bộ đề ôn thi thpt quốc gia năm 2020 full giải chi tiết 25 đề( TRONG FILE RAR)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

THI DIỄN TẬP THPT QUỐC GIA NĂM 2019

TỈNH ĐỒNG THÁP

CHUẨN CẤU TRÚC CỦA BỘ GIÁO DỤC – ĐỀ 172

ĐỀ GỐC

Môn thi: TOÁN

(Đề gồm có 08 trang)

Ngày kiểm tra: 16/5/2019
Thời gian làm bài: 50 phút, không kể thời gian phát đề

Họ, tên thí sinh:.......................................................................
Số báo danh:............................................................................
Câu 1. Hàm số y = f ( x ) với đồ thị như hình vẽ có bao nhiêu điểm cực trị?

A. 3

B. 1

C. 2

D. 4

Câu 2. Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên như hình vẽ. Tìm mệnh đề đúng?
x

−∞
−

y′
y

−1

+∞

1

0

+

+∞

0

−

2
−∞

−2

A. Hàm số y = f ( x ) đồng biến trên khoảng ( −1;1) .
B. Hàm số y = f ( x ) nghịch biến trên khoảng ( −∞;1) .

C. Hàm số y = f ( x ) đồng biến trên khoảng ( −2; 2 ) .
D. Hàm số y = f ( x ) nghịch biến trên khoảng ( −1; +∞ ) .
Câu 3. Đường cong trong hình vẽ là đồ thị của hàm số nào?

A. y = − x 3 + 3x

B. y = x 3 − 3x

C. y = − x 2 + x − 1

D. y = x 4 − x 2 + 1
Trang 1


Câu 4. Đồ thị hàm số y = f ( x ) với bảng biến thiên như hình vẽ có tổng số đường tiệm cận ngang và
tiệm cận đứng bằng bao nhiêu?
−∞

x
y′

+

+

−1
B. 0

+∞

3
−

0

+∞

y

A. 2

1

2
−∞

−∞

C. 1

D. 3

Câu 5. Biến đổi biểu thức A = a . 3 a 2 (với a là số thực dương khác 1) về dạng lũy thừa với số mũ hữu
tỷ ta được
7

B. A = a 2

A. A = a 6

7

C. A = a

D. A = a 2

Câu 6. Phương trình 6.4 x − 13.6 x + 6.9 x = 0 có tập nghiệm
2 3
B. S =  , 
3 2

A. S = { −1,1}

3
Câu 7. Họ các nguyên hàm của hàm số f ( x ) = 4 x −

C. S = { 0,1}

D. S = { 1}

1
là
x2

4
A. F ( x ) = x +

1
+C
x

2
B. F ( x ) = 12 x +

1
+C
x

4
C. F ( x ) = x −

1
+C
x

4
2
D. F ( x ) = x + ln x + C

Câu 8. Cho số phức z = ( 1 + i ) ( 1 + 2i ) . Số phức z có phần ảo là
2

A. 2

B. 4

C. −2

D. 2i

1 1
1
Câu 9. Tổng S = + 2 + ... + n + ... có giá trị là
3 3
3
A.

1
2

B.

1
3

C.

1
4

D.

1
9

Câu 10. Cho hình chóp tứ giác S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a , SA ⊥ ( ABCD ) và
SA = 3a . Thể tích của khối chóp S . ABCD là

A. V = a 3

B. V = 6a 3

C. V = 3a 3

D. V = 2a 3

Câu 11. Một khối nón tròn xoay có độ dài đường sinh l = 13 ( cm ) và bán kính đáy r = 5 ( cm ) . Khi đó
thể tích khối nón bằng

(

3
A. V = 100π cm

C. V =

)

325
π cm3
3

(

(

3
B. V = 300π cm

)

Câu 12. Trong không gian với hệ tọa độ

(

3
D. V = 20π cm

)

)

Oxyz , mặt phẳng

( P)

đi qua các điểm

A ( −1;0;0 ) , B ( 0; 2;0 ) , C ( 0;0; −2 ) có phương trình là
Trang 2


A. −2 x + y − z − 2 = 0

B. −2 x + y + z − 2 = 0

C. −2 x − y − z + 2 = 0

D. −2 x + y − z + 2 = 0

Câu 13. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , mặt phẳng đi qua M ( 1; 4;3) và vuông góc với trục
Oy có phương trình là
A. y − 4 = 0

B. x − 1 = 0

C. z − 3 = 0

D. y + 4 = 0

Câu 14. Tổ hợp chập k của n phần tử được tính bởi công thức
A.

n!
k !( n − k ) !

B.

n!
( n−k)!

C.

n!
k!

D. n !

Câu 15. Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị y = f ′ ( x ) như hình vẽ. Hàm số có bao nhiêu điểm cực trị?

A. 1

B. 2

C. 0

D. 3

Câu 16. Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f ( x ) =

[ 3;5] . Khi đó M − m
A.

x +1
trên đoạn
x −1

bằng

1
2

B.

7
2

C. 2

D.

3
8

Câu 17. Cho log 5 2 = m, log 3 5 = n . Tính A = log 25 2000 + log 9 675 theo m, n .
A. A = 3 + 2m + n

B. A = 3 + 2m − n

C. A = 3 − 2m + n

D. A = 3 − 2m − n

Câu 18. Đạo hàm của hàm số y = x + ln 2 x là
A. y ′ = 1 +

2 ln x
x

B. y ′ = 1 + 2 ln x

C. y ′ = 1 +

2
x ln x

D. y ′ = 1 + 2 x ln x

−x

 1 
Câu 19. Tập nghiệm S của bất phương trình 5 x + 2 <  ÷ là
 25 
A. S = ( 2; +∞ )
Câu 20. Hàm số f ( x ) =
A. −
C.

1
+ 2019
4sin 4 x

4
+ 2018
sin 4 x

B. S = ( 1; +∞ )

C. S = ( −∞;1)

D. S = ( −∞; 2 )

cos x
có một nguyên hàm F ( x ) bằng
sin 5 x
B.

1
+ 2019
4sin 4 x

D.

−4
+ 2018
sin 4 x

Trang 3


Câu 21. Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên ¡ . Nếu

5

3

∫ 2 f ( x ) dx = 2 và

∫

1

f ( x ) dx = 7 thì

5

∫ f ( x ) dx

có

3

1

giá trị bằng
A. −6

B. −9

C. 9

D. 5

Câu 22. Gọi z1 là nghiệm phức có phần ảo âm của phương trình z 2 + 2 z + 3 = 0 . Điểm biểu diễn hình học
của số phức z1 là

(

A. M −1; − 2

)

(

B. M −1; 2

)

(

C. M ( −1; −2 )

D. M −1; − 2i

)

Câu 23. Số phức z thỏa 2 z − 3iz + 6 + i = 0 có phần ảo là
A. 4

B. 3

C. 2

D. 1

Câu 24. Cho hình chóp tứ giác đều S . ABCD có cạnh đáy bằng a và chiều cao bằng 2a . Diện tích xung
quanh của hình nón đỉnh S và đáy là hình tròn nội tiếp hình vuông ABCD bằng
A.

π a 2 17
4

B.

π a 2 15
4

Câu 25. Trong không gian

C.

π a 2 15
2

Oxyz , cho tam giác

ABC

π a 2 17
2

D.

A ( −4;9; −9 ) , B ( 2;12; −2 )

với

và

C ( − m − 2;1 − m; m + 5 ) . Tìm giá trị của m để tam giác ABC vuông tại B .
A. m = −4

B. m = 4

C. m = −3

D. m = 3

Câu 26. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A ( 2;1;1) và mặt phẳng ( P ) : 2 x − y + 2 z + 1 = 0 .
Mặt cầu tâm A tiếp xúc với mặt phẳng ( P ) có phương trình

A. ( x − 2 ) + ( y − 1) + ( z − 1) = 4

B. ( x − 2 ) + ( y − 1) + ( z − 1) = 9

C. ( x − 2 ) + ( y − 1) + ( z − 1) = 3

D. ( x − 2 ) + ( y − 1) + ( z − 1) = 5

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

Câu 27. Trong không gian Oxyz , đường thẳng đi qua hai điểm A ( 1; −1; 2 ) và B ( −3; 2;1) có phương trình
tham số là
 x = 1 + 4t

A.  y = −1 − 3t ( t ∈ ¡
z = 2 + t

 x = 1 + 4t

C.  y = −1 + 3t ( t ∈ ¡
z = 2 + t


)

 x = 4 + 3t

B.  y = −3 + 2t ( t ∈ ¡
z = 1+ t


)

x = 4 + t

D.  y = −3 − t ( t ∈ ¡
 z = 1 + 2t


Câu 28. Gọi d là tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất của đồ thị hàm số y =

)

)
2 3
x − 4 x 2 + 9 x − 11 . Hỏi đường
3

thẳng d đi qua điểm nào dưới đây?
2

A. P  5; − ÷
3


2

B. M  −5; ÷
3


5

C. P  2; − ÷
3


5


D. P  −2; ÷
3


Trang 4


x+2
sao cho khoảng cách từ điểm M
x−2
đến tiệm cận ngang bằng 5 lần khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng?
Câu 29. Có bao nhiêu điểm M thuộc đồ thị ( C ) của hàm số y =
A. 2

B. 1

C. 3

D. 4

( )

2
Câu 30. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình ( log 2 x ) − log 2 x + 3 − m = 0 có
2

nghiệm x ∈ [ 1;8] .
A. 2 ≤ m ≤ 6

B. 6 ≤ m ≤ 9

C. 3 ≤ m ≤ 6

D. 2 ≤ m ≤ 3

3
2
Câu 31. Tính diện tích S của miền hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số f ( x ) = ax + bx + c , các

đường thẳng x = −1, x = 2 và trục hoành (miền gạch chéo cho trong hình vẽ).

A. S =

51
8

B. S =

52
8

C. S =

50
8

D. S =

53

8

( )

2
3
Câu 32. Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên [ 0;1] và thỏa mãn f ( x ) = 6 x f x −

6
. Tính
3x + 1

1

∫ f ( x ) dx .
0

A. 4

C. −1

B. 2

D. 6

Câu 33. Tìm phần thực và phần ảo của số phức z = ( 1 + i ) + ( 1 + i ) + ... + ( 1 + i ) .
2

A. Phần thực của z là 31, phần ảo của z là 33.
C. Phần thực của z là 33, phần ảo của z là 31.

Câu 34. Số phức z = a + bi ( a, b ∈ ¡

)

10

B. Phần thực của z là 31, phần ảo của z là 33i
D. Phần thực của z là 33, phần ảo của z là 31i

là số phức có môđun nhỏ nhất trong tất cả các số phức thỏa điều

kiện z + 3i = z + 2 − i , khi đó giá trị z.z bằng
A.

1
5

B. 5

C. 3

D.

3
25

Câu 35. Cho hình chóp tam giác đều S . ABC cạnh đáy bằng 2a và chiều cao bằng a 3 . Tính khoảng
cách từ tâm O của đáy ABC đến một mặt bên.
A.

a 30
10

B.

a 5
2

C.

2a 3
3

D.

a 10
5

Trang 5


Câu 36. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật có AB = 2a, AD = 4a, SA ⊥ ( ABCD )
và cạnh SC tạo với đáy góc 60° . Gọi M là trung điểm của BC , N là điểm trên cạnh AD sao cho
DN = a . Khoảng cách giữa MN và SB là
A.

2a 285
19

B.

a 285
19

C.

2a 95
19

D.

8a
19

Câu 37. Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC. AB′C ′ có tất cả các cạnh bằng a . Gọi M , N lần lượt là
trung điểm của các cạnh AB và B′C ′ . Mặt phẳng ( A′MN ) cắt cạnh BC tại P . Tính thể tích của khối đa
diện MBPA′B′N .
A.

7 3a 3
96

B.

3a 3
24

C.

3a 3

12

D.

7 3a 3
32

Câu 38. Cho tứ diện SABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B với AB = 3a, BC = 4a, SA ⊥ ( ABC )
và cạnh bên SC tạo với đáy góc 60° . Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp SABC .
500π a 3
A. V =
3

5π a 3
B. V =
3

50π a 3
C. V =
3

π a3
D. V =
3

Câu 39. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , mặt phẳng ( P ) : 2 x − y − z + 5 = 0 tiếp xúc với mặt
cầu ( S ) : ( x − 3) + ( y − 1) + ( z + 2 ) = 24 tại điểm M ( a; b; c ) . Tính giá trị biểu thức T = a + b + c .
2

A. T = 2

2

2

B. T = −2

C. T = 10

D. T = −4

Câu 40. Trên giá sách có 4 quyển sách Toán, 3 quyển sách Lí và 2 quyển sách Hóa. Lấy ngẫu nhiên 3
quyển sách. Tính xác suất sao cho ba quyển lấy ra có ít nhất một quyển sách Toán.
A.

37
42

B.

5
42

C.

10
21

D.

42
37

Câu 41. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ
thị hàm số y = x 3 + mx 2 + 7 x + 3 vuông góc với đường thẳng y =
A. m = ±5

B. m = ±6

9
x + 1.
8

C. m = ±12

D. m = ±10

Câu 42. Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm trên ¡ và có đồ thị hàm số y = f ′ ( x ) như hình vẽ. Hàm số
y = f ( 3 − x ) đồng biến trên khoảng nào?

A. ( −1; 2 )

B. ( −2; −1)

C. ( 2; +∞ )

D. ( −∞; −1)

Trang 6

Câu 43. Cho hàm số y = f ( x ) xác định trên ¡ và hàm số y = f ′ ( x ) có đồ thị như hình vẽ. Tìm số điểm

(

)

2
cực trị của hàm số y = f x − 3 .

A. 3

B. 1

C. 5

D. 2

4
2
Câu 44. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y = x + ( 2m − 3) x − m − 1 có ba

điểm cực trị tạo thành một tam giác đều.
A. m =

3 3
− 3
2

B. m =

3 3
+ 3
2

3
C. m = − − 3 3
2

3
D. m = − + 3 3
2

Câu 45. Một hình trụ có thể tích 16π cm3 . Khi đó bán kính đáy R bằng bao nhiêu để diện tích toàn phần
của hình trụ nhỏ nhất?
A. R = 2cm

B. R = 1, 6cm

C. R = π cm

D. R =

16
cm
π

Câu 46. Khi xây dựng nhà, chủ nhà cần làm một bể nước (không nắp) bằng gạch có dạng hình hộp có đáy
là hình chữ nhật chiều dài d ( m ) và chiều rộng r ( m ) với d = 2r . Chiều cao bể nước là h ( m ) và thể tích

( )

3
bể là 2 m . Hỏi chiều cao bể nước bằng bao nhiêu thì chi phí xây dựng là thấp nhất?

A.

3

4
( m)
9

B.

2 2
( m)
3 3

C.

3

3
( m)
2

D.

3

2
( m)
3

Câu 47. Một người mỗi đầu tháng đều đặn gửi vào ngân hàng một khoản tiền T theo hình thức lãi kép với
lãi suất 0,6% mỗi tháng. Biết đến cuối tháng thứ 15 thì người đó có số tiền là 10 triệu đồng. Hỏi số tiền T
gần với số tiền nào nhất trong các số sau?
A. 635000

B. 535000

C. 613000

D. 643000

Câu 48. Cho hình lăng trụ đều ABC. A′B′C ′ có tất cả các cạnh bằng 1. Gọi E , F lần lượt là trung điểm
AA′ và BB′ , đường thẳng CE cắt đường thẳng C ′A′ tại E ′ , đường thẳng CF cắt đường thẳng C ′B′ tại
F ′ . Thể tích khối đa diện EFB′A′E ′F ′ bằng
A.

3
6

B.

3
2

C.

3
3

D.

3
12

Câu 49. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho 2 điểm A ( 0;0; −3) , B ( 2;0; −1) và mặt phẳng

( P ) : 3x − 8 y + 7 z − 1 = 0 . Tìm

M ( a; b; c ) ∈ ( P ) thỏa mãn MA2 + 2MB 2 nhỏ nhất, tính T = a + b + c .

Trang 7


A. T = −

35
183

B. T = −

131
61

C. T =

85
61

D. T =

311
183

Câu 50. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho A ( 1;0;0 ) , B ( 2; −1;2 ) , C ( −1;1; −3 ) . Viết phương trình
mặt cầu có tâm thuộc trục Oy , đi qua A và cắt mặt phẳng ( ABC ) theo một đường tròn có bán kính nhỏ
nhất.
2

1
5

A. x +  y − ÷ + z 2 =
2
4

2

2

1
9

C. x 2 +  y − ÷ + z 2 =
2
4



2

1
5

B. x +  y + ÷ + z 2 =
2
4

2

2

1
9

D. x 2 +  y + ÷ + z 2 =
2
4


Trang 8


HƯỚNG DẪN GIẢI MỘT SỐ CÂU HỎI
Câu 1.
A
Câu 2.

Hàm số đồng biến trên ( −1;1) .
Câu 3.
y = − x 3 + 3x
Câu 4.
2
Câu 5.
7

A = a6
Câu 6.
S = { −1,1}
Câu 7.
F ( x ) = x4 +

1
+C
x

Câu 8.
z=2
Câu 9.
S=

1
2

Câu 10.
V = a3
Câu 11.

(

V = 100π cm3

)

Câu 12.
x y z
+ +
= 1 ⇔ −2 x + y − z − 2 = 0
−1 2 −2
Câu 13.

r
Mặt phẳng cần tìm có VTPT là j = ( 0;1;0 ) nên phương trình mặt phẳng là:
0 ( x − 1) + 1( y − 4 ) + 0 ( z − 3) = 0 ⇔ y − 4 = 0 .
Câu 14.
k
Công thức: Cn =

n!
k !( n − k ) !

Câu 15.
Trang 9


Đạo hàm f ′ ( x ) đổi dấu khi đi qua chỉ 1 điểm nên có 1 cực trị.
Câu 16.
f ( 3) = 2, f ( 5 ) =

Vậy M − m =

3
2

1
.
2

Câu 17.

(

)

(

A = log 25 2000 + log 9 675 = log 52 53.24 + log 32 33.52
=

)

3
4
3
2
3
3
log 5 5 + log 5 2 + log 3 3 + log 3 5 = + 2m + + n = 3 + 2m + n
2

2
2
2
2
2

Câu 18.
2
y ′ = x + ln 2 x ′ = x′ + ln 2 x ′ = 1 + 2 ln x ( ln x ) ′ = 1 + ln x
x

(

)

(

)

Câu 19.
−x

 1 
Ta có: 5 x + 2 <  ÷ ⇔ 5 x + 2 < 52 x ⇔ x + 2 < 2 x ⇔ x > 2
 25 
Câu 20.
F ( x) = ∫

cos x
cos x

dt
1
dx . Đặt t = sin x ⇒ dt = cos xdx ⇒ ∫ 5 dx = ∫ 5 = − 4 + C
5
sin x
sin x
t
4t

Vậy một nguyên hàm là: −

1
4sin 4 x

Câu 21.
5

∫
1

3

5

5

5

3

1

3

3

1

1

f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx ⇒ ∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx − ∫ f ( x ) dx = 1 − 7 = −6

Câu 22.
 z = −1 + 2i
z2 + 2z + 3 = 0 ⇔ 
 z = −1 − 2i

(

)

Nghiệm phức có phần ảo âm là z = −1 − 2i ⇒ M −1; − 2 .
Câu 23.
Gọi z = x + yi ( x, y ∈ ¡ ) . Ta có:
2 ( x + yi ) − 3i ( x − yi ) + 6 + i = 0 ⇔ 2 x − 3 y + 6 + ( −3 x + 2 y + 1) i = 0
2 x − 3 y + 6 = 0
x = 3
⇔
⇔
 −3 x + 2 y + 1 = 0

y = 4
Vậy phần ảo là y = 4 .
Câu 24.
Theo giả thiết, bán kính hình tròn nội tiếp hình vuông ABCD là r =

a
2
Trang 10


Gọi M là trung điểm của AB nên l = SM là độ dài đường sinh của hình chóp.
Gọi O là tâm của hình vuông ABCD suy ra l = SM = SO 2 + OM 2 =

a 17
.
2

a a 17 π a 2 17
Vậy S xq = π rl = π . .
.
=
2 2
4
Câu 25.
uuu
r
uuur
Ta có: BA = ( −6; −7; −3) , BC = ( −m − 4; − m − 11; m + 7 ) .
uuu
r uuur

Mặt khác: BA.BC = 0 nên m = −4 .
Câu 26.
Bán kính mặt cầu là: r = d ( A; ( P ) ) =

2.2 − 1 + 2.1 + 1
22 + ( −1) + 22
2

= 2.

Vậy được phương trình mặt cầu: ( x − 2 ) + ( y − 1) + ( z − 1) = 4 .
2

2

2

Câu 27.

uuur
Đường thẳng d đi qua hai điểm A ( 1; −1; 2 ) và B ( −3; 2;1) có vectơ chỉ phương AB = ( −4;3; −1) hay
r
u = ( 4; −3;1) .
 x = 1 + 4t

Phương trình đường thẳng d :  y = −1 − 3t .
z = 2 + t

Câu 28.
Ta có: y′ = 2 x 2 − 8 x + 9, y′′ = 4 x − 8

11 

Tiếp tuyến d có hệ số góc nhỏ nhất là tiếp tuyến tại điểm uốn của đồ thị hàm số U  2; − ÷.
3

Phương trình d : y = y ′ ( 2 ) ( x − 2 ) −

11
17
⇔ y = x−
3
3

2

Vậy d đi qua điểm P  5; − ÷.
3

Câu 29.
 a+2
Gọi M  a;
÷∈ ( C ) với a ≠ 2 .
 a−2
Ta có: 5 a − 2 =

a+2
4
−1 ⇔ 5 a − 2 =
⇔ 5 a 2 − 4a + 4 = 4 .
a−2

a−2

⇔ 5a 2 − 20a + 16 = 0 ⇔ a =

(

)

10 ± 2 5
.
5

Vạy có hai điểm cần tìm.
Câu 30.

Trang 11


Đặt t = log 2 x . Vì x ∈ [ 1;8] nên t ∈ [ 0;3] . Phương trình

( log 2 x )

2

( )

− log 2 x 2 + 3 − m = 0 trở thành

t 2 − 2t + 3 − m = 0 ⇔ m = t 2 − 2t + 3, t ∈ [ 0;3] . Ta có bảng biến thiên của hàm số m = t 2 − 2t + 3 :
t

0

1
−

m′

3

0

+

0

3

m

6
2

Vậy: m ∈ [ 2;6] .
Câu 31.
3
2
Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số f ( x ) = ax + bx + c , các đường thẳng x = −1, x = 2 và trục

hoành được chia thành hai phần:

Miền D1 là hình chữ nhật có hai kích thước lần lượt là 1 và 3 ⇒ S1 = 3 .
 f ( x ) = ax 3 + bx 2 + c

Miền D2 gồm:  y = 1
.
 x = −1, x = 2


( C)

đi

qua

3

điểm

A ( −1;1) , B ( 0;3) , C ( 2;1)

nên

đồ

thị

( C)

có

phương

trình

2

1
3
3
27
1

f ( x ) = x 3 − x 2 + 3 ⇒ S2 = ∫  x 3 − x 2 + 3 − 1÷dx =
.
2
2
2
2
8

−1 
Vậy diện tích hình phẳng cần tìm là S = S1 + S 2 =

51
.
8

Câu 32.
1

1

1

6
6
f ( x ) = 6x f x −
⇒ ∫ f ( x ) dx = ∫ 6 x 2 f x 3 dx − ∫
dx
3x + 1
3x + 1
0
0
0
2

( )

( )

3

Đặt t = x3 ⇒ dt = 3x 2 dx , đổi cận x = 0 ⇒ t = 0, x = 1 ⇒ t = 1 .
1

( )

1

1

0

0

2
3
Ta có: ∫ 6 x f x dx = ∫ 2 f ( t ) dt = ∫ 2 f ( x ) dx,
0

Vậy

1

1

1

0

0

0

1

∫
0

6

dx = 4 .
3x + 1

∫ f ( x ) dx = ∫ 2 f ( x ) dx − 4 ⇒ ∫ f ( x ) dx = 4

Câu 33.
Số phức cần tìm là tổng của 10 số hạng đầu tiên của cấp số nhân có số hạng đầu tiên là 1 + i và công bội
q = 1+ i .
Do đó:
1− ( 1+ i)
( 1 + i ) . 1 −  1 + i 2  5 
1 − q10
z = u1.
= (1+ i) .
=
( )  ÷

1− q
1− ( 1+ i)
−i  

10

(

= ( −1 + i ) . 1 − ( 2i )

5

) = ( −1 + i ) ( 1 − 2 .i )

5 5

Trang 12


= ( −1 + i ) ( 1 − 32i ) = 31 + 33i .
Câu 34.
Gọi z = a + bi , khi đó z + 3i = z + 2 − i ⇔ a 2 + ( b + 3) = ( a + 2 ) + ( b − 1)
2

2

2

⇔ 4a − 8b = 4 ⇔ a = 1 + 2b
2

2 1 1

Ta có: a + b = ( 1 + 2b ) + b = 5b + 4b + 1 = 5  b + ÷ + ≥
5 5 5

2

2

2

⇒ z. z = a 2 + b 2 =

2

2

1
.
5

Câu 35.
Gọi d là khoảng cách từ O đến mp ( SBC ) .
1
1
=
2
Ta có: d
a 3

(

)

2

+

1
2

 1 2a 3 
 .

÷
3 2 

=

1
9
10
+ 2 = 2
2
3a 3a
3a

Vậy khoảng cách từ O đến mặt bên là: d =

a 30
.
10

Câu 36.

Lấy K trên AD sao cho AK = a thì MN P ( SBK ) . AC = 2a 5 .
⇒ d ( MN , SB ) = d ( MN , ( SBK ) ) = d ( N , ( SBK ) ) = 2d ( A, ( SBK ) ) .
Vẽ AE ⊥ BK tại E , AH ⊥ SE tại H .
Ta có ( SAE ) ⊥ ( SBK ) , ( SAE ) ∩ ( SBK ) = SE , AH ⊥ SE
⇒ AH ⊥ ( SBK ) ⇒ d ( A, ( SBK ) ) = AH .SA = AC . 3 = 2a 15 .
1
1
1
1

1
1
1
= 2+
= 2+
+
=
2
2
2
2
AH
SA
AE
SA
AK
AB
2a 15

(

=

1

( 2a 15 )

⇒ AH =

2

+

)

2

+

1
1
+ 2
2
a
4a

1
1
+ 2
2
a
4a

a 285
2a 285
.
⇒ d ( MN , SB ) =
19
19
Trang 13

Câu 37.

Khối chóp S . A′B′N có diện tích đáy S =

a2 3
a3 3
và chiều cao h = 2a nên VSAB′N =
. Ta có:
8
12

1
a3 3
.
VSMBP = VSA′B′N =
8
96
Vậy: VMBPA′B′N =

a 3 3 a 3 3 7 3a 3
.
−
=
12
96
96

Câu 38.

Ta có: ∆SAC vuông tại S (*).
 BC ⊥ AB
⇒ BC ⊥ ( SAB ) ⇒ BC ⊥ SB ⇒ ∆SBC vuông tại B (**)

 BC ⊥ SA
Từ (*) và (**) ⇒ Tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S . ABC là trung điểm đoạn SC .
Ta có: AC = AB 2 + BC 2 = 5a . Mà
⇒R=

AC
1
= cos 60° = ⇒ SC = 2 AC = 10a
SC
2

SC
= 5a
2

4
500π a 3
Vậy V = π R 3 =
.
3
3
Câu 39.
Gọi ∆ là đường thẳng qua tâm I ( 3;1; −2 ) của mặt cầu và vuông góc mp ( P ) .
 x = 3 + 2t

Ta được ∆ :  y = 1 − t . M là giao điểm của ∆ và mp ( P ) .

 z = −2 − t

Xét: 2 ( 3 + 2t ) − ( 1 − t ) − ( −2 − t ) + 5 = 0 ⇒ t = −2
Vậy: M ( −1;3;0 ) ⇒ T = 2 .
Câu 40.
3
Số phần tử của không gian mẫu n ( Ω ) = C9 = 84 .

Gọi A là biến cố sao cho ba quyển lấy ra có ít nhất một quyển sách Toán

( )

3
⇒ A là biến cố sao cho ba quyển lấy ra không có sách Toán ⇒ n A = C5 = 10 .

Trang 14


( )

10 37
=
.
84 42

⇒ P ( A) = 1 − P A = 1 −
Câu 41.

Đạo hàm y ′ = 3 x 2 + 2mx + 7 . Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị khi y ′ = 0 có hai nghiệm phân biệt
⇔ ∆′ > 0 ⇔ m 2 − 21 > 0 .

2 2 14 2
2
Hệ số góc đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là k = − m + = 21 − m .
9
3 9

(

Ycbt ⇔

)

m = 5
2
9
21 − m 2 . = −1 ⇔ m 2 = 25 ⇔ 
.
9
8
 m = −5

(

)

Câu 42.
Đặt g ( x ) = f ( 3 − x ) ta có g ′ ( x ) = − f ′ ( 3 − x )
Xét x ∈ ( −2; −1) ⇒ 3 − x ∈ ( 4;5 ) ⇒ f ′ ( 3 − x ) > 0 ⇒ g ′ ( x ) < 0
⇒ Hàm số y = g ( x ) nghịch biến trên ( −2; −1)
Xét x ∈ ( −1; 2 ) ⇒ 3 − x ∈ ( 1; 4 ) ⇒ f ′ ( 3 − x ) < 0 ⇒ g ′ ( x ) > 0

⇒ Hàm số y = g ( x ) đồng biến trên ( −1; 2 ) .
Câu 43.
Quan sát đồ thị ta có y = f ′ ( x ) đổi dấu từ âm sang dương qua x = −2 nên hàm số y = f ( x ) có một điểm
cực trị là x = −2 .
x = 0
x = 0

′

2
2
2
Ta có y ′ =  f x − 3  = 2 x. f ′ x − 3 = 0 ⇔  x − 3 = −2 ⇔  x = ±1 .
 x2 − 3 = 1
 x = ±2


(

)

(

)

(

)

2

Mà x = ±2 là nghiệm kép, còn các nghiệm còn lại là nghiệm đơn nên hàm số y = f x − 3 có ba cực trị.

Câu 44.
x = 0
3
′
′
Ta có: y& = 4 x + 2 ( 2m − 3) x. y = 0 ⇔  2 3 − 2m
x =

2
Để hàm số có 3 điểm cực trị thì

3 − 2m
3
>0⇔m< .
2
2

⇒ Điểm cực trị của đồ thị hàm số là:
 3 − 2m −4m 2 + 8m − 13   3 − 2m −4m 2 + 8m − 13 
A ( 0; −m − 1) , B 
;
;
÷, C  −
÷
2
4
2
4


 

2

 12m − 9 − 4m 2 
3 − 2m
Ta thấy AB = AC nên để ∆ABC đều thì AB = BC ⇔ 
÷ = 4.
4
2


⇔

( 3 − 2m )
16

4

= 3.

3 − 2m
3
⇔ 3 − 2m = 2 3 3 ⇔ m = − 3 3 .
2
2
Trang 15

Câu 45.
2
Ta có V = π R h = 16π ⇒ h =

16
.
R2

Để ít tốn nguyên liệu nhất thì diện tích toàn phần của lọ phải nhỏ nhất. Ta có:
Stp = 2π R 2 + 2π Rh = 2π R 2 +
2
Dấu “=” xảy ra ⇔ 2π R =

32π
16π 16π
16π 16π
= 2π R 2 +
+
≥ 3 3 2π R 2 .
.
= 24π .
2
R
R
R
R R

16π
⇔ R = 2 ( cm ) .
R

Câu 46.
2
Gọi x ( x > 0 ) là chiều rộng của đáy suy ra thể tích bể nước là V = 2 x .h = 2 ⇔ h =

2
Diện tích xung quanh hồ và đáy bể là: S = 6 x.h + 2 x =

Xét hàm số f ( x ) =

6
+ 2 x 2 với
x

Vậy chiều cao cần xây là

h=

1
x2

6
+ 2 x2 ( x > 0)
x

( x > 0 ) . Hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại

x=

3

3
.
2

1
1
4
=
= 3 ( m)
2
2
x
9
.
3
3
 ÷
2

Câu 47.
Bài toán tổng quát “Một người, hàng tháng gửi vào ngân hàng số tiền là a đồng, biết lãi suất hàng tháng
là m . Sau n tháng, người tiền mà người ấy có là Tn =

a 
n
. ( 1 + m ) − 1 . ( 1 + m ) ”.

m 

 n = 15; m = 0, 6%
Áp dụng công thức với 
Tn = 10000000
⇒a=

10000000.0, 6%
≈ 635000 đồng
( 1 + 0, 6% ) 15 − 1 ( 1 + 0, 6% )



Câu 48.
Thể tích khối lăng trụ đều ABC. A′B′C ′ là

VABC . A′B′C ′ = S ABC . AA′ =

3
3
.
.1 =
4
4
Trang 16


3
Gọi M là trung điểm AB ⇒ CM ⊥ ( ABB′A′ ) và CM =
. Do đó, thể tích khối chóp C. ABFE là:
2
1

1 1 3
3
.
VC . ABFE = SC . ABFE .CH = .1. .
=
3
3 2 2
12
Thể tích khối đa diện A′B′C ′EFC là:
VA′B′C ′EFC = VABC . A′B′C ′ − VC . ABFE =

3
3
3
.
−
=
4 12
6

Do A′ là trung điểm C ′E ′ nên:
d ( E ′, ( BCC ′B′ ) ) = 2d ( A′, ( BCC ′B′ ) ) = 2.

3
= 3.
2

SCC ′F ′ = S F ′B′F + S FB′C ′C = S FBC + S FB′C ′C = S BCC ′B′ = 1 .
Thể tích khối chóp E ′.CC ′F ′ là
1

1
3
.
VE ′.CC ′F ′ = .SCC ′F ′ .d ( E ′, ( BCC ′B′ ) ) = .1. 3 =
3
3
3
Thể tích khối đa diện EFA′B′E ′F ′ bằng
VEFA′B′E ′F ′ = VE ′.CC ′F ′ − VA′B′C ′EFC =

3
3
3
.
−
=
3
6
6

Câu 49.
uu
r uur
5
4
Gọi I sao cho IA + 2 IB = 0 ⇒ I  ;0; − ÷
3
3
uuur 2
uuu

r uu
r 2
uuu
r uu
r
MA2 = MA = MI + IA = MI 2 + IA2 + 2MI .IA

(

)

uuur 2
uuu
r uur
MB 2 = MB = MI + IB

(

)

2

uuu
r uur
= MI 2 + IB 2 + 2MI .IB

uuu
r uu
r uur
MA2 + 2 MB 2 = 3MI 2 + IA2 + 2 IB 2 + 2MI IA + IB = 3MI 2 + IA2 + 2 IB 2

(

(

2
2
Suy ra MA + 2 MB

)

min

)

khi MI bé nhất hay M là hình chiếu của I trên ( P ) .

35
 283 −104 −214 
;
;
Tìm được tọa độ M 
.
÷⇒ T = −
183
 183 183 183 
Câu 50.
Mặt phẳng ( ABC ) có phương trình: x − y − z − 1 = 0 . Gọi ( S ) là mặt cầu có tâm I ∈ Oy và cắt ( ABC )
theo một đường tròn bán kính r nhỏ nhất.
Vì I ∈ Oy nên I ( 0; t ;0 ) , gọi H là hình chiếu của I lên ( ABC ) khi đó là có bán kính đường tròn giao

của ( ABC ) và ( S ) là r = AH = IA2 − IH 2 .
Ta có: IA2 = t 2 + 1, IH = d ( I , ( ABC ) ) =
Do đó, r nhỏ nhất khi và chỉ khi t =

t +1
3

⇒ r = t2 +1−

1
. Khi đó
2

t 2 + 2t + 1
2t 2 − 2t + 2
.
=
3
3

5
 1 
I  0; ;0 ÷, IA2 = .
4
 2 
Trang 17


2

1
5

Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là: x 2 +  y − ÷ + z 2 = .
2
4


Trang 18