Vận dụng cao TOÁN ÔN THI THPT

facebook.com/groups/luyendexuyenquocgia/

facebook.com/groups/Jteam.luyendetoan2020/

HÀM SỐ
Câu 1. Cho hàm số f  x   x  ax  bx  1 a, b   . Biết f  x  đạt giá trị nhỏ nhất tại điểm x  0. Tìm giá
4

3

2

trị nhỏ nhất của T  a  b.
A. 1.
B. 0.
C. 1.
Lời giải.
Có f  x   f 0, x    x 4  ax 3  bx 2  1  1  x 2  ax  b  0, x  .

D. 2.


a
a2
a2
Có x 2  ax  b   x    b   b  , x  .

2
4
4
2

Do đó x 2  ax  b  0, x    b 

a2
a2
 0, x    b  .
4
4

a 
a2
 a    1 1  1. Chọn đáp án C.
 2 
4
2

Khi đó T  a  b 

Câu 2. Tổng tất cả các giá trị của tham số m để phương trình 2 x
nghiệm?
A. 1.
B. 0.
Lời giải.
Điều kiện xác định x 2  4 x  5  1  x  2.
Có 2

x 2 4 x 5m2

 log x2  4 x 5 m  1 
2

Xét hàm số f  x   2 x

2

 4 x 5

2x

2

2

4 x 5m2

 log x2  4 x 5 m 2  1 có đúng một

C. 2.

 4 x 5
m2

2



log 2 m 2  1
log 2  x  4 x  5
2

D. 4.

 2x

log 2  x 2  4 x  5. Ta có f x  4  2 x

2

2

4 x 5

4 x5

log 2  x 2  4 x  5  2 m log 2  m 2  1
2

log 2  x 2  4 x  5.

Do đó nếu x0 là nghiệm của phương trình f  x   2m log 2 m 2  1 thì x0  4 cũng là nghiệm của phương
2

trình f  x   2m log 2  m 2  1.
2

Vậy điều kiện cần để phương trình đã cho có đúng một nghiệm là x0  4  x0  x0  2.
Do điều kiện xác định x  2 nên không tồn tại m để phương trình đã cho có đúng 1 nghiệm.
Chọn đáp án B.
Câu 3. Cho hàm số y  x 3  2019 x có đồ thị là C . Gọi M1 là điểm trên C  có hoành độ x0  1. Tiếp tuyến
của C  tại M1 cắt C  tại điểm M 2 khác M1 , tiếp tuyến của C  tại M 2 cắt C  tại điểm M 3 khác M 2 ...

tiếp tuyến của C  tại M n1 cắt C  tại M n khác M n1  n  4,5,.... Gọi  xn ; yn  là tọa độ điểm M n . Tính
3
T  x2019
 y2019 .

A. 2019.22018.
Lời giải.

B. 2019.22019.

C. 2019.22018.

D. 2019.22019.

Xét M1  a; a3  2019. Do tiếp tuyến tại M1 của C  cắt C  tại M 2 nên 2 xM1  xM 2  0 (Theo Vi – et)
Do đó xM 2  2 xM1 .
Chứng minh hoàn toàn tương tự ta có xM n  2 xM n1 n  3,4,5,...
n1

Do đó xM n  2

Khi đó xM 2019  2

xM 1 .

2018

 2 2018.

Ta có yM 2019  xM3 2019  2019 xM 2019  xM3 2019  yM 2019  2019 xM 2019  2019.2 2018.

Chọn đáp án C.

Câu 4. Cho hàm số f  x   x3 12 x 2  ax  b đồng biến trên . Biết f  f  f 3  3, f  f  f  4  4. Tính
f 7.

A. 31.

B. 7.

C. 7.

D.  31.

Tham gia nhóm LUYỆN ĐỀ XUYÊN QUỐC GIA
để nhận tài liệu và học tập cùng nhau nhé!!!!


facebook.com/groups/luyendexuyenquocgia/

facebook.com/groups/Jteam.luyendetoan2020/

Lời giải.
*Nếu f 3  3 :
Do hàm số f  x  đồng biến trên  nên f  f 3  f 3  3  f  f  f 3  f 3  3.
*Nếu f 3  3 :
Do hàm số f  x  đồng biến trên  nên f  f 3  f 3  3  f  f  f 3  f 3  3.
Vậy f 3  3. Chứng minh hoàn toàn tương tự ta có f 4  4.
3a  b  84
a  48
Do đó ta có hệ phương trình 

 
. Vậy f 7  31. Chọn đáp án A.
4a  b  132 b  60

Câu 5. Cho hàm số f  x   1  x 2  x. Tập hợp các giá trị thực của tham số m để bất phương trình
x3  2019 x
 0 luôn đúng với mọi x   4;16  là
f  x3  2019 x 

 x  m f  x  m 
A. m  35228.
Lời giải.

B. m  36416.

Có f  x  f x 



1 x2  x

Khi đó  x  m f  x  m 



C. m  38421.



1  x 2  x  1  f  x 

D. m  34662.

1
.
f x

x3  2019 x
 0   x  m f  x  m   x 3  2019 x  f x 3  2019 x   0
f  x3  2019 x

 x  m f  x  m  x3  2019 x  f x 3  2019 x  0   x  m f  x  m  x3  2019 x f x3  2019 x
Xét hàm số g t   tf t   t t 2  1  t 2 .
Ta có g  t   1  t 2 

t

2

1 t 2

 2t 

2t  1  2t 1  t
2

1 t 2

2





t 2 1  t
1 t 2



2

 0, x  .

Do đó g  x  m   g x 3  2019 x, x   4;16   x  m  x3  2019 x  m  x 3  2020 x, x   4;16 .
Mà max  x3  2020 x  163  2020 16  36416. Do đó m  36416 thỏa yêu cầu bài toán.
 4;16 

Chọn đáp án B.
Câu 6. Cho hàm số y  f  x  liên tục trên  và có đồ thị như hình vẽ bên. Tìm giá trị của tham số m để
phương trình

m3  m
f  x  1
2

 f 2  x  2 có đúng ba nghiệm thực phân biệt?

A. m  2.
B. m  26.
Lời giải.

m3  m
 f 2  x  2  m 3  m   f 2  x  2
Có


2
f  x  1

 m3  m 





3

f 2  x  1 

C. m  10.
f 2  x  1  m3  m   f 2  x  1



D. m  1.
f 2  x  1  f 2  x   1

f 2  x  1.
Tham gia nhóm LUYỆN ĐỀ XUYÊN QUỐC GIA
để nhận tài liệu và học tập cùng nhau nhé!!!!

facebook.com/groups/luyendexuyenquocgia/

facebook.com/groups/Jteam.luyendetoan2020/

Xét hàm số g t   t 3  t có g  t   3t 2  1  0, t  . Do đó g  m  g





f 2 x 1 

f 2  x   1  m.

Điều kiện phương trình có nghiệm là m  1. Với m  1 phương trình đã cho chỉ có 2 nghiệm.
Với m  1 ta có

f 2  x  1  m  f  x   m 2 1.

*Phương trình f  x    m2 1 luôn có 1 nghiệm với mọi m  1.
Do đó ycbt  phương trình f  x   m2 1 có 2 nghiệm phân biệt.
 m 2 1  5
 m  26
Hay 
 
. Loại m  1. Vậy m  26 là giá trị của tham số m thỏa ycbt.
 m 2 1  0  m  1

Chọn đáp án B.

Câu 7. Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục trên  và có đồ thị hàm số y  f   x như hình vẽ bên
20  2  x 
dưới. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để hàm số g  x  f  x  1  ln 
 nghịch
m  2  x 

biến trên khoảng 1;1?

A. 3.

B. 6.

Lời giải. Có g   x  f   x  1 

80
m  x  4
2

D. 5.

80
.
m  x 2  4

Hàm số g  x nghịch biến trên 1;1  f   x  1 
 f   x  1  

C. 4.

80

m  x 2  4

 0, x  1;1

. Do x 2  4  0, x  1;1 nên f   x  1  

80
m  x  4
2

  x 2  4 f   x  1  

80
.
m

Có f   x  1  4, x  1;1 và x 2  4  4, x  1;1. Do đó  x 2  4 f   x  1  16, x  1;1.

80
80
80
 min  x 2  4 f   x  1      16  m  5.
1;1
m
m
m
Vậy có 5 giá trị nguyên dương của tham số m thỏa yêu cầu bài toán. Chọn đáp án D.
 y  24  2 x  x 2  5
Câu 8. Cho hệ phương trình 
, với m là tham số thực. Có bao nhiêu giá trị nguyên của

mx  2 y  4m  22  0

tham số m  20;20 để hệ trên có nghiệm?
Vậy  x 2  4 f   x  1  

A. 20.
Lời giải.

B. 21.

C. 23.

D. 22.

 y  52  x 2  2 x  24  0  x 12   y  52  25
Có y  24  2 x  x 2  5  
 
*.
 y  5
 y  5



Tham gia nhóm LUYỆN ĐỀ XUYÊN QUỐC GIA
để nhận tài liệu và học tập cùng nhau nhé!!!!


facebook.com/groups/luyendexuyenquocgia/

facebook.com/groups/Jteam.luyendetoan2020/

Trong mặt phẳng Oxy, tập hợp các điểm P  x; y  thỏa * là nửa hình tròn C  :  x 1   y  5  25 (tham
2

2

khảo hình vẽ) và tập hợp điểm N  x; y  thỏa mx  2 y  4m  22  0 là đường thẳng  có hệ số góc k  

m
2

với m  0.

Hệ phương trình đã cho có nghiệm  đường thẳng  và nửa đường tròn C  có giao điểm.
 x  4
Có mx  2 y  4m  22  0, m  m  x  4  2 y  11  0  
.
 y  11
Do đó đường thẳng  luôn đi qua điểm M 4; 11. Xét A4;5, B 6;5.
*Nếu m  0 thì hệ phương trình đã cho vô nghiệm.
 k  k MA  0
*Nếu m  0 : đường thẳng  và nửa đường tròn C  có giao điểm   
với k MA , k , kMB lần lượt
 k  k MB  0

là hệ số góc của đường thẳng MA, , MB.
 m
  2 
m  16
m


Ta có k MA  2; k   ; kMB  8. Do đó  2
thỏa yêu cầu bài toán.

 m  4
2
 m
  8
 2
Vậy có 22 giá trị nguyên của tham số m thỏa yêu cầu bài toán. Chọn đáp án D.

Câu 9. Cho hàm số y  f  x  có đồ thị như hình vẽ









Gọi S là tập các giá trị nguyên của tham số m để phương trình  f  x  m  2 f  xm 1  f  x e f  x 1  0 có
6 nghiệm thực phân biệt. Số phần tử của S là
A. 0.
B. 1.
C. 2.
D.

Tham gia nhóm LUYỆN ĐỀ XUYÊN QUỐC GIA
để nhận tài liệu và học tập cùng nhau nhé!!!!

facebook.com/groups/luyendexuyenquocgia/

facebook.com/groups/Jteam.luyendetoan2020/

Câu 10. Cho phương trình m  2 x  3   2m 1 1 x  m  1. Biết rằng tập hợp tất cả các giá trị của
tham số thực m để phương trình có nghiệm là đoạn  a; b . Giá trị của biểu thức 5a  3b bằng
A. 7.
B. 13.
Lời giải.
Điều kiện xác định  3  x  1.

C. 8.

D. 19.

Đặt a  x  3, b  1 x  4  a 2  b 2 . Do x  3;1  0  a, b  2.
Khi đó phương trình đã cho trở thành m  2 a   2m 1b  m 1  0.
m  2 a   2m 1b  m 1  0
Phương trình đã cho có nghiệm  hệ phương trình 
có nghiệm a, b  0; 2.
a 2  b 2  4

Trong mặt phẳng Oxy , tập hợp các điểm P  a; b thỏa a 2  b 2  4 là đường tròn C  : x 2  y 2  4 và tập
hợp các điểm N  a; b thỏa m  2 a   2m 1b  m 1  0 là đường thẳng  : m  2 x   2m 1 y  m 1  0.
m  2 a   2m 1b  m 1  0
Hệ phương trình  2
có nghiệm a , b   0;2   đường thẳng  và đường tròn
a  b 2  4


C  có giao điểm ở góc phần tư thứ I.
 x  2 y  1  0
1
Có m  2 x   2m 1 y  m 1  0, m  m  x  2 y  1  2 x  y  1  0, m  
 x  y  .
2 x  y  1  0
3
 1 1
Do đó đường thẳng  luôn đi qua điểm cố định M  ; . Xét A0;2, B 2;0 (tham khảo hình vẽ bên)
 3 3 

*Với m  2 và m 

1
thì hệ phương trình
2

m  2 a   2m 1b  m 1  0

vô nghiệm.
 2
a  b 2  4


m  2
2 m
*Với 
thì đường thẳng  có hệ số góc k 
.

m  1
2 m 1
2

Khi đó  và C  có giao điểm ở góc phần tư thứ nhất  kMB  k  kMA với k MA , k , kMB lần lượt là hệ số góc

các đường thẳng MA, , MB.
2 m
1
1 2 m
3
5
Mà k MA  7; k 
; kMB  nên k MB  k  kMA  
7 m .
2 m 1
7
7 2 m 1
5
3
3
5
Vậy a  , b   5a  3b  8. Chọn đáp án C.
5
3

Tham gia nhóm LUYỆN ĐỀ XUYÊN QUỐC GIA
để nhận tài liệu và học tập cùng nhau nhé!!!!

facebook.com/groups/luyendexuyenquocgia/

facebook.com/groups/Jteam.luyendetoan2020/

Câu 11. Số các giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn 2019;2019 để phương trình

x 2  m  2 x  4  m 1 x3  4 x có nghiệm là?
A. 2011.

B. 2012.

C. 2013.

D. 2014.

Lời giải. Có x  m  2 x  4  m 1 x  4 x   x  4   m  2 x   m 1 x  4 x
2

3

2

3

*.

Nhận thấy x  0 không là nghiệm của phương trình *.
Chia hai vế * cho x ta có

x2  4

x2  4
x2  4
  m  2   m 1
. Đặt t 
t  2.
x
x
x

Khi đó phương trình * trở thành t 2  m  2  m 1t  t 2  t  2  m t 1  m 
Xét hàm số f t  

t2 t  2
trên  2; có bảng biến thiên sau
t 1
2
t
3

f t 

0

t2 t  2
.
t 1





f t 

8

7
Do đó phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi phương trình m  f t  có nghiệm.

Hay m  7. Vậy có 2013 giá trị nguyên của tham số m  2019;2019 thỏa yêu cầu bài toán.
Chọn đáp án C.
Câu 12. Cho hàm số f  x   2019 x  2019 x. Tìm số nguyên m lớn nhất để f m  f  2m  2019  0.
A. 673.
B. 674.
C. 673.
D. 674.
Lời giải. Tập xác định D   là tập đối xứng.
Ta lại có f x   2019 x  2019 x   f  x. Do đó hàm số f  x  là hàm số lẻ. Khi đó  f  m  f m .
Có f m  f  2m  2019  0  f  2m  2019   f  m  f  2m  2019  f m.
Ta lại có f   x  2019 x  2019 x  ln 2019  0, x  .
Do đó f 2m  2019  f m  2m  2019  m  3m  2019  m  673.
Vậy 674 là số nguyên m lớn nhất thỏa yêu cầu bài toán. Chọn đáp án B.
Câu 13. Cho hàm số y  f  x  xác định và liên tục trên  và có đạo hàm f   x  1  x x  2 g  x   2018
với g  x  0, x  . Hàm số y  f 1  x  2018 x  2019 nghịch biến trên khoảng nào?
A. 1;  .

B. 0;3.

C. ;3.

D. 4; .

x 1
Lời giải. Có f   x  2018  1 x x  2 g  x  2018  2018  1 x x  2  0  
.
 x  2
Ta có y  f 1 x  2018x  2019  y   2018  f  1 x.

1 x  1
x  0
Hàm số đã cho nghịch biến  y   0  f  1 x  2018  

. Chọn đáp án D.
1 x  2  x  3
Câu 14. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để tập nghiệm của bất phương trình

3

x 2



 3 3x  2m  0 chứa không quá 9 số nguyên?

A. 3281.

B. 3283.

C. 3280.

D. 3279.


3
Lời giải. Có 3x 2  3 3x  2 m  0  3x  3x  2 m  0.

9 





Tham gia nhóm LUYỆN ĐỀ XUYÊN QUỐC GIA
để nhận tài liệu và học tập cùng nhau nhé!!!!


facebook.com/groups/luyendexuyenquocgia/

facebook.com/groups/Jteam.luyendetoan2020/


3
3
3
3
m
thì 3x  3x  2m  0  2 m  3x 
(loại trường hợp này vì không tồn tại m

9
18
9 

9
nguyên dương).

3
3
3
3
3
Nếu 2m 
thì 3x  3x  2 m  0 
 m
 3 x  2m    x  log 3 2m.


9
18
9 
9
2
Tập nghiệm của bất phương trình đã cho không chứa quá 9 số nguyên  log3 2m  8  m  3280,5.

Nếu 2m 

Vậy có 3280 số nguyên dương của tham số m thỏa yêu cầu bài toán. Chọn đáp án C.
2m
Câu 15. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình x log 3  x  1  log 9 9  x  1  có hai


nghiệm phân biệt.
A. m  1;0.

B. m  2;0.
C. m  1; .
D. m  1;0.
Lời giải. Điều kiện xác định x  1. Khi đó ta có
2m
x log 3  x  1  log 9 9  x  1   x log 3  x  1  1  2 m log 9  x  1  x log 3  x  1  1  m log 3  x 1



*.

1
Đặt t  log 3  x  1  x  3t 1. Khi đó *  3t 1t 1  mt  m  3t 1 .
t
1
1
Xét f t   3t 1  có f  t   3t ln 3  2  0, t  0. Hàm số f t  có bảng biến thiên sau
t
t
t

0

f  t 

f t 





1

Vậy m  1;  thỏa yêu cầu bài toán. Chọn đáp án C.

Câu 16. Cho x, y   thỏa mãn x  y  1 và x 2  y 2  xy  x  y  1. Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất
xy
và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P 
. Tính M  m.
x  y 1
1
2
1
1
A. .
B.  .
D.  .
C. .
3
3
3
2
Lời giải.
Với y  0 ta có P  0.
x
x
xy
xy
y
Với y  0 ta có P 

 2

. Đặt t  .
2
2
y
x  y  1 x  y  xy  x 
   x  1

 y 
y
Khi đó P 

t
 Pt 2   P 1t  P  0 *.
t 2  t 1

1
2
Phương trình * có nghiệm  *  0   P 1  4 P 2  0  1  P  .
3
2
Khi đó M  m   . Chọn đáp án B.
3
Câu 17. Cho hàm số y  x3  3ax  b có đồ thị C . Gọi M , N là 2 điểm nằm trên C  sao cho tiếp tuyến với

C  tại M , N có cùng hệ số góc bằng 3. Biết khoảng cách từ gốc tọa độ đến MN bằng 1. Giá trị nhỏ nhất
của biểu thức T  a 2  b 2 bằng
Lời giải.
Có y   xM   y   xN   3 nên xM , xN là hai nghiệm của phương trình 3 x 2  3a  3  x 2  a 1  0.

Tham gia nhóm LUYỆN ĐỀ XUYÊN QUỐC GIA
để nhận tài liệu và học tập cùng nhau nhé!!!!


facebook.com/groups/luyendexuyenquocgia/

facebook.com/groups/Jteam.luyendetoan2020/

Ta lại có y  xM   xM3  3axM  b   xM2  a 1 xM  2 a  1 xM  b  2a  1 xM  b
Tương tự ta cũng có y  xN   xN3  3axN  b   xN2  a 1 xN   2a  1 xN  b  2a  1 x N  b
Do đó đường thẳng qua hai điểm MN là MN : y   2a  1 x  b.
Theo giả thiết ta có d O, MN   1 

b

 1  b 2   2a  1  1
2

 2a  1  1
2

6
2
Khi đó T  a 2  b 2   2a  1  1  a 2  5a 2  4a  2  .
5

Câu 18. Cho hàm số f  x   5  x 2  mx  m  2. Biết f  x   0, x   5; 5  . Tính f 1.


3

1
1
A.  .
B.  .
C.  .
D. 1.
2
2
4
1
1
Lời giải. Có f 1  0. Do đó điều kiện cần để f  x   0, x   5; 5  là f  1  0 
m  0  m   .


2
4
1
Thử lại nhận m   . Khi đó f 1  1. Chọn đáp án D.
2
Câu 19. Cho đồ thị C  của hàm số y  ax3  bx 2  cx  d . Biết phương trình tiếp tuyến của C  tại điểm có
hoành độ bằng 1 và bằng 0 lần lượt là y  4 x  5 và y  3 x 1. Tính a  2b  3c  4d .
A. 8.
B. 6.
C. 7.
D. 5.
Lời giải. Phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ bằng 1 là y  4  x 1 1. Do đó y  1  4, y 1  1.
Tương tự ta có y  0  3, y 0  1.
3a  2b  c  4


a  b  c  d  1
Khi đó ta có hệ phương trình 
 a  1, b  2, c  3, d  1. Vậy a  2b  3c  4 d  8.
d  1

c  3
Chọn đáp án A.
Câu 20. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của tham số m   và phương trình
log mx5  x 2  6 x  12  log

mx 5

A. 2.

x  2 có nghiệm duy nhất. Tìm số phần tử của S .

B. 3.
0  mx  5  1
Lời giải. Điều kiện xác định 
. Khi đó
 x  2

log mx5  x 2  6 x  12  log

mx5

C. 0.

D. 1.

x  2  log mx5  x 2  6 x  12  log mx5  x  2

x  2
 x 2  6 x  12  x  2  x 2  7 x  10  0  
.
x  5

0  5m  5  1

  2m  5  1
 
m  3
  2m  5  0

 
Phương trình có nghiệm duy nhất  

 5   6 .
0  2m  5  1  m  1;  \  

 2   5 


 5m  5  1
 
 5m  5  0
 
Vậy có hai giá trị nguyên của m thỏa yêu cầu bài toán. Chọn đáp án A.
Câu 21. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để bất phương trình sau có nghiệm với mọi
x  1; 2?

1 m3  x3  3x 2  4  m x  2  0
Tham gia nhóm LUYỆN ĐỀ XUYÊN QUỐC GIA
để nhận tài liệu và học tập cùng nhau nhé!!!!


facebook.com/groups/luyendexuyenquocgia/
A. 3.
Lời giải.

facebook.com/groups/Jteam.luyendetoan2020/

B. 2.

C. 1.

D. 4.

Có 1  m3  x3  3x 2   4  m  x  2  0  x 3  3 x 2  4 x  2  mx  mx   x  1   x  1  mx  mx
3

3

3

Xét hàm số f t   t 3  t có f  t   3t 2  1  0, t  .
Do đó f  x 1  f  mx   x  1  mx  m 

x 1
, x  1; 2.

x

x 1
 2. Do đó m  2 thỏa yêu cầu bài toán. Vậy có 2 số nguyên dương m thỏa yêu cầu bài toán.
1;2
x
Chọn đáp án B.
2x  3
Câu 22. Cho hàm số y 
có đồ thị C . Biết rằng tồn tại hai điểm M thuộc đồ thị C  sao cho tiếp
x2
tuyến tại M của C  tạo với các đường tiệm cận một tam giác có chu vi nhỏ nhất. Tổng hoành độ của hai
Mà max

điểm M là
A. 4.
Lời giải.

B. 0.

C. 3.

D. 1.

 2a  3 
1
2a  3
Phương trình tiếp tuyến tại điểm M  a;
là  : y  
.

 x  a 
2
 a  2 
a2
 a  2
 2 a  2 
Có   TCN  N  2a  2;2 và   TCD  P 2;
và TCD  TCN  I  2;2.
 a  2 
2
Có IN  2a  4 , IP 
. Do đó IN .IP  4.
a2
Ta có P INP  IN  IP  NP  IN  IP  IN 2  IP 2  2 IN .IP  2IN .IP  4  2 2.
a  3
2
Dấu bằng xảy ra khi INP vuông cân tại I . Khi đó k  1   a  2  1  
.
 a  1
Vậy tổng hoành độ của hai điểm M là 4. Chọn đáp án A.

Câu 23. Số nghiệm thực của phương trình 2

x 2 1

A. 0.
B. 2.
Lời giải.
Điều kiện xác định x  0.
Có 2

x 2 1

 2x





log 2 x  x 2  1  4 x log 2 3x   2 x

2

x 1







log 2 x  x 2  1  4 x log 2 3x  là
C. 1.

x 2 1



D. 3.



log 2 x  x 2  1  2 x.4 x log 2 3 x



log 2 x  x 2  1  23 x log 2 3 x.

2t
 0, t  .
t ln 2
 x 2  1  4 x 2
3
Do đó f x  x 2  1  f 3x   x 2  1  2 x  
 x
. Chọn đáp án C.
 x  0
3

Xét hàm số f t   2t log 2 t có f  t   2t ln t 





Câu 24. Cho hai hàm số y  x 2  x 1 và y  x3  2 x 2  mx  3. Giá trị của tham số m để đồ thị của hai hàm
số có 3 giao điểm phân biệt và 3 giao điểm đó nằm trên đường tròn bán kính bằng 3 thuộc vào khoảng nào
sau đây?
A. ; 4.
B. 4; 2.

C. 0; .
D. 2;0.
Lời giải.
Gọi M  x0 ; y0  là một giao điểm của đồ thị hai hàm số đã cho.

 y0  x02  x0 1
 y02  x04  2 x03  x02  2 x0 1
Khi đó 

 y02  x0 y0  m 1 x02  x0  1 1

 y  x3  2 x 2  mx  3  x y  x 4  2 x 3  mx 2  3 x
0
0
0
0
0
0
0
 0
 0 0
Tham gia nhóm LUYỆN ĐỀ XUYÊN QUỐC GIA
để nhận tài liệu và học tập cùng nhau nhé!!!!


facebook.com/groups/luyendexuyenquocgia/

facebook.com/groups/Jteam.luyendetoan2020/

Ta lại có

 x y  x3  x 2  x
 y0  x02  x0 1
0
0
0
 0 0


 x0 y0  y0  x02  1 m x0  3  2


 y  x3  2 x 2  mx  3  x03  x02  x0  y0  x02  1 m x0  3
0
0
0
 0

Thay 2 vào 1 ta được y02   y0  x02  1  m x0  3  1  m  x02  x0  1

 y02   y0  x02  1 m  x0  3  1 m  x02  x0  1  y02  y0  x02  x0  m  1 x02  m  1 x0  4  0
 x02  x0  y02  y0   m  1  x02  x0 1  m  3  0  x02  x0  y02  my0  m  3  0


1 m
Do đó đường tròn đi qua ba giao điểm của hai đồ thị hàm số đã cho có tâm I  ;   và bán kính là
 2 2 
1 m2
m2
13
m2

13

m3 
 m  . Khi đó ycbt 
 m   3  m 2  4m  13  36  m  2  3 3.
4
4
4
4
4
4
Thử lại loại m  2  3 3 do khi đó hai đồ thị hàm số chỉ có 1 giao điểm.
R

Vậy m  2  3 3  4; 2 thỏa yêu cầu bài toán. Chọn đáp án B.
*Cách 2:
Gọi M  x0 ; y0  là một giao điểm của đồ thị hai hàm số đã cho.
Có y0  x3  2 x 2  mx  3   x0  1 x02  x0 1  mx0  2   x0  1 y0  mx0  2  y0  m 

2
2
Khi đó y02  m   x02  x0 1  2 x0  2   my0


x0 
x0
2
Thay
 y0  m  x 2  x  m 1 vào * ta có
x0

2
.
x0

*

y02  2 x0  2   x02  x0  m 1  my0  y02  my0  x02  x0  3  0.

1 m
Do đó đường tròn đi qua ba giao điểm của hai đồ thị hàm số đã cho có tâm I  ;   và bán kính là
 2 2 
m2
13
m2
13
 m  . Khi đó ycbt 
 m   3  m 2  4m  13  36  m  2  3 3.
4
4
4
4
Thử lại loại m  2  3 3 do khi đó hai đồ thị hàm số chỉ có 1 giao điểm.
R

Vậy m  2  3 3  4; 2 thỏa yêu cầu bài toán. Chọn đáp án B.
Câu 25. Cho hàm số y  f  x  xác định và liên tục trên  và có đồ thị như hình vẽ

Hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình f
nghiệm phân biệt?

A. 4.
Lời giải.

B. 1.





408  x  392  x  34  m có đúng 6

C. 2.

D. 3.

Đặt t  408  x  392  x  34. Ta có bảng giá trị của t theo x như sau

Tham gia nhóm LUYỆN ĐỀ XUYÊN QUỐC GIA
để nhận tài liệu và học tập cùng nhau nhé!!!!


facebook.com/groups/luyendexuyenquocgia/

facebook.com/groups/Jteam.luyendetoan2020/



Với mỗi nghiệm t   20 2  34;6 sẽ có tương ứng hai nghiệm x.

Với nghiệm t  6 ta có tương ứng một nghiệm x.

Khi đó ycbt  phương trình f t   m có đúng ba nghiệm t   20 2  34;6 .

1
Quan sát đồ thị thấy 2  m  thỏa phương trình f t   m có đúng ba nghiệm t   20 2  34;6 .

2
Vậy m  1, m  0 thỏa yêu cầu bài toán. Chọn đáp án C.
Câu 26. Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục trên  và bảng xét dấu đạo hàm như sau





Hàm số y  3 f x 4  4 x 2  6  2 x6  3x 4 12 x 2 có tất cả bao nhiêu điểm cực tiểu?
A. 0.
B. 1.
C. 2.
Lời giải.
Có y   12 x3  24 x f  x 4  4 x 2  6  12 x 5 12 x 3  24 x.

D. 3.

x  0
x  0




Khi đó y   0   f  x 4  4 x 2  6   x 2  1  0   x   2
.



 f  x 4  4 x 2  6  x 2  1
 x2  2  0



Ta có x 4  4 x 2  6   x 2  2  2  2, x  . Do đó f  x 4  4 x 2  6  0, x  .
2

Mà x 2  1  1, x  . Do đó phương trình f  x 4  4 x 2  6  x 2  1 vô nghiệm.
Hàm số y  3 f x 4  4 x 2  6  2 x6  3x 4 12 x 2 có bảng xét dấu đạo hàm như sau

Vậy hàm số y  3 f x 4  4 x 2  6  2 x6  3x 4 12 x 2 có 2 điểm cực tiểu. Chọn đáp án C.
Câu 27. Cho phương trình 4 x1  8m  5 2 x  2 m  1  0 ( m là tham số) có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa
mãn x1 x2  1. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. m  5;3.
B. m  3;0.

C. m  0;1.

D. m  1;3.

Lời giải.
Có 4 x1  8m  5 2 x  2m  1  0  4.2 x 

2

 2 x  2m  1
 2 x  2m 1


 8m  5 2 x  2m  1  0   x 1

.
 x  2
2 


4

1
2 1
Do x1 x2  1  x2  . Hay 2 m  1  2 2  m 
. Chọn đáp án C.
2
2
1

Câu 28. Cho các hàm số f  x   3 x2 và g  x  x 2  2 m 2  1 x  1  4m 2 với m là tham số thực. Có bao
2

nhiêu giá trị thực của tham số m để bất phương trình f  x   g  x  có nghiệm duy nhất?
A. 1.
B. 2.
Lời giải.
Hàm số f  x  có bảng biến thiên như sau

C. 4.

D. 0.

Tham gia nhóm LUYỆN ĐỀ XUYÊN QUỐC GIA
để nhận tài liệu và học tập cùng nhau nhé!!!!


facebook.com/groups/luyendexuyenquocgia/

facebook.com/groups/Jteam.luyendetoan2020/

Ta lại có đồ thị hàm số g  x luôn đi qua điểm cố định có hoành độ x0 thỏa
 x0  2
g  x0   x02  2 m 2  1 x0  4m 2 1  0, m    x02  2 x0 1  g  x0  2m 2  x0  2  0, m    
.
 g  x0   1

Do đó A2;1 là một trong các giao điểm của hai đồ thị hàm số f  x , g  x.

Có lim g  x  ; lim g  x  . Điều kiện cần để bất phương trình f  x  g  x có nghiệm duy nhất
x

x

là g   2  f  2  0  m2  1  2  m  1. Thử lại nhận m  1. Chọn đáp án B.
Câu 29. Cho các hàm số f  x   3 x2 và g  x  x 2  2m 2  1 x  1 4m2 với m là tham số thực. Có bao
2

nhiêu giá trị thực của tham số m để bất phương trình f  x   g  x  có nghiệm duy nhất?
A. 1.
B. 2.
Lời giải.

Hàm số f  x  có bảng biến thiên như sau

C. 4.

D. 0.

Ta lại có đồ thị hàm số g  x luôn đi qua điểm cố định có hoành độ x0 thỏa
 x0  2
g  x0   x02  2 m 2  1 x0  4m 2 1  0, m    x02  2 x0 1  g  x0  2m 2  x0  2  0, m    
.
 g  x0   1

Do đó A2;1 là một trong các giao điểm của hai đồ thị hàm số f  x , g  x.

Có lim g  x  ; lim g  x  . Điều kiện cần để bất phương trình f  x   g  x  có nghiệm duy nhất là
x

x

 f  x   1
g   2  f  2  0  m 2  1  2  m  1. Khi đó 
, x  . Hay f  x  g  x có vô số nghiệm.

 g  x  1

Chọn đáp án D.
Câu 30. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m  10;10 để bất phương trình
x 4  3 x3  2 m  1 x 2  3m 1 x  m 2  m  0 đúng với mọi x   ?

A. 9.

Lời giải.

B. 12.

C. 11.

D. 10.

Có x 4  3 x3  2 m  1 x 2  3m 1 x  m 2  m  0, x     x 2  x  m x 2  2 x  m 1  0, x  .
 x 2  x  m  0
1  4m  0
Khi đó ycbt   2
, x    
 m  2.
 x  2 x  m 1  0
2  m  0

Vậy có 9 giá trị nguyên của m  10;10 thỏa yêu cầu bài toán. Chọn đáp án A.

*Mẹo phân tích x 4  3 x3  2 m  1 x 2  3m 1 x  m 2  m thành  x 2  x  m x 2  2 x  m 1 :
 Nhận thấy hệ số tự do là m2  m  mm 1 và hệ số của số hạng bậc cao nhất là 1 nên đoán
x 4  3 x3  2 m  1 x 2  3m 1 x  m 2  m   x 2  ax  m  x 2  bx  m 1.

 Khai triển tích của hai bậc hai trên và đồng nhất hệ số ta được a  1, b  2.
Tham gia nhóm LUYỆN ĐỀ XUYÊN QUỐC GIA
để nhận tài liệu và học tập cùng nhau nhé!!!!


facebook.com/groups/luyendexuyenquocgia/

facebook.com/groups/Jteam.luyendetoan2020/

 Nếu đồng nhất hệ số của tích trên không tìm được hai số a, b thì ta xét thêm cách phân tích thứ 2 là

x 4  3x3  2m  1 x 2  3m 1 x  m2  m   x 2  ax  m x 2  bx  m  1.
Câu 31. Gọi S là tập tất cả các giá trị nguyên của tham số m  2019;2019 để bất phương trình

1 m3  x3  32  m3  x2  13  m  3m3  x 10  m  m3  0 đúng với mọi
A. 4038.
Lời giải. Có

B. 2021.

x  1;3. Số phần tử của tập S là

C. 2022.

D. 2020.

1 m3  x3  32  m3  x2  13  m  3m3  x 10  m  m3  m3 x 3  3x 2  3x 1 m x 1  x3  6 x 2 13x 10

3
   m  x  1   m  x  1   x  2  x  2
3
3
Khi đó ycbt    m  x  1   m  x  1   x  2  x  2  0, x  1;3
3
3
  x  2   x  2   m  x  1   m  x  1 , x  1;3.
Xét hàm số f t   t 3  t có f  t   3t 2  1  0, x  . Do đó hàm số f t  đồng biến trên .

3

Khi đó f  x  2  f m  x  1  x  2  m  x  1  m 

x2
, x  1;3.
x 1

x2 5
5
 . Do đó m  thỏa yêu cầu bài toán.
x 1 4
4
Vậy có 2021 giá trị nguyên của tham số m  2019;2019 thỏa yêu cầu bài toán. Chọn đáp án B.

Mà min
1;3

Câu 32. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình

 x 2  2 x  2m 

2

  m  2 x 2  2 x  2m 2  6m  0 có đúng 2 nghiệm phân biệt?

A. 1.
Lời giải.

B. 5.

C. 3.

D. 2.

Có  x 2  2 x  2m   m  2 x 2  2 x   2 m 2  6m  0   x 2  2 x  2m  m  2 x 2  2 x  2m   2m  0
2

2

 t  2
Đặt t  x 2  2 x  2m. Khi đó phương trình đã cho trở thành t 2  m  2t  2 m  0  
t  m
 x 2  2 x  2m  2  0 1
  2
. Ta xét 4 trường hợp sau:
 2
 x  2 x  3m  0
*Phương trình 1 có hai nghiệm phân biệt và phương trình 2 vô nghiệm.

1
m  
1  0


1

2
m


0

2
Khi đó: 
 
 
(vô lí)
2  0 1  3m  0

1

m 
3

*Phương trình 2 có hai nghiệm phân biệt và phương trình 1 vô nghiệm.
1  0
1  2m  0
1
1

Khi đó: 
 
 m .
2  0 1  3m  0
2
3

1  0
1 2m  0
*Cả hai phương trình 1 và 2 đều có nghiệm kép. Khi đó: 

 
(vô lí)
2  0 1  3m  0

*Hai phương trình 1 và 2 có cùng tập nghiệm có 2 phần tử. Khi đó 2 m  2  3m  m  2 (loại)

Vậy m  0 là giá trị nguyên duy nhất của tham số m thỏa yêu cầu bài toán. Chọn đáp án A.
Câu 33. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn 2018; 2018 để phương trình





2

x  2  x 2 1 

18 x 2  1 x 2 1
x  2  x 1
2

 m  x 2  1 có nghiệm thực?
Tham gia nhóm LUYỆN ĐỀ XUYÊN QUỐC GIA
để nhận tài liệu và học tập cùng nhau nhé!!!!


facebook.com/groups/luyendexuyenquocgia/
A. 25.
Lời giải.



facebook.com/groups/Jteam.luyendetoan2020/

B. 2019.



2

Có x  2  x 2  1 

18 x 2 1 x 2 1
x  2  x 2 1

C. 2018.

 m x 2

x  2
1 


D. 2012.



x2 1

x2 1

2



18 x 2  1
x  2  x2 1

m

 x2
2
18

 
1 
 m.
2

x

2

 x  1 
1
x2 1
x2
18
Đặt
1  t , t  2; 1  5  . Khi đó phương trình đã cho trở thành t 2 

 m.
2

t 2
x 1
18
2
Xét hàm số f t   t 2 
có f  t   0  2t t  2  18  t  1. Hàm số f t  có bảng biến thiên sau
t 2



Dựa vào bảng biến thiên thấy m  7 thỏa yêu cầu bài toán.
Vậy có 2012 giá trị nguyên của tham số m  2018;2018 thỏa yêu cầu bài toán. Chọn đáp án D.
Câu 34. Gọi m0 là giá trị của m để hàm số y  12mx 5  45m 2 x 4  20mx 3 10 9m 2  2 x 2  120mx đồng biến
trên . Giá trị m0 thuộc khoảng nào sau đây?

1
A. 1; .
B. 2;4.

3

1 
C.  ;2.
 4 

 11
D. 4; .

 2 

Lời giải.
Có y   60mx 4 180m 2 x3  60 mx 2  209 m 2  2 x  120m  60mx 3  x  3m  60mx  x  3m  40  x  3m

 60mx 3  60mx  40 x  3m.
Khi đó ycbt  60 mx3  60mx  40 x  3m   0, x    3mx3  3mx  2 x  3m  0, x  .
Điều kiện cần để 3mx3  3mx  2 x  3m  0, x   là phương trình 3mx 3  3mx  2  0 có nghiệm x  3m.
 2
2
m  
1 1 
1
1

9
Khi đó 81m 4  9m 2  2  0  
 m   . Thử lại nhận m  . Vậy m0    ;2. Chọn đáp án C.
3
3  4 
3
 2 1
m 

9
Câu 35. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để hàm số
1
1
y  m 2 x5  mx3 10 x 2   m 2  m  20 x đồng biến trên . Tổng giá trị của tất cả các phần tử thuộc S
5

3
bằng
5
3
1
A. .
B. .
D. .
C. 2.
2
2
2
Lời giải.
Có y   m 2 x 4  mx 2  20 x   m 2  m  20. Khi đó ycbt  m 2 x 4  mx 2  20 x   m 2  m  20  0, x  .

Xét f  x   m2 x 4  mx 2  20 x  m2  m  20. Ta có f 1  0.

Tham gia nhóm LUYỆN ĐỀ XUYÊN QUỐC GIA
để nhận tài liệu và học tập cùng nhau nhé!!!!


facebook.com/groups/luyendexuyenquocgia/

facebook.com/groups/Jteam.luyendetoan2020/

 m  2

Do đó điều kiện cần để f  x   0, x   là f  1  0. Hay 4 m  2m  20  0  
5 .
m 


2
2

5
5
1
Thử lại nhận m  , m  2. Vậy tổng các phần tử của S là  2  . Chọn đáp án D.
2
2
2
3
2
Câu 36. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình x  x  5 x  m  2  x3  x 2  x  2 có đúng 5
nghiệm phân biệt?
A. 1.
Lời giải.

B. 5.

C. 7.

D. 3.

 x3  x 2  5 x  m  2  x3  x 2  x  2
2x2  4 x  4  m  0

Có x3  x 2  5 x  m  2  x 3  x 2  x  2   3

.

 2 x3  6 x  m  0
2
3
2
x

x

5
x

m

2


x

x

x

2



Xét hàm số f  x   2 x 2  4 x  4; g  x  2 x3  6 x. Khi đó ycbt  phương trình f  x   m có 2 nghiệm phân
biệt và phương trình g  x  m có 3 nghiệm phân biệt và đồng thời hai phương trình f  x   m, g  x  m
không có nghiệm chung.

2 x02  4 x0  4  m  0
Nghiệm chung của hai phương trình f  x   m, g  x  m thỏa  3
2 x  6 x  m  0
0
 0
3
2
 2 x0  2 x0  2 x0  4  0  x0  2. Do đó m  f  2  m  4.
Phương trình f  x   m có 2 nghiệm phân biệt và phương trình g  x  m có 3 nghiệm phân biệt
m  2
 
 2  m  4. Vậy có 1 giá trị nguyên của tham số m thỏa yêu cầu bài toán. Chọn đáp án A.
4  m  4
Câu 37. Có bao nhiêu số nguyên m để phương trình log 2 2 x  m  2log 2 x  x 2  4 x  2m 1 có 2 nghiệm

thực phân biệt?
A. 2.
Lời giải.

B. 3.

C. 1.

D. 4.

 x  0
Điều kiện xác định 
.
 x   m
2


Khi đó log 2 2 x  m  2 log 2 x  x 2  4 x  2m 1  log 2 2 x  m  4 x  2m  1  2log 2 x  x 2
 log 2  4 x  2m  4 x  2m  log 2 x 2  x 2 .

1
 1  0, t  0. Do đó hàm số f t  đồng biến trên 0; .
t ln 2
Khi đó f 4 x  2m  f  x 2   x 2  4 x  2m  x 2  4 x  2m.

Xét hàm số f t   log 2 t  t có f  t  

Hàm số g  x  x 2  4 x có bảng biến thiên trên 0; như sau
x
g  x

0

g  x

0



2
0





4
4  2m  0 2  m  0
Do đó 
thỏa ycbt . Chọn đáp án C.

m  
m  
Câu 38. Cho hàm số y  f  x  có đồ thị của hàm số y  f   x  được cho như hình vẽ bên dưới. Hàm số

y  2 f   2  x   x 2 nghịch biến trong khoảng nào sau đây?
Tham gia nhóm LUYỆN ĐỀ XUYÊN QUỐC GIA
để nhận tài liệu và học tập cùng nhau nhé!!!!


facebook.com/groups/luyendexuyenquocgia/

facebook.com/groups/Jteam.luyendetoan2020/

A. 1;0.
B. 0;2.
C. 2;1.
D. 3; 2.
Lời giải.
Có y   2 f  2  x  2 x. Hàm số nghịch biến  f   2  x  x  0.
Đặt t  2  x. Khi đó bất phương trình trở thành f  t   2  t  0  f t   t  2. Kẻ đường thẳng y  t  2.

Ta thấy f  t   t  2, t   2;3. Khi đó 2  2  x  3  1  x  0.
Chọn đáp án A.
Câu 39. Cho hàm số f  x  liên tục trên  0;5 có bảng biến thiên như sau
1

2
x
0
4
3
f  x

3

5
3

1
1
Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để bất phương trình mf  x   3x  2019 f  x  10  2 x

nghiệm đúng x   0;5.
A. 2014.
Lời giải.

B. 2015.

C. 2019.

D. Vô số.

Có mf  x   3x  2019 f  x  10  2 x  f  x  2019  m   3 x  10  2 x  2019  m 
Xét g  x 

3 x  10  2 x

. Ta có
f  x

3
. 2 x  10  2 x 
2

3 x  10  2 x
.
f  x

 3 
1  2 x  10  2 x   5.

2 

 3

max  . 2 x  10  2 x 
 0;5 
 2

Mặt khác f  x  1. Do đó g  x 
 5. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x  3.
min f  x 
 0;5

Khi đó 2019  m 

3 x  10  2 x

, x   0;5  2019  m  max g  x  2019  m  5  m  2014.
0;5 
f  x

Vậy có 2014 giá trị nguyên dương của tham số m thỏa ycbt . Chọn đáp án A.
Câu 40. Cho hàm số f  x   ax 4  bx3  x 2  3 với a, b  , a  0. Biết hàm số đạt giá trị nhỏ nhất khi x  0. Tìm
giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  a  2b  1?
Tham gia nhóm LUYỆN ĐỀ XUYÊN QUỐC GIA
để nhận tài liệu và học tập cùng nhau nhé!!!!


facebook.com/groups/luyendexuyenquocgia/

facebook.com/groups/Jteam.luyendetoan2020/

A. Pmin  1.
B. Pmin  5.
C. Pmin  3.
Lời giải.
Có f  x   f 0, x    ax 4  bx3  x 2  3  3  ax 2  bx  1  0, x  .

D. Pmin  0.

b2
b 2 
b 
b2
b2
 1
  ax 

 1 .
  1
4a
4 a 
4a
4a
2 a
2

Ta lại có ax 2  bx  1  ax 2  bx 

b

b2
b2
b2
b2
 0  a  . Có P  a  2b  1   2b  1   2b  4  3    2  3  3.
2

4
4
4a
4
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi b  4, a  4. Chọn đáp án C.
2

Khi đó ycbt  1

3

Câu 41. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số y  x  6 x 2  m x 1 có 5 điểm cực trị?
A. 15.
B. 6.
C. 11.
Lời giải.
Xét hàm số f  x   x3  6 x 2  mx 1. Khi đó hàm số đã cho là y  f  x .

D. 8.

ycbt  f  x có 2 điểm cực trị dương. Ta có f   x  3x 2 12 x  m. Hàm số f  x  có 2 điểm cực trị dương
  0

36  3m  0
  x1 x2  0  
 0  m  12. Vậy có 11 giá trị nguyên của m thỏa mãn ycbt. Chọn đáp án C.

m  0
 x1  x2  0
Câu 42. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m  10;10 để phương trình log 2 x 2  1  log 2 mx  m có
nghiệm x  ; 1?
A. 9.
Lời giải.

B. 20.

C. 1.

D. 10.

Điều kiện xác định m  x  1  0. Khi đó log 2 x 2  1  log 2  mx  m  x 2  1  m  x  1  m 
Hàm số f  x  

x2 1
có bảng biến thiên trên ; 1 như sau
x 1
x


f  x


x 2 1
.
x 1

1

1
f  x


10  m  1
Vậy 
thỏa yêu cầu bài toán. Chọn đáp án A.
m  

HÌNH HỌC KHÔNG GIAN OXYZ
x y 1 z  1



và điểm A(1;1;1). Hai điểm B, C di
2
1
1
động trên d sao cho mặt phẳng (OAB )  (OAC ). Gọi B là hình chiếu vuông góc của B lên AC. Biết rằng
B thuộc một đường tròn cố định, tìm bán kính của đường tròn đó.
3 5
3 5
70
60
A.
B.
C.
D.
.
.
.
.
10
5
10
10
Lời giải.

Câu 43. Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng d :

Tham gia nhóm LUYỆN ĐỀ XUYÊN QUỐC GIA
để nhận tài liệu và học tập cùng nhau nhé!!!!

facebook.com/groups/luyendexuyenquocgia/

facebook.com/groups/Jteam.luyendetoan2020/



Mặt phẳng OBC  đi qua O và chứa d . Một VTPT của mặt phẳng OBC  là n1;1;1 .



Mặt khác véc tơ OA1;1;1 suy ra OA  OBC  . Ta lại có OAB  OAC  nên OABC là tứ diện vuông tại O .
Từ O kẻ OB '  AC . Do OB  OAC  nên BB '  AC
Ta có tam giác OAB ' luôn vuông tại B ' nên B ' thuộc mặt cầu cố định đường kính OA.
Mặt khác B ' luôn di động trên mặt phẳng  ABC  nên B ' luôn thuộc đường tròn cố định là giao tuyến của
mặt cầu đường kính OA và mặt phẳng  ABC 
Gọi I là trung điểm OA và r là bán kính đường tròn cố định đó. Khi đó ta có: d  I , ABC   r 2  IO 2
2

3 5
. Chọn đáp án A.
10
Câu 44. Trong không gian Oxyz ,

Suy ra r 

cho ba điểm

A2;1;0, B 4;4;3, C 2;3; 2 và đường thẳng

x 1 y 1 z 1


. Gọi  P là mặt phẳng chứa d sao cho A, B , C ở cùng phía đối với mặt phẳng  P.
1
2
1
Gọi d1 , d2 , d3 lần lượt là khoảng cách từ A, B, C đến  P. Tìm giá trị lớn nhất của T  d1  2d2  3d3 .
d:

A. 2 21.
Lời giải.

B. 14.

C. 3 21.

D. 6 14.

Gọi A, B, C  lần lượt là hình chiếu của A, B, C lên  P.


AC 2
Ta có AB  6;3;3, AC   4;2;2. Do đó C nằm trên đoạn thẳng AB và
 .
AB 3
MC AC 2
2
2
Gọi M  AB   CC . Có


  MC  BB   d2 .
BB AB 3
3
3
MC  B M
BC 1
1
1
Tương tự ta có


  MC   AA  d1.
AA
B A
BA 3
3
3
1
2
1
2
Do đó CC   MC  MC   d1  d 2 . Hay d 3  d1  d 2 .
3
3
3
3

Tham gia nhóm LUYỆN ĐỀ XUYÊN QUỐC GIA
để nhận tài liệu và học tập cùng nhau nhé!!!!

facebook.com/groups/luyendexuyenquocgia/

facebook.com/groups/Jteam.luyendetoan2020/

1

2
Khi đó T  d1  2d 2  3d 3  3 d1  d 2  d 3   6d 3 .
 3

3
Gọi H là hình chiếu của C lên d . Khi đó CC   CH  14. Do đó T  6d3  6CC   6 14.
Chọn đáp án D.
Câu 45. Trong không gian Oxyz , cho hai mặt cầu  S1  :  x 1   y 1   z  2  16
2

2

2

và  S2  :  x  1   y  2   z  1  9 cắt nhau theo giao tuyến là một đường tròn với tâm là I a; b; c. Tính
2

2

2

a  b  c.

10
7
1
C. .
A. .
B.  .
D. 1.
3
4
4
Lời giải. Gọi M  x; y; z    P với  P là mặt phẳng chứa đường tròn C  là giao tuyến của  S1 , S 2 .

 x  12   y  22   z 12  9

Khi đó 
 4 x  2 y  6 z  7  0.

 x 12   y 12   z  22  16

Hay mặt phẳng chứa C  là  P : 4 x  2 y  6 z  7  0.
Mặt cầu S1  tâm T 1;1;2. Do I là tâm của C  nên I là hình chiếu của T lên  P.
 1 7 1
Khi đó I  ; ;  . Vậy a  b  c  1. Chọn đáp án D.
 2 4 4 
Câu 46. Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu  S  :  x  1   y  2   z  3  8 và ba điểm
2

2

2

A4;3;4 , B 4;3;2, I  2;1;2. Gọi M là điểm thuộc mặt cầu  S  và cách đều hai điểm A, B. Khi đó độ
dài lớn nhất của đoạn thẳng MI thuộc khoảng nào sau đây?
A. 5;7 .
B. 7;9.
C. 9;11.
D. 11;13.
Lời giải.

Gọi C là trung điểm AB. Khi đó C 4; 3;3.
Mặt phẳng trung trực của AB có phương trình  : z  3  0. Gọi I  1;2; 3 là tâm mặt cầu S .
Dễ thấy I    S . Gọi H là hình chiếu vuông góc của I lên . Khi đó H  2;1;3, IH  5.
Tham gia nhóm LUYỆN ĐỀ XUYÊN QUỐC GIA
để nhận tài liệu và học tập cùng nhau nhé!!!!


facebook.com/groups/luyendexuyenquocgia/

facebook.com/groups/Jteam.luyendetoan2020/

Do M   S , M cách đều A, B nên M thuộc đường tròn giao tuyến của  S ,.
Ta có IM max  HM max . Mà HM  HI   I M  5 2.



Vậy IM  IH 2  HM 2  52  5 2



2

 75. Chọn đáp án B.

x y z3
và mặt cầu
 
2 2
1
2
2
2
S  :  x  3   y  2   z  5  36. Gọi  là đường thẳng đi qua A 2;1;3, vuông góc với d và cắt S  tại hai

điểm có khoảng cách lớn nhất. Khi đó đường thẳng  có một vectơ chỉ phương là u  1; a; b. Tính T  a  b.
Câu 47. Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng d :

A. T  4.

B. T  2.

1
C. T   .
2

D. T  5.

Lời giải.
Gọi  là mặt phẳng đi qua A và vuông góc với d. Khi đó  : 2 x  2 y  z  3  0.
Gọi I 3;2;5 là tâm mặt cầu S .
Ta có mọi đường thẳng  nằm trong mặt phẳng  đều vuông góc với d.

Khi đó ycbt  tìm đường thẳng  nằm trong  cắt đường tròn C    S     tại hai điểm M , N sao
cho MN max .

 23 14 47 
Dễ thấy MN max  2 RC  . Khi đó  đi qua A 2;1;3 và H  ; ;  là hình chiếu của I lên .
 9 9 9 
  5 5 20  
Có AH   ; ;   u  1;1;4. Vậy T  a  b  5. Chọn đáp án D.
 9 9 9 
 x  1  at

Câu 48. Trong không gian Oxyz, cho điểm A1;1;2 và đường thẳng d :  y  2  bt
. Gọi M và m lần

 z  2   a  2b t
lượt là khoảng cách lớn nhất và khoảng cách nhỏ nhất tính từ A đến đường thẳng d . Khi đó giá trị của biểu thức
M  m 6 bằng
A. 8.
B. 7.
C. 6.
D. 4.
Lời giải.

Dễ thấy đường thẳng d luôn đi qua điểm H 1;2; 2 cố định. Do đó d  A, d   AH  5. Hay M  5.
Gọi M 1  at;2  bt; 2  a  2bt  là điểm thay đổi thuộc đường thẳng d .
Ta có xM  2 yM  z M  1  at  2 2  bt   2  a  2b t   1  xM  2 yM  z M  1  0.

Do đó mọi điểm M  d đều nằm trong mặt phẳng  P : x  2 y  z 1  0. Hay d   P.
Khi đó d  A, d   d  A,  P  

2
2
. Hay m 
. Vậy M  m 6  7. Chọn đáp án B.
6
6

Tham gia nhóm LUYỆN ĐỀ XUYÊN QUỐC GIA
để nhận tài liệu và học tập cùng nhau nhé!!!!


facebook.com/groups/luyendexuyenquocgia/

facebook.com/groups/Jteam.luyendetoan2020/

MŨ – LOGARIT

 x
Câu 49. Cho hai số thực dương x, y thỏa log 22  xy   log 2  .log 2 4 y . Hỏi biểu thức
 4 

P  log2  x  4 y  4  log 2  x  4 y 1 có bao nhiêu giá trị nguyên?
A. 5.

B. 3.
C. 2.
D. 1.


x

2
Lời giải. Có log 22  xy   log 2   log 2  4 y   log 2 x  log 2 y   log 2 x  2log 2 y  2
 4 
 log 22 x  log 22 y  log 2 x log 2 y  2log 2 x  2log 2 y  4  0
 2log 22 x  2log 22 y  2 log 2 x log 2 y  4log 2 x  4 log 2 y  8  0
 log 2 x  log 2 y   log 22 x  4log 2 x  4  log 22 y  4 log 2 y  4  0
2

 log 2 x  log 2 y   log 2 x  2  log 2 y  2  0
2

2

2

 x  4

log 2 x  2  0

 
.
log 2 y  2  0  y  1

4
Khi đó P  log3  x  4 y  4  log 2  x  4 y 1  log3 1  log 2 2  1.

Vậy P  log2  x  4 y  4  log 2  x  4 y 1 chỉ có 1 giá trị nguyên là P  1. Chọn đáp án D.
Câu 50. Cho a  0, b  0 thỏa mãn log 2 a  2b 1  4a 2  b 2  1  log 4 ab1  2a  2b  1  2. Giá trị biểu thức a  2b
bằng
A.

3
.
2

B. 5.

C. 4.

D.

15
.
4

Lời giải.

Có 4 a 2  b 2  1  4 ab  1  log 2 a2b1  4a 2  b 2  1  log 2a 2b 1 4 ab  1.
Khi đó 2  log 2 a2b1  4a 2  b 2  1  log 4 ab1  2a  2b  1  log 2 a 2 b 1 4 ab  1  log 4 ab 1 2 a  2b  1.
Ta lại có log 2a 2b1 4 ab  1  log 4ab 1 2 a  2b  1  2 log 2a  2b 1 4 ab  1.log 4 ab1  2a  2b  1  2.

log 4ab1 2 a  2b  1  1 8a 2  1  6 a  1
3
3
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi  2
 
 a  ,b  .
4a  b 2  1  4ab  1
2a  b
4

2

3 15
Khi đó a  2b  3   . Chọn đáp án D.
4
4

NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN
y  f  x

Câu 51. Cho hàm số



có đạo hàm liên tục trên

và thỏa mãn điều kiện

x 6  f   x  27  f  x 1  0, x   và f 1  0. Giá trị của f 2 bằng
3

4

A. 1.
Lời giải.

B. 1.

D. 7.

C. 7.

Có x 6  f   x  27  f  x  1  0
3
x 6  f   x
x 2 f   x
4
4

   f  x 1 
  3  f  x  1
27
3
3

4


   
3
3 
3


 2  
   .


4
 x

x
3  f x 1
 3 f  x 1 
   
f  x

2

Lấy tích phân hai vế ta được


1

2


 3  dx   3  dx 
3

  x 
 f  x  1 
1

3
3

f 2 1

3


3

3
 3
f 1 1 2

Tham gia nhóm LUYỆN ĐỀ XUYÊN QUỐC GIA
để nhận tài liệu và học tập cùng nhau nhé!!!!


facebook.com/groups/luyendexuyenquocgia/
1


3

f  2 1

1 

1

2

1

3

1

 
2
f  2  1

3

facebook.com/groups/Jteam.luyendetoan2020/

f  2 1  2  f  2  7.

Chọn đáp án D.

2

Câu 52. Biết tích phân

3sin x  cos x

 3cos x  2sin x dx  a  b ln 2  c ln 3

với a, b, c là các số hữu tỉ. Khi đó tổng

0

T  a  b  c thuộc khoảng nào sau đây?

 1
A. 0; .
 5 

1 2 
B.  ; .
 5 5 

 2 3
C.  ; .
 5 5 

3 4
D.  ; .
 5 5 

Lời giải.

a 3cos x  2sin x   b 3cos x  2sin x 3a  2bcos x  2 a  3bsin x
3sin x  cos x


.
3cos x  2sin x
3cos x  2sin x
3cos x  2sin x
3a  2b  1
11
3
Đồng nhất hệ số ta có 
 b   ,a  .

2a  3b  3
13

13
Giả sử


2

Khi đó


0


2

3sin x  cos x
dx  
3cos x  2sin x
0


3
11
2
3cos x  2sin x  3cos x  2sin x
13
13
dx  
3cos x  2sin x
0



 3 11 3cos x  2sin x 
  .
dx
13 13 3cos x  2sin x 





3
 2 3 11
11
11
  x  ln 3cos x  2sin x  
 ln 2  ln 3.
13
0
13
26 13
13
Khi đó T  a  b  c 

3
. Chọn đáp án A.
26

Câu 53. Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục trên 0;1 thỏa mãn  f   x  4 f  x  8 x 2  4, x   0;1 và
2

f 1  2. Tính

1



f  x  dx.

0

A.

1
.
3

C.

B. 2.

4
.
3

D.

1

1

1

0

0

0

21
.
4

2
2
Lời giải. Có  f   x   4 f  x   8 x 2  4    f   x  dx   4 f  x  dx   8 x 2  4 dx

1

1

2
1
20
   f   x dx  4 xf  x 0   4 xf   x  dx 
3
0
0
1

1

2
4
   f   x dx   4 xf   x  dx   0
3
0

0

1

1


0

1

 f   x dx  4 xf   x  dx  4 x 2 dx  0




2

0

0

1
2
   f   x  2 x dx  0.
0

Vậy f   x   2 x  f  x   x 2  C . Do f 1  2  C  1. Khi đó

1


0

4
f  x  dx  . Chọn đáp án C.
3

Tham gia nhóm LUYỆN ĐỀ XUYÊN QUỐC GIA
để nhận tài liệu và học tập cùng nhau nhé!!!!


facebook.com/groups/luyendexuyenquocgia/

facebook.com/groups/Jteam.luyendetoan2020/

Câu 54. Cho hàm số y  f  x  liên tục và có đạo hàm trên  thỏa mãn 3 f 2  x  f   x   4 xe f

f 0  1. Biết rằng I 

1 4089
4



4 x  1 f  x dx 

0

A. T  6123.
Lời giải.

 f 3  x 2 x 2  x1

Có 3 f  x f   x   4 xe
e

f 3  x x

C. T  6125.

 1  3 f  x f   x 
2

x

3 f 2  x f   x 1  4 xe 2 x 2 1  e f




3

 xx

 ef

 xx

x

 e2 x

2

1

x

 ef

3

 x x

 e  e2 x

4 xe2 x
e

2

1

f 3  xx

 1  3 f 2  x f   xe

1 4089
4



Khi đó I 

4 x  1 f  x dx 

1

33 4
t
4


1

f 3  x x

 4 xe 2 x

2

1

x

e  e f

3

 x x

 e2 x

2

1



 f  x  3 2 x 2  x  1.

4 x  1 3 2 x 2  x  1dx 

1 4089
4



0

512

e

0

1 4089
4

0

  3 tdt 

1

f 3  x x

3 f 2  x f   x  1 dx  4 xe 2 x 2 1dx




0

0

512

2

 1 và

D. T  12273.

0
3

 x 2 x 2  x 1

a
là phân số tối giản. Tính T  a  3b.
b

B. T  12279.

2

3

3

2 x 2  x  1d  2 x 2  x  1

0

12285
.
4

Vậy a  12285, b  4  T  a  3b  12273. Chọn đáp án D.
Câu 55. Cho hàm số f  x thỏa mãn xf   x  ln x  f  x   2 x 2 ,  x  1;  và f e   e 2 . Tính tích phân

e2

I
e

x
dx.
f x

3
A. I  .
2
Lời giải.

5
C. I  .
3

1
B. I  .
2

Có xf   x ln x  f  x  2 x 2  f   x ln x 

f  x
x

x

 2x  

e

D. I  2.

x

f x 
 f   x ln x    dx  2 xdx


x 

e

x

x
x2
   f  x ln x   dx  x 2  f  x ln x  f e ln e  x 2  e 2  f  x  ln x  x 2  f  x  
.
e
ln x
e

e2

Khi đó I  
e

e2

e2

x
ln x
1
3
dx  
dx  ln 2 x  . Chọn đáp án A.
f  x
x
2
2
e
e

SỐ PHỨC
Câu 56. Cho hai số phức z1 , z 2 thỏa mãn z1  1  3i  1 và z 2  1  i  z 2  5  i . Giá trị nhỏ nhất của biểu
thức P  z2  1  i  z2  z1 bằng
2 85
1.
5
Lời giải.

A.

B. 10  1.

C. 10  1.

D.

2 85
 1.
5

Đặt z1  a  bi. Khi đó z1  1  3i  1   a 1  b  3  1.
2

2

Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường tròn C  :  x  1   y  3  1 tâm I 1;3, R  1.
2

2

Đặt z2  x  yi. Khi đó z2  1 i  z2  5  i   x  1   y  1   x  5   y  1
 12 x  4 y  24  0  3x  y  6  0.
2

2

2

2

Tham gia nhóm LUYỆN ĐỀ XUYÊN QUỐC GIA
để nhận tài liệu và học tập cùng nhau nhé!!!!

facebook.com/groups/luyendexuyenquocgia/

facebook.com/groups/Jteam.luyendetoan2020/

Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường thẳng  : 3 x  y  6  0.
Gọi M  z1 , N  z 2 , A1;1. Khi đó P  NA  MN .

17 1 
Gọi B là điểm đối xứng của A qua . Ta có B  ; .
 5 5 

Khi đó P  NA  MN  BN  NM  BM  IB  IM 

2 85
 1. Dấu bằng khi M  IB  C , N  IB  .
5

Chọn đáp án A.
Câu 57. Cho số phức z  a  bi a , b    thỏa mãn z  3  3i  6. Khi P  2 z  6  3i  3 z  1  5i đạt giá
trị nhỏ nhất, giá trị của biểu thức a  b bằng
A. 2  2 5.
B. 4  2 5.
C. 2 5  2.
Lời giải.
Gọi M  z , A6;3, B 1; 5. Khi đó P  2MA  3MB.

D. 2 5  4.

Khi đó M luôn di động trên đường tròn C  tâm I 3;3, R  6. Ta có IA  9 

3
R .
2 C 

2
2
R  IM . Khi đó N 1;3.
3
3
IM
MN
IM
R
2
IN
2
Ta có

 2 MA  3MN .

 và
 . Do đó IMN  IAM 
3
IA
MA
IA
IM
3
R 3
2

Gọi I là điểm nằm trên đoạn thẳng IA sao cho IN 





Khi đó P  3 MN  MB   3 NB  24. Dấu bằng xảy ra khi M  NB  C   M 1;2 5  3 .
Vậy a  b  3  2 5  1  2  2 5. Chọn đáp án A.
Câu 58. Xét các số phức w, z thỏa mãn w  i 

3 5
và 5w   2  i  z  4. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
5

P  z  2i  z  6  2i .
Tham gia nhóm LUYỆN ĐỀ XUYÊN QUỐC GIA
để nhận tài liệu và học tập cùng nhau nhé!!!!


facebook.com/groups/luyendexuyenquocgia/
A. 7.

facebook.com/groups/Jteam.luyendetoan2020/

B. 2 53.

C. 2 58.
D. 4 13.
5w  5i

 z  3  2i
Lời giải. Có 5w   2  i z  4  5w  5i  2  i  z  4  5i 
2  i

 5 w  i  z  3  2i  3. Đặt z  a  bi. Khi đó ta có  x  3   y  2  9  x 2  6 x   y  2 .
2

2

2

Ta có P  x 2   y  2  6  x    y  2  2. x 2  6  x   2  y  2
2

2

2

2

2

 2 36  2 y  2  2  y  2  72  32 y . Do  x  3   y  2  9   y  2  9  5  y  1.
2

2

2

2

2

Vậy P  72  32 y  2 58. Chọn đáp án C.
Câu 59. Gọi z1 , z2 , z3 là ba số phức thỏa mãn điều kiện z1  1  z1  3i  10; z 2  3  z2  3i  3 2;

z3  1  z3  3  4. Đặt M là giá trị nhỏ nhất của biểu thức T  z1  z2  z2  z3  z3  z1 . Khẳng định nào
sau đây đúng?
A. M  4;5.

B. M  5;6.

C. M  6;7.

D. M  7;8.

Lời giải.
Trong mặt phẳng Oxy , xét M  z1 , N  z2 , P  z3 , A1;0, B 0;3, C 3;0.
Khi đó ta có z1  1  z1  3i  MA  MB. Ta lại có AB  10. Do đó z1  1  z1  3i  10  MA  MB  AB.
Hay M di chuyển trên đoạn thẳng AB.
Chứng minh hoàn toàn tương tự ta có N di chuyển trên đoạn thẳng BC và P di chuyển trên đoạn thẳng
AC (tham khảo hình vẽ bên dưới)

Khi đó ta có T  z1  z2  z 2  z3  z3  z1  MN  NP  PM .
Gọi P1 , P2 lần lượt là điểm đối xứng của P qua AB, BC. Ta có MP  MP1 , NP  NP2 .
Khi đó T  MN  NP  PM  P1 M  MN  NP2  P1 P2 .
P

 
     


Ta lại có PBA
1 AB; PBC  CBP2  P1 AB  ABC  CBP2  PBA  ABC  PBC  2 ABC (tham khảo hình vẽ)

P2 BP1
 2.BP.sin BAC.
2
2 5
12 5
12 5
Ta có sin BAC 
và BP  BO  3. Khi đó P1 P2  2 BP.sin BAC 
. Vậy min T 
. Chọn đáp án B.
5
5
5
Tham gia nhóm LUYỆN ĐỀ XUYÊN QUỐC GIA
để nhận tài liệu và học tập cùng nhau nhé!!!!

Gọi H là trung điểm P1 P2 . Khi đó P1 P2  2 P2 H  2.BP2 .sin P2 BH  2.BP.sin