So sánh và lựa chọn hàm dạng phù hợp trong nội suy trường nhiệt độ

Phạm Thành Long và Đtg

Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ

189(13): 73 - 77

SO SÁNH VÀ LỰA CHỌN HÀM DẠNG PHÙ HỢP
TRONG NỘI SUY TRƯỜNG NHIỆT ĐỘ
Phạm Thành Long*1, Lê Thị Thu Thủy1, Nguyễn Hữu Thắng1, Lê Đức Độ2
1

Trường Đại học Kỹ thuật Công nghiệp – ĐH Thái Nguyên,
2
Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội

TÓM TẮT
Các đại lượng vật lý tồn tại dưới dạng các trường liên tục như nhiệt độ, độ ẩm, âm thanh, ánh
sáng… rất phổ biến trong kỹ thuật. Khi khảo sát các trường này, do tính liên tục của nó nên có thể
giảm chi phí tính toán bằng cách nội suy. Ngoài các điểm chốt có dữ liệu mẫu, các điểm nội suy có
độ chính xác phụ thuộc vào dạng hàm nội suy và mật độ các điểm chốt lớn hay nhỏ. Bài báo này
so sánh hai kiểu hàm dạng là hàm dạng lý thuyết và hàm dạng thực nghiệm nhằm chọn kiểu phù
hợp hơn khi nội suy nhiệt độ. Cách làm ở đây là so sánh các kết quả nhận được của mỗi phương
pháp áp dụng trên cùng một mô hình vật lý với kết quả đo được thực tế bằng cảm biến nhiệt, ở
cùng vị trí. Kết quả so sánh cho thấy hàm dạng thực nghiệm có độ chính xác cao hơn trong cùng
điều kiện, đây là cơ sở để cải thiện chất lượng khi tiến hành nội suy một đại lượng mà chưa quan
tâm đến dạng hàm.
Từ khóa: Hàm dạng, điểm chốt, nội suy, nhiệt độ, trường liên tục.

MỞ ĐẦU*
Nội suy là phương pháp ước tính giá trị của
các điểm dữ liệu chưa biết trong phạm vi của

một tập hợp rời rạc chứa một số điểm dữ liệu
đã biết với độ chính xác đánh giá được. Độ
chính xác của phép nội suy phụ thuộc chặt
chẽ vào tính liên tục của đại lượng được nội
suy, mật độ điểm chốt và đặc biệt là dạng
hàm sử dụng trong quá trình tính toán [1,2,3].
Sai số do dạng hàm gây ra khi nội suy là sai
số phương pháp, việc xác định đúng dạng
hàm xấp xỉ có ý nghĩa quan trọng khi mật độ
điểm chốt không đủ lớn, điều này đặc biệt
quan trọng khi chi phí lấy mẫu cao.
Theo [4], hàm dạng lý thuyết này được áp
dụng hiệu quả trên mô hình nội suy sai số
máy công cụ, tuy nhiên chưa có kiểm chứng
nào trong lĩnh vực nội suy trường nhiệt độ.
Theo [5], hàm hồi quy thực nghiệm này có
quy trình khá phức tạp để nhận dạng mặc dù
đáp ứng yêu cầu độ chính xác kết quả. Hàm
dạng lý thuyết theo [4] không cần quá trình
phức tạp này nhưng độ chính xác của nó như
thế nào so với hàm dạng thực nghiệm ở [5]
chính là mục tiêu của bài báo này.
*

Tel: 0947 169291, Email:

HÀM DẠNG LÝ THUYẾT VÀ HÀM
DẠNG THỰC NGHIỆM
* Khái niệm hàm dạng
Hàm dạng được sử dụng phổ biến trong nội

suy [6,7,8,9] và có nhiều dạng khác nhau, phù
hợp các hoàn cảnh khác nhau.Xét một không
gian nội suy như hình 1.

Hình 1. Mô tả ảnh hưởng của các điểm chốt đến
điểm khảo sát qua hàm dạng

Theo hình 1, ảnh hưởng cường độ của các
nguồn vô hướng 1  n tới điểm khảo sát pi
tính toán theo (1):

 pi  N1( i ) .1  N 2( i ) .2  ...  N n( i ) .n

(1)

Trong đó các hệ số N1 – Nn là các hàm dạng,
mô tả ảnh hưởng của các nguồn 1  n đến
điểm khảo sát theo thứ tự đó. Về cơ bản hàm
dạng của một điểm chốt sẽ cho ra giá trị ảnh
hưởng cực đại bằng 1 tại điểm đó và giảm dần
bằng 0 tại các điểm chốt còn lại [5]. Phương
trình (1) diễn tả nguyên lý chồng chất tại
73


Phạm Thành Long và Đtg

Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ

điểm khảo sát. Bản thân các hàm dạng Ni có

thể xác định theo một trong hai phương pháp
sau đây.
* Hàm dạng lý thuyết
Xét một cửa sổ có dạng hộp chữ nhật thuộc
vùng khảo sát như hình 2.

189(13): 73 - 77

Như vậy các giá trị (r, s, t) này biến thiên
trong đoạn [-1,1], hệ quả là các giá trị Ni cũng
thuộc đoạn [-1,1] sau khi đổi biến.
* Hàm dạng thực nghiệm
Giống với hàm dạng lý thuyết, các giá trị Ni
trong phương trình (1) có thể là giá trị dừng
của hàm tọa độ fi(x,y,z) là hàm khoảng cách
của các tọa độ tương ứng.

 f1 ( x, y , z ) pi  N1

với i  1  n
M
 f ( x, y , z )  N
pi
n
 n

Hình 2. Các điểm chốt và hệ quy chiếutrên vùng
khảo sát

Theo [5] hàm dạng lý thuyết cho 8 điểm chốt

trên hình 2 xác định như sau:
1
N1  (1  r )(1  s )(1  t )
8
1
N 2  (1  r )(1  s )(1  t )
8
1
N 3  (1  r )(1  s )(1  t )
8
1
N 4  (1  r )(1  s )(1  t )
8
1
N 5  (1  r )(1  s )(1  t )
8
1
N 6  (1  r )(1  s )(1  t )
8
(2)
1
N 7  (1  r )(1  s )(1  t )
8
1
N 8  (1  r )(1  s )(1  t )
8
Hệ quy chiếu r,s,t đặt tại trọng tâm của hộp
nên có công thức chuyển trục:
x  x*
y  y*

z  z*
(3)
r
;s
;t 
a
b
c
Trong đó a, b, c xác định theo hình 2, tọa độ
trọng tâm của phần tử đang xét:

x  x4
y  y2
z z
x*  1
; y*  1
; z*  1 3 (4)
2
2
2
74

(5)

Hàm fi(x,y,z) ở vế trái của (5) được gọi chung
là hàm dạng thực nghiệm, Ni là giá trị dừng
của hàm này tính cho các điểm khảo sát pi
khác nhau. Theo hình 1, khảo sát một điểm pi
nằm bên trong của trường n điểm cực biết
trước sai số (1 ,2 ,...,n ) kể cả sai số điểm

khảo sát  pi . Quan tâm đến các thành phần
của dữ liệu đo tại điểm khảo sát pi
(p )
gồm pi  (d x , d y , d z ,  x ,  y ,  z ) i , quan hệ
này có thể biểu diễn theo giá trị của các điểm
cực đã biết (6):

1pi  N1.d x(1)  N 2 .d x(2)  ...  N n .d x( n )

M
 pi  N . (1)  N . (2)  ...  N . ( n )
1 z
2 z
n z
 n

(6)

Từ đây xác định được giá trị dừng của hàm
dạng thực nghiệm đối với điểm pi:

 d x(1) L
 N1 
M    L L

 
 N n  pi  z(1) L

1

d x( n )   d xpi 
  
L  . L 
 z( n )   zpi 

(7)

Một bộ giá trị dừng duy nhất theo (7) không
đủ để xác định được hàm dạng tổng quát, cần
tiếp tục khảo các điểm khác nữa, chẳng hạn
khảo sát các điểm từ p1  pm để có được:

 N1   N1 
 N1 
M  ; M  ;...; M 
   
 
 N n  p1  N n  p 2
 N n  pm

(8)

Như vậy luật hồi quy cho phép xác định được
hàm dạng thực nghiệm ở nguồn thứ i như sau:
(i )
( N p( i1) , N p( i2) ,..., N pm
)  f i ( x, y , z )

(9)

Phạm Thành Long và Đtg

Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ

189(13): 73 - 77

SO SÁNH VÀ LỰA CHỌN HÀM DẠNG PHÙ HỢP
Dễ thấy giá trị nội suy (1) tính theo hàm dạng lý thuyết (2) và hàm dạng thực nghiệm (9) với
cùng cường độ các điểm chốt sẽ khó đồng nhất ngoại trừ điểm chốt. Nếu so sánh hai cách tính
này với dữ liệu đo dùng kiểm chứng độc lập hai cách nội suy sẽ biết được độ chính xác của từng
phương pháp.
* Mô tả thiết bị đo

Hình 3. Cảm biến nhiệt độ sử dụng trong thí nghiệm

giá trị hiệu điện thế nhất định tại chân Vout
(chân giữa) ứng với mỗi mức nhiệt độ.
* Mô tả mô hình thí nghiệm
Trên hình 5 bố trí 8 cảm biến nhiệt, theo sơ
đồ trên hình 2 với các kích thước:
2a = 500(mm); 2c = 380(mm); 2b = 400(mm).
Hai quạt thông gió làm mát bố trí ở hai đầu
của nhà kính có công suất 2.5W/chiếc;
Hình 4. Mạch hiển thị thông số nhiệt độ sử dụng
LM35 và Arduino UNO

Cảm biến LM35 là bộ cảm biến nhiệt mạch
tích hợp chính xác cao mà điện áp đầu ra của
nó tỷ lệ tuyến tính với nhiệt độ theo thang độ

Celsius. Chúng cũng không yêu cầu cân chỉnh
ngoài vì vốn chúng đã được cân chỉnh. Cảm
biến LM35 hoạt động bằng cách cho ra một

3 bóng đèn sưởi ấm bố trí rải rác trong không
gian của nhà có công suất 10W/bóng;
Sử dụng một cảm biến nhiệt di động phía bên
trong để đo nhiệt độ tại một điểm bất kỳ nhằm
đối chứng với kết quả nội suy.
Kết quả nội suy theo hai phương pháp và kết
quả đo được thể hiện trên hình 6.

Hình 5. Mô hình nhà kính thí nghiệm và đường khảo sát nhiệt độ 9 điểm phía trong

75


Phạm Thành Long và Đtg

Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ

189(13): 73 - 77

Hình 6. Kết quả nội suy theo hai phương pháp và kết quả đo đối chứng

Tại các điểm nội suy trên hình 6 do không thể
hiện điểm chốt nào nên có thể nhận thấy kết
quả là không có điểm nào trùng nhau về giá
trị giữa phương pháp hàm dạng lý thuyết và
hàm dạng thực nghiệm, điều này có thể nhận

thấy ngay từ mô hình toán.
KẾT LUẬN
Rõ ràng hàm dạng lý thuyết thể hiện sự đối
xứng trong kết cấu không gian nội suy, nó rất
thuận tiện khi sử dụng do tính có sẵn của nó.
Tuy nhiên khi đối chứng thực nghiệm cho
thấy độ chính xác của hàm dạng thực nghiệm
đem lại luôn vượt trội hơn so với hàm dạng lý
thuyết, kết quả sẽ luôn trùng nhau tại các
điểm lấy mẫu đo, do vậy có thể thấy rằng sai
số trong tình huống này chính là sai số do
dạng hàm chưa hợp lý mang lại (sai số
phương pháp).
Với những gì cho thấy trong bài báo này hoàn
toàn có cơ sở để tin tưởng rằng trong điều
kiện cùng một mật độ điểm mẫu,phương pháp
hàm dạng thực nghiệm luôn cho kết quả tốt
hơn do trường tham số không đối xứng lý
tưởng.Mặc dù hàm dạng thực nghiệm có chi
phí thành lập cao hơn nhưng điều này xứng
đáng với độ chính xác kết quả mà nó mang lại.
TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. E. Oktavia, Widyawan, and I. W.
Mustika.(2016), Inverse distance weighting and
kriging spatial interpolation for data center

76

thermal monitoring. Proc. 1st Int. Conf. Inf.
Technol. Inf. Syst. Electr. Eng. ICITISEE 2016,

pp. 69–74.
2. R. L. Wang, X. Li, W. J. Liu, T. Liu, M. T.
Rong, and L. Zhou.(2014), Surface spline
interpolation method for thermal reconstruction
with limited sensor data of non-uniform
placements. J. Shanghai Jiaotong Univ. vol. 19,
no. 1, pp. 65–71.
3. M. Bullo, V. D’Ambrosio, F. Dughiero, and M.
Guarnieri.(2006), Coupled electrical and thermal
transient conduction problems with a quadratic
interpolation Cell Method approach. IEEE Trans.
Magn. vol. 42, no. 4, pp. 1003–1006.
4. Long. PT, Lê T.T Thuy and Thang N.H (2018),
Determining the parameter area at the request of
a physical field based on shape function
technique, ICERA 2018.
5. Hoe. N.D (2004), Volumtric error
compensation for multi-axis machine by using
shape function interpolation, tạp chí khoa học
công nghệ các trường đai học kỹ thuật, số
48+49/2004.
6. O. C. Zienkiewicz, R. L. Taylor, and J. Z.
Zhu.(2013), The Finite Element Method: Its Basis
and Fundamentals- Chapter 6: Shape Functions,
Derivatives, and Integration.
7. X. Z. Xia, Q. Jiang, and Q. Zhang.(2016),
Calculation of the derivative of interpolation
shape function for three-dimensional natural
element method. vol. 3839, no. January.
8. J. B. Gao and T. M. Shih.(1995), Interpolation

methods for the construction of the shape function
space of nonconforming finite elements. Comput.
Methods Appl. Mech. Eng., vol. 122, no. 1–2, pp.
93–103.


Phạm Thành Long và Đtg

Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ

189(13): 73 - 77

ABSTRACT
COMPARISON AND SELECTION APPROPRIATE SHAPE FUNCTION
IN INTERPOLATING TEMPERATURE FIELD
Pham Thanh Long1*, Le Thi Thu Thuy1, Nguyen Huu Thang1, Le Duc Do2
1
University of Technology – TNU,
Ha Noi University of Siences and Technology

2

Physical quantities existing in the form of continuous fields such as temperature, humidity, sound,
light are common in engineering. Physical quantities existing in the form of continuous fields such
as temperature, humidity, sound, light are common in engineering. When examining these fields,
due to its continuity, it is possible to reduce the computational cost by interpolating. Except for the
key points with sample data, the interpolation points have accuracy depending on the type of
interpolation function and the density of key points more or less. This paper compares two types of
shape functions, the theoretical and experimental functions, to select the more appropriate type
when interpolating temperature. The way to do this is to compare the results obtained by each

method applied to the same physical model and the actual measured result by the thermal sensor at
the same location. The results show that the experimental shape function has higher accuracy
under the same conditions. This is the basis for improving quality when interpolating a quantity
without considering the type of function.
Keywords: Shape function, key point, interpolation, temperature, continuous field.

Ngày nhận bài: 26/9/2018; Ngày hoàn thiện: 06/11/2018; Ngày duyệt đăng: 30/11/2018
*

Tel: 0947 169291, Email:

77