BỘ ĐỀ ÔN THI VÀO 10 MÔN TOÁN

LờI NóI ĐầU
Thõn ỏi cho cỏc bn v cỏc em hc sinh!
cựng cỏc em vt qua kỡ thi quan trng ny, iu quan trng hn l giỳp cỏc
em cú phng phỏp hc tt mụn Toỏn 9, tụi son cun TI LIU THAM KHO ễN
TP V LUYN THI TON 9. Hy vng cun ti liu s giỳp cỏc em nhỡn nhn li mt
cỏch ton din ni dung chng trỡnh Toỏn 9, cú phng phỏp gii Toỏn tt hn, nm
vng mt s chuyờn Toỏn 9.
NI DUNG GM:
Phn I: H thng li mt s vn c bn Toỏn 9:
Phn ny trỡnh by cỏc dng bi tp c bn v i s v Hỡnh hc thng gp
trong cu trỳc thi Tuyn sinh vo lp 10. Mi dng Toỏn cú cỏc vớ d minh ha cú
li gii, tip ú l cỏc bi tp tng t dnh cho cỏc em t luyn.
PhnII: Tuyn tp mt s thi theo cu trỳc thng gp:
Phn ny trỡnh by 10 thi mụn Toỏn tuyn sinh vo THPT theo cu trỳc
thng gp vi ỏp ỏn, li gii chi tit. Vi mi bi gii cú phõn b biu im c th
cỏc em tin ỏnh giỏ nng lc bn thõn, cng nh nm vng cỏc bc gii quan
trng trong mt bi toỏn.
Phn III: Mt s t luyn:
Phn ny gm 05 thi t lun theo cu trỳc thng gp, giỳp cỏc em th sc
vi thi.

PHN I:
H THNG CC VN C BN CA TON 9
---***--VN I: RT GN BIU THC CHA CN BC HAI

A. Kin thc cn nh:

A.1. Kiến thức cơ bản

A.1.1. Căn bậc hai

a.Căn bậc hai số học
- Với số dơng a, số a đợc gọi là căn bậc hai số học của a
- Số 0 cũng đợc gọi là căn bậc hai số học của 0
x 0

- Một cách tổng quát: x = a

2
x = a

b.So sánh các căn bậc hai số học
- Với hai số a và b không âm ta có: a < b a < b
1


A.1.2. Căn thức bậc hai và hằng đẳng thức A2 = A
a.Căn thức bậc hai
- Với A là một biểu thức đại số , ngời ta gọi A là căn thức bậc hai
của A, A đợc gọi là biểu thức lấy căn hay biểu thức dới dấu căn
- A xác định (hay có nghĩa) A 0
b.Hằng đẳng thức A2 = A
- Với mọi A ta có A2 = A
- Nh vậy: + A2 = A nếu A 0
+ A2 = A nếu A < 0
A.1.3. Liên hệ giữa phép nhân và phép khai phơng
a.Định lí: + Với A 0 và B 0 ta có: A.B = A. B
+ Đặc biệt với A 0 ta có ( A )2 = A2 = A
b.Quy tắc khai phơng một tích: Muốn khai phơng một tích của
các thừa số không âm, ta có thể khai phơng từng thừa số rồi
nhân các kết quả với nhau

c. Quy tắc nhân các căn bậc hai: Muốn nhân các căn bậc hai của
các số không âm, ta có thể nhân các số dới dấu căn với nhau
rồi khai phơng kết quả đó
A.1.4. Liên hệ giữa phép chia và phép khai phơng
a.Định lí: Với mọi A 0 và B > 0 ta có:

A
=
B

A
B

b.Quy tắc khai phơng một thơng: Muốn khai phơng một thơng
a/b, trong đó a không âm và b dơng ta có thể lần lợt khai phơng hai số a và b rồi lấy kết quả thứ nhất chí cho kết quả thứ
hai.
c. Quy tắc chia các căn bậc hai: Muốn chia căn bậc hai của số a
không âm cho số b dơng ta có thể chia số a cho số b rồi khai
phơng kết quả đó.
A.1.5. Biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn thức bậc hai
a.Đa thừa số ra ngoài dấu căn
- Với hai biểu thức A, B mà B 0, ta có A2 B = A B , tức là
+ Nếu A 0 và B 0 thì A2 B = A B
+ Nếu A < 0 và B 0 thì A2 B = A B
b.Đa thừa số vào trong dấu căn
+ Nếu A 0 và B 0 thì A B = A2 B
+ Nếu A < 0 và B 0 thì A B = A2 B
c. Khử mẫu của biểu thức lấy căn
- Với các biểu thức A, B mà A.B 0 và B 0, ta có

A
=
B

AB
B

d.Trục căn thức ở mẫu
2


- Với các biểu thức A, B mà B > 0, ta có
A
A B
=
B
B

- Với các biểu thức A, B, C mà A 0 và A B 2 , ta có
C
C ( A B)
=
A B2
AB

- Với các biểu thức A, B, C mà A 0, B 0 và A B , ta có
C ( A B)
C
=
A B

A B

A.1.6. Căn bậc ba
a.Khái niệm căn bậc ba:
- Căn bậc ba của một số a là số x sao cho x 3 = a
- Với mọi a thì ( 3 a )3 = 3 a3 = a
b.Tính chất
- Với a < b thì 3 a < 3 b
- Với mọi a, b thì 3 ab = 3 a . 3 b
- Với mọi a và b 0 thì

3

a 3a
=
b 3b

A.2. Kiến thức bổ xung (*) Dành cho học sinh khá giỏi, học
sinh ôn thi chuyên
A.2.1. Căn bậc n
a. Căn bậc n ( 2 n N ) của số a là một số mà lũy thừa n bằng a
b. Căn bậc lẻ (n = 2k + 1)
Mọi số đều có một và chỉ một căn bậc lẻ
Căn bậc lẻ của số dơng là số dơng
Căn bậc lẻ của số âm là số âm
Căn bậc lẻ của số 0 là số 0
c. Căn bậc chẵn (n = 2k )
Số âm không có căn bậc chẵn
Căn bậc chẵn của số 0 là số 0
3

Số dơng có hai căn bậc chẵn là hai số đối nhau kí hiệu là
2k
a và 2k a
d. Các phép biến đổi căn thức.


A. xác định với A
A. xác định với A 0
2 k +1
A2 k +1 = A với A
2 k +1
2k



2k



A.B = 2 k A .2 k B với A, B mà A.B 0
A2 k +1.B = A.2 k +1 B với A, B

2 k +1
2k



A.B = 2 k +1 A.2 k +1 B với A, B

2 k +1
2k



A2 k = A với A

A2 k .B = A .2 k B với A, B mà B 0
A
=
B

2 k +1

2k

A
=
B



m n



m

2 k +1

A
với A, B mà B 0
2 k +1
B

2k

A

2k

B

với A, B mà B 0, A.B 0

A = mn A với A, mà A 0
m

An = A n với A, mà A 0

B. MT S BI TP Cể LI GII.
Bi 1: Tớnh:
3- 3

a. A =

2- 3 +2 2
b. B = +
c. C = 5. + . +

+

3 +3
2+ 3 - 2 2

HNG DN GII:
a. A =

3- 3
2=

+

3 +2 2
2( 3 - 3)

4- 2 3 +4

+

3 +3
2+ 3 - 2 2
2( 3 + 3)

.

4 +2 3 - 4

4

2( 3 - 3)
2( 3 + 3)
+
3 - 1+ 4
3 +1- 4
2
2( 3 - 3) + 2( 3 + 3) 2
=
3- 9
24 2
=
=- 4 2
- 6
b. B = + =
= = =3
=

c. C = 5. + . + = 5. + . +
= + + =3


Bài 2: Cho biểu thức A = 

1

x− x

+


 :
x −1
1

(

x +1

)

x −1

2

a) Nêu điều kiện xác định và rút biểu thức A
b) Tim giá trị của x để A =

1
.
3

c) Tìm giá trị lớn nhất cua biểu thức P = A - 9 x
HƯỚNG DẪN GIẢI:

a). Điều kiện 0 < x ≠ 1
Với điều kiện đó, ta có:
b). Để A =
Vậy x =

1
thì
3

A=

x

(

x +1

:

) (

x −1

x +1

)

x −1

2

=

x −1

x

x −1 1
3
9
= ⇔ x = ⇔ x = (thỏa mãn điều kiện)
3
2
4
x

1
9
thì A =
3
4

c). Ta có P = A - 9 x =


1 
− 9 x = −9 x +
÷+ 1
x
x


x −1

Áp dụng bất đẳng thức Cô –si cho hai số dương ta có: 9 x +

Suy ra: P ≤ −6 + 1= −5 . Đẳng thức xảy ra khi 9 x =
Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức P = −5 khi x =
Bài 3: 1) Cho biểu thức A =

1
x

⇔ x=

1
x

≥ 2 9 x.

1
x

=6

1
9

1
9

x +4
. Tính giá trị của A khi x = 36
x +2

5

x

x + 16

4

+
2) Rỳt gn biu thc B =
(vi x 0; x 16 )
ữ:
x 4ữ
x +4
x +2
3) Vi cỏc ca biu thc A v B núi trờn, hóy tỡm cỏc giỏ tr ca x nguyờn giỏ
tr ca biu thc B(A 1) l s nguyờn
HNG DN GII:
36 + 4 10 5
=
=
36 + 2 8 4

1) Vi x = 36 (Tha món x >= 0), Ta cú : A =
2) Vi x 0, x 16 ta cú :

x( x 4) 4( x + 4) x + 2
(x + 16)( x + 2)

x+2
+
=
ữ
=
ữ
x 16 x + 16
(x 16)(x + 16) x 16
x 16

B =

3) Ta cú: B(A 1) =

x+2 x+4
x+2
2
2
.
1ữ
=
.
=
.
ữ
x 16 x + 2 x 16 x + 2 x 16

B(A 1) nguyờn, x nguyờn thỡ x 16 l c ca 2, m (2) = { 1; 2 }
Ta cú bng giỏ tr tng ng:
x 16 1

1
2
2
x
17
15
18
14
Kt hp K x 0, x 16 , B(A 1) nguyờn thỡ x { 14; 15; 17; 18 }
Bi 4: Cho biểu thức:
P=

x
( x +

y )(1

y )



y
x +

(

xy

) (

y) x +1

)(

x + 1 1 y

)

a). Tìm điều kiện của x và y để P xác định . Rút gọn
P.
b). Tìm x,y nguyên thỏa mãn phơng trình P = 2.
HNG DN GII:
a). Điều kiện để P xác định là :; x 0 ; y 0 ; y 1 ; x + y 0 .
P=

=

=

=

(

x(1 +

(

x +

x ) y (1

(

) (1 +

x +

y

)(

x

y

y ) xy

x +

) (1 y )

y +x

y

)

xy + y xy

=

)

(

y 1+

)

( x y ) + x x + y y xy

(

x +

)(

y 1+

)( y)
x ( x + 1) y ( x + 1) + y ( 1 + x ) ( 1 x )
(1 + x ) (1 y )
x (1 y ) (1 + y ) y (1 y )
x y + y y x
=
(1 y )
(1 y )
x +

)(

x

(

)(

(

x 1

x +
y

)

y

)

x 1

=

x +

xy

y.

6


x +

Vậy P =

xy

y.

b) KX: x 0 ; y 0 ; y 1 ; x + y 0
P = 2 x + xy y. = 2



(

x1+

(



) (

y

)(

x 1 1 +

)

)

y +1 =1

y =1

Ta có: 1 + y 1 x 1 1 0 x 4 x = 0; 1; 2; 3 ; 4
Thay x = 0; 1; 2; 3; 4 vào ta cócác cặp giá trị x=4, y=0 và x=2,
y=2 (thoả mãn).

Bi 5:Cho biểu thức M =

2 x 9
x5 x +6

+

2 x +1
x 3

+

x+3
2 x

a. Tìm điều kiện của x để M có nghĩa và rút gọn M
b. Tìm x để M = 5
c. Tìm x Z để M Z.
HNG DN GII:
M=

2 x 9
x5 x +6

+

2 x +1
x 3

+

x +3
2 x

a.ĐK x 0; x 4; x 9
Rút gọn M =

2 x 9

0,5đ

(

)(

(

)(

Biến đổi ta có kết quả: M =
M=
x 1

b. . M =5

(

x 3

) (

)(

x + 3 x 3 + 2 x +1
x 2 x 3

(
(

(

)

x 2

x x 2
x 2

)(
x 3)(
x +1

)(

x 3

)

)

) M
x 2)

x 2

=

x +1
x 3

=5

)

x +1 =5

x 3

x +1 =5

x 15

16 =4 x
16
x =
=4 x =16
4

Đối chiếu ĐK: x 0; x 4; x 9

Vậy x = 16 thì M = 5
7


c. M =

x +1
x 3

=

x 3 + 4
x 3

=1 +

4
x 3

x 3 là ớc của 4

Do M z nên

x 3 nhận các giá trị: -4; -2; -1; 1; 2;

4
Lập bảng giá trị ta đợc:
x {1;4;16;25;49} vì x 4 x {1;16;25;49}

Bi 6: Cho biu thc P = ( - )2 . ( - ) Vi a > 0 v a 1
a) Rỳt gn biu thc P
b) Tỡm a P < 0
HNG DN GII:
a) P = ( - )2 . ( - ) Vi a > 0 v a 1
P=(

a
1 2 a1
a+1

) .(

)
2 2 a

a+1
a1

a a 1 2 ( a 1)2 ( a + 1)2
P=(
).
2 a
( a + 1)( a 1)
P=(
P=

a 1 2 a 2 a + 1 a 2 a 1
).
a 1
2 a

(a 1)4 a 1 a
=
4a
a

Vy P =

1 a
Với a > 0 v a 1
a

b) Tỡm a P < 0
Vi a > 0 v a 1 nờn > 0
P = < 0 1 - a < 0 a > 1 ( TMK)

Bi 7: Cho biu thc: Q = - ( 1 + ) :
a) Rỳt gn Q
b) Xỏc nh giỏ tr ca Q khi a = 3b
HNG DN GII:
a) Rỳt gn:
Q= -(1+):
8


= -.
= - =
= =
b) Khi có a = 3b ta có:

Q= = =

Bài 8: Cho biểu thức
 1
1 
2
1
A = 
+
.
+ +
y  x + y x
 x

3
3

1 x + y x + x y + y
:
y 
x 3 y + xy 3

a ) Rút gọn A;
b) Biết xy = 16. Tìm các giá trị của x, y để A có giá trị nhỏ nhất, tìm giá trị đó.
HƯỚNG DẪN GIẢI:
Đkxđ : x > 0 , y > 0
 1
1 
2
1

A
=
+
.
+ +

a)
y  x + y x
 x

1
:
y 

 x+ y
2

x + y 
=
.
+
:


xy
xy
x
+
y



(

 2
x + y 
=
+
:
 xy

xy



(
=

x+ y
xy

b) Ta có 


)

2

A=

xy

)

x+

y

x+

=

xy

y

2

y

xy

≥

2

Vậy min A = 1 khi

)

(

x+ y

)

(

x+ y

)

.

y  ≥ 0 ⇔ x + y − 2


x−

x+

)(

x + y x − xy + y + xy

xy ( x + y )

⇔
Do đó

x 3 y + xy 3

y ( x + y)

x+

xy

.

(

x3 + y x + x y + y3

xy
xy

=

x+
2

16
16

xy ≥ 0

y ≥2
=1

xy .

( vì xy = 16 )


 x= y
⇔ x = y = 4.

xy
=
16



Bài 9: Cho biểu thức:



1
x − 3  2
x+ 2

P = 
−
 
−

x
−
x
−
1
x
−
1
−
2
2
−
x
2
x
−
x



9

a) Tìm điều kiện để P có nghĩa.
c) Tính giá trị của P với x = 3 − 2 2 .

b) Rút gọn biểu thức P.

HƯỚNG DẪN GIẢI:




a. Biểu thức P có nghĩa khi và chỉ khi : 



x > 0
x ≥1
x ≥1


⇔
⇔x ≠ 2
x ≠ 2
x ≠ 3


x ≠ 3

x >0

x −1 ≥ 0
2 − x ≠0
x −1 − 2 ≠ 0

b) Đkxđ : x ≥ 1; x ≠ 2; x ≠ 3

P =




=


(

1
x − x −1

(


2

−


x −1 − 2  2 − x
x −3

−

x + x −1

x − x −1

)(

)

x + x −1

(

( x − 3) (

−

) (

x+ 2

2x − x 


x −1 − 2

)

)


2
−

x −1 + 2  2 − x

x −1 + 2

)(

)

x

 x + x − 1 ( x − 3) x − 1 + 2  2 x − x − 2
=
−
.
x
−
(
x
−
1
)
(
x
−
1

)
−
2
x 2− x



(

)

(

(

)

 x + x − 1 ( x − 3) x − 1 + 2  − 2 − x
.
= 
−
 x 2− x
x
−
x
+
1
x
−
3




=

(

) − x1 = (

x + x −1 − x −1 − 2 .

c) Thay x = 3 − 2 2 =
P=

2−

(

(

(
)

2 −1

)

2 −1

2

)

(

)

x − 2 .( − 1)
x

=

)

=

2

2−

2 −1

2 −1

=

)

)

2 − 1 vào biểu thức P =
2

(



2− x 

x+ 2

2− x
x

2− x
, ta có:
x

2 − 2 +1
2 −1

=

1
2 −1

= 2 +1

Bài 10: Cho biểu thức:
4 x

8x
x −1
2
+
):(
−
)
P =(
2+ x 4−x
x −2 x
x
a) Rút gọn P
b) Tìm giá trị của x để P = -1
c) Tìm m để với mọi giá trị x > 9 ta có: m( x − 3) P > x + 1
10


HƯỚNG DẪN GIẢI:
a) Ta có: x − 2 x = x ( x − 2)
x ≥ 0

x > 0
 x ≠0
⇔
• ĐKXĐ: 
x ≠ 4
4 − x ≠ 0
 x −2≠ 0

•

Với x > 0 và x ≠ 4 ta có:
P= (

4 x
8x
x −1
2
−
):(
−
)
2+ x x −4
x ( x − 2)
x

=

4 x ( x − 2) − 8 x
:
( x − 2)( x + 2)

=

4 x − 8x − 8x
:
( x − 2)( x + 2)

=

−4 x −8 x
:
( x −2)( x + 2)

=

x −1 − 2( x − 2)
x ( x − 2)
x −1 − 2 x + 4
x ( x − 2)
− x +3
( Đk: x ≠ 9)
x ( x −2)

−4 x ( x + 2)
x ( x − 2)
.
( x − 2)( x + 2)
3− x

−4 x . x ( x − 2)
(3 − x )( x − 2)
4x
=
x −3
=

Với x > 0 , x ≠ 4, x ≠ 9 thì P =

4x

x −3

b) P = - 1
4x
⇔
= −1 ( ĐK: x > 0, x ≠ 4, x ≠ 9 )
x −3

⇔ 4x = 3 − x
⇔ 4x − 3 − x = 0

Đặt

x = y đk y > 0

Ta có phương trình: 4 y 2 − y − 3 = 0

Các hệ số: a + b + c = 4- 1-3 =0

⇒ y1 = −1 ( không thoả mãn ĐKXĐ y > 0),

y2 =

3
( thoả mãn ĐKXĐ y > 0)
4
11


Với y =

3
9
= x thì x =
( thoả mãn đkxđ)
16
4

Vậy với x =
c) m( x − 3) P > x +1

9
thì P = - 1
16

(đk: x > 0; x ≠ 4, x ≠ 9 )

4x
> x +1
x −3

⇔ m( x − 3)
⇔ m.4 x > x +1

x +1
4x
( Do 4x > 0)
x +1
x
1

1
1
=
+
= +
• Xét
4x
4x 4x
4 4x
Có x > 9 (Thoả mãn ĐKXĐ)
⇔m >

⇔

1 1
< ( Hai phân số dương cùng tử số, phân số nào có mẫu số lớn hơn thì nhỏ hơn)
x 9

1
1
⇔
<
4x
36
1
1
1
1
⇔ +
< +

4
4x
4
36
1
1
5
⇔ +
<
4
4x
18

 5 x +1
>

5
18
4x
⇒m≥
Theo kết quả phần trên ta có : 
18
m > x + 1

4x


Kết luận: Với m ≥

5

, x > 9 thì m( x − 3) P > x + 1
18

C. MỘT SỐ BÀI TẬP TỰ LUYỆN:
C©u 1 Cho biểu thức :
A=(

1
x −1

+

x2 −1
) .
− 1− x2
2
x +1
1

2

1) Tim điều kiện của x để biểu thức A cã nghĩa .
2) Rót gọn biểu thức A .
3) Giải phương tr×nh theo x khi A = -2 .
12


C©u2 Cho biểu thức : A = (

2 x+x

x x −1

−


x +2 

) : 
x − 1  x + x + 1 
1

a) Rút gọn biểu thức .
b) Tính giá trị của A khi x = 4 + 2 3
C©u3 Cho biểu thức : A =

x +1

1

:

x x + x + x x2 − x

a) Rút gọn biểu thức A .
b) Coi A là hàm số của biến x vẽ đồ thi hàm số A .
 1

1

 

1

1



1

+
−
C©u4 Cho biểu thức : A= 
÷: 
÷+
 1- x 1 + x   1 − x 1 + x  1 − x
a) Rút gọn biểu thức A .
b) Tính giá trị của A khi x = 7 + 4 3
c) Với giá trị nào của x thì A đạt giá trị nhỏ nhất .
 a a −1 a a + 1  a + 2

−
÷
C©u 5 Cho biểu thức : A = 
÷: a − 2
a
−
a
a
+
a



a. T×m §KX§
b) Rót gän biÓu thøc A
c) T×m gi¸ trÞ nguyªn cña a ®Ó A nguyªn.


x   1
2 x
−
C©u 6 Cho biểu thức P = 1 +
÷: 
÷− 1
x
+
1
x
−
1
x
x
+
x
−
x
−
1

 


a) Tìm ĐKXĐ và rút gọn P
b) Tìm giá trịn nguyên của x để P − x nhậ giá trị nguyên.
 a + a 
a− a 
C©u 7 Cho P = 1 +
÷1 −
÷; a ≥ 0, a ≠ 1
a
+
1
−
1
+
a



a) Rót gọn P.
b) T×m a biết P > − 2 .
c) T×m a biết P = a .

( 1 − 2x )
P=

2

− 16x 2
1
C©u 8 Cho
; x≠±

2
1 − 4x
2
−2
a) Chứng minh P =
1 − 2x
3
b) Tính P khi x =
2

2.Tính Q =

2 + 5 − 24
12

13


 x +1
x −1 8 x   x − x − 3
1 
−
−
−
C©u 9 Cho biểu thức B = 
÷: 
÷
x
−
1

x
−
1
x
−
1
x
+
1
x
−
1

 

a) Rút gọn B.
b) Tính giá trị của B khi x = 3 + 2 2 .
c) Chứng minh rằng B ≤ 1 với mọi gía trị của x thỏa mãn x ≥ 0; x ≠ 1 .

 1
  1
+ 1 − a ÷: 
+ 1÷
C©u 10 Cho M = 
 1+ a
  1− a2

a) Tìm TXĐ
b) Rút gọn biểu thức M.
3

c) Tính giá trị của M tại a =
.
2+ 3
a+ a

 a− a



+ 1 ⋅ 
− 1 ; a ≥ 0, a ≠ 1 .
C©u 11 Cho biểu thức: A = 
 a +1   a −1 
1. Rút gọn biểu thức A.
2. Tìm a ≥0 và a≠1 thoả mãn đẳng thức: A= -a2



y

 2 xy

y

:
+
; x > 0, y > 0, x ≠ y .
C©u 12 Cho biểu thức: S = 
 x− y
x

+
xy
x
−
xy


1. Rút gọn biểu thức trên.
2. Tìm giá trị của x và y để S=1.

x +2
x − 2  x +1
⋅
−
; x > 0, x ≠ 1 .
C©u 13 Cho biểu thức: Q = 

x
−
1
x
+
2
x
+
1
x



a. Chứng minh Q =

2
x −1

b. Tìm số nguyên x lớn nhất để Q có giá trị là số nguyên.
 1

1

  x +2

x +1 

 ; x > 0 , x ≠ 1, x ≠ 4 .
 : 
−
C©u 14 Cho biểu thức: A =  −
x − 1   x − 1
x − 2 
 x
1. Rút gọn A.
2. Tìm x để A = 0.

a +1

C©u 15 Rút gọn biểu thức: A =
C©u 16 Cho biểu thức: T =

a2 −1 − a2 + a

x+2
x x −1

+

1

+

x +1
x + x +1

a −1 + a
−

+

a3 − a
a −1

; a > 1.

x +1
; x > 0, x ≠ 1 .
x −1

1. Rút gọn biểu thức T.
2. Chứng minh rằng với mọi x > 0 và x≠1 luôn có T<1/3.
C©u 17 Cho biểu thức: M =
1. Rút gọn biểu thức M.

1− x
1− x

−

1−

( x)

3

1+ x + x

; x ≥ 0; x ≠ 1.

14


2. Tỡm x M 2.
Bi 18: Cho biu thc :

2mn
2mn
1
A= m+
+ m
1+ 2
2
2 ữ

1+n
1+ n
n


vi m 0 ; n 1

a) Rỳt gn biu thc A.
b) Tỡm giỏ tr ca A vi m = 56 + 24 5 .
c) Tỡm giỏ tr nh nht ca A.


a +3 a +2
a+ a 1
1


:
+
Bi 19: Cho biu thc P =
ữ
a + 2 a 1
a 1 a +1
a 1


a) Rỳt gn P.
1
a +1
b) Tỡm a

1
P
8


x 1
2 x

Bi 20: Cho biu thc P = 1 +
ữ:
ữ 1
x
+
1
x

1
x
x
+
x

x

1



a) Tỡm KX v Rỳt gn P
b) Tỡm cỏc giỏ tr nguyờn ca x P x nhn giỏ tr nguyờn.

(

)(

)

VN 2: PHNG TRèNH BC HAI MT N S
A. KIN THC CN NH:
I. Định nghĩa : Phơng trình bậc hai một ẩn là phơng trình có dạng
ax 2 + bx + c = 0

trong đó x là ẩn; a, b, c là những số cho trớc gọi là các hệ số và a 0
II. Công thức nghiệm của phơng trình bậc hai :
Phơng trình bậc hai ax 2 + bx + c = 0(a 0)
= b 2 4ac

*) Nếu > 0 phơng trình có hai nghiệm phân biệt :
x1 =

b +
b
; x2 =
2a
2a

15


*) Nếu = 0 phơng trình có nghiệm kép :

x1 = x 2 =

b
2a

*) Nếu < 0 phơng trình vô nghiệm.
III. Công thức nghiệm thu gọn :
Phơng trình bậc hai ax 2 + bx + c = 0(a 0) và b = 2b '
' = b '2 ac

*) Nếu ' > 0 phơng trình có hai nghiệm phân biệt :
x1 =

b '+ '
b ' '
; x2 =
a
a

*) Nếu ' = 0 phơng trình có nghiệm kép : x1 = x 2 =

b '
a

*) Nếu ' < 0 phơng trình vô nghiệm.
IV. Hệ thức Vi - Et và ứng dụng :
1. Nếu x1; x2 là hai nghiệm của phơng trình ax 2 + bx + c = 0(a 0) thì :
b

x1 + x 2 = a

x x = c
1 2 a

2. Muốn tìm hai số u và v, biết u + v = S, uv = P, ta giải phơng
trình :
x 2 Sx + P = 0

(Điều kiện để có u và v là S2 4P 0 )
3. Nếu a + b + c = 0 thì phơng trình ax 2 + bx + c = 0(a 0) có hai
nghiệm :
x1 = 1; x 2 =

c
a

Nếu a - b + c = 0 thì phơng trình ax 2 + bx + c = 0(a 0) có hai
nghiệm :
x1 = 1; x 2 =

c
a

IV: Cỏc b iu kin phng trỡnh cú nghim thoa món c im cho trc:
Tìm điều kiện tổng quát để phơng trình ax2+bx+c = 0 (a 0)
có:
1. Có nghiệm (có hai nghiệm) 0
2. Vô nghiệm < 0
3. Nghiệm duy nhất (nghiệm kép, hai nghiệm bằng nhau) =
0

4. Có hai nghiệm phân biệt (khác nhau) > 0
5. Hai nghiệm cùng dấu 0 và P > 0
6. Hai nghiệm trái dấu > 0 và P < 0 a.c < 0
16


7. Hai nghiệm dơng(lớn hơn 0) 0; S > 0 và P > 0
8. Hai nghiệm âm(nhỏ hơn 0) 0; S < 0 và P > 0
9. Hai nghiệm đối nhau 0 và S = 0
10.Hai nghiệm nghịch đảo nhau 0 và P = 1
11. Hai nghiệm trái dấu và nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn
hơn
a.c < 0 và S < 0
12. Hai nghiệm trái dấu và nghiệm dơng có giá trị tuyệt đối lớn
hơn
a.c < 0 và S > 0
B. MT S BI TP Cể LI GII:
Bài 1. Giải các phơng trình sau :
a / 2x 2 8 = 0

c / 2x 2 + 3x + 5 = 0

b / 3x 2 5x = 0

d / x 4 + 3x 2 4 = 0
x+2
6
f/
+3=
x 5

2x

e / x 3 + 3x 2 2x 6 = 0

Giải
a / 2x 8 = 0 2x = 8 x = 4 x = 2
2

2

2

Vậy phơng trình có nghiệm x = 2
x = 0
x = 0
b / 3x 5x = 0 x(3x 5)

x = 5
3x

5
=
0

3

2

Vậy phơng trình có nghiệm x = 0; x =

5
3

c / 2x 2 + 3x + 5 = 0

Nhẩm nghiệm :
Ta có : a - b + c = - 2 - 3 + 5 = 0 => phơng trình có nghiệm :
5 5
=
2 2
d / x 4 + 3x 2 4 = 0
x1 = 1; x 2 =

Đặt t = x 2 (t 0) . Ta có phơng trình : t 2 + 3t 4 = 0
a+b+c=1+3-4=0
=> phơng trình có nghiệm : t1 = 1 > 0 (thỏa mãn);

t2 =

4
= 4 < 0 (loại)
1

Vi: t = 1 x 2 = 1 x = 1
Vậy phơng trình có nghiệm x = 1

17


e / x 3 + 3x 2 2x 6 = 0 (x 3 + 3x 2 ) (2x + 6) = 0 x 2 (x + 3) 2(x + 3) = 0 (x + 3)(x 2 2) = 0

x = 3
x + 3 = 0
x = 3
2
2

x 2 = 0
x = 2
x = 2

V

ậy phơng trình có nghiệm x = 3; x = 2
x+2
6
+3=
(ĐKXĐ : x 2; x 5 )
x 5
2x
x+2
6
+3=
Phơng trình :
x 5
2x
(x + 2)(2 x) 3(x 5)(2 x)
6(x 5)

+
=

(x 5)(2 x) (x 5)(2 x) (x 5)(2 x)
(x + 2)(2 x) + 3(x 5)(2 x) = 6(x 5)
f/

4 x 2 + 6x 3x 2 30 + 15x = 6x 30
4x 2 + 15x + 4 = 0
= 152 4.(4).4 = 225 + 64 = 289 > 0; = 17

=> phơng trình có hai nghiệm : x1 =
x2 =

15 + 17
1
= (thỏa mãn ĐKXĐ)
2.( 4)
4

15 17
= 4 (thỏa mãn ĐKXĐ)
2.(4)

Bài 2. Cho phơng trình bậc hai ẩn x, tham số m :
x 2 + mx + m + 3 = 0 (1)
a/ Giải phơng trình với m = - 2.
b/ Gọi x1; x2 là các nghiệm của phơng trình. Tính x12 + x 22 ; x13 + x 32
theo m.
c/ Tìm m để phơng trình có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn :
x12 + x 22 = 9 .
d/ Tìm m để phơng trình có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn :
2x1 + 3x2 = 5.

e/ Tìm m để phơng trình có nghiệm x1 = - 3. Tính nghiệm
còn lại.
f/ Tìm m để phơng trình có hai nghiệm trái dấu.
g/ Lập hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phơng trình
không phụ thuộc vào giá trị của m.
HNG DN GII:
a/ Thay m = - 2 vào phơng trình (1) ta có phơng trình :
x 2 2x + 1 = 0
(x 1) 2 = 0
x 1 = 0
x =1

Vậy với m = - 2 phơng trình có nghiệm duy nhất x = 1.
b/ Phơng trình : x 2 + mx + m + 3 = 0 (1) Ta cú: = m 2 4(m + 3) = m 2 4m 12
18


Phơng trình có nghiệm x1; x 2 0
x1 + x 2 = m
x1x 2 = m + 3

(a)

Khi đó theo định lý Vi-et, ta có :

(b)

*) x + x = (x1 + x 2 ) 2x1x 2 = ( m) 2(m + 3) = m 2m 6
*) x + x = (x1 + x 2 )3 3x1x 2 (x1 + x 2 ) = (m)3 3(m + 3)(m) = m 3 + 3m 2 + 9m
c/ Theo phần b : Phơng trình có nghiệm x1; x 2 0

Khi đó x12 + x 22 = m 2 2m 6
Do đó x12 + x 22 = 9 m 2 2m 6 = 9 m 2 2m 15 = 0
2
1
3
1

2
2
3
2

2

2

2

'(m) = (1) 2 1.(15) = 1 + 15 = 16 > 0; (m) = 4

=> phơng trình có hai nghiệm : m1 =

1+ 4
1 4
= 5; m 2 =
= 3
1
1

Thử lại :

+) Với m = 5 = 7 < 0 => loại.
+) Với m = 3 = 9 > 0 => thỏa mãn.
Vậy với m = - 3 thì phơng trình có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn :
x12 + x 22 = 9 .
d/ Theo phần b : Phơng trình có nghiệm x1; x 2 0
x1 + x 2 = m
x1x 2 = m + 3

(a)

Khi đó theo định lý Vi-et, ta có :

(b)

Hệ thức : 2x1 + 3x2 = 5
(c)
Từ (a) và (c) ta có hệ phơng trình :
x1 + x 2 = m
3x + 3x 2 = 3m
x = 3m 5
x = 3m 5
1
1
1

2x1 + 3x 2 = 5
2x1 + 3x 2 = 5
x 2 = m x1
x 2 = 2m + 5

x1 = 3m 5
vào (b) ta có phơng trình :
x 2 = 2m + 5

Thay

(3m 5)(2m +5) = m +3

6m 2 15m 10m 25 = m +3
6m 2 26m 28 = 0
3m 2 +13m +14 = 0
(m) =132 4.3.14 =1 > 0

13 + 1
= 2
2.3
=> phơng trình có hai nghiệm phân biệt :
13 1
7
m2 =
=
2.3
3
Thử lại : +) Với m = 2 = 0
=> thỏa mãn.
7
25
+) Với m = = > 0 => thỏa mãn.
3
9

7
Vậy với m = 2; m = phơng trình có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn : 2x1
3
m1 =

+ 3x2 = 5.
19


e/ Phơng trình (1) có nghiệm
x1 = 3 (3) 2 + m.(3) + m + 3 = 0 2m + 12 = 0 m = 6
Khi đó : x1 + x 2 = m x 2 = m x1 x 2 = 6 (3) x 2 = 3

Vậy với m = 6 thì phơng trình có nghiệm x1 = x2 = - 3.
f/ Phơng trình (1) có hai nghiệm trái dấu
ac < 0 1.(m + 3) < 0 m + 3 < 0 m < 3

Vậy với m < - 3 thì phơng trình có hai nghiệm trái dấu.
g/ Giả sử phơng trình có hai nghiệm x1; x2. Khi đó theo định lí Viet, ta có :

x1 + x 2 = m
m = x1 x 2

x1 x 2 = x1x 2 3

x1x 2 = m + 3
m = x1 x 2 3

Vy h thc liờn h gia x1; x2 khụng ph thuc vo m l: x1.x2 + (x1 + x2 ) 3 = 0
Bài 3:

Cho phơng trình (m-1)x2 + 2x - 3 = 0 (1) (tham số m)
a) Tìm m để (1) có nghiệm
b) Tìm m để (1) có nghiệm duy nhất? tìm nghiệm duy
nhất đó?
c) Tìm m để (1) có 1 nghiệm bằng 2? khi đó hãy tìm
nghiệm còn lại(nếu có)?
HNG DN GII:
a) + Nếu m-1 = 0 m = 1 thì (1) có dạng 2x - 3 = 0 x =

3
(là
2

nghiệm)
+ Nếu m 1. Khi đó (1) là phơng trình bậc hai có: =12- (-3)(m1) = 3m-2
(1) có nghiệm = 3m-2 0 m
+ Kết hợp hai trờng hợp trên ta có: Với m

2
3
2
thì phơng trình có
3

nghiệm
b) + Nếu m-1 = 0 m = 1 thì (1) có dạng 2x - 3 = 0 x =

3
(là
2

nghiệm)
+ Nếu m 1. Khi đó (1) là phơng trình bậc hai có: = 1- (-3)
(m-1) = 3m-2
(1) có nghiệm duy nhất = 3m-2 = 0 m =

2
(thoả mãn m
3

1)
20


Khi đó x =



1
1
=
=3
2
m 1
1
3

+Vậy với m = 1 thì phơng trình có nghiệm duy nhất x =
với m =

3
2

2
thì phơng trình có nghiệm duy nhất x = 3
3

c) Do phơng trình có nghiệm x1 = 2 nên ta có:
(m-1)22 + 2.2 - 3 = 0 4m 3 = 0 m =

3
4

Khi đó (1) là phơng trình bậc hai (do m -1 =

3
1
-1= 0)
4
4

3
3
=
= 12 x 2 = 6
Theo đinh lí Viet ta có: x1.x2 = m 1 1
4
3
Vậy m = và nghiệm còn lại là x2 = 6
4

Bài 4: Cho phơng trình: x2 -2(m-1)x - 3 - m = 0
a) Chứng tỏ rằng phơng trình có nghiệm x1, x2 với mọi m
b) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm trái dấu
c) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm cùng âm
d) Tìm m sao cho nghiệm số x 1, x2 của phơng trình thoả
mãn x12+x22 10.
e) Tìm hệ thức liên hệ giữa x 1 và x2 không phụ thuộc vào
m
f) Hãy biểu thị x1 qua x2
HNG DN GII:
2

a)

1
15
Ta có: = (m-1) ( 3 m ) = m +
2
4



2

2

15
1
> 0 > 0 với mọi m

Do m 0 với mọi m;
4
2


Phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt
Hay phơng trình luôn có hai nghiệm (đpcm)
b) Phơng trình có hai nghiệm trái dấu a.c < 0 3 m < 0
m > -3
Vậy m > -3
c) Theo ý a) ta có phơng trình luôn có hai nghiệm
21


Khi đó theo định lí Viet ta có: S = x1 + x2 = 2(m-1) và P = x1.x2
= - (m+3)
Khi đó phơng trình có hai nghiệm âm S < 0 và P > 0
2(m 1) < 0
m < 1


m < 3
(m + 3) > 0
m < 3

Vậy m < -3
d) Theo ý a) ta có phơng trình luôn có hai nghiệm
Theo định lí Viet ta có: S = x1 + x2 = 2(m-1) và P = x1.x2 = (m+3)
Khi đó A = x12+x22 = (x1 + x2)2 - 2x1x2 = 4(m-1)2+2(m+3) = 4m2
6m + 10

Theo bài A 10 4m2 6m 0 2m(2m-3) 0
m 0

m 0
m 3

3

2
m

3

0
m

2






2
m 0

m 0

m 0

3
2m 3 0
m
2


Vậy m

3
hoặc m 0
2

e) Theo ý a) ta có phơng trình luôn có hai nghiệm
x1 + x 2 = 2(m 1)
x + x 2 = 2m 2
. 1
x1 .x 2 = (m + 3)
2 x1 .x 2 = 2m 6

Theo định lí Viet ta có:

x1 + x2+2x1x2 = - 8
Vậy x1+x2+2x1x2+ 8 = 0 là hệ thức liên hệ giữa x1 và x2 không
phụ thuộc m
f) Từ ý e) ta có: x1 + x2+2x1x2 = - 8 x1(1+2x2) = - ( 8 +x2)
x1 =

8 + x2

1 + 2 x2

Vậy x1 =

8 + x2
1 + 2 x2

1
2

( x2 )

Bài 5: Cho phơng trình: x2 + 2x + m-1= 0 ( m là tham số)
a) Phơng trình có hai nghiệm là nghịch đảo của nhau
b) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm x1; x2 thoả mãn
3x1+2x2 = 1
1

1

2

1

c) Lập phơng trình ẩn y thoả mãn y1 = x1 + x ; y 2 = x 2 + x với x1;
x2 là nghiệm của phơng trình ở trên
22


HNG DN GII:

a) Ta có = 1 (m-1) = 2 m
Phơng trình có hai nghiệm là nghịch đảo của nhau


2

' 0
2 m 0
m 2



m=2
m 1 = 1
m = 2
P = 1

Vậy m = 2
b) Ta có = 12 (m-1) = 2 m
Phơng trình có nghiệm 0 2 m 0 m 2 (*)
Khi đó theo định lí Viet ta có: x1+ x2 = -2 (1); x1x2 = m 1 (2)
Theo bài: 3x1+2x2 = 1 (3)
x1 + x 2 = 2
2 x + 2 x 2 = 4
x = 5
x = 5
1
1
1
3 x1 + 2 x 2 = 1

3x1 + 2 x 2 = 1
x1 + x 2 = 2
x 2 = 7

Từ (1) và (3) ta có:

Thế vào (2) ta có: 5(-7) = m -1 m = - 34 (thoả mãn (*))
Vậy m = -34 là giá trị cần tìm
d) Với m 2 thì phơng trình đã cho có hai nghiệm
Theo định lí Viet ta có: x1+ x2 = -2 (1) ; x1x2 = m 1 (2)
Khi đó: y1 + y 2 = x1 + x 2 +
y1 y 2 = ( x1 +

x + x2
1
1
2
2m
+
= x1 + x 2 + 1
= 2 +
=
x1 x 2
x1 x 2
m 1 1 m

(m1)

1
1

1
1
m2
)( x 2 + ) = x1 x 2 +
+ 2 = m 1+
+2=
(m1)
x2
x1
x1 x 2
m 1
m 1

y1; y2 là nghiệm của phơng trình: y2 -

2m
m2
.y +
= 0 (m1)
1 m
m 1

Phơng trình ẩn y cần lập là: (m-1)y2 + 2my + m2 = 0

23


C. MT S BI TP T LUYN
Bài 1Cho phơng trình (m - 1)x2 - 2mx + m + 1 = 0 (1).
Tìm tất cả các số nguyên m để phơng trình (1) có nghiệm

nguyên.
HDẫn : * m = 1 : -2x + 2 = 0 x = 1
* m1 :
m - 1 + (-2m) +m +1 = 0 x1 = 1 ;
x2 =

m +1
2
= 1+
m 1
m 1

m 1 = 1;2 m { 1;0;2;3}

Bài 2: Cho phơng trình x2 + (2m - 5)x - 3n = 0 .
Xác định m và n để phơng trình có 2 nghiệm là 3 và -2.
HDẫn :

6m 3n = 6
m = 2


4m + 3n = 14
n = 2

Bài 3: Tìm m, n để phơng trình bậc hai sau đây có nghiệm duy
nhất là

1
:

2

HDẫn :

mx2 + (mn + 1)x + n = 0

m 0

= 0
m
1
+ ( mn + 1). + n = 0
2
4

m = 2


1
n = 2

Bài 4: Cho hai phơng trình : x2 - 3x + 2m + 6 = 0 (1) và x2 + x 2m - 10 = 0 (2)
CMR : Với mọi m, ít nhất 1 trong 2 phơng trình trên có
nghiệm .
HDẫn : 1 + 2 = 26 > 0 có 1 biệt số không âm .
24


Bài 5: Cho hai phơng trình : x2 + (m - 2)x +

m
=0
4

(1)

và 4x2 - 4(m - 3)x + 2m2 - 11m + 13 = 0
(2)
CMR với mọi m, ít nhất 1 trong 2 phơng trình trên có
nghiệm .
HDẫn : 1 = (m 1)(m 4) ; 2 = 16(1 m)(m 4)
1 . 2 = 16(m 1) 2 (m 4) 2 0 có 1 biệt số không âm .
Bài 6: Tìm giá trị của m để hai phơng trình sau đây có ít nhất
1 nghiệm chung.
x2 + 2x + m = 0
x2 + mx + 2 = 0
HDẫn : (m -2)x 0 = m - 2
+2 = 0 ( vô nghiệm)

: + m =2 : hai phơng trình có dạng : x2 + 2x

+ m 2 : x 0 = 1 ; m = -3
Bài 7: Tìm giá trị của m để hai phơng trình sau đây có ít nhất
1 nghiệm chung.
x2 + (m - 2)x + 3 = 0
2x2 + mx + (m + 2) = 0
HDẫn : (m - 4)x 0 = m - 4 : + m = 4 : hai phơng trình có dạng :
x + 2x +3 = 0 ( vô nghiệm)
+ m 4 : x 0 = 1 ; m = -2
Bài 8 : Gọi x1 và x 2 là những nghiệm của phơng trình : 3x2 - (3k 2)x - (3k + 1) = 0 (1)

Tìm những giá trị của k để các nghiệm của phơng trình
(1) thoả mãn : 3x1 5 x 2 = 6
2

HDẫn :

4
* = (3k + 4) 0 k
3
2

k = 0
*
32
k =
15


(t/m)

Bài 9 : Cho phơng trình : x2 - (2m + 1)x + m2 + 2 = 0. Xác định
x1 , x 2 ta có hệ thức :
m để giữa hai nghiệm
3 x1 x 2 5( x1 + x 2 ) + 7 = 0
m = 2
4
HDẫn :
*
loại m =
4

m=
3
3

Bài 10: Cho phơng trình x 2 2( m + 2) x + m + 1 = 0 . Gọi x1, x2 là hai nghiệm
7
* = 4m 7 0 m
4

của phơng

trình. Tìm giá trị của m để x1 (1 2 x 2 ) + x 2 (1 2 x1 ) = m 2
25