SKKN hướng dẫn học sinh sử dụng hàm số để giải bài toán về phƣơng trình đƣờng thẳng, phƣơng trình mặt phẳng và tìm điểm trong hình học giải tích

MỤC LỤC
PHẦN I. MỞ ĐẦU .............................................................................................. 1
I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI ............................................................................... 1
II. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU ..................................................................... 1
III. ĐỐI TƢỢNG NGHIÊN CỨU ................................................................. 1
IV. ĐỐI TƢỢNG ÁP DỤNG .......................................................................... 1
V. TÀI LIỆU THAM KHẢO ......................................................................... 1
VI. PHƢƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU ........................................................... 2
PHẦN II. NỘI DUNG ......................................................................................... 4
I. DẠNG 1: PHƢƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG ............................................ 4
II. DẠNG 2: PHƢƠNG TRÌNH ĐƢỜNG THẲNG .................................... 7
PHẦN III: KẾT LUẬN - KIẾN NGHỊ ........................................................... 11
I - KẾT LUẬN ............................................................................................... 11
II - KIẾN NGHỊ............................................................................................. 11

Gv: Nguyễn Văn Phú – Tel: 0888 686 070


PHẦN I. MỞ ĐẦU
I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Chúng ta đã biết, bài toán về phương trình đường thẳng, phương trình mặt
phẳng và tìm điểm là những bài toán chiếm một lượng khá lớn trong chương
trình phổ thông. Tuy nhiên trong số các bài tập đó có một lượng lớn bài tập mà
ta không thể giải được bằng phương pháp thông thường hoặc có thể giải được
nhưng gặp rất nhiều khó khăn và phức tạp.
Giữa phương trình đường thẳng, phương trình mặt phẳng và tìm điểm và
hàm số có mối liên quan rất chặt chẽ. Tuy vậy không phải bài nào cũng có thể sử
dụng hàm số để giải nhưng nếu biết ứng dụng đạo hàm của hàm số để giải thì
bài toán trở nên đơn giản. Trong quá trình giảng dạy, khi cung cấp cho học sinh
mảng kiến thức này tôi thấy các em rất hứng thú và tự tin không thấy ngại khi
gặp những bài toán khó về viết phương trình đường thẳng, phương trình mặt

phẳng và tìm điểm. Vì vậy tôi chọn đề tài sáng kiến kinh nghiệm là: "Hƣớng
dẫn học sinh sử dụng hàm số để giải bài toán về phƣơng trình đƣờng thẳng,
phƣơng trình mặt phẳng và tìm điểm trong hình học giải tích".
II. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU
- Trang bị cho học sinh lớp 12 về một phương pháp giải bài toán về phương
trình đường thẳng, phương trình mặt phẳng và tìm điểm trong hình học giải tích
- Bồi dưỡng cho học sinh về phương pháp, kỹ năng giải toán. Qua đó học sinh
nâng cao khả năng tư duy, sáng tạo.
III. ĐỐI TƢỢNG NGHIÊN CỨU
- Các dạng toán giải về phương trình đường thẳng, phương trình mặt phẳng và
tìm điểm nằm trong chương trình toán phổ thông .
- Phân loại các dạng toán thường gặp và phương pháp giải mỗi dạng.
IV. ĐỐI TƢỢNG ÁP DỤNG
- Ôn tập kiến thức cơ bản cho học sinh khối 12.
- Ôn thi đại học.
V. TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Sách giáo khoa chương trình cơ bản và nâng cao lớp 12
2. Các đề thi đại học cao đẳng từ năm 2002 đến năm 2018
3. Các số báo của toán học tuổi trẻ từ năm 2008 đến năm 2018
4. Sách tham khảo hình giải tích của Phan Huy Khải
5. Sách tham khảo hình giải tích của Trần Phương
6. Sách tham khảo hình giải tích của Nguyễn Văn Dũng
1


7.
8.
9.
10.
11.

12.
13.
14. />VI. PHƢƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
Phương pháp chung của dạng bài tập này
− Với các bài toán về phương trình đường thẳng, phương trình mặt phẳng
và tìm điểm, ta sử dụng các mối liên hệ của đề bài và lập hàm số để giải.
− Sử dụng các công thức:
 Công thức tính góc giữa hai đường thẳng cos  

u1.u2
u1 . u2

trong đó

u1 , u2 lần lượt là hai vecto chỉ phương của hai đường thẳng.



Công thức tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng sin  

n.u
u .u

trong đó n, u lần lượt là hai vecto pháp tuyến và vecto chỉ phương
của đường thẳng và mặt phẳng.
 Công thức tính góc giữa hai đường thẳng cos  

n1.n2
n1 . n2

trong đó

n1 , n2 lần lượt là hai vecto pháp tuyến của hai mặt thẳng.



Công thức tính khoảng cách giữa hai điểm

 x B -x A  +  yB -yA  +  z B -z A 
 Khoảng cách từ điểm M 0  x0 ; y0 ; z0  đến mặt phẳng () có phương
AB=

2

2

2

trình Ax  By  Cz  D  0 là: d  M 0 ,(α)  =


Ax 0 +By0 +Cz 0 +D
A 2 +B2 +C2

Khoảng cách từ điểm M 1 đến đường thẳng  đi qua M 0 và có
vectơ chỉ phương u là: d(M1 ,Δ)=

2

 M M ,u 

 0 1 

u


 Khoảng cách giữa hai đường thẳng  và ’, trong đó  đi qua điểm
M 0 , có vectơ chỉ phương u và đường thẳng ’ đi qua điểm M 0' , có
 u,u' .M 0 M 0'
vectơ chỉ phương u' là: d(,Δ')=  
 u,u'


1
 Công thức tính diện tích tam giác : SABC =  AB,AC 
2
 Công thức tính thể tích hình hộp : VABCD.A'B'C'D' = AB,AD  .AA'
1
 Công thức tính thể tích tứ diện : VABCD =  AB,AC  .AD
6

Chú ý :
Các công thức tính góc nêu trên có điều kiện : 0   ,  

3


2


PHẦN II. NỘI DUNG

I. DẠNG 1: PHƢƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG
x 1 y z  2
. Lập phương trình
 
2
1
2
mặt phẳng (  ) chứa d sao cho khoảng cách từ A(2;5;3) tới (  ) là lớn nhất.

Ví dụ 1:(ĐH – A2008) Cho mặt phẳng d :

Hƣớng dẫn giải:
Phương trình mặt phẳng (  ) chứa d có vecto pháp tuyến:
n( A; B; C ), A2  B2  C 2  0 có dạng: A( x  1)  By  C ( z  2)  0
Ta có : d  ( )  ud .n  0  B  2 A  2C
9 AC

( A  C )2
Khi đó: d ( A,( )) 
 9.
5 A2  8 AB  5C 2
5 A2  8 AB  5C 2

− Trường hợp 1: Nếu C = 0
d ( A,( )) 

9
5

− Trường hợp 2: Nếu C  0 . Đặt t 

A
C

(t  1) 2
 9 f (t )
5t 2  8t  5
2
(t  1)2
Xét hàm số f (t )  2
. Ta có f '(t )  0  t  1 ; f (1)  0; f (1) 
9
5t  8t  5
1
lim f (t ) 
t 
5
2
Lập bảng biến thiên suy ra: M axf (t )  tại t =1 .
5
A
Vậy M axd(A,( ))  3 2 khi  1
C
d ( A,( ))  9.

So sánh Trường hợp 1 và Trường hợp 2: yêu cầu bài toán tương đương A  C và
B  4C . Vậy phương trình mặt phẳng cần tìm là: x  4 y  z  3  0
Nhận xét :
− Có thể mở rộng ra các bài toán như sau:
Lập phương trình mặt phẳng (  ) chứa d sao cho khoảng cách từ A tới (  )

bằng a ( a là hằng số ).
− Có thể sử dụng hình học thuần túy để làm bài này

4


Ví dụ 2: Cho đường thẳng d :

x 1 y  2 z
x  2 y 1 z
và d ' :



 ,
1
2
1
2
1
2

 Q  : x  2 y  2z  3  0 . Lập phương trình mặt phẳng (P) chứa d sao cho
góc giữa hai mặt phẳng (Q) và (P) nhỏ nhất.
Hƣớng dẫn giải:
Phương trình mặt phẳng (  ) chứa d có vecto pháp tuyến :
n( A; B; C ), A2  B 2  C 2  0 có dạng: A( x  1)  B( y  2)  Cz  0
Ta có: d  ( )  ud .n  0  C  A  2 B

Gọi góc giữa hai mặt phẳng là  ,(0    )

2

A  2B

( A  2 B) 2
=> cos( ) 
 9.
2 A2  4 AB  5B 2
2 A2  4 AB  5B 2

− Trường hợp 1: Nếu B = 0
cos( ) 

2
(1)
2

− Trường hợp 2: Nếu B  0 . Đặt t 

A
B

(t  2) 2
2t 2  4t  5
(t  2)2
Xét hàm số f (t )  2
2t  4t  5
30
5
A 1

=> M axf (t )  tại t =1 hay  . Vậy M ax cos 
(2)
 
6
B 2
6
0;


cos( ) 



2

So sánh Trường hợp 1 và Trường hợp 2 => min  cos 

30
A 1
với 
B 2
6

=> Phương trình mặt phẳng cần tìm là: x + 2y + 5z + 3 = 0.
Nhận xét:
− Có thể mở rộng ra các bài toán như sau:
Lập phương trình mặt phẳng (  ) chứa d sao cho góc giữa hai mặt phẳng
bằng  (  là giá trị của một góc xác định ).
− Có thể sử dụng hình học thuần túy để làm bài này nhưng học sinh sẽ gặp khó
khăn khi xác định góc giữa hai mặt phẳng.

5


Ví dụ 3: Cho đường thẳng d :

x 1 y  2 z
x  2 y 1 z
và d ' :



 ,
1
2
1
2
1
2

(Q): x + 2y +2z – 3 = 0 . Lập phương trình mặt phẳng (P) chứa d sao cho
góc giữa mặt phẳng (P) và đường thẳng d’ lớn nhất.
Hƣớng dẫn giải:
Phương trình mặt phẳng (  ) chứa d có vecto pháp tuyến:
n( A; B; C ), A2  B 2  C 2  0 có dạng: A( x  1)  B( y  2)  Cz  0
Ta có: d  ( )  ud .n  0  C  A  2 B

Gọi góc giữa mặt phẳng (P) và đường thẳng d’ là: ,(0    )
2

=> sin( ) 

4 A  3B

1
(4 A  3B)
 .
2
2
3. 2 A2  4 AB  5B 2 3 2 A  4 AB  5B
2

− Trường hợp 1: Nếu B = 0
sin( ) 

2 2
(1)
3

− Trường hợp 2: Nếu B  0 . Đặt t 

A
B

1
(4t  3) 2
sin( )  .
3 2t 2  4t  5
(4t  3)2
Xét hàm số f (t )  2

2t  4t  5
5 3
25
A
=> M axf (t ) 
tại t = - 7 hay  7 . Vậy M ax sin 
 
9
7
B
 0; 


2

So sánh Trường hợp 1 và Trường hợp 2 =>  m ax  sin 

A
5 3
với  7
B
9

=> Phương trình mặt phẳng cần tìm là: 7x - y + 5z - 9 = 0.
Nhận xét :
− Có thế mở rộng ra các bài toán như sau:
Lập phương trình mặt phẳng (  ) chứa d sao cho góc giữa hai mặt phẳng
bằng  (  là giá trị của một góc xác định ).
− Có thể sử dụng hình học thuần túy để làm bài này nhưng học sinh sẽ gặp khó
khăn khi xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng .

6


II. DẠNG 2: PHƢƠNG TRÌNH ĐƢỜNG THẲNG
Ví dụ 1: Cho mặt phẳng ( P) : x  3 y  z  1  0 . Và các điểm A(1;0;0) ; B(0; 2;3) .
Lập phương trình đường thẳng d nằm trong (P) đi qua A và cách B một khoảng
lớn nhất , nhỏ nhất
Hƣớng dẫn giải:
Gọi vecto chỉ phương của đường thẳng d là: u(a; b; c), a 2  b2  c 2  0
d  ( P)  ud .nP  0  c  a  2b

AB(1;2; 3) ; ud , AB   (2a  7b;2a  2b;2a  b)
ud , AB 
12a 2  24ab  54b 2


=> d ( B, d ) 

2a 2  4ab  5b 2
ud

− Trường hợp 1: Nếu b = 0
d ( B, d )  6

− Trường hợp 2: Nếu b  0 . Đặt t 
12t 2  24t  54
d ( B, d ) 

2t 2  4t  5

=> 6  d ( B, d )  14

a
b

f (t ) ; Xét hàm số f (t ) 

12t 2  24t  54
2t 2  4t  5

So sánh Trường hợp 1 và Trường hợp 2 => 6  d ( B, d )  14
+) Min(d ( B, d ))  6  b  0 chọn a =1 => c= 1
x  1 t

=> Phương trình đường thẳng cần tìm là:  y  0
z  t


+) M ax(d ( B, d ))  14  a  b chọn b = -1 => a =1 , c =-1
 x  1  t

=> Phương trình đường thẳng cần tìm là:  y  t
z  t


Nhận xét :
− Có thể mở rộng ra các bài toán như sau :
Lập phương trình đường thẳng d nằm trong (P) đi qua A và cách B một
khoảng bằng a ( a là hằng số ).
− Có thể sử dụng hình học thuần túy để làm bài này nhưng học sinh sẽ gặp khó

khăn khi vẽ hình xác định khoảng cách .

7


Ví dụ 2: Lập phương trình đường thẳng d đi qua A (1;-1;2),song song với mặt
phẳng (Q) : 2 x  y  z  3  0 ,đồng thời d tạo với đường thẳng d ' :

x 1 y 1 z


1
2
2

một góc lớn nhất, nhỏ nhất.
Hƣớng dẫn giải:
Gọi vecto chỉ phương của đường thẳng d là: u(a; b; c), a 2  b2  c 2  0
d / /( P)  ud .nQ  0  c  2a  b ; ud ' (1; 2; 2)

Gọi góc giữa hai mặt phẳng là  ,(0    )
2

=> cos( ) 

5a  4b

1
(5a  4b) 2
 .

2
2
3 5a 2  4ab  2b 2 3 5a  4ab  2b

− Trường hợp 1: Nếu b = 0
1
cos( )  . 5
3

− Trường hợp 2: Nếu b  0 . Đặt t 

a
b

1
(5t  4) 2
1
(5t  4)2
cos( )  .

.
f
(
t
)
.
Xét
hàm
số
f

(
t
)

3 5t 2  4t  2 3
5t 2  4t  2
5 3
=> 0  cos( ) 
9
5 3
So sánh Trường hợp 1 và Trường hợp 2 => 0  cos( ) 
9
a 4
+) Min(cos( ))  0 => max  900  
b 5
x 1 y 1 z  2
=> Phương trình đường thẳng cần tìm là:


4
5
3
5 3
a
1
+) M ax(cos( )) 
=> min   
b
5
9

x 1 y 1 z  2


=> Phương trình đường thẳng cần tìm là:
1
5
7

Nhận xét :
− Có thể mở rộng ra các bài toán như sau :
Lập phương trình đường thẳng d đi qua A ,song song với mặt phẳng
(Q) ,đồng thời d tạo với đường thẳng d ' một góc thỏa mãn một điều kiện nào
đấy.
− Có thể sử dụng hình học thuần túy để làm bài này

8


Ví dụ 3: Lập phương trình đường thẳng d đi qua A(0; 1;2) và cắt đường thẳng
x 1 y z  2
sao cho
 
2
1
1
1. Khoảng cách từ B(2;1;1) là lớn nhất, nhỏ nhất.
x 1 y z  2
2. Khoảng cách giữa d và  :
là lớn nhất.
 

2
1
1
d' :

Hƣớng dẫn giải:
1. d  d '  M  M (1  2t; t;2  t ), t  R
=> vecto chỉ phương của d : ud  AM (2t  1; t  1; t )
AB(2;2; 1) ;  AB; ud   (1  t ;1;4  2t )
 AB, ud 
12t 2  18t  18


=> d ( B, d ) 


6t 2  2t  2
ud

f (t )

1
12t 2  24t  54
Xét hàm số f (t ) 
=> M axf (t )  f (0)  18; M axf (t )  f (2) 
2
11
2t  4t  5
1
=>

 d ( B, d )  18
11
1
+) Min(d ( B, d )) 
t 2
11
 x  3t

=> Phương trình đường thẳng cần tìm là:  y  1  3t
 z  2  2t


+) M ax(d ( B, d ))  18  t  0
 x  t

=> Phương trình đường thẳng cần tìm là:  y  1  t
z  2  t

2. d  d '  M  M (1  2t; t;2  t ), t  R

=> vecto chỉ phương của d : ud  AM (2t  1; t  1; t )
Từ phương trình  => u  (2; 2;1) và N  (5;0;0)  
AN (5;1; 2) ; u ; ud   (t  1;4t  1;6t )
u , ud  . AN
(2  t )2

=> d (, d )  
 3.
 3. f (t )
53t 2  10t  2

u , ud 


4
26
(2  t )2
Xét hàm số f (t )  2
=> M axf (t )  f ( ) 
37
9
53t  10t  2
=> max(d (, d ))  26

9


 x  29t

=> Phương trình đường thẳng cần tìm là:  y  1  41t
 z  2  4t


Nhận xét :
− Có thể mở rộng ra các bài toán trên thỏa mãn một điều kiện nào đấy cho
trước.
− Có thể sử dụng hình học thuần túy để làm bài này
Ví dụ 4: Lập phương trình đường thẳng d đi qua A (-1;0;-1)và cắt đường thẳng
x 1 y  2 z  2
sao cho góc giữa đường thẳng d và



2
1
1
x 3 y 2 z 3
:


là lớn nhất, nhỏ nhất.
1
2
2

d' :

Hƣớng dẫn giải:

d  d '  M  M (1  2t;2  t; 2  t ), t  R

=> vecto chỉ phương của d : ud  AM (2t  2; t  2; 1  t )

Gọi góc giữa hai mặt phẳng là  ,(0    )
2

t2
2
. f (t )
6t 2  14t  9 3
t2
Xét hàm số f (t )  2

6t  14t  9
9 9
=> M axf (t )  f ( )  ; Minf (t )  f (0)  0
7
5
+) Min(cos( ))  0 =>  max  900  t  0
x 1

=> Phương trình đường thẳng cần tìm là:
2
2 5
9
+) M ax(cos( )) 
=> min  t  
7
5
x 1

=> Phương trình đường thẳng cần tìm là:
4
2
3

=> cos( )  .

y z 1

2
1

y z 1

5
2

Nhận xét :
− Có thể mở rộng ra các bài toán như sau:
Có thể mở rộng ra các bài toán trên thỏa mãn một điều kiện nào đấy cho
trước.
− Có thể sử dụng hình học thuần túy để làm bài này.

10


PHẦN III: KẾT LUẬN - KIẾN NGHỊ
I - KẾT LUẬN
- Hàm số có rất nhiều ứng dụng và một trong các ứng dụng đó là sử dụng trong
việc giải phương trình và bất phương trình.
- Đề tài đã nêu được phương pháp chung cho mỗi dạng cũng như minh họa bằng
các bài toán cụ thể, đồng thời cũng đưa ra cho mỗi dạng một số bài tập với các
mức độ khác nhau.
- Khi nghiên cứu viết và thực hiện đề tài tôi có tham khảo các tài liệu luyện thi
đại học của Bộ Giáo Dục và Đào tạo và đề thi đại học của các năm trước đây.
- Tuy vậy, do nhiều nguyên nhân khác nhau, chủ quan và khách quan nên đề tài
không tránh khỏi những thiếu sót, hạn chế nhất định. Rất mong nhận được sự
góp ý của đồng nghiệp.
II - KIẾN NGHỊ
- Như trên đã trình bày thì phương trình, hệ phương trình, BPT, HBPT,
GTLN>NN của biểu thức, có mối liện hệ mật thiết với hàm số. Khi định
nghĩa PT, BPT, ta cũng dựa trên khái niệm hàm số, nếu ta biết sử dụng hàm số

để giải các bài tập đó thì bài toán sẽ đơn giản hơn. Đặc biệt, đạo hàm là một
công cụ hữu ích, sắc bén.
- Chính vì lẽ đó, tôi hi vọng đề tài sẽ đóng góp một phần nhỏ bé vào việc giải
các dạng toán đã nêu trên; là tài liệu tham khảo cho các em học sinh trong quá
trình học toán cũng như ôn thi tốt nghiệp và thi vào các trường Đại học, Cao
đẳng và Trung học chuyên nghiệp.

11