012 đề HSG toán 7 huyện thiệu hóa 2016 2017

PHÒNG GD&ĐT THIỆU HÓA
Đề chính thức

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 7
Năm học 2016-2017

Câu 1 (4,0 điểm) Tính hợp lý
a)

7
18 4 5 19

  
25 25 23 7 23

7 8 7 3 12
.  . 
19 11 19 11 19
7 10 7 9 2
d) .  . 
35 19 35 19 35

b)

c)  25  .125.4.  8  .  17 

Câu 2 (3,0 điểm)
Tính giá trị các biểu thức sau:
1 
1 
1 

1  
1

a) A  . 1 
1 
1 
 ..... 1 

2  1.3  2.4  3.5   2015.2017 
1
b) B  2 x 2  3x  5 với x 
2
0

 2015 
c) C  2 x  2 y  13x3 y 2 ( x  y )  15( y 2 x  x 2 y )  
 , biết x  y  0
 2016 

Câu 3 (4,0 điểm)
2

1
1) Tìm x, y biết  2 x    3 y  12  0


6
3x  2 y 2 z  4 x 4 y  3z
2) Tìm x, y, z biết
và x  y  z  18



4
3
2

Câu 4 (4,0 điểm)
1.Tìm các số nguyên x, y biết x  2 xy  y  3  0
2. Cho đa thức f ( x)  x 101x  101x 101x  ......  101x  101
Tính f (100)
Câu 5 (5,0 điểm)
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn (AB < AC). Vẽ về phía ngoài tam giác ABC các
tam giác đều ABD và ACE. Gọi I là giao điểm của CD và BE, K là giao của AB và
DC.
a) Chứng minh rằng: ADC  ABE
10

9

8

7

0
b) Chứng minh rằng DIB  60

c) Gọi M và N lần lượt là trung điểm của CD và BE. Chứng minh rằng AMN đều
d) Chứng minh rằng IA là phân giác của góc DIE
Câu 5 sau (1,0 điểm)
Cho tam giác ABC vuông tại A có AB  3 cm, AC  4 cm. Điểm I nằm trong tam giác và

cách đều 3 cạnh tam giác ABC. Gọi M là chân đường vuông góc kẻ từ I đến BC. Tính
MB.


ĐÁP ÁN HSG TOÁN 7 THIỆU HÓA 2016-2017
Câu 1.
a)

7
18 4 5 19  7 18   4 19  5
5 5

  


       1  1  
25 25 23 7 23  25 25   23 23  7
7 7

b)

7 8 7 3 12  7 8 7 3  12 7  8 3  12 7 12
.  .    .  .    .       1
19 11 19 11 19  19 11 19 11  19 19  11 11  19 19 19

c)  25 .125.4.(8).(17)  (25).4.125.(8).(17)  (100).(1000).(17)  1700000
d)

7 10 7 9 2
7  10 9  2

7 2
5 1
.  .   .      

35 19 35 19 35 35  19 19  35 35 35 35 7

Câu 2
a)
1 
1 
1 
1 
1


A  . 1 
1 
1 
 ........ 1 

2  1.3  2.4  3.5 
 2015.2017 
1  2.2   3.3   4.4 
 2016.2016  2016
 .
 .
 .
 ......... 

2  1.3   2.4   3.5 

 2015.2017  2017
1
2

1
2

b) Vì x  nên x  hoặc x  

1
2

2

1
1
1
Với x  thì B  2.    3.  5  4

2

2

2

2

1
1
1

Với x   thì B  2.     3.     5  7
2
 2
 2
1
2

Vậy B  4 với x  và B  7 với x  

1
2

c) C  2 x  2 y  13x3 y 2 ( x  y)  15( y 2 x  x 2 y)  

2015 

 2016 

0

 2( x  y)  13x3 y 2 ( x  y)  15xy( x  y)  1  1 (Vì x  y  0)

Câu 3.
2

1
1. Vì  2 x    0 với mọi x; 3 y  12  0 với mọi y, do đó:
6

2

1

 2 x    3 y  12  0 với mọi x, y. Theo đề bài thì:
6

2

1

 2 x    3 y  12  0. Từ đó suy ra:
6


2

1

 2 x    3 y  12  0 . Khi đó
6



1
1
1
 0 và 3 y  12  0  x  và y  4 . Vậy x  ; y  4
6
12
12

3x  2 y 2 z  4 x 4 y  3z
2. Ta có:
. Suy ra


4
3
2
4.(3x  2 y) 3.(2 z  4 x) 2(4 y  3z) 12 x  8 y  6 z  12 x  8 y  6 z



0
16
9
4
29
3x  2 y
x y
Do đó:
 0  3x  2 y   (1)
4
2 3
2z  4x
x z
 0  2 z  4 x   (2)
3
2 4
x y z
Từ (1) và (2) suy ra  

2 3 4
2x 

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
x y z x  y  z 18
  
  2 Suy ra x  4; y  6; z  8
2 3 4 23 4 9

Câu 4
1.Ta có:
x  2 xy  y  3  0  2 x  4 xy  2 y  6  0  2 x  4 xy  2 y  1  5
 2 x 1  2 y   1  2 y   5   2 x  11  2 y   5

Lập bảng:
2x 1
1  2y

x
y

1
5
1
-2
Thỏa mãn

5
1
3

0
Thỏa mãn

-1
-5
0
3
Thỏa mãn

2. Ta có:
f ( x)  x  101x9  101x8  101x 7  .....  101x  101
10

 x10  100 x9  x9  100 x8  x8  100 x 7  x 7  .....  101x  101
 x9  x  100   x8 ( x  100)  x 7 .( x  100)  x 6 ( x  100)  .....  x( x  100)  ( x  101)

Suy ra f (100)  1

-5
-1
-2
1
Thỏa mãn


Câu 5.

E
A
D

J
K

M

N

I

B

C

a) Ta có : AD  AB; DAC  BAE và AC = AE suy ra ADC  ABE (c.g.c)
b) Từ ADC  ABE (câu a)  ABE  ADC mà BKI  AKD (đối đỉnh)
Khi đó xét BIK và DAK suy ra BIK  DAK  600 (dpcm)
c) Từ ADC  ABE (câu a)  CM  EN và ACM  AEN
 ACM  AEN (c.g.c)  AM  AN và CAM  EAN

MAN  CAE  600. Do đó AMN đều

d) Trên tia ID lấy điểm J sao cho IJ  IB  BIJ đều  BJ  BI và
JBI  DBA  600 suy ra IBA  JBD , kết hợp BA  BD
 IBA  JBC (c.g.c)  AIB  DJB  1200 mà BID  600  DIA  600
Từ đó suy ra IA là phân giác của góc DIE


Câu 5 sau

C

M
I
B

A

Vì I nằm trong tam giác ABC cách đều 3 cạnh nên I là giao điểm 3 đường phân
giác trong của tam giác ABC
Tam giác ABC vuông tại A nên tính BC  5 cm
Chứng minh được CEI  CMI  CM  CE
Chứng minh tương tự ta có: AE  AD; BD  BM
Suy ra MB 

BC  AB  AC
2
2