13 tìm điểm thỏa mãn tính chất đặc biệt

BÀI GIẢNG: TÌM ĐIỂM THỎA MÃN TÍNH CHẤT ĐẶC BIỆT
MÔN TOÁN: 12 – THẦY NGUYỄN QUỐC CHÍ
I/ Tìm điểm
1. Tìm giao điểm

 x  3  2t
x  5  t '


VD1: Tìm giao của d1 :  y  2  3t và d 2 :  y  1  4t '
 z  6  4t
 z  2  8t '


Hướng dẫn giải:
Tọa độ giao điểm thỏa mãn:

3  2t  5  t '
2t  t '  8
t  3



2  3t  1  4t ' 3t  4t '  1 t '  2
 A(3;7;18)
VD2: Cho ( P) : 2 x  y  2 z 1  0 và d :

x2 y z 3
. Tìm giao điểm của (d) và (P).



1
2
3

Hướng dẫn giải:

x  t  2

d :  y  2t  tọa độ giao điểm
 z  3t  3


x  t  2
 y  2t


 z  3t  3
2 x  y  2 z  1  0

 2(t  2)  2t  2(3t  3)  1  0
 6t  9  0  t 

3
7
3
 M ( ; 3; )
2
2
2

2. Hình chiếu + Điểm đối xứng
*) Hình chiếu lên mặt phẳng
+) Gọi tên hình chiếu là H

 AH  nP
+) Lập phương trình AH 

A
+) Tìm giao điểm của AH và (P)  H
*) Điểm đối xứng
Gọi điểm đối xứng của A là A’
Thực hiện các bước trên để tìm ra điểm H. Khi đó, H là trung điểm của AA’
A  A'
H
 A '  2H  A
2

1

Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa –
GDCD tốt nhất!


Câu 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz. Hình chiếu vuông góc của điểm M (3; 4;9) trên mặt phẳng (Oxy)
có tọa độ:
B. (3; 4;0)

A. (3; 4;0)

C. (1;3;0)

D. (4;3;0)

Chú ý: Hình chiếu lên cái gì thì giữ nguyên cái đấy, “còn lại bằng 0”
Đối xứng qua cái gì thì giữ nguyên cái đấy, “còn lại thì đổi dấu”
Chọn đáp án:A
Câu 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm M (2;7; 9) , mặt phẳng ( P) : x  2 y  3z 1  0 . Hình
chiếu vuông góc của điểm M lên mặt phẳng (P) có tọa độ:
A. (2; 2;1)

B. (1;0;0)

C. (1;1;0)

D. (4;0;1)

Hướng dẫn giải:
Gọi H là hình chiếu của M

x  t  2
 MH  nP  (1; 2; 3)

MH : 
 MH :  y  2t  7
 M (2;7; 9)
 z  3t  9

Tọa độ điểm H thỏa mãn:
(t  2)  2(2t  7)  3(3t  9)  1  0
 14t  42  0  t  3  H (1;1;0)

Chọn đáp án: C
Câu 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm M (2; 2;0) , mặt phẳng ( P) : x  y  z  5  0 . Gọi H là
điểm thuộc mặt phẳng (P) sao cho độ dài MH nhỏ nhất. Vậy H có tọa độ là:
A. (1;1; 3)

B. (1; 2; 2)

C. (3; 2;0)

D. (4;0; 1)

Hướng dẫn giải:
Bài toán đưa về dạng tìm hình chiếu của M lên mặt phẳng (P)
Câu 4: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm M (3; 1; 3) , mặt phẳng ( P) : 2 x  2 y  2 z  2  0 . Gọi
M’ là điểm đối xứng với M qua mặt phẳng (P). Tọa độ của M’ là:
A. (5;0; 5)

B. (1; 2; 1)

C. (1; 3; 1)

D. (1; 2; 1)

Hướng dẫn giải:
Gọi M’ là điểm đối xứng của M qua (P)

2

Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa –

GDCD tốt nhất!


Gọi H là hình chiếu của M qua (P)

 x  2t  3

MH :  y  2t  1  tọa độ H thỏa mãn
 z  2t  3


 x  2t  3
 y  2t  1


 z  2t  3
2 x  2 y  2 z  2  0

 2(2t  3)  2(2t  1)  2(2t  3)  2  0
 12t  8  0  t 

2
5 7 5
 H( ; ; )
3
3 3 3

Suy ra tọa độ của M’
Câu 6: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm I (1; 2;3) và mặt phẳng ( ) : 2 x  2 y  z  4  0 . Mặt cầu
(S) tâm I tiếp xúc với ( ) tại H. Tọa độ điểm H là:

A. (3;0; 2)

B. (3;0; 2)

C. (

23 4 20
; ; )
9 9 9

D. (

23 20 4
; ; )
9 9 9

Hướng dẫn giải:
Gọi H là tiếp điểm  IH  ( )

 VTCP IH  VTPT     2;  2; 1
 x  1  2t

 IH :  y  2  2t  H 1  2t ; 2  2t ; 3  t  .
z  3  t

d  I ;    

2.1  2.2  3  4

22  22  1

 IH  3  IH 2  9

 3.

  2t    2t 2   t 2  9
2

 t2  1
t  1  H  3;0;2 

.
t  1  H  1;4;4 
Chọn B.
Câu 7: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, biết rằng mặt phẳng ( P) : 2 x  2 y  z  3  0 cắt mặt cầu (S) tâm
I (3; 1; 4) theo giao tuyến là một đường tròn. Tâm H của đường tròn giao tuyến là điểm nào sau đây:

B. H (1;1; 3)

A. H (1;1;3)

C. H (1;1;3)

D. H (3;1;1)

Hướng dẫn giải:

3

Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa –
GDCD tốt nhất!

I: tâm mặt cầu
H: tâm đường tròn giao tuyến
 IH  ( P)

Bài toán được đưa về dạng tìm hình chiếu của I lên mặt phẳng (P) đã biết
Cách làm:

 x  3  2t

Đường thẳng đi qua I và vuông góc với (P) nhận nP   2; 2; 1 làm VTCP có phương trình: d :  y  1  2t .
 z  4  t


 H  d  H  3  2t; 1  2t; 4  t .
Lại có: H   P   2  3  2t   2  1  2t    4  t   3  0  9t  9  t  1

 H 1;1; 3 .
Chọn B.
3. Hình chiếu điểm lên đường thẳng
+) Gọi H là hình chiếu của A

A

+) H   H (tham số)

AH    AH .u  0

H

 Tìm được tham số
 Tìm được H
Câu 11: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M (a; b; c) . Khẳng định nào sau đây là sai:
A. N (a;0;0) là hình chiếu của M trên Ox
B. Q(a; b; c) là điểm đối xứng với M qua Oy
C. P(0; b; c) là hình chiếu của M trên Oyz
D. I (a;0; c) là điểm đối xứng qua Oxy
Hướng dẫn giải:
Áp dụng chú ý về hình chiếu và đối xứng để loại trừ đáp án
Chọn đáp án: D

4

Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa –
GDCD tốt nhất!


 x  1  3t

Câu 10: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M (2; 6;3) và đường thẳng d :  y  2  2t . Tọa độ
z  t

hình chiếu vuông góc của M lên d là:
B. (8; 4; 3)

A. (1; 2;0)

D. (4; 4;1)

C. (1; 2;1)

Hướng dẫn giải:
Gọi H là hình chiếu vuông góc của M lên d

H  d  H (1  3t ; 2  2t; t )
MH  d  MH .ud  0
 9t  3  4t  8  t  3  0  14t  14  0  t  1  H (4; 4;1)
Chọn đáp án: D
Câu 13: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d :

x  2 y 1 z  1
và điểm A(1; 2;3) . Tọa


3
1
1

độ điểm A’ đối xứng với A qua d là:
A. A '(3;1; 5)

B. A '(3;0;5)

C. A '(3;0; 5)

Hướng dẫn giải:

D. A '(3;1;5)
A

Tương tự BT trên ta tìm được tọa độ điểm H
Khi đó, H là trung điểm của AA’ nên ta tìm được tọa độ điểm A’
Chọn đáp án: C

H

d

A’

Câu 14: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng  :

x 1 y  1 z 1
. Khoảng cách từ


2
1
2

A(1;0;3) đến  bằng:

A.

2 5
3

B.

5
3

C. 2 5

D.

6
5

Hướng dẫn giải:
Gọi H là hình chiếu của A lên  .

5

Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa –
GDCD tốt nhất!


H (2t  1; t  1; 2t  1)
AH .u  0
AH (2t ; t  1; 2t  2)
u (2;1; 2)
 4t  t  1  4t  4  0  9t  5  0  t 

5
9

2 5
 10 4 8 

 10   4   8 
 AH  ; ;           
3
9 9 9 
9  9   9 
2

2

2

Chọn đáp án: A

6

Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa –
GDCD tốt nhất!