Bài giảng Tín hiệu và hệ thống: Chương 3 (Lecture 6) - Trần Quang Việt

urier hội tụ về giá trị trung bình tại
điểm gián đoạn
Điều kiện 1:

∫ |f(t)|dt<∞
T

f(t)=1/t; 0
Dn hữu hạn

Không thỏa điều kiện 1

Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11

4


3.3.2. Điều kiện tồn tại chuỗi Fourier
Điều kiện 2: có số cực đại và cực tiểu hữu hạn trong 1 chu kỳ

Ex: f(t)=sin(2π /t); 0
Thỏa ĐK 1 nhưng không thỏa 2

Điều kiện 3: có số điểm gián đoạn và giá trị gián đoạn là hữu hạn
trong 1 chu kỳ

Không thỏa ĐK 3

Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11

3.3.2. Điều kiện tồn tại chuỗi Fourier
Hiện tượng Gibbs: phát hiện: nhà vật lý Michelson
nhà toán học Gibbs

9%

9%

giải thích:

9%

Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11

5


3.3.3. Các tính chất của chuỗi Fourier
Tính tuyến tính:

f1 (t) ↔ D1n

f(t)=k1f1 (t)+k 2f 2 (t) ↔ D n =k1D1n + k 2 D 2n

f 2 (t) ↔ D 2n
Phép dịch thời gian:

f(t) ↔ D n

f(t − t 0 ) ↔ e − jnω0 t 0 D n

Phép đảo thời gian:

f(t) ↔ D n

f( − t) ↔ D − n

Phép tỷ lệ thời gian:
∞

f(t) ↔ D n

f(at) ↔ D n ; f(at)= ∑ D n e jnaω0 t
n =−∞

Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11

3.3.3. Các tính chất của chuỗi Fourier
Nhân 2 tín hiệu:

f1 (t) ↔ D1n
f 2 (t) ↔ D 2n

∞

f(t)=f1 (t)f 2 (t) ↔ D n = ∑ D1n D 2(n-k)
k= −∞

Liên hiệp phức:

f(t) ↔ D n

f * (t) ↔ D*− n

Định lý Parseval :
∞
1
2
Pf = ∫ |f(t)| dt= ∑ |D n |2
T T
n= −∞

Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11

6


3.4. Chuỗi Fourier và hệ thống LTI
Xét hệ thống LTI với đáp ứng xung là h(t)

và f(t) là tín hiệu tuần hoàn thỏa điều kiện Dirichlet. Khi đó có thể
biểu diễn f(t) thành chuỗi Fourier là tổng của các thành phần TS ejnωot
∞

f(t)= ∑ D n e jnω0 t
n= −∞
∞

y(t)=f(t) ∗ h(t)= ∑ D n [e jnω0t ∗ h(t)]

n= −∞
∞

∞

∞
y(t)= ∑ D n ∫ h(τ)e jnω0 (t −τ) dτ = ∑ D n  ∫ h(τ)e − jnω0 τ dτ  e jnω0 t
−∞
 −∞

n= −∞
n= −∞
∞

∞

y(t)= ∑ D n H(nω0 )e jnω0 t

∞

H(ω)= ∫ h(t)e − jωt dt
−∞

n= −∞

Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11

3.4. Chuỗi Fourier và hệ thống LTI
Nhận xét về đáp ứng của hệ thống LTI với tín hiệu tuần hoàn
y(t) cũng được biểu diễn dưới dạng chuỗi Fourier với các hệ số là

DnH(nω0) y(t) là tín hiệu tuần hoàn cùng tần số với f(t)
Các thành phần tần số khác nhau của f(t) khi qua HT LTI sẽ bị thay
đổi khác nhau về biên độ và pha tùy thuộc vào H(ω) HT LTI
đóng vai trò là một bộ chọn lọc tần số; H(ω): đáp ứng tần số.
Ví dụ: xác định chuỗi Fourier của ngỏ ra HT LTI có đáp ứng xung
h(t)=e-2tu(t) với ngõ vào f(t) như ví dụ phần 3.3.1 có T=π
∞
1
 nπ
f(t)= ∑ sinc 
 3
n= −∞ 3

 jnω0 t
e


1
 nπ
sinc 
 3
n= −∞ 6(1+jn)
∞

f(t)= ∑

∞

; H(ω)= ∫ h(t)e − jωt dt =
−∞

1
2+jω

 j2nt
e


Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11

7