Bài giảng Tín hiệu và hệ thống: Chương 3 - ThS. Đinh Thị Thái Mai

t), với biến số f thay cho tần số góc ω:
∞

=
X ( f ) F=
[x(t)]

∫

x(t)e− j2π ftdt

−∞

• Công thức của biến đổi Fourier nghịch tương đương
∞

x(t) = F −1[X(f )]= ∫ X ( f )e j2π ftdf
−∞

CuuDuongThanCong.com

/>

Biến đổi Fourier của tín hiệu không tuần hoàn

• Hàm X(ω) được gọi là phổ (Fourier) của tín hiệu x(t)
theo tần số
• Hàm biểu diễn
=
X (ω)
Re[ X (ω)]2 + Im[ X (ω)]2

được gọi là phổ biên độ của tín hiệu x(t) theo tần số
• Hàm
 Im[ X (ω)] 

Re[
X
(
ω
)]



ϕ(ω) = arctan 

được gọi là phổ pha của tín hiệu x(t) theo tần số

CuuDuongThanCong.com

/>

Biến đổi Fourier của tín hiệu không tuần hoàn

• Điều kiện hội tụ
• Điều kiện để các biến đổi Fourier thuận và nghịch
của tín hiệu x(t) tồn tại là x(t) phải là tín hiệu năng
lượng, nghĩa là:
∞
2
∫ x(t) dt < ∞
−∞

• Điều kiện để tín hiệu khôi phục từ biến đổi Fourier
của tín hiệu x(t) hội tụ về x(t) tại mọi thời điểm, ngoại
trừ tại các điểm không liên tục (Điều kiện Dirichlet):
• ∫ x(t) dt < ∞
∞

−∞

• Số điểm cực trị của x(t) là hữu hạn
• Số điểm không liên tục của x(t) là hữu hạn
CuuDuongThanCong.com

/>

Biến đổi Fourier của tín hiệu không tuần hoàn

• Các tính chất của biến đổi Fourier
• Tính tuyến tính:
F[α x1(t) + β x2(t)] = α X1(ω) + β X 2(ω)
• Dịch thời gian
• Dịch tần số

− jωt0

F[x(t − t0)] =
X (ω)e

jγ t
F[x(t)e=

] X (ω − γ )

CuuDuongThanCong.com

/>

Biến đổi Fourier của tín hiệu không tuần hoàn

• Co giãn trục thời gian:

1
ω
F[x(at)] =
X( )
|a| a

• Đạo hàm
dx(t)
F[
] = jω X (ω)
dt

• Tích phân

t
 X (ω)
F  ∫ x(τ )dτ  =
jω
 −∞


CuuDuongThanCong.com

/>

Biến đổi Fourier của tín hiệu không tuần hoàn

• Biến đổi Fourier của tích chập:
F[ f (t) * g(t)] = F (ω)G(ω)

• Biến đổi Fourier của tích thường (điều chế)
1
F[ f (t)g(t)] =
F (ω) * G(ω)
2π

CuuDuongThanCong.com

/>

Biến đổi Fourier của tín hiệu không tuần hoàn

• Công thức Parseval:
∞

∫

−∞

1

x(t) dt =
2π
2

∞

∫

X (ω) dω
2

−∞

Giá trị |X(ω)|2 có thể coi như đại diện cho năng lượng
của tín hiệu thành phần ejωt trong tín hiệu x(t) → hàm
biểu diễn |X(ω)|2 theo tần số ω cho ta biết phân bố
năng lượng của tín hiệu x(t) và được gọi là phổ mật độ
năng lượng của x(t).
Chú ý: phổ mật độ năng lượng của tín hiệu không tuần
hoàn là một hàm theo tần số liên tục
CuuDuongThanCong.com

/>

Biến đổi Fourier của tín hiệu không tuần hoàn

• Tính đối xứng:
• Phổ mật độ năng lượng của x(t) là một hàm chẵn, nghĩa là:

∀ω : X (ω) =

X (−ω)
• Nếu x(t) là tín hiệu thực:
∀ω : X (ω) =
X *(−ω)
• Nếu x(t) là tín hiệu thực và chẵn: X(ω) cũng là hàm chẵn,
nghĩa là:
∀ω : X (ω) =
X (−ω)
2

2

• Nếu x(t) là tín hiệu thực và lẻ: X(ω) cũng là hàm lẻ, nghĩa là:
∀(ω) : X (ω) =
− X (−ω)

Tính đối ngẫu: nếu X(ω) là biến đổi Fourier của tín
hiệu x(t) thì:
F[ X=
(t)] 2π x(−ω)

•

CuuDuongThanCong.com

/>

Biến đổi Fourier của tín hiệu không tuần hoàn

• Chu kỳ hiệu dụng của tín hiệu x(t) được định nghĩa

1/2
∞


như sau:
2
2
 ∫ t x(t) dt 

Td =  −∞∞


2
 ∫ x(t) dt 
 −∞


• Băng thông hiệu dụng của tín hiệu x(t) được định
1/2
nghĩa là:
∞ 2

2
 ∫ ω X (ω) dω 

Bω =  −∞∞


2
ω

ω
X
(
)
d
 ∫

 −∞


• Tích của băng thông với thời gian của bất kỳ tín hiệu
nào là bị chặn dưới: TdBω≥1/2
CuuDuongThanCong.com

/>

Biến đổi Fourier của tín hiệu không tuần hoàn

• Tần số cộng hưởng và băng thông hệ thống
• Tần số cộng hưởng ωr của một hệ thống có đáp ứng
tần số H(ω) là tần số tại đó |H(ω)| là cực đại.
• Để xác định ωr, giải phương trình d|H(ω)|/dω=0
• Giá trị |H(ωr)| được gọi là đỉnh cộng hưởng của hệ thống

• Băng thông tần số của hệ thống là dải tần số trong đó
độ suy giảm của hệ thống là không lớn hơn 1/√2 (băng
thông 3-dB)

CuuDuongThanCong.com

/>