢❡❝t❧②✳ ❚❤❡ ❝❤❛♥♥❡❧s ❢r♦♠
t❤❡ s♦✉r❝❡ t♦ t❤❡ r❡❧❛② ❛♥❞ ❢r♦♠ t❤❡ r❡❧❛② t♦
❚❤❡ r❡❧❛② ✇✐❧❧ ✉s❡ t❤✐s ❡♥❡r❣② t♦ tr❛♥s♠✐t ✐♥✲
t❤❡ ❞❡st✐♥❛t✐♦♥ ❛r❡ ❞❡♥♦t❡❞ ❛s h ❛♥❞ g ✱ r❡s♣❡❝✲ ❢♦r♠❛t✐♦♥ s✐❣♥❛❧ t♦ t❤❡ ❞❡st✐♥❛t✐♦♥ ❞✉r✐♥❣ t❤❡

❝ ✷✵✶✼ ❏♦✉r♥❛❧ ♦❢ ❆❞✈❛♥❝❡❞ ❊♥❣✐♥❡❡r✐♥❣ ❛♥❞ ❈♦♠♣✉t❛t✐♦♥ ✭❏❆❊❈✮

✶✷✸


❱❖▲❯▼❊✿ ✷

| ■❙❙❯❊✿ ✷ | ✷✵✶✽ | ❏✉♥❡

♥❡①t ♣❤❛s❡✱ s♦ t❤❡ r❡❧❛② tr❛♥s♠✐tt❡❞ ♣♦✇❡r ✐♥ s✐❣♥❛❧✲t♦✲♥♦✐s❡✲r❛t✐♦ ❛t t❤❡ ❞❡st✐♥❛t✐♦♥ ♥♦❞❡ ❝❛♥
t❤❛t ♣❤❛s❡ ❝❛♥ ❜❡ ❝❛❧❝✉❧❛t❡❞ ❛s
❜❡ ✇r✐tt❡♥ ❛s
Eh
PR = T −αT
−βT =
2
= κPs |h|

ηPs |h|2 (α+ρβ)
1−α−β

✭✸✮

✇❤❡r❡ κ η(α+βρ)
1−α−β ✳ ◆♦t❡ t❤❛t 0 < α + β < 1✱ t♦
♠❛❦❡ s✉r❡ t❤❛t t❤❡ ❝♦♠♠✉♥✐❝❛t✐♦♥ ✐s ✈❛❧✐❞✳
✷✳✷✳

2

SN R =

2

(1 − ρ)|g| ξ 2 |h| Ps
E{|signal|2 }
=

2
2
E{|noise| }
|g| ξ 2 N0 + N0
✭✼✮

❇② s✉❜st✐t✉t✐♥❣ ✭✸✮ ❛♥❞ ✭✺✮ ✐♥t♦ ✭✼✮✱ ✇❡ ♦❜t❛✐♥

■♥❢♦r♠❛t✐♦♥ ❚r❛♥s♠✐ss✐♦♥
2

P❤❛s❡

SN R =

2

(1 − ρ)|h| |g| Ps
2

|g| N0 +

N02
κPS |h|2

+

N0
κ(1−ρ)

✭✽✮

❚❤❡ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥ tr❛♥s♠✐ss✐♦♥ ♣❤❛s❡ ❧❛sts (1 −
β)T ❛♥❞ ✐s ❞✐✈✐❞❡❞ ✐♥t♦ t✇♦ ❡q✉❛❧✲❧❡♥❣t❤ s✉❜✐♥✲
❉✉❡ t♦ t❤❡ ❢❛❝t t❤❛t PS >> N0 ✱ t❤❡ ❙◆❘ ♥♦✇
t❡r✈❛❧s✳ ■♥ t❤❡ ✜rst ✐♥t❡r✈❛❧✱ t❤❡ r❡❧❛② r❡❝❡✐✈❡s
❝❛♥
❜❡ ❛♣♣r♦①✐♠❛t❡❞ ❝❧♦s❡❧② t♦
t❤❡ ♠❡ss❛❣❡ s✐❣♥❛❧ ❢r♦♠ t❤❡ s♦✉r❝❡✱ ✇❤✐❝❤ ✐s
❣✐✈❡♥ ❜②
(1−ρ)|h|2 |g|2 Ps
N0
|g|2 N0 + κ(1−ρ)
2
2
(1−ρ)κ|h| |g| Ps
κ|g|2 N0 +N0 (1−ρ)

SN R ≈
yr = hxs + nr

✭✹✮

=

✭✾✮

✇❤❡r❡ xs ✐s t❤❡ tr❛♥s♠✐tt❡❞ s✐❣♥❛❧✱ ✇❤✐❝❤ s❛t✐s✲
✜❡s E[|xs |2 = (1 − ρ)PS ❛♥❞ nr ✐s t❤❡ ❆❲●◆
♥♦✐s❡ ❛t r❡❧❛② ♥♦❞❡ ❛s ✐♥ ✭✶✮✳ ■♥ ♦✉r ♠♦❞❡❧✱

✸✳
P❡r❢♦r♠❛♥❝❡ ❆♥❛❧②s✐s
❛♠♣❧✐❢②✲❛♥❞✲❢♦r✇❛r❞ ♣r♦t♦❝♦❧ ✐s ✉s❡❞✱ ❤❡♥❝❡✱ t❤❡
r❡❝❡✐✈❡❞ s✐❣♥❛❧ ❛t r❡❧❛② ✐s ❛♠♣❧✐✜❡❞ ❜② ❛ ❢❛❝t♦r
ξ ✱ ❛♥❞ t❤❡♥ ❢♦r✇❛r❞❡❞ t♦ t❤❡ ❞❡st✐♥❛t✐♦♥ ❞✉r✐♥❣ ❋♦r t❤❡ ♣✉r♣♦s❡ ♦❢ ♣❡r❢♦r♠❛♥❝❡ ❛♥❛❧②s✐s✱ t❤❡
t❤❡ s❡❝♦♥❞ ✐♥t❡r✈❛❧✳ ❚❤❡ ❛♠♣❧✐✜❝❛t✐♦♥ ❢❛❝t♦r ξ ❝♦♠♠✉♥✐❝❛t✐♦♥ ❛♠♦♥❣ t❤❡ s♦✉r❝❡ ♥♦❞❡✱ t❤❡ r❡✲
❧❛② ♥♦❞❡✱ ❛♥❞ t❤❡ ❞❡st✐♥❛t✐♦♥ ♥♦❞❡ ✐♥ ❤❛❧❢✲
✐s ❣✐✈❡♥ ❜②
❞✉♣❧❡① r❡❧❛②✐♥❣ ♥❡t✇♦r❦s ❝❛♥ ❜❡ ❞✐✈✐❞❡❞ ✐♥t♦
√
t❤r❡❡ ❝♦♠♠✉♥✐❝❛t✐♦♥ ♠♦❞❡s ❬✶✸❪✿ ✐♥st❛♥st❛✲
xr
PR
=
✭✺✮ ♥❡♦✉s tr❛♥s♠✐ss✐♦♥✱ ❞❡❧❛②✲❧✐♠✐t❡❞ tr❛♥s♠✐ss✐♦♥✱
ξ=
yr
2
(1 − ρ)Ps |h| + N0
❛♥❞ ❞❡❧❛② t♦❧❡r❛♥t tr❛♥s♠✐ss✐♦♥✳ ❚❤❡s❡ t❤r❡❡
❝♦♠♠✉♥✐❝❛t✐♦♥ ♠♦❞❡s ❝❛♥ ❜❡ ❞✐st✐❣✉✐s❤❡❞ ❢r♦♠
❚❤❡ r❡❝❡✐✈❡❞ s✐❣♥❛❧ ❛t t❤❡ ❞❡st✐♥❛t✐♦♥ ❞✉r✐♥❣ t❤❡ ♦t❤❡rs ❜❛s❡❞ ♦♥ t❤❡ ❛✈❛✐❧❛❜✐❧✐t② ♦❢ t❤❡ ❝❤❛♥✲
t❤❡ s❡❝♦♥❞ ✐♥t❡r✈❛❧ ♦❢ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥ tr❛♥s♠✐ss✐♦♥ ♥❡❧ st❛t❡ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥ ✭❈❙■✮ ❛t t❤❡ r❡❧❛② ✭✐♥ ❢❛❝t✱
♣❤❛s❡ ✐s ❡①♣r❡ss❡❞ ❛s
❈❙■ ✐s ❛❧✇❛②s ❛ss✉♠❡❞ t♦ ❜❡ ❦♥♦✇♥ ❛t t❤❡ ❞❡s✲
t✐♥❛t✐♦♥✮✳ ❋♦r t❤❡ ✐♥st❛♥t❛♥❡♦✉s tr❛♥s♠✐ss✐♦♥
♠♦❞❡✱ t❤❡ ♦♣t✐♠❛❧ t✐♠❡ s♣❧✐t ✐s ✉♣❞❛t❡❞ ❢♦r ❡❛❝❤
❝❤❛♥♥❡❧ r❡❛❧✐③❛t✐♦♥✱ ✇❤✐❝❤ s❤♦✉❧❞ ❜❡ ❝♦♠♣✉t❡❞
yd = gxr + nd = gξyr + nd
❜② ❛ ❝❡♥tr❛❧✐③❡❞ ❡♥t✐t② ❤❛✈✐♥❣ ❛❝❝❡ss t♦ t❤❡

= gξ[hxs + nr ] + nd
❣❧♦❜❛❧ ✐♥st❛♥t❛♥❡♦✉s ❈❙■✳ ❖♥ t❤❡ ♦t❤❡r ❤❛♥❞✱ ❢♦r
= gξhxs + gξnr + nd
✭✻✮ t❤❡ ❞❡❧❛② ❧✐♠✐t❡❞ tr❛♥s♠✐ss✐♦♥ ❛♥❞ ❞❡❧❛② t♦❧❡r❛♥t
noise
signal
tr❛♥s♠✐ss✐♦♥ ♠♦❞❡s✱ ♦♥❧② t❤❡ ❝❤❛♥♥❡❧ st❛t✐st✐❝s
❛r❡ r❡q✉✐r❡❞ t♦ ❝♦♠♣✉t❡ t❤❡ ♦♣t✐♠❛❧ t✐♠❡ s♣❧✐t
■t ✐s ❛ss✉♠❡❞ t❤❛t t❤❡ ❧✐♥❦ ❜❡t✇❡❡♥ s♦✉r❝❡ ❛♥❞ ❬✶✸❪✳ ❋♦r ❞❡❧❛②✲❧✐♠✐t❡❞ tr❛♥s♠✐ss✐♦♥✱ t❤❡ s♦✉r❝❡
❞❡st✐♥❛t✐♦♥ ✐s ✈❡r② ✇❡❛❦✱ s♦ t❤❡ ❝♦♠♠✉♥✐❝❛t✐♦♥ tr❛♥s♠✐ts ❛t ❛ ❝♦♥st❛♥t r❛t❡✱ ✇❤✐❝❤ ♠❛② s✉❜❥❡❝t
✐♥ t❤✐s ✐♥t❡r✈❛❧ r❡❧✐❡s ♠♦st❧② ♦♥ t❤❡ ❢♦r✇❛r❞❡❞ t♦ ♦✉t❛❣❡ ❞✉❡ t♦ t❤❡ r❛♥❞♦♠ ❢❛❞✐♥❣ ♦❢ t❤❡ ✇✐r❡✲
s✐❣♥❛❧ ❢r♦♠ t❤❡ r❡❧❛②✳ ■♥ ✭✻✮✱ nd ✐s t❤❡ ♥♦✐s❡ ❧❡ss ❝❤❛♥♥❡❧✳ ■♥ t❤❡ ❞❡❧❛② t♦❧❡r❛♥t ✭❉❚✮ ❝♦♥t❡①t✱
❛t t❤❡ ❞❡st✐♥❛t✐♦♥✱ ✇❤✐❝❤ ✐s ❛ss✉♠❡❞ t♦ ❤❛✈❡ t❤❡ r❡s♦✉r❝❡ tr❛♥s❢❡rs ❛t ❛♥② ✉♥❝❤❛♥❣❡❞ r❛t❡ ✉♣✲
t❤❡ s❛♠❡ ♣♦✇❡r ❛s nr ✳ ❚❤❡♥ t❤❡ ❡♥❞✲t♦✲❡♥❞ ♣❡r ❜♦✉♥❞❡❞ ❜② t❤❡ ❡r❣♦❞✐❝ ❝❛♣❛❝✐t②✳

✶✷✹

❝ ✷✵✶✼ ❏♦✉r♥❛❧ ♦❢ ❆❞✈❛♥❝❡❞ ❊♥❣✐♥❡❡r✐♥❣ ❛♥❞ ❈♦♠♣✉t❛t✐♦♥ ✭❏❆❊❈✮


❱❖▲❯▼❊✿ ✷

| ■❙❙❯❊✿ ✷ | ✷✵✶✽ | ❏✉♥❡

PS
■♥ t❤✐s s❡❝t✐♦♥✱ ✇❡ ❞❡r✐✈❡ t❤❡ ♦✉t❛❣❡ ♣r♦❜❛❜✐❧✲ ✇❤❡r❡ Q = N
✱ λ = 4λh λg ✱ ❛♥❞ Kn (·) ✐s t❤❡
0
th
✐t② ❛♥❞ t❤r♦✉❣❤♣✉t ♣❡r❢♦r♠❛♥❝❡ ♦❢ t❤❡ ♣r♦♣♦s❡❞ n ♦r❞❡r ♠♦❞✐✜❡❞ ❇❡ss❡❧ ❢✉♥❝t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ s❡❝♦♥❞

s②st❡♠ ❢♦r ❞❡❧❛②✲❧✐♠✐t❡❞ tr❛♥s♠✐ss✐♦♥ ♠♦❞❡ ❛♥❞ ❦✐♥❞✳
t❤❡ ❡r❣♦❞✐❝ ❝❛♣❛❝✐t② ♦❢ t❤❡ s②st❡♠ ❢♦r ❞❡❧❛②✲
t♦❧❡r❛♥t ♠♦❞❡✳ ❚❤❡ ❞❡♣❡♥❞❡♥❝❡ ♦❢ ❛✈❡r❛❣❡
Pr♦♦❢✳ ❚❤❡ ❡q✉❛t✐♦♥ ✭✾✮ ❝❛♥ ❜❡ r❡✇r✐tt❡♥ ❛s
t❤r♦✉❣❤♣✉t ❛♥❞ ♦✉t❛❣❡ ♣r♦❜❛❜✐❧✐t② ❛s ✇❡❧❧ ❛s t❤❡
❡r❣♦❞✐❝ ❝❛♣❛❝✐t② ♦❢ t❤❡ ♣r♦♣♦s❡❞ s②st❡♠ ♦♥ t❤❡
(1 − ρ)κXY Ps
✭✶✷✮
SN R =
t✐♠❡✲s✇✐t❝❤✐♥❣ ❛♥❞ ♣♦✇❡r s♣❧✐tt✐♥❣ ❢❛❝t♦rs ✐s ❛❧s♦
κY N0 + N0 (1 − ρ)
❛♥❛❧②③❡❞ ❛♥❞ t❤❡ ♦♣t✐♠❛❧ t✐♠❡ ❛♥❞ ♣♦✇❡r ❛❧❧♦✲
❝❛t✐♦♥ ✐s ❢♦✉♥❞ ❜② ♥✉♠❡r✐❝❛❧ ❛❧❣♦r✐t❤♠✳
❚❤❡ ♦✉t❛❣❡ ♦❝❝✉rs ✇❤❡♥ t❤❡ SN R ❛t t❤❡ ❞❡s✲
t✐♥❛t✐♦♥ ♥♦❞❡ ❢❛❧❧s ❜❡❧♦✇ t❤❡ t❤r❡s❤♦❧❞ ✈❛❧✉❡✳
❍❡♥❝❡✱ t❤❡ ♦✉t❛❣❡ ♣r♦❜❛❜✐❧✐t② ✐s ❞❡t❡r♠✐♥❡❞ ❜②

✸✳✶✳

❉❡❧❛②✲❧✐♠✐t❡❞

❚r❛♥s♠✐ss✐♦♥s

Pout = Pr(SN R < γ)
❋♦r t❤❡ ❞❡❧❛② ❧✐♠✐t❡❞ tr❛♥s♠✐ss✐♦♥ ❛♥❞ ❞❡❧❛②
t♦❧❡r❛♥t tr❛♥s♠✐ss✐♦♥ ♠♦❞❡s✱ ♦♥❧② t❤❡ ❝❤❛♥♥❡❧
st❛t✐st✐❝s ❛r❡ r❡q✉✐r❡❞ t♦ ❝♦♠♣✉t❡ t❤❡ ♦♣t✐♠❛❧
t✐♠❡ s♣❧✐t ❬✶✸❪✳ ❆s ♠❡♥t✐♦♥❡❞ ✐♥ ❙❡❝t✐♦♥ ✷✳ ✱
❜♦t❤ ❝❤❛♥♥❡❧s h ❛♥❞ g ❛r❡ ❛ss✉♠❡❞ ❛s ❘❛②❧❡✐❣❤
2

2
❢❛❞✐♥❣ ❝❤❛♥♥❡❧s✳ ▲❡t X = |h| , Y = |g| ✱ t❤❡♥
X ❛♥❞ Y ❛r❡ t✇♦ ✐♥❞❡♣❡♥❞❡♥t ❡①♣♦♥❡♥t✐❛❧ r❛♥✲
❞♦♠ ✈❛r✐❛❜❧❡s ✇✐t❤ ♣❛r❛♠❡t❡rs λh ❛♥❞ λg ✱ r❡✲
s♣❡❝t✐✈❡❧②✳
❆ss✉♠❡ t❤❛t t❤❡ s♦✉r❝❡ tr❛♥s♠✐ts ❛t ❛ ❝♦♥✲
st❛♥t r❛t❡ R✳ ▲❡t γ = 22R − 1 ❜❡ t❤❡ ❧♦✇❡r
t❤r❡s❤♦❧❞ ❢♦r SN R ❛t ❜♦t❤ r❡❧❛② ❛♥❞ ❞❡st✐♥❛✲
t✐♦♥ ♥♦❞❡s✳ ❚❤❛t ♠❡❛♥s t❤❡ ♦✉t❛❣❡ ♦❝❝✉rs ✐❢
SN R ❢❛❧❧s ❜❡❧♦✇ t❤✐s t❤r❡s❤♦❧❞✳ ❚❤❡♥ ✇❡ ❝❛♥
❝❧❛✐♠ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ t❤❡♦r❡♠ ♦♥ t❤❡ ♦✉t❛❣❡ ♣r♦❜✲
❛❜✐❧✐t② ❛♥❞ t❤❡ ❛✈❡r❛❣❡ t❤r♦✉❣❤♣✉t ♦❢ t❤❡ s②st❡♠
♦❢ ✐♥t❡r❡st✳

❋♦r t❤❡ ❆❋ ❤❛❧❢✲❞✉♣❧❡① r❡❧❛②✐♥❣
s②st❡♠ ✇✐t❤ ❤②❜r✐❞ ❚❙❘✲P❙❘ ❡♥❡r❣② ❤❛r✈❡st✐♥❣
♣r♦t♦❝♦❧✱ t❤❡ ♦✉t❛❣❡ ♣r♦❜❛❜✐❧✐t② ❛♥❞ t❤❡ ❛✈❡r❛❣❡
t❤r♦✉❣❤♣✉t ♦❢ t❤❡ s②st❡♠ ❝❛♥ ❜❡ ❡①♣r❡ss❡❞ r❡s♣❡❝✲
t✐✈❡❧② ❛s
❚❤❡♦r❡♠ ✶✳

Ps
= Pr κY(1−ρ)κXY
N0 +N0 (1−ρ) < γ
= Pr {κY [(1 − ρ)XPs − γN0 ] < γN0 (1 − ρ)}
γN0 /κ
γN
XPs − 1−ρ0

= Pr (1 − ρ)XPs − γN0 > 0, Y <

+ Pr {(1 − ρ)XPs − γN0 < 0}

✭✶✸✮
❉❡♥♦t❡ fX (x)
λh e−λh x ❛♥❞ fY (y)
−λg y
λg e
❛s t❤❡ ♣r♦❜❛❜✐❧✐t② ❞❡♥s✐t② ❢✉♥❝t✐♦♥s ♦❢
X ❛♥❞ Y ✱ r❡s♣❡❝t✐✈❡❧②✳ ■♥ ❛❞❞✐t✐♦♥✱ ❧❡t g(x)
γN0
γ
= κ(xQ−
γ
γN0
) ✳ ❚❤❡♥ ✭✶✸✮ ❜❡❝♦♠❡s
κ(xPs − 1−ρ )

1−ρ

Pout = Pr X >
+ Pr X <

γ
Q(1−ρ) , Y

γ
Q(1−ρ)

γ
Q(1−ρ)

g(X)

∞

fX (x)dx +

=

< g(X)

fX (x)dx
γ
Q(1−ρ)

0

fY (y)dy
0

γ
Q(1−ρ)

fX (x)dx

=
0
∞

fX (x) 1 − e−λg g(X) dx

+
γ
Q(1−ρ)

∞

=1−
Pout = 1 − e

λh γ
− Q(1−ρ)

λγ
K1
κQ

λγ
κQ

✭✶✵✮

❛♥❞

τ=

λh e−λh x e−λg g(X) dx

γ
Q(1−ρ)

✭✶✹✮
❇② ❝❤❛♥❣✐♥❣ ✈❛r✐❛❜❧❡ t = (1 − ρ)xQ − γ ✱ ✭✶✹✮
❝❛♥ ❜❡ r❡✇r✐tt❡♥ t♦

λh γ
R
(1 − α − β).e− Q(1−ρ)
2

λγ
K1
κQ

λγ
κQ
✭✶✶✮

∞

Pout

❝ ✷✵✶✼ ❏♦✉r♥❛❧ ♦❢ ❆❞✈❛♥❝❡❞ ❊♥❣✐♥❡❡r✐♥❣ ❛♥❞ ❈♦♠♣✉t❛t✐♦♥ ✭❏❆❊❈✮

λh
=1−
Q

e−λh

t+

γ
1−ρ
Q

−

λg γ
κt

dt

✭✶✺✮

0

✶✷✺


❱❖▲❯▼❊✿ ✷

◆♦✇✱ ✇❡ ❝❛♥ ❛♣♣❧② t❤❡ ✐♥t❡❣r❛❧ ❢♦r♠✉❧❛
✭✸✳✸✷✹✳✶✮ ✐♥ ❬✶✹❪ t♦ ❣❡t t❤❡ ❢♦r♠✉❧❛ ✭✶✵✮✳ ❋✐✲
♥❛❧❧②✱ t❤❡ ❛✈❡r❛❣❡ t❤r♦✉❣❤♣✉t ♦❢ t❤❡ s②st❡♠ ❝❛♥
❜❡ ❢♦✉♥❞ ❜② s✉❜st✐t✉t✐♥❣ ✭✾✮ ✐♥t♦ t❤❡ t❤r♦✉❣❤♣✉t
❞❡✜♥✐t✐♦♥ ❢♦r♠✉❧❛ τ
(1 − Pout ) R2 (1 − α − β)✳

∞

C=

λh γ

λe− Q(1−ρ)
K0
2κQ

| ■❙❙❯❊✿ ✷ | ✷✵✶✽ | ❏✉♥❡

λγ
log2 (1 + γ)dγ+
κQ

0
∞

λh γ

λh e− Q(1−ρ)
Q(1 − ρ)

λγ
K1
κQ

λγ
κQ

log2 (1 + γ)dγ

0

✸✳✷✳

✭✶✾✮

❉❡❧❛②✲t♦❧❡r❛♥t
❚r❛♥s♠✐ss✐♦♥

PS
✇❤❡r❡ Q = N
✱ λ = 4λh λg ✱ ❛♥❞ Kn (·) ✐s t❤❡
0
th
n ♦r❞❡r ♠♦❞✐✜❡❞ ❇❡ss❡❧ ❢✉♥❝t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ s❡❝♦♥❞
■♥ t❤✐s ♠♦❞❡❧✱ t❤❡ s♦✉r❝❡ tr❛♥s❢❡rs ❛t ❛♥② t❛r✲
❦✐♥❞✳

❣❡t r❛t❡ ✉♣♣❡r ❜♦✉♥❞❡❞ ❜② t❤❡ ❡r❣♦❞✐❝ ❝❛♣❛❝✲
✐t②✳ ❆s t❤❡ ❝♦❞❡✇♦r❞ ❧❡♥❣t❤ ✐s s✉✣❝✐❡♥t❧② ❧❛r❣❡
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n (z)
= −Kn−1 (z) − nz Kn (z)✱ ✇❡
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❣✐✈❡♥ ❜② t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ❢♦r♠✉❧❛✿

fSN R (γ) =

C = Eh,g {log2 (1 + SN R)}

λh γ
λh
e− Q(1−ρ)
Q(1 − ρ)

∞

=

λh γ

+ e− Q(1−ρ)

✭✶✻✮

fSN R (γ)log2 (1 + γ)dγ

λ
K0
2κQ

λγ
K1
κQ

λγ
κQ

λγ
κQ

✭✷✵✮

0

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t✐♦♥ ♦❢ SN R✱ ✇❤✐❝❤ ✐s ❞❡✜♥❡❞ ❛s

fSN R (γ)

∂FSN R (γ)
∂γ

✭✶✼✮

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t❤❡ ♣r♦♦❢✳

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❍❡r❡✱ FSN R (γ) ✐s t❤❡ ❝✉♠✉❧❛t✐✈❡ ❞✐str✐❜✉t✐♦♥

✉❧❛t✐♦♥ t♦ ✈❡r✐❢② t❤❡ ❛♥❛❧②s✐s ❞❡✈❡❧♦♣❡❞ ✐♥ t❤❡
❢✉♥❝t✐♦♥ ♦❢ SN R✱ ✇❤✐❝❤ ❝❛♥ ❜❡ ❢♦✉♥❞ ❜②
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t✐♦♥ ♠♦❞❡❧✱ ✇❡ ❛ss✉♠❡ t❤❛t t❤❡ s♦✉r❝❡✲r❡❧❛② ❛♥❞
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t♦ ✉♥✐t ✈❛❧✉❡✳ ❖t❤❡r s✐♠✉❧❛t✐♦♥ ♣❛r❛♠❡t❡rs ❛r❡
FSN R (γ) = Pr(SN R < γ)
❧✐st❡❞ ✐♥ ❚❛❜❧❡ ✶✳
λh γ
λγ
λγ
− Q(1−ρ)
=1−e
K1
❚❛❜❧❡ ✶✳ ❙✐♠✉❧❛t✐♦♥ ♣❛r❛♠❡t❡rs
κQ
κQ
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λh
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λg
P❛r❛♠❡t❡r ♦❢ |g|2
✵✳✺
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Ps /N0 ❙✐❣♥❛❧ t♦ ◆♦✐s❡ ❘❛t✐♦
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PS /N0 ✐♥❝r❡❛s❡s✳ ■t ✐s ❛❧s♦ ♦❜s❡r✈❡❞ t❤❛t t❤❡
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❈♦♠♠✉♥✐❝❛t✐♦♥s✱ ✸✸✭✶✷✮✱ ✷✼✵✶✲✷✼✶✼✳

❋✐❣✳ ✶✵✿ ❊r❣♦❞✐❝ ❝❛♣❛❝✐t② ♦❢ ❤②❜r✐❞ ❚❙❘✲P❙❘ ✈❡rs✉s

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