Phép chập liên kết với biến đổi chính tắc tuyến tính bù và biến đổi dạng hartley chính tắc

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
———————-

LẠI TIẾN MINH

PHÉP CHẬP LIÊN KẾT VỚI BIẾN ĐỔI
CHÍNH TẮC TUYẾN TÍNH BÙ VÀ BIẾN
ĐỔI DẠNG HARTLEY CHÍNH TẮC

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

Hà Nội - 2019


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
−−− −−−

LẠI TIẾN MINH

PHÉP CHẬP LIÊN KẾT VỚI BIẾN ĐỔI
CHÍNH TẮC TUYẾN TÍNH BÙ VÀ BIẾN
ĐỔI DẠNG HARTLEY CHÍNH TẮC

Chuyên ngành: Toán ứng dụng
Mã số: 9460112.01

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

PGS. TS. NGUYỄN MINH TUẤN
PGS. TS. NGUYỄN HỮU ĐIỂN

Hà Nội - 2019


LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới sự hướng
dẫn của PGS. TS. Nguyễn Minh Tuấn và PGS. TS. Nguyễn Hữu Điển. Các kết
quả của luận án là trung thực và chưa từng được ai công bố trên bất kỳ công
trình nào khác.

Hà nội, tháng 3 năm 2019
Nghiên cứu sinh

Lại Tiến Minh

2


LỜI CẢM ƠN

Lời đầu tiên, tôi xin được tỏ lòng tri ân sâu sắc đối với các thầy PGS. TS.
Nguyễn Minh Tuấn và PGS. TS. Nguyễn Hữu Điển. Các thầy đã tận tình dạy
bảo, chỉ dẫn tôi học toán, nghiên cứu toán trong suốt những năm làm nghiên
cứu sinh. Tôi gửi lời tri ân đặc biệt của mình tới thầy PGS. TS. Nguyễn Minh
Tuấn, người đã luôn yêu thương, quan tâm đến tôi, cho tôi những cơ hội, dạy
tôi những bài học trong nghiên cứu cũng như trong cuộc sống. Chính thầy
đã cho tôi niềm tin và động lực vượt qua những trở ngại, những lúc khủng

hoảng tưởng chừng như không thể vượt qua.
Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành và sâu sắc đến GS. TSKH. Phạm Kỳ Anh,
GS. TSKH. Nguyễn Văn Mậu các thầy đã luôn quan tâm, động viên, cho tôi
những gợi ý, dìu dắt tôi trong quá trình nghiên cứu. Tôi cũng xin được bày tỏ
lòng biết ơn đến quý thầy cô và các anh chị đồng nghiệp trong Seminar của
môn toán học tính toán; Seminar Giải tích - Đại số , Trường Đại học Khoa học
Tự nhiên - Đại học Quốc Gia Hà Nội. Tại đây tôi đã nhận được nhiều chỉ dẫn,
góp ý quý báu. Những nhận xét, góp ý của các thầy cô và các anh chị đồng
nghiệp đã giúp tôi có những ý tưởng để hoàn thiện các bài báo và luận án của
mình. Đặc biệt, tôi xin cảm ơn những ý kiến đóng góp giá trị của PGS. TS. Hà
Tiến Ngoạn, PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo, TS. Nguyễn Văn Ngọc, TS. Nguyễn
Trung Hiếu, TS. Vũ Nhật Huy đã giúp tôi hoàn thành luận án một cách thuận
lợi.
Tôi xin cảm ơn Ban giám hiệu, quý thầy cô và bạn bè đồng nghiệp trong Bộ
môn Toán, Viện Đào tạo Mở, Trường Đại học Kiến trúc Hà Nội đã động viên,
tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong suốt thời gian tôi làm nghiên cứu sinh.
Tôi xin cảm ơn TS. Nguyễn Hữu Thọ, TS. Bùi Thị Giang, TS. Nguyễn Thanh
Hồng, ThS. Quản Thái Hà, ThS. Vũ Văn Quân. Các anh chị em đã cho tôi
những lời khuyên hữu ích, động viên giúp tôi vượt qua giai đoạn khó khăn
nhất của quá trình nghiên cứu. Tôi cũng xin cảm ơn các anh chị em đã và đang
3


học tập nghiên cứu tại khoa Toán - Cơ - Tin học Đại học Khoa học Tự nhiên Đại học Quốc Gia Hà Nội về những trao đổi, hỗ trợ trong nghiên cứu.
Cuối cùng, tôi muốn bày tỏ tấm lòng biết ơn sâu sắc đến người bố đã khuất,
mẹ, anh chị em trong gia đình; đặc biệt là mẹ tôi - người đã động viên, cảm
thông và chia sẻ mọi khó khăn cùng tôi trong suốt những năm tháng vừa qua
để tôi có thể hoàn thành luận án này.
NCS. Lại Tiến Minh

4




BẢNG KÍ HIỆU

N

Tập hợp các số tự nhiên

Z

Tập hợp các số nguyên

Q

Tập hợp các số hữu tỷ

R

Tập hợp các số thực

z

Liên hợp của số phức z

i

Đơn vị ảo

X×Y

Tích đề các của hai tập hợp X và Y
d n
Đạo hàm cấp n (n ∈ N∗ ), Dn =
dt
Không gian Schwartz các hàm khả vi vô hạn trên R thỏa mãn

Dn

S

supt∈R (1 + t2 )m | Dn f (t)| < ∞
L p (R)
f

p

f, g
C0 (R)
.

∞

l 2 (R)

(m = 0, 1, 2, . . . )

Không gian các hàm khả tích Lebesgue cấp p ≥ 1 trên R

Chuẩn trong

L p (R),

Tích vô hướng trong

f

p

=

L2 (R),

R

| f (t)| p dt

f, g =

R

1
p

f (t) g(t)dt

Không gian các hàm liên tục trên R và triệt tiêu tại vô cùng
Chuẩn trong C0 (R), f

∞

= sup | f (t)|
t ∈R

∞
2
Không gian các dãy số {un } thỏa mãn ∑+
n=−∞ | un | < + ∞

E A (t)
fˆ(t)

∞
Tích vô hướng trong l 2 (R), un , vn = ∑+
−∞ un vn
n
2d
2
e− t
Đa thức Hermite Hn (t) = (−1)n et
dt
n
1 t2 d
2
n
Hàm Hermite ψn (t) = (−1) e 2
e− t
dt
Hàm Hartley cas(t) = cos t + sin t

1
− 1 t2
Hàm Gauss G(t) = √ e 2b2
b 2π u
a 2
0
Hàm chirp E A (t) = ei( 2b t + b t)
fˆ(t) = f (t)E A (t)

rin (t)

Tín hiệu vào

rout (t)

Tín hiệu ra

un , vn
Hn (t)
ψn (t)
cas(t)

G(t)

7


BẢNG CÁC CHỮ VIẾT TẮT

OLCT

Biến đổi chính tắc tuyến tính bù

LCT

Biến đổi chính tắc tuyến tính

FrFT

Biến đổi Fourier phân thứ

FT

Biến đổi Fourier

IFT

Biến đổi Fourier ngược

WDF

Hàm phân phối Wigner

CHTT

Biến đổi dạng Hartley chính tắc

8

MỞ ĐẦU

1. Lịch sử vấn đề và lí do lựa chọn đề tài
Rất nhiều bài toán trong xử lý tín hiệu được giải quyết nhờ các lọc,
lấy mẫu và khôi phục tín hiệu. Lọc được sử dụng rộng rãi trong điện tử viễn
thông, phát thanh, truyền hình, ghi âm, radar, hệ thống điều khiển, xử lý hình
ảnh và đồ họa máy tính. Trong xử lý tín hiệu, lọc là một thiết bị hoặc một quá
trình loại bỏ một số thành phần hoặc tính năng không mong muốn khỏi tín
hiệu. Thông thường, điều này có nghĩa là loại bỏ một số tần số hoặc băng tần
không mong muốn. Lọc có thể được phân loại dựa trên các dạng băng tần
khác nhau mô tả dải tần nào mà lọc thông qua (dải thông) và dải tần nào mà
lọc từ chối (dải dừng). Lọc thông thường có thể thu được từ biến đổi Fourier
1
Ψ FT và biến đổi Fourier ngược Ψ−
FT . Tín hiệu ra rout ( t ) được biểu diễn qua tín

hiệu vào rin (t) như sau
1
rout (t) = Ψ−
FT Ψ FT {rin ( t )}( u ) ( t ).

Với sự phát triển của khoa học máy tính, có rất nhiều thuật toán được đưa
ra để tính toán biến đổi Fourier và biến đổi Fourier ngược của tín hiệu, tiêu
biểu là thuật toán biến đổi Fourier nhanh (FFT). Ngoài ra, có một cách khác có
thể thiết kế được lọc là dựa trên các phép chập thông thường. Tuy nhiên, lọc
thông thường chỉ hiệu quả khi xử lý các tín hiệu mà có phân phối năng lượng
không chồng lấp trong mặt phẳng pha. Lọc thông thường không hiệu quả với
các tín hiệu mà nhiễu có dạng chirp tổng quát. Nhiễu này thường gặp trong
các hệ quang học, hệ vi sóng, hệ ra đa và hệ âm thanh. Điều này đòi hỏi phải
có những lọc mà có thể xử lý được các tín hiệu dạng này. Ngày nay, cùng với

sự phát triển nhanh chóng của khoa học công nghệ, việc nghiên cứu và phát
triển lọc đóng vai trò quan trọng trong xử lý tín hiệu. Với sự phát triển mạnh
mẽ của lý thuyết biến đổi tích phân và lý thuyết chập, đặc biệt là những ứng
dụng phong phú của phép chập trong thực tiễn (xem [17, 28, 34, 51, 61, 63, 66])
đã có rất nhiều cách thiết kế lọc mới được đưa ra để xử lý các nhiễu dạng trên
9


(xem [14, 21, 28, 31, 32, 38, 52, 64, 68]). Các biến đổi tích phân có thể kể tới là
biến đổi Fourier phân thứ, biến đổi chính tắc tuyến tính, biến đổi chính tắc
tuyến tính bù, biến đổi Hartley phân thứ, biến đổi Hartley chính tắc, biến đổi
Fresnel.
Trong lĩnh vực xử lý tín hiệu số, định lý lấy mẫu là cầu nối cơ bản giữa tín
hiệu thời gian liên tục (thường được gọi là tín hiệu tương tự) và tín hiệu thời
gian rời rạc (thường được gọi là tín hiệu số). Nó thiết lập một điều kiện đủ
cho phép từ một chuỗi các mẫu riêng biệt thu được tất cả thông tin của tín
hiệu thời gian liên tục của băng thông hữu hạn. Khôi phục tín hiệu ban đầu
từ các mẫu hoặc đánh giá thông tin bị mất trong quá trình lấy mẫu là những
câu hỏi cơ bản được giải quyết bằng cách lấy mẫu và nội suy. Lý thuyết lấy
mẫu giúp chúng ta hiểu được các hiệu ứng của việc chia một hình ảnh hoặc
dạng sóng thành các điểm riêng biệt. Định lý lấy mẫu được phát hiện độc lập
bởi nhóm các nhà khoa học Claude Shannon, Harry Nyquist và Ralph Hartley
thuộc phòng thí nghiệm Bell của Hoa Kỳ; Edmund Taylor Whittaker của Đại
học Edinburgh của Anh Quốc và Vladimir Kotelnikov thuộc Viện Hàn lâm
Khoa học Liên Xô. Do đó, định lý này có rất nhiều tên gọi chẳng hạn định lý
lấy mẫu Whittaker-Shannon (xem [24]), định lý lấy mẫu Whittaker-ShannonKotelnikov (xem [27]) hoặc định lý lấy mẫu Whittaker-Shannon-KotelnikovKramer (xem [27]). Để ngắn gọn, chúng tôi gọi là định lý lấy mẫu Shannon.
Công thức lấy mẫu Shannon có hai phiên bản là phiên bản rời rạc và phiên
bản liên tục. Phiên bản rời rạc cho tín hiệu f (t) có dải tần bị chặn trên miền ζ
là
+∞

f (t) =

∑

k =−∞

f

kπ
ζ

sin(ζt − kπ )
.
ζt − kπ

Định lý lấy mẫu Shannon chỉ áp dụng cho các tín hiệu có dải tần bị chặn, do
vậy việc mở rộng định lý này cho các tín hiệu không có dải tần bị chặn là
rất cần thiết. Cùng với sự phát triển mạnh mẽ của lý thuyết các biến đổi tích
phân định lý lấy mẫu Shannon ngày nay đã được mở rộng và cải tiến. Tiêu
biểu là định lý lấy mẫu Shannon cho các tín hiệu có dải tần bị chặn trong miền
Fourier phân thứ (xem [35,55,65,67]) và định lý lấy mẫu Shannon cho tín hiệu
10


có dải tần bị chặn trong miền chính tắc tuyến tính (xem [47, 48, 64, 68]).
Một biến đổi tích phân có liên quan chặt chẽ với biến đổi Fourier là biến đổi
Hartley. Biến đổi Hartley được đề xuất bởi Ralph V. L. Hartley vào năm 1942
(xem [25]). Phiên bản rời rạc của biến đổi này là biến đổi Hartley rời rạc, được
giới thiệu bởi Ronald N. Bracewell vào năm 1983 (xem [13]). Biến đổi Hartley

có nhiều ứng dụng liên quan đến xử lý tín hiệu thực, có nhiều ưu thế hơn về
mặt tính toán số so với biến đổi Fourier. Trong thực tế, biến đổi Hartley là rất
hữu dụng trong các lĩnh vực như truyền thông, xử lý tín hiệu, khôi phục và xử
lý ảnh....Việc mở rộng biến đổi Hartley là biến đổi dạng Hartley và biến đổi
dạng Hartley chính tắc sẽ tạo ra những ứng dụng tiềm năng trong thực tế với
việc kết hợp giữa những ưu điểm của biến đổi Hartley và các biến đổi chính
tắc tuyến tính. Những ứng dụng ban đầu của các biến đổi này có thể tìm thấy
trong các tài liệu [23] và [29]. Từ những lý do đó, luận án đã tập trung khai
thác các tính chất toán tử cơ bản của biến đổi dạng Hartley chính tắc. Việc xây
dựng các phép chập cho các biến đổi này sẽ bước đầu mở ra những ứng dụng
của phép chập trong thực tế, đặc biệt là trong xử lý ảnh. Ngoài ra, việc chứng
minh các nguyên lý bất định dạng Heisenberg cho biến đổi này cũng sẽ tạo ra
những ứng dụng tiềm năng trong cơ học lượng tử.
Từ những lý do trên chúng tôi lựa chọn đề tài "Phép chập liên kết với Biến đổi
chính tắc tuyến tình bù và Biến đổi dạng Hartley chính tắc".
2. Mục đích, đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Mục đích của luận án là nghiên cứu những tính chất toán tử của biến đổi
chính tắc tuyến tính bù và biến đổi dạng Hartley chính tắc. Đáng chú ý là hai
trường hợp đặc biệt của biến đổi dạng Hartley là biến đổi Hartley phân thứ
và biến đổi Hartley chính tắc mới được quan tâm nghiên cứu những năm gần
đây. Các kết quả nghiên cứu ban đầu về các phép biến đổi còn ít chưa tương
xứng với tiềm năng ứng dụng trong thực tế. Việc mở rộng các phép biến đổi
này là CHTT hy vọng sẽ tìm được các kết quả mới và thú vị có tiềm năng ứng
dụng trong thực tế. Xây dựng các phép chập liên kết với các biến đổi chính
tắc tuyến tình bù và biến đổi dạng Hartley chính tắc cũng như chứng minh
các tính chất cơ bản của chúng. Ứng dụng toán tử và phép chập vào giải quyết
11


các bài toán giải phương trình tích phân dạng chập, các ứng dụng trong xử lý

tín hiệu như chứng minh định lý lấy mẫu, thiết kế các lọc.
3. Phương pháp nghiên cứu
Luận án sử dụng một số khái niệm và phương pháp của Giải tích, Giải tích
hàm, lý thuyết biến đổi tích phân, xử lý tín hiệu...để thu được các kết quả mới.
4. Cấu trúc luận án và các kết quả
Luận án gồm phần mở đầu, bốn chương, kết luận và phụ lục:
Luận án nghiên cứu và đề xuất một số cách xây dựng các lọc như lọc nhân,
lọc Gauss và lọc kép từ những phép chập liên kết với biến đổi chính tắc tuyến
tính bù. Các lọc này có ưu điểm là có độ phức tạp tính toán nhỏ hơn độ phức
tạp tính toán của các lọc đã biết và có thể lọc bỏ được các nhiễu có dạng
chirp. Ngoài ra, luận án cũng trình bày cách thu được định lý lấy mẫu dạng
Shannon cho các tín hiệu có dải tần bị chặn từ các phép chập. Các nguyên lý
bất định dạng Heisenberg cho các biến đổi chính tắc tuyến tính bù và biến đổi
dạng Hartley chính tắc cũng sẽ được đưa ra. Các nguyên lý bất định mới này
là tổng quát của các kết quả có nhiều ứng dụng trong cơ học lượng tử như
nguyên lý bất định Heisenberg cho biến đổi chính tắc tuyến tính, nguyên lý
bất định Heisenberg cho biến đổi Hartley. Với việc đưa vào các hàm trọng có
dạng chirp, dạng Gauss, dạng Hermite, luận án xây dựng các phép chập liên
kết với biến đổi chính tắc tuyến tính bù và chứng minh tính chất cơ bản của
chúng như đẳng thức nhân tử hóa và bất đẳng thức dạng Young. Các ứng
dụng quen thuộc của phép chập là giải phương trình tích phân cũng sẽ được
trình bày. Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, luận án được
chia thành bốn chương. Kết quả chính tập chung trong các chương 2, 3, 4.
Chương 1 trình bày một số kiến thức chuẩn bị và kết quả bổ trợ được sử
dụng trong luận án. Cụ thể, chương này giới thiệu các khái niệm cơ bản là biến
đổi chính tắc tuyến tính bù, biến đổi dạng Hartley chính tắc và các trường hợp
đặc biệt của chúng. Các định nghĩa phép chập liên kết với biến đổi Fourier,
biến đổi chính tắc tuyến tính bù, hàm suy rộng Dirac, phân phối Wigner và
ứng dụng của biến đổi Fourier trong xử lý tín hiệu cũng sẽ được trình bày chi
tiết.

12


Chương 2 đề cập tới các tính chất toán tử của biến đổi chính tắc tuyến tính
bù và biến đổi dạng Hartley chính tắc. Các tính chất này bao gồm: bổ đề dạng
Riemann-Lebesgue, định lý ngược, tính duy nhất, định lý dạng Plancherel,
đẳng thức dạng Parseval. Ngoài ra định lý về mối quan hệ gữa hệ hàm Hermite và biến đổi chính tắc tuyến tính bù cũng sẽ được chứng minh. Tiếp theo,
luận án trình bày các nguyên lý bất định dạng Heisenberg. Nguyên lý bất
định dạng Heisenberg cho biến đổi chính tắc tuyến tính bù được suy ra từ
nguyên lý bất định Heisenberg cho biến đổi Fourier. Cuối cùng, hai nguyên
lý bất định dạng Heisenberg cho biến đổi dạng Hartley chính tắc cũng được
chứng minh chi tiết.
Chương 3 xây dựng các phép chập liên kết với biến đổi chính tắc tuyến
tính bù theo thứ tự là: ba phép chập với hàm trọng dạng Hermite, một phép
chập với hàm trọng dạng chirp, một phép chập với hàm trọng dạng Gauss.
Các đẳng thức nhân tử hóa của các phép chập này cũng được chứng minh
đồng thời. Trong phần tiếp theo, phép chập của hai tín hiệu liên kết với biến
đổi dạng Hartley và đẳng thức nhân tử hóa của nó cũng sẽ được giới thiệu.
Các tính chất cơ bản của phép chập như giao hoán, kết hợp, phân phối, bất
đẳng thức dạng Young cũng sẽ được chứng minh và đánh giá chi tiết. Cuối
cùng, luận án trình bày ứng dụng giải các phương trình tích phân dạng chập.
Ví dụ minh họa cho ứng dụng này cũng sẽ được đưa ra.
Chương 4 đề xuất những ứng dụng của phép chập trong xử lý tín hiệu.
Trước hết, luận án trình bày cách thu được định lý lấy mẫu cho các tín hiệu có
dải tần bị chặn trong miền chính tắc tuyến tính bù từ các phép chập mới. Tiếp
theo, luận án đề xuất các cách thiết kế lọc dựa trên biến đổi tuyến tính chính
tắc bù và các phép chập của hai tín hiệu liên kết với biến đổi chính tắc tuyến
tính bù. Các lọc mới được nghiên cứu bao gồm: lọc nhân, lọc Gauss, lọc kép,
chúng đều có độ phức tạp tính toán nhỏ hơn so với độ phức tạp tính toán của
các lọc đã biết và có thể ứng dụng để loại bỏ các nhiễu mà lọc thông thường

không loại bỏ được. Luận án cũng phân tích chi tiết các cách thiết kế lọc và
đưa ra các ví dụ minh họa.
Nội dung của luận án được viết dựa trên các bài báo 1 - 4 (Danh mục các
13


công trình khoa học có liên quan đến luận án, trang 120) và cũng được báo
cáo tại:
1. Seminar của bộ môn Toán học tính toán và Toán ứng dụng, Khoa Toán Cơ - Tin học, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc Gia Hà
Nội.
2. Seminar Giải tích - Đại số, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học
Quốc Gia Hà Nội.
3. Đại hội Toán học Việt Nam lần thứ IX, Nha Trang, 14-18/8/2018.

14


Chương 1
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1

Biến đổi chính tắc tuyến tính bù

Biến đổi chính tắc tuyến tính bù (The offset linear canonical transform)
được giới thiệu bởi Abe và Sheridan năm 1994 khi nghiên cứu ảnh hưởng của
biến đổi Fourier phân thứ, hàm sóng và sự chuyển đổi ống kính trong quang
học (xem [8]). Để ngắn gọn, chúng tôi gọi tắt biến đổi này là OLCT.
Định nghĩa 1.1 ([8, 64]). Với bộ tham số thực A = ( a, b, c, d, u0 , ω0 ) thỏa mãn
ad − bc = 1, biến đổi chính tắc tuyến tính bù của tín hiệu f (t) ∈ L1 (R), được

định nghĩa bởi
O A { f (t)}(u) :=

K A (u, t) f (t) dt, b = 0
√R icd
2
d e 2 (u−u0 ) +iω0 u f (d (u − u0 )), b = 0.

Trong đó, nhân của biến đổi là K A (u, t) := K A e

i

(1.1)

d 2 1
a 2 (bω0 −du0 )u + u0 t
2b u − b tu + 2b t +
b
b

idu20
2b

e
và hằng số K A := √
.
2πbi
OLCT là tổng quát của các biến đổi đã biết như biến đổi Fourier, biến đổi
Fourier ngược, biến đổi Fourier phân thứ, biến đổi chính tắc tuyến tính, biến
đổi Fresnel. Bảng sau trình bày cách thu được các biến đổi này từ OLCT bằng

cách chọn bộ tham số khác nhau.
Bảng 1. Một vài trường hợp đặc biệt của OLCT (xem [64], Mục 2).
Bộ tham số thực A = ( a, b, c, d, u0 , ω0 ) Biến đổi
A = ( a, b, c, d, 0, 0)
Chính tắc tuyến tính (LCT)
A = (cos θ, sin θ, − sin θ, cos θ, 0, 0)
Fourier phân thứ (FrFT)
A = (0, 1, −1, 0, 0, 0)
Fourier (FT)
A = (0, −1, 1, 0, 0, 0)
Fourier ngược (IFT)
A = (1, b, 0, 1, 0, 0)
Fresnel (FRST)

15


Luận án luôn giả thiết b > 0. Khi đó, công thức (1.1) có thể viết ở dạng
O A { f (t)}(u) = K A e

i

d 2 (bω0 −du0 ) u
2b u +
b

R

iut
fˆ(t)e− b dt.

(1.2)

Sau đây, luận án trình bày chi tiết định nghĩa ba trường hợp đặc biệt của
OLCT là Biến đổi Fourier phân thứ, Biến đổi chính tắc tuyến tính và Biến đổi
Fourier. Đây là các trường hợp được áp dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực
khác nhau như xử lý tín hiệu, xử lý ảnh, nhận dạng mẫu, mạng nơ ron chập,
lý thuyết radar, thủy phân và biến đổi wavelet. Để thuận tiện, chúng tôi sử
d
b
dụng ký hiệu Aλ := aλ, , cλ, , 0, 0 , trong đó các số thực a, b, c, d, λ thỏa
λ
λ
mãn ad − bc = 1, λ = 0.
Với bất kỳ góc thực θ, biến đổi Fourier phân thứ (FrFT) (xem [35]) có thể
được định nghĩa thông qua nhân

Kθ (u, t) :=

1 − i cot θ i( cot θ u2 − ut + cot θ t2 )
2
sin θ
e 2
,
2π

sin θ = 0.

Khi đó biến đổi Fourier phân thứ của tín hiệu f (t) ∈ L1 (R) là

Fθ { f (t)}(u) :=

Kθ (t, u) f (t) dt.

R

(1.3)

Biến đổi chính tắc tuyến tính (LCT) (xem [33]) là một lớp các biến đổi tích
phân phụ thuộc vào bộ tham số thực A1 . Biến đổi chính tắc tuyến tính của tín
hiệu f (t) ∈ L1 (R) với bộ tham số thực A1 = ( a, b, c, d, 0, 0) được định nghĩa
là
L A1 { f (t)}(u) :=

K A1 (u, t) f (t) dt,

R

(1.4)

trong đó nhân của biến đổi

K A1 (u, t) := √

1
2πbi

d

ei( 2b u

2 − ut + a t2
b
2b

),

b = 0.

Để thuận tiện cho việc trình bày các kết quả, biến đổi Fourier (FT) và biến
đổi Fourier ngược (IFT) (xem [43, 54]) của tín hiệu f (t) ∈ L1 (R) được định
nghĩa như sau
Ψ FT { f (t)}(u) :=
1
Ψ−
FT { f ( t )}( u ) : =

R

1
2π

16

e−itu f (t)dt,
R

eitu f (t)dt.

(1.5)

(1.6)


Sau đây, luận án sẽ trình bày một số tính chất cơ bản của FT. Các tính chất này
có thể dễ dàng tìm thấy trong các tài liệu [43] và [54].
(i) Bổ đề Riemann-Lebesgue
Nếu f (t) ∈ L1 (R) thì Ψ FT { f (t)}(u) ∈ C0 (R) và Ψ FT f

∞

≤ f

1.

(ii) Ψ FT là một ánh xạ tuyến tính, liên tục, 1 − 1 từ S vào S (ánh xạ ngược
1
Ψ−
FT cũng liên tục).

(iii) Nếu f (t), Ψ FT { f (t)}(u) ∈ L1 (R) thì
f (t) =

1
2π

R

eitu Ψ FT { f (t)}(u)du,

với hầu khắp t ∈ R.

(vi) Tồn tại duy nhất một đẳng cự tuyến tính Ψ FT : L2 (R) → L2 (R) thỏa mãn
Ψ FT f = Ψ FT f với mọi f ∈ S .
(v) Đẳng thức Parseval
Với mọi f , g ∈ L2 (R), ta có đẳng thức sau
Ψ FT f , Ψ FT g = 2π f , g .
Đặc biệt khi f = g, ta có
Ψ FT f

1.2

=

2

√

2π f

(1.7)

2.

Biến đổi dạng Hartley chính tắc

Định nghĩa 1.2. Với số thực h bất kỳ, biến đổi dạng Hartley chính tắc (The
Canonical Hartley-type transform) của tín hiệu f (t) ∈ L1 (R) với bộ tham số
thực A1 = ( a, b, c, d, 0, 0) được định nghĩa bởi

Lh { f (t)} (u) :=

R

f (t)KhA1 (u, t)dt.

(1.8)

Trong đó, nhân của biến đổi
d

KhA1 (u, t)

2

a 2

ei( 2b uh + 2b th )
√
:=
cas
2πbi

với uh = u + h, th = t + h.
17

u h t h − h2
b

,

Để ngắn gọn, chúng tôi gọi tắt biến đổi này là CHTT. Sau đây là một số
trường hợp đặc biệt của CHTT:
(i) Nếu h = 0 thì L0 là biến đổi Hartley chính tắc (xem [23]).
id 2

e 2b u
L0 { f (t)} (u) = √
2πbi

ia 2

R

f (t)e 2b t cas

ut
b

dt.

Đặc biệt, khi A1 = (cos θ, sin θ, − sin θ, cos θ, 0, 0) thì CHTT là biến đổi
Hartley phân thứ (xem [29]).
(ii) Trường hợp a = d = 0, chúng tôi gọi biến đổi này là biến đổi dạng
Hartley và sử dụng ký hiệu sau
1
Hh { f (t)} (u) := √
2π

R

f (t) cas

u h t h − h2
dt.
b

(1.9)

(iii) Nếu a = d = h = 0, b = 1 thì H0 là biến đổi Hartley cổ điển.

1.3

Phép chập liên kết với biến đổi tích phân

1.3.1

Phép chập liên kết với biến đổi Fourier

Định nghĩa 1.3 ([43, 54]). Với f (t), g(t) ∈ L1 (R), phép chập của hai tín hiệu
f (t), g(t) liên kết với biến đổi Fourier được định nghĩa như sau

( f ∗ g)(t) :=

R

f (τ ) g(t − τ )dτ.

(1.10)

Sau đây là một số tính chất của phép chập (1.10):

(i) Đẳng thức nhân tử hóa (xem [12])
Ψ FT {( f ∗ g)(t)}(u) = Ψ FT { f (t)}(u) · Ψ FT { g(t)}(u).

(1.11)

(ii) Với mọi số thực k = 0, ta có

( f ∗ g ) ( k t ) = k f ( k t ) ∗ g ( k t ).
(iii) Bất đẳng thức Young (xem [11])
Nếu f (t) ∈ L p (R), g(t) ∈ Lq (R) và

(1.12)

1 1
1
+ = + 1, ( p, q, r ≥ 1) thì bất
p q
r

đẳng thức sau thỏa mãn
f ∗g

r

≤ f
18

p

· g q.

(1.13)


(iv) Với mọi số thực k > 0, đẳng thức sau
1
√
2π

1 2
2
1
e±iut e−kt dt = √ e− 4k u ,
R
2k

(1.14)

đúng với mọi u ∈ R (xem [43, 54]).

1.3.2

Phép chập liên kết với biến đổi chính tắc tuyến tính bù

Mục này trình bày một vài kết quả đã thu được về phép chập liên kết với
OLCT và LCT.
1. Năm 2016 Zhi, Wei và Zhang (xem [69]) giới thiệu một phép chập liên kết
với OLCT và được định nghĩa như sau

( f Θg)(t) := K A

R

f (τ ) g(tθτ )dτ,

với
g(tθτ ) = √

1
2πbi

√

u0
ia 2
2
1
e 2b (t −τ )+ b (t−τ )
−2πbi

R

O A { g(t)}(u)e−

i (t−τ )u
b

du.

Phép chập này thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa sau

O A {( f Θg)(t)} (u) = O A { f (t)}(u) · O A { g(t)}(u).
2. Năm 2012 Shi và các cộng sự (xem [52]) đã đưa ra định nghĩa phép chập
tổng quát liên kết với LCT với ba bộ tham số thực B1k = ( ak , bk , ck , dk , 0, 0),

(k ∈ {1, 2, 3}). Phép chập này được định nghĩa bởi:
(f

B11 ,B12 ,B13

B1

g)(t) :=

B1

R

Tτ 1 f

(t) · g(τ ) · ρ a1 ,a2 ,a3 (t, τ )dτ,

ia

với Tτ 1 f

( t ) = f ( t − τ )e

− b 1 τ (t− τ2 )
1

ia

và ρ a1 ,a2 ,a3 (t, τ ) = e

(1.15)
a

a

− b 2 τ 2 +i ( 2b1 − 2b3 )t2
2

1

3

Đẳng thức nhân tử hóa có dạng
L B3
1

(f

B11 ,B12 ,B13

g)(t)

=

(u)
d1 ,d2 ,d3 ( u ) · L B1 { f ( t )}

1

19

b1
u · LB2 { g(t)}
1
b3

b2
u ,
b3

.


với
d1 ,d2 ,d3 ( u )

2πb1 b2 i
e
b3

=

i

2
d1 b2
d3

1 − d2 b2
−
2b3 2b b2 2b b2
2 3
1 3

u2

.

3. Năm 2014 Xiang và Qin (xem [64]) giới thiệu một phép chập liên kết với
OLCT, phép chập này được định nghĩa như sau

(f

A

g)(t) := K A

R

f ( τ ) g ( t − τ )e−

iaτ ( t − τ )
b

dτ.

(1.16)

Phép chập này thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa
OA

1.4

(f

d

A

g)(t) (u) = e−i( 2b u

2 + (bω0 −du0 )u )
b

· O A { f (t)}(u) · O A { g(t)}(u).

Hàm suy rộng

1.4.1

Không gian hàm suy rộng

Trong mục này, luận án trình bày các kiến thức cơ bản về không gian các
hàm suy rộng. Các kết quả của mục này được trích dẫn từ các tài liệu [3,4,58].
1. Ta nói hàm f (t) là hàm tiêu hạn trong Ω ⊂ R nếu f (t) = 0 ở ngoài miền
Ω với Ω là compact trong Ω (Ω được gọi là compact trong Ω nếu Ω là
bị chặn và Ω = Ω).
2. Không gian các hàm cơ bản có giá compact: Giả sử Ω là một miền mở

trong R. Ký hiệu D(Ω) là không gian tất cả các hàm tiêu hạn khả vi vô
hạn trong Ω. Tập D(Ω) được gọi là không gian các hàm cơ bản tiêu hạn,
hay đơn giản là không gian các hàm cơ bản.
∞
Sự hội tụ trong D(Ω) được định nghĩa như sau: dãy hàm { ϕk }+
k=0 trong

D(Ω) được gọi là hội tụ đến hàm ϕ ∈ D(Ω) nếu tồn tại một tập compact
∞
K trong Ω sao cho supp ϕk ⊂ K, ∀k và dãy { D n ϕk (t), t ∈ K }+
k =0 hội tụ

đều đến D n ϕ(t) khi k → +∞. Một trong những không gian hàm cơ bản
hay gặp là không gian Schwartz S .
3. Không gian các hàm suy rộng: Ký hiệu D (Ω) là tập hợp các phiếm hàm
tuyến tính liên tục trên không gian D(Ω). Khi đó, D (Ω) gọi là không
20


gian các hàm suy rộng. Giá trị của phiếm hàm f ∈ D (Ω) trên hàm cơ
bản ϕ ∈ D(Ω) được ký hiệu là ( f , ϕ).
Tập hợp D (Ω) có tính chất tuyến tính. Tức là, với mọi f , g ∈ D (Ω),
ϕ ∈ D(Ω), λ, β ∈ R, ta có

(λ f + βg, ϕ) = λ( f , ϕ) + β( g, ϕ).
∞
4. Sự hội tụ trong D (Ω): Dãy hàm suy rộng { f n }+
n=0 trong D ( Ω ) gọi là

hội tụ đến hàm suy rộng f ∈ D (Ω) nếu với mọi ϕ ∈ D(Ω) ta có

n → +∞.

( f n , ϕ ) → ( f , ϕ ),
Sự hội tụ này còn được gọi là hội tụ yếu.

∞
5. Tính đầy đủ của D (Ω): Giả sử dãy các hàm suy rộng { f n }+
n=0 trong
∞
D (Ω) thỏa mãn với mọi ϕ ∈ D(Ω) thì dãy số {( f n , ϕ)}+
n=0 hội tụ khi

n → +∞. Khi đó, phiếm hàm f được định nghĩa bởi đẳng thức

( f , ϕ) = lim ( f n , ϕ)
n→+∞

là tuyến tính liên tục trên D(Ω), tức là f ∈ D (Ω).
6. Đạo hàm suy rộng: Giả sử f ∈ D (Ω), đạo hàm D n f (n ≥ 1) được định
nghĩa theo công thức

∀ ϕ ∈ D( Ω ).

( D n f , ϕ) = (−1)n ( f , D n ϕ),
1.4.2

Hàm Dirac

Trong mục này luận án sẽ trình bày sơ lược về hàm Dirac. Đây là hàm được
sử dụng nhiều trong xử lý tín hiệu. Các kết quả của mục này được trích dẫn

từ các tài liệu [3, 19, 44].
Năm 1880 Oliver Heaviside giới thiệu hàm số
Θ(t) =

1,
0,

t>0
t<0

mà sau này được gọi là hàm Heaviside. Hàm số này được dùng nhiều trong
phân tích tín hiệu điện. Giá trị (Θ, ϕ) được xác định theo công thức

(Θ, ϕ) =

R

Θ(t) ϕ(t)dt =
21

+∞
0

ϕ(t)dt.


Lấy cảm hứng bởi Heaviside, với mục đích miêu tả mật độ điện tích cực
lớn, năm 1930 Paul Dirac đưa ra khái niệm "hàm"

+∞, t = 0

0,
t=0

δ(t) =

(1.17)

và thỏa mãn đẳng thức
R

(1.18)

δ(t)dt = 1

được gọi là hàm Dirac.
Tham chiếu với khái niệm hàm cổ điển thì “hàm” mà Paul Dirac đưa ra không
phải là hàm số thông thường do được phép nhận giá trị vô cùng. Hàm Dirac
là hàm suy rộng và có thể được xác định theo công thức (xem [58], trang 6)
δ( ϕ) = (δ, ϕ) = ϕ(0), ∀ ϕ ∈ D(Ω).
Ngoài ra, ta có (xem [58], trang 64)

( f ∗ δ)(t) = (δ ∗ f )(t) = f (t), ∀ f ∈ D (Ω).

(1.19)

Hơn nữa, nếu ta lấy đạo hàm suy rộng của hàm Heaviside thì

(Θ , ϕ) = −(Θ, ϕ ) = −

R

Θ(t) ϕ (t)dt = −

+∞
0

ϕ (t)dt = ϕ(0) = (δ, ϕ).

Do vậy, ta có đẳng thức sau (xem [3], Ví dụ 1.13, trang 41)
Θ = δ.
Paul Dirac còn đưa ra một cách để tìm hàm thỏa mãn các điều kiện (1.17) và
(1.18), đó là chọn các hàm δ (t) thỏa mãn (xem [58], trang 6)
R

δ(t)dt = lim

→0+ R

δ (t)dt,

(1.20)

trong đó δ (t) là hàm chung của hai biến t, đồng thời thỏa mãn các điều kiện

+∞, t = 0
0,
t=0

lim δ (t) =
→0+

và
R

δ (t)dt = 1.
22


Có nhiều cách chọn hàm δ (t), chẳng hạn ta có thể chọn là hàm Gauss
1 − t22
δ (t) = √ e
π
hoặc
δ (t) =


 1

,

 0,

|t| ≤

2

|t| > 2 .

Các ví dụ 1.1 và ví dụ 1.2 sau đây có thể được tìm thấy ở trang 123 của tài
liệu [3].

Ví dụ 1.1. Biến đổi Fourier của hàm Dirac
Từ định nghĩa của biến đổi Fourier và hàm Dirac, với mọi ϕ ∈ D(Ω), ta có

(Ψ FT {δ}, ϕ) = (δ, Ψ FT { ϕ}) = Ψ FT { ϕ}(0) =

R

ϕ(t)dt = (1, ϕ).

Từ đó
Ψ FT {δ} = 1.
Ví dụ 1.2. Biến đổi Fourier của đơn vị
Theo công thức biến đổi Fourier ngược của hàm suy rộng, ta có
1
δ(t) = Ψ−
FT {1( u )}( t ) =

1
1
Ψ FT {1(−u)}(t) =
Ψ FT {1(u)}(t).
2π
2π

Từ đó
Ψ FT {1}(t) = 2πδ(t).
Hàm Dirac có vai trò quan trọng trong việc xây dựng các định lý lấy mẫu
(xem [10, 15, 60]). Tín hiệu lấy mẫu đều sau đây được sử dụng nhiều trong các
bài toán lấy mẫu.
Ví dụ 1.3. Tín hiệu lấy mẫu đều

Giả sử f (t) là một tín hiệu liên tục trên miền Ω, khi đó tín hiệu lấy mẫu đều
của f (t) được định nghĩa ở dạng chuỗi sau (xem [64], Mục 4)
f˜(t) :=

+∞

∑

f (nT )δ(t − nT ).

n=−∞

Với mọi ϕ ∈ D(Ω), sử dụng tính đầy đủ của D (Ω) ta có
+∞

∑

n=−∞

n

f (nT )δ(t − nT ), ϕ

= lim

n→+∞

23

∑

k =−n

f (kT )δ(t − kT ), ϕ

(1.21)


n

n

∑

= lim

n→+∞

f (kT )δ(t − kT ), ϕ = lim

n→+∞

k =−n
n

∑

= lim

n→+∞

∑

f (kT ) δ(t − kT ), ϕ

k=−n

f (kT ) ϕ(kT )

k =−n

+∞

=

∑

(1.22)

f (nT ) ϕ(nT ).

n=−∞

Chuỗi (1.22) hội tụ do ϕ ∈ D(Ω). Do đó chuỗi (1.21) là hội tụ.
Bổ đề sau sẽ dùng để chứng minh định lý lấy mẫu dạng Shannon trong
chương 4.
Bổ đề 1.1. Giả sử f (t), g(t) là các tín hiệu liên tục trên miền Ω, khi đó
f˜(t) ∗ g(t) =

+∞

∑

f (nT ) g(t − nT ).

(1.23)

n=−∞

Chứng minh. Với mọi ϕ ∈ D(Ω), sử dụng tính đầy đủ của D (Ω) và công thức
(1.19) ta có
n

∑

f˜(t) ∗ g(t), ϕ = lim

n→+∞

f (kT )δ(t − kT ) ∗ g(t), ϕ

k=−n

n

∑

= lim

n→+∞

k =−n
n

= lim

n→+∞

f (kT )δ(t − kT ) ∗ g(t), ϕ

∑

f (kT ) δ(t − kT ) ∗ g(t), ϕ .

k=−n

Sử dụng tính chất dịch chuyển phép chập hàm suy rộng (xem [3], tính chất 3,
trang 63), ta thu được
δ(t − kT ) ∗ g(t) = (δ ∗ g) (t − kT ) = g(t − kT ).
Từ đó
f˜(t) ∗ g(t), ϕ = lim

n→+∞

n

∑

f (kT ) g(t − kT ), ϕ

k =−n

+∞

n

= lim

n→+∞

∑

f (kT ) g(t − kT ), ϕ

=

∑

n=−∞

k =−n

Đẳng thức (1.23) được chứng minh.
24

f (nT ) g(t − nT ), ϕ .