Bài giảng Tín hiệu và hệ thống: Chương 5 (Lecture 9) - Trần Quang Việt

Ch-5: Lấy mẫu (Sampling)

Lecture-9
5.1. Lý thuyết lấy mẫu
5.2. Biến đổi Fourier rời rạc (DFT)
5.3. Biến đổi Fourier nhanh (FFT)

Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 2/11-12

5.1. Lý thuyết lấy mẫu
5.1.1. Lấy mẫu trong miền thời gian
5.1.2. Lấy mẫu trong miền tần số

Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 2/11-12

1


5.1.1. Lấy mẫu trong miền thời gian
Có vô số tín hiệu có thể khôi phục từ các mẫu biết trước.

Nếu tín hiệu có băng tần giới hạn thì có thể khôi phục lại duy nhất
từ các mẫu biết trước nếu được lấy mẫu tuân theo ĐL lấy mẫu
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 2/11-12

5.1.1. Lấy mẫu trong miền thời gian
a) Lấy mẫu bằng chuỗi xung đơn vị - định lý lấy mẫu
b) Lấy mẫu bằng bộ giữ mẫu bậc không
c) Khó khăn trong việc khôi phục tín hiệu thực tế

Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 2/11-12

2


a) Lấy mẫu bằng chuỗi xung đơn vị - định lý lấy mẫu
Xét tín hiệu cần lấy mẫu f(t) với băng tần hữu hạn là B Hz

Tín hiệu f(t) được lấy mẫu bằng cách nhân với chuỗi xung đơn vị
∞

∞

f (t)=f(t) ∑ δ(t − nTs )

f (t)=f(t)p(t)

f (t) =

n =−∞

∑ f(nT )δ(t − nT )
s

s

n =−∞

Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 2/11-12

a) Lấy mẫu bằng chuỗi xung đơn vị - định lý lấy mẫu

Phổ của tín hiệu đã được lấy mẫu
f(t) ↔ F(ω)

p(t) ↔ P(ω) =
−

−

f (t) ↔ F(ω)=

2π ∞
∑ δ(ω − nωs ); Fs =1/Ts , ωs =2πFs
Ts n =−∞
1
1
[F(ω) ∗ P(ω)] =
2π
Ts

∞

∑ F(ω − nω )
s

n =−∞

Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 2/11-12

3

a) Lấy mẫu bằng chuỗi xung đơn vị - định lý lấy mẫu

Khôi phục tín hiệu - Định lý lấy mẫu: ĐL Nyquist, ĐL Shannon
Low-pass Filter

ωs ≥ 4πB

Fs ≥ 2B; Fs =2B Nyquist rate

Tín hiệu có phổ giới hạn là B Hz có thể khôi phục chính
xác từ các mẫu của nó có được khi lấy mẫu đều đặn với
tốc độ Fs≥2B mẫu/s. Nói cách khác tần số lấy mẫu nhỏ
nhất là Fs=2B Hz
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 2/11-12

b) Lấy mẫu với bộ giữ mẫu bậc không

Lấy mẫu với bộ giữ mẫu bậc không

Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 2/11-12

4


b) Lấy mẫu với bộ giữ mẫu bậc không

Bộ khôi phục tín hiệu cho bộ giữ mẫu bậc không

H r (ω)=Ts H1 (ω)H 2 (ω)

Không thực hiện được!!!

Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 2/11-12

b) Lấy mẫu với bộ giữ mẫu bậc không

Khôi phục gần đúng cho bộ giữ mẫu bậc 0

Low-pass Filter

Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 2/11-12

5


d) Khó khăn trong việc khôi phục tín hiệu thực tế

Giả sử tín hiệu có băng tần hữu hạn
Ideal Filter

Practical Filter

Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 2/11-12

d) Khó khăn trong việc khôi phục tín hiệu thực tế

Băng tần tín hiệu vô hạn – hiện tượng alias

Giải pháp: Anti-aliasing Filter

Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 2/11-12

6


d) Khó khăn trong việc khôi phục tín hiệu thực tế

Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 2/11-12

5.1.2. Lấy mẫu trong miền tần số

Xét tín hiệu f(t) có thời gian hữu hạn và phổ như hình vẽ

Lấy mẫu F(ω) trên thang tần số với chu kỳ lấy mẫu là ω0
+∞

FT0 (ω)=F(ω) ∑ δ(ω − nω0 ) =

∑ F(nω )δ(ω − nω )
0

0

+∞
T0
f(t) ∗ ∑ δ(t − nT0 );T0 =2π/ω0
2π
n= −∞

f T0 (t)=

n= −∞

T0 +∞
∑ f(t − nT0 )
2π n=−∞

T0/2π

n= −∞

f T0 (t)=

+∞

Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 2/11-12

7


5.1.2. Lấy mẫu trong miền tần số

Điều kiện khôi phục lại tín hiệu gốc khi lấy mẫu phổ của tín hiệu
T0 ≥ τ

ω0 ≤ 2π/τ

T0/2π

Lấy mẫu phổ tín hiệu đã được lấy mẫu

Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 2/11-12

5.2. Biến đổi Fourier rời rạc DFT

Mục đích: thiết lập mối quan hệ giữa các mẫu trong miền thời gian
với các mẫu trong miền tần số

T0/2π

f(t)=

1 ∞
F(ω)e jωt dω
∫
2π −∞

∞

F(ω)=∫ f(t)e−jωtdt
−∞

N0 mẫu
N0 mẫu

N0 =T0 /Ts = ωs /ω0
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 2/11-12

8


5.2. Biến đổi Fourier rời rạc DFT

Biến đổi DFT thuận:
Do f(t) chỉ tồn tại từ 0 đến T0 (tương ứng với N0 mẫu):
_

N 0 −1

_

f (t)= ∑ f(kTs )δ(t − kTs )

N 0 −1

F(ω)= ∑ f(kTs )e − jωkTs

k=0

k=0

Mặt khác trong đoạn -ωs/2 đến ωs/2 (tương ứng với N0 mẫu):
_
N 0 −1
_
F(ω)
F(ω) =
F(rω0 )=Ts F(rω0 )=Ts ∑ f(kTs )e − jrω0kTs

Ts
k=0
Đặt Ω0=ω0Ts=2π/N0; Fr=F(rω0): mẫu thứ r của F(ω); fk=Tsf(kTs):
mẫu thứ k của f(t); ta có:
N 0 −1

∑ f k e− jrΩ k

Fr =

0

(Biến đổi DFT thuận)

k=0
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 2/11-12

5.2. Biến đổi Fourier rời rạc DFT

Biến đổi DFT ngược: nhân DFT thuận với e jmΩ0r sau đó lấy tổng:
N 0 −1

∑

Fr e jmΩ0 r =

N 0 −1  N 0 −1

r=0
N 0 −1

∑

r=0

∑ Fr e

jmΩ0 r

r=0

 ∑ fke
 k=0

− jrΩ 0 k

 jmΩ r
0
e


 N 0 −1 j(m−k)Ω r 
0
= ∑ fk  ∑ e

 r=0

k=0
N 0 −1

N 0 −1

0; k ≠ m
 0f k = N 0f m ;k = m

∑ Fr e jmΩ r =  N
0

r=0

fk =

1
N0

N 0 −1

∑ Fr e jrΩ k
0

(Biến đổi DFT ngược)

r=0

Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 2/11-12

9


5.3. Biến đổi Fourier nhanh FFT

Đưa ra bởi Turkey and Cooley năm 1965, N0 phải là lũy thừa của 2
Giảm khối lượng tính toán: N 02 → N 0 log N 0

fk =

1
N0

N 0 −1

∑

Fr e jrΩ0 k Fr =

r =0

N 0 −1

∑

Nhân: N0
Cộng: N0-1

f k e − jrΩ0k

k =0

Tổng cộng cho các hệ số: N0N0 phép nhân và N0(N0-1) phép cộng
− j 2π / N 0 )

Đặt: WN 0 = e (
= e − jΩ0

Các biểu thức DFT được viết lại:
N 0 −1

Fr =

∑

1
fk =
N0

f kWNkr0

k =0

N 0 −1

∑ FrWN−kr
0

r =0

Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 2/11-12

5.3. Biến đổi Fourier nhanh FFT

Chia fk thành 2 chuỗi: chẵn và lẻ theo số thứ tự:

f 0 , f 4 , f 6 ,..., f N 0 −2 f1 , f 3 , f5 ,..., f N 0 −1
sequence g k

sequence h k

Biểu thức DFT được viết lại:
N0
2

Fr =

−1

∑

f 2 kWN20kr

k =0

N0
2

+

−1

∑

f 2 k +1WN(2 k +1) r
0

k =0

Ta có: W N0 = WN2
0
2
⇒ Fr =

N0
2

−1

∑

k =0

f 2 kW

kr

N0
2

+ WNr 0

N0
2

−1

∑

k =0

f 2 k +1W Nkr0 = G + W r H
2
r
N0 r

Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 2/11-12

10


5.3. Biến đổi Fourier nhanh FFT

⇒ Fr =

N0
2

−1

∑

kr

f 2 kW N 0
2

+ WNr 0

k =0

N0
2

−1

∑

f 2 k +1W Nkr0 ⇒ Fr = Gr + WNr 0 H r
2

k =0

(0 ≤ r ≤ N 0 − 1)
Do Gr và Hr là DFT N0/2 điểm nên nó có tính tuần hoàn:
Gr + N0 = Gr & H r + N0 = H r
2

Mặt khác:

N0
WNr + 2
0

2

N0
2

= WN WNr 0
0

=e

− jπ

WNr 0 = −WNr 0

N0

⇒ Fr + N0 = Gr + N0 + WNr + 2 H r + N0 ⇒ Fr + N0 = Gr − WNr H r
2
2
2
0
0
2
Fr = Gr + WNr 0 H r ; 0 ≤ r ≤
Fr + N0
2

= Gr − WNr 0 H r ;

N0
2

0≤r≤

Gr

−1
N0
2

Fr

⇔
−1
Hr

− W Nr 0

W Nr 0

Fr + N20

Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 2/11-12

5.3. Biến đổi Fourier nhanh FFT

Fr = Gr + WNr 0 H r ; 0 ≤ r ≤
Fr + N0
2

= Gr − WNr 0 H r ;

N0
2

0≤r≤

Gr

−1
N0
2

Fr

⇔
−1
Hr

− W Nr 0

W Nr 0

Fr + N20

Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 2/11-12

11


5.3. Biến đổi Fourier nhanh FFT

Fr = Gr + WNr 0 H r ; 0 ≤ r ≤
Fr + N0
2

= Gr − WNr 0 H r ;

N0
2

0≤r≤

Gr

−1
N0
2

Fr

⇔
−1
Hr

− W Nr 0

W Nr 0

Fr + N20

Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 2/11-12

5.3. Biến đổi Fourier nhanh FFT

Fr = Gr + WNr 0 H r ; 0 ≤ r ≤

N0
2

Fr + N0 = Gr − WNr 0 H r ; 0 ≤ r ≤
2

Gr

−1
N0
2

Fr

⇔
−1
Hr

− W Nr 0

W Nr 0

Fr + N20

Số phép toán nhân và cộng dùng để tính DFT dùng giải thuật FFT:

Số phép toán nhân: N 0 log 2 N 0
2

Số phép toán cộng: N 0 log 2 N 0

Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 2/11-12

12