Chuyển vị lượng tử với trạng thái hai Mode kết hợp đối xứng và trạng thái hai Mode kết hợp phản đối xứng

CHUYỂN VỊ LƯỢNG TỬ VỚI TRẠNG THÁI HAI
MODE KẾT HỢP ĐỐI XỨNG VÀ TRẠNG THÁI HAI
MODE KẾT HỢP PHẢN ĐỐI XỨNG
NGUYỄN ĐÌNH DŨNG - TRƯƠNG MINH ĐỨC
Trường Đại học Sư phạm - Đại học Huế

Tóm tắt: Trong bài báo này, chúng tôi sử dụng trạng thái hai mode kết
hợp đối xứng và hai mode kết hợp phản đối xứng làm nguồn rối lượng
tử hai mode để chuyển vị lượng tử một trạng thái kết hợp. Đầu tiên,
chúng tôi chỉ ra rằng trạng thái hai mode kết hợp đối xứng và hai mode
kết hợp phản đối xứng bị đan rối theo [8]. Tiếp theo, sử dụng nguồn rối
này để chuyển vị một trạng thái kết hợp. Cho thấy, trạng thái hai mode
kết hợp đối xứng cho chuyển vị với độ trung thực 0.8 < Fav < 1, nhưng
trạng thái hai mode kết hợp phản đối xứng thì không cho chuyển vị với
độ trung thực Fav < 0.5.
1 GIỚI THIỆU
Sự truyền và nhận thông tin một cách tức thời dựa trên tính chất của các hạt vi mô, khi
đó bên gởi và bên nhận cùng chia sẻ với nhau một trạng thái rối lượng tử hai mode trở lên.
Cách truyền, nhận thông tin này gọi là chuyển vị lượng tử. Mô hình chuyển vị đầu tiên
được đưa ra bởi Bennett [3], sau đó nhiều mô hình khác được đưa ra như hình thức luận
hàm Wigner [5], hình thức luận biên độ trực giao [6], trạng thái Fock [7]. Sau đó, bài báo
của Janszky, Koniorczyk, Gabris đã đề cập phương thức đơn giản hơn được viết dưới dạng
các trạng thái kết hợp. Sau đó, bài báo của Caves [4] đã thảo luận về quá trình chuyển vị
lượng tử với trạng thái Gauss.
Trong bài báo này, chúng tôi tổng quan lại quá trình chuyển vị lượng tử dưới hình thức
các trạng thái kết hợp, từ trạng thái đo lường Bell [2], với độ trung thực trung bình và
toán tử dịch chuyển được đưa ra tường minh hơn. Hơn nữa, chúng tôi sử dụng trạng thái
hai mode kết hợp đối xứng và hai mode kết hợp phản đối xứng làm nguồn rối giữa bên gửi
và bên nhận (là những trạng thái phi Gauss) có dạng:
|ψ

⟩
ab

=√

)
(
⟩ ⟩
⟩ ⟩
1
|α a |β b + |β a |α b ,
2(1 + x)1/2

Tạp chí Khoa học và Giáo dục, Trường Đại học Sư phạm Huế
ISSN 1859-1612, Số 04(24)/2012: tr. 28-34

(1)


CHUYỂN VỊ LƯỢNG TỬ VỚI TRẠNG THÁI HAI MODE KẾT HỢP...

29

(
)
⟩ ⟩
⟩ ⟩
1
|β
−

|β
|α
|α
,
(2)
a
b
a
b
ab
2(1 − x)1/2
⟩ ⟩
⟨
⟩
trong đó |α , |β là các trạng thái kết hợp, x = | α|β |2 = exp(−|α − β|2 ). Các trạng thái
này dùng làm nguồn rối để chuyển vị lượng tử một trạng thái kết hợp theo mô hình chuyển
vị lượng tử biến liên tục theo H. F. Hofmann, T. Ide, T. Kobayashi [1].
và

|ψ

⟩

=√

2 KHẢO SÁT TÍNH ĐAN RỐI TRẠNG THÁI HAI MODE KẾT HỢP ĐỐI XỨNG VÀ
HAI MODE KẾT HỢP PHẢN ĐỐI XỨNG
Để thực hiện quá trình chuyển vị lượng tử cho trạng thái hai mode kết hợp đối xứng đưa
ra ở phương trình (1) và hai mode phản kết hợp đối xứng đưa ra ở phương trình (2). Trước
hết, các trạng thái này phải là các trạng thái rối lượng tử. Thật vậy, áp dụng điều kiện

đan rối cho hệ hai mode do Hillery-Zubairy [9]
⟨Na Nb ⟩ − |⟨ab† ⟩|2 < 0.
Với trạng thái hai mode kết hợp đối xứng, tiến hành tính toán ta được kết quả
{
[
1
† 2
⟨Na Nb ⟩ − |⟨ab ⟩| =
− (α∗ β − αβ ∗ )2 + 2x 4|αβ|2 − (αβ ∗ + α∗ β)
2
4(1 + x)
}
]
2
2
2
2
2 2
× (|α| + |β| ) − x (|α| − |β| ) .

(3)

(4)

Nếu chọn αβ ∗ là số thực và dương, lúc đó biểu thức trên được viết lại thành
{
}
(
)2
( 2

)
1
† 2
2
2 2
⟨Na Nb ⟩ − |⟨ab ⟩| =
× − 4x|αβ| |α| − |β| − x |α| − |β|
.
4(1 + x)2
Vế phải của phương trình trên là số âm, điều này đồng nghĩa với (3) được thỏa mãn, do
đó trạng thái kết hợp hai mode kết hợp đối xứng là một trạng thái rối theo điều kiện rối
Hillery-Zubairy.
Bây giờ chúng ta tiến hành tính toán tương tự cho trạng thái hai mode phản kết hợp đối
xứng, chú ý với trường hợp αβ ∗ là số thực và dương, chúng ta được kết quả
{
}
(
)2
( 2
)
1
2
2 2
⟨Na Nb ⟩ − |⟨ab† ⟩|2 =
×
4x|αβ|
|α|
−
|β|
−

x
|α|
−
|β|
4(1 − x)2
= R(α, β).
(5)
Đặt |β| = n|α|, khi đó ⟨Na Nb ⟩ − |⟨ab† ⟩|2 = R(α). Trạng thái này sẽ rối khi R(α) < 0. Kết
quả khảo sát của R(α) theo Hình 1
Trường hợp |β| = 0.5|α| ứng với đường liền nét và |β| = 0.2|α| ứng với đường đứt nét được
khảo sát trên đồ thị cho ta thấy trạng thái này cũng là một trạng thái rối theo điều kiện
Hillery-Zubairy nhưng với các biên độ kết hợp bé.


30

NGUYỄN ĐÌNH DŨNG - TRƯƠNG MINH ĐỨC

0.3
0.2
RΑ

0.1
0.0
0.1
0.2
0.3

0.2

0.4

0.6
Α

0.8

1.0

Hình 1: Sự phụ thuộc của R(α) theo |α|.

3

CHUYỂN VỊ LƯỢNG TỬ BIẾN LIÊN TỤC VỚI TRẠNG THÁI HAI MODE KẾT
HỢP ĐỐI XỨNG VÀ HAI MODE KẾT HỢP PHẢN ĐỐI XỨNG

Chuyển vị lượng tử diễn ra khi một trạng thái lượng tử được đưa vào hệ thống gửi (Alice)
và chuyển giao cho hệ thống nhận (Bob) thông qua việc khai thác tính chất rối lượng tử
giữa Alice và Bob. Giả sử Alice và Bob cùng chia sẻ một trạng thái rối lượng tử hai mode
(trạng thái EPR) a và b là
|ψ⟩ab = |Φ⟩a |Ψ⟩b ,
(6)
ở đây mode a dành cho Alice và mode b cho Bob, |Φ⟩a và |Ψ⟩b chứa các trạng thái kết hợp
dạng |α⟩, trạng thái gốc ứng với mode c được đưa vào Alice có dạng của trạng thái kết
hợp
|ψ⟩in = |Ω⟩c .
(7)
Trước khi gửi thông tin cho Bob, Alice thực hiện phép tổ hợp trên ba mode
|ψ⟩abc = |ψ⟩ab |ψ⟩in = |Φ⟩a |Ψ⟩b |Ω⟩c .

(8)

Tiếp theo, Alice thực hiện phép đo mức độ rối giữa hai trạng thái |ψ⟩ab và |ψ⟩in trên hai
mode a và c trong một trạng thái biên độ trực giao Bell [2], kết quả đo được chứa trong
√
biến phức A = (X + iP )/ 2. Kênh thông tin cổ điển gửi tới Bob sẽ chứa giá trị của biến
phức này, một bit chứa giá trị X và một bit chứa giá trị P . Chúng tôi viết lại tính chất
của trạng thái Bell theo [9] như sau
ˆ 1 (A) ⊗ D
ˆ 2 (−A∗ )|B(0, 0)⟩12 = D(2A)
ˆ
|B(X, P )⟩12 = D
⊗ |B(0, 0)⟩12 ,
và

⟨
2

ψ|B(0, 0)⟩12 = τˆ|ψ⟩1 , do đó
⟨
⟨
⟨
ˆ†
ˆ
τ † = 1 ψ ∗ |D(−2A),
12 B(X, P )|ψ⟩2 = 1 ψ|D (2A)ˆ

(9)

(10)

ˆ
ở đây D(α)
= exp(αˆ
a† − α∗ a
ˆ) là toán tử dịch chuyển và τˆ là toán tử liên hợp phức được
∗
định nghĩa là τˆ|ψ⟩ = |ψ ⟩. Việc thực hiện phép đo trên hai mode a và c là việc lấy tích


CHUYỂN VỊ LƯỢNG TỬ VỚI TRẠNG THÁI HAI MODE KẾT HỢP...

31

⟨
trong các trạng thái tương ứng ca B(X, P )| ⊗ |ψ⟩abc , sau khi đo, trạng thái ba mode sụp
đổ, do Bob rối với Alice nên Bob sẽ có trạng thái (không chuẩn hóa) theo mode còn lại b,
sử dụng (8) và (10) ta có
⟨
⟨
ˆ
|ψ⟩b = ca B(X, P )|Φ⟩a |Ψ⟩b |Ω⟩c = c Φ∗ |D(−2A)|Ω⟩
c |Ψ⟩b .

(11)

Đây là một phiên bản của trạng thái gốc ban đầu, nó chưa phải là bản chính thức do các
phép đo không hoàn toàn bên Alice. Chúng tôi viết lại (11) như sau
|ψ⟩b = Tˆ(A)|Ψ⟩b ,

(12)

⟨
ˆ
ở đây Tˆ(A) = c Φ∗ |D(−2A)|Ω⟩
c là toán tử chuyển vị, tính chất của toán tử chuyển vị đã
được đưa ra trong [1] dưới dạng trạng thái Fock. Toán tử chuyển vị không chỉ xác định
tính chất của trạng thái lượng tử sau khi đo mà nó còn cho biết phân bố xác suất kết quả
đo mức độ rối của Alice
P (A) = ||ψ⟩b |2 = |Tˆ(A)|Ψ⟩b |2 .
(13)
Cuối cùng, khi nhận được kết quả đo P và X (trong A) từ Alice, Bob nghịch đảo dịch
chuyển để thu được trạng thái gốc ban đầu, kết quả của quá trình là trạng thái ra có dạng
|ψ⟩out = √

1

1
ˆ
ˆ
D(β)|ψ⟩
D(β)
Tˆ(A)|Ψ⟩b ,
b = √
P (A)
P (A)

(14)

ở đây β = 2gA, g là một hệ số Bob dùng để hoàn thiện độ trung thực trong chuyển vị. Với

sự chuyển vị một trạng thái đơn mode, độ trung thực được định nghĩa là sự chồng chập
của trạng thái vào và trạng thái ra [1]
⟨
F (A) = |in ψ|ψ⟩out |2 =

⟨
1
ˆ
Tˆ(A)|Ψ⟩b |2 .
|in ψ|D(β)
P (A)

(15)

Dựa vào độ trung thực, ta có thể đánh giá mức độ thành công của quá trình chuyển vị.
Quá trình chuyển vị được với giới hạn chuyển vị là F = 0.5. Do sự rối không hoàn hảo
giữa Alice và Bob, phép đo không hoàn toàn của Alice nên thực tế F (A) luôn bé hơn 1.0.
Do vậy người ta đưa vào độ trung thực trung bình Fav
∫
∫
⟨
ˆ
Fav = d2 AP (A)F (A) = d2 A|in ψ|D(β)
Tˆ(A)|Ψ⟩b |2 .
(16)
Nếu Fav < 0.67 sẽ cho phép mô tả một biến ẩn định xứ.
Bây giờ chúng ta sẽ sử dụng mô hình chuyển vị lượng tử trên để khảo sát quá trình chuyển
vị lượng tử với nguồn rối là trạng thái hai mode kết hợp đối xứng và hai mode kết hợp
phản đối xứng.
Thật vậy, trạng thái hai mode kết hợp đối xứng là một trạng thái rối lượng tử hai mode

thỏa mãn điều kiện rối Hillery-Zubairy. Trạng thái này được sử dụng làm trạng thái rối


32

NGUYỄN ĐÌNH DŨNG - TRƯƠNG MINH ĐỨC

chia sẻ giữa Alice và Bob. Khi đó thông tin được mã hóa trong trạng thái kết hợp được
⟩
được chuyển vị là |γ c , kết quả tính toán cho ta trạng thái ra tại Bob là
⟩
⟩
ˆ
|ψ out = D(χ)|ψ
,
(17)
B
với χ = 2gA và
|ψ

⟩
B

{
[
]
⟩
|α|2 |γ − 2A|2
= N |β b exp −
−

+ α(γ − 2A)
2
2
]}
[
⟩
|β|2 |γ − 2A|2
−
+ β(γ − 2A) ,
+ |α b exp −
2
2

(18)

√
với N = 2/ 2π(1 + x)1/2 . Độ trung thực của chuyển vị là
{
}
∫ ∫
[
] 2
2
2
2
2 2
exp − (k − l) + (l − 1) |α| + 4l|α|(g + 1)rcosφ − 4(1 + g )r
Fav =
(1 + x)π
{

[
]
[
]
×
exp − 4|α|rcosφ(g + k) + exp − 4|α|rcosφ(gk + 1)
}
[
]
[
]
+ 2cos 2r|α|(g + 1)(k − 1)sinφ × exp − 2r|α|(g + 1)(k + 1)cosφ rdrdφ,
(19)
với |β| = k|α|, |γ| = l|α|, A = reiφ , χ = 2gA và ta chỉ chú ý tới độ lớn các biên độ kết hợp
|α|, |β|, |γ|. Sự phụ thuộc của Fav vào biên độ |α| và hệ số điều khiển g được biểu diễn trên
Hình 2 và Hình 3

1.0

1.0

0.8

(1)

0.8

(1)

0.6

Fav

Fav

0.6

0.4

0.4
(3)

0.2

0.2
0.0

(2)

(2)

0

1

2
Α

3

(3)

4

0.0

0

1

2
Α

3

4

Hình 2: Sự phụ thuộc của Fav theo |α| và g với giá trị của k = 1, l = 1, g = 0.5 với
đường (1), k = 2, l = 2, g = 0.5 ứng với đường (2) và k = 2, l = 3, g = 0.5 ứng với
đường (3).
Hình 3: Sự phụ thuộc của Fav theo |α| và g với giá trị của k = 1, l = 1, g = 0 với
đường (1), k = 1, l = 1.4, g = 0 ứng với đường (2) và k = 1.5, l = 2, g = 0 ứng với
đường (3)
Kết quả cho thấy rằng trạng thái hai mode kết hợp đối xứng có độ trung thực càng giảm
khi mức độ rối càng tăng, cùng một giá trị của g nhưng các biên độ kết hợp càng lớn thì


CHUYỂN VỊ LƯỢNG TỬ VỚI TRẠNG THÁI HAI MODE KẾT HỢP...

33

độ trung thực lại càng nhỏ, việc chuyển vị sẽ dễ dàng hơn nếu biên độ các trạng thái kết
hợp không chênh lệch nhau nhiều. Qua đồ thị ta có thể thấy rằng, việc có thể cho phép
mô tả một biến ẩn định xứ hay không tùy thuộc vào biến điều khiển g và các biên độ kết
hợp.
Tương tự như trạng thái hai mode kết hợp đối xứng, trạng thái hai mode kết hợp phản
đối xứng cũng là một trạng thái rối theo điều kiện Hillery và Zubairy nhưng với các biên
độ kết hợp bé. Tính toán tương tự như trạng thái hai mode kết hợp đối xứng, độ trung
thực của chuyển vị là
{
}
∫ ∫
[
] 2
4
2
2
2 2
Fav =
exp − (k − l) + (l − 1) α + 4lα(g + 1)rcosφ − 4(1 + g )r
2π(1 − x)
{
[
]
[
]
×
exp − 4αrcosφ(g + k) + exp − 4αrcosφ(gk + 1)
}
[

]
[
]
− 2cos 2rα(g + 1)(k − 1)sinφ × exp − 2rα(g + 1)(k + 1)cosφ rdrdφ,
(20)
với |β| = k|α|, |γ| = l|α|. Kết quả khảo sát Fav theo |α| được thể hiện trên Hình 4.

1.0
0.8
Fav

0.6
(1)

0.4
0.2
(2)

0.0

0

1

(3)

2
Α

3

4

Hình 4: Sự phụ thuộc của Fav theo |α| với giá trị của k = 0.5, l = 1, g = 0 ứng với
đường (1) trên đồ thị, k = 0.5, l = 2, g = 0 ứng với đường (2) và k = 1.5, l = 2, g = 0
ứng với đường (3)

Dựa vào đồ thị và các kết quả khảo sát khác cho thấy trạng thái này có độ trung thực cực
đại theo độ lớn các biên độ kết hợp là Fav = 0.5, điều này có ý nghĩa là sử dụng trạng thái
hai mode kết hợp phản đối xứng theo giá trị biên độ để chuyển vị là không thích hợp.
4

KẾT LUẬN

Như vậy, sử dụng mô hình chuyển vị lượng tử [1] chúng tôi đã tính toán quá trình chuyển
vị cho hai trạng thái kết hợp hai mode, trạng thái hai mode kết hợp đối xứng và hai mode
kết hợp phản đối xứng. Kết quả cho thấy rằng trạng thái hai mode kết hợp đối xứng cho


34

NGUYỄN ĐÌNH DŨNG - TRƯƠNG MINH ĐỨC

chuyển vị một cách hoàn hảo khi biên độ các mode trong trạng thái bằng với biên độ mode
được chuyển vị, khi biên độ các mode trong cùng trạng thái rối và trạng thái được chuyển
vị càng khác nhau, quá trình chuyển vị sẽ khó khăn hơn. Còn trạng thái hai mode kết hợp
phản đối xứng không thích hợp cho việc chuyển vị lượng tử theo độ lớn các biên độ kết
hợp.
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] H. F. Hofmann, T. Ide, T. Kobayashi (2000), Phys. Rev. A 62, 062304.

[2] J. Janszky, M. Koniorczyk, A. Gabris (2001), Phys. Rev. A 64, 034302.
[3] C. H. Bennett, G. Brassard, C. Crepeau, R. Jozsa, A. Peres, and W. K. Wootters
(1993), Phys. Rev. Lett. 70, 1895.
[4] C. M. Caves and K. Wódkiewicz (2004),Phy. Rev. Lett 93, 040506 .
[5] S. L. Braunstein and H. J. Kimble (1998), Phy. Rev. Lett 80, 869 .
[6] G. J. Milburn and S. L. Braunstein (1999), Phys. Rev. A 60, 937.
[7] S. J. van Enk (1999), Phys. Rev. A 60, 5095.
[8] M. Hillery and M. S. Zubairy (2006), Phys. Rev. A 74, 032333.
Title: QUANTUM TELEPORTATION WITH SYMMETRIC TWO MODES COHERENT STATE AND ANTI-SYMMETRIC TWO MODES COHERENT STATE
Abstract: In this paper, we use symmetric two mode coherent state and symmetric two
mode coherent state as the entangled resource state to teleport a coherent state. First, we
show that symmetric two mode coherent state and asymmetric two mode coherent state
are entangled. Next, We use this entangled resource to teleport a coherent state. The result
shows, the symmetric two modes coherent state provides teleportation with fidelity about
0.8 < Fav < 1. But, asymmetric two mode coherent state does not allow teleportation with
fidelity Fav < 0.5.
NGUYỄN ĐÌNH DŨNG
Học viên Cao học, Trường Đại học Sư phạm - Đại học Huế
Email:
PGS. TS. TRƯƠNG MINH ĐỨC
Khoa Vật lý, Trường Đại học Sư phạm - Đại học Huế