CÁC kĩ THUẬT xử lý TÍCH PHÂN

CÁC
KĨ

LỚP TOÁN
THẦY CƯ- TP
HUẾ
SĐT: 0834
332133

THUẬT

XỬ
TOÁN
LÝ

TÍCH
PHÂN

12

BINH PHÁP LƯU HÀNH
NỘI BỘ


BÀI GIẢNG NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN

CÁC KĨ THUẬT XỬ LÝ TÍCH PHÂN
BÀI 2. TÍCH PHÂN .......................................................................................................................................... 2
A. KIẾN THỨC SÁCH GIÁO KHOA CẦN NẮM .............................................................................................. 2
B. PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN TRẮC NGHIỆM ................................................................ 3
Dang 1: Tích phân hữu tỉ ........................................................................................................................................3

1. Phương pháp ....................................................................................................................................................3
2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng ..............................................................................................................................4
3. Bài tập rèn luyện tốc độ ....................................................................................................................................7
Dạng 2: Tích phân có chưa căn thức ................................................................................................................... 10
1. Phương pháp ..................................................................................................................................................10
2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng ............................................................................................................................ 11
3. Bài tập rèn luyện tốc độ ..................................................................................................................................14
Dạng 3: Tích phân lượng giác .............................................................................................................................. 18
1. Phương pháp ..................................................................................................................................................18
2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng ............................................................................................................................ 20
3. Bài tập rèn luyện tốc độ ..................................................................................................................................24
Dạng 4: Tích phân từng phần ............................................................................................................................... 27
1. Phương pháp ..................................................................................................................................................27
2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng ............................................................................................................................ 27
3. Bài tập rèn luyện tốc độ ..................................................................................................................................32
Dạng 5: Tích phân chứa dấu giá trị tuyệt đối ...................................................................................................... 38
1. Phương pháp ..................................................................................................................................................38
2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng ............................................................................................................................ 39
3. Bài tập rèn luyện tốc độ ..................................................................................................................................42
Dạng 6: Tích phân siêu việt .................................................................................................................................. 44
1. Phương pháp ..................................................................................................................................................44
2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng ............................................................................................................................ 44
3. Bài tập rèn luyện tốc độ ..................................................................................................................................48
Dạng 7: Tích phân hàm ẩn ................................................................................................................................... 54
1. Phương pháp ..................................................................................................................................................54
2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng ............................................................................................................................ 56
3. Bài tập rèn luyện tốc độ ..................................................................................................................................61
Dạng 8: Bất đẳng thức tích phân .......................................................................................................................... 67
1. Phương pháp ..................................................................................................................................................67
2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng ............................................................................................................................ 68

3. Bài tập rèn luyên tốc độ ..................................................................................................................................70

LỚP TOÁN THẦY CƯ – TP HUẾ. SĐT: 0834332133

Page 1


BÀI GIẢNG NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN
BÀI 2. TÍCH PHÂN
A. KIẾN THỨC SÁCH GIÁO KHOA CẦN NẮM
I. KHÁI NIỆM TÍCH PHÂN
1. Định nghĩa tích phân
Cho f  x  là hàm số liên tục trên đoạn a, b  . Giả sử F  x  là một nguyên hàm của f  x  trên đoạn a, b  .
Hiệu số F  b   F  a  được gọi là tích phân từ a đến b (hay tích phân xác định trên đoạn a, b   của hàm số
b

f  x  , kí hiệu là  f  x dx.
a

Ta còn dùng kí hiệu F  x 

để chỉ hiệu F  b   F  a  .

b
a

Vậy
b

 f ( x )dx  F  x  a  F (b)  F (a).

b

a
b

Ta gọi



là dấu tích phân, a là cận dưới, b là cận trên, f  x  dx là biểu thức dưới dấu tích phân và f  x  là

a

hàm số dưới dấu tích phân.
Chú ý:
Trong trường hợp a  b hoặc a  b, ta quy ước
a



f ( x )dx  0;

a

b



a

a

f ( x )dx    f ( x )dx.
b

Nhận xét
b

 Tích phân của hàm số f từ a đến b có thể kí hiệu bới



a

f ( x )dx hoặc

b



f (u)du hoặc

a

b

 f (t)dt. Tích phân

a

chỉ phụ thuộc vào hàm số f và các cận a,b mà không phụ thuộc vào biến số x hay t.
 Ý nghĩa hình học của tích phân: Nếu hàm số f  x  liên tục và không âm trên đoạn a, b  , thì tích
b

phân

là diện tích S của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị của f  x  , trục Ox và hai đường

 f ( x )dx
a

b

thẳng x  a,x  b. Vậy S   f  x dx.
a

II. TÍNH CHẤT CỦA TÍCH PHÂN
Tính chất 1:

Tính chất 2:

b

b

a

a

 kf ( x )dx  k  f ( x )dx. (k: const)

b

b

b

a

a

a

  f ( x )  g( x )dx   f ( x )dx   g( x )dx.
b

Tính chất 3:



a

c

b

a

c

f ( x )dx   f ( x )dx   f ( x )dx.  a  c  b 

III. PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN
1. Phương pháp đổi biến số
LỚP TOÁN THẦY CƯ – TP HUẾ. SĐT: 0834332133

Page 2


BÀI GIẢNG NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN
Định lý 1 (Đổi biến loại 1): Cho hàm số f  x  liên tục trên đoạn a, b  . Giả sử hàm số x    t  có đạo
hàm liên tục trên đoạn   ,   sao cho      a,      b và a    t   b với mọi t    ;   . Khi đó:
b



a







'
 f  x dx   f   t  .  t dt

Định lý 2 (Đổi biến loại 2): Cho hàm số f  x  liên tục trên đoạn a, b  . Giả sử hàm số u  x  có đạo hàm
liên tục và u  x    ,   . Giả sử ta có thể viết f  x   g  u  x   .u'  x  , x  a, b  với g  x  liên tục trên đoạn
  ;   . Khi đó ta có:
b

u b 

a

u a 

 f  x dx   g  u du.
2. Phương pháp tích phân từng phần
b

b

Nếu u  u  x  và v  v  x  là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn a, b  thì  uvdx  uv a   vdu
b

a

a

B. PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN TRẮC NGHIỆM
Dang 1: Tích phân hữu tỉ
1. Phương pháp
1.1 Một số dạng cần nhớ

dx

1

1)

 ax  b  a ln ax  b  C, a  0.

2)

  ax  b 

3)

 u  x  dx  ln u  x   C

dx



1
1
1
 C , a  0.
.
.
a   n  1  ax  b n 1

u  x 

b

4)

n

x
a

2

dx
thì đặt x   tan t .
2

1.2 Dạng tổng quát I  

P  x

 x    . x   
m

n



. ax  bx  c
2





dx m, n  N , b 2  4ac  0,a  0



+) Trường hợp 1: Nếu bậc của đa thức P  x   m  n  2 ta chia tử cho mẫu để đưa về trường hợp 2
+) Trường hợp 2: Nếu bậc của đa thức P  x   m  n  2 ta sử dụng “phương pháp hệ số bất định”
P x

 x    . x   
m

Bước 1: Phân tích:

n

.  ax  bx  c 
2



m


i 1

Ai

x   

i



n



k 1

Bk

x   

k



M  2 ax  b   N
ax 2  bx  c

Bước 2: Quy đồng mẫu số và đồng nhất 2 vế để tìm các hệ số Ai , Bk , M , N
Bước 3: Thực hiện các dạng cơ bản.
LỚP TOÁN THẦY CƯ – TP HUẾ. SĐT: 0834332133

Page 3


BÀI GIẢNG NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN

Chú ý: + Đôi khi ta dùng phương pháp thêm - bớt – tách sẽ gắn gọn hơn.
+ Một số trường hợp ta đổi biến số nhằm giảm bớt bậc để đưa về tích phân hàm hữu tỉ đơn giản hơn.
2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng

5

Ví dụ 1: Cho
A.

dx
 ln a. Tìm a.
x
2



5
.
2

B. 2.

C. 5

D.

2
.
5

Hướng dẫn giải
ĐÁP ÁN D
5

Ta có:

dx
 ln a  ln x
x
2



2

Ví dụ 2: Cho

x
0

2

5
2

 ln a  ln 5  ln 2  ln a  ln

5
5
 ln a  a  .
2
2

x 1

dx  a ln 5  b ln 3,  a, b    . Giá trị của 3a  2b là
 4x  3

A. 0.

B. 1.

C. 8.
Hướng dẫn giải

D. 10.

ĐÁP ÁN A
n

ax  b
dx thì ta sẽ biến đổi
x  c  x  d 
m

Khi thấy những bài tích phân có dạng I  

ax  b
A
B


 ax  b   A  B  x  Ad  Bc
 x  c  x  d  x  c x  d
A  B  a


 ta sẽ tìm được A và
Ad  Bc  b

Khi đó: I   A ln x  c  Bln x  d 
Áp dụng vào bài, ta có: f  x  

B.

n
m

x 1
x 1
2
1



x  4x  1  x  3 x  1 x  3 x  1
2

I   2ln x  3  ln x  1   2ln 5  3ln 3.
2

0

a  2
VT  VP  
.

b  3
m

Ví dụ 3: Tìm tất cả các số thực m dương thỏa mãn
A. m  3.

x 2 dx
1
0 x  1  ln 2  2.

B. m  2.
C. m  1.
Hướng dẫn giải

D. m  3.

ĐÁP ÁN C
m

m

m

x 2 dx
1 
1 2

1 2

   x 1

Ta có: 
 dx   x  x  ln x  1   m  m  ln m  1
x 1 0 
x 1
2
0 2
0
1 2
1
m  m  ln m  1  ln 2 
2
2
Ta thấy chỉ có m  1 thỏa mãn (*).

Suy ra:

(*)

LỚP TOÁN THẦY CƯ – TP HUẾ. SĐT: 0834332133

Page 4


BÀI GIẢNG NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN
0

3x 2  5 x  1
2
Ví dụ 4: Biết I  
dx  a ln  b,  a, b    . Tính giá trị của a  4b.

x2
3
1

A. 50.

B. 60.

C. 59.
Hướng dẫn giải

D. 40.

ĐÁP ÁN C
0

0

3x 2  5 x  1
21 

I
dx    3x  11 
 dx
x2
x2
1
1 
0

 3x 2

19
2

 11x  21.ln x  2    21.ln
3
 2
 1 2

19
 a  4b  59.
2

Khi đó, a  21, b 
2

1

a

1

 x  x  1 dx  2  ln b

Ví dụ 5: Biết

2

với a , b là các số nguyên dương và

1

của a  b bằng
A. 7.

B. 5.

a
là phân số tối giản. Giá trị
b

C. 9.
Hướng dẫn giải

D. 4.

ĐÁP ÁN A
2

2

2

2

1
x2  1  x2
1 1
1

 1


dx
1 x 2  x  1 1 x 2  x  1 dx  1  x  1  x 2  x  dx   ln x  1  ln x  x  1
2

1
3
 x 1 1 
  ln
    ln
x
x 1 2
4


Suy ra a  4; b  3 . Vậy a  b  7.
1



Ví dụ 6: Cho

0

x 3  3x 2  x  3

x

2

 2x  3



2

dx  a  ln b  1 . Khi đó 6a  5b bằng

A. 2.

B. 3.

C. 13.

D.

2
.
3

Hướng dẫn giải
ĐÁP ÁN C





Ta có: x 3  3x 2  x  3   x  1 x 2  2x  3 .

Đặt t  x2  2x  3  dt   x  1 dx.
1
2

Đổi cận: x  0  t  3; x  1  t  6 .
6

6

6

1 t6
1 1 6 
1
6
1
Khi đó: I   2 dt     2  dx   ln t     ln 2  1
23 t
2 3 t t 
2
t 3 2
a

1
, b  2  6a  5b  13.
2
1

Ví dụ 7: Cho I1  
0

A. a  b  c.

x3
x4  3x 2  2

dx  ln a  b ln c,  a, b,c    . Khẳng định đúng là

B. b  c  a.

LỚP TOÁN THẦY CƯ – TP HUẾ. SĐT: 0834332133

C. c  a  b.

D. a  c  b.
Page 5


BÀI GIẢNG NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN
Hướng dẫn giải
ĐÁP ÁN D

Đặt t  x2  dt  2xdx hay xdx 

dt
.
2

Và x : 0  1 thì: t : 0  1 .
1

 I1  
0

x 2 .xdx
x 4  3x 2  2



1
tdt
1 2  t  1   t  2 
dt
 

2
2 0 t  3t  2 2 0  t  1 t  2 
1

1

1

1

1  2
1 
1
3



 

 dt   ln t  2  ln t  1   ln 3  ln 2
2 0 t  2 t  1
2
2

0
3
 a  3; b   ; c  2.
2
2

 x3

Ví dụ 8: Cho

1

1

1  x 
2

dx 





a c 5
a c
 ln , a, b,c,d    ; ,
là các phân số tối giản. Giá trị của
b d 8
b d

S  a  2b  3c  4d bằng

A. 16.

B. 87.

C. 34. .
Hướng dẫn giải

D. 30.

ĐÁP ÁN D




1 x   x

1
1
1 1  x   x



I
dx  
dx    

x

x
x 1  x 
x 1  x  
x 1  x 



 1 1
 1 1
x 
1 d 1  x 

 
dx 
 dx 
2

2

2

3

1

2

2

3

1

2

2

2

  x3

  x3


1  x2 

x

1

2

2

1





1

3

2


x

2

2


 dx



2

2 1 1  x 2

2

 1

1
3
1 5 3 1 5
 
 ln x  ln 1  x 2    ln 2  ln   ln
2
2
2 2 8 2 8
 2x
1 8
 a  3, b  8, c  1,d  2.
1

Ví dụ 9: Cho I  
0

x3
x4  3x2  2

dx  ln 3  b ln 2  c. Chọn đáp án đúng.

3
2
C. abc  0.

B. 2b  c .

A. b  c 

D. b, c là các số nguyên.
Hướng dẫn giải

ĐÁP ÁN C

Ta có: I 

1

1
x 2 .2xdx
.
2 0 x 2  1 x 2  2







Đặt t  x2  dt  2xdx .
Với x  0  t  0 , với x  1  t  1 .
1

1

1

1
tdt
1  2
1 

1

 

Khi đó: I  
 dt   ln t  2  ln t  1 
2 0  t  1 t  2  2 0  t  2 t  1 
2

0
 ln 3 

3
ln 2 .
2

LỚP TOÁN THẦY CƯ – TP HUẾ. SĐT: 0834332133

Page 6


BÀI GIẢNG NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN
3
a  3, b   , c  0 .
2

3. Bài tập rèn luyện tốc độ
4

Câu 1:

Biết

x

dx
 a ln 2  b ln 3  c ln 5 với a, b, c là các số nguyên. Giá trị của S  a  b  c bằng
x

2

3

A. 6.

B. 2.

C. 2.
Hướng dẫn giải

D. 0.

ĐÁP ÁN B
4

4

4

4

dx
dx
1 
x
16
1

  
 ln  4 ln 2  ln 3  ln 5.
I 2
  ln
x  x 3 x  x  1 3  x x  1 
x 1 3
15
3

Do đó: S  4  1  1  2.
5

Câu 2:

Biết rằng I  
1

dx
 ln a. Giá trị a là
2x 1

A. 3.

B. 9.

C. 8.
Hướng dẫn giải

D. 81.

ĐÁP ÁN A
5

5

dx
1
1 2x  1  2 ln 2x  1 1  ln 3  ln a  a  3.
1

Câu 3:

Biết I  
0

2x  3
dx  a ln 2  b ,  a, b    . Khi đó giá trị a  2b bằng

2 x

A. 0.

B. 2.

C. 3.
Hướng dẫn giải

D. 7.

ĐÁP ÁN C
1

1
1
2x  3
7 

dx    2 
 dx   2 x  7 ln 2  x  0  2  7 ln 2
2 x
2 x
0
0

Ta có: I  

Nên a  7 và b  2. Do đó: a  2b  3.
5

Câu 4:

Giả sử

dx

 2 x  1  ln K . Giá trị của K

là

1

A. 9 .

B. 3 .

C. 81 .
Hướng dẫn giải

D. 8 .

Đáp án B
5

dx

1

 2 x  1  2 ln 2 x  1

1

5
1

 ln 3.
2

Câu 5:

Tính tích phân I  
1

A.

2
.
3

1
x  x  1

B.

2

dx  ln a  b,  a, b    . Giá trị a  b bằng

7
.

6

C.

2
.
3

D.

6
.
11

Hướng dẫn giải
ĐÁP ÁN B
LỚP TOÁN THẦY CƯ – TP HUẾ. SĐT: 0834332133

Page 7


BÀI GIẢNG NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN
2

I
1

2

1

x  x  1

2

dx  
1

2

x 1 x
x  x  1

2

2

1
1
dx  
dx .
2
x x  1
1 
1  x  1

dx  

Suy ra
2

2

1
1 
x
2
I   
 dx    x  1 d  x  1  ln
x x  1
x1
1
1
a

2

  x  1

1

2

 ln

1

1

4 1
 .

3 6

4
1
,b .
3
6
1

Câu 6:

xdx
 a  b ln c. Biết b  c  1, với b, c  3. Khi đó P  abc bằng
x

1
0

Cho I  

B. 1.

A. 0.

C. 2.

D.

1
.

2

Hướng dẫn giải
ĐÁP ÁN C
1

I
0

 x  1  1 dx  1  1  1  dx  x  ln x  1  1  1  ln 2
  0
  x  1  
x1
0

 a  1; b  1; c  2  P  2.
1
2

Câu 7:

Cho I  
0

b
x 4 dx
1
 a  ln b. Khi đó S  24a   11 bằng
2
3

x 1
2
B. 1.

A. 0.

C. 1.
Hướng dẫn giải

D. 25.

ĐÁP ÁN D
1
2

I
0

1
2

4

x dx
2

x 1


0

1
2


1 
dx    x 2  1 
 dx
2
x 1
x 1
0

x 11
4

2

1

 x3
 2 13 1
   x  ln x 2  1  
 ln 3.
 0 24 2
 3
13
a
, b  3  S  25.
24

2

Câu 8:

Cho

A. a  b.
C. a  b .

x2  x  1
1 x  1 dx  a  ln b. Chọn mệnh đề đúng:

B. 2a  b  b2  0.
D. a  b.
Hướng dẫn giải

ĐÁP ÁN C

LỚP TOÁN THẦY CƯ – TP HUẾ. SĐT: 0834332133

Page 8


BÀI GIẢNG NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN
2
2
2
 x2



x2  x  1
1 
1





 ln x  1 
dx
x
dx
xdx
dx

 x1
  x  1 

 x1
 2



1
1
1
1
2

2

1

1
3
3
 2  ln 3   ln 2   ln
2
2
2
3
3
 a  , b   a  b.
2
2
1

I 

Câu 9:

 x  1

2

x 1
2

0



1
.
3

A.



dx  a  ln b, a, b    . Khi đó S 
B.

2
.
3

ab
bằng
a b

C. 3

D. 3.

Hướng dẫn giải
ĐÁP ÁN D
1

I4  

x 2  1  2x
x2  1

0
1

1d

0

0

  dx  

1

1

1


2x 
2xdx
dx    1 
 dx   dx   2
2
x  1
0
0

0 x 1

 x  1 
2

x2  1





x  ln x 2  1



1

 1  ln 2.

0

 a  1, b  2  S  3.
1

Câu 10: Cho I  
0

A.

abc

x3  3
c
dx  a   b  5  ln b  c ln , a, b, c    . Khi đó P 
bằng
2
2
x  2x  3
abc

22
.
7

B.

20
.
7

C.

24
.
7

D. 26.

Hướng dẫn giải
ĐÁP ÁN B
1

1
6  x  1  x  3 

7x  3 
dx    x  2 
dx

x  2 
 dx


2

 x  1 x  3  
x 2  2x  3 
0 x  2x  3
0
0
1

I

x3  3

1

 x2


6

1 
 x  2 

 2x  6 ln x  3  ln x  1 
 dx  

x  3 x 1
 2
0
0
1



5
 7 ln 2  6 ln 3.
2

a 

5
20
, b  2, c  6  P  .
2
7
2

Câu 11: Cho I  
0

A. 2  ln

125
.
3

2

2x  3
B 
 A

dx   
 dx. Giá trị I .  2 A  4 B  bằng
2

1

3
x  4x  3
x
x


0

B. 2 ln

125
.

3

C.

7 125
ln
.
2
9

D.

1 125
ln
.
2
9

Hướng dẫn giải
ĐÁP ÁN C

Ta có:

2x  3
2

x  4x  3



2x  3
A
B


.
 x  1 x  3  x  1 x  3

Từ đó 2x  3   A  B  x  3A  B  x  1, x  3  .
LỚP TOÁN THẦY CƯ – TP HUẾ. SĐT: 0834332133

Page 9


BÀI GIẢNG NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN
A  B  2
1
3
A ; B .


3A
B
3
2
2


Cân bằng các hệ số của các lũy thừa cùng bậc của x ta được: 
Suy ra:

2

2

2x  3

2



1 dx
3 dx
1
I
dx  
 
 ln x  1  3 ln x  3
2
2 0 x1 2 0 x 3 2
0 x  4x  3
 I.  A  B  



2
0

1 125
 ln
2

9

7 125
ln
.
2
9
2

Câu 12: Cho

x2 1
a c.d
1 x 4  2 x3  x 2  2 x  1 dx  b ln e biết a, b, c, d , e  N ; UCLN  a; b   1 và c, d, e là các

số nguyên tố. Giá trị của T  a  b  c  d  e bằng
A. 32 .
B. 24 .
C. 25 .
Hướng dẫn giải

D. 31 .

Ta có
1

1
x2

x 1

dx  
dx
2 1
 2x  x2  2x  1
2
x  2x 1  2
x x
1

dx 
x

dx

2
1
1


 x    2 x    3
x
x



x

2

4

3

Đặt t  x  1 ta có:
x

x2  1
dt
1 t 1
 x4  2x3  x2  2x  1dx   t 2  2t  3  4 ln t  3  C
Dạng 2: Tích phân có chưa căn thức

1. Phương pháp
Lớp bài toán 1:



p
k
 x . n ax  b



m

dx ;



xp

n

 ax

k

b



m

dx thỏa  p  1 k , khi đó ta đặt t 

n

 ax

k

b



m

Lớp bài toán 2: Đổi biến dạng lượng giác

Ta chú ý các nhận biết một số dấu hiệu và cách đổi biến tương ứng sau
Dấu hiệu

Cách đổi biến

Chú ý

Đặt x  a tan t

  
t   ; 
 2 2

a2  x2

Đặt x  a sin t

  
t   ; 
 2 2

x2  a2

Đặt x 

1.

x2  a2

2.
3.

a
sin t

LỚP TOÁN THẦY CƯ – TP HUẾ. SĐT: 0834332133

    
t    ;0  or  0; 
 2   2

Page 10


BÀI GIẢNG NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN

ax
or
ax

4.

Đặt x  a cos 2t

ax
ax

 
t  0; 
 2





Lớp bài toán 3:  R x; ax 2  bx  c dx

Hướng 1: theo dạng 2
Hướng 2: Hữu tỉ hoá. Sử dụng các phép biến đổi Euler
- Với a  0 , đặt

ax2  bx  c  t  ax

- Với c  0 , đặt

ax 2  bx  c  tx  c

- Nếu ax 2  bx  c có hai nghiệm

x1 , x2 thì đặt

ax 2  bx  c  t  x  x1  hoặc đặt

ax 2  bx  c  t  x  x2 

Chú ý:

1) I  
2) K  

mx  n
ax  bx  c

2

dx ta biến đổi về dạng I 

dx

 mx  n 

ax 2  bx  c

ngoài cách giải chung bằng phép thế lượng giác ta còn có thể giải bằng

phép thế đại số. Đặt t  ax 2  bx  c hoặc

3) Với dạng
dạng:





dx
ax 2  bx  c

dx
a x
2

2

hoặc



m
2ax  b
mb 
dx

dx   n 


2
2
2a ax  bx  c
2a  ax  bx  c


1
1
 ax 2  bx  c hoặc t  mx  n hoặc  mx  n
t
t

ta thường nhóm biểu thức dưới dấu căn thành hằng đẳng thức rồi đưa về

dx
x k
2

 ln x  x 2  k  C

2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng
2

Ví dụ 1: Trong các tích phân sau, tích phân nào không cùng giá trị với I   x 3 x 2  1dx.
1

A.

1 2
t t  1dt.
2 1

B.

1 4
C.
t t  1dt.
2 1
Hướng dẫn giải

 t
3

0

2

 1 tdt.

D.

 x
3

0

2

 1 x 2dx.

ĐÁP ÁN A
dt
.
2
Đổi cận x  1 thì t  1; x  2 thì t  4.

Đặt x 2  t  xdx 

2

2

1

1

I   x 3 x 2  1dx   x 2 x 2  1.xdx 

1 2
t t  1dt.
2 1

LỚP TOÁN THẦY CƯ – TP HUẾ. SĐT: 0834332133

Page 11


BÀI GIẢNG NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN
3

a
b



 ab là phân số tối giản. Giá trị S  a1  b1

Ví dụ 2: Tính tích phân I   x x  1dx ta được I  , a, b    ,
0

bằng
A.

131
1740

B.

16
.
15

C.

116
.
5

D.

16
.
3

Hướng dẫn giải
ĐÁP ÁN A

Đặt u  x  1  x  u 2  1; du 





1  x 'dx 

1
dx  dx  2udu
2 1 x

Đổi biến: u  0   1 ; u  3  2
2

 u5 u3 
116
.
Khi đó ta có:  x x  1dx  2   u  1 u du  2   u  u  du  2    
 5 3  1 15
0
1
1
3

2

2

2

2

1
a

Do đó: a  116, b  15. Suy ra: S  

4

2

1 131

.
b 1740

2

Ví dụ 3: Kết quả của tích phân I   x 2 x3  1dx 
0

a
a
,  a, b  *  , là phân số tối giản. Giá trị
b
b

P  a  b bằng
2

2

A. 2786.

B. 2785.

C. 2685.
Hướng dẫn giải

D. 2885.

ĐÁP ÁN B

Đặt t  x3  1  t 2  x3  1  2tdt  3 x 2 dx  x 2 dx 

2t
dt .
3

Với x  0  t  1 ; x  0  t  3
3

 2t 3 
2
2 52
Vậy I   t 2dt     6   .
3
9 9
 9 1
1
3

Suy ra: a  52,b  9. Do đó: S  2785.
5

Ví dụ 4: Tính tích phân: I  
1

dx
được kết quả I  a ln 3  b ln 5,  a, b    . Tổng a  b là

x 3x  1
B. 3.

A. 2.

C. 1.
Hướng dẫn giải

D. 1.

ĐÁP ÁN D

u2 1
1
 dx  2udu
3
3
Đổi cận: x  1  u  2 x  5  u  4
Đặt u  3x  1  x 

4
u  1   u  1
u 1
3
1
Vậy I   2
du  
du  ln
 ln  ln  2 ln 3  ln 5
u 1 2

5
3
 u  1 u  1
2 u 1
2
4

2

4

Do đó a  2; b  1 . Suy ra: a  b  1.
5

1
dx  a  b ln 3  c ln 5,  a, b, c    . Giá trị a  b  c bằng
1 1  3x  1

Ví dụ 5: Giả sử tích phân I  

LỚP TOÁN THẦY CƯ – TP HUẾ. SĐT: 0834332133

Page 12


BÀI GIẢNG NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN
A.

4
.

3

B.

5
.
3

C.

7
.
3

D.

8
.
3

Hướng dẫn giải
ĐÁP ÁN A

Đặt 1  3 x  1  t  3 x  1   t  1  dx 
2

2
 t  1 dt.
3

Đổi cận x  1  t  3; x  5  t  5 .
5

5

5

2 t 1
2  1
2
4 2
2
Khi đó I  
dt    1   dt   t  ln t    ln 3  ln 5.
3 t
3 3 t
3
3 3
3
3
3
4
2
2
4
Do đó a  ; b  ; c   Vậy a  b  c  .
3
3
3
3

Ví dụ 6: Tập hợp các nghiệm của bất phương trình
A.  ;0  .



x

0

B.  ;   .

t

dx  0, với x là ẩn là
t 1
2

C.  ;   \ 0 .

D.  0;   .

Hướng dẫn giải
ĐÁP ÁN C
x


0

x


0

2
x
x
1 d  t  1 1
dt  
 .2 t 2  1  x 2  1  1.
0
2 0 t2 1 2
t2 1

t

t
t 1
2

dt  0  x 2  1  1  0  x   ;   \ 0 .

1



x
1 x 
Ví dụ 7: Cho I   f 
 dx bằng

 dx  10. Khi đó J   f 
x  1 x 
0 
0
 x  1 x 
A. 10.
B. 10.
C. 9.
D. 9.
Hướng dẫn giải
ĐÁP ÁN A
Đặt t  1  x ta có: dt  dx
1

Đổi cận

0
1




x  0  t 1
t
t

dt

f 
khi đó J   f 




 dt

x 1 t  0
t
t  1  t 
1  1 t 
0 

1

x
J   f 
x  1 x
0 


 dx  I  10.

m

Ví dụ 8: Tính theo m tích phân I   x x 2  1dx là
0

A.

 m2  1 m2  1  1
3

3

.

B.

 m2  1 2  1

.

m
C.

3
Hướng dẫn giải

2

 1 m 2  1  1
3

.

D. m2  1.

ĐÁP ÁN C

 x  m  t  m 2  1
Đặt t  x 2  1  t 2  x 2  1  tdt  xdx và đổi cận 

x  0  t 1


LỚP TOÁN THẦY CƯ – TP HUẾ. SĐT: 0834332133

Page 13


BÀI GIẢNG NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN
m 2 1

m

Do đó I   x x  1dx 



2

0

1

3

Ví dụ 9: Kết quả của I  
0

t3
t dt 

3

m
I

m2  1

2

1

2

 1 m 2  1  1
3

.

2x 2  x  1
a
a
dx  ,  a, b     , là phân số tối giản. Giá trị S  a  b bằng
b
b
x 1

A. 36.

B. 45.

C. 27.
Hướng dẫn giải

D. 59.

ĐÁP ÁN D
3

I
0

Đặt

2x 2  x  1
dx
x 1

x  1  t  x  t 2  1  dx  2tdt
2

2
 4t 5

2(t 2  1) 2  (t 2  1)  1
54
I
2tdt  2  (2t 4  3t 2 )dt  
 2t 3   .
t
 5

1 5
1
1
2

Suy ra: a  54,b  5. Do đó: S  a  b  59.
1

Ví dụ 10: Cho tích phân I   x  ax  b 3x2  1  dx  3, biết a  b  1. Giá trị S  a3  b3  5a  b bằng
0



A. 15.



B. 20.

C. 102.
Hướng dẫn giải

D. 15.

ĐÁP ÁN C
1

1

1

ax 3
Ta có: I   ax dx   bx 3x  1dx 
3
0
0
2

1

  bx 3x 2  1dx

2

0

0

1

+ Xét A   bx 3x2  1dx
0

Đặt

3x 2  1  t  3x 2  1  t 2  xdx 

1
tdt.
3

2

bt 2
t3
dt  b.
Đổi cận: x  0  t  1; x  1  t  2  A  
3
9
1
ax 3
Vậy I 
3

1


0

2


1

8b b 7b
 
.
9 9
9

7b a 7b

 
.
9
3 9

 a 7b
 3  a  5
 

 S  102.
Ta có hệ:  3 9
b  6
a  b  1


3. Bài tập rèn luyện tốc độ
4

Câu 1:

Kết quả của tích phân

dx

 x 1
1



b

b
 a ln ,  a, b, c     , là phân số tối giản. Giá trị
c
c
x



S  a 2  b2  c 2 bằng

A. 42.

B. 29.

C. 17.
Hướng dẫn giải

D. 27.

ĐÁP ÁN B
LỚP TOÁN THẦY CƯ – TP HUẾ. SĐT: 0834332133

Page 14


BÀI GIẢNG NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN
3

3

2
t 1
4
dt  2 ln
 2 ln .
Đổi biến thành 
t t  1
t 2
3
2 
Suy ra: a  2, b  4,c  3. Do đó: S  29.
2

3

Câu 2:

x
dx nếu đặt t  x  1 thì I   f  t  dt trong đó
x 1
0 1
1

Cho tích phân I  

A. f  t   t 2  t.

B. f  t   2t 2  2t.

C. f  t   t 2  t.

D. f  t   2t 2  2t.

Hướng dẫn giải
ĐÁP ÁN D

dx  2t dt
x  0  t  1
và đổi cận 
Đặt t  x  1  t 2  x  1  
2
x  3  t  2
x  t  1
2
2
 t2 1 
2
2
Khi đó I   2t. 
 dt   2t.  t  1 dt    2t  2t  dt  f  t   2t  2t.
 t 1 
1
1
1
2

a

Câu 3:

Đặt I  
0

x3  x
x2  1

dx. Ta có:

1
B. I = éê(a 2 + 1) a 2 +1 +1ùú .
û
3ë
1
D. I = éê(a 2 + 1) a 2 +1 -1ùú .
û
3ë
Hướng dẫn giải

A. I = (a 2 + 1) a 2 + 1 -1.
C. I = (a 2 + 1) a 2 + 1 + 1.
ĐAP AN D
a

x3  x

Ta có: I  

x2  1

0

a

dx  

x

2



 1 .x

x2  1

0

a

dx   x 2  1.xdx
0

t  x 2  1  t 2  x 2  1  t.dt  x.dx . Đổi cận: x  0  t  1; x  a  t  a 2  1
a 2 1



Khi đó: I 

t.tdt 

1

1 3
t
3

 

a 2 1
1

1
  a2  1
3





a 2  1  1 .



3

Câu 4:

Biết





3 2
dx 

 c  d 3 với a, b, c, d là các số nguyên. Giá trị
a
b
1  x 6  x3

3

a  b  c  d bằng
A. 28.

B. 16.

ĐÁP ÁN A


I

3





3



sin x
1 x  x
6

3

sin x

3

dx 

3





3





C. 14.
Hướng dẫn giải

1  x6  x3 sin x
1 x  x
6

6



dx 

 
3



D. 22.



1  x6  x3 sin xdx.

3




 x   3  t  3
.
Đặt t   x  dt  dx . Đổi cận 

x    t   

3
3
LỚP TOÁN THẦY CƯ – TP HUẾ. SĐT: 0834332133

Page 15


BÀI GIẢNG NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN







I

3



1  t 6  t 3 sin  t  dt 

3


3












3

1  t 6  t 3 sin tdt   


3







1  x 6  x3 sin xdx

3



Suy ra 2 I 



3





 2 x3 sin x  dx  I 

3





3

x3 sin xdx 

3
27



3 2
 2  6 3.
3

3

Suy ra: a  27, b  3, c  2, d  6. Vậy a  b  c  d  28.
3

Câu 5:

11
1  x2
dx  a  ln b  ln 3. Giá trị  a  b  3 bằng
2
x



Cho I 

1

A. 0.

B. 1.

C. 2.
Hướng dẫn giải

D. 3.

ĐÁP ÁN A

Đặt t  1  x 2  t 2  1  x 2  tdt  xdx và x : 1  3 thì t : 2  2.
Khi đó: I 

3

1  x2



x2

1

xdx 

2


2

t
t2  1

tdt 

2



 1 1

1 
1 t 1 
  1  


  dt   t  ln
2  t  1 t  1 
2 t 1 

2

2



1



  1  t 2  1  dt
2

2

 2  2  ln



2



1
2  1  ln 3
2

11
 a  b  3   0.
2

dx

Cho I  
0

A.

dt 

 2 a 
1 1


A

 bằng
,
a

,
b
.
 2 ln 

Giá
trị


a b
x2  4 x  3
 1 b 

1

Câu 6:

t2  1

2

2

 a  2  2; b  2  1 

t2  1  1



4

.
3

B.

2
.
3



C.

5
.
6

D.

1
.
2

Hướng dẫn giải
ĐÁP ÁN C

Đặt t  x  1  x  3


1

1
x1  x 3
 dt  

dx  t.
 dx 
2  x  1 x  3 
2
2 x1 2 x 3 


dx

 x  1 x  3 



dx

 x  1 x  3 

2dt
.
t

Và x : 0  1 thì t : 1  3  2  2.
Khi đó: I 4  2

2 2



1 3

dt
 2 ln t
t

2 2
1 3

2 2
 2 ln 
  a  2; b  3.
 1 3 



5
6

Suy ra: A  .
LỚP TOÁN THẦY CƯ – TP HUẾ. SĐT: 0834332133

Page 16


BÀI GIẢNG NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN
Câu 7:

2


28
 dx  . Giá trị a (biết a có giá trị nguyên) là

3
1  x3 
x2

Cho tích phân I    4 


a

A. 0.

C. 1 .
Hướng dẫn giải

B. 1.

D. 3.

ĐÁP ÁN A
2

2

Ta có: I   4dx  

a

a

2

x2

Tính B  

1  x3

a

2

Khi đó B  
a

dx.

1  x3

dx . Đặt

1  x 3  t  1  x 3  t 2  x 2 dx 
2

x2

2
dx 
1  x3
3
1  x3

Ta có: I  4x 


x2

2
1  x3
3

2
a

2
a

2
tdt.
3

2
1  a3 .
3




2
 10   4a 
1  a3 
3



28

2
 10   4a 
1  a3
3
3



2
2
1  a 3   6a  1  a 3  1 .
  4a 
3
3


Giải được a  0 (sử dụng máy tính Casio, lệnh SHIFT – SOLVE).
Cách 2: Giải nhanh bằng máy tính
Nhập vào màn hình

2

X2


4

1  X3
A


28
 dx 
Ấn CALC và thử các đáp án. Ta thấy chỉ đáp án A đúng

3


(kết quả cho bằng 0)

6

Câu 8:

Cho tích phân: I  
1

A. 10.





x3 1
dx  a  2 ln a, a    . Giá trị S  4 3 4a là
x2

B. 5.

C. 15.
Hướng dẫn giải

D. 8.

ĐÁP ÁN D
Đặt t  x  3  x  t 2  3  dx  2tdt.
Đổi cận:

x6
t3

x1
t2

Suy ra:
3 2

I  2
2

t t

t2  1

Câu 9:
A. 1.

3

3

t

1 
dt  2   1 
 dt  2 t  ln t  1
t
1
t
1




2
2

dt  2 



1

x3dx

0

x2  x4  1

Cho tích phân I  

B. 2.



 2  2  ln 2  a  2. Vậy S  8.
3

a 1
,  a    . Giá trị của a bằng
3

C. 3.
Hướng dẫn giải

LỚP TOÁN THẦY CƯ – TP HUẾ. SĐT: 0834332133

D. 4.

Page 17

BÀI GIẢNG NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN
ĐÁP ÁN B
1

1

0

0

Ta có: I   x3 x4  1dx   x5dx .
6

 x6 
1

x
dx
   .

 6  1 6
0
1

5

Đặt t  x 4  1  t 2  x 4  1  tdt  2x 3dx .
Đổi cận: x  0  t  1; x  1  t  2 .

2

1
Suy ra: I 
2

Vậy I 


1

1  t3 
t dt   
2  3 

2

2


1

2 1
 a  2.
3
b

Câu 10: Giá trị tích phân I   3
a

phức 
A.

2 1
 .
3
6

xdx
2x  2

 b  2

bằng bao nhiêu nếu biết z  a  bi là căn bậc hai của số

35
 3i.
4

12
.
5

B.

7
.
5

C.

6
.
5

D.

11
.
5

Hướng dẫn giải
ĐÁP ÁN A

Theo đề:  a  bi 

2


1
 2
35
2
35
a  b 
a  

 3i  
2
4 

4
 2ab  3
b  3  b  0 



Đặt t  3 2x  2  x 

t3  2
3t 2
 dx 
dt .
2
2

1
2

Đổi cận: x    t  1; x  3  t  2 .
t 3  2 3t 2
2
2
.
5


3
3
t
12

4
2
2 dt 
I 2
t  2t dt    t  
.



t
41
4 5
5
1
1



2



Dạng 3: Tích phân lượng giác
1. Phương pháp
1.1 Nguyên hàm cơ bản cần nhớ với mọi số thực k  0
1

 cos kxdx  k sin kx  C
1

 sin kxdx   k cos kx  C
1

 cos

2

kx

dx 

1
tan kx  C
k

LỚP TOÁN THẦY CƯ – TP HUẾ. SĐT: 0834332133

Page 18


BÀI GIẢNG NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN
1

 sin

2

kx

dx  

1
cot kx  C
k

1.2 Một số lớp bài toán thường gặp
Lớp bài toán 1: Đưa về một hàm số lượng giác
I   f  sin x  cos xdx   f  t  dt
I   f  cos x  sin xdx    f  t  dt
1

I 

 f  tan x  cos

I 

 f  cot x  sin

2

x

1
2

x

dx 

 f  t  dt

dx    f  t  dt

Lớp bài toán 2: Dùng công thức biến đổi tích thành tổng

 sin ax.sin bxdx

 cos ax.cos bxdx

;

 sin ax.cos bxdx

Cách giải: Dùng công thức biến đổi tích thành tổng:
cos x.cos y 

1
 cos  x  y   cos  x  y  
2

sin x.sin y 

1
 cos  x  y   cos  x  y  
2

sin x.cos y 

1

 sin  x  y   sin  x  y  
2

Lớp bài toán 3:  s in n xdx

 cos

;

n

xdx

 n  N ; n  2

Cách giải:
Nếu n chẵn thì dùng công thức hạ bậc để hạ đến hết bậc:
cos 2 x 

1  cos2 x
2

;

s in 2 x =

1  c os2 x
2

Nếu n lẻ thì tách ra lấy một thừa số và sử dụng các công thức:

cos xdx  d  s inx  ; sin xdx   d  cos x 

Lớp bài toán 4: I 

dx

 a sin x  b cos x  c

Cách giải:
Đặt t  tan x

2

LỚP TOÁN THẦY CƯ – TP HUẾ. SĐT: 0834332133

Page 19


BÀI GIẢNG NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN
a sin x  b cos x  c
dx
a1 s inx  b1 cos x  c1

Lớp bài toán 5: I  

Cách giải
Biến đổi: Tử = A(mẫu) + B(đạo hàm mẫu) + C rồi ta đưa về dạng 4 nếu C  0 .
Chú ý: Trên đây chỉ là một vài trường hợp thường gặp. Trong thực tế có thể gặp nhiều dạng khác
nữa, đòi hỏi phải linh hoạt vận dụng các kiến thức về lượng giác và các phương pháp tính nguyên
hàm tích phân.

2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng
Ví dụ 1: Cho tích phân


2

 cos x cos 3xdx  a  b. Giá trị


A  a 3  b 3  1.


2

A. 3.

B. 2.

C. 1.
Hướng dẫn giải

D. 4.

ĐÁP ÁN C
I


2



2

1
cos 4x  cos 2x  dx
2


 cos x.cos 3xdx  



2

1

2



2

1
 cos 4xdx  2




2

2


2



1
2
1
 cos 2xdx   8 sin 4x  4 sin 2x   0  a  b  0.





2

2

A  a 3  b3  1   a  b   3ab  a  b   1  1.
3


4

Ví dụ 2: Cho tích phân I   sin 4 xdx  a  b,  a, b    . Giá trị A  
1
a

0

A. 11.

B.

20
.
3

1
b bằng

C. 4.

D. 7.

Hướng dẫn giải
ĐÁP ÁN B





2

 1  cos 2x 
1  2 cos 2 x cos 2 2x
sin x  sin x  
 
2

4


1 1
1  1  cos 4 x  3 1
1
  cos 2x  
   cos 2x  cos 4x.
4 2
4
2
8
2
8

4

2

2


4



3 1
1

3

1
1
4
1
I     cos 2x  cos 4x  dx   x  sin 2x  sin 4x  
 3  8 
8
2
8
8
4
32
32




0
0
3
1
20
; b A .
a
32
4
3

4

Ví dụ 3: Cho tích phân  tan 2 xdx  a  b. Giá trị A  4a  8b bằng
0

LỚP TOÁN THẦY CƯ – TP HUẾ. SĐT: 0834332133

Page 20


BÀI GIẢNG NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN
A. 0.

B. 2.

C. 1.
Hướng dẫn giải

D. 1 .

ĐÁP ÁN B

4

 tan

2

0


4




4




4


4

 1

dx
 1  dx  
  dx
xdx   tan 2 x  1  1 dx   
2
2
cos
x
cos
x


0
0

0
0



  tan x  x  4  1  .
0
4

1
 a  1; b    A  2.
4

4


A.





4

  cos2 x  3 sinx  dx  8 sin 2a.

Ví dụ 4: Cho tích phân

Giá trị A  sin 6 a  cos6 a bằng


4

1
.
4

B.

1
.
2

C. 1.

D.

3
.
4

Hướng dẫn giải
ĐÁP ÁN A

4



 4


3 2
3 2
  cos2 x  3 sin x  dx   4 tan x  3 cos x  4   4  2  4  2  8 .




4

4

3
1
 sin 2a  1. Suy ra: A  1  sin 2 2a  .
4
4

2





Ví dụ 5: Cho tích phân I   1  cos 5 x dx  a  b,  a, b    . Giá trị A  6a  15b bằng
0

A. 11.

B. 4.

C. 7.
Hướng dẫn giải

D. 3.

ĐÁP ÁN A

2






2


2

0

0

Ta có I   1  cos5 x dx   dx   cos5 xdx.
0

2

Trong đó:  dx 
0


x2
0




.
2


2


2


2

0

0

0





2

Xét K   cos5 xdx   cos4 x.cos xdx   1  sin 2 x .cos xdx .

2

Đặt t  sin x suy ra dt  cosxdx, x  0  t  0, x   t  1 . Khi đó:
1



K   1 t

2

0



2

1

0


2

Vậy I  



dt   1  2t  t
2

4



1

 2
t5 
8
dt   t  t 3    .


3
5
15

0

8
1
8
a ; b
 A  11.
15
2

15

LỚP TOÁN THẦY CƯ – TP HUẾ. SĐT: 0834332133

Page 21


BÀI GIẢNG NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN

6

Ví dụ 6: Cho tích phân I  
0

dx
cos 3 x

A. 2.

 a ln 3  b. Giá trị A  4a  3b bằng

B. 5.

C. 4.
Hướng dẫn giải

D. 7.

ĐÁP ÁN A


6

cos x

Ta có: I  

dx 

cos 4 x

0


6


0

d  sin x 

1  sin x 
2

2


1
thì t  .
6
2

Đặt t  sin x , với x  0 thì t  0 , với x 
1
2

Khi đó I  
0

1
2

dt

1  t 
2

2


0

dt

 t  1 2  t  1  2



1
2

1  t  1   t  1 
2 0  t  12  t  12

1
1

2
2


1
dt
dt


I  
2  0  t  1 t  12 0  t  12  t  1 




1
1


1  2  t  1   t  1  dt 2  t  1   t  1  dt 

 

2

4  0  t  1 t  12



t
1
t
1
0













1
2

1
2

1
2

1
2

1
2

1
dt
1
dt
1
dt


4 0  t  12 2 0  t  1 t  1 4 0  t  12
1
2

1 d  t  1 1  1
1 
1 d  t  1
 

.
 dt  

2
4 0  t  1
4 0  t 1 t  1

4 0  t  1 2

1
4

1
3

1
4

1
3

Đáp số: I  ln 3   a  ; b   A  2.

2

sin 2x cos x
dx  a  b ln 2. Giá trị A  a  b bằng
1
cos
x

0

Ví dụ 7: Cho I  
A. 4.

B. 1.

C. 5.
Hướng dẫn giải

D. 3.

ĐÁP ÁN D

2

cos 2 x
sin xdx
1  cos x
0

Ta có: I  2 

Đặt t  cos x  dt   sin xdx và x : 0 


thì t : 1  0 .
2
1

1
 t2


t2
1 

 I  2
dt   2   t  1 

dt
2
  t  ln 1  t   1  2 ln 2




1 t
1 t 
 2

1
0
0

 a  1; b  2  A  3.

LỚP TOÁN THẦY CƯ – TP HUẾ. SĐT: 0834332133

0

Page 22


BÀI GIẢNG NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN

2

Ví dụ 8: Cho tích phân I  
0

cos 3x  2 cos x
dx  a ln 8  b,  a, b    . Giá trị A  a  b  5 bằng
2  3 sin x  cos 2x

A. 3.

B. 2.

C. 2.
Hướng dẫn giải

D. 4.

ĐÁP ÁN D

2

Ta có: I  
0

 4 cos

2


2



x  1 cos x



2  3 sin x  1  2 sin 2 x



dx  
0

Đặt t  sin x . Khi x  0 thì t  0 , khi x 

3  4 sin 2 x
2 sin 2 x  3 sin x  1

d  sin x  .


thì t  1 . Suy ra:
2

1
1

 4t  4    2t  1  dt
6t  5

dt    2 
 dt    2 
2

 2t  1 t  1 
 2t  1 t  1  0 
0 2t  3t  1
0
1

3  4t 2

I
1


4
1 
   2 

 dt  2t  2 ln  2t  1  ln  t  1


2t
1
t
1
0
 2  2 ln 3  ln 2  ln18  2.



0
1

 a  1; b  2  A  4.

Ví dụ 9: Cho


2

1

 sin x

1  cos x


3

dx 

A. 301.

1
2

 ln a  4
2

B. 240.



3  ln b  2 2  1 

C. 360.
Hướng dẫn giải

2
. Giá trị A  a3  b3  2ab bằng
3

D. 412.

ĐÁP ÁN D

Đặt t  1  cos x  t 2  1  cos x  2tdt   sin xdx.
x


3

t
; x t 1
3
2
2


2

 sin x

3



1


3
2


2

1
1  cos x

dx  


3

2tdt





2

t. 1  t 2  1 





s inx
2

sin x 1  cos x

1


3
2

t2





2
dt  2 


t2  2



 1  t  2 1 
 ln
 2
 
 2 2  t  2 t  




 

dx



1


3
2

1
2 2

ln



 1
1 

dt


  t2  2 t2  
3

2

1

 2  3 
 2  3 

 1
2  1
2 1

2
3



1 
2
ln 7  4 3  ln 3  2 2   1 

 a  7; b  3.



3
2 2

Suy ra: A  412.

LỚP TOÁN THẦY CƯ – TP HUẾ. SĐT: 0834332133

Page 23


BÀI GIẢNG NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN
3. Bài tập rèn luyện tốc độ

2



x

x

Cho tích phân   sin 4  cos4  dx  a  b và a 3  b3  7. Giá trị của a và b lần lượt là
2
2

Câu 1:

0



a  1
.
 b  2

a  1 a  2

.
b  2 b  1

a  2
.
b  1

A. 

B. 

C. 

a  1
a  2
.

 b  2 b  1

D. 

Hướng dẫn giải
ĐÁP ÁN D

2



  sin


2


2

x
x

x
x 
x
x
 cos4  dx    sin 2  cos2  sin 2  cos 2  dx    cos xdx
2
2
2
2 
2

2
0
0

4

0




 sin x 2
0

 1.

a  b  1
a  1
a  2
a   b  1
 3




3
3
3
a  b  7
 b  2  b  1

  b  1  b  7  0

6

I
0

4

tan x
cos 2 x  sin 2 x

dx  

Đặt t  tan x  dt 

I

3
3


0

t

4

1 t

2


6

dt  

0

tan 4 x

dx
2

cos x
3
3



  t



cos 2 x 1  tan 2 x

2

và x : 0 

1

0

3
3

 t3
1 t 1 
    t  ln

 3


2
t
1

0



3

thì t : 0 
.
6
3



 dt 
t 1
1

2



dx .

3
3


0

 2
1 1
1 

t  1  
  dt
2  t  1 t  1 






10 3 1

 ln 2  3 .
27
2

Tìm được a  3 .


Câu 2:

sin 3 x
dx  a  b. Giá trị A  5  a  b  1 bằng
sin x  cos x


Cho tích phân I  
2

B. 1.

A. 0.

C. 5. .
Hướng dẫn giải

D. 3.

ĐÁP ÁN C

Đặt x 

3

3
 t  dx  dt . Đổi cận: x   t  ; x    t 
.
2
2
2

 3 
sin 3 
 t

2
cos3 t


Suy ra: I  
dt    
dt

sin t  cos t
 3 
 3 

 sin
 2  t   cos  2  t 
2






2





2

2

sin 3 x  cos 3 x

1

dx    1  sin 2x  dx
sin
x

cos
x
2




Vậy: 2I  

LỚP TOÁN THẦY CƯ – TP HUẾ. SĐT: 0834332133

Page 24