013 đề HSG toán 7 huyện kinh môn 2018 2019

ĐỀ GIAO LƯU OLYMPIC CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2018-2019
MÔN: TOÁN – LỚP 7
Thời gian làm bài: 150 phút

UBND HUYỆN KINH MÔN
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

Câu 1. (2,0 điểm)
3 3 3 1 1 1
 
 
4
11
13
2
3 4
1) Tính M 

5 5 5 5 5 5
 
 
4 11 13 4 6 8
2) Tính
1 1 1
1
1
2
3
2017 2018
A     .... 

;B 


 .... 

2 3 4
2019
2018 2017 2016
2
1
A
Tính
B

Câu 2. (2,0 điểm)
1) Tìm các cặp số nguyên  x, y  thỏa mãn x  2 y  3xy  3
2) CMR với n số nguyên dương thì 3n2  2n2  3n  2n chia hết cho 10
Câu 3. (2,0 điểm)
1) Cho các số dương a, b, c, d ; c  d và

a
CMR:
c

2018

 b 2018 

a


 c

2018

 d 2018

2019

2019

2019

2019

a c
 .
b d

 b2019 

2018

 d 2019 

2018

2) Cho biết 3x  2 y  5z  7 x   xy  yz  xz  500 
Tính giá trị của biểu thức A   3x  y  z 

2018

0

2019

Câu 4. (3,0 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn  AB  AC . Vẽ về phía
ngoài tam giác ABC các tam giác đều ABD và ACE. Gọi I là giao của CD và
BE, K là giao của AB, DC
1) Chứng minh rằng: DC  BE
2) Gọi M và N lần lượt là trung điểm của CD và BE. Tính số đo BIK , AMN
3) Chứng minh rằng IA là phân giác của DIE
Câu 5. (1,0 điểm) Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác. Chứng minh rằng:
ab  bc  ca  a 2  b2  c 2  2  ab  bc  ca 


ĐÁP ÁN
Câu 1.
3 3 3 1 1 1
 
 
4
11
13
2
3 4
1) M 

5 5 5 5 5 5
 
 

4 11 13 4 6 8
1 1 1 
1 1 1
3   
 
4 11 13 

2
3 4  3  2 1


1 1 1  5 1 1 1 5 5
5   
.   
 4 11 13  2  2 3 4 
Vậy M  1
1
2
2017 2018
2) B 

 ...... 

2018 2017
2
1
2019  2018 2019  2017
2019  2 2019  1



 ..... 

2018
2017
2
1


2019 2019
2019


 ....... 
 2019  1  1  ........  1  1


2018 2017
2
2018.... so....hang


1
1
1
 1
 2019.


 .....  
2

 2019 2018 2017
A
1
 2019. A  
B 2019
A
1
Vậy 
B 2019

Câu 2.
1) x  2 y  3xy  3  3x  6 y  9 xy  9  0
 3x  9 xy  6 y  2  7

 3x 1  3 y   2  3 y  1  7
  3 y  1 2  3x   7
Do x, y   3 y  1;2  3x  nên ta có bảng sau


3y 1

1

1

7

7

2  3x

y

7

7

1

1

2
3

0

8
3

2

3

x

Kết luận

Loại

Thỏa mãn

1
Thỏa mãn

Loại

Vậy  x, y   3;0 ; 1; 2 

2) 3n2  2n2  3n  2n  3n  32  1  2n  22  1  3n.10  2n.5

n

10.3 10
, n 
Ta có:  n
n
2
2

2
.5
10


n
  3 .10  2n.5  10, n  



  3n2  2n2  3n  2n  10, n 



Câu 3.
1) Với a, b, c, d  0, c  d , ta có:
a c
a b
a 2018 b 2018
    2018  2018
b d
c d
c
d

a 2018 
a 2018  b 2018 


a 2018 b 2018 a 2018  b 2018


Do đó, 2018  2018  2018
1
2018 2019
2018
2018 2019
c
d
c  d 2018
c
c


d
 


2019

2019

Lại có: a, b, c, d  0, c  d , ta có:

a 2019 
a 2019  b 2019 


a b
a 2019 b 2019 a 2019  b 2019
  2019  2019  2019


 2
2019 2018
2019
2019 2018
c d
c
d
c  d 2019
c 
c  d 

2018

a 
Mà
c 

a 

c 
a
Từ (1), (2), (3) 
c
2018 2019

2019 2018

2018 2019

2019 2018

2018

a 2019.2018
 2019.2018 (3)
c

2018

 b 2018 

a

 c

2018

 d 2018

2019

2019

2019

2019

 b 2019 

2018

 d 2019 

2018


 3x  2 y  0, x, y

2) Ta có:  5 z  7 x  0, x, z

2018

 xy  yz  zx  500   0, x, y, z
2018
 3x  2 y  5z  7 x   xy  yz  xz  500   0, x, y, z
Dấu "  " xảy ra
x y
2  3
3x  2 y  0

x
y
z

z x
 5 z  7 x  0
 
   1
10 15 14
 xy  yz  zx  500  0  7 5

 xy  yz  zx  500


2
2
2
x
y
z
xy
xz

yz xy  yz  xz

1
1  2  2  2   
10 15 14 150 140 210
500
 x  10
x
y
z

  y  15 . Mà
   x, y, z cùng dấu
10 15 14
 z  14


  x, y, z  10;15;14  ;  10; 15; 14 
TH1: x  10, y  15, z  14

Khi đó A   3x  y  z  có giá trị là:  3.10  15  14 
TH2: x  10, y  15, z  14
2019

Khi đó A có giá trị là 3. 10   15  14
Vậy A  1nếu x  10, y  15, z  14
A  1nếu x  10, y  15, z  14

2019

  1

2019

2019

 12019  1

 1


Câu 4.

E
A
D

N

K
M I
B

C

1) Ta có DAC  600  BAC  EAB (1)
Xét ADC và ABE có: AD  AB(ABD đều); DAC  EAB(cmt )
AC  AE (EAC đều)  DAC  BAE(c. g.c)  DC  BE
2) ADC  ABE (cm câu a)  ABE  ADC
Lại có trong BIK : KBI  BKI  KIB  1800

Ta có trong DAK : ADK  DKA  DAK  1800 ; BKI  DKA (đối đỉnh)
 BIK  DAK mà DAK  600 (ABD đều)  BIK  600
ADC  ABE (câu a)  ACM  AEN
1
1
Có DC  BE (câu a)  DC  BE  CM  EN
2
2
 ACM  AEN (c.g.c)
(1)
 CAM  EAN  CAM  CAN  EAN  CAN
 MAN  EAC
Mà EAC đều  EAC  600  MAN  600


1  AM  AN  AMN cân tại A  AMN đều  AMN  600
3) Trên tia ID lấy T sao cho IT  IB  BIT cân tại I mà
BIK  600 (cmt )  BIT đều  BT  BI ; IBT  600
Do đó TBI  DBA (cùng bằng 600 )

 TBI  TBK  DBA  TBK  IBA  TBD
Lại có BA  BD, BT  BI  IBA  TBD(c.g.c)
Mà AIB  DTB  1200 , lại có BID  600  DIA  600
 BID  DIA  IA là tia phân giác của DIE
Câu 5.
Ta có:  a  b   0  a 2  2ab  b2  0  a 2  b2  2ab
2

Tương tự ta cũng có: b2  c2  2bc;

c2  a 2  2ac

 2  a 2  b 2  c 2   2  ab  ac  bc 
 ab  ac  bc  a 2  b 2  c 2

(1)

Dấu "  " xảy ra  a  b  c  ABC đều
Áp dụng bất đẳng thức tam giác, ta có:

a  b  c  ac  bc  c 2 

a  c  b  ab  bc  b 2   a 2  b 2  c 2  2  ab  ac  bc 
b  c  a  ab  ac  a 2 
Từ (1) và (2) ta có: ab  ac  bc  a 2  b2  c 2  2  ab  ac  bc 

(2)