Bài tập tổ hợp

ĐẠI SỐ TỔ HP .
Dạng 1: giải phương trình, hệ phương trình.
Giải các phương trình sau :
1.
6
1
)!1(
)!1(!
=
+
−−
m
mm
2.
2
2
=
x
A
3. 3P
x
=
x
A
3
4.
xxx
CCC
654
111
=−

5.
3
3
5
240
+
+
−
+
=
y
x
yx
x
A
P
P
6.
xA
x
20
3
=

7.
4
2
5
18
−

=
xx
AA
8.
3
12
=−
xx
AA
9.
23
24
43
1
4
=
−
−
+
x
xx
x
CA
A

10.
48.
12
=
−

n
nn
CA
11.
210
.
3
4
1
2
=
−
−
+
PA
P
x
x
x
12.
6
1
1
1
=
−
+
−
x
xx

P
PP
13.
3
44
2
3
2
=
x
x
C
C

14.
3
1
3
54
−
=
xx
CC
15.
30800
3
54
6
56
=

+
+
x
x
A
A
16.
52
225
42
24
2
28
=
−x
x
C
C
.
17. Cho
2
1818
+
=
nn
CC
. Tìm
n
C
5

.
18. Cho
812
nn
CC
=
.Tìm
17
n
C
,
22
n
C
.
19.
10
6
2
1
322
2
+≤−
xxx
C
x
AA
.
20.
1

1
1
2
2
6
)!1(
+
+
+
+
+
<
+
+
n
n
n
n
n
n
C
n
A
C
(n
∈N)
21.
2
3
5

60
)!(
+
+
+
≤
−
k
n
n
A
kn
P
(n,k ∈N)
22.
79
21
=++
−−
n
n
n
n
n
n
CCC
.
23.
2:5:6::
11

1
=
−+
+
y
x
y
x
y
x
CCC
24.
2
2
1
2
2
5
n
n
n
n
n
ACC
>+
+
−
+
(n ∈N)
25.

2
3
2
2
18
xx
AA
=+
26.
864
22
2
+≤−
xCA
xx
.
27. Giải hệ





=−
=+
8025
9052
y
x
y
x

y
x
y
x
CA
CA
28.
0
4
5
2
2
3
1
4
1
=−−
−−−
nnn
ACC
.
29.
xxx
CCC
765
1425
=−
.
30. Giải phương trình:
)2(672

22
xxxx
PAAP
+=+
.
31. (TN 99)Giải phương trình : 24
( )
443
1
23
x
x
xx
ACA
=−
−
+
.
32. Giải phương trình :
1002
333222
=++
−−
x
xxxx
x
xx
CCCCCC
.
33. Tìm số nguyên dương x, y:

10:60:21::
11
1
=
−−
−
y
x
y
x
y
x
CAA
.
34. Cho
2005,
≤∈
kNk
. Tìm k sao cho
k
C
2005
đạt giá trò lớn nhất.
35. Giải phương trình:
1262
22
=−+
nnnn
PAAP
.

36. Tính giá trò biểu thức M=
)!1(
3
34
1
+
+
+
n
AA
nn
. Biết
14922
2
4
2
3
2
2
2
1
=+++
++++
nnnn
CCCC
37. Với k, n là các số nguyên sao cho
nk
≤≤
4
. Chứng minh:

k
n
k
n
k
n
k
n
k
n
k
n
CCCCCC
4
4321
464
+
−−−−
=++++
.
38. Chứng minh:
m
n
k
m
km
kn
k
n
CCCC ..

=
−
−
39. Tìm các số âm trong dãy số x
1
,x
2
,x
3
,x
4
,x
5
,…,x
n
. với x
n
=
nn
n
PP
A
4
143
2
4
4
−
+
+

.(AN-A).
40. C/m rằng với
Nn
∈
(n≥2) ta có:
n
n
AAAA
n
11
...
111
22
4
2
3
2
2
−
=++++
(AN-A).
41. Chứng minh rằng nếu: 0<k<2001 thì:
2001 2001 2001 2
4002 4002 4002
. ( )
k k
C C C
− +
≤
42. Cho k và n là các số nguyên thỏa

0 k n≤ ≤
. Cm:
2
2 2 2
. ( )
n n n
n k n k n
C C C
+ −
≤
Dạng 2: Bài toán chọn.
43. Từ Sài Gòn đi Hà Nội có thể đi bằng ô tô, tàu hoả, tàu thuỷ và máy bay. Từ Hà Nội đi Hải Phòng có thể
đi bằng ô tô và máy bay. Để đi từ Sài Gòn ra Hải Phòng bắt buộc phải qua Hà Nội. Hỏi có bao nhiêu cách
sử dụng phương tiện để đi từ Sài Gòn ra Hải Phòng.
44. Cho các số 0; 1; 3; 4; 5. Lập được bao nhiêu số từ 5 số trên biết:
a) Số có 4 chữ số khác nhau.
b) Số có 3 chữ số khác nhau.
c) Số có 5 chữ số khác nhau.
d) Số chẵn, có 4 chữ số khác nhau đôi một.
e) Số chia hết cho 5, có 3 chữ số khác nhau.
f) Số chia hết cho 9, có 3 chữ số khác nhau.
g) Số chia hết cho 6, có 3 chữ số khác nhau.
h) Số có 4 chữ số.
i) Số có 3 chữ số khác nhau đôi một, biết tổng các chữ số nhỏ hơn hoặc bằng 7.
45. Có bao nhiêu số gồm 6 chữ số, khác nhau đôi một, trong đó:
a) Chữ số đầu là lẻ.
b) Chữ số đầu là chẵn.
46. Một tổ học sinh có 5 nữ, 4 nam xếp hàng dọc.
a) Có bao nhiêu cách xếp.
b) Có bao nhiêu cách xếp cho nam, nữ xen kẻ.

47. Có bao nhiêu lẻ số gồm 6 chữ số, khác nhau đôi một lớn hơn 500000.
48. Cho các số 0; 1; 2; 3; 4; 5 có thể lập được :
a) bao nhiêu số có 4 chữ số khác nhau đôi một.
b) Bao nhiêu số lẻ có 4 chữ số khác nhau đôi một.
c) Bao nhiêu số chẵn có 4 chữ số khác nhau đôi một.
49. Cho các số 0; 1; 3; 5; 7. Lập được bao nhiêu số có 4 chữ số khác nhau và không chia hết cho 5.
50. Từ các số 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6 có thể lập được:
a) Bao nhiêu số chẵn gồm 5 chữ số khác nhau đôi một.
b) Bao nhiêu số gồm 5 chữ số khác nhau đôi một < 30000.
Dạng 3: Bài toán áp dụng tổ hợp, chỉnh hợp, hoán vò.
Lập các số
51. Cho các số 1; 2; 3; 4; 5
a) Có bao nhiêu số có 5 chữ số khác nhau từ 5 số trên.
b) Có bao nhiêu số có 3 chữ số khác nhau từ 5 số trên.
c) Có bao nhiêu cách chọn ra bộ 3 số từ 5 số trên.
52. Có bao nhiêu số chẵn có 4 chữ số đôi một khác nhau.
53. Có bao nhiêu số tự nhiên nhỏ hơn 10000 được tạo thành từ các số 0; 1; 2; 3; 4.
54. Cho các số 0; 1; 2; 3; 4; 5. Có bao nhiêu số có 3 chữ số khác nhau đôi một từ các số trên. Trong đó có
bao nhiêu số chẵn.
55. Có bao nhiêu số gồm 5 chữ số sao cho tổng các chữ số là một số lẻ.
56. Từ 4 chữ số 4, 5, 6 ,7 có thể lập được bao nhiêu số có các chữ số phân biệt.
57. Từ các số 0, 1, 2, 3, 4, 5. Có thể lập được bao nhiêu số có 5 chữ số đôi một khác nhau và chia hết cho 2.
58. Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số đôi một khác nhau. Có 2 chữ số chẵn khác 0 và 3 chữ số lẻ.
Trong đó có bao nhiêu số mà hai chữ số đứng kề nhau khác tính chất chẵn lẻ
59. Có bao nhiêu số gồm 6 chữ số, khác nhau đôi một, trong đó: có đúng 3 chữ số chẵn và 3 chữ số lẻ.
60. (ND-KII-02) Cho các số 1, 2, 3, 4, 5, 6. Có bao nhiêu số có 5 chữ số tạo thành từ 6 số trên, trong đó chữ
số đứng sau lớn hơn chữ số đứng trước.
61. Có bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số mà cả 3 chữ số đều là số chẵn
62. Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số trong đó các chữ số cách đều chữ số đứng giữa giống nhau
63. Có bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau và khác 0 biết tổng 3 chữ số bằng 8.

64. (HVQHQT) Cho 1,2,3,4,5,6,7,8,9. Có bao số có 9 chữ số khác nhau được lập từ các số trên thoả mãn số
9 đứùng chính giữa.
65. Cho các chữ số 1,2,3,4,5,6,7,8,9, lập được bao nhiêu số chẵn, có 3 chữ số đôi một khác nhau không lớn
hơn 789.
66. Có bao nhiêu số chẵn lớn hơn 5.000 gồm bốn chữ số khác nhau.
67. Cho các số 1; 2; 3; 4.
a) Có thể lập được bao nhiêu số gồm 4 chữ số khác nhau từ 4 số trên.
b) Tìm tổng các số ở câu a.
68. (SPHN-II) Tìm tổng các số tự nhiên gồm 3 chữ số khác nhau được lập từ 1,3,4,5,7.
69. Có bao nhiêu số có đúng 2006 chữ số mà tổng các chữ số bằng 4.
Chọn các tập hợp liên quan đến người
70. Lớp có 30 nam và 15 nữ. Chọn 6 bạn để lập tốp ca. Hỏi có bao nhiêu cách chọn nếu:
a) Có ít nhất 2 nữ.
b) Chọn tuỳ ý.
71. Đội thanh niên tình nguyện có 12 nam và 3 nữ. Phân công đội thành 3 tổ. Hỏi có bao nhiêu cách phân
công sao cho mỗi tổ có 4 nam, 1 nữ.
72. Có 5 nhà toán học nam, 3 nhà toán học nữ và 4 nhà vật lí nam. Có bao nhiêu cách lập đoàn công tác
gồm 3 người đủ cả nam, nữ, toán, lí.
73. Đội tuyển học sinh giỏi của trường có 10 em, trong đó có 5 h/s khối 12, 3 h/s khối 11 và 2 h/s khối 10,
hỏi có bao nhiêu cách cử 5 học sinh đi dự trại hè sao cho mỗi khối có ít nhất 1 em được chọn.
74. Có 10 học sinh giỏi, 4 khá và 3 trung bình. Có mấy cách chọn 3 học sinh nếu:
a) Mỗi loại 1 học sinh.
b) Không có học sinh trung bình.
75. Một tập thể gồm 14 người (6 nam, 8 nữ) trong đó có An và Bình.
a) Lập một tổ công tác gồm 6 người, trong tổ phải có nam và nữ.
b) Lập một tổ công tác gồm 6 người, trong đó có một tổ trưởng, 5 tổ viên, hơn nữa An và Bình không đồng
thời có mặt trong tổ . Hỏi có mấy cách chọn.
76. (HVKTQS) Có 3 h/s giỏi, 5 khá , 8 trung bình. Có bao nhiêu cách chia thành hai tổ, 1 tổ 8 người sao cho
mỗi tổ đều có học sinh giỏivà ít nhất 2 học sinh khá.
77. Lớp có 3 tổ, tổ 1 có 9 bạn, tổ 2 có 7 bạn, tổ 3 có 5 bạn, chọn 13 bạn đi dự trại hè, có bao nhiêu cách

chọn biết mỗi tổ phải còn lại ít nhất 1 bạn.
78. Có 12 học sinh. Chọn 5 học sinh gồm 1 trưởng đoàn, 1 thư ký và 3 thành viên đi dự đại hội. Hỏi có mấy
cách chọn.
79. Có 15 học sinh (10 nam, 5 nữ). Chọn 8 học sinh lập đội văn nghệ, biết rằng trong đội có ít nhất 3 nữ.
Hỏi có mấy cách chọn.
Các bài toán về phép đếm
80. Tìm số đường chéo của đa giác lồi n cạnh.
81. Cho thập giác lồi đều. Tìm:
a. Số đường chéo của thập giác.
b. Tìm số tam giác có 1 cạnh là 1 cạnh của thập giác.
c. Tìm số tam giác có 2 cạnh là 2 cạnh của thập giác.
d. Tìm số tam giác không có cạnh nào là cạnh của thập giác.
82. Cho hai đường thẳng(∆
1
) //(∆
2
). Trên (∆
1
) lấy 7 điểm phân biệt, trên (∆
2
) lấy 16 điểm phân biệt.
a. Tính số đường thẳng nối hai điểm trong số 23 điểm đã chọn trên (∆
1
); (∆
2
).
b. Tính số ∆ có các đỉnh trong số 23 điểm đã chọn trên (∆
1
); (∆
2

).
83. Cho hai đường thẳng(∆
1
) cắt (∆
2
) tại O. Trên (∆
1
) lấy 7 điểm phân biệt khác O, trên (∆
2
) lấy 16 điểm
phân biệt khác O.
a. Tính số đường thẳng nối hai điểm trong số các điểm đã chọn trên (∆
1
); (∆
2
).
b. Tính số ∆ có các đỉnh trong số các điểm đã chọn trên (∆
1
); (∆
2
).
84. (KB-02) Cho đa giác đều A
1
A
2
……A
2n
(n
2
≥

, n ∈ Z) nội tiếp đường tròn (O). biết số tam giác có các đỉnh
là 3 trong 2n điểm A
1
; A
2
;……A
2n
nhiều gấp 20 lần số hình chữ nhật có các đỉnh là 4 trong 2n trên. Tìm n.
85. Có 2n người tham gia thi đấu cờ vua. Giả sử 1 người chơi đúng một ván với người khác. Hởi có bao
nhiêu ván cờ.
Số có các chữ số lặp lại:
86. (AN-D -02) Cho các số 0,1, 2, 3, 4. Có bao nhiêu số có 7 chữ số tạo thành từ 5 số trên, trong đó chữ số 4
có mặt đúng 3 lần, các chữ số khác có mặt đúng 1 lần.
87. Có thể lập được bao nhiêu số gồm 8 chữ số từ các số 1; 2; 3; 4; 5; 6. Trong đó các số 1; 6 có mặt 2 lần,
các số khác có mặt một lần.
88. (QG-HCM) Có bao nhiêu số tự nhiên có 7 chữ số biết chữ số 2 có mặt 2 lần, chữ số 3 có mặt 3 lần, các
chữ số khác có mặt không quá 1 lần.
89. Có bao nhiêu số khác nhau gồm 10 chữ số, trong đó có đúng 4 chữ số 2 và 6 chữ số 1.
90. Cho các số 1; 2; 3; 4; 5. Có thể lập được bao nhiêu số có 6 chữ số từ 5 số trên. Trong đó có 1 chữ số
xuất hiện 2 lần, các số khác xuất hiện 1 lần.
91. Từ 3 số 2; 3; 4. Có thể lập được bao nhiêu số có 5 chữ số trong đó có đủ 3 chữ số trên.
92. (Huế) Có bao nhiêu số có 4 chữ số sao cho không có chữ số nào lặp lại đúng 3 lần.
Số có chữ số nhất thiết có mặt. Không được có mặt
93. (KTQD) Cho các số:0, 1, 2, 3, 4, 5, 6. Lập được bao số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau từ 7 số trên, nhất
thiết phải có chữ số 5.
94. Cho các số:1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Lập được bao số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau từ 7 số trên, nhất thiết
phải có chữ số 1, 5.
95. (QG-HCM) Có bao số tự nhiên gồm 6 chữ số đôi một khác nhau, có chữ số 0 nhưng không có chữ số 1.
96. Có bao số tự nhiên gồm 6 chữ số đôi một khác nhau, chữ số hàng trăm ngàn khác 0 và phải có mặt chữ
số 2.

Số có các chữ số kề nhau, không kề nhau
97. (NThương) Cho 1, 2, 3, 4, 5, 6. Hỏi có bao nhiêu số có 6 chữ số khác nhau mà 1 và 6 không đứng cạnh
nhau.
98. Có 5 cuốn sách toán khác nhau, 4 sách lý khác nhau và 3 sách hóa khác nhau.
c. Có bao nhiêu cách xếp các cuốn sách lên giá sách.
d. Có bao nhiêu cách xếp các cuốn sách lên giá sách, biết các cuốn sách cùng môn thì ở gần nhau.
e. Chọn ra 5 cuốn sách để tặng cho 5 bạn học sinh, có bao nhiêu cách.
f. Chọn ra 5 cuốn sách để tặng cho 5 bạn học sinh, có bao nhiêu cách biết rằng còn lại ít nhất một cuốn
sách hóa.
99. (CThơ-02) Một nhóm gồm 10 học sinh (7nam, 3 nữ), hỏi có bao nhiêu cách xếp thành một hàng dọc sao
cho 7 học sinh nam đứng liền nhau.
100. Có 3 nhà khoa học người Nga, 4 nhà khoa học người Pháp, 2 nhà khoa học người Ý. Có bao nhiêu
cách xếp chỗ ngồi nếu:
a. Các nhà khoa học ngồi chung 1 bàn.
b. Các nhà khoa học ngồi chung 1 bàn sao cho người cùng quốc tòch ngồi cạnh nhau.
c. Các nhà khoa học ngồi chung 1 bàn tròn và người cùng quốc tòch ngồi cạnh nhau.
Dạng 4: Tìm hệ số, tổng, c/m các hệ thức dựa vào công thức khai triển nhò thức Newton.
Loại 1: Tìm hệ số, số hạng trong khai triển
101. Tìm số hạng không chứa x trong khai triển:
12
)
1
( x
x
+
102. Tìm số hạng không chứa x trong khai triển:
20
3
)2
3

( x
x
+
(x>0).
103. Tìm số hạng không chứa x trong khai triển:
7
3
4
)
1
( x
x
+
(x >0)
104. Tìm số hạng không chứa x trong khai triển:
17
4
3
3
2
)
1
( x
x
+
(x ≠0). (QGHN- B)
105. Tìm số hạng không chứa x trong khai triển:
133
3 2
)

1
( x
x
+
(x >0).
106. Tìm hệ số của x
31
trong khai triển:
40
2
)
1
( x
x
+
(x ≠0). (NN-A).
107. Tìm hệ số của số hạng chứa x
4
trong khai triển:
12
)
3
3
(
x
x
+−
(x ≠0).
108. Tìm số hạng không chứa x trong khai triển:
103

2
)2
1
( x
x
+
(x ≠0).
109. Cho P(x)= (2x
102
)x
+
.
a. Tìm số hạng chứa x
8
.
b. Tìm hệ số của số hạng chứa x
5
.
c. Tìm hệ số của số hạng không phụ thuộc x.
110. Cho P(x)=(1+x)
9
+(1+x)
10
+…+(1+x)
14
a. Tìm hệ số của x
9
b. Tìm hệ số của x
14
111. Cho

79
21
=++
−−
n
n
n
n
n
n
CCC
. Tìm số hạng không phụ thuộc x trong khai triển: (
n
xxx )
15
28
3
−
+
(SPHN-01)
112. Tìm hệ số chứa x
8
trong khai triển
n
x
x
)
1
(
5

3
+
biết rằng
)3(7
3
1
4
+=−
+
+
+
nCC
n
n
n
n
(KA-03).
113. Trong khai triển nhò thức: (
n
x
x
)
4
1
2
+
. Biết tổng hệ số của hạng tử thứ 2 và hạng tử thứ 3 là 36.
Hạng tử thứ 3 gấp 7 lần hạng tử thứ 2. Tìm n và x.
114. Cho
3

n
C
=
1
5
n
C
và số hạng thứ 4 trong khai triển (
n
x
x
)22
3
2
1
−
−
+
bằng 20n. Tìm x, n.
115. Cho đa thức: P(x)=
10
)23(
−
x
.Tìm hệ số chứa x
2
và tính tổng các hệ số trong khai triển trên.
116. Cho đa thức: P(x)=
n
x

x
)
1
(
3
+
.Tìm hệ số chứa x
6
biết tổng các hệ số trong khai triển trên là 1024.
117.
8
)
2
1
(
+
x
=A
0
+A
1
x+A
2
x
2
+ A
3
x
3
+A

4
x
4
+… +A
8
x
8
. Tìm x biết A
4
x
4
=70.
118. Tìm n sao cho 3 hệ số đầu tiên trong khai triển
n
xx )
2
1
(
4
+
lập thành cấp số cộng.
119. Biết tổng 2 hệ số đầu tiên trong khai triển
n
x
x )
1
(
+
bằng 24. Tính tổng các hệ số của các luỹ thừa
bậc nguyên dương của x và chứng tỏ tổng này là một số chính phương.

120. Tìm số hạng chứa luỹ thừa nguyên trong khai triển:
8
4
)
2
1
(
x
x
+
.
121. Tìm số hạng không chứa căn thức trong khai triển:
24
7
3
)23(
+
.
122. Tìm số nguyên trong khai triển:
12
3
)32(
+
.
123. Tìm số hạng chứa a, b trong khai triển có số mũ bằng nhau:
21
3
3









+
a
b
b
a
.
124. Tìm số hạng thứ 6 trong khai triển
n
yx )(
+
biết hệ số của số hạng thứ 3 bằng 45.
125. Cho
( )
n
x
+
1
=
n
n
xaxaxaxaa
+++++
...
3

3
2
210
.biết rằng tồn tại số k nguyên t/m
11
−≤≤
nk
để
2492
11
+−
==
kkk
aaa
. Tìm n
126. Biết
)2()1(
10
++
xx
=
1110
10
1
11
... axaxax
++++
. Tìm a
5
.

127. Giả sử có khai triển:
1
)1()1(
−
++−
nn
xxx
=
n
n
xaxaa
+++
...
1
10
. Biết tổng các hệ số trong khai
triển là 512. Tìm a
3
.
128. (KA-04)Cho P(x)= [1+(1-x)x
2
]
8
.Tìm số hạng chứa x
8
trong khai triển của P(x)
129. Cho P(x)=
9
2
)

1
21(
x
x
−+
.Tìm số hạng không chứa x trong khai triển của P(x).
130. Cho P(x)=
7
3
2
)
1
21(
x
x
+−
.Tìm hệ số của số hạng chứa
3
1
x
trong khai triển.
131. Cho P(x)=
( )
10
2
1 xx
++
=
20
20

3
3
2
210
... xaxaxaxaa
+++++
. Tìm
4
a
.
132. Xác đònh hệ số của
6635
tzyx
trong khai triển đa thức:
( )
20
tzyx
+++
.
133. Cho n là số nguyên dương. Gọi a
3n-3
là hệ số của x
3n-3
trong khai triển thành đa thức của
nn
xx )2()1(
2
++
. Tìm n để a
3n-3

= 26n.(KD-03).
134. Tìm hệ số của số hạng chứa x
2
trong khai triển:
103
)
1
1( x
x
++
(x ≠0).
135. Cho
1000
)2,01(
+
. Tìm hạng tử lớn nhất trong khai triển trên.
136. Cho
12
)21( x
+
. Tìm hệ số lớn nhất trong khai triển trên.(HVKTQS).
137. Cho
10
)
3
2
3
1
( x
+

. Tìm hệ số lớn nhất trong khai triển trên.(SPHN-A).
138. Cho
( )
n
x21
+
=
n
n
xaxaxaxaa
+++++
...
3
3
2
210
. Biết
729...
210
=++++
n
aaaa
. Tìm n và số lớn
nhất trong các số:
n
aaaa ,...,,,
210
.
139. Cho
( )

100
2 x
+
=
100
100
3
3
2
210
... xaxaxaxaa
+++++
. C/m a
2
<a
3
. tìm k để
1
+
<
kk
aa
Loại 2: Tính tổng và chứng minh các hệ thức.
140. Tính A =
n
nnnnn
CCCCC
+++++
....
3210

.
141. Chứng minh
n
nnnn
CCCC
2
2
4
2
2
2
0
2
....++++
=
12
2
3
2
1
2
....
−
+++
n
nnn
CCC
.