134 đề HSG toán 7 huyện hoằng hóa 2016 2017

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HUYỆN HOẰNG HÓA

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 7
NĂM HỌC 2016-2017
MÔN THI: TOÁN
Ngày thi: 16/03/2017

Câu 1. (4,5 điểm)
a) Tính giá trị của biểu thức
b) Tính giá trị của biểu thức B  2 x2  3x  1 với x 
c) Tìm 3 số x, y, z biết rằng:

1
2

x y y z
 ;  và x  y  z  110
3 7 2 5

Câu 2. (4,5 điểm)
a) Tìm tập hợp các số nguyên x, biết rằng:
5 5
31  
1
 1
4 : 2  7  x   3 : 3,2  4,5.1  :  21 
9 18
45  
2
 5

1
1
1
1
1
 x
 .....  x 
 11x
b) Tìm x, biết: x   x   x 
2
6
12
20
110
c) Tính giá trị của biểu thức C  2 x5  5 y3  2015 tại x, y thỏa mãn:
x  1   y  2  0
20

Câu 3. (3,5 điểm)
a) Tìm số tự nhiên có ba chữ số, biết rằng số đó là bội của 18 và các chữ số của
nó tỉ lệ theo 1: 2 : 3
b) Tìm tất cả các số tự nhiên a, b sao cho: 2a  37  b  45  b  45
Câu 4. (6,0 điểm)
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn  AB  AC . Vẽ về phía ngoài tam giác
ABC các tam giác đều ABD và ACE. Gọi I là giao của CD và BE, K là giao của
AB và DC.
a) Chứng minh rằng : ADC  ABE
b) Chứng minh rằng: DIB  600
c) Gọi M và N lần lượt là trung điểm của CD và BE. Chứng minh rằng
AMN đều

d) Chứng minh rằng IA là phân giác của DIE
Câu 5. (1,5 điểm)
Cho 20 số nguyên khác 0: a1, a2 , a3 ,....., a20 có các tính chất sau:
* a1 là số dương
*Tổng của ba số viết liền nhau bất kỳ là một số dương.
*Tổng của 20 số đó là số âm
Chứng minh rằng: a1.a14  a14 .a12  a1.a12


ĐÁP ÁN
Câu 1.
 4 2  2  3 3  2
a) A  
 :    :
 7 5 3  7 5 3
2
 4 2 3 3  2

 
 :  0:  0
3
 7 5 7 5 3
1
1
b) Vì x   x  
2
2
2
1
1

1
Với x  thì A  2.   3.  1  0
2
2
2
2

1
 1
 1
Với x   thì A  2.    3.    1  3
2
 2
 2
1
1
Vậy A  0 với x  và A  3 với x  
2
2
x y
x y y z
y
z
x y
z
c)
Từ    ;      
3 7
6 14 2 5 14 35
6 14 35

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
x y
z
x yz
110
 


 2
6 14 35 6  14  35
55
 x  2.6  12; y  2.14  28; z  2.35  70
Vậy x  12, y  28, z  70
Câu 2.
5 5
41 18
a)Ta có: 4 : 2  7  .  7  2  7  5 . Lại có:
9 18
9 41
31  
1   16 5 9 76   43   38  2 43 2 2
 1
 3 : 3,2  4,5.1  :  21    .  .  :    1  .  . 
45  
2   5 16 2 45   2  
5  43 5 43 5
 5
2
Do đó 5  x 
mà x   x 4; 3; 2; 1

5
b) Nhận xét: Vế trái của đẳng thức luôn  0 nên vế phải  0  11x  0  x  0
Với x  0 ta có:
1
1
1
1
1
x  x  x
 x
 .....  x 
 11x
2
6
12
20
110
1
1
1
1
1
 x x x x
 .....  x 
 11x
2
6
12
20
110

1 10
 x  1   (tm)
11 11


10
11
20
20
c) Do x  1  0;  y  2   0  x  1   y  2   0 với mọi x, y
Vậy x 


x  1
20
 x 1  0
Kết hợp x  1   y  2   0  

20
y  2

 y  2   0 
Giá trị của biểu thức C  2 x5  5 y3  2015 tại x  1, y  2 là:

C  2.15  5. 2   2015  2057
Vậy C  2057
Câu 3.
a) Gọi a, b, c là các chữ số của số có ba chữ số cần tìm. Không mất tính tổng
quát, giả sử a  b  c  9 , ta có: 1  a  b  c  27
Mặt khác do số cần tìm là bội của 18 nên là bội của 9

Do đó a  b  c  9  a  b  c  18  a  b  c  27
a b c abc
Theo đề bài ta có:   
1 2 3
6
Như vậy a  b  c chia hết cho 6, nên a  b  c  18
Từ đó suy ra a  3, b  6, c  9
Do đó số phải tìm là bội của 18 nên chữ số hàng đơn vị chẵn.
Vậy hai số cần tìm là 396,936
b) Nhận xét : với x  0 thì x  x  2 x
Với x  0 thì x  x  0. Do đó x  x luôn là số chẵn với b
3

Suy ra 2a  37 là số chẵn  2a lẻ  a  0
Khi đó b  45  b  45  38
Nếu b  45 , ta có:   b  45  b  45  38  0  38(ktm)
Nếu b  45 , ta có: 2  b  45  38  b  64(tm)
Vậy  a, b    0;64 


Câu 4.

E

A
D

N
J
K

I

M

B
C
a) Ta có: AD  AB, DAC  BAE và AC  AE  ADC  ABE (c.g.c)
b) Từ ADC  ABE  ABE  ADC mà BKI  AKD (đối đỉnh)
Khi đó xét BIK và DAK suy ra BIK  DAK  600 (dfcm)
c) Từ ADC  ABE  CM  EN , ACM  AEN
 ACM  AEN (c.g.c)  AM  AN và CAM  EAN

MAN  CAE  600. Do đó AMN đều
d) Trên tia ID lấy điểm J sao cho IJ  IB  BIJ đều  BJ  BI và
JBI  DBA  600  IBA  JBD, kết hợp BA  BD
 IBA  JBD(c.g.c)  AIB  DJB  1200 mà BID  600

 DIA  600. Từ đó suy ra IA là phân giác của DIE
Câu 5.
Ta có:
a1   a2  a3  a4   ......   a11  a12  a13   a14   a15  a16  a17    a18  a19  a20   0
a1  0, a2  a3  a4  0;.....; a11  a12  a13  0; a15  a16  a17  0; a18  a19  a20  0  a14  0
Cũng như vậy:


 a1  a2  a3   ......   a10  a11  a12   a13  a14   a15  a16  a17    a18  a19  a20   0
 a13  a14  0
Mặt khác, a12  a13  a14  0  a12  0
Từ các điều kiện a1  0; a12  0; a14  0  a1.a14  a14.a12  a1a12 (dfcm)