Nén tổng đa mode bậc cao Hillery từ hệ có ngõ vào là các đơn Mode kết hợp, đơn Mode kết hợp thêm Photon và đơn Mode nén

NÉN TỔNG ĐA MODE BẬC CAO HILLERY TỪ HỆ CÓ
NGÕ VÀO LÀ CÁC ĐƠN MODE KẾT HỢP, ĐƠN MODE
KẾT HỢP THÊM PHOTON VÀ ĐƠN MODE NÉN
VÕ TÌNH
Trường Đại học Sư phạm - Đại học Huế
NGUYỄN ANH BĂNG
Trường THPT Thanh Tuyền, Bình Dương

Tóm tắt: Từ Hamiltonian của một hệ tương tác gồm các photon và
các nguyên tử của môi trường phi tuyến, các phương trình chuyển động
Heisenberg của các toán tử sinh hủy hạt photon được thiết lập. Thông
qua việc giải hệ phương trình này với phép gần đúng bậc hai theo thời
gian bé và tính phương sai biên độ trực giao bậc cao, mối liên hệ giữa
nén tổng biên độ trực giao đa mode bậc cao Hillery từ các photon ở ngõ
vào với nén biên độ trực giao bậc cao Hillery của photon có tần số tổng
ở ngõ ra được hình thành. Cũng trong bài báo này, điều kiện nén tổng
đa mode bậc cao Hillery tổng quát được rút ra và từ đó nén tổng đa
mode bậc cao Hillery được khảo sát với các photon ở trạng thái kết hợp,
nén kết hợp và kết hợp thêm photon.
1 GIỚI THIỆU
Nén tổng và nén hiệu đa mode tổng quát bậc nhất đã được khảo sát bởi các tác giả Nguyễn
Bá Ân và Võ Tình [5], [6], [7]. Tiếp theo đó các tác giả Võ Tình và Phạm Thị Hạnh Thảo
đã khảo sát nén tổng đa mode bậc cao từ hệ các đơn mode kết hợp và đơn mode nén [3].
Các kết quả nghiên cứu cho thấy bản chất cơ học lượng tử của ánh sáng được bộc lộ trực
tiếp thông qua các trạng thái nén đa mode bậc cao. Việc nghiên cứu các photon nén có
tần số là tổng của các tần số photon ban đầu ở trạng thái kết hợp, trạng thái phi cổ điển
trong môi trường phi tuyến không những có ý nghĩa quan trọng trong lĩnh vực công nghệ
mà còn có đóng góp rất lớn trong lĩnh vực khoa học cơ bản, mở rộng tầm hiểu biết của
con người sâu hơn nữa về bản chất của trường điện từ và tương tác của nó với vật chất.
Bài báo này trình bày khảo sát mở rộng công trình [3] với các trạng thái ở ngõ vào là các
đơn mode kết hợp, đơn mode kết hợp thêm photon và đơn mode nén.

Tạp chí Khoa học và Giáo dục, Trường Đại học Sư phạm Huế
ISSN 1859-1612, Số 03(23)/2012: tr. 21-29


22

VÕ TÌNH - NGUYỄN ANH BĂNG

2 NÉN TỔNG ĐA MODE BẬC CAO HILLERY
Nén tổng đa mode bậc cao Hillery tổng quát đã được nghiên cứu ở [3]. Nội dung của nén
tổng đa mode bậc cao Hillery có thể được tóm tắt như sau: Xét quá trình vật lý xảy ra
trong môi trường phi tuyến, trong đó N photon với tần số ω1 , ω2 , ω3 , ..., ωN kết hợp với
nhau để tạo thành một photon có tần số tổng ΩS = ω1 + ω2 + ω3 + ... + ωN . Hamiltonian
ứng với sự sinh ra một tần số tổng như thế có dạng [2]
ˆS =
H

N
∑

ωj n
ˆ j + ΩS n
ˆ S + gS (ˆ
c+
ˆ1 ...ˆ
cN + h.c),
Sc

(1)

j=1

trong đó n
ˆ j = cˆ+
ˆj , n
ˆ S = cˆ+
ˆS với cˆ+
ˆj và cˆ+
ˆS theo thứ tự là các toán tử sinh, huỷ ứng
j c
j ,c
Sc
S,c
với các mode ωj và ΩS . Hằng số tương tác gS được giả thiết là thực. Vì các photon dao
động trong miền quang học với tần số cao cỡ 1015 Hz nên thành phần biến thiên nhanh
được tách riêng ra và viết
cˆj (t) = Cˆj (t)e−iωj t ,

cˆS (t) = CˆS (t)e−iΩS t ,

(2)

trong đó các toán tử Cˆj (t), CˆS (t) biến thiên chậm theo thời gian vì thông thường gS ≪
ωj , ΩS .
Toán tử biên độ trực giao của tần số tổng ΩS luỹ thừa k được định nghĩa
[
]
ˆ C ,k (φ, t) = 1 Cˆ k (t)e−iφ + Cˆ +k (t)eiφ .
X
S

S
2 S

(3)

Từ đó ta tính được giao hoán tử
]
ˆ C ,k (φ, t), X
ˆ C ,k (φ + π , t) = i FˆC (k, t),
(4)
X
S
S
2
2 S
[
]
trong đó FˆCS (k, t) = CˆSk (t), CˆS+k (t) . Điều kiện để có nén biên độ luỹ thừa k kiểu Hillery
[

theo phương φ là
1
V XCS ,k (φ, t) < |⟨FˆCS (k, t)⟩|.
4

(5)

ˆ S,k (φ, t) được định nghĩa như sau
Toán tử ′′ tập thể′′ lũy thừa k Q


ˆ S,k (φ, t) ≡ 1 Cˆ k−1 (t)
Q
S
2

N
∏
j=1

+(k−1)
Cˆj (t)e−iφ + CˆS
(t)

N
∏


Cˆj+ (t)eiφ  .

(6)

j=1

Từ đó ta tính được giao hoán
[

(
)]
ˆ S,k (φ, t), Q
ˆ S,k φ + π , t = i FˆS (k, N, t),

Q
2
2

(7)


NÉN TỔNG ĐA MODE BẬC CAO HILLERY TỪ HỆ CÓ NGÕ VÀO...

23

trong đó
+(k−1)
FˆS (k, N, t) = CˆSk−1 (t)CˆS
(t)FˆS (N, t) + FˆCS (k − 1, t)

N
∏

n
ˆ j (t).

(8)

j=1

Trạng thái ′′ tập thể′′ của các mode ωj được gọi là nén tổng đa mode bậc cao Hillery theo
hướng φ nếu V QS,k (φ, t) thỏa mãn điều kiện
V QS,k (φ, t) −

|⟨FˆS (k, N, t)⟩|
< 0,
4

(9)

trong đó phương sai
⟨
⟩ ⟨
⟩2
ˆ 2 (φ, t) − Q
ˆ S,k (φ, t) .
V QS,k (φ, t) = Q
S,k

(10)

Mối liên hệ giữa nén Hillery đơn mode có tần số tổng với nén tổng đa mode bậc cao Hillery
được rút ra bằng cách dùng Hamiltonian (1) để thiết lập phương trình chuyển động cho
các toán tử cần quan tâm, hệ phương trình thu được có dạng
dCˆj (t)
˙
Cˆj (t) ≡
= −igS
dt

N
∏

Cˆk+ (t)CˆS (t),

(11)

k=1,k̸=j

N
∏
dCˆj (t)
˙
Cˆk (t).
= −igS
CˆS (t) ≡
dt

(12)

k=1

Lấy đạo hàm (12) theo thời gian một lần nữa rồi vận dụng (12) vào kết quả tính đạo hàm
cho ta kết quả
¨
CˆS (t) = −gS2 CˆS (t)FˆS (N, t).
(13)
Trong phép gần đúng thời gian ngắn, sự phụ thuộc thời gian của nghiệm CˆS (t) dưới dạng
khai triển Taylor đến bậc hai có dạng (quy ước CˆS (0) = CˆS , ...)
CˆS (t) = CˆS − igS t

N
∏
j=1

1
Cˆj − gS2 t2 CˆS FˆS (N ).
2

(14)

Với điều kiện bỏ qua số hạng bậc hai trở lên của thời gian và thời điểm ban đầu các mode
không tương quan với nhau ta viết được
(
CˆSk (t) =

)
N
∏
k 2 2ˆ
k−1
k
ˆ
ˆ
Cˆj ,
1 − gS t FS (N ) CS − ikgS tCS
2

(15)

)
N
∏
k 2 2ˆ

+(k−1)
+k
ˆ
ˆ
1 − gS t FS (N ) CS + ikgS tCS
Cˆj+ .
2

(16)

j=1

(
CˆS+k (t) =

j=1


24

VÕ TÌNH - NGUYỄN ANH BĂNG

Khi đó mối liên hệ giữa nén Hillery đơn mode tần số tổng với nén tổng đa mode bậc cao
Hillery được thiết lập
V ≡ V XCS ,k (φ, t)−

⟩
1 ⟨ˆ
FCS (k, t)
4

[

(
⟩]
π) 1 ⟨ ˆ
= k 2 gS2 t2 V QS,k φ +
−
FS (k, N, t)
.
2
4

(17)

Phương trình (17) cho thấy mối liên hệ chặt chẽ giữa nén đơn mode Hillery có tần số tổng
ở thời điểm t > 0 với nén tổng đa mode bậc cao Hillery ở thời điểm t = 0. Theo đó không
có nén tổng đa mode bậc cao Hillery thì cũng không tồn tại nén đơn mode Hillery của
mode cˆS .
Qua tính toán ta được biểu thức của điều kiện nén tổng đa mode bậc cao Hillery:


{

2(k−1) 

V =2Re e−2iφ αS

[
+ 2 |αS |2(k−1)

N ⟨
∏

⟩

Cˆj2 −

j=1
N
∏

⟨ˆ
nj ⟩ −

j=1

N ⟨
∏

Cˆj

⟩2

j=1
N ⟨
∏

Cˆj+

⟩⟨

Cˆj

⟩

}

]

(18)
< 0.

j=1

Dựa vào (18) ta sẽ khảo sát nén tổng đa mode bậc cao với các hệ đặc biệt. Nếu V < 0 thì
hệ có nén tổng. Còn không, hệ không được nén tổng.
3 NÉN TỔNG ĐA MODE BẬC CAO HILLERY TỪ HỆ CÓ NGÕ VÀO LÀ CÁC ĐƠN
MODE KẾT HỢP, ĐƠN MODE KẾT HỢP THÊM PHOTON VÀ ĐƠN MODE
NÉN
a) Trường hợp tất cả các mode đều ở trạng thái kết hợp thêm photon
Một mode kết hợp thêm photon được mô tả bởi số phức αp = rp eiϑp và số nguyên m. Theo
đó véc tơ trạng thái kết hợp thêm photon được xác định bởi
|αp , m⟩ =

a
ˆ+m |αp ⟩
,
[m!Lm (−|αp |2 )]1/2

(19)

với
Lm (x) =

m
∑
n=0

(−x)n m!
(n!)2 (m − n)!

là đa thức Laguerre bậc m (m là số nguyên dương) theo x.
Sử dụng véctơ trạng thái kết hợp thêm photon ta tính được một số giá trị trung bình ở
trạng thái này như sau:


25

NÉN TỔNG ĐA MODE BẬC CAO HILLERY TỪ HỆ CÓ NGÕ VÀO...

m
∑

m
∑

Li (− | αp |2 )

⟨Cˆp+ ⟩ = αp∗ i=0
,

Lm (− | αp |2 )
m
∑
(m + 1 − i)Li (− | αp |2 )
⟨Cˆp2 ⟩ = αp2 i=0
,
Lm (− | αp |2 )

Li (− | αp |2 )

⟨Cˆp ⟩ = αp i=0
,
Lm (− | αp |2 )

⟨ˆ
np ⟩ =

(20)

(m + 1)Lm+1 (− | αp |2 )
− 1.
Lm (− | αp |2 )

Xét trường hợp các mode kết hợp thêm photon là giống nhau αp = rp eiϑp và tham số kết
hợp αS = rS eiϑS . Thay (20) vào (18) ta được
{
[ (
)]
2(k−1)
V1 = 2rS

rp2N cos 2 − φ + (k − 1)ϑS + N ϑp
[(

m
∑

(m + 1 −

i)Li (−rp2 ) )N

i=0

×

+

(m

+ 1)Lm+1 (−rp2 )
Lm (−rp2 )

Lm (−rp2 )

)N
−1

Li (−rp2 ) )2N ]

i=0

−

Lm (−rp2 )
(

(

m
∑

(

m
∑

Li (−rp2 ) )2N }

i=0

− rp2N

.

Lm (−rp2 )

(21)

Kết quả khảo sát ở hình 1 cho thấy rằng nếu k càng tăng thì chu kỳ nén theo ϑS càng
giảm, hay nói cách khác là xác suất có nén tăng lên.
b

a

2
V1 1
0
1
2
0

4
3
2 rp
1

4
3
2 rp

0
1

1
S

10
5
0
5

V1

2

1
S

3

0

−5

2
3

0

Hình 1: Đồ thị của hàm V1 × 10 khảo sát theo ϑS và rp với ϑp = 0; φ = 0; N =
5; m = 1; rS = 2. Hình (a) k = 2. Hình (b) k = 3.
b) Trường hợp có L mode ở trạng thái kết hợp thêm photon và các mode còn lại ở trạng
thái kết hợp
Một mode kết hợp được mô tả bởi số phức αq = rq exp{iϑq }, q = 1, 2, ..., N . Theo đó véc
tơ trạng thái kết hợp được xác định bởi
(
)
⟩
(
) ⟩
1

2
|αq = exp − |αq | exp αq a
ˆ+ |0 .
(22)
2


26

VÕ TÌNH - NGUYỄN ANH BĂNG

Sử dụng véctơ trạng thái kết hợp ta tính được một số giá trị trung bình ở trạng thái này
như sau:
⟨Cˆq+ ⟩ = αq∗ , ⟨Cˆq ⟩ = αq , ⟨Cˆq2 ⟩ = αq2 , ⟨ˆ
nq ⟩ = |αq |2 .
(23)
Xét trường hợp các mode kết hợp thêm photon là giống nhau αp = rp eiϑp , các mode kết
hợp là giống nhau αq = rq eiϑq và tham số kết hợp αS = rS eiϑS . Thay (20) và (23) vào (18)
ta được
{
[ (
)]
2(k−1) 2(N −L)
V2 = 2rS
rq
rp2L cos 2 − φ + (k − 1)ϑS + Lϑp + (N − L)ϑq
[(

m
∑

(m + 1 − i)Li (−rp2 ) )L

i=0

×

+

m
∑

(m + 1)Lm+1 (−rp2 )
−1
Lm (−rp2 )

Li (−rp2 ) )2L ]

i=0

−

Lm (−rp2 )
(

(

Lm (−rp2 )

)L

(
− rp2L

m
∑

Li (−rp2 ) )2L }

i=0

.

Lm (−rp2 )

(24)

Kết quả khảo sát hàm V2 theo rq và rp ở hình 2a cho thấy hệ có nén tổng đa mode với các
giá trị của rq , rp thích hợp. Khảo sát nén tổng ở hình 2b, ta thấy với φ = 0 mức độ nén
tổng là lớn nhất, khi φ tăng từ 0 đến π/4 thì độ nén tổng càng giảm. Khi φ = π/2 thì hệ
không có nén tổng.
a

b
1.0
0.5

4

1

1
rq

2
3

V2

0.0
1
V2 0
1
2
3
0

0.5

3

1.0

2 rp

1.5
0

1

0

2
rp

3

4

Hình 2: Đồ thị của hàm V2 × 10−4 khảo sát trong trường hợp ϑp = 0; N = 5; m =
1; rS = 5; L = 3; ϑq = 0; rq = 2. Hình (a) Khảo sát theo rq , rp , φ = 0. Hình (b) khảo
sát theo rp , rq = 1.5, φ = 0; π4 ; π2 . (Các tham số được chọn ba giá trị để khảo sát theo
thứ tự tăng dần tương ứng với đường gạch dài, gạch ngắn và liền nét).
c) Trường hợp có L mode ở trạng thái nén kết hợp và các mode còn lại ở trạng thái kết
hợp thêm photon
Một mode nén được mô tả bởi hai số phức αj = rj exp(iϑj ) và z = sexp(iχ) theo đó vectơ
trạng thái nén kết hợp của các đơn mode bị nén là
ˆ C (αj )SˆC (z)|0⟩.
|αj , z⟩ = D
j
j

(25)


NÉN TỔNG ĐA MODE BẬC CAO HILLERY TỪ HỆ CÓ NGÕ VÀO...

27

Sử dụng véctơ trạng thái nén kết hợp tính được một số giá trị trung bình ở trạng thái này

như sau:
⟨Cˆj+ ⟩ = αj∗ ,

1
⟨Cˆj2 ⟩ = αj2 − eiχ sinh2s,
2

⟨Cˆj ⟩ = αj ,

⟨ˆ
nj ⟩ = |αj |2 + sinh2 s.

(26)

Xét trường hợp các mode kết hợp thêm photon là giống nhau αp = rp eiϑp , các mode nén
kết hợp là giống nhau αj = rj eiϑj , tham số kết hợp αS = rs eiϑS và tham số nén z = seiχ .
Thay (20) và (26) vào (18) ta được
{
[
[(
)L
1
2(k−1)
2(N −L)
2i[−φ+(k−1)ϑS +(N −L)ϑp ]
V3 = 2rS
rp
Re e
rj2 e2iϑj − eiχ sinh2s
2

(
×

m
∑

(m + 1 − i)Li (−rp2 ) )N −L

i=0

Lm (−rp2 )

(
− rj2L e2iLϑj

m
∑

Li (−rp2 ) )2(N −L) ]]

i=0

Lm (−rp2 )

)N −L
(
(
)L (m + 1)Lm+1 (−r2 )
p
2

2
−1
+
rj + sinh s
Lm (−rp2 )
(
− rp2(N −L) rj2L

m
∑

Li (−rp2 ) )2(N −L) }

i=0

Lm (−rp2 )

.

(27)

Kết quả khảo sát ở hình 3a cho thấy rằng trong khoảng giá trị của rj đang khảo sát thì
khi số mode ở trạng thái nén kết hợp L càng lớn thì mức độ nén tổng càng lớn với cùng
một giá trị xác định rj . Ta biết rằng khi số mode nén kết hợp tăng thì số mode ở trạng
thái kết hợp thêm photon giảm. Vậy trong hệ mà ta đang xét, khi số mode ở trạng thái
kết hợp thêm photon giảm thì độ nén lại tăng.
Khảo sát ở hình 3b cho thấy rằng khi m nhận các giá trị tăng dần thì mức độ nén tổng
đạt cực đại địa phương cũng tăng dần. Như vậy mức độ nén tổng đạt cực đại địa phương
của hệ sẽ lớn nếu m nhận các giá trị lớn.
4 KẾT LUẬN

Như vậy dựa vào điều kiện nén tổng đa mode bậc cao Hillery tổng quát, ta thiết lập được
điều kiện nén tổng đa mode cho các trạng thái kết hợp thêm photon, kết hợp và kết hợp
thêm photon, kết hợp thêm photon và nén kết hợp trong trường hợp cụ thể: các mode
không tương quan, ở cùng một trạng thái thì giống nhau. Kết quả khảo sát nén tổng đa
mode bậc cao Hillery của các photon kết hợp, kết hợp thêm photon và nén kết hợp ở ngõ
vào bằng phương pháp tính số và đồ thị cho thấy nén tổng đa mode bậc cao Hillery phụ
thuộc chặt chẽ vào biên độ kết hợp của trạng thái kết hợp rq , biên độ nén s, biên độ nén
kết hợp của trạng thái kết hợp rj , biên độ kết hợp rS của mode cˆS và các pha tương ứng


28

VÕ TÌNH - NGUYỄN ANH BĂNG

b
0.05

50

0.00

100

V3

V3

a
0

150

0.05
0.10

200
2.0

2.5

3.0
rj

3.5

4.0

0.15
0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

s

Hình 3: Đồ thị của hàm V3 × 10−5 khảo sát trong trường hợp ϑp = 0; ϑj = 0; φ =
0; χ = 0; ϑS = 0.2; N = 6; rS = 4; k = 3; rp = 1.5; s = 0.4. Hình (a) khảo sát theo rj ,
m =1, L = 2, 3, 4. Hình (b) khảo sát theo s, rj = 2, L = 3, m = 1, 3, 5.(Các tham
số được chọn ba giá trị để khảo sát theo thứ tự tăng dần tương ứng với đường liền
nét, gạch ngắn và gạch dài).
của chúng. Tuy nhiên trong quá trình khảo sát ta vẫn rút ra được một số kết quả cụ thể
như: (i) Tham số thêm photon m càng lớn thì mức độ nén tổng đạt cực đại địa phương
của hệ càng lớn; (ii) Nén tổng đạt cực đại khi góc pha của toán tử tập thể φ = kπ; (iii)
Biên độ kết hợp của trạng thái kết hợp thêm photon rp càng lớn thì mức độ nén tổng càng
tăng.
Tóm lại, qua kết quả khảo sát cho thấy chỉ cần ở ngõ vào có một mode ở trạng thái phi
cổ điển, còn các mode còn lại ở trạng thái kết hợp thì luôn luôn có nén tổng đa mode bậc
cao hay ở ngõ ra có nén tổng biên độ trực giao của đơn mode tần số tổng kiểu Hillery.

TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] Võ Tình, Phạm Diệu Quỳnh Châu(2010). Nén tổng đa mode từ hệ có ngõ vào là các
đơn mode kết hợp thêm photon, đơn mode kết hợp và đơn mode nén. Tạp chí Khoa
học và Giáo dục Trường ĐH Sư phạm-ĐH Huế, số 02(14), tr. 22-28.
[2] Võ Tình (2001). Một số hiệu ứng trong hệ photon-exciton-biexciton ở bán dẫn kích
thích quang, Luận án tiến sĩ Vật lý Trường ĐHSP Hà Nội.
[3] Võ Tình, Phạm Thị Hạnh Thảo(2010). Nén tổng đa mode bậc cao Hillery. Tạp chí
Khoa học và Giáo dục Trường ĐH Sư phạm-ĐH Huế, số 02(14), tr. 22-28.
[4] Agarwal G. S. and Tara K. (1991). Nonclassical properties of States generated by
excitations on a coherent state, Phys. Rev. A, 43(1), pp. 492-497.

NÉN TỔNG ĐA MODE BẬC CAO HILLERY TỪ HỆ CÓ NGÕ VÀO...

29

[5] Nguyen Ba An and Vo Tinh (1999),′′ General multimode sum-squeezing′′ , Physics Letters A, 261, pp. 34-39.
[6] Nguyen Ba An and Vo Tinh (2000). General multimode difference-squeezing. Physics
Letters A, 270, pp. 27-40.
[7] Nguyen Ba An and Vo Tinh (2000). Multimode difference-squeezing. J. Phys. A:
Mathematics & General, 33, pp. 2951-2962.
[8] Hillery M. (1989). Sum and Difference squeezing of the electromagnetic field, Phys.
Rev. A, 40(8), pp. 3147-3155.
[9] Kumar A. and Gupta S. P. (1997). Sum squeezing in four-wave sum frequency generation, Optics communication, 136, pp. 441-446.
[10] Stoler (1970-1971). Equivalence classes of minimum-uncertainty. Phys. rev. lett D, 1,
pp. 37-45.

Title: THE GENERAL HILLERY HIGHER-ORDER MULTIMODE SUM-SQUEEZING
FROM PHOTON-ADDED COHERENT STATES, COHERENT STATES AND SQUEEZED
STATES
Abstract: From the Hamiltonian of an interacting system including photons and atoms
in nonlinear medium, the Heisenberg equations of motion for creation (annihilation) operators are set up. The relation between the Hillery higher-order multimode quadrature
amplitude sum-squeezing of input photons to the Hillery high-order squeezing of output
sum-frequency photon is established by solving these equations with short time approximation method and computing the photon quadrature amplitude variance. Building Hillery
higher-order multimode sum-squeezing condition, using Hillery higher-order multimode
sum-squeezing condition to study from coherent states, squeezed states and photon-added
coherent states is also presented in this paper.

TS. VÕ TÌNH
Khoa Vật lý, Trường Đại học Sư phạm - Đại học Huế

ThS. NGUYỄN ANH BĂNG
Trường THPT Thanh Tuyền - Bình Dương