Một số phương pháp hiệu quả giải phương trình vi phân đại số phi tuyến có cấu trúc

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
———————-

NGUYỄN DUY TRƯỜNG

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP HIỆU QUẢ
GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐẠI SỐ
PHI TUYẾN CÓ CẤU TRÚC

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

Hà Nội - 2019


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
———————-

NGUYỄN DUY TRƯỜNG

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP HIỆU QUẢ
GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐẠI SỐ
PHI TUYẾN CÓ CẤU TRÚC
Chuyên ngành: Toán ứng dụng
Mã số: 62460112

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
PGS.TSKH. Vũ Hoàng Linh

Hà Nội - 2019


LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan những kết quả trình bày trong luận án này, dưới sự hướng
dẫn của PGS. TSKH. Vũ Hoàng Linh, là trung thực và chưa từng được công bố
trong bất kỳ công trình của ai khác. Những kết quả viết chung với phó giáo
sư Vũ Hoàng Linh và các cộng sự đã được đồng ý khi đưa vào luận án.

Hà nội, tháng 3 năm 2019
Nghiên cứu sinh

Nguyễn Duy Trường

2


LỜI CẢM ƠN

Trước hết, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới Thầy hướng
dẫn, PGS. TSKH. Vũ Hoàng Linh. Thầy là người đầu tiên dìu dắt và hướng
dẫn tôi trên con đường nghiên cứu khoa học. Trong suốt quá trình làm luận
án, Thầy luôn quan tâm giúp đỡ, chỉ bảo tôi và động viên tôi những lúc gặp
khó khăn trong nghiên cứu. Nhờ những ý tưởng mà Thầy đã gợi ý, những
góp ý, hướng dẫn của Thầy, những tài liệu bổ ích mà Thầy đã cung cấp, tôi đã
hoàn thành đề tài của mình.
Tôi xin chân thành cảm ơn các thầy cô và anh chị em trong Bộ môn Toán
ứng dụng nói riêng và Khoa Toán - Cơ - Tin học, trường ĐHKHTN - ĐHQGHN

nói chung. Những ý kiến quý báu của các thầy và các bạn ở các kỳ Xêmina bộ
môn cũng như sự tạo điều kiện của khoa và của bộ môn đã giúp tôi rất nhiều
trong việc hoàn thành luận án này.
Tôi xin chân thành cảm ơn các anh chị em trong khoa Khoa học Tự nhiên,
Trường Sĩ Quan Lục Quân 1 và Phòng Quản lý Học viên, Đoàn 871, Tổng Cục
Chính Trị. Đơn vị đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi yên tâm học tập,
nghiên cứu và công tác. Sự quan tâm và những lời động viên, khích lệ của các
anh chị em và các đồng nghiệp đã giúp tôi rất nhiều trong việc hoàn thành
luận án của mình.
Tôi xin gửi lời cảm ơn tới "Quỹ phát triển khoa học và công nghệ quốc gia Nafosted". Quỹ đã dành nhiều sự hỗ trợ hết sức quý báu giúp tôi có điều kiện
tốt nhất để hoàn thành đề tài nghiên cứu của mình.
Cuối cùng, luận án này sẽ không thể hoàn thành nếu như không có sự
động viên và hỗ trợ về mọi mặt của gia đình. Qua đây, tôi gửi lời cảm ơn tới
vợ, con tôi, những người luôn cho tôi động lực, tiếng cười và tạo điều kiện
thời gian cho tôi học tập và nghiên cứu. Luận án này, và những gì tôi đang cố
gắng thực hiện, là để gửi tới cha mẹ, vợ con, anh chị em và những người thân
trong gia đình, với tất cả lòng biết ơn sâu sắc nhất.

3


MỤC LỤC

Trang
Lời cam đoan

2

Lời cảm ơn

3

Mục lục

4

Bảng kí hiệu

7

Bảng các chữ viết tắt

8

Mở đầu

9

1

Kiến thức chuẩn bị
18
1.1 Giới thiệu phương trình vi phân đại số và phương trình vi phân
đại số có chậm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.1.1 Khái niệm và phân loại phương trình vi phân đại số . . . 18
1.1.2 Phương trình vi phân có chậm và phương trình vi phân
đại số có chậm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.2

1.3

1.1.3 Sự phụ thuộc của nghiệm vào dữ liệu . . . . .
Phương pháp số cho phương trình vi phân thường . .
1.2.1 Các khái niệm cơ bản . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.2 Phương pháp Runge-Kutta . . . . . . . . . . .
1.2.3 Phương pháp Runge-Kutta đầu ra liên tục . .
1.2.4 Phương pháp đa bước . . . . . . . . . . . . . .
1.2.5 Phương pháp Runge-Kutta với thác triển liên

.
.
.
.
.
.

25
28
28
31
33
36

phương trình vi phân có chậm . . . . . . . . . . . . . . .
Phương pháp số cho phương trình vi phân đại số dạng nửa hiện
chỉ số 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.1 Phương pháp Runge-Kutta . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.2 Phương pháp đa bước . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

38

4

. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
tục cho

40
40
42


1.4
2

Phương pháp số cho một lớp phương trình vi phân đại số
44
2.1 Một lớp phương trình vi phân đại số không có tính lạ . . . . . . 44
2.1.1 Phân tích cấu trúc của bài toán . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.1.2 Sự phụ thuộc của nghiệm vào dữ liệu . . . . . . . . . . . 46
2.2

Các phương pháp Runge-Kutta . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1 Rời rạc hóa bằng phương pháp Runge-Kutta bán hiện .
2.2.2 Rời rạc hóa bằng phương pháp Runge-Kutta ẩn . . . .
2.2.3 Sự hội tụ của phương pháp Runge-Kutta . . . . . . . .

2.2.4 Tính ổn định tuyệt đối của phương pháp Runge-Kutta
2.2.5 Sự tích lũy của sai số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.6 Thử nghiệm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

.
.
.
.
.
.
.

49
49
52
58
60
62
67

2.3

Các phương pháp đa bước . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.1 Rời rạc hóa bằng phương pháp đa bước ẩn và bán hiện
2.3.2 Sự tích lũy của sai số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.3 Sự hội tụ của phương pháp đa bước . . . . . . . . . . .
2.3.4 Tính ổn định tuyệt đối của phương pháp đa bước . . .
2.3.5 Thử nghiệm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
So sánh các phương pháp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

.
.
.
.
.
.
.

71
73
76
84
86
87
91

2.4
3

Một số kết quả bổ trợ khác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

Phương pháp số cho một lớp phương trình vi phân đại số có chậm 96
3.1 Phân loại bài toán và phân tích sự phụ thuộc của nghiệm vào
dữ liệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
3.2 Phương pháp đa bước kết hợp với nội suy . . . . . . . . . . . . . 104

3.3

3.4

3.2.1 Rời rạc hóa bằng phương pháp đa bước kết hợp với nội suy104
3.2.2 Sự hội tụ của phương pháp đa bước kết hợp với nội suy 106
Phương pháp Runge-Kutta bán hiện với thác triển liên tục . . . 109
3.3.1 Rời rạc hóa bằng phương pháp Runge-Kutta bán hiện
với thác triển liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
3.3.2 Sự hội tụ của phương pháp Runge-Kutta bán hiện với
thác triển liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
Thử nghiệm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

Kết luận

127
5


Danh mục công trình khoa học của tác giả liên quan đến luận án

128

Tài liệu tham khảo

129

6


BẢNG KÍ HIỆU

N

Tập hợp các số tự nhiên

R

Tập hợp các số thực

C

Tập hợp các số phức

I

Đoạn [0, T ] ⊂ R

Rm , (Cm )

Không gian véc tơ m chiều trên R, (C)

Rm1 ,m2

Không gian ma trận thực cỡ m1 × m2

C p (I, Rm )

Không gian các hàm véc tơ m chiều khả vi liên tục cấp p

C p (I, Rm1 ,m2 )

Không gian các hàm ma trận cỡ m1 × m2 khả vi liên tục cấp p

Ik

Ma trận đơn vị kích thước k × k

rank A

Hạng của ma trận A

⊗

Tích Kronecker

Const

Một hằng số nào đó

O(hk )

Vô cùng bé cùng bậc với hk

✷

Kết thúc chứng minh

7


BẢNG CÁC CHỮ VIẾT TẮT

BTGTĐ

Bài toán giá trị ban đầu

OĐTĐ

Ổn định tuyệt đối

PTVPC

Phương trình vi phân có chậm

PTVPĐS

Phương trình vi phân đại số

PTVPĐSC

Phương trình vi phân đại số có chậm

PTVPT

Phương trình vi phân thường

AM

Adams-Moulton

RK

Runge-Kutta

ERK

Runge-Kutta hiện (Explicit Runge-Kutta)

IRK

Runge-Kutta ẩn (Implicit Runge-Kutta)

CRK

Runge-Kutta liên tục (Continuous Runge-Kutta)

NCE

Thác triển liên tục tự nhiên (Natural Continuous Extension)

HEEL

Euler bán hiện (Half-explicit Euler)

HERK

Runge-Kutta bán hiện (Half-explicit Runge-Kutta)

HERK-CE

Runge-Kutta bán hiện với thác triển liên tục
(Half-explicit Runge-Kutta with Continuous Extension)

HERK-NCE

Runge-Kutta bán hiện với thác triển liên tục tự nhiên
(Half-explicit Runge-Kutta with Natural Continuous Extension)

HEMID-NCE Trung điểm bán hiện với thác triển liên tục tự nhiên
(Half-Explicit Midpoint with Natural Continuous Extension)
HELM

Đa bước bán hiện (Half-explicit Linear Multistep)

HEOL

Một chân bán hiện (Half-explicit One-Leg)

HEMID

Trung điểm bán hiện (Half-Explicit Midpoint)

HEAB

Adams-Bashforth bán hiện (Half-Explicit Adams-Bashforth)

IMID

Trung điểm ẩn (Implicit Midpoint)

TRAP

Hình thang (Trapezoidal)

BDF

Công thức vi phân lùi (Backward Differentiation Formula)

8


MỞ ĐẦU

Rất nhiều bài toán thực tế trong các lĩnh vực khoa học kĩ thuật như cơ
học, hóa học, thiết kế mạch điện, điều khiển, v.v. được mô hình hóa dưới dạng
một hệ hỗn hợp các phương trình vi phân kết hợp với ràng buộc đại số. Các
hệ đó được gọi là phương trình vi phân đại số (PTVPĐS). PTVPĐS có dạng
tổng quát
F (t, x, x ) = 0,

(0.1)

trong đó t ∈ I = [0, T ], F : I × Rm × Rm → Rn , n, m ∈ N. Nếu ma trận
Jacobian của F theo x không suy biến thì từ phương trình (0.1) ta có thể giải
được x theo t, x, do đó chúng ta thu được một phương trình vi phân thường
(PTVPT). Trong trường hợp tổng quát, ma trận Jacobian của F theo x có thể
suy biến. Khi đó chúng ta có một PTVPĐS, còn gọi là phương trình vi phân
ẩn hay phương trình vi phân suy biến.
Ví dụ 0.1. [38, Example 1.2] Bài toán mô tả sự tiêu hao điện năng trong một
mạch điện gồm một điện trở và một tụ điện (xem Hình 0.1). Chúng ta sẽ ký hiệu
xi , i = 1, 2, 3 là điện năng tại mỗi nút của mạch điện, U (t) là hiệu điện thế, R, C lần
lượt là trở kháng của điện trở và điện dung của tụ điện.

Hình 0.1: Mạch điện
Dựa vào các định luật bảo toàn, ta thu được PTVPĐS có dạng
C ( x 3 − x 2 ) + ( x1 − x2 )/R = 0,
x1 − x3 − U (t) = 0,
x3 + α(t) = 0.
9

(0.2)


Trong trường hợp đơn giản chọn α(t) là hằng số hoặc bằng 0. Đây là một PTVPĐS
có chỉ số vi phân bằng 1.
Ví dụ 0.2. [38, Example 1.3] Xét một con lắc đơn có khối lượng m và độ dài l trong
Hình 0.2.

Hình 0.2: Con lắc đơn
Đặt hệ trục tọa độ Oxy, khi đó sự dao động của con lắc được mô tả bởi hệ
mx + 2λx = 0,
my + 2λy + mg = 0,

(0.3)

x2 + y2 − l 2 = 0,
trong đó hằng số g là gia tốc trọng trường, ( x, y) là tọa độ của con lắc trong hệ trục
tọa độ Oxy và tham số Lagrange λ đại diện cho sức căng của dây. Bằng cách đặt
z1 = x , z2 = y , hệ (0.3) trở thành
x − z1 = 0,
y − z2 = 0,
mz1 + 2λx = 0,

(0.4)

mz2 + 2λy + mg = 0,
x2 + y2 − l 2 = 0.
Đây chính là một PTVPĐS chỉ số 3 với các biến x, y, z1 , z2 , λ.
Một số ví dụ khác như phương trình Van der Pol hay bài toán bán rời rạc
phương trình đạo hàm riêng Navier-Stokes, v.v. cũng dẫn đến các PTVPĐS.
Khi nghiên cứu các PTVPT cũng như các PTVPĐS, chúng ta thường quan
tâm tới hai bài toán là bài toán giá trị ban đầu (BTGTĐ) và bài toán giá trị biên.
10


Ở đây chúng tôi tập trung nghiên cứu BTGTĐ của PTVPĐS, khi đó nghiệm
của bài toán (0.1) thỏa mãn điều kiện đầu
x (0) = x0 ,

(0.5)

với x0 ∈ Rm . Khác với PTVPT, sự tồn tại nghiệm và tính duy nhất nghiệm của
BTGTĐ (0.1), (0.5) cũng phụ thuộc vào giá trị ban đầu x0 , trong khi PTVPT
luôn có nghiệm với bất kì một điều kiện đầu cho trước. Trong Ví dụ 0.1, điều
kiện đầu ( x1 (0), x2 (0), x3 (0)) thỏa mãn
x1 (0) − x3 (0) − U (0) = 0,
x3 (0) − α(0) = 0,
thì bài toán mới có nghiệm. Trong Ví dụ 0.2, để hệ (0.4) có nghiệm thì điều
kiện đầu ( x0 , y0 ) ít nhất phải thỏa mãn
x02 + y20 − l 2 = 0.
Không những thế, điều kiện ban đầu của PTVPĐS có thể liên quan tới cả đạo
hàm của các ràng buộc tại thời điểm ban đầu, xem [8].
Các PTVPĐS xuất hiện từ các bài toán thực tế thường là các hệ rất phức tạp,

không có hy vọng giải đúng, trong khi nhiều trường hợp chúng ta chỉ cần biết
những nghiệm số hay nghiệm gần đúng với một mức độ chính xác nhất định
nào đó. Ngày nay, sự phát triển của công nghệ thông tin cũng như nhu cầu
giải các bài toán kích thước lớn và phức tạp cũng đặt ra yêu cầu phát triển các
phương pháp số hiệu quả giải phương trình vi phân nói chung và PTVPĐS,
phương trình vi phân đại số có chậm (PTVPĐSC) nói riêng. Việc nghiên cứu
lý thuyết và các phương pháp số giải PTVPĐS phát triển mạnh trong giai
đoạn từ năm 1980 đến 2010. Các phương pháp số cho PTVPĐS và PTVPĐSC
đều được mở rộng từ các phương pháp số cho PTVPT. Thông thường, các
phương pháp ẩn được sử dụng để giải số PTVPĐS và PTVPĐSC. Tuy nhiên,
nhiều ví dụ cho thấy các phương pháp quen thuộc cho PTVPT khi áp dụng
cho PTVPĐS gặp những khó khăn như: lời giải số không ổn định hoặc thậm
chí không tồn tại, xảy ra hiện tượng giảm cấp chính xác, các hệ đại số thu được
có điều kiện xấu, v.v. Người đầu tiên đặt nền móng cho việc nghiên cứu các
11


phương pháp số cho PTVPĐS là C.W. Gear năm 1971, tác giả đã nghiên cứu
áp dụng các công thức vi phân lùi (BDF) cho PTVPĐS nửa hiện chỉ số 1. Sau
đó, các phương pháp BDF, phương pháp một chân (One-leg), phương pháp
đa bước tuyến tính tổng quát được mở rộng cho PTVPĐS dạng ẩn chỉ số 1
bởi W. Liniger [45], C.W. Gear, B. Leimkuhler và G. Gupta [24], P. Lotstedt,
L.
¨
Petzold [47], R. M¨arz [49]. Các phương pháp một bước (phương pháp RungeKutta) được nghiên cứu áp dụng cho PTVPĐS nửa hiện chỉ số 1, 2 và 3 bởi
nhóm tác giả E. Hairer, C. Lubich, M. Roche từ những năm 1988, 1989 và được
tổng kết trong [30]. Sau đó, M. Arnold, K. Strehmel và R. Weiner [3, 4], V.
Brasey và E. Hairer [15] và A. Murua [50] đã có nghiên cứu một cách hệ thống
và mở rộng cách tiếp cận các phương pháp Runge-Kutta (RK) cho PTVPĐS
nửa hiện chỉ số 1 và 2.

Trong những năm cuối thế kỉ 20 và đầu của thế kỉ 21, các nghiên cứu tập
trung vào lớp PTVPĐS dạng ẩn. Đầu tiên là các nghiên cứu của nhóm tác
giả I. Higueras, B. Garcia Celayeta, R. M¨arz và C. Tischendorf [34, 35]. Ở đây,
các tác giả đã nghiên cứu lớp PTVPĐS tuyến tính chỉ số 1 có cấu trúc theo
hướng tiếp cận bằng phép chiếu để biến đổi lại bài toán, sau đó áp dụng các
phương pháp BDF để thu được nghiệm số. Cùng thời gian này, P. Kunkel và
V. Mehrmann [36, 37, 39] đã có những nghiên cứu một cách tương đối có hệ
thống về PTVPĐS ẩn có dạng (0.1) có chỉ số tùy ý. Các tác giả nghiên cứu chỉ
số lạ của bài toán và đề xuất thuật toán đưa bài toán PTVPĐS (0.1) về dạng
chính tắc không có tính lạ, sau đó áp dụng các công thức rời rạc để thu được
nghiệm số của bài toán (0.1). Ngoài ra, các tác giả cũng nghiên cứu tính ổn
định của PTVPĐS (0.1), giới thiệu bài toán thử và định nghĩa hàm ổn định
tuyệt đối (OĐTĐ) của các phương pháp số cho PTVPĐS.
Gần đây, lớp các PTVPĐS đang thu hút sự quan tâm của các nhà toán học
là các PTVPĐS ẩn không có tính lạ có dạng
f (t, x, x ) = 0,
g(t, x ) = 0,

∀ t ∈ [ t0 , T ].

(0.6)

Không mất tính tổng quát ta giả thiết t0 = 0 và f : I × Rm × Rm → Rm1 ,
g : I × Rm → Rm2 , (m = m1 + m2 ) là các hàm đủ trơn và có các đạo hàm
12


riêng bị chặn thỏa mãn
f x (t, x, x )
gx (t, x )

không suy biến.

(0.7)

Một điều kiện đầu tương thích x0 thỏa mãn g(0, x0 ) = 0. Để đơn giản trong
các công thức, các hàm f , g trong mỗi bài toán được xem xét có thể khác nhau.
Các phương pháp trùng khớp (Collocation), công thức BDF cho PTVPĐS (0.6)
đã được nghiên cứu trong [38]. V.H. Linh và V. Mehrmann [43] đã nghiên cứu
tính chất của bài toán (0.6) và đề xuất các phương pháp một chân bán hiện
(HEOL), phương pháp đa bước bán hiện (HELM), phương pháp Runge-Kutta
bán hiện (HERK) giải hiệu quả các PTVPĐS (0.6) không cương. Các nghiên
cứu của V.H. Linh và V. Mehrmann [43] cũng chỉ ra PTVPĐS không có tính lạ
(0.6) có chỉ số vi phân bằng 1 nhưng tương đương với một PTVPĐS dạng nửa
hiện chỉ số 2. Vì vậy, khi rời rạc hóa trực tiếp PTVPĐS (0.6) bằng công thức
một bước hay công thức đa bước thì thường gây ra hiện tượng giảm bậc hoặc
yêu cầu chặt hơn cho sự ổn định của phương pháp.
Trong luận án này, chúng tôi nghiên cứu một lớp PTVPĐS có cấu trúc dạng
f (t, x, E(t) x ) = 0,
g(t, x ) = 0,

(0.8)

trên đoạn I = [0, T ], cùng với một điều kiện đầu tương thích x (0) = x0 .
Trong đó, hàm ma trận E ∈ C (I, Rm1 ,m ) đủ trơn và các hàm f = f (t, u, v) :
I × Rm × Rm1 → Rm1 , g = g(t, u) : I × Rm → Rm2 , (m, m1 , m2 ∈ N, m =
m1 + m2 ) đủ trơn và có các đạo hàm riêng bị chặn. Giả sử BTGTĐ có nghiệm
duy nhất x (t) và
fv E
gu

không suy biến

(0.9)

dọc theo quỹ đạo của nghiệm x (t). Đây là một lớp nằm trong lớp các PTVPĐS
có dạng (0.6). Khác với cách tiếp cận bằng phép chiếu trong [35, 40], chúng tôi
đề xuất một phép biến đổi đơn giản để đưa bài toán (0.8) về dạng
f t, x (t), ( Ex ) (t) − E (t) x (t) = 0,
g t, x (t) = 0.
13

(0.10)


Sau đó áp dụng các phương pháp RK hay phương pháp đa bước (ẩn và bán
hiện) cho bài toán (0.10) để thu được nghiệm số cho bài toán (0.8).
Việc nghiên cứu các phương pháp số giải hiệu quả các PTVPĐS dạng (0.8)
xuất phát từ việc nghiên cứu các phương pháp số giải một lớp đặc biệt các
PTVPĐS ma trận nửa tuyến tính có dạng
E1 (t) X (t) = F t, X (t) ,
A2 (t) X (t) = 0,

∀t ∈ I,

(0.11)

trong đó X : I → Rm,m3 , F : I × Rm,m3 → Rm1 ,m3 , và các ma trận E1 : I →
Rm1 ,m , A2 : I → Rm2 ,m , thỏa mãn E(t) = [ E1 (t) T A2 (t) T ] T không suy biến
trên I. Việc giải số các PTVPĐS dạng (0.11) phát sinh trong quá trình phân

tích sự ổn định của PTVPĐS qua việc xấp xỉ số mũ Lyapunov hoặc khoảng
phổ Sacker-Sell. Các bài toán này thường có kích thước lớn và khoảng lấy tích
phân I dài nên các phương pháp ổn định bán hiện sẽ mang lại hiệu quả tốt
hơn các phương pháp ẩn.
Từ các nghiên cứu về các phương pháp số cho PTVPĐS không có tính lạ
(0.8), chúng tôi mở rộng nghiên cứu các phương pháp số cho một lớp các
PTVPĐSC phi tuyến dạng
f t, x (t), x (t − τ ), E(t) x (t) = 0,
g t, x (t), x (t − τ ) = 0,

(0.12)

trên khoảng I = [0, T ], và một trễ hằng τ > 0. Ở đây, ta giả thiết rằng hàm ma
trận E ∈ C (I, Rm1 ,m ) đủ trơn và các hàm f (t, u, v, w) : I × Rm × Rm × Rm1 →
Rm1 , g(t, u, v) : I × Rm × Rm → Rm2 , m1 + m2 = m là đủ trơn và có các đạo
hàm riêng bị chặn. Cho trước một điều kiện đầu
x (t) = Φ(t)

với

t ∈ [−τ, 0],

(0.13)

chúng ta giả thiết rằng hàm ban đầu Φ đủ trơn sao cho BTGTĐ (0.12), (0.13)
có duy nhất nghiệm x (t) liên tục và khả vi liên tục từng khúc. Ngoài ra, ma
trận Jacobian
f w E(t)
gu

không suy biến
14

(0.14)


dọc theo nghiệm x (t).
Việc nghiên cứu mở rộng các phương pháp số cho PTVPC, PTVPĐSC nói
chung và lớp các PTVPĐSC (0.12) nói riêng là một yêu cầu hết sức tự nhiên
và cần thiết. Các phương pháp số giải PTVPC đã được nghiên cứu một cách
tương đối trọn vẹn và được trình bày đầy đủ trong [12]. Tuy nhiên vẫn chưa
có một nghiên cứu hệ thống và đầy đủ về PTVPĐSC và các phương pháp
số cho PTVPĐSC. Năm 1995, U. Ascher và L.R. Petzold [7] đã nghiên cứu về
PTVPĐSC nửa hiện chỉ số 1 dạng
y ( t ) = f y ( t ), y ( t − τ ), z ( t ), z ( t − τ ) ,
0 = g y ( t ), y ( t − τ ), z ( t ), z ( t − τ ) ,

(0.15)

và PTVPĐSC nửa hiện chỉ số 2 dạng
y ( t ) = f y ( t ), y ( t − τ ), z ( t ) ,
0 = g y ( t ), y ( t − τ ) ,

(0.16)

với trễ hằng τ > 0. Các tác giả đã phân loại bài toán, phân tích cách áp dụng
và khảo sát sự hội tụ của nghiệm số các bài toán này bằng các phương pháp
BDF và phương pháp RK ẩn. R. Hauber [33] đã nghiên cứu các PTVPĐS nửa
hiện chỉ số 1, 2 loại trễ với trễ phụ thuộc vào biến thời gian và biến trạng
thái. Với lớp bài toán này, tác giả đã khảo sát sự hội tụ của các phương pháp

Collocation kết hợp với thác triển liên tục và một chiến lược truy bắt các điểm
gián đoạn. H. Liu và A. Xiao [46] đã khảo sát sự hội tụ của các phương pháp
đa bước tuyến tính và các phương pháp một chân kết hợp với một công thức
nội suy Lagrange cho lớp các PTVPĐSC nửa hiện chỉ số 2 với trễ phụ thuộc
thời gian. Gần đây, nhóm nghiên cứu V. Mehrmann, H. Phi và các cộng sự đã
nghiên cứu về nghiệm và phương pháp số cho các PTVPĐSC tuyến tính hệ
số biến thiên với trễ hằng. Các kết quả chính được trình bày trong Luận án
của H. Phi [54] năm 2015. Các tác giả đã đề xuất một thủ tục để biến đổi lại
bài toán về dạng không có tính lạ từ đó xác định được các điều kiện tương
thích của hàm ban đầu. Sự hội tụ của nghiệm số của bài toán biến đổi bằng
phương pháp Collocation kết hợp với một công thức nội suy Lagrange đã
được phân tích và chứng minh. Có thể thấy rằng, các nghiên cứu chủ yếu cho
15


bài toán nửa hiện hoặc tuyến tính. Các phương pháp số được đề xuất đều là
các phương pháp ẩn. Chưa có các nghiên cứu cho PTVPĐSC dạng ẩn và các
phương pháp số hiện hoặc nửa hiện áp dụng cho các PTVPĐSC.
Cách tiếp cận của chúng tôi ở đây là áp dụng các phương pháp đa bước và
các phương pháp RK bán hiện cho PTVPĐSC được biến đổi lại có dạng
f t, x (t), x (t − τ ), ( Ex ) (t) − E (t) x (t) = 0,
g t, x (t), x (t − τ ) = 0.

(0.17)

Trong tính toán, các giá trị của nghiệm tại các điểm quá khứ (hay các giá trị
trễ) có thể được xấp xỉ bằng nội suy hoặc bằng công thức đầu ra liên tục. Các
phương pháp bán hiện mà chúng tôi đề xuất có chi phí tính toán thấp hơn
nhiều so với các phương pháp ẩn khi áp dụng cho các bài toán có kích thước
lớn và không cương.

Luận án sẽ nghiên cứu và đề xuất một số phương pháp hiệu quả giải
một lớp PTVPĐS phi tuyến có cấu trúc. Ngoài ra, chúng tôi mở rộng áp
dụng các phương pháp đa bước, các phương pháp RK bán hiện cho một lớp
các PTVPĐSC có cấu trúc. Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham
khảo, luận án được chia thành ba chương. Kết quả chính tập chung trong các
Chương 2 và 3.
Trong Chương 1, chúng tôi trình bày một số kiến thức chuẩn bị và kết quả
bổ trợ được sử dụng trong luận án. Cụ thể, chương này giới thiệu lại các khái
niệm cơ bản về PTVPĐS, PTVPC và PTVPĐSC. Tiếp theo, chúng tôi nhắc lại
các khái niệm cấp chính xác, cấp hội tụ, tính ổn định tuyệt đối,.v.v. Đồng thời
chúng tôi cũng trình bày một số kết quả bổ trợ sẽ sử dụng ở các chương tiếp
theo. Giữa các bài toán và một số kết quả được nêu ra, chúng tôi sẽ chỉ ra mối
quan hệ của chúng với các bài toán được nghiên cứu trong luận án.
Chương 2 đề cập tới các PTVPĐS dạng không có tính lạ có cấu trúc (0.8).
Với PTVPĐS này, chúng tôi đề xuất biến đổi bài toán (0.8) về dạng (0.10) sau
đó rời rạc hóa bằng các phương pháp RK hoặc phương pháp đa bước. Bằng
cách tiếp cận này, chúng tôi xây dựng thuật toán, phân tích tính ổn định,
sự hội tụ của các phương pháp RK và phương pháp đa bước áp dụng cho
PTVPĐS đã biến đổi (0.10).
16


Trong chương cuối của luận án, chúng tôi xét một lớp các PTVPĐSC dạng
(0.12). Các phương pháp đa bước, phương pháp RK bán hiện đã được mở
rộng áp dụng cho lớp các bài toán này. Khi cài đặt, các giá trị trong quá khứ
được xấp xỉ bằng công thức nội suy hoặc bằng công thức thác triển liên tục.
Cuối mỗi phần, chúng tôi đưa ra một số thử nghiệm số để minh họa cho
các kết quả lý thuyết đồng thời cũng so sánh với cách tiếp cận thông thường.
Các kết quả trong luận án này đã được công bố trong 4 bài báo [1–4] (Danh
mục các công trình khoa học của tác giả, trang 124) và cũng được báo cáo tại:

1. Xêmina của bộ môn Toán học tính toán và Toán ứng dụng, Khoa Toán Cơ - Tin học, Trường ĐH KHTN, giai đoạn 2014-2018.
2. Hội nghị khoa học Khoa Toán - Cơ - Tin học, Trường Đại học Khoa học
Tự nhiên, Đại học Quốc Gia Hà Nội, năm 2014 và 2016.
3. Hội thảo Tối ưu và Tính toán khoa học lần thứ 13, Ba Vì, 23-25/4/2015 và
lần thứ 15, Ba Vì, 20-22/4/2017.
4. The 6th International Conference on High Performance Scientific Computing. Modeling, Simulation and Optimization of Complex Processes,
Hanoi, Vietnam, March 16-20, 2015.
5. Vietnam-Korea Workshop on Selected Topics in Mathematics, Da Nang,
Viet Nam, February 20-24, 2017.
6. Hội nghị quốc tế về ứng dụng toán học lần thứ 2 (VIAMC2017), Sài gòn,
15-18/12/2017.
7. The 7th International Conference on High Performance Scientific Computing. Modeling, Simulation and Optimization of Complex Processes,
March 19-23, 2018 – Hanoi, Vietnam.

17


Chương 1
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Trong chương này, chúng ta nhắc lại một số khái niệm cơ bản và một số kết
quả bổ trợ sẽ được sử dụng trong Luận án. Phần đầu tiên chúng ta sẽ giới
thiệu và mở rộng các khái niệm về PTVPĐS, PTVPC và PTVPĐSC. Phần thứ
hai chúng tôi trình bày tóm lược các khái niệm và một số kết quả về phương
pháp RK và phương pháp đa bước cho PTVPT và phương pháp RK với thác
triển liên tục (CRK) cho PTVPC. Phần cuối của chương giới thiệu một số kết
quả về phương pháp RK và phương pháp đa bước cho PTVPĐS dạng nửa
hiện chỉ số 1. Các khái niệm và các kết quả trình bày trong chương này được
tham khảo chủ yếu trong các tài liệu [8, 12, 14, 32, 38, 54].

1.1

Giới thiệu phương trình vi phân đại số và phương trình vi phân
đại số có chậm

1.1.1

Khái niệm và phân loại phương trình vi phân đại số

Định nghĩa 1.1. [38, Definition 1.1]
i. Một hàm x ∈ C1 (I, Rm ) là một nghiệm của PTVPĐS (0.1) nếu x thỏa mãn
(0.1) tại từng điểm.
ii. Một nghiệm x của PTVPĐS (0.1) thỏa mãn điều kiện đầu (0.5) được gọi
là nghiệm của BTGTĐ (0.1), (0.5).
iii. Một điều kiện đầu (0.5) gọi là tương thích với PTVPĐS (0.1) nếu BTGTĐ
có ít nhất một nghiệm. Khi đó, BTGTĐ (0.1) (0.5) gọi là giải được.
Cơ sở lý thuyết để nghiên cứu tính tương thích và sự tồn tại duy nhất
nghiệm của PTVPĐS đều bắt nguồn từ PTVPT. Tuy vậy, PTVPĐS cũng rất
khác với PTVPT cả về điều kiện đầu tương thích và các tính chất của nghiệm,
như đã được chỉ ra trong các ví dụ ở phần Mở đầu và trong các tài liệu [16,38].
18


Để phân loại các PTVPĐS, thì một cách thô nhất là phân loại theo cấu trúc
ẩn hay bán hiện. Một cách phân loại khác phản ánh được tính chất động
lực của bài toán hay mức độ phức tạp của bài toán là phân loại theo chỉ số.
Trong lý thuyết phương trình vi phân đại số có nhiều cách định nghĩa chỉ số
của PTVPĐS khác nhau như chỉ số vi phân (differentiation index) bởi C.W.
Gear, B. Leimkuhler và G. Gupta [24, 25], chỉ số nhiễu (perturbation index)
bởi Hairer và các cộng sự [30], chỉ số lạ (strangeness index) bởi P. Kunkel và

V. Mehrmann [36], chỉ số điều khiển (tractability index) bởi E. Griepentrog
và R. M¨arz [26], chỉ số hình học (geometric index) bởi W.C. Rheinboldt [56],
chỉ số cấu trúc (structural index) bởi Pantelides [52]. Trong đó, hai khái niệm
chỉ số được sử dụng trong luận án này là chỉ số vi phân và chỉ số lạ.
Định nghĩa 1.2. Chỉ số vi phân của PTVPĐS là số lần ít nhất các phép lấy vi
phân một phần hoặc toàn bộ các phương trình của hệ ban đầu mà từ đó có
thể xác định được đạo hàm của biến trạng thái x như là một hàm liên tục của
t và x (đưa về PTVPT).
Chỉ số vi phân như là một thước đo về khoảng cách giữa PTVPĐS với
PTVPT qua các phép lấy đạo hàm. Thước đo này dường như không phản ánh
được chính xác bản chất của PTVPĐS bởi trong đó chúng ta hầu như chỉ quan
tâm tới tính chất vi phân mà không để ý tới đặc trưng của các ràng buộc đại
số. Thực tế, các ràng buộc đại số đôi khi làm cho bài toán trở nên phức tạp
hoặc có khi làm cho bài toán trở nên hết sức đơn giản. Tiếp theo, chúng ta sẽ
đề cập tới khái niệm về chỉ số lạ đã được P. Kunkel và V. Mehrmann đưa ra
năm 1998 đã phản ánh được cả bản chất vi phân và các đặc trưng ràng buộc
đại số của PTVPĐS, tham khảo tài liệu [36–38].
Để định nghĩa chỉ số lạ cho PTVPĐS (0.1), chúng ta xét hệ sau
F (t, x, x , . . . , x (

19

+1)

) = 0,

(1.1)


trong đó


F (t, x, x , . . . , x

( +1)



)=





F (t, x, x )
d
dt F ( t, x, x


) 

..

.

d
( dt ) F (t, x, x )



F (t, x, x )


 Ft (t, x, x ) + Fx (t, x, x ) x + Fx (t, x, x ) x
=
..

.

..
.



(1.2)



.



Đặt các Jacobian
M (t, x, x , . . . , x (

+1)

) = F ;x ,...,x( +1) (t, x, x , . . . , x (

N (t, x, x , . . . , x (

+1)

) = − F ;x (t, x, x , . . . , x (

+1)

+1)

),

), 0, . . . , 0 .

(1.3)

Giả thiết 1.1. [38, Hypothesis 4.2] Tồn tại các số nguyên µ, a và d sao cho tập
nghiệm
Lµ = {(t, x, x , . . . , x (µ+1) ) ∈ R(µ+2)n+1 | Fµ (t, x, x , . . . , x (µ+1) ) = 0}
( µ +1)

khác rỗng và tại mỗi điểm (t0 , x0 , x 0 , . . . , x0

(1.4)

) ∈ Lµ đều tồn tại một lân cận đủ

nhỏ sao cho trong lân cận đó các tính chất sau được thỏa mãn.
1. Trên tập Lµ , rank Mµ (t, x, x , . . . , x (µ+1) ) = (µ + 1)n − a sao cho tồn tại một
hàm ma trận trơn Z2 có cỡ (µ + 1)n × a có hạng lớn nhất theo từng điểm thỏa
mãn Z2T Mµ = 0.
2. Ta có rank Aˆ 2 (t, x, x , . . . , x (µ+1) ) = a sao cho tồn tại một hàm ma trận trơn T2
có cỡ n × d, d = n − a có hạng lớn nhất theo từng điểm thỏa mãn Aˆ 2 T2 = 0,

trong đó Aˆ 2 = Z2T Nµ [ In 0 . . . 0] T .
3. Ta có rank Fx (t, x, x ) T2 (t, x, x , . . . , x (µ+1) ) = d sao cho tồn tại một hàm ma
trận trơn Z1 có cỡ n × d, d = n − a có hạng lớn nhất theo từng điểm thỏa mãn
Eˆ 1 T2 = d, trong đó Eˆ 1 = Z T Fx .
1

Định nghĩa 1.3. [38, Definition 4.4] Xét PTVPĐS (0.1), giá trị nhỏ nhất µ ∈ N
sao cho F thỏa mãn Giả thiết 1.1 được gọi là chỉ số lạ của (0.1). Nếu µ = 0 thì
PTVPĐS được gọi là không có tính lạ (strangeness-free).
20


Nhận xét 1.1.

1. Mục đích chính của chỉ số vi phân là đưa ra khoảng cách để biến

đổi PTVPĐS trở thành một PTVPT. Tuy nhiên, nghiệm của bài toán sau khi
biến đổi thường không trùng với nghiệm của bài toán ban đầu.
2. Mục đích chính của chỉ số lạ là đưa ra khoảng cách để biến đổi bài toán PTVPĐS
trở thành một PTVPĐS có cùng nghiệm nhưng có tính chất giải tích tốt hơn.
Tính chất đó là có thể tách biệt được phần ràng buộc vi phân và phần ràng buộc
đại số cho các biến. Từ đó chúng ta có thể thu được PTVPT bằng việc giải biến
đại số từ các ràng buộc và thế vào các phương trình còn lại.
Lý thuyết về chỉ số lạ cho PTVPĐS phi tuyến tổng quát (0.1) đã được nghiên
cứu. Ngoài ra, trong [38, Chapter 4] cũng chỉ ra có một thuật toán để biến đổi
bài toán (0.1) về một PTVPĐS rút gọn có dạng (0.6) (dạng không có tính lạ).
Sau đó, sự tồn tại duy nhất nghiệm của PTVPĐS rút gọn được chứng minh
trong [38, Theorem 4.13]. Hơn nữa, nghiệm duy nhất của bài toán rút gọn là
một nghiệm địa phương của PTVPĐS (0.1) ban đầu.
Trong toàn bộ luận án, chúng ta quy ước rằng khi nói đến chỉ số của

PTVPĐS mà không nói gì thêm thì đó là chỉ số vi phân của bài toán. Tiếp
theo, chúng ta sẽ giới thiệu thêm hai lớp PTVPĐS thường gặp sau:
(1) PTVPĐS chỉ số 1 dạng nửa hiện (Hessenberg index-1)
y = F (t, y, z),
0 = G (t, y, z),

∀ t ∈ I,

(1.5)

với một điều kiện đầu (0, y0 , z0 ) tương thích thỏa mãn
G (0, y0 , z0 ) = 0.

(1.6)

Giả thiết rằng, đạo hàm riêng Gz có nghịch đảo bị chặn trong một lân cận của
nghiệm chính xác. Từ phương trình thứ 2 của (1.5) và theo Định lí hàm ẩn, ta
có thể giải được z = R(t, y) trong một lân cận của nghiệm, thế vào phương
trình thứ nhất của (1.5) ta thu được một PTVPT
y = F t, y, R(t, y) .

(1.7)

Như vậy, có thể thấy PTVPĐS (1.5) có chỉ số vi phân bằng 1 nhưng có chỉ số
lạ bằng 0 hay dạng không có tính lạ.
21


(2) PTVPĐS chỉ số 2 dạng nửa hiện (Hessenberg index-2)
y = F (t, y, z),

0 = G (t, y),

(1.8)

∀ t ∈ I,

với một điều kiện đầu (0, y0 , z0 ) tương thích thỏa mãn
G (0, y0 ) = 0,

(1.9)

Gy (0, y0 ) F (0, y0 , z0 ) = 0.

Giả thiết rằng, ma trận Gy Fz có nghịch đảo bị chặn trong một lân cận của
nghiệm chính xác. Để cho đỡ phức tạp, các kí hiệu các hàm F, G được dùng
chung và chúng có thể khác nhau đối với từng lớp bài toán.
Một số dạng PTVPĐS cũng được xem xét trong một số tài liệu như: PTVPĐS
nửa hiện chỉ số 3, PTVPĐS nửa tuyến tính, PTVPĐS nửa ẩn, PTVPĐS tựa
tuyến tính, v.v. Do sự phức tạp cũng như tính phổ biến của bài toán, nên
chúng ta không phân tích các lớp PTVPĐS này.

1.1.2

Phương trình vi phân có chậm và phương trình vi phân đại số
có chậm

Nghiên cứu về phương trình vi phân có chậm (PTVPC) và các phương pháp
số giải PTVPC phát triển mạnh vào những năm 70-80. Tổng hợp các kết quả về
phương pháp số cho PTVPC được trình bày tương đối đầy đủ và hệ thống bởi
A. Bellen và M. Zennaro trong tài liệu [12]. Các khái niệm và các phương pháp

số cho phương trình vi phân đại số có chậm (PTVPĐSC) đều được mở rộng
từ PTVPC. Đến nay vẫn chưa có một tài liệu nghiên cứu một cách hệ thống
về PTVPĐSC và các phương pháp số cho PTVPĐSC. Không những thế, có
rất ít nghiên cứu về phương pháp số giải PTVPĐSC, trong đó chủ yếu là các
phương pháp ẩn và cho lớp các PTVPĐSC nửa hiện.
Dạng tổng quát các PTVPC và PTVPĐSC là
f (t, y (t), y(t), y (t − τ ), y(t − τ )) = 0,

∀ t ∈ I,

(1.10)

trong đó hàm f đủ trơn với các đạo hàm riêng bị chặn, trễ τ > 0 có thể là hằng
số hoặc phụ thuộc vào thời gian t và biến trạng thái y. Nếu f y =
22

∂f
∂y

không


suy biến, ta có trường hợp đơn giản hơn khi phương trình (1.10) có thể được
biến đổi thành một PTVPC dạng
y (t) = ϕ¯ (t, y(t), y (t − τ ), y(t − τ )).

(1.11)

Trường hợp đạo hàm riêng f y suy biến ta gọi phương trình (1.10) là dạng
tổng quát của PTVPĐSC.

Sau đây, chúng ta sẽ mở rộng các khái niệm, phân tích và phân loại các
PTVPĐSC. Xét BTGTĐ cho PTVPĐSC (1.10), khi đó điều kiện ban đầu được
cho bởi
y(t) = φ(t)

với

t ∈ [−τ, 0].

(1.12)

Định nghĩa 1.4. [54, Definition 3.1] Xét PVPĐSC (1.10).
i. Một hàm y : I → Cn được gọi là nghiệm của (1.10) nếu y liên tục, khả vi
liên tục từng khúc và thỏa mãn (1.10) hầu khắp nơi.
ii. Một hàm ban đầu φ được gọi là tương thích nếu BTGTĐ (1.10), (1.12) có
ít nhất một nghiệm.
iii. Bài toán (1.10) được gọi là giải được nếu nó có ít nhất một nghiệm; nó
được gọi là chính quy nếu kết hợp với một điều kiện đầu tương thích thì
BTGTĐ (1.10), (1.12) có nghiệm duy nhất.
Khác với PTVPT và PTVPĐS thì nghiệm của PTVPC và PTVPĐSC thường
chỉ là hàm liên tục và khả vi liên tục từng khúc trong khi nghiệm của PTVPT
và PTVPĐS là một hàm khả vi liên tục. Hơn nữa tính trơn của nghiệm cũng
phụ thuộc nhiều vào các điều kiện đầu và loại trễ. Việc phân loại PTVPĐS
đã tương đối phức tạp, nên đối với PTVPĐSC thì việc phân loại lại càng phức
tạp hơn. Chúng ta có thể phân loại theo loại trễ (là trễ hằng, hay trễ phụ thuộc
biến thời gian hay cả biến trạng thái), hoặc phân loại theo loại trễ, trung tính,
sớm, hoặc có thể phân loại theo đặc trưng của PTVPĐS,.v.v. Có thể thấy rằng,
việc xuất hiện các trễ trong các phương trình làm cho tính chất của nghiệm
bài toán bị thay đổi nhiều vì vậy việc phân loại cho PTVPC và PTVPĐSC theo
đặc trưng loại trễ là phù hợp hơn cả. Trước hết, xét PTVPC vô hướng với một

23


trễ hằng
a1 y (t) + a2 y (t − τ ) + b1 y(t) + b2 y(t − τ ) = f (t),

(1.13)

với các hằng số a1 , a2 , b1 , b2 .
Định nghĩa 1.5. PTVPC (1.13) được gọi là loại trễ (retarded type) nếu a1 = 0
và a2 = 0. Nó được gọi là loại trung tính (neutral type) nếu a1 = 0 và a2 = 0.
Nó được gọi là loại sớm (advanced type) nếu a1 = 0 và a2 = 0.
Với PTVPĐSC, luận án của H. Phi [54] đã đưa ra định nghĩa để từ đó phân
loại cho PTVPĐSC tuyến tính có dạng
E ( t ) y ( t ) = A ( t ) y ( t ) + B ( t ) y ( t − τ ) + γ ( t ).

(1.14)

Đến nay, vẫn chưa có một cách phân loại cho PTVPĐSC tổng quát (1.10). Vì
vậy, chúng ta sẽ chấp nhận cách phân loại này.
Định nghĩa 1.6. [54, Definition 3.6] PTVPĐSC (1.14) được gọi là
i. thuộc loại trễ nếu tất cả các ràng buộc của (1.14) được viết dưới dạng ràng
buộc vô hướng
K+

∑

β =0

( β)

a β (t)y j (t)

K−

=

∑ bα ( t ) y j

(α)

( t − τ ) + γ j ( t ),

(1.15)

α =0

với aK+ = 0, bK− = 0 và K+ > K− .
ii. thuộc loại trung tính nếu tất cả các ràng buộc của (1.14) được viết dưới
dạng (1.15) với K+ ≥ K− và trong đó có ít nhất một trường hợp có dấu
bằng.
iii. thuộc loại sớm nếu tồn tại ít nhất một ràng buộc của (1.14) được viết dưới
dạng (1.15) với K+ < K− .
Theo định nghĩa này, phương trình (1.13) là loại sớm nếu a1 = 0, a2 = 0
và b1 = 0; là loại trung tính nếu a1 = 0 và a2 = 0 hoặc a1 = a2 = 0 và
b1 = 0, b2 = 0; các trường hợp còn lại là loại trễ. Như vậy, việc phân loại theo
Định nghĩa 1.6 đã chú ý cả tới ràng buộc đại số trong khi trong Định nghĩa
1.5 chúng ta chủ yếu đề cập tới thành phần vi phân, điều này là hợp lý với
24