hình thành kỹ năng phân tích đa thức thành nhân tử và ứng dụng trong giải toán

HÌNH THÀNH KỸ NĂNG PHÂN TÍCH
HÌNH THÀNH KỸ NĂNG PHÂN TÍCH
ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ VÀ ỨNG
ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ VÀ ỨNG
DỤNG TRONG GIẢI TOÁN
DỤNG TRONG GIẢI TOÁN
KINH NGHIỆM
KINH NGHIỆM
•
Đại diện tổ Toán
•
TRƯỜNG THCS MỸ CHÂU
•
TÔ VĂN HẢO
I.
I.
PHAÀN MÔÛ ÑAÀU:
PHAÀN MÔÛ ÑAÀU:
1.
1.
Lý do chọn đề tài:
Lý do chọn đề tài:
1.1 Phân tích đa thức thành nhân tử là một vấn đề khó nhưng được ứng dụng rộng
rãi trong thực hành giải toán.
1.2 Khi áp dụng phân tích đa thức thành nhân tử nói chung, học sinh còn lúng túng
trong việc vận dụng kiến thức, phương pháp để giải quyết bài tập. Do vậy hình
thành kỹ năng phân tích đa thức thành nhân tử phải là một mục tiêu cần đạt
được đối với học sinh lớp 8, đặc biệt là các em học trung bình, yếu.
1.3 Khi giảng dạy giáo viên thường gặp khó khăn trong quá trình đònh hướng cho
học sinh lựa chọn phương pháp nên mỗi giáo viên cần có những, kỹ năng và
kinh nghiệm để hướng dẫn học sinh tìm ra phương pháp tốt nhất để phân tích đa

thức thành nhân tử và giải quyết được các bài toán liên quan một cách đơn
giản, gọn gàng và triệt để là một nhu cầu cần thiết cho mỗi giáo viên.
1.4 Vì thế chúng tôi chọn đề tài này nhằm cùng với đồng nghiệp xây dựng một
phương pháp dạy học sao cho thầy truyền đạt dễ hiểu, tiết kiệm thời gian nhất,
trò tiếp thu nhanh, vận dụng tốt nhất để cùng nhau nâng cao chất lượng dạy học.
2.
2.
Nhiệm vụ đề tài:
Nhiệm vụ đề tài:
2.1 Nêu một số biện pháp để giải quyết những khó khăn khi thực hiện chuyên đề
này trong chương trình toán 8.
2.2 Kế thừa hệ thống ki n th c trong soạn giảng để giúp học sinh tiếp thu kiến thức ế ứ
mang tính liên tục từ 6 đến 9.
+ Riêng lớp 6, lớp 7 thông qua bài toán viết một tổng thành tích, phân tích ra thừa
số… là cơ sở ban đầu cho việc hình thành phương pháp phân tích đa thức thành
nhân tử tạo điều kiện tốt cho lớp 8.
+ Đối với lớp 8 học sinh phải có kỹ năng phân tích đa thức thành nhân tử một cách
thành thạo và một số ứng dụng của nó trong giải toán liên quan.
+ Đối với lớp 9 trên cơ sở các lớp 6, 7, 8 học sinh phải vận dụng và phát triển
nâng cao để giải một số dạng toán liên quan như giải phương trình, rút gọn phân
thức, rút gọn biểu thức .
2.3 Giúp học sinh có khả năng tự giải được nhiều bài tập. Gây hứng thú cho học
sinh trong giờ học toán, tạo cảm giác một tiết học nhẹ nhàng cho cả thầy và trò…
Thông qua đó thấy sự phong phú của toán học và ứng dụng của nó trong cuộc
sống.
3.
3.
Phương pháp tiến hành:
Phương pháp tiến hành:
Để dạy thành công chuyên đề này giáo viên và học sinh cần làm tốt những yêu cầu

sau:
3.1 Tìm hiểu kỹ chương trình toán bậc THCS, SGK, sách tham khảo, các tài liệu
liên quan.
3.2 Giáo viên phải làm tốt công tác chuẩn bò:
- Kiến thức cơ bản của nội dung bài học và các phương tiện hổ trợ.
- Làm tốt khâu hướng dẫn về nhà cho học sinh.
3.3 Chọn được các dạng bài tập đặc trưng cho phù hợp từng nội dung đảm bảo tác
động tốt đến từng đối tượng học sinh.
3.4 Nghiên cứu kỹ nội dung tổ chức cho học sinh hoạt động theo nhóm, thảo luận để
tìm hướng giải quyết đúng và thích hợp nhất.
3.5 Hình thành từng kỹ năng cho học sinh trên cơ sở từ thấp đến cao kế thừa các
kiến thức nền ở lớp 6 và lớp 7.
3.6 Đưa chuyên đề trên thực hiện trong tiết thao giảng để đồng nghiệp dự giờ góp ý
rút kinh nghiệm.
4.
4.
Cơ sở và thời gian tiến hành:
Cơ sở và thời gian tiến hành:
4.1 Cơ sở: Lựa chọn các bài tập liên quan đến phân tích đa
thức thành nhân tử ở SGK, SBT lớp 6, lớp 7, lớp 8, lớp 9.
4.2 Đối tượng: Là học sinh lớp 8.
4.3 Thời gian tiến hành:
Đã thực hiện từ 2004 – 2005; 2005 – 2006; 2006 - 2007.
II.
II.
NOÄI DUNG
NOÄI DUNG
1.
1.
Mô tả tình hình thực tế:

Mô tả tình hình thực tế:
-
Trong quá trình giảng dạy các lớp từ 6 đến 9 và qua thực tế
các bài kiểm tra và bài thi học kì; học sinh đặc biệt là học
sinh trung bình, yếu còn lúng túng khi trình bày, hoặc trình
bày không chặt chẽ, chưa lôgic hoặc phân tích không triệt
để dẫn đến kết quả chưa cao.
- Học sinh thường gặp khó khăn khi lựa chọn phương pháp để
áp dụng vào bài toán thực tế và thường mắc sai lầm như
sau:

Nhận dạng đặc trưng.

Vận dụng kiến thức thiếu cơ sở.

Kỹ năng sắp xếp.
Yêu cầu và
kết quả thực hiện
Những sai lầm thường gặp ở học
sinh
Phương pháp hình thành kỹ năng
cho học sinh
Phân tích đa thức:
x
2
– 4 + y
2
+ 2xy thành nhân
tử:
Giải:

x
2
– 4 + y
2
+ 2xy
= (x
2
+ 2xy + y
2
) – 4
= (x + y)
2
– 2
2
= (x + y – 2)(x + y + 2)
- Học sinh thường nhóm ngẫu
nhiên hai hạng tử đầu vì cho
rằng có dạng hằng đẳng thức
A
2
– B
2
, nhóm hai hạng tử
cuối vì có nhân tử chung là y.
- Học sinh thực hiện như sau:
x
2
– 4 + y
2
+ 2xy

= (x
2
– 4) + (y
2
+ 2xy)
= (x – 2)(x + 2) + y(y + 2x)
 Bế tắc (!)
- Nhận dạng đặc trưng (dạng nào).
- Mục đích của việc nhóm hạng tử
nhằm xuất hiện nhân tử chung
hoặc hằng đẳng thức cho cả lần
phân tích sau:
Gợi ý:
- Nhóm 3 hạng tử x
2
; y
2
; 2xy để tạo
hằng đẳng thức (A + B)
2
.
- Nhóm 3 hạng tử đó với -4 để có
dạng hằng đẳng thức A
2
– B
2
.
Ví dụ 1: Sai lầm về nhận dạng đặc trưng và kỹ năng sắp xếp:
Ví dụ 2: Sai lầm về vận dụng kiến thức.
Yêu cầu và

kết quả thực hiện
Những sai lầm thường gặp ở học
sinh
Phương pháp hình thành kỹ
năng cho học sinh
Phân tích đa thức:
x
2
– 5x + 6 thành nhân
tử.
Giải:
x
2
– 5x + 6
= x
2
– 2x – 3x + 6
= x(x – 2) – 3(x – 2)
= (x – 2)(x – 3)
Học sinh thường mắc sai lầm
khi tách (b
1
x + b
2
x

= bx)
và b
1
x.b

2
x = acx
2
Trong thực hành học sinh
thường làm như sau:
x
2
– 5x + 6
= x
2
– 2 – 3 + 6 = x
2
+ 1 (!)
Hoặc
x
2
– 5x + 6
= x
2
– 2x – 3x + 6
= (x
2
– 2x) – (3x + 6) (!)
x(x – 2) – 3(x + 2) -> bế tắc.
- Đònh hướng cho học sinh
hiểu được bx = (b
1 +
b
2
)x

= b
1
x + b
2
x
- Khi nhóm hạng tử cần chú
ý dấu của mỗi hạng tử.
- Thiết lập quan hệ giữa các
nhóm.

Ví dụ 3: Sai lầm về vận dụng kiến thức trong giải toán ứng dụng.
Bài tập 25b/trang17/SGK toán 8 tập II.
Yêu cầu và
kết quả thực hiện
Những sai lầm thường gặp ở học
sinh
Phương pháp hình
thành kỹ năng
cho học sinh
Giải phương trình:
(3x – 1)(x
2
+ 2) = (3x – 1)(7x – 10)
Giải:
(3x – 1)(x
2
+ 2) = (3x – 1)(7x – 10)
(3x – 1)(x
2
+ 2)–(3x–1)(7x–10)= 0

(3x – 1)( x
2
+ 2 – 7x+10) = 0
(3x – 1)(x
2
– 7x + 12) = 0
(3x –1)(x
2
– 3x – 4x + 12) = 0
(3x – 1)[x(x – 3)–4(x– 3)]= 0(3x
– 1) (x – 3)(x – 4) = 0
Học sinh thường mắc sai lầm: chia
cả hai vế của phương trình cho đa
thức 3x – 1 dẫn đến phương trình
mất nghiệm và thực hành như sau:
(3x – 1)(x
2
+ 2)= (3x – 1)(7x – 10)
 x
2
+ 2 = 7x -10
 x
2
– 7x + 12 = 0
x
2
– 3x – 4x + 12 = 0
x(x – 3) –4(x – 3)= 0
 (x – 3)(x – 4) = 0
- Nhắc lại cho học

sinh quy tắc nhân
với một số trong
biến đổi phương
trình.
- Biến đổi phương
trình có bậc lớn hơn
2 về dạng phương
trình tích (phân tích
vế trái thành nhân
tử)
Vậy tập nghiệm của phương trình
là: S ={; 3; 4}
Tập nghiệm của phương trình là S=
Do đó tập nghiệm của phương trình trên là
chưa chính xác.
- Sai lầm khi chuyển vế và đổi dấu cả hai
nhân tử:
(3x – 1)(x
2
+ 2)= (3x – 1)(7x – 10)
(3x – 1)(x
2
+ 2) – (3x – 1) – (7x – 10 ) = 0
- Chuyển vế các hạng tử
thì đổi dấu các hạng
tử, chuyển vế tích
các nhân tử chỉ cần
đổi dấu một trong
các nhân tử.




=
=
⇔



=−
=−
4
3
04
03
x
x
x
x





=
=
=
⇔






=−
=−
=−
⇔
4
3
04
03
013
3
1
x
x
x
x
x
x
{ }
4;3
Vậy do đâu học sinh dẫn đến những sai lầm trên?
Đó chính là cơ sở để giáo viên nhận thấy
vấn đề trên cần giải quyết, làm sao đònh
hướng cho học sinh khai thác và lựa chọn
phương pháp thích hợp nhất để các em
không còn mắc sai lầm tương tự.
2.Mô tả nội dung và giải pháp mới.
2.Mô tả nội dung và giải pháp mới.
Giải pháp mới:

Kinh nghiệm khi phân tích đa thức thành nhân tử hoặc giải một số bài toán
ứng dụng liên quan, chúng tôi cần lưu ý một số cách để phân tích đa thức
thành nhân tử:
a.1 Theo thứ tự ưu tiên.
Phương pháp đặt nhân tử chung.
Phương pháp dùng hằng đẳng thức.
Phương pháp nhóm hạng tử.
Phối hợp nhiều phương pháp.
a.2 Trong một đa thức cần chú ý:
Nhận xét:
Số hạng tử.
Dấu của các hạng tử.
Số lượng biến có trong đa thức đó.
Bậc cao nhất của đa thức.
•
a.3 Hình thành kiến thức cho học sinh bằng con đường đi từ dễ đến khó, từ
trực quan đến tư duy và theo từng đối tượng học sinh.
•
a.4 Giáo viên chốt kiến thức (cho từng dạng) một cách ngắn gọn;
công thức – cách giải phải ghi cô đọng dễ hiểu nhất và làm rõ yêu cầu bài
toán.
•
a.5 Giáo viên cần có những kỹ năng, “mẹo toán” để giúp học sin tư duy
sáng tạo, khai thác bài toán, tìm tòi học hỏi và lòng say mê toán học.
b.Cách thức tổ chức:
b.Cách thức tổ chức:
•
b.1 Chọn lọc hệ thống bài tập đặc trưng cho từng dạng.
•
b.2 Tổ chức tốt hoạt động nhóm.

•
b.3 Hình thành kỹ năng lựa chọn phương pháp.
•
b.4 Đưa ra các bài tập vận dụng.
•
c) Nội dung:
•
Như phần nhiệm vụ của đề tài đã trình bày.
Lớp 6, lớp 7 là cơ sở ban đầu hình thành
phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử
giúp các em làm quen nên theo ý đồ SGK họ
chỉ đưa ra các bài toán đơn giản dưới dạng
biến tổng thành tích. So sánh giá trò hai biểu
thức, tính nhanh… tạo nền tảng vững chắc sau
này cho các em ở khối lớp cao hơn.
Yêu cầu và
kết quả thực hiện
Kiến thức vận dụng
(cơ sở)
Phương pháp được
hình thành
1. Tính nhanh (SGK toán 6).
[-98(1–246)–246.98]
Giải:
1) [-98 (1 – 246) – 246.98]
= -98 (1 – 246 + 246)
= -98 [1 + (-246 + 246)]
= -98. 1= -98
2. BT59/tr12/SBT toán 7.
Chứng minh rằng:

(10
6
– 5
7
)59
Giải:
2) (10
6
– 5
7
)59
Ta có:
10
6
– 5
7
= (5.2)
6
– 5
7
= 5
6
(2
6
– 5)
= 5
6
(64 – 5)
= 5
6

. 59 .
Vậy (10
6
– 5
7
) chiahet 59
Tính chất phân phối của
phép nhân đối với phép
cộng.
a.b + a.c = a(b + c)
Luỹ thừa của một tích:
(ab) m = am.bm
Tính chất phân phối của
phép nhân đối với phép
cộng.
a.b + a.c = a(b + c)
- Viết một tổng thành
tích.
-
Đặt thừa số chung.
-
- Viết tổng thành tích.
-
Phân tích ra thừa số…
•
Trên đây là hai ví dụ cho ta thấy việc phân
tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp
đặt nhân tử chung và nhóm hạng tử chỉ là
bước phát triển của tính chất phân phối của
phép nhân đối với phép cộng sau đó và nâng

cao mở rộng ở các phương pháp khác như
dùng hằng đẳng thức, tách, nhóm, thêm, bớt
hạng tử… từ lớp 8
3. Một số ví dụ minh hoạ:
Ví dụ 1: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung:
Yêu cầu và
kết quả thực hiện
Kiến thức vận
dụng (cơ sở)
Hình thành kỹ năng cho học sinh
Phân tích đa thức thành
nhân tử:
a) 2x +6yx
Giai
2x+6xy=2x(1+3y)
b)2x (x – y) – 5y (x – y )
Giải:
2x (x – y) – 5y (x – y )
= (x – y)(2x – 5y)
Phân tích đa thức
thành nhân tử
bằng phương
pháp đặt nhân tử
chung.
- Quan sát số hạng tử đã có trong đa
thức.
- Đối tượng nhân tử chung (số, biến,
đơn thức hay đa thức)
- Sau khi đặt nhân tử chung, học sinh
cần quan sát kết quả trong ngoặc có

thể phân tích tiếp? Nếu không thể
phân tích được nữa mới dừng lại.
•
Ứng dụng:
p dụng kiến thức đó để giải bài toán liên quan.
1) BT 40/tr19/SGK toán 8 tập I.
Tính giá trò của biểu thức:
x (x – 1) – y (1 – x) tại x = 2001, tại y = 1999.
Học sinh sẽ giải được khi giáo viên làm tốt công việc hướng dẫn như
trên.
x (x – 1) – y (1 – x)
= x (x – 1) + y (x – 1)
= (x – 1) (x + y).
Tại x = 2001, y = 1999.
Ta có : (2001 – 1)(2001 + 1999)
= 2000.4000
= 8000000.
Vậy tại x = 2001, y = 1999 thì biểu thức:
x (x – 1) – y (1 – x) có giá trò là: 8000000.
2) Phân tích đa thức: x(y
2
– z
2
) + y(z
2
– x
2
) + z(x
2
– y

2
) thành nhân tử.
•
Hướng dẫn:
•
Bước 1: Quan sát các hạng tử có nhân tử chung? (không)
•
Bước 2: Tìm cách để tạo ra nhân tử chung (thực hiện nhân đơn thức với
đa thức để khai triển).
•
Bước 3: Tìm các hạng tử có nhân tử chung để sắp xếp thành nhóm.
•
Học sinh thực hiện như sau:
•
x(y
2
– z
2
) + y(z
2
– x
2
) + z(x
2
– y
2
)
•
= xy
2

– xz
2
+ yz
2
– yx
2
+ z(x – y)(x + y)
•
= xy(y – x) + z
2
(y – x) – z(y – x )(x + y)
•
= (y – x)(xy + z
2
– zx – zy)
•
= (y – x)[x(y – z) – z (y – z)]
•
= (y – x)(y – z)(x – z)
•
Tương tự như bài tập 2 (ở phần ứng dụng):
•
Giáo viên yêu cầu học sinh tự giải bài tập 32 trang 12/SBT Toán 8 tập
1.
•
Phân tích đa thức: xy(x + y) + yz(y + z) + xz(x + z) + 2xyz thành nhân tử
•
Học sinh áp dụng ba bước phân tích trên để giải được bài toán.
•
HS nhận thấy các hạng tử chưa có nhân tử chung nên học sinh liên hệ

đến cách giải ở bài tóan trước, học sinh có thể thực hiện như sau:
•
xy(x + y) + yz(y + z) + xz(x + z) + 2xyz
•
= x
2
y + xy
2
+ y
2
z + yz
2
+ x
2
z + xz
2
+ 2xyz
•
Và các em thấy: các hạng tử (x
2
y, xy
2
) có nhân tử chung;
•
(y
2
z; yz
2
; 2xyz) có nhân tử chung nên nhóm các hạng tử như sau:
•

(x
2
y + xy
2
+ xyz) + (y
2
z + yz
2
+ xyz) + (x
2
z + xz
2
)
•
= xy(x + y + z) yz(y + z + x) + xz(x + z)
•
= (x + y + z)(xy + zy) + xz(x + z)
•
= (x + y +z)y(x + z) + xz(x + z)
•
= (x + z)(xy + y
2
+ yz + xz)
•
= (x + z)(y(x + y) + z(x + y))
•
= (x + z)(x + y)(y + z)
Ví dụ 2: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp dùng hằng đẳng thức:
Yêu cầu và
kết quả thực hiện

Kiến thức vận dụng
(cơ sở)
Hình thành kỹ năng cho học sinh
a. Phân tích đa thức thành
nhân tử:
x
2
– 4
Giải :
a. x
2
– 4
= x
2
– 2
2

= (x – 2)(x + 2)

b. Phân tích đa thức thành
nhân tử
(2x + 3y)
2
+ 2(2x + 3y)+1
Giải :
b.
(2x + 3y)
2
+ 2(2x + 3y)+1
2

= (2x + 3y + 1)
2

•
Phân tích đa
thức thành nhân
tử bằng phương
pháp dùng hằng
đẳng thức
- Quan sát số hạng tử có trong đa thức
để lựa chọn phương pháp phân
tích theo thứ tự ưu tiên.
1. Các hạng tử có nhân tử chung?
2. Các hạng tử có thể lập thành hằng
đẳng thức?
Gợi ý:
+ Xác đònh biểu thức A, B.
+ Số lượng biến và bậc của đa thức.
+ Các hằng đẳng thức có bậc lớn nhất
là bậc hai.
-
Trường hợp này giáo viên gợi ý
các biểu thức A,B có thể là những
đa thức nếu học sinh không nhận
thấy thì giáo viên cụ thể hoá:
(2x + 3y)
2
+ 2(2x + 3y)+1
2
A

2
+ 2AB + B
2
•
Phát triển bài toán
• Với ví dụ 2a đưa ra bài toán phân tích đa thức x
2
– 2 thành nhân tử.
•
Học sinh tư duy 4 = 2
2
. vậy 2 = (?)
2
và một số học sinh có thể phát
hiện: 2 =
• Khi đó học sinh dễõ dàng phân tích được như sau:
• x
2
– 2 = x
2
– = (x – ) (x + ).
•
Hoặc giáo viên phát triển bài toán để cho một số đối tượng học
sinh khá giỏi tư duy tạo tiết học hấp dẫn tình huống phong phú hơn
như:
• Phân tích đa thức x
4
- 4 thành nhân tử.
• Bằng phép tương tự học sinh có thể phân tích được:
• x

4
– 4 = (x
2
– 2) (x
2
+ 2) = (x – ) (x + ). (x
2
+ 2)
2
)2(
2
)2(
2


2

22
•
Ứng dụng:
1. Bài tập 46/trang21/SGK Toán 8 tập I.
•
Tính nhanh: 73
2
- 27
2
•
Học sinh xác đònh được A = 73; B = 27 và áp dụng được hằng đẳng thức A
2

– B
2
như sau:
•
73
2
– 27
2
= (73 – 27) (73 + 27) = 46 . 100 = 4600.
•
Từ bài tập trên giáo viên có thể nâng cao hơn bằng cách đưa ra bài tập
sau:
•
2. Tính nhanh:
•
M = (100
2
+ 98
2
+…+ 2
2
) – (99
2
+ 97
2
+ …+ 3
2
+ 1
2
)