034 đề HSG toán 7 huyện thiệu hóa 2016 2017

PHÒNG GD & ĐT THIỆU HÓA

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 7
Năm học 2016-2017
Môn: TOÁN

Đề chính thức

Câu 1. (4,0 điểm) Tính hợp lý
7
18 4 5 19
a)


 
25 25 23 7 23

7 8 7 3 12
.  . 
19 11 19 11 19
7 10 7 9
2
c)  25  .125.4. 8 . 17 
d) .  . 
35 19 35 19 35
Câu 2. (3,0 điểm) Tính giá trị các biểu thức sau:
1
1 
1 
1  
1


a. A  .1 
1 
1 
 .....1 

2  1.3  2.4  3.5   2015.2017 
1
b. B  2 x2  3x  5 với x 
2
0
 2015 
3 2
2
2
c. C  2 x  2 y  13x y  x  y   15  y x  x y   
 , biết x  y  0
 2016 
Câu 3. (4,0 điểm)
2
1

1. Tìm x, y biết :  2 x    3 y  12  0
6

3x  2 y 2 z  4 x 4 y  3z
2. Tìm x, y, z biết:
và x  y  z  18



4
3
2
Câu 4. (3,0 điểm)
1. Tìm các số nguyên x, y biết: x  2 xy  y  3  0
2. Cho đa thức f  x   x10  101x9  101x8  101x7  ....  101x  101 .
b)

Tính f 100 
Câu 5. (3,0 điểm)
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn  AB  AC . Vẽ về phía ngoài tam giác
ABC các tam giác đều ABD và ACE. Gọi I là giao của CD và BE, K là giao của
AB và DC
a) Chứng minh rằng ADC  ABE
b) Chứng minh rằng DIB  600
c) Gọi M , N lần lượt là trung điểm của CD và BE. Chứng minh rằng AMN
đều
d) Chứng minh rằng IA là phân giác của DIE
Câu 6. (1,0 điểm)
Cho tam giác ABC vuông tại A có AB  3cm, AC  4cm. Điểm I nằm trong
tam giác và cách đều 3 cạnh của tam giác ABC. Gọi M là chân đường vuông góc
kẻ từ I đến BC. Tính MB .


ĐÁP ÁN
Câu 1.

7
18 4 5 19  7 18   4 19  5


  


  
25 25 23 7 23  25 25   23 23  7
5 5
 1  1  
7 7
a)

b)

7 8 7 3 12 7  8 3  12 7
12
.  .   .     .1   1
19 11 19 11 19 19  11 11  19 19
19

c)  25 .125.4. 8 . 17    25 .4.125. 8 . 17 
  100  . 1000  . 17   1700000

d)

7 10 7 9
7  10 9  2
7
2 1
.  .  .      
35 19 35 19 35  19 19  35 35 35 7

Câu 2.
1
1 
1 
1  
1

a ) A  .1 
1 
1 
 .....1 

2  1.3  2.4  3.5   2015.2017 
1 2 2  3 3  4 4
 2016 2016 
  .  . .  . .  .......
.

2 1 3  2 4  3 5
 2015 2017 
1 2 2 3 3 4 4
 2016 2016  2016
 . .  . .  . .  .......
.

2 1 3 2 4 3 5
2015
2017

 2017

2

1
1
1
 x   B  2.   3.  5  4
2
2
1
2
b) Vì x   
2
2 
1
1
1

 x    B  2.    3.    5  7
2

 2
 2

 2015 
c) C  2 x  2 y  13x y  x  y   15  y x  x y   

 2016 
3

2

2

0

2

 2( x  y)  13x3 y 2  x  y   15xy  x  y   1  1 (vì x  y  0)


Câu 3.
2

1

1)Vì  2 x    0 với mọi x; 3 y  12  0 y, do đó:
6

2

1

2
x


  3 y  12  0x, y , theo đề bài thì:
6

2

2

1
1


 2 x    3 y  12  0   2 x    3 y  12  0 . Khi đó:
6
6



1
1


2 x   0
x 
  12
6

3 y  12  0  y  4
2) Ta có:

3x  2 y 2 z  4 x 4 y  3z
. Suy ra


4

3
2

4  3x  2 y  3 2 x  4 x  2  4 y  3z  12 x  8 y  6 z  12 x  8 y  6 z



 0 . Do đó:
16
9
4
29
3x  2 y
x y
 0  3x  2 y   (1)
4
2 3
2z  4x
x z
 0  2 z  4 x   (2)
3
2 4

Từ (1) và (2) suy ra

x y z
  . Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
2 3 4

x y z x  y  z 18

  
  2  x  4; y  6; z  8
2 3 4 23 4 9

Câu 4.
1. Ta có: x  2 xy  y  3  0
 2 x  4 xy  2 y  6  0  2 x  4 xy  2 y  1  5

 2 x 1  2 y   1  2 y   5   2 x  11  2 y   5
Lập bảng


2x  1
1  2y
x
y

1
5
1
-2
Thỏa mãn

5
1
3
0
Thỏa mãn

-1

-5
0
3
Thỏa mãn

-5
-1
-2
1
Thỏa mãn

2. Ta có:
f  x   x10  101x9  101x8  101x 7  ......  101x  101
 x10  100 x9  x9  100 x8  x8  100 x 7  x 7  ......  101x  101
 x9 . x  100   x8  x  100   x 7  x  100   ......  x  x  100    x  101

Vậy f 100   1
Câu 5.

E
A
D

J
B

N
K
IM
C

a) Ta có AD  AB, DAC  BAE và AC  AE  ADC  ABE (c.g.c)
b) Từ ADC  ABE (câu a)  ABE  ADC, mà BKI  AKD (đối đỉnh)
Khi đó xét BIK và DAK suy ra BIK  DAK  600 (dfcm)
c) Từ ADC  ABE (câu a)  CM  EN , ACM  AEN


 ACM  AEN (c.g.c)  AM  AN và CAM  EAN

 MAN  CAE  600. Do đó AMN đều
d) Trên tia ID lấy điểm J sao cho IJ  JB  BIJ đều
 BJ  BI và JBI  DBA  600  IBA  JBD, kết hợp BA  BD

 IBA  JBD  c.g.c   AIB  DJB  1200 mà BID  600

 DIA  600  IA là phân giác của DIE
Câu 6.

A
E
D
I
C
B

M

Vì I nằm trong tam giác ABC cách đều 3 cạnh nên I là giao 3 đường phân giác
trong tam giác ABC
Tam giác ABC vuông tại A nên tính BC  5cm

Chứng minh được CEI  CMI  CE  CM
Chứng minh tương tự : AE  AD, BD  BM
Suy ra MB   BC  AB  AC  : 2  2