Vận dụng mô hình hóa toán học trong dạy học phương trình bậc hai đại số lớp 9

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƢỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC

NGUYỄN THANH TÂM

VẬN DỤNG MÔ HÌNH HÓA TOÁN HỌC
TRONG DẠY HỌC PHƢƠNG TRÌNH BẬC HAI ĐẠI SỐ LỚP 9

LUẬN VĂN THẠC SĨ SƢ PHẠM TOÁN

HÀ NỘI – 2019


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƢỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC

NGUYỄN THANH TÂM

VẬN DỤNG MÔ HÌNH HÓA TOÁN HỌC
TRONG DẠY HỌC PHƢƠNG TRÌNH BẬC HAI ĐẠI SỐ LỚP 9

LUẬN VĂN THẠC SĨ SƢ PHẠM TOÁN
CHUYÊN NGÀNH: LÝ LUẬN VÀ PHƢƠNG PHÁP DẠY HỌC BỘ MÔN TOÁN

Mã số: 8.14.01.11

Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: TS. Lê Văn Hồng

HÀ NỘI – 2019

LỜI CẢM ƠN
Sau một thời gian nghiên cứu, cố gắng học tập và làm việc nghiêm túc, tác
giả đã hoàn thành luận văn này.
Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành và biết ơn đến thầy giáo Tiến sĩ Lê
Văn Hồng, giảng viên trƣờng Đại học Thủ đô Hà Nội đã hƣớng dẫn, động viên và
góp ý để tác giả hoàn thành luận tốt luận văn này.
Tác giả xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới các thầy, cô giáo trƣờng Đại học Giáo
dục, Đại học Quốc gia Hà Nội đã tận tình giảng dạy, hƣớng dẫn, gợi ý và cho
những lời khuyên bổ ích suốt quá trình học tập và nghiên cứu tại trƣờng.
Dù đã rất cố gắng đầu tƣ thời gian nghiên cứu song luận văn khó tránh khỏi
những thiếu sót. Tác giả rất mong nhận đƣợc nhận xét và góp ý của các thầy, cô
giáo để tác giả có đƣợc những định hƣớng tốt hơn trong hƣớng nghiên cứu tiếp
theo.
Tác giả xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, ngày 15 tháng 2 năm 2019
Tác giả

Nguyễn Thanh Tâm

i


DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT
Viết tắt

Viết đầy đủ

GD&ĐT

Giáo dục và Đào tạo

GQVĐ

Giải quyết vấn đề

GV

Giáo viên

HS

Học sinh

MHH

Mô hình hóa

Nxb

Nhà xuất bản

PT

Phƣơng trình

SGK

Sách giáo khoa

t1

Tập 1

t2

Tập 2

TPHCM

Thành phố Hồ Chí Minh

tr.

Trang

THCS

Trung học cơ sở

ii


DANH MỤC HÌNH VÀ BẢNG
Danh mục các hình
Hình 1.1. Sơ đồ mô hình hóa toán học.................................................................

8

Hình 1.2. Chu trình mô hình hóa 7 bƣớc của Blum...........................................

11

Hình 1.3. Chu trình mô hình hóa của Stillman....................................................

12

Hình 1.4. Chu trình mô hình hóa theo PISA........................................................ 13
Hình 2.1. Biểu đồ tăng dân số thành phố Hà Nội................................................

26

Danh mục các bảng
Bảng 1.2. Bảng thống kê ý kiến GV....................................................................

23

Bảng 3.1. Bảng thống kê ý kiến của học sinh hai lớp thực nghiệm..................

65

Bảng 3.2. Kết quả đầu ra của hai lớp trƣờng THCS Phú La................................ 66
Bảng 3.3. Kết quả đầu ra của hai lớp trƣờng PTQT Việt Nam............................ 67
Bảng 3.4. Tỉ lệ phần trăm năng lực MHH của HS trƣờng PT Quốc tế VN.......
Bảng 3.5. Tỉ lệ phần trăm năng lực MHH của HS trƣờng THCS Phú La

iii

68
58

DANH MỤC CÁC BIỂU ĐỒ
Biểu đồ 1.1. Mong muốn biết thêm ứng dụng thực tiễn của những kiến thức
toán học............................................................................................................. 19
Biểu đồ 1.2. Mức độ thƣờng xuyên tự tìm hiểu những ứng dụng trong thực
tiễn của toán học............................................................................................... 19
Biểu đồ 1.3. Mức độ thƣờng xuyên giảng giải mối liên hệ toán học với thực
tiễn của GV....................................................................................................... 20
Biểu đồ 1.4. Mối liên hệ giữa chủ để giải bài toán bằng cách lập phƣơng
trình với thực tiễn và với môn học khác..........................................................

21

Biểu đồ 1.5. Mức độ khó khăn trong việc giải bài toán bằng cách lập
phƣơng trình.....................................................................................................

iv

21


MỤC LỤC
LỜI CẢM ƠN............................................................................................................i
DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT........................................................................ii
DANH MỤC HÌNH VÀ BẢNG...............................................................................iii
DANH MỤC CÁC BIỂU ĐỒ...................................................................................iv
MỞ ĐẦU ................................................................................................................ 1
1. Lý do chọn đề tài ................................................................................................. 1
2. Mục đích nghiên cứu ........................................................................................... 2
3. Đối tƣợng và khách thể nghiên cứu ..................................................................... 2

4. Câu hỏi nghiên cứu.............................................................................................. 2
5. Giả thuyết khoa học ............................................................................................. 3
6. Nhiệm vụ nghiên cứu .......................................................................................... 3
7. Phƣơng pháp nghiên cứu ..................................................................................... 3
8. Đóng góp của luận văn ........................................................................................ 4
9. Cấu trúc luận văn................................................................................................. 4
CHƢƠNG 1.CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN .................................................. 5
1.1. Tổng quan nghiên cứu ...................................................................................... 5
1.2. Hệ thống khái niệm .......................................................................................... 6
1.2.1. Mô hình ......................................................................................................... 6
1.2.2. Mô hình toán học ........................................................................................... 6
1.2.3. Mô hình hóa toán học .................................................................................... 8
1.3. Bài toán thực tiễn và bài toán phỏng thực tiễn .................................................. 8
v


1.4. Dạy học theo hƣớng vận dụng mô hình hóa .................................................... 10
1.5. Chu trình hoạt động mô hình hóa.................................................................... 11
1.5.1. Cơ sở lí luận ................................................................................................ 11
1.5.2. Đề xuất chu trình hoạt động mô hình hóa toán học ...................................... 13
1.6. Ý nghĩacủa dạy học theo hƣớng vận dụng mô hình hóa..................................16
1.7. Thực trạng vận dụng mô hình hóa trong dạy học phƣơng trình bậc hai........... 17
1.7.1. Về bài toán nội dung mô hình hóa chủ đề phƣơng trình bậc hai ................... 17
1.7.2. Thực trạng vận dụng mô hình hóa trong dạy học phƣơng trình bậc hai ........ 18
Kết luận chƣơng 1 ................................................................................................. 23
CHƢƠNG 2.THIẾT KẾ MỘT SỐ HOẠT ĐỘNG MÔ HÌNH HÓA TRONG DẠY
HỌC PHƢƠNG TRÌNH BẬC HAI ĐẠI SỐ LỚP 9.............................................. 24
2.1. Định hƣớng xây dựng hoạt động mô hình hóa ................................................ 24
2.2. Thiết kế hoạt động mô hình hóa chủ đề phƣơng trình bậc hai ......................... 26
2.3. Xây dựng hệ thống bài tập mô hình hóa ......................................................... 43

Kết luận chƣơng 2 ................................................................................................. 62
CHƢƠNG 3.THỰC NGHIỆM SƢ PHẠM............................................................ 63
3.1. Mục đích thực nghiệm sƣ phạm ...................................................................... 63
3.2. Nội dung thực nghiệm sƣ phạm ...................................................................... 63
3.3. Tổ chức thực nghiệm sƣ phạm ........................................................................ 63
3.4. Phân tích kết quả thực nghiệm sƣ phạm .......................................................... 64
Kết luận chƣơng 3 ................................................................................................. 69
KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ ........................................................................ 70
TÀI LIỆU THAM KHẢO ..................................................................................... 71
vi


PHỤ LỤC

vii


MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Toán học có liên hệ mậtzthiết với thực tiễn và có ứngzdụng rộngzrãi trong
nhiều lĩnhzvực khácznhau của đời sống. Tăng cƣờngztính thựcztiễn trongzdạy
họczToán đóng vaiztrò rất quanztrọng trong hìnhzthành và phátztriển năngzlực mô
hình hóa (MHH) cho học sinh (HS). Liên hệ thựcztiễn giúp HS họcztập Toánztích
cực, chủzđộng và cózý nghĩazhơn.
Đặc điểm nổi bật trong Chƣơng trình đánh giá HS quốc tế PISA là nội dung
đánh giá đƣợc xác định dựa trên các kiến thức, kỹ năng cần thiết. Một trong các
năng lực đƣợc đánh giá trong PISA là năng lực toán học phổ thông, với năng lực
này, PISA đề xuất 7 năng lực toán học cơ bản trong đó có năng lực “Mô hình hóa
toán học” [3].
Theo Chƣơngztrình giáozdục phổ thôngztổng thể (2017): “Giáozdục

toánzhọc hình thànhzvà phátztriển cho HS năngzlực toán học với các thành tố
cốtzlõi là: năng lựcztƣ duy và lập luậnztoán học, năngzlực MHH toánzhọc, năng
lực giảizquyết vấnzđề toánzhọc… tạo cơzhội để học sinh đƣợc trảiznghiệm,
ápzdụng toán họczvào đời sốngzthực tiễn. Giáo dục toánzhọc tạozdựng sự kếtznối
giữa cáczý tƣởngztoán học, giữaztoán học với cáczmôn học kháczvà giữa toánzhọc
vớizđời sống thựcztiễn” [4]. Nhƣ vậy, năng lực MHH toán học hay giải quyết vấn
đề toán học gắn với thực tiễn đƣợc chú trọng và đề cao trong tất cả các năng lực
toán học cần có ở HS.
MHH trongzdạy họcztoán là quá trình giúp HS tìmzhiểu, khámzphá các tình
huốngznảy sinh từzthực tiễnzbằng côngzcụ và ngônzngữ toánzhọc với sựzhỗ trợ
của công nghệzthông tin [12]. Vậnzdụng MHH toánzhọc trongzgiảng dạyzgiúp GV
phátzhuy tínhztích cực trongzhọc tậpzcủa HS, giúp HS có thể tự trả lời câu hỏi
“Mônztoán cózứngzdụng gì trong thựcztiễn và có vaiztrò quan trọngzgì trong
việczgiải thích các hiệnztƣợng thựcztiễn?”. Điều nàyzcó ý nghĩazrất lớn trongzviệc
gợizđộng cơ học tập ngay từ đầu chozHS.
1


Những năm gần đây, đã xuất hiện một số nghiên cứu về vận dụng MHH
trong dạy học toán, tuy nhiên số lƣợng nghiên cứu chƣa nhiều, đặc biệt là các
nghiên cứu về vận dụng MHH trong dạy học toán Trung học cơ sở (THCS). Hơn
nữa, qua thực tế giảng dạy, nhiều GV cho biết HS rất hay gặp khó khăn và dễ nản
chí khi gặp những bài toán có lời văn. HS không biết phải đặt ẩn và biểu diễn các
đại lƣợng của bài toán theo ẩn nhƣ nào cho đúng, từ đó lập đƣợc phƣơng trình và
tìm kết quả chính xác cho bài toán.
Xuất phát từ những lí do trên, tôi chọn đề tài nghiên cứu luận văn: “Vận
dụng mô hình hóa toán học trong dạy học Phương trình bậc hai Đại số lớp 9”.
2. Mục đích nghiên cứu
Mục đích nghiên cứu của luận văn là vận dụng MHH toán học trong dạy học
Phƣơng trình bậc hai Đại số lớp 9, góp phần nâng cao hiệu quả dạy học môn toán ở

trƣờng THCS, giúp HS rèn luyện năng lực MHH toán học.
3. Đối tƣợng và khách thể nghiên cứu
3.1. Khách thể nghiên cứu
Quá trình dạy học môn toán ở trƣờng THCS và quá trình sử dụng các kiến
thức toán học mô tả các tình huống thực tiễn.
3.2. Đối tượng nghiên cứu
Vận dụng MHH toán học trong dạy học Phƣơng trình bậc hai Đại số lớp 9.
3.3. Phạm vi nghiên cứu
Lớp 9 trƣờng THCS Phú La (Hà Đông, Hà Nội) và lớp 9 trƣờng Phổ thông
Quốc tế Việt Nam (Hà Đông, Hà Nội).
4. Câu hỏi nghiên cứu
- Câu hỏi 1: Thực trạng dạy học Đại số 9 – chủ đề phƣơng trình bậc hai) hiện
nay từ quan điểm vận dụng MHH trong dạy học Toán ra sao?
- Câu hỏi 2: Có thể vận dụng MHH trong dạy học Đại số 9 - chủ đề phƣơng
trình bậc hai nhƣ thế nào?
2


- Câu hỏi 3: Việc thực hiện vận dụng MHH nhƣ vậy đƣợc thực tiễn chấp nhận
nhƣ thế nào?
5. Giả thuyết khoa học
Thiết kế và vận dụngzMHH toán học tổ chứczhoạt độngzhọc tập chủ đề
Phƣơngztrình bậc hai sẽzhình thành vàzphát triểnzcác năng lựczMHH toánzhọc
chozHS.
6. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Xây dựng hệ thống khái niệm cơ bản; tìm hiểu thực trạng dạy và học Toán
lớp 9 theo hƣớng vận dụng MHH.
- Xây dựng hệ thống bài tập vận dụng MHH toán học trong dạy học Phƣơng
trình bậc hai – Đại số lớp 9.
- Thực nghiệm sƣ phạm để đánh giá tính khả thi, hiệu quả của việc vận dụng

MHH toán học trong dạy học môn toán ở trƣờng THCS.
7. Phƣơng pháp nghiên cứu
7.1. Phương pháp nghiên cứu lý luận
- Tìmzhiểu, nghiên cứu tài liệuztrong và ngoàiznƣớc vềzcác vấn đề có liên
zz

quan đến đề tài luận văn.
- Nghiên cứu sách giáo khoa (SGK) toán 9 – Phần Đại số chủ đề Phƣơng trình
bậc hai và các tài liệu tham khảo toán 9 số phục vụ hoàn thành luận văn.
7.2. Phương pháp điều tra, quan sát
Quan sát, điểu tra thực trạng vận dụng MHH toán học trong dạy học môn
toán lớp 9 ở trƣờng THCS qua các hình thức: sử dụng phiếu điều tra, dự giờ, quan
sát, nhật ký ghi chép, phỏng vấn trực tiếp GV ở trƣờng THCS.
7.3. Phương pháp nghiên cứu trường hợp
Phỏng vấn trực tiếp nhóm học sinh.

3


7.4. Phương pháp thực nghiệm sư phạm
- Dạy thực nghiệm, kiểm tra kết quả trƣớc và sau khi thực nghiệm của lớp
thực nghiệm và lớp đối chứng.
- Xử lý số liệu điều tra, số liệu thu đƣợc từ các bài kiểm tra trong quá trình
thực nghiệm nhằm bƣớc đầu kiểm chứng tính khả thi, tính hiệu quả của giả
thuyết nghiên cứu.
8. Đóng góp của luận văn
8.1. Những đóng góp về mặt lý luận
- Góp phần làm rõ thêm vai trò quan trọng của việc vận dụng MHH toán học
giải quyết một số bài toán có nội dung thực tiễn.
- Đề xuất đƣợc quan điểm cơ bản đối với việc thiết kế một số hoạt động MHH

trong dạy học toán và xây dựng hệ thống bài tập MHH, cũng nhƣ đƣa ra
những gợi ý, chỉ dẫn về việc vận dụng MHH toán học giải quyết hệ thống bài
tập đó.
8.2. Những đóng góp về mặt thực tiễn
- Nâng caozhiệu quảzdạy và họcznội dung Đạizsố lớp 9 – Phƣơngztrình
bậczhai, tăngzcƣờng tính ứng dụng thựcztiễn củaztoán trong chƣơng trình môn
toán ở trƣờng THCS.
- Kết quả luận văn nhƣ một tài liệu tham khảo cho GV và HS trong giảng
dạy và học tập môn toán ở trƣờng THCS.
9. Cấu trúc luận văn
Chƣơng 1: Cơzsở lízluận vàzthực tiễn
Chƣơng 2: Thiết kế một số hoạt động mô hình hóa trong dạy học Đại số lớp 9
Chƣơng 3: Thựcznghiệm sƣzphạm

4


CHƢƠNG 1
CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1.1. Tổng quan nghiên cứu
Những năm gần đây, đã xuất hiện một số nghiên cứu về MHH trong dạy học
toán, điển hình phải kể đến nhƣ:
Tác giả Nguyễn Thị Tân An (2012) với nghiên cứu “Sự cần thiết của mô
hình hóa trong dạy học toán” đƣợc đăng trên tạp chí Khoa học – Đại học sƣ phạm
TPHCM [1]. Nghiên cứu đã chỉ ra MHH toán học sẽ là cầu nối các suy luận trong
lớp học và suy luận trong những tình huống thực tế. Bài báo trình bày một số lí do
cần thiết của MHH trong dạy học toán, chỉ ra các yếu tố cơ bản của chu trình MHH
và minh họa cho các yếu tố đó. Bên cạnh đó, bài báo giới thiệu tóm tắt về lịch sử và
các tiếp cận lí thuyết về MHH trong giáo dục toán để thấy đƣợc sự quan tâm của
thế giới trong lĩnh vực này.

Tác giả Nguyễn Thị Tân An (2013) với bài báo “Xây dựng các tình huống
dạy học hỗ trợ quá trình toán học hóa” đăng trên Khoa học – Đại học sƣ phạm
TPHCM [2]. Bài báo giới thiệu quá trình toán học hóa cùng với các gợi ý xây dựng
tình huống dạy học hỗ trợ quá trình này, đồng thời bài báo cũng đã trình bày các
phân loại các tình huống toán học giúp cho việc sử dụng các tình huống vào dạy
học thuận lợi và đúng mục đích hơn.
Tác giả Lê Thị Hoài Châu (2014) với nghiên cứu “Mô hình hóa trong dạy
học khái niệm đạo hàm” đƣợc đăng trên tạp chí Khoa học – Đại học sƣ phạm
TPHCM [5]. Bài báo đã đề xuất đƣợc quy trình MHH với 4 bƣớc cơ bản nhằm
hƣớng đến dạy học khái niệm đạo hàm cho HS, Bên cạnh đó, nghiên cứu cũng đã
nhấn mạnh sự khác biệt giữa dạy học MHH và dạy học bằng MHH từ trình bày của
Lê Văn Tiến (2005).
Tác giả Nguyễn Danh Nam (2015) với nghiên cứu “Quy trình mô hình hóa
trong dạy học toán ở trƣờng phổ thông” đăng trên tạp chí Khoa học ĐHQGHN. Đề
5


tài đã điều chỉnh và đề xuất quy trình mô hình hóa với 7 bƣớc nhằm đơn giản hóa
và dễ hiểu hơn đối với HS phổ thông [12].
Tác giả Phan Thị Thu Hiền (2015) với luận văn “Vận dụng phƣơng pháp mô
hình hóa trong dạy học Đại số lớp 10 ở trƣờng trung học phổ thông”. Luận văn tập
trung nghiên cứu và đề xuất những mô hình toán học về hàm số, phƣơng trình, hệ
bất phƣơng trình và tổ chức thực nghiệm khá thành công. Đa phần học sinh rất
hứng thú và đạt đƣợc cấp độ cao về năng lực mô hình hóa [8].
Tác giả Nguyễn Thị Hƣơng (2016) với đề tài “Phát triển năng lực mô hình
hóa toán học ở học sinh khi dạy học các bài toán bằng cách lập phƣơng trình, hệ
phƣơng trình”. Đề tài đã đƣa ra một số hoạt động và phƣơng pháp nhằm phát triển
năng lực MHH toán học cho HS trong dạy học phƣơng trình, đề tài đã thực nghiệm
và cho kết quả khả thi [9].
1.2. Hệ thống khái niệm

1.2.1. Mô hình
Theo Chevallard (1989): Mô hình là một mẫu, một đại diện, một minh họa
đƣợc thiết kế để mô tả cấu trúc của hệ thống, cách vận hành của một hoặc các sự
vật, hiện tƣợng thuộc hệ thống này [5].
Tác giả Nguyễn Danh Nam trong nghiên cứu “Quy trình mô hình hóa trong
dạy học Toán ở trƣờng phổ thông” đã đƣa ra định nghĩa: Mô hình đƣợc mô tả nhƣ
một vật dùng thay thế mà qua đó ta có thể thấy đƣợc các đặc điểm đặc trƣng của
vật thể thực tế. Thông qua mô hình, ta có thể thao tác và khám phá các thuộc tính
của đối tƣợng mà không cần đến vật thật [12].
Tóm lại, mô hình là một hình thức mô tả, minh họa thay thế mà qua đó ta
thấy đƣợc các đặc điểm, đặc trƣng của vật thể thực tế.
1.2.2. Mô hình toán học
Mô hình toán học là một mô hình sử dụng ngôn ngữ toán để mô tả về một hệ
thống. Mô hình toán học đƣợc sử dụng nhiều trong các ngành khoa học tự nhiên và
6


chuyên ngành kĩ thuật (ví dụ: vật lý, sinh học, và kĩ thuật điện tử) đồng thời trong
cả khoa học xã hội (nhƣ kinh tế, xã hội học và khoa học chính trị).
- Mô hình về sự phát triển của dân số của Maỉhus: Giả sử tỉ lệ ngƣời sinh ra
là b và tỉ lệ ngƣời chết đi là d đều là những hằng sô, thì tỷ lệ gia tăng dân số là
r = b – d cũng là một hằng số. Giả sử thời kỳ đầu (t = 0) dân số là N0 thì dân số tại
thời điểm t là Nt = N0.ert cũng chính là nói dân số tăng theo cấp số nhân.
- Mô hình mô tả hành vi của khách hàng: Khách hàng mong muốn mua
nhiều nhất các mặt hàng trong số tiền hiện có. Trong mô hình này, ta xem xét
trƣờng hợp một khách hàng phải lựa chọn để mua trong số n mặt hàng đƣợc đánh
nhãn 1,2,...,n, mỗi thứ có giá là p1, p2,..., pn. Giả thiết rằng khách hàng có một hàm
tiện ích U với mục đích là gán một giá trị (tƣơng ứng cho số lƣợng) với mỗi mặt
hàng mà khách hàng định mua x1, x2,..., xn. Mô hình còn giả thiết là khách hàng sở
hữu số tiền giá trị M dùng để mua các mặt hàng và mục đích là cực

đại U(x1, x2,..., xn). Bài toán cần giải quyết về mô hình hành vi của khách hàng trở
thành bài toán tối ƣu hóa, nghĩa là:
MaxU ( x1 , x2 , ..., xn ) thỏa mãn

n

px M
i 1

i i

; xi  0 i 1,2,..., n

Nhƣ vậy, mô hình toán học là sự thay thế cho vấn đề cần nghiên cứu trong
toán học và thƣờng đƣợc thể hiện bằng ngôn ngữ toán học, trong đó ngôn ngữ toán
học có thể là các kí hiệu toán học, có thể là các hình vẽ sơ đồ, bảng biểu...).
Ví dụ 1.2.1: Trong kho có 500 tấn hàng, mỗi ngày ngƣời ta lấy đi 30 tấn
hàng. Hỏi số hàng còn lại trong kho là bao nhiêu tấn sau 2 ngày, 4 ngày, 10 ngày?
Mô hình toán học của tình huống này là hàm số bậc nhất y = 500 – 30x. Nhờ
mô hình này, có thể trả lời dễ dàng: x = 2 thì y = 440; nếu x = 4 thì y = 380; x = 10
thì y = 200.
Hay trong giải bài toán bằng cách lập phƣơng trình, phƣơng trình là một mô
hình toán học đã xuất hiện trong quá trình hình thành vài giải bài toán.
7


1.2.3. Mô hình hóa toán học
MHH toán học: Có thể hiểu theo nghĩa hẹp là quá trình toán học hóa để xuất
hiện mô hình toán học. Nghĩa là, ngƣời học cần vận dụng các tri thức vào việc giải
các bài toán thực tiễn, ở đó phải xây dựng mô hình toán học.

MHH toán học: có thể hiểu theo nghĩa rộng là quá trình giải quyết vấn đề
thực tiễn bằng công cụ toán học. Trong quá trình đó có xuất hiện mô hình toán học,
làm việc với mô hình và hoàn thiện để có mô hình tốt nhất có thể.
Hình 1.1. Sơ đồ mô hình hóa toán học

Tác giả Lê Thị Hoài Châu đã đƣa ra khái niệm MHH toán học nhƣ sau:
MHH toán học là quá trình thiết lập một mô hình toán học cho vấn đề ngoài toán
học, giải quyết vấn đề trong mô hình đó, rồi thể hiện và đánh giá lời giải trong ngữ
cảnh thực tế, cải tiến mô hình nếu cách giải quyết không thể chấp nhận [5].
1.3. Bài toán thực tiễn và bài toán phỏng thực tiễn
Theo Lê Văn Tiến (2005), bài toán nội dung thực tiễn là bài toán mà các dữ
kiện, các biến, các yêu cầu, các câu hỏi, các mối quan hệ,... chứa đựng trong bài
toán đều là các yếu tố của thực tiễn “thực” [14].Thực tiễn có thể từ nội dung ngành
toán học khác (Đại số coi Hình học thuộc ngành khác), có thể từ môn học khác (các
bài toán về chuyển động trong vật lí hay các bài toán về tỉ lệ các chất từ hóa học) và
có thể từ thực tiễn đời sống nhƣ bài toán liên quan đến tài chính tiền tệ lãi suất, hay
bài toán liên quan đến năng suất lao động, làm chung công việc…).
Bài toán phỏng thực tiễn là bài toán mà các dữ kiện, các biến, các yêu cầu,
các câu hỏi, các mối quan hệ,…không phải là các yếu tố của thực tiễn “thực”mà chỉ
là sự mô phỏng (hay phản chiếu) của thực tiễn này. Sự sai biệt giữa bài toán nội
8


dung thực tiễn và bài toán thực tiễn là hệ quả của hệ thống dạy học. Chẳng hạn, giá
trị của các dữ kiện đƣợc cho trong bài toán thƣờng đƣợc chọn sao cho việc tính
toán không quá phức tạp, kết quả giải (đáp số) đẹp hơn. Nhƣ vậy các bài toán có áp
dụng tri thức toán trong chƣơng trình Toán phổ thông sẽ chủ yếu là các bài toán
phỏng thực tiễn.
Việc giải bài toán thực tiễn hay bài toán phỏng thực tiễn chính là quá trình
giải bài toán toán học, nghĩa là HS cần chuyển bài toán thực tiễn hoặc phỏng thực

tiễn sang bài toán toán học bằng cách diễn đạt bằng ngôn ngữ và kí hiệu toán học,
từ đó HS dễ dàng dùng các công cụ toán học sẵn có để giải quyết, quá trình này liên
hệ chặt chẽ với hình thành và phát triển năng lực MHH toán học. Để làm đƣợc điều
này học sinh phải có khả năng thu nhận đƣợc thông tin toán học từ tình huống thực
tế ban đầu, chuyển đổi thông tin giữa thực tế và toán học, thiết lập đƣợc mô hình
toán học từ tình huống thực tế.
Trong sách giáo khoa môn Toán ở THCS, quy trình giải các bài toán thực tế
không đƣợc đƣa vào một cách tƣờng minh mà chỉ đƣợc đƣa vào trong trƣờng hợp
cụ thể đó là quy trình giải bài toán bằng cách lập phƣơng trình hoặc hệ phƣơng
trình (Toán 8) gồm 3 bƣớc đó là:
- Bƣớc 1: Lập phƣơng trình: Chọn ẩn số và đặt điều kiện thích hợp cho ẩn
số; biểu diễn các đại lƣợng chƣa biết theo ẩn và các đại lƣợng đã biết; lập phƣơng
trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lƣợng.
- Bƣớc 2: Giải phƣơng trình.
- Bƣớc 3: Trả lời: Kiểm tra xem trong các nghiệm của phƣơng trình, nghiệm
nào thỏa mãn điều kiện của ẩn, nghiệm nào không rồi kết luận.
Quy trình đƣợc phát biểu lại trong sách GV Toán 9 (trang 60) nhƣ sau: “1.
Chọn ẩn và đặt điều kiện cho ẩn; 2.Biểu diễn các dữ kiện chưa biết qua ẩn; 3.Lập
phương trình; 4.Giải phương trình; 5.Trả lời”. Các bƣớc này không đƣợc đƣa ra
trong SGK lớp 9. Nhƣ vậy kĩ năng HS phải lĩnh hội chủ yếu là kĩ năng lập và giải
9


PT từ một bài toán có nội dung thực tế, trong đó kĩ năng “lập phƣơng trình” bị coi
nhẹ hơn so với kĩ năng “giải phƣơng trình”. Tuy nhiên chúng ta đều biết một trong
những kĩ năng quan trong chính là việc chuyển từ các bài toán có nội dung thực
tiễn về các mô hình toán học, nói cách khác là “lập phƣơng trình” chúng.
Trong SGK Toán 9 – tập 2 đƣa ra Ví dụ 1 trang 20: Tìm số tự nhiên có hai
chữ số, biết rằng hai lần chữ số hàng đơn vị lớn hơn chữ số hàng chục 1 đơn vị, và
nếu viết hai chữ số ấy theo thứ tự ngƣợc lại thì đƣợc một số mới (có hai chữ số) bé

hơn số cũ 27 đơn vị.
Cách giải sách đƣa ra có bƣớc đầu phân tích dữ kiện bài toán để đƣa ra đƣợc
điều kiện về hai chữ số hàng chục và chữ số hàng đơn vị (đều khác 0). Sau đó gọi
chữ số hàng chục là x, chữ số hàng đơn vị là y... Nhƣ vậy việc lập phƣơng trình –
khâu quan trọng trong dạy học bài toán có nội dung thực tiễn và từ đó dạy học
MHH, đƣợc chỉ dẫn từng bƣớc không phát huy đƣợc tính sáng tạo của HS để thông
qua đó hình thành các kỹ năng MHH toán học và kỹ năng áp dụng toán học vào
cuộc sống [13].
1.4. Dạy học theo hƣớng vận dụng mô hình hóa
Nói về MHH trong dạy học toán, tác giả Lê Văn Tiến (2005) phân biệt hai
khái niệm Dạy học MHH và dạy học bằng MHH [14].
- Dạy học MHH là dạy học cách thức xây dựng mô hình toán học của thực
tiễn, nhắm tới trả lời cho những câu hỏi, vấn đề nảy sinh từ thực tiễn.
[...] Quy trình dạy học có thể là: Dạy học tri thức toán học lí thuyết  Vận dụng
các tri thức này vào việc giải các bài toán thực tiễn, ở đó phải xây dựng mô hình
toán học.
- Dạy học bằng MHH: là dạy học cách thức xây dựng mô hình toán học của
thực tiễn, nhắm tới trả lời cho những câu hỏi, vấn đề nảy sinh từ thực tiễn.

10


Quy trình dạy học tƣơng ứng có thể là: Bài toán thực tiễn Xây dựng mô
hình toán học  Câu trả lời cho bài toán thực tiễn  Tri thức cần giảng dạy

 Vận dụng tri thức này vào giải các bài toán thực tiễn.
Dạy học bằng MHH cho phép tri thức cần giảng dạy sẽ hình thành từ quá
trình nghiên cứu các vấn đề thực tiễn, nảy sinh với tƣ cách là kết quả hay phƣơng
tiện giải quyết vấn đề.
Nhƣ vậy, thông qua dạy học bằng MHH sẽ phát triển đƣợc năng lực MHH

cho học sinh một cách tích cực và tự nhiên nhất. Qua đó, HS có thể tiếp cận bài
toán và xây dựng mô hình toán học phù hợp, từ đó đối chiếu xem mô hình đó có tối
ƣu không và đƣa ra câu trả lời chính xác cho bài toán thực tiễn.
1.5. Chu trình hoạt động mô hình hóa
1.5.1. Cơ sở lí luận
MHH thƣờng đƣợc mô tả kĩ hơn qua các bƣớc của cả quá trình MHH. Nhiều
sơ đồ đã đƣợc sử dụng để chỉ ra bản chất của hoạt động MHH toán học, nhƣ là một
hƣớng dẫn để thiết kế các nhiệm vụ MHH và thực hiện MHH trong lớp học [1].
Sơ đồ của Blum (2005): sơ đồ này đƣợc xem là cơ sở cho tất cả các hoạt
động MHH và những thay đổi của các chu trình MHH ngày nay.
Hình 1.2. Chu trình MHH 7 bước của Blum [16]

11


- Bƣớc 1: Hiểu tình huống đƣợc cho, xây dựng một mô hình cho tình huống;
- Bƣớc 2: Đơn giản hóa tình huống và đƣa các biến phù hợp vào để đƣợc mô
hình thực của tình huống;
- Bƣớc 3: Chuyển từ mô hình thực sang mô hình toán;
- Bƣớc 4: Làm việc trong môi trƣờng toán học để đạt đƣợc kết quả toán;
- Bƣớc 5: Thể hiện kết quả trong ngữ cảnh thực tế;
- Bƣớc 6: Xem xét tính phù hợp của kết quả hay phải thực hiện chu trình lần 2;
- Bƣớc 7: Trình bày cách giải quyết.
Hình 1.3. Chu trình MHH của Stillman [17]

Các mục A – G biểu diễn các bƣớc của quá trình MHH, các mũi tên đậm
biểu thị sự chuyển đổi của các bƣớc. Toàn bộ quá trình MHH là đi theo dấu mũi tên
cùng chiều kim đồng hồ. Quá trình này kết thúc bởi việc thể hiện kết quả của MHH
hoặc tiếp tục một chu trình MHH khác nếu kết quả là không thỏa đáng ở một
phƣơng diện nào đó. Các mũi tên ngƣợc lại nhấn mạnh sự tồn tại của hoạt động

phản ánh, nghĩa là ngƣời thực hiện MHH có thể quay lại ở bất kì bƣớc nào của chu
trình để xem xét nếu không thể tiếp tục thực hiện đƣợc.
Sơ đồ theo PISA (2006) gồm 5 bƣớc:
- Bƣớc 1: Bắt đầu từ một vấn đề thực tế.

12


- Bƣớc 2: Diễn đạt lại nội dung vấn đề đƣợc đặt ra theo các khái niệm toán học
và xác định các kiến thức toán học có liên quan.
- Bƣớc 3: Chuyển bài toán thực tế thành bài toán đại diện trung thực cho hoàn
cảnh thực tế thông qua quá trình đặt giả thuyết, tổng quát, hình thức hóa.
- Bƣớc 4: Giải quyết bài toán bằng phƣơng pháp toán học.
- Bƣớc 5: Làm cho lời giải có ý nghĩa của hoàn cảnh thực tiễn bao gồm xác
định những hạn chế của lời giải.
Hình 1.4. Chu trình MHH theo PISA [18]

Các chu trình MHH toán học giới thiệu trên đều gồm 4 yếu tố chính: toán
học hóa, làm việc với toán, chuyển đổi và phản ánh. Các yếu tố này mô tả những
hoạt động mà HS sẽ thực hiện trong suốt quá trình MHH.
1.5.2. Đề xuất chu trình hoạt động mô hình hóa toán học
Theo Chƣơng trình giáo dục phổ thông môn Toán của Bộ giáo dục năm 2017
có đề xuất những năng lực cần đạt của HS, trong đó có năng lực mô hình hóa toán
học đối với HS cấp THCS thể hiện qua việc:
- Sử dụng đƣợc các mô hình toán học (gồm công thức toán học, sơ đồ, bảng
biểu, hình vẽ, phƣơng trình, hình biểu diễn, ...) để mô tả tình huống xuất hiện trong
một số bài toán thực tiễn không quá phức tạp.
- Giải quyết đƣợc những vấn đề toán học trong mô hình đƣợc thiết lập.
13

- Thể hiện đƣợc lời giải toán học vào ngữ cảnh thực tiễn và làm quen với
việc kiểm chứng tính đúng đắn của lời giải.
Nhƣ đã trình bày ở trên, hiện nay trong chƣơng trình SGK toán 8 và toán 9
chỉ nêu 3 bƣớc để giải bài toán thực tiễn bằng cách lập phƣơng trình. Trong khi đó,
vấn đề HS gặp khó khăn chính là bƣớc chuyển từ bài toán thực tiễn sang bài toán
toán học và mô hình hóa chúng thành phƣơng trình. Vì vậy, GV cần có phƣơng
pháp rõ ràng giúp HS lập đƣợc phƣơng trình một cách chính xác và tối ƣu, từ đó,
bƣớc giải phƣơng trình là bƣớc đơn giản.
Xuất phát từ thực tế trên, chúng tôi đề xuất hoạt động MHH toán học gồm
các hoạt động sau:
- Hoạt động 1: Quan sát và thu thập số liệu của các bài toán thực tiễn. Ở
bƣớc này, cần phát hiện đƣợc các yếu tố có liên quan trong bài toán thực tiễn, yếu
tố nào đã xác định, yếu tố nào cần tìm và mối quan hệ giữa các yếu tố.
- Hoạt động 2: Xem xét mối quan hệ để biểu diễn bài toán thực tiễn thành bài
toán toán học. Sắp xếp các dữ kiện và kết nối chúng tạo thành một sơ đồ logic để
thiết lập các phƣơng trình.
- Hoạt động 3: Trên tình huống toán học, đặc biệt là bài toán toán học, thực
hiện hoạt động giải bài toán toán học. Nghĩa là thực hiện các bƣớc giải phƣơng
trình đã thiết lập theo sơ đồ logic ở bƣớc 2.
- Hoạt động 4: Giải thích kết quả bài toán toán học theo bài toán thực tiễn
ban đầu. Đối chiếu kết quả của lời giải toán học với bài toán thực tiễn, từ đó đƣa ra
kết luận về MHH toán học cho bài toán thực tiễn ban đầu.
Ví dụ 1.5.1. Một đội sản xuất phải làm 1000 sản phẩm trong một thời gian
quy định. Nhờ tăng năng suất lao động mỗi ngày đội làm thêm đƣợc 10 sản phẩm so
với kế hoạch. Vì vậy, chẳng những đã làm vƣợt mức kế hoạch 80 sản phẩm mà còn
hoàn thành công việc sớm hơn 2 ngày so với quy định. Tính số sản phẩm mà đội sản
xuất phải làm trong một ngày theo kế hoạch.
14

Hoạt động 1: Thu thập số liệu có liên quan, điền vào bảng sau dựa trên các câu hỏi:
- Đề bài hỏi gì? Hỏi về sản phẩm hay năng suất? Nhận biết đƣợc nhờ cụm từ
nào?
- Theo quy định thì mỗi đội phải làm bao nhiêu sản phẩm, khi đó thời gian
làm theo quy định tính nhƣ thế nào?
- Theo thực tế thì sản phẩm làm đƣợc là bao nhiêu? Năng suất, thời gian làm
nhƣ thế nào?
- Mối quan hệ giữa thời gian quy định và thời gian làm thực tế cho phƣơng
trình gì?
Lập bảng:
Sản phẩm

Năng suất
(sản phẩm/ngày)

Kế hoạch

1000

x

Thực tế

1000 + 80 = 1080

x + 10

Thời gian
(ngày)

1000
x
1080
x  10

Hoạt động 2: Xét các mối quan hệ của các số liệu có trong bảng để lập bài toán về
giải phƣơng trình nhƣ sau: Đội sản xuất hoàn thành công việc sớm hơn 2 ngày so
với quy định nên:

1000 1080

2
x
x  10

Hoạt động 3: Giải bài toán toán học.
Giải phƣơng trình:

1000 1080

2
x
x  10

 1000( x  10)  1080 x  2 x( x  10)  2 x 2  100 x  10000  0  x 2  50 x  5000  0

Giải phƣơng trình bậc hai, ta có:
 '  625  5000  5625   '  75  x1  50; x2  100

Hoạt động 4:

HĐ 4.1: Đối chiếu kết quả với bài toán thực tiễn.
15


x1  50 (thỏa mãn điều kiện); x2  100 (loại)

Số ngày làm theo dự kiến là: 1000 : 50 = 20 (ngày)
Số ngày làm theo thực tế là: 20 – 2 = 18 (ngày)
Số sản phẩm làm theo thực tế là: 18 . 60 = 1080 (sản phẩm)
Hiệu số sản phẩm giữa dự kiến và thực tế là: 1080 – 1000 = 80 (sản phẩm).
Kết quả trên phù hợp với dữ kiện của bài toán thực tiễn.
Vậy số sản phẩm đội sản xuất phải làm trong 1 ngày theo kế hoạch là 50 sản phẩm.
HĐ 4.2: Kết luận về MHH toán học cho bài toán thực tiễn ban đầu.
Mô hình trên là hoàn toàn phù hợp và tối ƣu. Một cách MHH kiểu khác: Gọi số
ngày mà đội sản xuất phải làm xong 1000 sản phẩm theo kế hoạch là
t (t  0, t  , ngày). Từ đó đi đến xây dựng phƣơng trình:

1000
1080
 10 
. Giải
t
t 2

phƣơng trình và đối chiếu kết quả với bài toán thực tiễn thấy phù hợp và chính xác.
1.6. Ý nghĩa của dạy học theo hƣớng vận dụng mô hình hóa
- Giúp HS hiểu sâu và nắm chắc các kiến thức toán học; tăng cƣờng và làm
sáng tỏ các yếu tố toán học trong thực tiễn.
Ví dụ 1.6.1: Vận dụng MHH, GV có thể giúp HS thấy đƣợc các mô hình toán
học nhƣ các đƣờng parabôn, hypebôn, conic đƣợc thể hiện trong các hiện

tƣợng cuộc sống. Do đó, MHH giúp cho việc học toán của HS trở nên có ý
nghĩa hơn bằng cách tăng cƣờng và làm sáng tỏ các yếu tố toán học trong
thực tiễn. Qua việc giải quyết các tình huống thực tiễn từ bài toán chuyển
động, tình huống thực tiễn từ diện tích trong Hình học hay quan hệ đồng
dạng ở Hình học, tình huống thực tiễn từ vấn đề tài chính (liên quan tiền gửi
tiết kiệm, hạ giá hàng, mua trả góp,...), HS sẽ hiểu sâu và nắm chắc kiến thức
cũng nhƣ làm sáng tỏ yếu tố toán học trong thực tiễn.
- HS phát triển các kỹ năng toán học, rèn luyện tƣ duy toán học, phát triển
năng lực MHH toán học.
16