mô hình hóa toán học bài toán liên hợp cơ điện và áp dụng phương pháp

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP.HCM

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
-----------------------------Nguyễn Trần Chân

MƠ HÌNH HĨA TỐN HỌC BÀI TỐN LIÊN HỢP CƠ ĐIỆN
VÀ ÁP DỤNG PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN
KẾT HỢP THỰC NGHIỆM CHO VẬT LIỆU ÁP ĐIỆN

Chuyên ngành: Cơ học vật thể rắn
Mã số: 62 44 21 01

TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TỐN HỌC

TP. Hồ Chí Minh – 2011


Cơng trình được hồn thành tại:
Khoa Tốn - Tin học Trường Đại Học Khoa Học Tự Nhiên

Người hướng dẫn khoa học: 1. GS.TS. NGƠ THÀNH PHONG
2. TS. LÊ ĐÌNH TN
Phản biện 1: GS.TSKH. ĐÀO HUY BÍCH
Phản biện 2: PGS.TS. BÙI CƠNG THÀNH
Phản biện 3: PGS.TS. NGUYỄN HỒI SƠN
Phản biện độc lập 1: PGS.TSKH. PHẠM ĐỨC CHÍNH
Phản biện độc lập 2: GS.TS. TRẦN ÍCH THỊNH

Luận án sẽ được bảo vệ trước Hội đồng chấm luận án họp tại
Trường Đại Học Khoa Học Tự Nhiên TPHCM.
Vào hồi …… giờ ….. ngày ……. tháng ….. năm …………

Có thể tìm hiểu luận án tại thư viện:
-Thư Viện khoa học tổng hợp Tp.HCM
-Thư Viện Trường Đại Học Khoa Học Tự Nhiên Tp.HCM.


Tổng quan vấn đề
Hiện tượng biến đổi năng lượng trực tiếp từ dạng này qua
dạng khác của vật liệu thông minh có nhiều ứng dụng thú vị ,
hứa hẹn giá trị gia tăng cao. Bởi vậy nó nhận được sự quan tâm
nghiên cứu khắp nơi trên thế giới. Với hiểu biết hiện nay, chúng
ta thấy nó tồn tại dưới các dạng như áp điện, nhớ hình dạng, đáp
ứng với nhiệt, ánh sáng hay t tính. Nghiên cứu vật liệu thơng
ừ
minh liên quan đến nhiều ngành khoa học , trong phạm vi luận
án chúng ta chỉ đề cập đến vật liệu áp điện, loại có sự phát triển
mạnh mẽ trong thời gian gần đây.
Tình hình nghiên cứu trong và ngồi nước
Hiện nay Việt Nam ít có nghiên cứu. Nhưng nó đang diễn ra
mạnh mẽ trên thế giới. Chi tiết tên các nhóm nghiên c hàng
ứu
đầu và nội dun g cơng b của họ đã được trình bày trong luận
ố
án. Với tài liệu tóm tắt, chúng ta chỉ đề cập ngắn gọn các hạn
chế cịn tồn tại liên quan đến tình hình phát triển mơ hình tính
tốn, phương pháp ố và thực nghiệm , là các vấn đề luận án
s
đang quan tâm giải quyết:
-Các nghiên c bỏ qua mơ hình hóa tốn học , mà chính
ứu

phần này rất quan trọng, nó góp phần quyết định giải bài toán
bài toán liên hợp cơ điện có chặt chẽ hay khơng.
-Đa số các cơng trình nghiên cứu trước đây dùng các phần
mềm thương mại, hay các chương trình tự viết sử dụng phương
pháp phần tử hữu hạn chuẩn (FEM) để mơ phỏng, vì vậy các
kết quả số chưa có sự cải tiến. Một vài nghiên cứu có áp dụng
phương pháp ố cải tiến theo hướng sử dụng phương pháp
s
không lưới (the meshless methods). Với phương pháp mới này,
mặc dù có ưu điểm là khơng phải xây dựng lưới nhưng việc áp
dụng vào tính tốn thực tế vẫn có nhiều khó khăn vì mức độ
hồn thiện, thừa kế mã nguồn và mặt khác khó tiếp cận.
- Qua sự tổng hợp đánh giá của luận án về phương pháp số
cho thấy phương pháp phần tử hữu hạn cải tiến bằng kỹ thuật
làm trơn (S-FEM) được nhóm của nhóm GS Liu, TS Nguyễn
Thời Trung, TS Nguyễn Xuân Hùng đề xuất năm 2008-2010 là
khả dụng và đáng quan tâm. Bởi vì kết quả số được cải tiến rõ
rệt, hơn nữa có tính kế thừa từ FEM nên sử dụng thuận tiện.

1


Nhưng chỉ mới được áp dụng giải các bài toán cơ học thuần túy
chứ chưa dùng để giải bài toán liên hợp 2 trường cơ điện.
-Mặt khác, các nhóm nghiên cứu hầu hết tập trung vào mô
phỏng số, các công bố về kết quả thực nghiệm hiếm thấy vì vậy
sự so sánh kết quả mô phỏng và dữ liệu thực nghiệm không
được thực hiện, nghĩa là mô phỏng ảo chưa được chứng minh
bằng thực nghiệm, dẫn đến nghiên cứu chưa được trọn vẹn. Một
số ít các cơng bố khác chỉ thuần về thực nghiệm với các phương

pháp đo chuyển vị tiếp xúc hay bằng cách đo chuyển vị gián
tiếp qua giao thoa ánh sáng nên hiệu quả chưa cao.
Các ý tưởng, nguồn lực và mục tiêu nghiên cứu của luận án
-Ý t ởng m ơ hình hóa tốn ọc với các phương trnh vi
ư
h
ì
phân, áp dụng mở rộng định lý Lax-Milgram cho bài toán biến
phân, bài toán x xỉ trong không Sobolev, đánh giá sai s và
ấp
ố
tốc độ hội tụ là phần lý thuyết mới bổ sung để giải bài toán liên
hợp cơ điện một cách chặt chẽ. Đây sẽ là đóng góp mới.
-Việc đề xuất sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn với kỹ
thuật làm trơn dựa trên cạnh (ES-FEM) cho bài toán liên hợp 2
trường cơ điện là một ý tưởng mới của luận án.
-Luận án sẽ xây dựng các chương trình tính tốn trong mơi
trường Matlab cho FEM và ES-FEM, các chương trình này sẽ là
cơng cụ thuận tiện để định l ượng và dự đoán ứng xử các kết
cấu áp điện. Các thí dụ số này được trình bày trong chương 3,
đây là điểm đóng góp đặc trưng của nghiên cứu này.
-Trong luận án chúng ta th hiện 2 thí n ghiệm cho 2 lo
ực
ại
vật liệu áp điện là PVDF và PZT. Việc thiết kế, chế tạo các mẫu
thí nghiệm và thiết kế lắp ráp các hệ thống đo chuyển vị khơng
tiếp xúc bằng kính hiển vi và hệ thống lade với độ phân giải
chính xác đ 10 nano mét sẽ là các kết quả nghiên cứu mới
ến
trực quan sinh động của luận án này bằng thực nghiệm .

-Cần phải nói thêm rằng các thí nghiệm nói trên đã được
thực hiện tại Phịng thí nghi m trọng điểm quốc gia số và kỹ
ệ
thuật hệ thống (DCSELAB), một phịng thí nghiệm cơng nghệ
cao vừa mới được đầu tư tổng cộng khoảng 70 tỷ đồng vào năm
2009. Đây chính là nguồn lực rất quan trọng đã góp phần tích
cực vào sự nghiên cứu thực nghiệm thành cơng của luận án.

2


Chương 1 : Hiện tượng và vật liệu áp điện
1.1 Hiệu ứng áp điện
Hiện tượng áp điện với 2 hiệu ứng thuận nghịch đã được mô tả
chi tiết ở mục 1.1 chương 1 của luận án. Một cách ngắn gọn, trong
hiệu ứng thuận khi chúng ta đặt một lực cơ học tác động lên vật
liệu áp điện, thì năng lượng cơ học sẽ được biến thành điện năng
làm xuất hiện các điện tích trên điện cực bề mặt của vật liệu.
Ngược lại ở hiệu ứng nghịch khi áp một điện trường lên các điện
cực thì năng lượng điện sẽ chuyển thành năng lượng cơ học làm
biến dạng vật liệu áp điện.
1.2 Trường hợp một chiều
Để có thể dễ cảm nhận hiện tượng trên bằng tốn học, chúng ta
đã trình bày các công thức ở trường hợp một chiều đơn giản trong
mục 1.2 trong luận án.
1.3 Vật liệu áp điện dưới điện trường mạnh
Vật liệu áp điện hiện tại có 2 dạng là PZT và PVDF. Mục này,
trình bày ứng xử vật liệu áp điện dưới điện trường gia tăng đến
mức tới hạn làm xảy ra hiện tượng đảo cực vật liệu theo miền như
trong hình 1-1 của luận án.

1.4 Vật liệu áp điện PZT
Vật liệu PZT(PbZr y Ti 1-y O 3 ) là m dạng gốm phân cực áp
ột
điện, các hình 1-2, 1-3 trong luận án diễn tả ứng xử của nó dưới
điện trường biến thiên và mơ tả vật liệu dưới góc nhìn hóa học vĩ
mơ.
1.5 Vật liệu áp điện PVDF
Vật liệu dạng tấm PVDF (piezoelectricity in polyvinylidene, (CH 2 -CF 2 -) n ) rất nhạy có cấu trúc và chủng loại được trình bày
trong các hình 1-4 , 1-5 của luận án.

Chương 2 :Mơ hình tốn học & phương pháp số

2.1 Mơ hình tốn học của hiện tượng áp điện
Hiện tượng áp điện là kết quả tương tác liên hợp giữa 2 trường
cơ và điện. Từ quan điểm tốn học, nó tn theo các phương trình
Maxwell và đàn hồi.

3


2.1.1 Mơi trường tĩnh điện
Trong tĩnh điện, các phương trình Maxwell trở thành:
∂Di
∂Ek
(2-1)
(2-2)
=0
0
∈
=

ijk

∂xi

∂j

Điện thế và điện trường
Phương trình (2-1) diễn tả một điện trường khơng xốy, mối
quan hệ giữa điện trường điện thế được trình bày như sau:
∂φ
Ei = −
(2-3)
∂xi

Điều kiện biên tĩnh điện
-Điều kiện biên trên biên Γ v
của miền Ω:

φ |Γ = φe

-Điều kiện biên trên biên
Γ q (=∂Ω\Γ v ) :

Ei ni |Γq = 0

(2-4)

v

2.1.2 Môi trường cơ học

Các phương trình đàn hồi chủ đạo
∂Tij
∂x j

0
+ f iV =

(2-6)

=
Sij

1  ∂ui ∂u j
+

2  ∂x j ∂xi


(2-5)






(2-7)

Mối quan hệ giữa ứng suất và biến dạng theo Hooke:

Tij = cijkl Skl

(2-8)

Điều kiện biên cơ học
-Điều kiện biên trên Γ u :

ui |Γu = u

d
i

-Điều kiện biên trên Γ σ :
Tij n j |Γσ = fi s
(2-10)

(2-9)

2.1.3 Các phương trình cơ bản
Trường hợp tổng quát, từ nguyên lý nhi t động lực học thứ
ệ
nhất các phương trình liên hợp áp điện cơ bản có dạng:
E
= cijkl S kl − ekij Ek
Tij
(2-11)
S
= eikl S kl + ε ik Ek
Di
(2-12)
2.1.4 Phương trình vi phân (dạng mạnh) và dạng yếu

Bằng cách thế phương trình (2-11), (2-12), (2-3) và (2-7) vào các
phương trình (2-2) và (2-6) ta có hệ phương trình vi phân:
E
−cijkl uk ,lj − ekijφ, kj =
fi v
s
eikl uk ,li − ε ik φ, ki =
0

4


Cho Ω ⊂ R n là một miền Lipschitz với biên ∂Ω chứa điều
kiện biên cơ học và tĩnh điện. Chúng ta xét bài tốn giá ị biên
tr
tìm nghiệm ui và φ trên miền Ω thõa mãn
E
−cijkl uk ,lj − ekijφ, kj =
fi v

s
eikl uk ,li − ε ik φ, ki =
0

=
φ |Γv
=
Ei ni |Γ q

(2-13)

(2-14)

; ui |Γ
φ= uid
e
u

=
0
; Tij n j |Γσ

fi s

Với f i v ∈ ( L2 (Ω)) n đã cho trước.
Chúng ta nhân (2-13) ới hàm véc tơ kiểm tra
v
1 2
vi ∈ ( H 0 ) (Ω)(vi = 0 on Γ u ) và (2-14) với hàm vô
hướng kiểm tra ψ ∈ H1 (Ω)(ψ = 0 on Γ v ) thuộc không
0
gian các hàm kiểm tra và sử dụng công thức biến đổi Green trong
miền Ω , chúng ta thu được
E
− ∫ cijkl uk ,lj vi d Ω − ∫ ekijφ, kj= ∫ f i v vi d Ω
vi d Ω
(2-15)
Ω

Ω

∫e

ikl

Ω

Ω

uk ,liψ d Ω − ∫ ε φ, kiψ d Ω = 0
s
ik

Ω

(2-16)

Sử dụng tích phân từng phần, thành phần thứ nhất của phương
trình (2-15) trở thành :
E
− ∫ cijkl uk ,l vi , j d Ω +

∫c

E
ijkl

Ω

Ω

uk ,l vi n j d Γ

∂Ω

(2-17)

∂Ω

Tương tự, sử dụng tích phân từng phần , thành phần thứ 2 trong
phương trình (2-15), thành phần thứ nhất và hai trong phương
trình (2-16) lần lượt trở thành :
− ∫ ekijφ, k vi , j d Ω + ∫ ekijφ, k vi n j d Γ
(2-18)
− ∫ eikl uk ,lψ ,i +
Ω

∫e

ikl

s
− ∫ ε ik φ, kψ ,i d Ω +
Ω

vk ,lψ ni d Γ

∂Ω

∫ε

s
ik

φ, kψ ni d Γ

∂Ω

(2-19)
(2-20)

Thay thế các phương trình (2-17), (2-18), (2-19) và (2-20) vào
(2-15), (2-16) ta thu được

5


∫c

E
ijkl

uk ,l vi , j d Ω −

Ω

∫c

E
ijkl

uk ,l vi n j d Γ

∂Ω

+ ∫ ekijφ, k vi , j d Ω −
Ω

− ∫ eikl uk ,lψ ,i +
Ω

∫e

kij

njdΓ
φ, k vi=

∂Ω

∫e

ikl

∫

f i v vi d Ω

(2-21)

Ω

vk ,lψ ni d Γ

∂Ω

s
+ ∫ ε ik φ, kψ ,i d Ω −
Ω

∫ε

s
ik

(2-22)

φ, kψ ni d Γ = 0

∂Ω

Các song tuyến tính được giới thiệu ở dạng sau đây

∫c

a (u , v )
=

uk ,l vi , j d Ω ,∀v ∈ ( H1 (Ω)) 2
0

(2-23)

φ, k vi , j d Ω , ∀v ∈ ( H1 (Ω)) 2
0

(2-24)

uk ,lψ ,i d Ω , ∀ψ ∈ H1 (Ω)
0

(2-25)

φ, kψ ,i d Ω , ∀ψ ∈ H1 (Ω)
0

(2-26)

E
ijkl

Ω

∫e

=
b(φ , v )

kij

Ω

∫e

=
b(u ,ψ )

ikl

Ω

∫ε

c (φ ,ψ )
=

s
ik

Ω

Và đặt

=
f v,v

∫

f i v vi d Ω

(2-27)

Ω

∫

=
f ,v
s

Γσ

f i s vi d Γ

(2-28)

∂Ωσ

q ,ψ
=
s

∫

q sψ d Γ

(2-29)

∂Ω q

Chú ý trong phương trình (2-18) và (2-19)

ekijφ, k vi n j d Γ =0 do vi = 0 trên Γ u

∫

∂Ω

và

∫e

ikl

vk ,lψ ni d Γ =0 do ψ = 0 trên Γ v

∂Ω

thế các phương trình (2-23),(2-24),(2-25),(2-26),(2-27),(2-28) và
(2-29) vào các phương ình (2-21) và (2-22) chúng ta đưc
tr
ợ
phương ì tr nh ạng yếu (bài tốn biến phân),
d
tìm
1 2
1
sao cho
u ∈ (H ) , φ ∈ H
a (u , v ) + b(φ , v ) =

f v,v +

∀v ∈ ( H )
1
0

2
Γu

(Ω)

6

f s,v

(2-30)


b(u ,ψ ) − c (φ ,ψ ) =
q s ,ψ

(2-31)

∀ψ ∈ ( H ) Γv (Ω)
1
0

Với
H1 Γ u (Ω) :=
0;
1

0;Γ v

H

=
(Ω) :

{v ∈ H (Ω),
{ψ ∈ H (Ω),

}
=0}

1

v |Γu =0

1

ψ |Γ

v

2.2 Phương phán phần tử hữu hạn
2.2.1 Rời rạc phần tử hữu hạn
Cho (Vh ) n là ột không gian con hữu hạn chiều,
m
(Vh ) n
= {H1 (Ω)}n với số chiều n (n =1,2,3) , cho
n

{N1 ,..., N np } là cơ sở cho (Vh ) n vì vậy N I ∈ (Vh ) và bất

uh ∈ (Vh ) n , φh ∈ (Vh ) mô ả

kỳ

np

uh =

∑N

của

miền

I =1

I

d I và φh =

rời

rạc

np

∑N

Ω=

I =1

ne

I

nhất

φI với np là tổng số nút

e
 Ωi với

i =1

t duy

e
Ωi  Ω e = ,
Φ
j

h = max{đường kính phần tử}.
Ta có thể phát biểu dạng rời rạc của dạng yếu bài toán (2-30) và
(2-31) như sau:
Tìm uh ∈ (Vh ) n và φh ∈ (Vh ) sao cho
a (uh , vh ) + b(φh , vh ) = f v , vh + f s , vh
(2-32)

∀vh ∈ Vh ,0;Γu
b(uh ,ψ h ) − c (φh ,ψ h ) =
q s ,ψ h

(2-33)

∀ψ h ∈ Vh ,0;Γv

Với
(Vh 0,Γu ) 2 = (Vh ) 2 ;Vh = Γ u }
{vh ∈
0 on

Vh 0,Γv = h ∈ Vh ;ψ h = on Γ v }
{
ψ
0

Định lý Lax-Milgram mở rộng khẳng định bài tốn liên hợp cơ
điện có nghiệm duy nhất và như mục 2.2.2 dưới đây có thể kết
luận nghiệm xấp xỉ hội tụ mạnh về nghiệm chính xác và từ đây có
thể đánh giá sai số giữa nghiệm xấp xỉ và nghiệm chính xác.

7


2.2.2 Đánh giá sai số của phần tử hữu hạn
Cho (u , φ ) là nghiệm chính xác của bài tốn gốc từ các
phương trình (2-13) và (2-14). Nếu Ω là một miền đa giác lồi và

ệm
uh ∈ (Vh ) n và φh ∈ Vh là nghi phần tử hữu hạn sử
dụng nội suy b
ậc k liên tục thỏa mãn phát biểu rời rạc yếu,
phương trnh (2-32) và (2-33), lúc đó ồnt tại các hằng số
ì
C1 , C2 , C3 , C4 không phục thuộc vào u , φ và k thỏa mãn
u − uh

φ − φh
ới
w

H1

L2

≤ C1h k +1 u

L2

≤ C3 h k +1 φ

u − uh

H k +1

H k +1

V

H1

≤ C2 h k u

φ − φh

H1

≤ C4 h k φ

H k +1

H k +1

(∫
(∫
=w2 + ( D1 w) 2 d Ω)1/ 2 ; w H K +1 =( D k +1 w) 2 d Ω)1/ 2
Ω

Ω

Từ các phương trình trên, chúng ta có thơng tinảo đảm rằng
b
ớc
w L2 và w H tiến tới 0 khi kích thư của phần tử h tiến
tiến tới 0 nếu đạo hàm bậc ( k + 1) của nghiệm chính xác
1

(u , φ ) là biên trên Ω . Thêm nữa, năng lượng của

h trong các

phương trình cũng cho thấy tốc độ hội tụ của nghiệm phần tử hữu
hạn trong các chuẩn tương ứng.
2.2.3 Dạng ma trận của dạng yếu trong FEM
Bài toán tĩnh điện tuyến tính, từ phương trình (2-11) và (2-12)
các phương trình cơ bản có dạng
 T  c E
 D = 
  e

−eT   S 
 
ε S  E 

(2-34)

Mối quan hệ giữa biến dạng với chuyể n vị , điện trường với
điện thế được biểu diễn bởi
ˆ
(2-36)
E = −∇φ
(2-35)
S = ∇u
Để thu được nghiệm xấp xỉ bài toán áp điện, xấp xỉ phần tử
hữu hạn được diễn tả
0
0 
 N I ( x)

np
 0
N I ( x)
0 d I ; φ (x)
= ∑ N I (x)φI
∑=I 1


I 1
 0
N I ( x) 
0


np

u ( x)

8

(2-37)


Với np là tổng số nút trong miền bài toán, d I = [uI vI wI ]T là bậc
tự do của nút u = [u v w]T kết hợp với nút I và N I (x) là các hàm
dạng tuyến tính. Thế các xấp xỉ (2-37) vào các phương tr
ình (235) và (2-36), chúng ta thu được
np

np

ˆ
S = u = B uI d I
∇
∑

E = −∇φ = −∑ Bφ I φI

(2-38)

(2-39)

I =1

I =1

Dạng gọn, phương trình ma trận của bài toán như sau:
k uu
k T
 uφ

k uφ  xu   F 
 = 
k φφ   xφ  Q 


(2-40)

Với
k uu = ∫ BT c E Bu d Ω

u

k uφ = ∫ BT eT Bφ d Ω
u

(2-41)

Ω

Ω

T
Q = − ∫ Nφ q s d Γ − q p (2-44)

T
k φφ = − ∫ Bφ ε S Bφ d Ω (2-43)

∂Ω

Ω

F
=

∫

Ω

N f dΩ + ∫ N f dΓ + f
T

u

v

∂Ω

(2-42)

T
u

s

p

(2-45)

2.3 Phương pháp phần tử hữu hạn trơn cho bài toán áp điện
Tương tự FEM, ES-FEM cũng sử dụng cùng lưới phần tử. Với
phần tử tam giác 3 nút, hàm dạng trong ES-FEM cũng giống hệt
trong FEM.
2.3.1 Toán tử trơn trên trường biến dạng cơ và trường điện
Trong ES-FEM, chúng ta khơng ử dụng trường biến dạng
s
tương thích (2-35) mà sử dụng biến dạng trơn trên các miền trơn,
và tất nhiên tích phân của ma trận độ cứng K là không d trên
ựa
phần tử nữa mà dựa trên các miền trơn. Các miền trơn được xây
N
dựng dựa trên phần tử sao cho Ω  Ω( k ) và Ω(i ) ∩ Ω( j ) = ∅ cho

=
e

k =1

i ≠ j , trong đó N e là tổng số cạnh tất cả các phần tử trong tồn
miền bài tốn. Với phần tử tam giác, miền trơn con Ω ( k ) kết hợp
với cạnh k được tạo nên bởi sự liên kết các nút ở đầu, cuối của
cạnh và trọng tâm của các tam giác gần kề như trong hình 2-1. Sử
dụng miền trơn dựa trên cạnh, trường biến dạng trơn và trường
điện trơn trên miền Ω ( k ) liên kết với cạnh k được định nghĩa dựa
trên trường biến dạng tương thích và trường điện tương thích
trong 2 phương trình (2-46) và (2-47):

9


A

boundary
edge m (AB)
(m)

Γ

I

(lines: AB, BI, IA)

C

H

(m)

(triangle ABI )

inner edge k (CD)

D

Γ

B

O

: field node

(k)

(k)

(lines: CH, HD, DO, OC)
(4-node domain CHDO)

: centroid of triangles (I , O, H )

Hình 2-1 chia miền phần tử tam giác và các miền trơn Ω(k)
liên kết với cạnh k của phần tử tam giác


=
S= ∫ S(x)Φ ( k ) (x)d Ω (2-46)
E ∫ E(x)Φ ( k ) (x)d Ω (2-47)
Ω( k )

Ω( k )

là diện tích miền trơn

Với Φ (x) là hàm một bước

A

1/ A( k ) x ∈ Ω( k )
Φ ( k ) ( x) =

x ∉ Ω( k )
 0

=
A( k )

(k )

(k )

Ω( k )

(k )

(2-48)

∫

Ω

=
dΩ
(k )

1 Ne ( j )
∑ Ae (2-49)
3 j =1

Với N e( k ) là tổng số phần tử quanh cạnh k ( N e( k ) = 1 cho cạnh
biên và N e( k ) = 2 cho cạnh bên trong) như đã chỉ ra trong hình 21, Ae( j ) là diện tích phần tử thứ jth chia sẻ cạnh k.
Thế phương trình (2-48) vào (2-46) và (2-47), trường biến dạng
trơn và trường điện trơn trở thành

S
=

1
A( k )

∫

1


E = − (k )
A

Ω( k )

∫

∇u=
( x) d Ω

Ω( k )

1
A( k )

∇φ ( x ) d Ω = −

∫

Γ( k )

1
A( k )

∫

(
nuk ) (x)u(x)d Γ

(2-50)

(
nφk ) (x)φ (x)d Γ

(2-51)

Γ( k )

(
(
Với Γ ( k ) là biên của miền trơn Ω( k ) , và nuk ) , nφk ) là ma trận pháp

tuyến chỉ phương trên biên Γ ( k ) được định nghĩa bởi
(
 nxk )
0 


(
= =  nxk )
0 n (yk )  , nφk ) (x)  (
n ( x)
(
 n (yk ) nxk ) 


(k )
u

10

n (yk ) 


T

(2-52)


Vì vậy véc tơ ứng suất và chuyển vị điện có thể chỉnh sửa
thành dưới dạng


 T  c E −eT   S 
(2-53)
 
=
 D  e ε S  E 
2.3.2 Các ma trận độ cứng trơn cho bài toán áp điện
Bây giờ chúng ta giới thiệu 2 cách đơn giản để tính tốn ma
trận trơn trong ES-FEM. Bằng cách thế phương trình (2-37) vào
phương trình (2-48)-(2-50), trường biến dạng trơn và trường điện
trơn trên miền Ω( k ) chia sẻ cạnh k có thể viết dưới dạng ma trận
của biến theo nút
1
A( k )

∫

ˆ ( x) d Ω

∇u=

1

E = − (k )
A

∫

∇φ ( x ) d Ω = −


=
S

Ω( k )

Ω( k )

∑

 (k
BuI )(x k )d I

(2-54)

(
I ∈N n k )

∑

(
BφkI ) (x k )φI

(2-55)

(
I ∈N n k )

Với N n( k ) là bộ nút của các phần tử chia sẻ cạnh i ( N n( k ) =3 cho cạnh
biên và N n( k ) = 4 cho cạnh bên trong) như đã chỉ trong hình 2-1 và
 (k
(
ầ
BuI )(x k ) , BφkI ) (x k ) là các thành phn ma trận biến dạng trơn điện
trường trơn trên miền trơn con Ω( k ) . Với bài toán ứng suất phẳng
biến dạng phẳng tính tốn b
ằng q trình lắp ráp tương tự như
FEM
1
 (k
BuI ) (x k ) = ( k )
A

(
Ne k )

1
1
 (k )

∑ 3 Aej Buj , Bφ I (xk ) = A( k )
j =1

(
Ne k )

1

∑ 3 A Bφ
j =1

e
j

j

(2-56)

Với Buj , Bφ j là ma trận hằng gradient biến dạng của phần tử thứ jth
kề cạnh k khi các phần tử tam giác sử dụng hàm dạng tuyến tính.
Chú ý rằng ma trận trong phương trình (2-56) được xây dựng trực
tiếp từ diện tích và ma trận biến dạng tương thích thơng thường
của FEM sử dụng các phần tử tam giác. Tuy nhiên, các công thức
trên chỉ thuận tiện cho xấp xỉ biến dạng ma trận tương thích hằng
số như bài tốn phần tử tam giác 3 nút cho 2D và phần tử tứ diện 4
nút cho bài tốn 3D. Vì ậy, để thu được một cách tổng quát có
v
thể làm tốt cho phần tử bậc cao như như tứ giác 4 nút hay phần tử
tam giác 6 nút, trư biến dạng trơn và trường điện trơn nên
ờng

được tính dọc theo biên của miền trơn con (trong các phương trình
(2-50)&(2-51)) như sau

11



=
S

1
(
=
nuk ) u(x)d Γ
A( k ) ∫Γ( k )

1

E = − (k )
A

∫

Ω( k )

∑

 (k
BuI )(x k )d I

(2-57)

(
I ∈N n k )

∇φ ( x ) d Ω = −

∑

(
Bφk ) (x k )φI

(2-58)

(
I ∈N n k )

(
 (k
Với BuI ) và BφkI ) tính theo các cơng thức
 (k
BuI )

(
 ( k ) N I ( x ) nxk ) d Γ

0
 ∫Γ

1 

0
N I (x)n (yk ) d Γ 
∫Γ( k )

A( k ) 

(k )
(
N I ( x ) n y d Γ ∫ ( k ) N I ( x ) nxk ) d Γ 


Γ
 ∫Γ( k )

(k )


1 ∫Γ( k ) N I (x)nx d Γ 
(
BφkI ) = ( k ) 
A  ( k ) N I (x)n (yk ) d Γ 
 ∫Γ


(2-59)

(2-60)

Tiếp theo, chúng ta giả sử rằng biên Γ ( k ) của miền trơn con bất
(

kỳ Ω( k ) là tổng của các đoạn biên Γbk ) , Γ ( k ) =

nb

Γ

(k )
b

, với nb là

b=1

tổng số các đoạn biên Γ ( k ) . Khi trư
ờng chuyển vị tương thích
tuyến tính dọc theo biên Γ ( k ) được sử dụng, một điểm Gaussian
(
đủ để tính tích phân đường chính xác dọc trên mỗi đoạn biên Γbk )
của Γ ( k ) . Vì vậy phương trình trên có thể đơn giản hóa hơn nữa ở
dạng đại số
 (k 1
BuI )= ( k )
A

G
(
 N I ( x G ) nxk ) ( x b )

0
b



N I (xG )n (yk ) (xG )  lb( k )
0
∑
b
b
b =1
G
G
(
 N I (xG )n (yk ) (xG ) N I (xb )nxk ) (xb ) 
b
b


nb



1  ∫Γ( k ) N I nx d Γ 
1
(
BφkI
=) =
(k )
A( k ) 
N I ny d Γ  A
 ∫Γ( k )


(
G
 N I ( x G ) nxk ) ( x b )  ( k )
b
l
(k )
G
G  b
b =1  I ( x b ) n y ( x b ) 


(2-61)

nb

∑ N


(2-62)

(
Với xG và lb( k ) là trung đi m (điểm Gauss) và độ dài của Γbk ) ,
ể
b
theo thứ tự. Phương trình (2-61) & (2-62) chỉ ra giá trị hàm dạng ở
các điểm riêng biệt dọc các đoạn biên yêu cầu.
Hệ phương trình tuyến tính thu được là



k uu
T
k uφ



k uφ  xu   F 
=
    
k φφ   xφ  Q 


Với

12

(2-63)



ku =
u

k uφ =


∑ ∫ (B )

k ∈N e

Ω( k )

(k )
u


∑ ∫ (B )

k ∈N e

Ω( k )


k φφ = − ∑ ∫
k ∈N e

Ω( k )

T

(k )
u

T

k ∈N e

(k )

(

(
(
eT Bφk ) d Ω = ∑ Buk )
k ∈N e


(B )
φ

(

(
(
c E Buk ) d Ω = ∑ Buk )

T

(

)

T

)

(
eT Bφk ) A( k )

(

(
ε S Bφk ) d Ω = − ∑ Bφk )
k ∈N e

(
c E Buk ) A( k )

T

)

T

(
ε S Bφk ) A( k )

(2-64)
(2-65)
(2-66)

Các phương trình (2-64)-(2-66) cho một cách đơn giản để tính
ma trận độ chứng của các miền trơn con liên kết với cạnh của các
phần tử. Cuối cùng, chúng ta chú ý rằng các hàm thử u(x), φ(x) là
tương tự như đã cho trong phương trình (2-37), và vì vậy các véc
tơ lực F, Q trong ES-FEM được tính tương tự như cách tính trong
FEM. Nói các khác, ES-FEM chỉ thay đổi ma trận độ cứng so với
FEM.

Chương 3 : Kết quả mơ phỏng số
Trong chương này có 8 thí d số: gồm 3 bài toán ở các mục

ụ
3.1, 3.2, 3.3 được giải bằng các chương t rình FEM tự viết. Thí dụ
số thứ 4 ở mục 3.4 là bài tốn thiết bị áp điện có dạng hình học
phức tạp tính bằng phần mềm COMSOL. Phần cuối là 4 thí dụ số
với các chương trình ES-FEM tự viết, trong đó k quả được so
ết
sánh với các bài báo, nhằm chứng minh rằng ES-FEM là giải pháp
hiệu quả để giải bài toán liên hợp cơ điện.
3.1 Động cơ siêu âm truyền sóng thẳng
Giới thiệu bài tốn
Trong bài tốn này, chúng ta phát tri n chương trình phần tử
ể
hữu hạn có khả năng mơ phỏng hoạt động mơ hình 2 chi u của
ề
stator. Mục đích chúng ta là minh chứng chuyển động elip của một
điểm trên bề mặt stator. Mơ hình ngun lý hoạt động của động cơ
được được trình bày trong hình 3-11.
Kết quả phân tích của chương trình matlab sử dụng FEM
Chúng ta tạo lưới như trong hình 3-14. Lưới có 658 bậc tự do;
578 phần tử; 329 nút.

13


Hình 3-11 Hoạt động của động cơ. Hình 3-14 lưới của stator.
Sau khi giải bài toán ta vẽ các quỹ tích, đáp ứng của 1 điểm
trên bề mặt stator:
Tại điểm 2 (nút 29 có chỉ mũi tên trên hình 3-14):

Hình 3-18 đáp ứng & chuyển động elip của điểm 2.

Nhận xét
Kết quả phân tích là elip tương đồng với bài báo của Peter L.
Levin, khẳng định chương trình đã được xây dựng là đúng.
3.2 Dầm Bimorph PVDF
Giới thiệu bài toán
Bài tốn tìm kết quả số bằng chương trình FEM tự viết để so
sánh với thí nghiệm trong mục 4.2.
Vị trí điện cực, kích
thước và các chi tiết
khác đư trìn h bày ở
ợc
mục 3.2 trong luận án.
Hình ạng dầm xem
d
Hình 3-20 dầm PVDF bimorph.
hình 3-20.
Table 3-4 điều kiện biên của dầm và kết quả số.
5 (V) 10(V) 15(V) 20(V) 25(V)
Potential φ
(µm)
(µm)
(µm)
(µm)
(µm)
Results
Simulation results
45.1
88.43 134.02 178.1 223.2

14

Nhận xét: Trong kết quả mô phỏng số, ứng xử của dầm PVDF
bimorph đúng với dự đốn. Tính đúng đắng của chương trình s ẽ
được khẳng định khi so sánh với kết quả thực nghiệm ở chương 4.
3.3 Khối PZT hình trụ
Thí dụ này sử dụng chương trình Matlab tự viết dựa trên FEM
để mô phỏng một khối vật liệu áp điện PZT hìn h trụ như trong
hình 4-16, nó là bộ phận chính của thiết bị khuyếch đại PZT ở thí
dụ số 3.1.4 và thí nghiệm ở mục 4.3 (hình 4-19) , kết quả tính tốn
của chương tr đư ợc so sánh với kết quả phân tích bằng phần
ình
mềm Comsol. Các chi tiết cụ thể khác của bài toán được trình bày
trong mục 3.3 của luận án.
Kết quả mơ phỏng số
Bảng 3-6 so sánh kết quả chương trình tự viết và COMSOL.
Potentials
10V
50V
100V
150V
200V
250V

COMSOL
0.5779
2.89
5.779
8.669
11,56

14.45

Code
0.57
2.85
5.700
8.56
11.41
14.26

Error %
1.367019
1.384083
1.367019
1.257354
1.297578
1.314879

Để thuận tiện chúng ta chỉ mô
phỏng ¼ khối trụ PZT, với
lưới khoảng 155 nút và 248
phần tử như trong h 3 -26.
ình
Kết quả mơ phỏng bằng
chương trình t ự viết và phần
mềm Comsol với chuỗi các
giá trị điện thế đầu vào là 10v,
50v, … 200v , ta thu được kết Hình 3-26 Lưới với 155 nút
và 248 phần tử.
quả như trong bảng 3-6.

Nhận xét
Kết quả chương trình tự viết và phần mềm COMSOL tương
đương nhau. Vậy chương trình tính tốn đã xây dựng là đúng.
3.4 Khuyếch đại áp điện PZT
Thí dụ mơ phỏng một thiết bị có biên dạng phức tạp bằng phần
mềm COMSOL dựa trên FEM. Các kết quả số sẽ được so sánh với
thực nghiệm trong mục 4.3. Lưới của mơ hình được chia 38.793
bậc tự do ( hình 3-31). Các thơng tin chi tiết khác của thí dụ đã
trình bày trong mục 3.4 luận án.

15


Điều kiện biên
Có 2 loại điều kiện biên như được trình bày trong mục 3.4 của
luận án. Giá trị của điền kiện biên điện thế φ và k quả mô
ết
phỏng được cập nhật trong bảng 3-7.
Điện thế φ
Kết quả
Kết quả

40 (V)
(µm)

80(V)
(µm)

120(V)
(µm)

160(V)
(µm)

0.299

0.599

0.898

1.198

Bảng 3-7 kết quả mơ phỏng bằng COMSOL.
Với điều kiện biên điện là 160 v, chúng ta có kết quả chuyển vị
như trong hình 3-33.
Nhận xét
Kết quả mơ phỏng bằng phần mềm COMSOL có ứng xử định
tính đúng như dự đốn. Kết quả định lượng của mơ phỏng này sẽ
được minh chứng khi chúng ta so sánh kết quả mô phỏng với kết
quả thí nghiệm trong mục 4.3.

Hình 3-31 mơ hình lưới 3D
Hình 3-33 kết quả chuyển vị
với 38.793 bậc tự do.
khi áp điện thế 160 volt.
3.5 Bài toán miếng dán kiểm tra phần tử phẳng
Thí dụ sử dụng bài toán
chuẩn miếng dán (path test) đã
biết trước kết quả để kiểm tra
phương pháp phần tử hữu hạn

áp dụng kỹ thuật lảm trơn dựa
trên cạnh (ES-FEM).
Hình 3-35 Patch test áp điện.
-Biên dạng hình học và lưới : xét bài tốn path-test hình dạng
tấm chữ nhật kích thước 0,24 × 0,12 và lưới như trên hình 3-35.

16


Dữ liệu nhập, điều kiện biên và các thông tin khác được trình bày
chi tiết trong mục 3.6.
-Kết quả tính tốn của chương trình : các kết quả số tại nút 5
với u5 , v5 , φ5 được trình bày trong bảng 3-9.
Bảng 3-9 kết quả của patch test tại điểm 5(0.3;0.06).
Results
Nghiệm

Exact

ES-T3

u5
v5
φ5

2.376547556249814e-006
-1.818789953339896e-007
-1.066703050081747e-009

2.37654755624964e-006

-1.8187899533398e-007
-1.0667030500817e-009

-Nhận xét
Các kết quả chứng tỏ phần tử tam giác phẳng ES-T3 của ESFEM là tương đồng với nghiệm chính xác tham khảo.
3.6 Dải áp điện một lớp
Để chứng minh hiệu quả của phương pháp số ES-FEM. chúng
ta tìm biến dạng trượt của một dải áp điện như đã trình bày trên
hình 3-36. Các chi ti t v ề điều kiện biên,các thơng tin khác đã
ế
trình bày ở mục 3.6 trong luận án.
-Nghiệm giải tích tham khảo: Tất cả các điểm trên đoạn thẳng
trung hòa (y=0) thõa mãn
d15V x
x

u =0 x, v =0 + s33σ 0 y, φ = − 2 
s13σ
V0 1
h
L


Hình 3-36 Dải áp điện và các
điều kiện biên lực, điện thế.

(3-1)

Hình 3-37 chuyển vị ngang u
trên đoạn trung hòa (y = 0).

17


Hình3-39 kết quả điện thế φ
trên đoạn trung hịa (y = 0).

Hình 3-38 chuyển vị dọc v trên
đoạn trung hịa (y = 0).

-Kết quả của chương trình và nhận xét: các giá trị tại
đoạn thẳng trung hịa (y=0) được trình bày trong hình 337, 3-38 và 3-39 chỉ ra rằng kết quả chương trình tính
tốn sử dụng phần tử ES-T3 tương đồng với các nghiệm
chính xác.
3.7 Màng Cook
Như bày trên hình 3-40, liên quan đến một kết cấu bảng hình
cái nêm bị biến dạng uốn dưới lực đặt trên đỉnh, mục đích của bài
tốn là xác định tốc độ hội tụ của phương pháp ES -FEM bằng
chương trình tính tốn tự viết. Các chi tiết khác xem trong mục 3.7
của luận án.
-Điều kiện biên cơ học: tương tự như các màng Cook thông
thường lực F=1 được đặt trên đỉnh của nó. Điều kiện biên điện
bằng khơng (0V) tại cạnh dưới.
-Nhận xét: Với kết quả về
tốc độ hội tụ của chuyển vị
đứng, điện thế tại điểm A trong
hình 3-41 và Hình3-42. Chúng
ta khẳng định rằng phần tử EST3 của phương pháp ES-FEM
có kết quả mơ phỏng tốt hơn
các phần tử T3 và Q4 của

FEM.
Hình 3-40 màng Cook.

18


Hình 3-41 sự hội tụ của giá trị
chuyển vị đứng tại điểm A.

Hình 3-42 sự hội tụ của giá trị
điện thế tại điểm A.

3.8 Thiết bị MEMs
Mục tiêu của bài tốn là tìm góc xoay tia phản xạ của thiết bị
MEMs (MicroElectroMechanical systems). Thiết bị mơ tả trong
hình 3-43. Các thơng tin chi ti khác được trình bày trong mục
ết
3.8 của luận án. Góc xoay gương được tính với nhiều giá trị điện
thế bằng nhiều phương pháp khác nhau và trình bày trên hình 345.

Hình 3-45 kết quả góc lệch gương của các phương pháp.

19


-Nhận xét: từ thơng tin
trong hình 3-45 chúng ta có
thể đi đến kết luận phương
pháp ES-FEM có kết quả tốt
hơn FEM.

Hình 3-43 thiết bị Bimorph
MEMs.

Chương 4 Thí nghiệm
Chúng ta th hiện 2 thí nghiệm cho 2 loại vật liệu áp điện
ực
PZT và PVDF. Nhằm đối chứng với các kết quả mơ phỏng.
4.1 Các thiết bị thí nghiệm
Chi tiết các thiết bị được trình bày ở mục 4.1 của luận án.
4.2 Thí nghiệm dầm bimorph vật liệu áp điện PVDF
Thí nghiệm thiết kế, chế tạo dầm PVDF (hình 4-9) và thiết kế
lắp rắp hệ thống đo thí nghiệm chuyển vị khơng tiếp xúc bằng
kính hiển vi.

Hình 4-9 dầm bimorph vật liệu PVDF.
4.2.1 Đo chuyển vị của dầm PVDF bimorph
Hệ thống đo được
lắp ghép trong hình
4-14. Gồm 1 Pin 1,5
V , máy khuyếch đại
điện thế, đồng hồ
điện thế, kính hiển vi,
dầm PVDF bimorph,
Các chi tiết khác của
cơng tác đo đạc thí
nghiệm đã được trình
bày trong mục 4.2.2
của luận án.

Hình 4-14 thí nghiệm.

20


Bảng 4-2 so sánh kết quả thí nghiệm và mơ phỏng số.

Điện thế
Kết quả
Thí nghiệm
Mơ phỏng
Độ lệch
Sai số (%)

5 (V)
(µm)
50.9
45.1
5.8
11.394

10(V)
(µm)
99.5
88.43
11.07
11.125

15(V)
(µm)

150.4
134.02
16.38
10.890

20(V)
(µm)
199.5
178.1
21.4
10.726

25(V)
(µm)
249.8
223.2
26.6
10.648

4.2.2 Nhận xét kết quả thí nghiệm PVDF bimorph
Bảng 4-2 so sánh kết quả thí nghiệm và mơ phỏng số từ mục
3.2, chúng ta có các k luận : kết quả thí nghiệm và mơ phỏng là
ết
tương đồng với nhau, độ lệch khơng lớn, độ chính xác tăng khi
tăng điện thế từ 5V lên 25V. Lớp keo dán trong thí nghiệm có thể
là ngun nhân gây ra sai số.
4.3 Thí nghiệm khuyếch đại PZT
Thí nghiệm thiết kế, chế tạo mẫu thiết bị khuyếch đại chuyển
vị áp điện PZT và thiết kế lắp ráp hệ thống đo thí nghiệm với
phương pháp đo chuyển vị không tiếp xúc bằng hệ thống lade. Các

thông tin chi tiết khác về phương pháp chế tạo, kích thước, nguyên
lý hoạt động, chuỗi kết nối thiết bị thí nghiệm, các bước đo được
trình bày trong mục 4.3 của luận án.
4.3.1 Chế tạo mẫu khuyếch đại áp điện
Khuyếch đại áp điện PZT được lắp ráp từ các chi tiết như khối
trụ áp điện, các điện cực đồng như trên các hình 4-16, hình 4-18.
Thiết bị sau khi chế tạo hồn thiện được chụp trong hình 4-19.

Hình 4-16 vật liệu PZT.
Hình 4-18 Điện cực đồng.
4.3.2 Đo sự hoạt động của thiết bị khuyếch đại áp điện PZT
Trên hình 4-21 trình bày sự sắp xếp của tất cả các thiết bị đo
trong thí nghiệm trên bàn chống rung.

21


Hình 4-19 Mẫu thiết bị khuyếch
Hình 4-21 Sự sắp xếp hệ
đại áp điện PZT.
thống thí nghiệm.
4.3.3 Nhận xét kết quả thí nghiệm
Dựa trên dữ liệu đã trình bày trên bảng 4-4 và đồ thị chuyển vị
trong hình 4-22 và chúng ta có các nhận xét sau:
-Kết quả mơ phỏng và thí nghiệm có sự tương đồng, độ lệch
giữa thí nghiệm và mơ phỏng là khơng lớn.
-Đội chính xác tăng khi tăng điện áp tăng từ 40V đến 160V.
-Sự giao động của phịng thí nghiệm có thể là ngun nhân gây
sai số giữa thí nghiệm và mơ phỏng.
Potential

φ (V)

40 (V)
(µm)

120(V)
(µm)

160(V)
(µm)

0.264
0.299
0.035
11.705

Results
Experimental results
Simulation results
Deviation
Error (%)

80(V)
(µm)
0.541
0.599
0.058
9.682

0.848
0.898
0.05
5.567

1.14
1.198
0.058
4.841

Bảng 4-4 so sánh thí nghiệm và mơ phỏng số từ mục 3.4 .
1.4
1.2

Simulation
results

1
0.8
0.6
0.4

Experimental
results

0.2
0
40V

80V

120v

160v

Hình 4-22 chuyển vị trong thí nghiệm và trong mô phỏng.

22


23

Chương 5 : Kết Luận
Nhìn tổng quan luận án, chương 1 trình bày các kiến thức
nền tảng liên quan đến hiệu ứng áp điện . Mơ hình tốn h và
ọc
các phương pháp ố như FEM và ES -FEM đã được thể h iện
s
trong chương 2. Ngoài ra, các kt quả mơ phỏng số và các kết
ế
quả thực nghiệm được trình bày ở chương 3 và chương 4, trong
đó có ự so sánh giữa kết quả mô phỏng số và kết quả thí
s
nghiệm. Phần kết luận này, chúng ta s nêu các kết quả đã đạt
ẽ
được của luận án và đề xuất hướng nghiên cứu tiếp theo.
Các đóng góp mới của luận án mang ý nghĩa khoa học
Thông qua việc thực hiện mơ hình hóa tốn học, áp dụng
phương pháp phần tử hữu hạn để tự phát triển chương trình tính
tốn kết hợp với 2 thực nghiệm chế tạo đo đạc, nghiên cứu này

có các đóng góp mới trên cả 3 phương diện toán học, tin học và
thực nghiệm. Các thành quả cụ thể có thể kể đến như:
-Về mặt lý thuyết, luận án đã hệ thống các kiến thức về áp
điện, để dựa trên đó thực hiện mơ hình hóa tốn học bài tốn
một cách chặt chẽ. Trong đó có xây dựng hệ phương trình vi
phân, thiết lập bài tốn biến phân, áp dụng định lý Lax-Milgram
mở rộng cho bài toán liên hợp 2 trường cơ điện, phát biểu bài
toán xấp xỉ phần tử hữu hạn trong không gian Sobolev và đánh
giá sai số cũng như tốc độ hội tụ của bài tốn bằng các chuẩn.
Cả q trình này là đóng góp mới của luận án, chuẩn bị chu đáo
nền tảng lý thuyết chặt chẽ để giải bài toán liên hợp cơ điện.
-Ngồi ra luận án cịn sử dụng ES-FEM để giải bài bài toán
liên hợp cơ điện một cách hiệu quả. Kết quả nghiên cứu mới
này được khẳng định trong bài báo quốc tế [8].
-Với việc áp dụng các lý thuyết ở trên để thực hiện thành
cơng 8 thí dụ số là một sự khẳng định thành quả nghiên cứu của
luận án về mặt khối lượng cũng như chất lượng.Trong đó có 1
thí dụ số biên dạng phức tạp dùng phần mềm COMSOL. Cịn
lại trong 7 thí d số khác là sử dụng các chương trình tự viết
ụ
trên Matlab, 3 chương trình sử dụng FEM và 4 chương trình sử

23