ĐỀ THI ONLINE – TỔNG HỢP CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN MẶT PHẲNG VÀ ĐƯỜNG
THẲNG
MÔN TOÁN: LỚP 12
I. Mục tiêu đề thi:
Đề thi tổng hợp một số bài toán liên quan đến mặt phẳng và đường thẳng. Củng cố lại:
- Vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng trong không gian.
- Kĩ năng viết phương trình đường thẳng và phương trình mặt phẳng.
II. Nội dung đề thi
Câu 1. (nhận biết) Tọa độ giao điểm của đường thẳng d có phương trình d :
x 1 y z 2
với mặt phẳng
1
1
3
(P) có phương trình ( P) : x 2 y z 3 0 là:
A. A 3;1; 7
3 1 7
B. B ; ;
2 2 2
3 1 7
C. C ; ;
2 2 2
3 1 7
D. D ; ;
2 2 2
x 2t
Câu 2. (thông hiểu) Cho đường thẳng d có phương trình d : y 1 t và mặt phẳng (P) có phương trình
z 3 t
( P) : x y z 10 0 . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
A. d nằm trong (P)
B. d song song với (P)
C.d vuông góc với (P)
D. d tạo với (P) một góc nhỏ hơn 450
Câu 3. (nhận biết) Cho d :
x 1 y 3 z 1
; ( P) : x 3 y 2 z 5 0 . Tìm m để d và (P) vuông góc với
2
m
m2
nhau.
A. m
3
5
B. m 1
C. m 6
D. m
2
5
x y 1 z 3
và mặt phẳng (P) có phương trình
2
1
1
x y z 10 0 . Góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P) là:
Câu 4. (thông hiểu)Cho đường thẳng d có phương trình
A. 450
B. 2807 '
C. 300
D. 4807 '
Câu 5. (thông hiểu)Cho tứ diện ABCD có A(1;2;3), B(1; 1;0), C(0; 2;3), D(2;1;4) . Tính góc giữa AD và mặt
phẳng (ABC)
A. 45017 '
B. 2807 '
C. 300
D. 4807 '
1 Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất!
Câu 6: (nhận biết)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt phẳng ( P) : 4 x y 2 0 . Đường thẳng nào
trong các đường thẳng sau vuông góc với mặt phẳng (P).
A. d :
x 1 y 1 z 2
1
1
2
x 4 y 1 z
C. d :
1
1
1
B. d :
x 3 y 1 z
4
1
2
x 4t
D. (d ) : y t
z 0
Câu 7: (nhận biết) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai điểm A(1;1;1), B(0;2;3) . Viết phương trình
mặt phẳng (P) qua A và vuông góc với AB.
A. ( P) : x y 2 z 2 0
B. ( P) : x y 2 z 6 0
C. ( P) : x 3 y 4 z 7 0
D. ( P) : x 3 y 4 z 26 0
Câu 8: (thông hiểu) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt phẳng ( ) : 4 x 3 y 7 z 3 0 và điểm
I (0;1;1) . Phương trình mặt phẳng ( ) đối xứng với ( ) qua I là:
A. ( ) : 4 x 3 y 7 z 3 0
B. ( ) : 4 x 3 y 7 z 11 0
C. ( ) : 4 x 3 y 7 z 11 0
D. ( ) : 4 x 3 y 7 z 5 0
Câu 9: (nhận biết) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A(1; 2; 3) và đường thẳng
x 1 y 1 z
d:
. Phương trình mặt phẳng (P) đi qua A và vuông góc với đường thẳng (d) là:
1
2
3
A. x 2 y 3z 7 0
B. x 2 y 3z 14 0
C. x 2 y 3z 14 0
D. x 2 y 3z 4 0
Câu 10: (nhận biết) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A(1; 2; 3) và mặt phẳng
( P) : x y 2 z 1 0 . Phương trình đường thẳng (d) đi qua A và vuông góc với mặt phẳng (P) là:
A. d :
x 1 y 1 z 2
1
2
3
B. d :
x 1 y 2 z 3
1
1
2
C. d :
x 1 y 2 z 3
1
1
2
D. d :
x 1 y 2 z 3
1
1
2
Câu 11: (thông hiểu)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz mặt phẳng ( ) cắt 3 trục tọa độ tại 3 điểm
M (6;0;0), N (0; 2;0), P(0;0;4) . Phương trình của mặt phẳng ( ) là:
A. ( ) :
x y z
0
6 2 4
C. ( ) : x 4 y 2 z 0
x y z
B. ( ) : 1
3 1 2
D. ( ) : 2 x 6 y 3z 12
2 Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất!
Câu 12: (thông hiểu)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, gọi A,B,C lần lượt là hình chiếu vuông góc của
điểm M 8; 2; 4 lên các trục Ox, Oy, Oz . Phương trình của mặt phẳng ( ) đi qua ba điểm A,B,C là:
A. ( ) :
x y z
0
8 2 4
x y z
B. ( ) : 1
4 1 2
D. ( ) : 2 x 6 y 3z 12
C. ( ) : x 4 y 2 z 8
Câu 13: (vận dụng thấp)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1; 2;3) và 2 đường thẳng
x 1 2t
x3 y 6 z
d1 :
; d 2 : y 5 3t Phương trình mặt phẳng qua A và song song với d1 , d 2 là:
1
1
1
z 4
A. 3x y 2 z 6 0
B. 3x 2 y z 10 0
C. 3x 2 y z 1 0
D. 3x 2 y z 3 0
Câu 14: (vận dụng thấp)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng ( P) : x y z 1 0 và đường
x 1 y 1 z 2
thẳng d :
. Phương trình đường thẳng qua A(1;1; 2) vuông góc với d và song song với
2
1
3
(P) là:
A. :
x
y 1 z 2
6
3
9
B. :
x 3 y z 1
50
2 75
x 1 y 1 z 2
2
5
3
D. :
x 1 y 1 z
2
5
3
C. :
Câu 15: (vận dụng thấp)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình mặt phẳng ( P) đi qua hai điểm
x 1 y 1 z
là:
A(1;1;2), B(0; 1;1) và song song với đường thẳng d :
1
1 2
A. ( P) : 5x y 3z 2 0
B. ( P) : 3x y 5z 6 0
C. ( P) : 3x 3 y z 8 0
D. ( P) : x y 2 z 4 0
Câu 16: (vận dụng thấp)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt phẳng ( P) : x y 3z 2 0 và đường
x 2 y 1 z 1
thẳng (d ) :
. Phương trình mặt phẳng (Q) chứa đường thẳng d và vuông góc với (P) là:
1
2
3
A. 3x z 5 0
B. 3x z 5 0
C. 3x z 5 0
D. 3x z 5 0
Câu 17: (vận dụng thấp)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A(1; 2;1) và đường thẳng
x y 1
(d ) :
z 3 . Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A và chứa đường thẳng d
3
4
A. 15x 11y z 8 0
B. 15x 11y z 8 0
C. 15x 11y z 8 0
D. 15x 11y z 8 0
3 Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất!
Câu 18: (vận dụng thấp)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho ba điểm A(1;1;1), B (4;1;0) và C (1; 4; 1) .
Mặt phẳng ( P) nào dưới đây chứa đường thẳng AB mà khoảng cách từ C đến (P) bằng 14 .
A. ( P) : x 2 y 3z 2 0
B. ( P) : x 2 y 3z 2 0
C. ( P) : x 2 y 3z 0
D. ( P) : x 2 y 3z 4 0
Câu 19. (vận dụng cao) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho tứ diện ABCD có các đỉnh
A(1;2;1), B(2;1;3), C(2; 1;1), D(0;3;1) . Phương trình mặt phẳng (P) đi qua hai điểm A,B sao cho C,D cùng
phía so với (P) và khoảng cách từ C đến (P) bằng khoảng cách từ D đến (P) là:
A. 4 x 2 y 7 z 1 0
B. 4 x 2 y 7 z 7 0
C. 4 x 2 y 7 z 15 0
D. 4 x 2 y 7 z 15 0
Câu 20: (vận dụng cao) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho tứ diện ABCD có các đỉnh
A(1;2;1), B(2;1;3), C(2; 1;1), D(0;3;1) . Phương trình mặt phẳng (P) đi qua hai điểm A,B sao cho C,D khác
phía so với (P) và khoảng cách từ C đến (P) bằng khoảng cách từ D đến (P) là:
A. 2 x 3z 5 0
B. 2 x 3z 5 0
C. 2 x 3 y 5 0
D. 2 x 3 y 5 0
ĐÁP ÁN TRẮC NGHIỆM
1D
6D
11D
16C
2D
7A
12C
17B
3C
8D
13B
18A
4B
9B
14C
19C
5A
10C
15A
20B
4 Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất!
HƯỚNG DẪN CHI TIẾT
THỰC HIỆN: BAN CHUYÊN MÔN TUYENSINH247.COM
Câu 1.
Phương pháp:
Chuyển phương trình đường thẳng d về dạng tham số. Suy ra tọa độ điểm M (d )
Sau đó thay tọa độ điểm M vào phương trình mặt phẳng để tìm tham số. Kết luận.
Cách làm:
Giả sử M là tọa độ giao điểm của (d) và (P).
x 1 t
x 1 y z 2
d:
d : y 0 t
1
1
3
z 2 3t
Lấy M (d ) M 1 t; t; 2 3t
Vì M ( P) 1 t 2.(t ) (2 3t ) 3 0 4t 2 0 t
1
2
3 1 7
Suy ra ta có M ; ;
2 2 2
Chọn D
Câu 2.
Phương pháp:
Tìm số giao điểm của (d) và (P)
Cách làm:
Giả sử M là tọa độ giao điểm của (d) và (P).
Lấy M (d ) M 2t;1 t;3 t
Vì M ( P) 2t 1 t 3 t 10 0 2t 6 0 t 3
Suy ra ta có M 6; 2;6 , suy ra d cắt (P) tại 1 điểm duy nhất. Do đó, loại đáp án A và B.
Mặt khác giả sử d ( P)
2 1 1
(vô lý). Do đó loại C
1 1 1
Chọn D
Câu 3.
5 Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất!
Phương pháp: d ( P) ud / / nP
u (2; m; m 2)
Cách làm: Ta có d
nP (1;3; 2)
d ( P)
2 m m2
m6
1 3
2
Chọn C
Câu 4.
Phương pháp: Giả sử là góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P). Ta có:
sin
ud .nP
ud . nP
Cách làm:
ud (2; 1;1) ud 4 1 1 6
nP (1;1;1) nP 1 1 1 3
sin
2.1 1.1 1.1
6. 3
2
3 2
2
2807 '
3
Chọn B
Câu 5.
Phương pháp:
- Tìm vecto chỉ phương của đường thẳng AD là AD
- Tìm vecto pháp tuyến của mặt phẳng (ABC) là: AB, AC
- Giả sử là góc giữa đường thẳng AD và mặt phẳng (ABC). Ta có: sin
AD. AB, AC
AD . AB, AC
Cách làm:
Ta có: AD (3; 1;1)
AB(0; 3; 3)
AB, AC 12;3; 3
AC
(
1;
4;0)
6 Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất!
sin
AD. AB, AC
AD . AB, AC
3.(12) 1.3 1.(3)
9 1 1. 144 9 9
30
30
11. 162
1782
45017 '
Chọn A
Câu 6.
Phương pháp:
* (P) vuông góc với d, suy ra nP cùng phương ud .
Cách làm:
Trong các đáp án chỉ có đáp án D thỏa mãn nP cùng phương ud .
Chọn D
Câu 7.
Phương pháp:
* (P) vuông góc với AB, suy ra n AB
* Phương trình mặt phẳng (P) qua M ( x0 ; y0 ; z0 ) và có vecto n (a; b; c) có dạng:
a.( x x0 ) b.( y y0 ) c( z z0 ) 0
Cách làm:
n AB (1;1; 2)
( P) :
1( x 1) 1( y 1) 2( z 1) 0 x y 2 z 2 0
A(1;1;1)
Chọn A
Câu 8.
Phương pháp:
( ) đối xứng với ( ) suy ra ( ) / /( ) n n
( ) đối xứng với ( ) qua I, suy ra I là trung điểm của AA’ với A ; A '
Cách làm:
( ) / /( ) n n (4;3; 7)
Lấy A(0; 1;0) . Gọi A ' là hình chiếu của A qua I
I là trung điểm của AA ' .
7 Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất!
A '(0;3; 2)
4( x 0) 3( y 3) 7( z 2) 0
4x 3y 7z 5 0
Chọn D
Câu 9.
Phương pháp:
( P) (d ) nP ud
Phương trình mặt phẳng (P) qua M ( x0 ; y0 ; z0 ) và có vecto n (a; b; c) có dạng :
a.( x x0 ) b.( y y0 ) c( z z0 ) 0
Cách làm:
Ta có:
( P) (d ) nP ud (1; 2;3)
A(1; 2; 3) ( P)
( P) : 1( x 1) 2( y 2) 3( z 3) 0
x 2 y 3z 14 0
Chọn B
Câu 10.
Phương pháp:
( P) (d ) nP ud
Phương trình đường thẳng (d) qua M ( x0 ; y0 ; z0 ) và có vecto u (a; b; c) có dạng: d :
x x0 y y0 z z0
a
b
c
Cách làm: Ta có:
( P) (d ) ud nP (1;1; 2)
x 1 y 2 z 3
d:
1
1
2
A(1; 2; 3) (d )
Chọn C
Câu 11.
Phương pháp: Sử dụng phương trình mặt chắn:
Mặt phẳng ( ) cắt 3 trục tọa độ tại 3 điểm M (a;0;0), N (0; b;0), P(0;0; c) có phương trình là:
x y z
1
a b c
Cách làm:
8 Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất!
Áp dụng phương trình mặt chắn có
x y z
( ) :
1 2 x 6 y 3z 12
6 2 4
Chọn D
Câu 12.
Phương pháp:
- Tìm tọa độ các điểm A,B,C lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm M 8; 2; 4 lên các trục Ox, Oy, Oz .
- Sử dụng phương trình mặt chắn:
Mặt phẳng ( ) cắt 3 trục tọa độ tại 3 điểm M (a;0;0), N (0; b;0), P(0;0; c) có phương trình là:
x y z
1
a b c
Cách làm:
A,B,C lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm M 8; 2; 4 lên các trục Ox, Oy, Oz . Suy ra ta có:
A 8;0;0 ; B 0; 2;0 ; C 0;0;4
Áp dụng phương trình mặt chắn có
x y z
( ) :
1 x 4 y 2z 8
8 2 4
Chọn C
Câu 13.
Phương pháp:
( P) / / d1 , d2 nP u1 , u2
Phương trình mặt phẳng (P) qua M ( x0 ; y0 ; z0 ) và có vecto n (a; b; c) có dạng:
a.( x x0 ) b.( y y0 ) c( z z0 ) 0
Cách làm:
u1 1; 1; 1
u1 ; u2 (3; 2; 1)
Ta có:
u2 2; 3;0
Vì ( P) / / d1 , d2 nP u1 , u2 (3; 2; 1)
Ta có:
9 Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất!
n (3; 2; 1)
( P) : P
3( x 1) 2( y 2) ( z 3) 0
A(1; 2;3)
3x 2 y z 10 0
Chọn B
Câu 14.
Phương pháp:
Vì vuông góc với d và song song với (P) u [nP , ud ]
Phương trình đường thẳng qua M ( x0 ; y0 ; z0 ) và có vecto u (a; b; c) có dạng:
d:
x x0 y y0 z z0
a
b
c
Cách làm:
nP 1; 1; 1
nP ; ud (2; 5;3)
Ta có:
u
2;1;3
d
Vì vuông góc với d và song song với (P) u nP , ud 2; 5;3
Ta có:
u (2; 5;3)
x 1 y 1 z 2
x 1 y 1 z 2
() :
2
5
3
2
5
3
A(1;1; 2) ()
Chọn C
Câu 15.
Phương pháp:
- Vì ( P) đi qua hai điểm A, B và song song với đường thẳng d nên ta có nP AB;ud
- Phương trình mặt phẳng (P) qua M ( x0 ; y0 ; z0 ) và có vecto n (a; b; c) có dạng:
a.( x x0 ) b.( y y0 ) c( z z0 ) 0
Cách làm:
AB 1; 2; 1
AB; ud (5;1;3)
Ta có:
ud 1; 1; 2
Vì ( P) đi qua hai điểm A, B và song song với đường thẳng d nên ta có nP AB; ud 5;1;3
10 Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất!
Ta có:
n (5;1;3)
( P) : P
5( x 1) ( y 1) 3( z 2) 0
A
(1;1;
2)
(
P
)
5 x y 3z 2 0 5 x y 3z 2 0
Chọn A
Câu 16.
Phương pháp:
- (P) chứa đường thẳng d và vuông góc với (Q) n ud , nQ
- Vì (P) chứa đường thẳng d nên lấy A (d ) , ta có A ( P)
- Phương trình mặt phẳng (P) qua M ( x0 ; y0 ; z0 ) và có vecto n (a; b; c) có dạng:
a.( x x0 ) b.( y y0 ) c( z z0 ) 0
Cách làm:
ud 1; 2;3
ud ; nP 9;0; 3
Ta có:
nP 1; 1;3
Vì (Q) chứa đường thẳng d và vuông góc với (P) n [ud , nP ] . Chọn n (3;0; 1)
Lấy A(2; 1;1) ( d) , suy ra A (Q)
Ta có:
n (3;0; 1)
(Q) :
3( x 2) 1( z 1) 0 3x z 5 0
A(2; 1;1) (Q)
Chọn: C
Câu 17.
Phương pháp:
- Vì (P) chứa đường thẳng d nên lấy B d , ta có B ( P)
- (P) chứa đường thẳng d và đi qua A, B n ud , AB
- Phương trình mặt phẳng (P) qua M ( x0 ; y0 ; z0 ) và có vecto n (a; b; c) có dạng:
a.( x x0 ) b.( y y0 ) c( z z0 ) 0
Cách làm:
11 Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất!
Chọn B(0;1; 3) d , suy ra B ( P)
ud 3; 4;1
ud ; AB (15;11;1)
Ta có:
AB
1;
1;
4
Vì (P) chứa đường thẳng d và đi qua A, B n ud , AB (15;11;1)
Ta có:
n (15;11;1)
( P) : P
( P) : 15( x 1) 11( y 2) ( z 1) 0 15 x 11y z 8 0
A
(1;
2;1)
(
P
)
Chọn B
Câu 18.
Phương pháp:
Lần lượt kiểm tra các điều kiện A ( P); B ( P) và d (C,( P)) 14 .
Cách làm:
Xét đáp án A có
1 2.1 3.1 2 0 A ( P)
4 2.1 3.0 2 0 B ( P)
d (C , ( P))
| 1 8 3 2 |
14
1 4 9
Chọn A
Câu 19.
Phương pháp:
Vì C,D cùng phía so với (P) và khoảng cách từ C đến (P) bằng khoảng cách từ D đến (P) nên ta có ( P) / /CD
n [ AB, CD]
( P) : P
A(1; 2;1) ( P)
Cách làm:
Vì C,D cùng phía so với (P) và khoảng cách từ C đến (P) bằng khoảng cách từ D đến (P) nên ta có ( P) / /CD
Ta có
AB (3; 1;2); CD (2;4;0) AB; CD (8; 4; 14)
12 Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất!
Vì (P)//CD và (P) đi qua hai điểm A,B nên ta có nP AB; CD . Chọn nP (4; 2;7)
n (4; 2;7)
( P) : P
( P) : 4( x 1) 2( y 2) 7( z 1) 0 4 x 2 y 7 z 15 0
A
(1;
2;1)
(
P
)
Chọn C
Câu 20.
Phương pháp:
C,D khác phía so với (P) và khoảng cách từ C đến (P) bằng khoảng cách từ D đến (P) nên trung điểm của CD là
I ( P) . Do đó, mặt phẳng (P) đi qua 3 điểm A, B, I.
Cách làm:
Gọi I là trung điểm của CD, suy ra I (1;1;1)
Vì C, D khác phía so với (P) và khoảng cách từ C đến (P) bằng khoảng cách từ D đến (P) nên I ( P) .
Do đó, mặt phẳng (P) đi qua 3 điểm A,B,I.
Ta có
AI (0; 1;0); BI (3;0; 2) AI ; BI (2;0;3)
n AI , BI = 2;0;3
( P) : P
( P) : 2( x 1) 3( z 1) 0 2 x 3z 5 0
A(1; 2;1)
Chọn B
13 Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất!