Tích phân và ứng dụng trong giải toán trung học phổ thông (tt)

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

ĐẶNG THỊ THÚY VÂN

TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG TRONG
GIẢI TOÁN TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp
Mã số: 60.46.40

TÓM TÁT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Đà Nẵng - Năm 2015


Công trình được hoàn thành tại
ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

Người hướng dẫn khoa học: TS. LÊ HOÀNG TRÍ

Phản biện 1: TS. Phan Đức Tuấn

Phản biện 2: TS. Hoàng Quang Tuyến

Luận văn đã được bảo vệ trước Hội đồng chấm Luận văn
tốt nghiệp thạc sĩ Khoa học họp tại Đại học Đà Nẵng vào ngày
11 tháng 01 năm 2015.

Có thể tìm hiểu luận văn tại:
- Trung tâm Thông tin-Học liệu, Đại học Đà Nẵng

- Thư viện trường Đại học Bách khoa, Đại học Đà Nẵng


1
MỞ ĐẦU
1. Tính cấp thiết của đề tài
Tích phân là một khái niệm toán học, và cùng với phép toán
ngược của nó là vi phân, đóng vai trò chủ chốt trong lĩnh vực giải
tích. Giả sử, cần tính diện tích của một hình phẳng được bao bởi các
đoạn thẳng, ta chỉ việc chia hình đó thành các hình nhỏ đơn giản hơn
như: tam giác, hình vuông …. Nếu hình phức tạp hơn, nó được bao
bởi đoạn thẳng lẫn đường cong. Tích phân sẽ giúp ta tính được diện
tích của hình thang cong đó, và nhiều ứng dụng khác. thiện. Các nhà
toán học ở thế kỉ XVII và XVIII không dùng đến khái niệm giới hạn.
Thay vào đó, họ nói “ tổng của một số vô cùng lớn những số hạn vô
cùng nhỏ”. Chẳng hạn, diện tích của hình thanh cong là tổng của một
số vô cùng lớn những diện tích của những hình chữ nhật vô cùng
nhỏ. Hiện nay, một số phần mềm máy tính thương mại có khả năng
tính tích phân là Mathematica, Maple.
Chuyên đề này không thể thiếu trong chương trình toán THPT, và
đại học. Vì vậy xuất phát từ nhu cầu này.Tôi chọn đề tài với tên:”Tích
phân và ứng dụng trong giải toán Trung học phổ thông” để tiến hành
nghiên cứu, nhằm làm tài liệu tham khảo và huy vọng tìm ra những ví
dụ đặc sắc nhằm làm phong phú thêm các kết quả trong lĩnh vực này.
2. Mục tiêu nghiên cứu
Nhằm nghiên cứu, tìm hiểu định nghĩa, tính chất, phân loại các
dạng tích phân, tích phân suy rộng và một số ứng dụng trong giải
toán THPT.
3. Đối tượng và phạm vi nghiêm cứu
3.1. Đối tượng nghiên cứu

Nghiên cứu tích phân, phương pháp tính tích phân của các
hàm đặc biệt và ứng dụng trong giải toán THPT.


2
3.2. Phạm vi nghiên cứu
Thực hiện nghiên cứu từ các tài liệu, giáo trình của Thầy Lê
Hoàng Trí, và các chuyên đề về tích phân, tích phân suy rộng, và
ứng dụng.
4. Phương pháp nghiên cứu
Thu thập, phân tích các tài liệu và thông tin liên quan đến tích
phân và ứng dụng.
Trao đổi, thảo luận với giáo viên hướng dẫn để thực hiện đề tài.
5. Bố cục của luận văn
Luận văn gồm 3 chương với cấu trúc như sau:
· Mở đầu
· Chương 1 : Nguyên hàm và tích phân
· Chương 2: Tích phân của các dạng hàm số đặc biệt
· Chương 3: Các ứng dụng của tích phân
· Kết luận


3
CHƯƠNG 1
NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN
1.1. NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH
Định nghĩa 1.1.1. Cho hàm số f ( x ) xác định trên ( a, b ) . Hàm số

F ( x ) được gọi là nguyên hàm của f ( x ) nếu F ( x ) xác định và khả
vi trên khoảng ( a, b ) và F ¢( x) = f ( x) với "x Î ( a, b ) .

Định nghĩa 1.1.2. Nếu hàm số f ( x ) xác định trên đoạn [ a, b ] , thì

F ( x ) sẽ được gọi là nguyên hàm của F ( x ) nếu F ( x ) xác định trên
[ a, b] , khả vi trong ( a, b ) và F ¢( x) = f ( x) với "x Î ( a, b ) , F+¢(a)

= f (a ) và F-¢ (b) = f (b) .
Định lý 1.1.1. Nếu hàm số f ( x ) có một nguyên hàm F ( x ) thì tập
hợp d = { F + C ; C Î R} là họ tất cả các nguyên hàm của f ( x ) hay
còn gọi là tích phân bất định của f ( x ) . Kí hiệu:

ò f ( x)dx . Trong

đó: f ( x)dx là biểu thức dưới dấu tích phân.
1.2. BÀI TOÁN TÌM DIỆN TÍCH HÌNH THANG CONG
Cho hàm số y = f ( x ) liên tục và không âm trên đoạn [ a, b ] .
Xét hình thang cong AabB, được giới hạn bởi đồ thị hàm số y =

f ( x ) , trục hoành, và hai đường thẳng x = a, x = b . Vấn đề cần đặt
ra đi tính diện tích hình thang cong AabB này. (Hình 1.1)

Chia đoạn [ a, b ] đáy của hình thang, thành một số hữu hạn
đoạn nhỏ bởi các điểm:


4
a = x0 á x1 á x2 á.....á xn = b .

(1.1)

Ta gọi mỗi phép chia này là một phép phân hoạch, kí hiệu p . Trên

(

)

mỗi đoạn nhỏ D k = [ xk -1 , xk ] k = 1, n , ta lấy một điểm bất kì x k .

Khi hàm số y = f ( x ) không đổi trên đoạn D k thì trong suốt đoạn
này giá trị của hàm số là f (x k ) và lúc đó diện tích của hình thang
cong con bằng:
f (x k ) ( xk - xk -1 ) .
Trong trường hợp tổng quát, nếu đoạn D k rất nhỏ, ta thấy f (x k )

( xk - xk -1 )

là gí trị gần đúng của diện tích hình thang cong con tức

là:
Sk » f (x k ) ( xk - xk -1 ) .
Khi đó, nếu kí hiệu S là diện tích hình thang cong AabB thì:
n

n

k =1

k =1

S = å S k » å f (x k ) ( xk - xk -1 )

(1.2)

Rõ ràng nếu ta chọn phép phân hoạch p sao cho d ( p ) = max

( xk - xk -1 )

càng nhỏ thì mỗi hình thang con càng gần trùng với hình

chữ nhật có đáy là D k và có chiều cao là f (x k ) .
Vậy, diện tích hình thang cong AabB là:
S = lim

d (p )® 0

n

å f (x ) ( x
k

k =1

k

- xk -1 ) .

(1.3)

Theo (1.3) nếu ứng với mỗi số e ñ 0 nhỏ bao nhiêu tùy ý,tồn tại

d ñ 0 , sao cho với mọi phân hoạch p mà d ( p ) ád và với mọi cách

lấy các điểm x k ta đều có:
n

å f (x )( x
k =1

k

k

- xk -1 ) - S áe .

(1.4)

Định nghĩa 1.2.1. Cho hai số thực a, b với a £ b và p = { x0 , x1 ,...,
xk -1 , xk ,..., xn } là một phân hoạch của đoạn [ a, b ] , nếu a = x0 á x1 á.

..á xk -1 á xk á...á xn = b , với x0 , x1 ,.., xk -1 xk ,..xn là các điểm chia của


5
phân hoạch p . P là tập tất cả các phân hoạch của đoạn [ a, b ] và
d ( p ) = max ( xk - xk -1 ) là đường kính của phép phân hoạch p .
kÎ{1,..,n}

Cho hàm f : [ a, b ] ® R . f khả tích trên [ a, b ] , nếu tồn tại I Î R
"e ñ 0, $d ñ 0 , "p = { x0 , x1 ,..., xk -1 , xk ,..., xn } Î P mà d ( p ) ád , "x k

(

)

Î [ xk -1 , xk ]. k = 1, n ta có :
n

å f (x )( x
k

k =1

k

- xk -1 ) - I áe .

I được gọi là tích phân xác định của hàm số y = f( x) trên đoạn [ a, b ]
và kí hiệu là:
b

I = ò f ( x )dx .

(1.5)

a

1.3. CÁC TÍNH CHẤT CỦA TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH
Định lý 1.3.1. Cho hai số thực a, b với a áb . Cho hàm f : [ a, b ]

® R . f khả tích trên [ a, b ] . Khi đó f bị chặn trên đoạn [ a, b ] .
Định lý 1.3.2. Cho f , g là hai hàm khả tích trên đoạn [ a, b ] thì

f + g cũng khả tích trên đoạn [ a, b ] , và

b

ò [ f ( x) + g ( x)]dx =
a

b

b

a

a

ò f ( x)dx + ò g ( x)dx .
Định lý 1.3.3. Cho f khả tích trên đoạn [ a, b ] , a Î R thì a f khả
b

b

a

a

tích trên đoạn [ a, b ] và ò a f ( x)dx = a ò f ( x)dx .
Định nghĩa 1.3.1.[5] Cho f : [ a, b ] ® R bị chặn, a áb . Với mọi phân
hoạch p = { x0 , x1 ,..xn } Î P . Ta có :
n

I ( f , p ) = å M k ( xk - xk -1 ) với M k = sup { f ( x ) / x Î [ xk -1 , xk ]} .
k =1


6
n

I ( f , p ) = å mk ( xk - xk -1 ) với mk = inf { f ( x ) / x Î [ xk -1 , xk ]} .
k =1

Lần lượt là tổng Darboux trên và tổng Darboux dưới với phép phân
hoạch p .
Trên [ a, b ] với a áb thì p = { x0 , x1 ,.., xn } Î P và p ¢ = { x0¢ , x1¢,.., xn¢ } Î P
Phân hoạch p được gọi là mịn hơn p ¢ nếu tập tất cả các điểm chia
của p ¢ được chứa trong tập các điểm chia của p .
Bổ đề 1.3.1 Cho f : [ a, b ] ® ¡ bị chặn, a áb . Cho p , p ¢ Î P , nếu p
min hơn p ¢ thì:
I ( f ,p ) £ I ( f ,p ¢) .
I ( f ,p ) ³ I ( f ,p ¢) .

1.
2.

Trong đó, p mịn hơn p ¢ nếu tất cả các điểm chia của p ¢ được chứa
trong tập điểm chia của p .
n

I ( f , p ) = å M k ( xk - xk -1 ) với M k = sup { f ( x ) / x Î [ xk -1 , xk ]} .
k =1
n

I ( f , p ) = å mk ( xk - xk -1 ) với mk = inf { f ( x ) / x Î [ xk -1 , xk ]} .
k =1

Bổ đề 1.3.2. Cho f : [ a, b ] ® ¡ bị chặn, a áb . Với mọi p , p ¢ Î P .
Khi đó : I ( f , p ) £ I ( f , p ¢ ) .
.
Định nghĩa 1.3.2. Cho f : [ a, b ] ® ¡ bị chặn, a áb .
inf I ( f , p ) và
p ÎP

b*

ò f ( x )dx =
a

b

ò f ( x )dx = sup I ( f ,p ) , lần lượt được gọi là tích

a*

p ÎP

phân trên và tích phân dưới.
Định lý 1.3.4. Cho f : [ a, b ] ® ¡ bị chặn, a áb . Khi đó các điều kiện
sau tương đương
1. f khả tích trên [ a, b ] .

7
b

2.

ò

a*

b*

f ( x )dx = ò f ( x )dx .
a

3. "e ñ 0, $p Î P : I ( f , p ) - I ( f , p ) áe .
4. "e ñ 0, $p , p ¢ Î P : I ( f , p ) - I ( f , p ¢ ) áe .
b

Khi đó

ò
a

b

b*

a*

a

f ( x )dx = ò f ( x )dx = ò f ( x )dx .

Định lý 1.3.5. Cho f khả tích trên đoạn [ a, b ] , mà f ( x ) £ g ( x )
"x Î [ a, b ] . Khi đó

b

b

a

a

ò f ( x ) dx £ ò g ( x ) dx .

Định lý 1.3.6. Nếu f ( x ) = c, "x Î [ a, b ] thì

b

ò f ( x ) dx = c ( b - a ) .
a

Định lý 1.3.7. Cho f khả tích trên đoạn [ a,c] . ( a ábác ) thì f khả

tích trên đoạn [ a, b ] và [b, c ] . Ngược lại cho f khả tích trên đoạn

[ a, b] và [b, c ] thì

f khả tích trên đoạn [ a,c] . Khi đó

c

ò
a

b

c

a

b

f ( x)dx = ò f ( x)dx + ò f ( x)dx .

Định lý 1.3.8. (Định lý giá trị trung bình)
Cho f liên tục trên đoạn [ a, b ] . Khi đó tồn tại c Î [ a, b ] sao cho
b

ò f ( x ) dx = f ( c )( b - a ) .
a

1.4. TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH
Định nghĩa 1.4.1. Cho hàm f ( x ) khả tích trên [ a, b ] . Khi đó với

"x Î [ a, b ] , hàm f ( x ) khả tích trên [ a, x ] . Xét hàm F :[a, b] ® R

cho bởi:
x

F ( x) = ò f (t )dt .
a

(1.27)

hàm F ( x) được xác định như trên được gọi là tích phân xác định
như hàm của cận trên.


8
Định lý 1.4.1. Nếu f ( x ) liên tục trên [ a, b ] thì F ( x) là một

nguyên hàm của f ( x ) , tức là:
F¢( x) = f ( x)"x Î [ a, b ] .

(1.28)

Định lý 1.4.2. Nếu f ( x ) khả tích trên [ a, b ] thì F (x) liên tục trên

đoạn [ a, b ] .

Định lý 1.4.3. Giả sử f ( x ) liên tục trên [ a, b ] và F (x) là một

nguyên hàm của f ( x ) . Khi đó:
b

ò f ( x)dx =F(b) - F(a) = F( x)

b
a

.

(1.29)

a

Công thức này được gọi là công thức Newton-Leibnitz.
1.5. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN
1.5.1. Sử dụng các nguyên hàm cơ bản
b

1.5.2. Phương pháp phân tích Tính tích phân

ò f( x)dx
a

n

f ( x) = å a i fi ( x) với f i ( x) , i = 1, n có

Biến đổi f ( x ) về dạng:

i =1

nguyên hàm trong bảng công thức và a i , i = 1, n là hằng số
b

Khi đó:

ò f( x)dx =
a

b

n

ò åai fi ( x)dx =
a i =1

n

b

i =1

a

åa i ò fi ( x)dx

(1.32)

1.5.3. Phương pháp đổi biến số
Dạng 1: Đổi biến x = j (t ) .
b

Xét tích phân ò f( x)dx . Trong đó f ( x ) liên tục trên [ a, b ] . Giả sử
a

thực hiện phép đổi biến x = j (t ) thỏa mãn các điều kiện:

a. j (t ) liên tục trên đoạn [a , b ] .
b. j (a ) = a,j ( b ) = b .


9
c. Khi t biến thiên trong đoạn [a , b ] thì x biến thiên nhưng

không ra ngoài khoảng liên tục của hàm số f ( x ) . Khi đó:
b

ò
a

b

f ( x)dx = ò f (j (t ))j ¢(t )dt

(1.33)

a

Dạng 2: Đổi biến t = j ( x) .
b

Xét tích phân

liên tục trên đoạn [ a, b ] . Nếu đổi

ò f( x)dx , với f ( x )
a

biến t = j ( x) thỏa:
a. j ( x) biến thiên đơn điệu ngặt và có đạo hàm liên lục trên

[ a, b ]

b. f ( x ) dx trở thành g ( t ) dt , trong đó g ( t ) là một hàm số liên

tục trong khoảng đóng éëj (a ) , j ( b ) ùû thì:
b

j (b )

a

j ( a)

ò f ( x)dx = ò

g (t )dt .

(1.37)

1.5.4. Phương pháp tích phân từng phần
Giả sử u ( x ) và v ( x ) là những hàm số có đạo hàm liên tục trên

[ a, b] . Khi đó:

d (uv) = udv + vdu .

(1.38)

Lấy tích phân hai vế (1.38) trên đoạn [ a, b ] ta được:
b

b

b

a

a

a

ò d (uv) = ò udv + ò vdu .
b

Vì :

ò d (uv) = uv

b
a

.

(1.39)
(1.40)

a

b

Nên:

b

ò udv = uv a - ò vdu .
a

b

a

Công thức (1.41) được gọi là tích phân từng phần.

(1.41)


10
1.6. CÔNG THỨC TÍCH PHÂN TRUY HỒI, ĐẲNG THỨC,
BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH PHÂN, GIẢI PHƯƠNG TRÌNH,
BẤT PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN
1.6.1 Công thức tích phân truy hồi
b

I n = ò f ( x, n)dx .

Cho tích phân :

a

+
Thiết lập hệ thức liên hệ giữa I n và I k với nñ k , k Î N .
1.6.2. Đẳng thức, bất đẳng thức tích phân
Dạng 1: Chứng minh một đẳng thức tích phân.
Dạng 2: Chứng minh một bất đẳng thức tích phân.
1.6.3. Giải phương trình, bất phương trình tích phân
Dạng 1: Giải phương trình tích phân.
Dạng 2: Bất phương trình tích phân.
1.7. TÍCH PHÂN SUY RỘNG
1.7.1. Tích phân suy rộng loại 1 (Trường hợp cận lấy tích
phân là vô hạn) Hàm số f ( x ) xác định trên

[ a, +¥ )

( a hữu hạn),

nghĩa là hàm số f ( x ) xác định với mọi x ³ a và khả tích trên mỗi
đoạn

[ a, A]

A

( Añ a ). Nếu lim ò f ( x) dx tồn tại và hữu hạn thì
A®¥

+¥

ò

+¥

f ( x)dx hội tụ và

a

ò
a

a

A

A

f ( x)dx = lim ò f ( x)dx . Nếu lim ò f ( x) dx
A®¥

A®¥

a

a

+¥

không tồn tại hoặc vô hạn thì

ò

f ( x)dx phân kì.

a

( -¥, a ] ( a hữu hạn), nghĩa là hàm số
x £ a và khả tích trên mỗi đoạn [ B, b ]

Hàm số f ( x ) xác định trên
f ( x ) xác định với mọi

( Báb ) . Nếu

a

lim

B ®-¥

ò
B

a

f ( x)dx tồn tại và hữu hạn thì

ò

-¥

f ( x)dx hội tụ và


11
a

ò

a

f ( x)dx = lim

B ®-¥

-¥

ò

a

f ( x)dx . Nếu lim

B ®-¥

B

ò f ( x)dx

không tồn tại hoặc vô

B

a

ò

hạn thì

f ( x)dx phân kì.

-¥

Hàm số f ( x ) xác định trên ( -¥, +¥ ) , khả tích trên mỗi đoạn [ A, B ]

( Aá B ) . Chọn a Î ( -¥, +¥ ) . Nếu

+¥

a

ò

f ( x)dx hội tụ và

-¥
+¥

ò

tụ thì

-¥

ò

+¥

a

ò

f ( x)dx =

-¥

f ( x)dx +

-¥

f ( x)dx hoặc

-¥

ò

ò

f ( x)dx .

a

+¥

a

Nếu

ò

f ( x)dx hội

a

+¥

f ( x)dx hội tụ và

ò

+¥

ò

f ( x)dx phân kì thì

f ( x)dx phân kì.

-¥

a

1.7.2. Tích phân suy rộng loại 2 (Trường hợp hàm số lấy
tích phân không bị chặn)
Cho hàm số f ( x ) không bị chặn trên [ a, b ) , và khả tích trên mỗi
b -e

đoạn [ a, b - e ] ( e ñ 0, a áb - e ) . Nếu lim+

ò

e ®0

f ( x)dx tồn tại và hữu hạn

a

b

ò

thì

b -e

b

f ( x)dx

hội

tụ

ò

và

a

f ( x)dx = lim+

b -e

Nếu lim+
e ®0

e ®0

a

ò

ò

f ( x)dx .

a

b

f ( x)dx không tồn tại hoặc vô hạn thì

a

ò f ( x)dx phân kì.
a

Cho hàm số f ( x ) không bị chặn trên ( a, b ] , và khả tích trên mỗi
b

đoạn [ a + e , b ] ( e ñ 0, a + e áb ) . Nếu lim+
e ®0

b

thì

ò
a

b

f ( x)dx hội tụ và

ò

ò

f ( x)dx tồn tại và hữu hạn

a +e
b

f ( x)dx = lim+
e ®0

a

b

không tồn tại hoặc vô hạn thì

ò

b

f ( x)dx .Nếu lim+

a +e

ò f ( x)dx phân kì.
a

e ®0

ò

a +e

f ( x)dx


12
CHƯƠNG 2
TÍCH PHÂN CỦA CÁC DẠNG HÀM SỐ ĐẶC BIỆT
2.1. HÀM CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI
Sử dụng phương pháp chia khoảng.
b

Để tính tích phân: I = ò f ( x, m ) m là tham số.
a

1. Xét dấu biểu thức f ( x, m ) trên [a, b] , từ đó ta chia đoạn

[a, b] thành các đoạn nhỏ [a, b] = [a,c1 ] È [c1 ,c2 ] È .. È [ck , b] ,
mà trên mỗi đoạn f ( x, m ) cùng dấu.
b

2. I = ò f ( x, m )
a

=

c1

c2

b

a

c1

ck

ò f ( x, m ) dx + ò f ( x, m ) dx +.. + ò f ( x, m) dx

2.2. HÀM HỮU TỈ
Dạng 1: Sử dụng các nguyên hàm cơ bản.
Dạng 2: Sử dụng phương pháp đổi biến.
Dạng 3: Sử dụng tích phân từng phần.
Dạng 4: Sử dụng phương pháp phân tích.
x2
Bài toán 1. Tính nguyên hàm I = ò
dx, a ¹ 0 .
(ax+b)a
Bài toán 2. Tính nguyên hàm I n = ò
Bài toán 3. Tính nguyên hàm I n = ò
Bài toán 4.Tính nguyên hàm I = ò

dx

( ax

2

+ bx + c )

n

, a ¹ 0 và n Î Z + .

n

, a ¹ 0 và n Î Z + .

(a x + b ) dx

( ax

2

+ bx + c )

a1 x 2 + b1 x + c1
dx với a ¹ 0 .
( x - a ) ( ax 2 + bx + c )


13
2.3. HÀM LƯỢNG GIÁC
Dạng 1: Sử dụng các phép biến đổi lượng giác.
Dạng 2: Sử dụng phương pháp phân tích.
Dạng 3: Sử dụng phương pháp đổi biến.

(

)

Bài toán 1: Tính tích phân I = ò R s inx, cosx dx , R là hàm
hữu tỉ.

(
)
(
) thì đặt t = cos x .
Nếu R ( s inx, - cosx ) = - R ( s inx, cosx ) thì đặt t = s inx .
Nếu R ( - s inx, - cosx ) = R ( s inx, cosx ) thì đặt t = tanx
Nếu R - s inx, cosx = - R s inx, cosx

( t = cot x )
Các tích phân dạng:
I = ò tan xdx, n ÎZ thì đặt t = tanx .
n
I = ò cot xdx , n ÎZ thì đặt t = cot x .
n

p
2

Bài toán 2: Tính tích phân I = ò R ( x,sinx,cosx)dx , R là hàm hữu tỉ
0

Đặt t =

p
-x.
2
p

Bài toán 3: Tính tích phân I = ò R ( x,s inx,cosx)dx , R là hàm hữu tỉ
0

Đặt

t =p - x .
2p

Bài toán 4: Tính tích phân I = ò R ( x,sinx,cosx)dx , R là hàm hữu tỉ
0

Đặt

t = 2p - x .

2.4. HÀM VÔ TỈ
Dạng 1: Sử dụng các nguyên hàm cơ bản.
Dạng 2: Sử dụng phép biến bổi vô tỉ.
Dạng 3: Sử dụng tích phương pháp đổi biến.
Bài toán 1: I = ò R ( x, a 2 - x 2 )dx, añ 0 .


14

p

p

hoặc x = a cos t , 0 £ t £ p .

2
2
Bài toán 2: I = ò R ( x, a 2 + x 2 )dx, añ 0 .
Đặt ẩn phụ: x = a sin t , -

p

hoặc . x = a cot t , 0át áp .
2
2
I = ò R ( x, x 2 - a 2 )dx, añ 0 .

Đặt ẩn phụ: x = a tan t , Bài toán 3:

p

£t£

át á

Đặt ẩn phụ:
a
a
p
é p pù
x=
, t Î ê- ; ú \ {0} hoặc x =
, t Î [0;p ] \
.
sin t

cos t
2
ë 2 2û

{}

2.5. HÀM SIÊU VIỆT
Dạng 1: Sử dụng các nguyên hàm cơ bản.
Dạng 2: Sử dụng phương pháp phân tích.
Dạng 3: Sử dụng phương pháp đổi biến.
Dạng 4: Sử dụng tích phân từng phần.
2.6. CÁC HÀM CÓ DẠNG ĐẶC BIỆT KHÁC
Tính chất 1. Nếu f ( x ) liên tục và nó là hàm lẻ trên [ -a, a ] thì
a

ò f ( x)dx = 0 .

-a

Tính chất 2. Nếu f ( x ) liên tục và nó là hàm chẵn trên [ -a, a ] thì
a

ò

-a

a

f ( x)dx = 2 ò f ( x)dx .
0

é pù
Tính chất 3. Nếu ¡ liên tục trên ê0, ú thì
ë 2û
p
2

p
2

0

0

ò f (s inx)dx = ò f (cos x)dx .

Tính chất 4. Nếu f ( x ) liên tục và chẵn trên ¡ thì


15
a

a

f ( x)
+
ò-a a x + 1 dx =ò0 f (x)dx, "x Î R , añ0 .
Tính chất 5. Nếu f ( x ) liên tục và f ( a + b - x ) = f ( x ) thì
b
b

a+b
xf
(
x
)
dx
=
f (x)dx .
òa
2 òa
Hệ quả 1. Nếu f ( x ) liên tục trên đoạn [ 0,1] thì
p -a
p p -a
xf
(sinx)
dx
=
f (sinx)dx .
ò
2 aò
a
Hệ quả 2. Nếu f ( x ) liên tục trên đoạn [ 0,1] thì
2p -a

ò

xf (cos x)dx =p

a

2p -a

ò

f (cosx)dx .

a

Tính chất 6. Nếu f ( x ) liên tục và f ( a + b - x ) = - f ( x ) thì
b

ò f ( x)dx = 0 .
a

Tính chất 7. Nếu f ( x ) liên tục trên đoạn [ 0, 2a ] với añ 0 thì
2a

a

0

0

ò f ( x)dx = ò [ f ( x) + f (2a - x)]dx .

Tính chất 8. Nếu f ( x ) liên tục trên ¡ và tuần hoàn với chu kì T
a +T

thì

ò
a

T

f ( x )dx = ò f ( x )dx .
0


16
CHƯƠNG 3
CÁC ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN
3.1. TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG
3.1.1.

Diện tích hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số

y = f ( x ) , trục OX , và hai đường thẳng x = a, x = b là:

Nếu y = f(x) ³ 0 (Hình 3.1) trên đoạn [ a, b ] thì
b

S = ò f ( x)dx .

(3.1)

a

Nếu y = f(x) £ 0 trên đoạn [ a, b ] thì
b

S = - ò f ( x)dx .

(3.2)

a

mà trị tuyệt đối của số này là kết quả diện tích cần t́ìm.
b

Nếu hàm số y = f ( x ) đổi dấu trên đoạn [ a, b ] , thì S = ò f ( x)dx là
a

tổng đại số các diện tích giới hạn bởi đường cong, trục hoành, và hai
đường thẳng x = a, x = b .
Vậy công thức tính diện tích dùng cho cả 3 trường hợp trên là:
b

S = ò f ( x) dx .
a

(3.3)
3.1.2. Nếu một hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong có hàm số
lần lượt là f1 ( x ) , f 2 ( x ) liên tục trên đoạn [ a, b ] , và hai đường
thẳng x = a, x = b thì:
b

S = ò f1 ( x ) - f 2 ( x ) dx .
a

(3.4) Nếu đường cong có dạng x = j ( y ) , j ( y ) liên tục trên đoạn

[c, d ] , thì diện tích giới hạn bởi các đường
x = 0 được tính theo công thức:

x = j ( y ) , y = c, y = d và


17
d

S = ò j ( y ) dy .
c

ì x = j (t )
với
3.1.3. Nếu đường cong cho dưới dạng tham số í
î y = y (t )
t Î [a , b ] ,trong đó j (t ),y (t ), j ¢(t ) là các hàm liên tục trên đoạn

[a , b ] thì

b

S = ò y (t ).j ¢(t ) dt .

(3.5)

a

3.1.4. Giả sử đường cong giới hạn hình phẳng cho trong hệ tọa độ
cực, người ta gọi hình quạt cong là một hình giới hạn bởi hai tia đi
qua cực và đường cong, mà mọi tia đi qua cực cắt đường cong không
quá một điểm. Diện tích của hình quạt cong giới hạn bởi hai tia
j = a ;j = b (a á b ) và cung »
AB của đường cong r = r (j ) , trong đó
r (j ) là hàm liên tục trên đoạn [a , b ] là:
b
1
S = ò r 2 dj .
2a
3.2. TÍNH ĐỘ DÀI ĐƯỜNG CONG PHẲNG
Định nghĩa 3.2.1. Đường cong AB được gọi là cầu trường (nắn
thẳng) nếu tồn tại giới hạn hữu hạn của các đường gấp khúc mô tả
đường cong AB khi l ® 0 . Giới hạn trên được gọi là độ dài cung
AB của đường cong và kí hiệu là LAB . Như vậy:
LAB = lim Ln .
l ®0

(3.6)

Định lý 3.2.1. Nếu đường cong AB cho bởi đồ thị hàm số y = f ( x )

, tromg đó f ( x ) và f ¢( x) liên tục trên [ a, b ] , khi đó AB là cầu
trường và:
b

LAB = ò 1 + [ f ¢( x) ] dx .
2

a

Hệ quả 3.2.1. Nếu như AB được cho dưới dạng tham số:

(3.7)


18
ìï x = x ( t )
í
ïî y = y ( t )
ở đây a £ t £ b ; A ( x (a ) , y (a ) ) ; B ( x ( b ) , y ( b ) ) . Giả sử x = x ( t ) ;
y = y ( t ) là các hàm khả vi liên tục trên [a , b ] . Thì
b

LAB = ò

( x¢ ( t ) ) + ( y ¢ ( t ) )
2

2

dt .

(3.11)

a

Hệ quả 3.2.2. Nếu như AB được cho trong tọa độ cực r = r (j ) ,

j Î [a , b ] . Khi đó

b

LAB = ò

( r (j ) ) + ( r ¢ (j ) )
2

2

dj .

(3.12)

a

3.3. TÍNH THỂ TÍCH CỦA VẬT THỂ
3.3.1. Tính thể tích của vật thể khi biết diện tích thiết diện
ngang
Cho một vật thể giới hạn bởi một mặt cong và hai mặt phẳng
vuông góc với trục OX tại các điểm x = a, x = b, a áb . Giả sử chúng
ta biết diện tích S của thiết diện của vật thể trên một mặt phẳng

()

vuông góc với trục OX là S = S x , trong đó x là hoành độ giao

()

điểm của mặt phẳng cắt trục OX , giả sử S x là hàm liên tục trên
đoạn [a, b] . Thì thể tích của hình nói trên được tính theo công thức:
b

V = ò S ( x) dx .

(3.13)

a

3.3.2. Thể tích vật thể tròn xoay Tìm thể tích của vật thể
giới hạn bởi hình thang cong AabB giới hạn bởi đường
y = f ( x), x Î [ a, b ] , trục OX , các đường thẳng x = a, x = b , khi nó
quay quanh trục OX . Thiết diện của khối tròn xoay trên tạo bởi mặt
phẳng vuông góc với trục OX tại x Î [a, b] là hình tròn có bán kính

( )

f x .


19
Ta có:
b

V = p ò f 2 ( x)dx .
a

(3.14)
Quay quanh trục OY

b

V = 2p ò xf ( x ) dx .

(3.16)

a

Nếu hình thang cong CcdD giới hạn bởi đường cong
x = j ( y ) , y Î [ c, d ] ,j ( y ) liên tục trên đoạn [ c, d ] , trục OY .
Thể tích vật thể tròn xoay, tạo bởi hình thang đó khi quay nó quanh
trục OY được tính theo công thức:
d

V = p ò j 2 ( y ) dy .

(3.17)

c

3.3.3. Diện tích mặt tròn xoay
Công thức tính diện tích bề mặt của vật thể tròn xoay .
b

P = 2p ò f ( x ) 1 + ( f ¢ ( x ) ) dx .
2

(3.18)

a

Nếu mặt tròn xoay nhận được khi quay quanh trục OX đường cong
AB được cho dưới dạng tham số:
ìï x = j ( t )
í
ïî y = y ( t )
Trong đó: a £ t £ b ,y ( t ) ³ 0, a £ j ( t ) £ b .
Khi:
Thì:

a £ t £ b , j (a ) = a, j ( b ) = b .
b

P = 2p ò y ( t )
a

(j ¢ ( t ) ) + (y ¢ ( t ) )
2

2

dt .

(3.19)
Nếu đường cong AB được cho trong tọa độ cực r = r (j ) ,j Î [a , b ]
Khi đó:

b

P = 2p ò r (j ) sin j

a

( r ¢ (j ) ) + ( r (j ) )
2

2

dj .

(3.20)


20
3.4. CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC
Ví dụ 3.4.1. Chứng minh rằng với xñ y ñ 0 thì:
1+ x
.
( x - y ) ëé2 - ( x + y )ûù á 2ln
1+ y

( x - y ) ëé2 - ( x + y )ûù á 2 ln

Ta có:

1+ x
1+ y

.

Û 2 ( x - y ) - ( x 2 - y 2 ) á 2 ëéln (1 + x ) - ln(1 + y )ûù .

1

Ta thấy "t ñ 0 thì:

1+ t

ñ1 - t .

Với 0á y £ t £ x ta có:
x

æ t2 ö
ñ ò (1 - t ) dt Û ln 1 + t y ñ ç t - ÷ .
ò
y1+ t y
è 2 øy

x

dt

x

Û ln

x

1+ x
1+ y

ñ ( x - y) -

x2 - y2
2

Û ( x - y ) éë 2 - ( x + y ) ùû á 2 ln

.

1+ x
1+ y

.

3.5. TÌM CỰC TRỊ HÀM SỐ
Ví dụ 3.5.3. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số
f ( x ) = ( 3 + 2ln 2) x - 2 x +1 - ln 2.x 2 ; x Î [0; 2]
Xét hàm số:
g ( t ) = -2t - t .

( ) là hàm số liên tục và nghịch biến trên đoạn [0, 2] .

g t

Nên "t Î [0;2] ta có:
x

2

x

2

0

0

0

0

-2 ò ( 2t + t ) dt ³ - x ò ( 2t + t ) dt Û 2ò ( 2t + t ) dt £ x ò ( 2t + t ) dt .


21
x

2

ổ 2t t 2 ử
ổ 2t
t2 ử
2 ỗỗ
+ ữữ Ê x ỗ
+ ữ
ố ln 2 2 ứ 0
ố ln 2 2 ứ 0

2 x +1
2

4x
x
+ x2 Ê
+ 2x .
ln 2
ln 2 ln 2
ln 2
2 x +1 + x 2 ln 2 - 2 Ê 4 x + 2 x ln 2 - x .


( 3 + 2ln 2) x - 2 x +1 - ln 2 x 2 -2 .

()

Vy, giỏ tr nh nht ca f x bng -2 khi x = 0; x = 2 .
3.6. GII PHUNG TRèNH I S
Cỏc nh lý v s tn ti nghim ca phng trỡnh tớch phõn

()

nh lý 3.6.1. Cho hai s thc a , b trỏi du v f x l mt hm
liờn tc, khụng õm (cú th bng khụng ti mt s hu hn im) trờn
x

on [a, b] . Khi ú, trong [a, b] , phng trỡnh F ( x) = ũ f (t )dt = 0
0

cú nghim duy nht x = 0 .
nh lý 3.6.2. Gi s hm s y = f ( x ) xỏc nh v liờn tc trờn
on [a, b] v gi s F ( x ) l mt nguyờn hm ca nú. Khi ú, nu

tn ti cỏc s thc x1 , x2 ẻ [ a, b] vi x1 ỏ x2 , sao cho F ( x1 ) = F ( x2 )

( )

thỡ phng trỡnh f x = 0 cú nghim trong [ x1 , x2 ] .

(

)

Vớ d 3.6.1. Gii phng trỡnh: x x 2 + 1 = ln x + x 2 + 1 .
Ta cú:

(

)

(

)

x x 2 + 1 = ln x + x 2 + 1 x x 2 + 1 - ln x + x 2 + 1 = 0 .
Xột:

(

)

F ( x) = x x 2 + 1 - ln x + x 2 + 1 .

x
Â
Ta cú F 0 = 0 v F ( x ) = ũ ột t 2 + 1 - ln t + t 2 + 1 ự dt
ở
ỷ
0

(

()

x

=ũ
0

2t 2
t2 +1

dt .

)


22
2t

Ta thy, hm s f (t ) =

2

t2 +1

liờn tc v khụng õm vi mi t, theo

()

nh lý 3.6.1, phng trỡnh F x = 0 cú nghim duy nht x = 0 .
3.7. TNH GII HN DY
Dựng nh ngha tớch phõn tớnh gii hn dóy.
ộ n
n
n ự
ỳ.
Vớ d 3.7.2. Tớnh
lim ờ
+
+
....
+
2
n đ Ơ ờở ( n + 1)
( n + 2)2
( n + n )2 ỳỷ
Ta cú:
ộ
ự
ờ
ỳ
n

1
1
1
1
1
1
ỳ= ồ
+
+
....
+
S = ờ
2
2
2
2
n nờ
1
iử n
ổ 2ử
ổ n ử ỳỳ i = 1 ổ
ờ ổỗ1 + ửữ
ỗ1 + ữ
ỗ1 + ữ
ỗ1 + ữ
ố nứ
ố nứ ỷ
ố nứ
ởố n ứ
1

Xột hm s f ( x) =
trờn on [0,1] . Ta phõn hoch on
(1 + x )2

[0,1]

thnh n on , bi cỏc im chia:

1
i
1
x0 = 0, x1 = ,...., xi = ,....., xn = 1 . Vi Dxi = xi - xi -1 = . Chn
n
n
n
i
xi = xi =
n
1

Nờn :

lim S n = ũ
n đƠ

0

1

(1 + x )

1

dx = 2

1
1
= .
1+ x 0 2

3.8. GII TON T HP
n +1

( -1)
1
1
Vớ d 3.8.2. Tớnh: S = Cn1 - Cn2 + ... +
Cnn 1 Ê n ẻ Z
2
3
n +1
Xột hm :
n

(

n

f ( x ) = (1 - x ) = 1 - Cn1 x + Cn2 x 2 + ... + ( -1) Cnn x n .
Ly tớch phõn hai v ta c:

)


23
1

1

n
ò (1 - x ) dx = ò
0

0

(1 - C x + C x
1
n

2
n

2

n

)

+ ... + ( -1) Cnn x n dx .

1

1
é (1 - x )n+1 ù
æ
x2
x3
x n +1 ö
n
ú = ç x - Cn1
Û ê+ Cn2 + ... + ( -1) Cnn
n +1 ú
n + 1 ÷ø 0
2
3
ëê
û0 è

1
1
1
1
n
= 1 - Cn1 + Cn2 + ... + ( -1) Cnn
.
n +1
2
3
n +1
1

1
1
n
n
Û C1n - Cn2 + ... + ( -1) Cnn
=
.
2
3
n +1 n +1
Û