Điều khiển sự hấp thụ và tán sắc trong hệ nguyên tử ba mức bằng kích thức kết hợp

Tạp chí Đại học Công nghiệp

ĐIỀU KHIỂN SỰ HẤP THỤ VÀ TÁN SẮC TRONG HỆ NGUYÊN TỬ
BA MỨC BẰNG KÍCH THÍCH KẾT HỢP
Phạm văn Trọng*, Lê Văn Đoài**, Hoàng Hồng Khuê**,
Đinh Xuân Khoa**, Nguyễn Huy Bằng, Nguyễn Công Kỳ***
TÓM TẮT
Trong công trình này chúng tôi nghiên cứu sự thay đổi của công tua hấp thụ và tán sắc của các
nguyên tử lạnh Rb87 đối với một chùm laser có cường độ yếu (chùm dò) dưới sự kích thích kết hợp
của một trường laser điều khiển có cường độ mạnh. Tần số của hai chùm laser được lựa chọn để
kích thích hệ nguyên tử theo cấu hình lambda. Sử dụng lý thuyết ma trận mật độ, chúng tôi đã dẫn
ra được biểu thức cho các hệ số hấp thụ và tán sắc trong gần đúng sóng quay. Kết quả nghiên cứu
cho thấy khi điều kiện về trong suốt cảm ứng điện từ được thiết lập, các công tua của hấp thụ và tán
sắc có thể điều khiển được theo cường độ và độ lệch tần của trường ngoài.
CONTROLLING ABSORPTION AND DISPERSION IN THE THREE-LEVEL SYSTEM BY
COHERENT EXCITATION
ABSTRACT
In this work we study absorption and dispersion profiles of cold 87Rb atoms for a weak laser
light under coherent excitation of a strong controlling laser light. The two laser lights are set to
excite the atoms via the three-level lambda scheme. Using the electric-dipole and rotating wave
approximations we derive absorption coefficient of the atoms for the probe light. We see that, under
electromagnetically induced transparency regime it can be possible to control transparent window
in the probe absorption profile and dispersion properties by varying intensity and/or frequency
detuning of the controlling light.
1. GIỚI THIỆU
Hấp thụ và tán sắc là hai tham số cơ bản
đặc trưng cho các tính chất quang học của môi
trường. Hai đại lượng này có quan hệ mật thiết
với nhau theo mối quan hệ nhân quả của biểu
thức Kramer-Kronig. Thông thường, hệ số hấp
thụ và hệ số tán sắc được biểu diễn tương ứng

theo phần ảo và phần thực của hệ số độ cảm
điện môi. Những đại lượng này đặc trưng cho
tương tác giữa các nguyên tử với trường kích
thích. Biên độ của các đại lượng này thay đổi
rất đáng kể trong lân cận tần số cộng hưởng của

nguyên tử. Đặc biệt, nhiều biến đổi rất kỳ dị
của các đường cong hấp thụ và tán sắc khi có
hai hoặc nhiều trường cùng tham gia tương tác
với hệ nguyên tử. Một trong những tính chất đó
là hiện tượng trong suốt cảm ứng điện từ được
nhóm Harris đề xuất vào năm 1989 [1] và được
kiểm chứng thực nghiệm vào năm 1991 [2]
cho nguyên tử Sr. Đây là kết quả của sự giao
thoa lượng tử giữa các biên độ xác suất dịch
chuyển dẫn đến sự trong suốt của môi trường
đối với một trường quang học nào đó.

* GV. Trường Đại học Hồng Đức. Thanh hóa
** GV. Đại học Vinh
*** GV. Trường Đại học Công nghiệp thành phố Hồ Chí Minh

29


Điều khiển sự hấp thụ và tán sắc…

Điều khiển sự hấp thụ và tán sắc bằng hiệu
ứng trong suốt cảm ứng điện từ hiện đang được
chú ý nghiên cứu trên cả hai phương diện lý

thuyết và thực nghiệm đối với các hệ nguyên tử
khác nhau. Trong đó rất nhiều nghiên cứu chú ý
đến các vấn đề như: tạo các bộ chuyển mạch
quang học [3], làm chậm vận tốc nhóm của ánh
sáng [4], xử lý thông tin lượng tử [5], tăng hiệu
suất các quá trình quang phi tuyến [6], phổ
phân giải cao [7]. Đặc biệt, sự ra đời của các kỹ
thuật làm lạnh nguyên tử bằng laser trong thời
gian gần đây đã tạo ra các hệ nguyên tử lạnh
(nhiệt độ cỡ μK) mà ở đó các va chạm dẫn đến
sự biến đổi pha giữa các trạng thái lượng tử của
điện tử có thể được bỏ qua. Các nhà khoa học
kỳ vọng điều này sẽ tạo một bước đột phá trong
ứng dụng vào chế tạo các thiết bị quang tử học
có độ nhạy cao.
Trong công trình này, chúng tôi lựa chọn hệ
các nguyên tử lạnh Rb87 được kích thích theo
cấu hình lambda để nghiên cứu sự thay đổi công
tua hấp thụ và công tua khúc xạ theo độ lệch tần
và cường độ của chùm laser liên kết. Mục 2 trình
bày tóm tắt lý thuyết về ma trận mật độ cho mô
tả hệ nguyên tử 3 mức và dẫn ra các biểu thức
cho hệ số hấp thụ và hệ số tán sắc. Mục 3 trình
bày các kết quả nghiên cứu về khả năng điều
khiển hệ số hấp thụ và hệ số tán sắc theo trường
điều khiển đồng thời xem xét hiệu suất tạo độ
trong suốt trên công tua hấp thụ.
2. CƠ SỞ LÝ THUYẾT
Sơ đồ cấu hình lambda của nguyên tử 87Rb
được trình bày như trên hình 1. Ký hiệu các

trạng thái 1 , 2 và 3 tương ứng với các
mức 5S1/2(F =1), 5S1/2 (F =2) và 5P3/2(F = 3).
Ở đây, F là ký hiệu số lượng tử của mô men
góc toàn phần của nguyên tử ở trạng thái khảo
sát. Giả thiết rằng các chùm laser dò (có cường
độ rất bé) và laser điều khiển (có cường độ rất
lớn) đều phát ở chế độ liên tục và đơn mode
tương ứng với các tần số ωp và ωc. Gọi là Δp và
30

Δc là các độ lệch tần của chùm dò và chùm điều
khiển, ta có:
Δp = ωp - ω31 , Δ c = ωc - ω32

(1)
3

2  
1

Hình 1. Cấu hình kích thích dạng lambda trong
giản đồ năng lượng của nguyên tử Rb87[8].
Dưới tác dụng của các trường bức xạ, sự tiến
triển các trạng thái lượng tử của hệ nguyên tử
có thể được mô tả qua ma trận mật độ ρ theo
phương trình Liouville:

∂ρ
i
= − [H , ρ ]mn − (γρ ) mn

=
∂t

(2)

Ở đây, γ mn đặc trưng cho cho các quá trình tích
thoát độ cư trú (do phân rã tự nhiên) từ mức m
xuống mức n, H là Hamintolnian toàn phần
được xác định bởi [9]:
H = H0 + H I ,

(3)

trong đó Ho và HI tương ứng là các
Hamintolnian tự do và Hamintonian tương tác:
3

H 0 = ∑ =ωm m m = =ω1 + =ω2 + =ω3

(4)

m =1

HI = −

=Ω p
2

(3 1 e

−iω pt

+ 1 3e

iω p t

)− =Ω2 ( 3
c

2 e −iωct + 2 3 e iωct

(5)
còn Ωp và Ωc tương ứng là tần số Rabi của
chùm dò và chùm điều khiển:
Ωp =

2d 31 E p

Ωc =

=

2d 21 Ec  
=

(6)
(7)

)

Tạp chí Đại học Công nghiệp

dmn là mô men dịch chuyển lưỡng cực điện giữa
các trạng thái m và n.

Sử dụng gần đúng lưỡng cực điện và gần
đúng sóng quay, các phần tử ma trận của hệ 3
mức trong phương trình (2) được viết thành:
iω − iω t
∂ρ 21
iΩ
= −iρ 21ω21 − p e p ρ 23 + c ρ31eiωct − γ 21ρ 21
∂t
2
2

(6)

iΩ −iω t
∂ρ31
iΩ
= −iρ31ω31 − p e p (ρ33 − ρ11 ) + c eiωctρ 21 − γ 31ρ31
∂t
2
2

(7)

iΩ − iω t

∂ρ32
iΩ
= −iρ32 ω32 − c e − iωct (ρ33 − ρ 22 ) + p e p ρ12 − γ 32ρ32
∂t
2
2

(8)

χ =−

(9)

ρ31 (t ) = ρ 31 (t )e

, ρ32 (t ) = ρ 32 (t )e − iωct , ρ 21 (t ) = ρ 21e

− i ( ω p −ωc ) t

(10)

α=

χ′′ω p
c

Khi đó, hệ các phương trình (6) - (8) được
viết thành
iω p ~
iΩ

ρ 23 + c ρ~31
2
2

(11)

iΩ p
iΩ
( ρ 33 − ρ11 ) + c ρ~21
ρ~ 31 = − γ 31 − iΔ p ρ~31 +
2
2

(12)

ρ~ 21 = −[γ 21 − i (Δ p − Δ c )]ρ~21 −

[

]

ρ~ 32 = −[γ 32 − iΔ c ]ρ~32 −

Trong mô hình của chúng ta, cường độ
trường dò (cỡ μW) được giả thiết là rất bé so
với trường điều khiển (có cỡ mW). Nghĩa là
biên độ của trường dò Ep rất bé so với biên độ
trường điều khiển Ec. Đồng thời, thời độ cư trú
của nguyên tử ở các trạng thái kích thích sẽ nhỏ
hơn rất nhiều so với trạng thái cơ bản, nghĩa

là ρ33 , ρ 22 << ρ11 , còn ρ 33 ≈ ρ 22 ≈ 0, ρ11 = 1 . Từ
các gần đúng này ta tìm được:
ρ 31 = −

Ω2 / 4
γ 31 − iΔ p + c
γ 21 − iΔ

2 Nd 312
Re(ρ 31 ) ,
=ε0Ω p

(16a)

χ" = −

2 Nd 312
Im(ρ 31 ) .
=ε0Ω p

(17a)

=

ω p Nd 312

γ 221γ 31 + γ 21 (Ω c / 2) 2 + γ 31 ( Δ p − Δ c ) 2

cε 0 = ⎡ γ 31γ 21 − Δ p ( Δ p − Δ c ) + (Ω c / 2) 2 ⎤ 2 + ⎡ γ 21Δ p + γ 31 ( Δ p − Δ c ) ⎤ 2
⎦

⎣
⎦ ⎣

(16b)
n = 1+

2
Nd 312 ⎡⎣ γ 21
Δ p + Δ p ( Δ p − Δ c ) 2 − ( Δ p − Δ c )Ω 2c / 4 ⎤⎦

2
=ε0 ⎡⎢( γ 21γ 31 − Δ p ( Δ p − Δ c ) + Ω 2c / 4 ) 2 + ( ( Δ p − Δ c ) γ 31 + Δ p γ 21 ) ⎤⎥
⎣
⎦

(17b)

iΩ p
iΩ c
ρ12
( ρ 33 − ρ 22 ) +
2
2
(13)

iΩ p
2

χ'31 = −

Hoặc dưới dạng hệ số hấp thụ và hệ số khúc xạ:

Để thuận tiện cho việc tính toán, ta đặt:
− iω p t

(15)

Mặt khác, do phần thực χ’ và phần ảo χ”
của độ cảm phức χ = χ’ + iχ” tương ứng tỷ lệ
với hệ số khúc xạ (n) và hệ số hấp thụ (α) của
môi trường. Vì vậy, tách phần thực và phần ảo
của χ trong (15) và sử dụng (14) ta được:

Các phần tử chéo liên hệ với nhau thông
qua điều kiện chuẩn hóa:

ρ11 + ρ 22 + ρ33 = 1

2 Nd 312 ~
ρ 31
ε 0 =Ω p

(14)

Các biểu thức (16) và (17) là cơ sở để xét
khả năng điều khiển hệ số hấp thụ và hệ số
khúc xạ (tán sắc) đối với chùm dò.
3. ĐIỀU KHIỂN SỰ HẤP THỤ VÀ TÁN SẮC

Dựa vào biểu thức của hệ số hấp thụ và hệ

số tán sắc của chùm dò ta thấy nó phụ thuộc
vào cường độ và độ lệch tần của chùm liên kết.
Để khảo sát ảnh hưởng của trường laser liên kết
lên hệ số hấp thụ và hệ số tán sắc của chùm dò
chúng tôi vẽ đồ thị của các biểu thức (16), (17).
Vì gả thiết laser dò có cường độ yếu (thường cỡ
μW) sao cho nó không ảnh hưởng đến độ cư trú
mức 5S1/2 (F =1), ta chọn Ωp = 0.01 MHz. Các
tham số của hệ nguyên tử 87Rb được chọn là
[8]: γ21= 0.97 MHz, γ31 = 6 MHz. Xét hai
trường hợp sau:

Phần tử ρ 31 liên hệ với độ cảm phức của
môi trường đối với chùm dò thông qua hệ thức:
31


Điều khiển sự hấp thụ và tán sắc…

a. Điều khiển sự hấp thụ và tán sắc theo
cường độ sáng

Trong trường hợp này tần số của chùm
liên kết được lựa chọn cộng hưởng với dịch
chuyển 5S1/2(F =1) ↔ 5P3/2(F =3), nghĩa là Δc
= 0. Vì giả thiết laser dò có cường độ yếu, đồ
thị của công tua hấp thụ và công tua tán sắc đối
với chùm dò theo tần số Rabi Ωc và độ lệch tần
Δp được vẽ trên hình 2.
Xét cho công tua hấp thụ ta thấy rằng, khi

không có mặt trường điều khiển (Ωc = 0), công

tua hấp thụ đạt cực đại tại tần số cộng hưởng ωp
= ω31 như trường hợp thường gặp. Tuy nhiên,
khi có mặt trường điều khiển (Ωc > 0) thì đỉnh
cực đại hấp thụ này bị trũng xuống, nghĩa là độ
hấp thụ giảm và tạo thành một cửa sổ trong
suốt trên công tua hấp thụ. Độ sâu và độ rộng
của cửa sổ này tăng khi tăng tần số Rabi Ωc.
Điều này được minh họa rõ nét hơn trên đồ thị
một chiều tại một số giá trị cụ thể của Ωc như
trên hình 3. Từ hình 3 ta cũng nhận thấy rằng,
khi độ lệch tần Δc = 0 thì tâm của cửa sổ trong
suốt nằm tại vị trí cộng hưởng (ứng với Δp = 0).

Hình 2. Sự phụ thuộc của công tua hấp thụ (a) và công tua tán sắc (b) của chùm dò vào
cường độ trường điều khiển (Ωc) khi độ lệch tần Δc = 0.

Hình 3. Công tua hấp thụ (các hình phía trên) và công tua tán sắc (các hình phía dưới) của
chùm dò tại các giá trị Ωc = 0, 3, 8 và 16 MHz khi độ lệch tần Δc = 0.

32


Tạp chí Đại học Công nghiệp

Với hệ số tán sắc, khi không có mặt trường
liên kết thì đường tán sắc giảm theo tần số (tán
sắc dị thường) xung quanh tần số cộng hưởng
ω. Tuy nhiên khi có mặt trường điều khiển và

tăng dần cường độ (tăng dần Ωc) thì tại vị trí
cộng hưởng đường cong tán sắc bị thay đổi tạo
thành các miền tán sắc thường tán sắc dị
thường. Độ rộng (do đó độ dốc) của các miền
này có thể điều khiển được bằng cách thay đổi
tần số Rabi của trường điều khiển.

b. Điều khiển sự hấp thụ và tán sắc theo
độ lệch tần

Để khảo sát ảnh hưởng của độ lệch tần Δc
của trường điều khiển lên công tua hấp thụ và
tán sắc chúng tôi vẽ đồ thị của chúng với các
giá trị khác nhau của Δc tại giá trị cố định của
Ωc = 12MHz. Đồ thị của các công tua này được
vẽ như trên hình 4 (ứng với không gian 3 chiều)
và hình 5 (ứng với không gian một chiều).

Hình 4. Sự phụ thuộc của công tua hấp thụ (a) và công tua tán sắc (b) của chùm dò vào độ lệch
tần Δc khi tần số Rabi được cố định tại Ωc= 12MHz.

Từ các hình 4 và 5 ta thấy rằng, khi độ lệch
tần Δc = 0 thì tâm của cửa sổ trong suốt nằm tại
tần số cộng hưởng của dịch chuyển nguyên tử.
Khi Δc < 0 và có độ lớn tăng dần thì cửa sổ
trong suốt trên đường hấp thụ bị dịch dần về

phía có tần số bé (dịch về phía đỏ), còn khi
Δc > 0 thì cửa sổ này bị dịch theo chiều ngược
lại. Chiều dịch chuyển này cũng giống như

chiều dịch chuyển của đường cong tán sắc.

Hình 5. Công tua hấp thụ (các hình phía trên) và công tua tán sắc (các hình phía dưới) của
chùm dò tại các giá trị của lệch tần Δc = -5, 0, +5 MHz và tần số Rabi Ωc = 12MHz.

33


Điều khiển sự hấp thụ và tán sắc…

Như vậy, ta thấy rằng độ sâu và độ rộng của
cửa sổ trong suốt có thể điều khiển được bằng
cách thay đổi cường độ trường điều

dốc (đặc trưng cho tốc độ thay đổi) của đường
cong tán sắc sẽ bé.

khiển. Chúng ta có thể định nghĩa độ trong suốt
tại tâm công tua hấp thụ khi chùm điều khiển
cộng hưởng với dịch chuyển nguyên tử bởi:
T (Ω c ) =

α(Ω c = 0) − α (Ω c ≠ 0)
α(Ω c = 0)
Δ

(18)
c = 0, Δ p = 0

Trong đó, α(Ω c ≠ 0) và α(Ω c = 0) là hệ số

hấp thụ ứng với khi có mặt và không có mặt
trường điều khiển. Sử dụng biểu thức (16b)
chúng tôi vẽ đồ thị T trong (18) theo Ωc như
trên hình 6. Ở đây, các độ lệch tần Δp và Δc đều
được chọn bằng 0. Từ hình 6 ta nhận thấy khi
Ωc tăng dần từ 0 thì độ trong suốt cũng sẽ tăng
dần từ 0 và tiến tới giới hạn là 1 khi Ωc tiến tới
vô cùng. Tuy nhiên đây là điều lý tưởng, còn
trong thực tế ta chỉ có thể điều khiển độ trong
suốt tiến tới gần giá trị này. Ví dụ, có thể đạt
được độ trong suốt tới 95% nếu tần số Rabi tiến
tới 40 MHz. Điều này có thể đạt được bằng
cách sử dụng chùm laser có công suất cỡ
50mW. Điều quan trọng ta cần nhấn mạnh ở
đây là khi ta chọn độ trong suốt cao thì độ rộng
của cửa sổ này cũng lớn (xem hình 3) còn độ

Hình 6. Sự phụ thuộc của độ trong suốt vào
tần số Rabi của trường điều khiển Ωc.
4. KẾT LUẬN

Sự thay đổi của công tua hấp thụ và công tua
tán sắc của hệ nguyên tử lạnh 87Rb cấu hình
lambda theo trường laser điều khiển đã được
nghiên cứu trong khuôn khổ lý thuyết bán cổ
điển có sử dụng gần đúng lưỡng cực và gần
đúng sóng quay. Kết quả cho thấy có thể tạo
được cửa sổ trong suốt trên công tua hấp thụ
(và do đó công tua tán sắc) bằng cách thay đổi
cường độ trường và thay đổi độ lệch tần của

chùm laser điều khiển. Độ trong suốt và độ dốc
của đường cong tán sắc sẽ là hai tham số quan
trọng cho các thí nghiệm về làm chậm vận tốc
nhóm ánh sáng.

TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] S.E. Harris, J.E. Field, A. Imamoglu, Phys. Rev. Lett. 64 (1990) 1107.
[2] K.J. Boller, A. Imamoglu, S.E. Harris, Phys. Rev. Lett. 66 (1991) 2593.
[3] B.S.Ham, J. Mod. Opt. 49 (2002) 2477.
[4] L.V. Hau, S. E. Harris, Z, Dutton, C.H. Bejroozi, Nature 397 (1999) 594.
[5] M.D. Eisaman, A. Andre, F. Massou, M. Fleischhauer, A.S. Zibrov, M.D. Lukin, Nature 438 (2005) 837.
[6] D.A. Braje, V. Balic, S. Goda, G.Y. Yin, S.E. Harris, Phys.Rev. Lett. 93 (2004) 183601.
[7] H. Lee, M. Fleischhauer, M.O. Scully, Phys. Rev. A58 (1998) 2587.
[8] Daniel Adam Steck: Rubidium 87 D Line Data. />[9]. Yong-qing Li and Min Xiao, Phys. Rev. A51 (1995) R2703-2706.
LỜI CẢM ƠN
Công trình này được hoàn thiện dưới sự tài trợ của đề tài Nghị định thư “Hợp tác nghiên cứu và chuyển giao
công nghệ làm lạnh nguyên tử bằng laser” mã số 03/2009/HĐ-NĐ

34


35