BỘ ĐỀ ÔN THI VÀO 10 MÔN TOÁN THEO CẤU TRÚC CHUẨN

Đề cương ôn thi vào lớp 10, môn toán

CHUYÊN ĐỀ 1 : CĂN THỨC BẬC HAI VÀ HẰNG ĐẲNG THỨC
A.TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1)
2)
3)

A2  A
AB  A. B ( víi A  0 vµ B  0 )
A
A

( víi A  0 vµ B > 0 )
B
B

4) A 2 B  A B (víi B  0 )
5) A B  A 2 B ( víi A  0 vµ B  0 )
A B  A 2 B ( víi A < 0 vµ B  0 )
6)
7)

8)
9)

A
AB

( víi AB  0 vµ B  0 )
B

B
A
B



A B
( víi B > 0 )
B

C
A B
C



A B

C ( A B )
( Víi A  0 vµ A  B2 )
A  B2



C( A  B )
( víi A  0, B  0 vµ A  B
A B

B. BÀI TẬP
I.THỰC HIỆN PHÉP TÍNH – RÚT GỌN – BIẾN ĐỔI BIỂU THỨC CHỨA CĂN

Bài 1. Thực hiện phép tính.
1)
4)
7)
10)





3  1.


3  1

2 1 . 2  1

0,09
1 6

1
4

2 3 

2

3)

28 :

5)

2,5. 40

6)

50 . 2

8)



4 5

9)

0,0001

11)

2

2

2)



2





4 5



2

7
9

12)

7

3 1 11

1
5 2 25

Bài 2. Thực hiện phép tính:
1)
20  5
2)
12  27
3)
4)

5)
27  2 3  2 48  3 75
6)
Bài 3. Trục căn thức ở mẫu, rút gọn ( víi x 0, x 1 )
1.
5.

4 
x2  5
x 5

17



2

2.
6.

2 3

3.

2
2
2

7.

3

1

6 12 
3 2

8  50  4 32

3 2  4 18  32 

6  14
2 3  28
2 1
21

20  2 27  125

4.
8.

50
x 1
x2  1
x x1
x1


cng ụn thi vo lp 10, mụn toỏn
3

1
1

2
20
60
15

9.





13. 5 3 3 5 : 15

10.

3
4

5 2
6 2

14.

1
1
48 3 75 27 10 1
3

3

1
1


. 5
5 3
5 3


11.

1 1

5 4
5 : 2 5 16.
15. 5 20
5 2
4 5




Bi 4. * Chng minh cỏc ng thc sau:
1)

2 3 2 3 6
1

2)

2 1
1

3)

2 1


4)

3 2
1



a

a 2

5)

1



3 2

a b
2 a 2 b

a
a 2


1



1

...


1

4 3

9

100 99

4 a 1 1
:
1
a 4 a 4

a

b

2 a 2 b



2b
2 b

b a
a b

II. RT GN V TNH GI TR BIU THC
Bi 1. Cho biểu thức: A =

x x 1 x 1

x 1
x 1

a)Tìm ĐKXĐ và rút gọn A.
b) Tính giá trị biểu thức A khi x =

9
.
4

c) Tìm tất cả các giá trị của x để A < 1.
1

1

1

1

1


:

Bi 2. Cho A =
vi x > 0 , x 1


1 x 1 x
1 x 1 x 2 x


a. Rỳt gn A
b. Tớnh A vi x = 6 2 5
2x
x 1 3 11x


vi x 3
x 3 3 x x2 9
a/ Rỳt gn biu thc A.
b/ Tim x A < 2.

c/ Tim x nguyờn A nguyờn.

Bi 3. Cho biu thc A

1 a a

1 a a



a .
a
Bi 4 Cho biểu thức: P =
1

a
1

a



a) Rút gọn P
b) Tìm a để P < 7 4 3
1

a 1

1


Bi 5. Cho biu thc M
vi a > 0 v a 1
:
a 1 a 2 a 1
a a
a/ Rỳt gn biu thc M.
b/ So sỏnh giỏ tr ca M vi 1.
1

1

12.




3


1
Bi 6. Cho biu thc : A =



a 3
a3
a

2





20 45 5 . 5

2 5 - 2 5
2

2


cng ụn thi vo lp 10, mụn toỏn
a) Rỳt gn biu thc sau A.
b) Xỏc nh a biu thc A >

1
2



x 4
3 x 2
x


:

vi x > 0 , x 4
Bi 7. Cho A =
x 2
x
x 2
x x 2









a. Rỳt gn A
b. Tớnh A vi x = 6 2 5
a3

Bi 8. Cho biu thc: P =

a 2



a 1 4 a 4

(a 0; a 4)
4 a

a 2

a) Rỳt gn P.
b) Tớnh giỏ tr ca P vi a = 9
a a
a a
1

1




Bi 9. Cho biu thc: N =



a

1
a

1





1) Rỳt gn biu thc N.
2) Tim giỏ tr ca a N = - 2016

2 x

3x 3 2 x 2

x


1
x3


:


Bi 10. Cho biu thc P
x 3 x 9
x 3
a. Rỳt gn P.

b. Tim x P

1
2

c. Tim giỏ tr nh nht ca P.
a 1

Bi 11. Cho A =

a 1




a 1
1
4 a
. a
vi x > 0 ,x 1

a 1
a


a. Rỳt gn A



b. Tớnh A vi a = 4 15 . 10 6 . 4 15
a 2

a 2





2

:

Bi 12. Cho biu thc: E
(1 a ) 2
a

1
a

2
a

1



a) Rỳt gn E
Bi 13.

b) Tim Max E


x

1



1

2

:



Cho biểu thức: P =

x 1 x x x 1 x 1
a) Tìm ĐKXĐ và rút gọn P
b) Tìm các giá trị của x để P > 0
c) Tìm x để P = 6.

Bi 14. Cho A =

15 x 11 3 x 2 2 x 3


vi x 0 , x 1
x 2 x 3 1 x
x 3

a. Rỳt gn A.
b. Tim x A =

b.Tim GTLN ca A.
1
2

2

3

c.CMR : A
3


cng ụn thi vo lp 10, mụn toỏn
x 5 x 25 x
x 3
x 5
1
:



x 2 x 15
x 5
x 3
x 25



Bi 15. Cho A =

a. Rỳt gn A
Bi 16. Cho A =

b. Tim x Z A Z

2 a 9

a 3 2 a 1


vi a 0 , a 9 , a 4.
a5 a 6
a 2 3 a

a. Rỳt gn A.
b. Tim a A < 1
c. Tim a Z A Z
x x 7
1 x 2
x 2 2 x

:




x 2
vi x > 0 , x 4.
x

4
x

4
x

2

x

2




Bi 17. Cho A =


a. Rỳt gn A.
1

1

b. So sỏnh A vi
1

1

1
A

1


:

Bi 18. Cho A =
vi x > 0 , x 1

1 x 1 x
1 x 1 x 2 x


a. Rỳt gn A

b. Tớnh A vi x = 6 2 5
2 x
x
3 x 3 2 x 2


:
1

vi x 0 , x 9
x 3 x 9
x 3
x 3


Bi 19. Cho A =

a. Rỳt gn A

x 1

Bi 20. Cho A =

x 1

b. Tim x A <

1
2

x 1 8 x x x 3
1

:


vi x 0 , x 1
x 1 x 1
x 1
x 1


a. Rỳt gn A
b. Tớnh A vi x = 6 2 5
c . CMR : A 1

CHUYấN 2: HM S BC NHT- BC HAI- H PHNG TRèNH
I.HM S BC NHT
1. Lý thuyt
1/Hàm số y = ax + b là bậc nhất a 0
2/ a) Tớnh cht : Hàm s xỏc nh vi mi giỏ tr ca x trờn R đồng

biến khi a > 0 và nghịch biến khi a < 0).
b) th ca h/s y = ax + b (a 0) l mt ng thng luụn ct trc tung ti im cú
tung l b, song song vi ng thng y = ax nu a 0 v trựng vi t y = ax vi b = 0.
3/ Cách tìm giao điểm của (d) với hai trục toạ độ
Cho x = 0 => y = b => (d) cắt trục tung tại A(0;b)
Cho y =0 => x = -b/a => (d) cắt trục hoành tại B( -b/a;0)
a gọi là hệ số góc, b là tung độ gốc của (d)
4/ Cách vẽ đồ thị hàm số y = ax + b
Cho x = 0 => y = b => A (0;b)
Cho y =0 => x = -b/a => B( -b/a;0)
Vẽ đờng thẳng AB ta đợc đồ thị hàm số y = ax + b
5/ (d) đi qua A(xo; yo) yo= axo + b
4


cng ụn thi vo lp 10, mụn toỏn

6/ Gọi
là góc tạo bởi đờng thẳng và tia Ox. Khi đó:
là góc nhọn khi a > 0, là góc tù khi a < 0
7/ (d) cắt (d) a a
(d) vuông góc (d) a. a = -1
(d) trùng (d)

a a'



b

b'


(d)//(d)

a a'


b b'


8/ (d) cắt trục hoành tại điểm có hoành độ l a (d) đi qua A(a;
0)
9/ (d) cắt trục tung tại điểm có tung độ b (d) đi qua B(0; b)
10/ Cỏch tim toạ độ giao điểm của (d) và (d): Gii phơng trình
HG: ax + b = ax + b
Tim c x. Thay giỏ tr ca x vo (d) hoc (d) ta tim c y
=> A(x; y) l TG ca (d) và (d).
2. Bi tp
Bài 1 : Cho hàm số y = (m + 5)x+ 2m 10
a) Với giá trị nào của m thì y là hàm số bậc nhất
b) Với giá trị nào của m thì hàm số đồng biến.
c) Tìm m để đồ thị hàm số đi qua điểm A(2; 3)
d) Tìm m để đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 9.
e) Tìm m để đồ thị đi qua điểm 10 trên trục hoành .
f) Tìm m để đồ thị hàm số song song với đồ thị hàm số y = 2x -1
g) Chứng minh đồ thị hàm số luôn đi qua 1 điểm cố định với mọi
m.
h) Tìm m để khoảng cách từ O tới đồ thị hàm số là lớn nhất
Bài 2: Cho đờng thẳng y=2mx +3-m-x (d) . Xác định m để:

a) Đờng thẳng d qua gốc toạ độ
b) Đờng thẳng d song song với đờng thẳng 2y- x =5
c) Đờng thẳng d tạo với Ox một góc nhọn
d) Đờng thẳng d tạo với Ox một góc tù
e) Đờng thẳng d cắt Ox tại điểm có hoành độ 2
f) Đờng thẳng d cắt đồ thị Hs y= 2x 3 tại một điểm có hoành độ
là 2
g) Đờng thẳng d cắt đồ thị Hs y= -x +7 tại một điểm có tung độ y
=4
h) Đờng thẳng d đi qua giao điểm của hai đờng thảng 2x -3y=-8 và
y= -x+1
Bài 3: Cho hàm số y = (m 2)x + m + 3.
1) Tìm điều kiện của m để hàm số luôn nghịch biến.
2) Tìm m để đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ
bằng 3.
5


cng ụn thi vo lp 10, mụn toỏn
3) Tìm m để đồ thị của hàm số trên và các đồ thị của các hàm số y =
-x + 2 ; y = 2x 1 đồng quy.
Bài 4. Cho hàm số y = (m 1)x + m + 3.
1) Tìm giá trị của m để đồ thị của hàm số song song với đồ thị hàm
số y = -2x + 1.
2) Tìm giá trị của m để đồ thị của hàm số đi qua điểm (1 ; -4).
3) Tìm điểm cố định mà đồ thị của hàm số luôn đi qua với mọi m.
4) Tìm giá trị của m để đồ thị của hàm số tạo với trục tung và trục
hoành một tam giác có diện tích bằng 1 (đvdt).
Bài 5. Cho hai điểm A(1 ; 1), B(2 ; -1).
1) Viết phơng trình đờng thẳng AB.

2) Tìm các giá trị của m để đờng thẳng y = (m2 3m)x + m2 2m +
2 song song với đờng thẳng AB đồng thời đi qua điểm C(0 ; 2).

Bài 6. Trên mặt phẳng tọa độ cho hai điểm B 4 ; 0 và C 1 ; 4 .
a) Viết phơng trình đờng thẳng (d) đi qua điểm C và song song với
đờng thẳng y 2 x 3 . Xác định tọa độ giao điểm A của đờng thẳng
(d) với trục hoành Ox.
b) Xác định các hệ số a và b biết đồ thị hàm số y = ax + b đi qua 2
điểm B và C. Tính góc tạo bởi đờng thẳng BC và trục hoành Ox (làm
tròn đến phút).
c) Tính chu vi của tam giác ABC (đơn vị đo trên các trục tọa độ là
xentimét) (kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất).
Bài 7
1) Hàm số y= -2x +3 đồng biến hay nghịch biến ?
2) Tìm toạ độ các giao điểm của đờng thẳng y=-2x+3 với các trục
Ox ,Oy.
II. V TH & TèM TA GIAO IM CA (P): y = ax 2 V (d): y = ax + b (a 0)
1. KIN THC CN NH
1.Hm s y = ax2(a 0):
Hm s y = ax2(a 0) cú nhng tớnh cht sau:
Nu a > 0 thi hm s ng bin khi x > 0 v nghch bin khi x < 0.
Nu a < 0 thi hm s ng bin khi x < 0 v nghch bin khi x > 0.
th ca hm s y = ax2(a 0):
L mt Parabol (P) vi nh l gc ta 0 v nhn trc Oy lm trc i xng.
Nu a > 0 thi th nm phớa trờn trc honh. 0 l im thp nht ca th.
Nu a < 0 thi th nm phớa di trc honh. 0 l im cao nht ca th.
V th ca hm s y = ax2 (a 0):
Lp bng cỏc giỏ tr tng ng ca (P).
Da v bng giỏ tr v (P).
2. Tỡm giao im ca hai th :(P): y = ax2(a 0) v (D): y = ax + b:

Lp phng trinh honh giao im ca (P) v (D): cho 2 v phi ca 2 hm s
a vờ pt bc hai dng ax2 + bx + c = 0.
bng nhau
Gii pt honh giao im:
+ Nu > 0 pt cú 2 nghiờm phõn biờt (D) ct (P) ti 2 im phõn biờt.
+ Nu = 0 pt cú nghiờm kep (D) v (P) tip xỳc nhau.
+ Nu < 0 pt vụ nghiờm (D) v (P) khụng giao nhau.
3. Xac nh s giao im ca hai th :(P): y = ax2(a 0) v (Dm) theo tham s m:

6


Đề cương ôn thi vào lớp 10, môn toán

 Lập phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (D m): cho 2 vế phải của 2 hàm số
� đưa về pt bậc hai dạng ax2 + bx + c = 0.
bằng nhau
 Lập  (hoặc  ' ) của pt hoành độ giao điểm.
 Biện luận:
+ (Dm) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt khi  > 0 � giải bất pt � tìm m.
+ (Dm) tiếp xúc (P) tại 1 điểm  = 0 � giải pt � tìm m.
+ (Dm) và (P) không giao nhau khi  < 0 � giải bất pt � tìm m.
2. BÀI TẬP VẬN DỤNG
x2
Bài tập 1: Cho hai hàm số y =
có đồ thị (P) và y = -x + m có đồ thị (Dm).
2

1. Với m = 4, vẽ (P) và (D4) trên cùng một hệ trục tọa độ vuông góc Oxy. Xác định tọa độ
các giao điểm của chúng.

2. Xác định giá trị của m để:
a) (Dm) cắt (P) tại điểm có hoành độ bằng 1.
b) (Dm) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt.
c) (Dm) tiếp xúc (P). Xác định tọa độ tiếp điểm.
Bài tập 2: Cho hai hàm số y = – 2x2 có đồ thị (P) và y = – 3x + m có đồ thị (Dm).
1. Khi m = 1, vẽ (P) và (D1) trên cùng một hệ trục tọa độ vuông góc Oxy. Xác định tọa độ
các giao điểm của chúng.
2. Xác định giá trị của m để:
1
2

a) (Dm) đi qua một điểm trên (P) tại điểm có hoành độ bằng  .
b) (Dm) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt.
c) (Dm) tiếp xúc (P). Xác định tọa độ tiếp điểm.
Bài tập 3: Cho hàm số y = – 2x2 có đồ thị (P).
1. Vẽ (P) trên một hệ trục tọa độ vuông góc..
2
3

2. Gọi A(  ; 7 ) và B(2; 1).
a) Viết phương trình đường thẳng AB.
b) Xác định tọa độ các giao điểm của đường thẳng AB và (P).
3. Tìm điểm trên (P) có tổng hoành độ và tung độ của nó bằng – 6.
3
2

Bài tập 4: Cho hàm số y =  x2 có đồ thị (P) và y = – 2x +

1
có đồ thị (D).

2

1. Vẽ (P) và (D) trên cùng một hệ trục tọa độ vuông góc.
2. Xác định tọa độ các giao điểm của (P) và (D).
3. Tìm tọa độ những điểm trên (P) thỏa tính chất tổng hoành độ và tung độ của điểm đó
bằng – 4.
Bài tập 5: Cho hàm số y =

2 2
5
x có đồ thị (P) và y = x + có đồ thị (D).
3
3

1. Vẽ (P) và (D) trên cùng một hệ trục tọa độ vuông góc.
2. Xác định tọa độ các giao điểm của (P) và (D).
�x A  xB
Xác định tọa độ của A và B.
11 y A  8 yB
�

3.Gọi A là điểm �(P) và B là điểm �(D) sao cho �

Bài tập 6: Trong mặt phẳng tọa độ vuông góc Oxy, cho hai điểm A(1; –2) và B(–2; 3).
1. Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua A, B.
2. Gọi (P) là đồ thị của hàm số y = –2x2.
a) Vẽ (P) trên mặt phẳng tọa độ đã cho.
b) Xác định tọa độ các giao điểm của (P) và (d).
Bài tập 7: Vẽ đồ thị (P) của hàm số y = –2x2 trên mặt phẳng tọa độ vuông góc Oxy.
1. Gọi (D) là đường thẳng đi qua điểm A(–2; –1) và có hệ số góc k.

a) Viết phương trình đường thẳng (D).

7


Đề cương ôn thi vào lớp 10, môn toán
b) Tìm k để (D) đi qua B nằm trên (P) biết hoành độ của B là 1.
Bài tập 8: Cho hai hàm số y = x2 có đồ thị (P) và y = x + 2 có đồ thị (D).
1. Vẽ (P) và(D) trên cùng một hệ trục tọa độ vuông góc Oxy. Xác định tọa độ các giao
điểm của chúng.
2. Gọi A là điểm thuộc (D) có hoành độ bằng 5 và B là điểm thuộc (P) có hoành độ bằng –
2. Xác định tọa độ của A, B.
3. Tìm tọa độ của điểm I nằm trên trục tung sao cho: IA + IB nhỏ nhất.
Bài tập 9: Cho hàm số y = – x2 có đồ thị (P) và y = x – 2 có đồ thị (D).
a) Vẽ (P) và(D) trên cùng một hệ trục tọa độ vuông góc. Xác định tọa độ giao điểm của (P)
và (D) bằng phương pháp đại số.
b) Gọi A là một điểm thuộc (D) có tung độ bằng 1 và B là một điểm thuộc (P) có hoành độ
bằng – 1. Xác định tọa độ của A và B.
c) Tìm tọa độ của điểm M thuộc trục hoành sao cho MA + MB nhỏ nhất.
Bài tập 10: Cho (P): y = x2 và (D): y = – x + 2.
1. Vẽ (P) và (D) trên cùng một hệ trục tọa độ vuông góc Oxy. Gọi A và B là các giao điểm
của (P) và (D), xác định tọa độ của A, B.
2. Tính diện tích tam giác AOB (đơn vị đo trên trục số là cm).
3. CMR: Tam giác AOB là tam giác vuông.

III. HỆ PHƯƠNG TRÌNH
1. lý thuyết
Xét 2 đường thẳng: ax+by=c ( d) và a'x +b'y=c' (d')
Hay

a
c
a ' c'
y   x  (d) và y    (d ')
b
b
b' b'

ax  by  c , a �0 (d)
�
Hay hệ Cho hệ phương trình: �
a ' x  b ' y  c ', a ' �0 (d')
�
a
b
� Hệ phương trình có nghiệm duy nhất.
�
 (d) cắt (d’) �
a' b'
a
b
c
� Hệ phương trình vô nghiệm.

�
 (d) // (d’) �
a' b' c'
a
b
c

� Hệ phương trình có vô số nghiệm


 (d) �(d’) �
a' b' c'

2. Bài tập
Dạng 1: Giải hệ phương trình có bản và đưa về dạng cơ bản
Bài 1: Giải các hệ phương trình
 4 x  2 y 3
 6 x  3 y 5

1) 

 2 x  3 y 5
 4 x  6 y 10

2) 

 x 5  (1  3 ) y 1
5) 
 (1  3 ) x  y 5 1

 3 x  4 y  2 0
 5 x  2 y 14

3) 

 0,2 x  0,1 y 0,3
6) 

 3 x  y 5

 2 x  5 y 3
 3 x  2 y 14

4) 

x 2
 
7)  y 3
 x  y  10 0


Bài 2: Giải các hệ phương trình sau:
 (3x  2)(2 y  3) 6 xy
 (4 x  5)( y  5) 4 xy

1) 

 2( x  y )  3( x  y ) 4
 ( x  y )  2( x  y ) 5

2) 

8


Đề cương ôn thi vào lớp 10, môn toán
3) 

y  27
 2 y  5x
5 
 2x
 3
4
4) 
 x  1  y  6 y  5x
 3
7

1
1
 2 ( x  2)( y  3)  2 xy 50
5) 
 1 xy  1 ( x  2)( y  2) 32
 2
2

6) 

 (2 x  3)( 2 y  4) 4 x( y  3)  54
 ( x  1)(3 y  3) 3 y ( x  1)  12

 ( x  20)( y  1)  xy
 ( x  10)( y  1)  xy

Dạng 2. Giải các hệ phương trình sau bằng cách đặt ẩn số phụ và hệ phương trình
chứa tham số :

Bài tập 1:

1 1 1
 x  y 12

1) 
 8  15 1
 x y

1
 2
 x  2 y  y  2 x 3

2) 
3
 4 
1
 x  2 y y  2 x

2
 3x
 x  1  y  4 4

3) 
 2 x  5 9
 x  1 y  4

 3 x  2 y 16

 x 2  y 2 13

4)  2
 3 x  2 y 2  6

5) 

 2 x  3 y  11

 mx  4 y 10  m
(m là tham số)
 x  my 4

Bài tập 2: Cho hệ phương trình 

a) Giải hệ phương trình khi m = 2
b) Giải và biện luận hệ phương trình theo m
c) Xác định các giá trị nguyên của m để hệ có nghiệm duy nhất (x;y) sao cho x> 0, y >
0
d) Với giá trị nào của m thì hệ có nghiệm (x;y) với x, y là các số nguyên dương

CHUYÊN ĐỀ 3: PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI - HỆ THỨC VI-ÉT
A. LÝ THUYẾT
I-Cách giải phương trình bậc hai:
* Khái niệm :
Phương trình bậc hai một ẩn có dạng ax2 + bx + c = 0 trong đó a, b, c là các số thực và a �0.
1/
TQ. Giải pt bậc hai khuyết c:
2
ax + bx = 0 � x ( ax + b ) = 0

� x = 0 hoặc x = 

b
a

2/TQ. Giải pt bậc hai khuyết b:
ax2 + c = 0 � x2 = 
Nếu 

c
a

c
c
�0 � pt có hai nghiệm x1,2 = � 
a
a
9


Đề cương ôn thi vào lớp 10, môn toán
c
< 0 � pt vô nghiệm.
a
3/Giải pt bậc hai đầy đủ : ax2 + bx + c = 0 ( a � 0)
Nếu 

 = b2 - 4ac
-b - 
-b + 
* Nếu  > 0 phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 =

; x2 =
2a
2a
-b
* Nếu  = 0 phương trình có nghiệm kép: x1 = x2 =
2a
* Nếu  < 0 thì phương trình vô nghiệm

*Chú ý : Trong trường hợp hệ số b là số chẵn thì giải phương trình trên bằng công thức
nghiêm thu gọn.
 ' = b'2 - ac
* Nếu  ' > 0 phương trình có hai nghiệm phân biệt
x1 =

-b' -  '
-b' +  '
; x2 =
a
a

* Nếu  ' = 0 phương trình có nghiệm kép: x1 = x2 =

-b'
a

* Nếu  ' < 0 thì phương trình vô nghiệm.
4/ Phương trình quy về phương trình bậc hai
a/ Phương trình trùng phương

a) Dạng tổng quát:

Phương trình có dạng: ax4+bx2+ c = 0 trong đó x là ẩn số; a, b, c là các hệ số,

a �0

b) Cách giải:
 Loại phương trình này khi giải ta thường dùng phép đổi biến x2 = t ( t �0) từ
đó ta đưa đến một phương trình bậc hai trung gian : at2+ bt + c =0
 Giải phương trình bậc hai trung gian này, rồi sau đó trả biến: x2 = t ( Nếu những
giá trị tìm được của t thoả mãn t ta sẽ tìm được nghiệm số của phương trình
ban đầu).
b/ phương trình tích

Dạng tổng quát: A.B = 0

A0
�
��
B0
�

Cách giải: Để giải một phương trình bậc lớn hơn 2 thường dùng phương pháp biến
đổi về phương trình tích ở đó vế trái là tích của nhân tử còn về phải bằng 0.
c/ Phương trình chứa ẩn ở mẫu

- Tìm điều kiện xác định của phương trình chính là đặt điều kiện để phương
trình có nghĩa ( giá trị của mẫu thức phải khác không)
- Khử mẫu ( nhân cả hai vế của phương trình với mẫu thức chung của 2 vế)
- Mở dấu ngoặc ở cả hai vế của phương trình chuyển vế: chuyển những hạng tử
chứa ẩn về một vế , những hạng tử không chứa ẩn về vế kia)
- Thu gọn phương trình về dạng tổng quát đã học.

- Nhận định kết quả và trả lời ( loại bỏ những gía trị của ẩn vừa tìm được không
thuộc vào tập xác định của phương trình)
10


Đề cương ôn thi vào lớp 10, môn toán

II- Hệ thức Vi - ét và ứng dụng :
b
�
x1  x 2  
�
�
a
1. Nếu x1; x2 là hai nghiệm của phương trình ax 2  bx  c  0(a �0) thì : �
�x x  c
�1 2 a
2. Muốn tìm hai số u và v, biết u + v = S, uv = P, ta giải phương trình : x 2  Sx  P  0
(Điều kiện để có u và v là S2  4P �0 )

3. Nếu a + b + c = 0 thì phương trình ax 2  bx  c  0(a �0) có hai nghiệm : x1  1; x 2 

c
a

Nếu a - b + c = 0 thì phương trình ax 2  bx  c  0(a �0) có hai nghiệm : x1  1; x 2  

c
a

III: Các bộ điều kiện để phương trình có nghiệm thỏa mãn đặc điểm cho
trước:
Tìm điều kiện tổng quát để phương trình ax2+bx+c = 0 (a  0) có:
1. Có nghiệm (có hai nghiệm)    0
2. Vô nghiệm   < 0
3. Nghiệm duy nhất (nghiệm kép, hai nghiệm bằng nhau)   = 0
4. Có hai nghiệm phân biệt (khác nhau)   > 0
5. Hai nghiệm cùng dấu   0 và P > 0
6. Hai nghiệm trái dấu   > 0 và P < 0  a.c < 0
7. Hai nghiệm dương(lớn hơn 0)   0; S > 0 và P > 0
8. Hai nghiệm âm(nhỏ hơn 0)   0; S < 0 và P > 0
9. Hai nghiệm đối nhau   0 và S = 0
10.Hai nghiệm nghịch đảo nhau   0 và P = 1
11. Hai nghiệm trái dấu và nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn  a.c < 0 và S < 0
12. Hai nghiệm trái dấu và nghiệm dương có giá trị tuyệt đối lớn hơn  a.c < 0 và S >
0

IV. Tính giá trị các biểu thức nghiệm
Đối các bài toán dạng này điều quan trọng nhất là phải biết biến đổi biểu thức nghiệm đã
cho về biểu thức có chứa tổng nghiệm S và tích nghiệm P để áp dụng hệ thức VI-ÉT rổi tính
giá trị của biểu thức
 x12  x22  ( x12  2 x1 x2  x22 )  2 x1 x2  ( x1  x2 ) 2  2 x1 x2
3
3
2
2
 x1  x2   3x1 x2 �
 x1  x2   x1  x2   x1  x1 x2  x2    x1  x2  �
�
�

2

2 2
( x1  x2 )2  2 x1 x2 �
 x14  x24  ( x12 )2  ( x22 )2   x12  x22   2 x12 x22  �
�
� 2 x1 x2
2



2

1 1 x1  x2
 
x1 x2
x1 x2

 x1  x2  �  x1  x2   4 x1 x2
2



x12  x22

(   x1  x2   x1  x2  =…….)

2
2
 x1  x2   x1 x2 �

 x13  x23 ( =  x1  x2   x1  x1 x2  x2    x1  x2  �
�
�=……. )
2

 x14  x24
 x16  x26

2
2
2
2
( =  x1  x2   x1  x2  =…… )

2 3
2 3
2
2
4
2 2
4
( = ( x1 )  ( x2 )   x1  x2   x1  x1 x2  x2  = ……..)

V: Tìm giá trị của tham số để hai phương trình có nghiệm chung.
Tổng quát:
11


Đề cương ôn thi vào lớp 10, môn toán
Giả sử x0 là nghiệm chung của hai phương trình. Thay x = x0 vào 2 phương trình ta được hệ

với ẩn là các tham số.
Giải hệ tìm tham số m.
Thử lại với tham số vừa tìm, hai phương trình có nghiệm chung hay không?
B-BÀI TẬP:
I-CÁC BÀI TẬP CƠ BẢN
Bài 1. Giải các phương trình sau :
B/
A/
a / 2x 2  8  0
b / 3x 2  5x  0
c/ x 4  3x 2  4  0
d/ x 3  3x 2  2x  6  0
x2
6
e/
3
x 5
2x

a / x 2  2 5x  4  0
b / x 4  29x 2  100  0
c / x 2  3x  x  1  2  0
d /11x 2  2 8x  9  18x  6  0
e / 4x 2 

1
4
 7  8x 
2
x

x

Bài 2:. Không giải phương trình, tính giá trị của biểu thức nghiệm
a) Cho phương trình : x 2  8 x  15  0 Không giải phương trình, hãy tính
1. x12  x22

1

1

x

2. x  x
1
2

x

1
2
3. x  x
2
1

4.  x1  x2 

2

b) Cho phương trình : 8 x 2  72 x  64  0 Không giải phương trình, hãy tính:
1

1

1. x  x
1
2

2. x12  x22

,

c) Cho phương trình : x 2  14 x  29  0 Không giải phương trình, hãy tính:
1

1

1. x  x
1
2

2. x12  x22

d) Cho phương trình : 2 x 2  3x  1  0 Không giải phương trình, hãy tính:
1

1 x

1

1. x  x

1
2

1 x

1
2
2. x  x
1
2

3. x12  x22

x1

x2

4. x  1  x  1
2
1

e) Cho phương trình x 2  4 3x  8  0 có 2 nghiệm x1 ; x2 , không giải phương trình, tính
Q

6 x12  10 x1 x2  6 x22
5 x1 x23  5 x13 x2

Bài 3:Cho phương trình x 2  2mx  m  2  0 (x là ẩn số)
a) Chứng minh rằng phương trình luôn luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m.
b) Gọi x1, x2 là các nghiệm của phương trình.

24

Tìm m để biểu thức M = x 2  x 2  6 x x đạt giá trị nhỏ nhất
1
2
1 2
Bài 4:
Cho phương trình x2 – 2x – 3m2 = 0, với m là tham số.
1) Giải phương trình khi m = 1.
2) Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 khác 0 và thỏa
x

x

8

1
2
điều kiện x  x  3 .
2
1

Bài 5.
Cho phương trình: x2 – 2(m+2)x + m2 + 4m +3 = 0.
12


cng ụn thi vo lp 10, mụn toỏn
1) Chng minh rng : Phng trinh trờn luụn cú hai nghiờm phõn biờt x1, x2 vi mi giỏ
tr ca m.

2) Tim giỏ tr ca m biu thc A = x12 x22 t giỏ tr nh nht.
Bi 6 Cho phng trinh: x2 (4m 1)x + 3m2 2m = 0 (n x). Tim m phng trinh cú
hai nghiờm phõn biờt x1, x2 tha món iờu kiờn : x12 x 22 7
Bi 7: 2 điểm:Cho phơng trình: x2 2(m-1)x + m2 6 =0 ( m là tham
số).
a) Giải phơng trình khi m = 3
b) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn x12 x22 16
Bi 8:
Gi x1, x2 l hai nghiờm ca phng trinh x 2 5 x 3 0 .Khụng gii phng trinh,
tớnh giỏ tr cỏc biu thc sau:
a, x1 + x2

1

b, x x
1
2

c, x12 x22

Bi 9
Cho phng trinh x2 2(m 3)x 1 = 0
a) Gii phng trinh khi m = 1
b) Tim m phng trinh cú nghiờm x1 ; x2 m biu thc
A = x12 x1x2 + x22 t giỏ tr nh nht? Tim giỏ tr nh nht ú.
Bi 10:
1. Gii phng trinh x 2 7x 8 = 0
2. Cho phng trinh x2 2x + m 3 = 0 vi m l tham s. Tim cỏc giỏ tr ca m phng
3
3

trinh cú hai nghiờm x1; x2 tha món iờu kiờn x1 x 2 x1x 2 6
Bi 11.
Cho phng trinh x2 2(m 1)x m 2 0, vi x l n s, mR
a. Gii phng trinh ó cho khi m 2
b. Gi s phng trinh ó cho cú hai nghiờm phõn biờt x1 v x2 . Tim hờ thc liờn hờ
gia x1 v x2 m khụng ph thuc vo m.
Bi 12
Cho phng trinh (n x): x2 ax 2 = 0 (*)
1. Gii phng trinh (*) vi a = 1.
2. Chng minh rng phng trinh (*) cú hai nghiờm phõn biờt vi mi giỏ tr
ca a.
3. Gi x1, x2 l hai nghiờm ca phng trinh (*). Tim giỏ tr ca a biu
thc:
N= x12 ( x1 2)( x2 2) x22 cú giỏ tr nh nht.
Bi 13.
Cho phng trinh x2 3x + m 1 = 0 (m l tham s) (1).
a) Gii phng trớnh (1) khi m = 1.
b) Tim cỏc giỏ tr ca tham s m phng trinh (1) cú nghiờm kep.
c) Tim cỏc giỏ tr ca tham s m phng trinh (1) cú hai nghiờm x1; x2 l di cỏc
cnh ca mt hinh ch nht cú diờn tớch bng 2 (n v diờn tớch).
Bi 14
Cho phng trinh: x 2 2( m 1) x 2m 0 (1)
(vi n l x ).
1) Gii phng trinh (1) khi m =1.
13


Đề cương ôn thi vào lớp 10, môn toán
2) Chứng minh phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m .
3) Gọi hai nghiệm của phương trình (1) là x1 ; x2 . Tìm giá trị của m để x1 ; x2 là độ

dài hai cạnh của một tam giác vuông có cạnh huyền bằng 12 .
Bài 15
1. Cho phương trình x 2 - 2m - (m2 + 4) = 0 (1), trong đó m là tham số.
a) Chứng minh với mọi m phương trình (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt:
b) Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình (1). Tìm m để x12 + x 22  20 .
2. Cho hàm số: y = mx + 1 (1), trong đó m là tham số.
a) Tìm m để đồ thị hàm số (1) đi qua điểm A (1;4). Với giá trị m vừa tìm được, hàm số
(1) đồng biến hay nghịch biến trên R?
b) Tìm m để đồ thị hàm số (1) song song với đường thẳng (d) có phương trình: x + y +
3=0
Bài 16. Cho hai phương trình: x 2  x  m  0 và x 2  mx  1  0
Xác định m để hai phương trình trên có nghiệm chung. ( Đáp số: m = - 2, nghiệm chung là
x = 1)
Câu 17. Xác định m để 2 phương trình sau có nghiệm chung.
x 2  mx  2  0 và x 2  2 x  m  0 ( Đáp số: m = - 3 nghiệm chung là x = 1)
Bài 18: Cho phương trình: x2 - mx + 2m - 3 = 0
a) Giải phương trình với m = - 5
b) Tìm m để phương trình có nghiệm kép
c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu
d)Tìm hệ thức giữa hai nghiệm của phương trình không phụ thuộc vào m
e) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt
Bài 19: Cho phương trình bậc hai(m - 2)x2 - 2(m + 2)x + 2(m - 1) = 0
a) Giải phương trình với m = 3
b) Tìm m để phương trình có một nghiệm x = - 2
c) Tìm m để phương trình có nghiệm kép
d) Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào m
e) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt
f) Khi phương trình có một nghiệm x = -1 tìm giá trị của m và tìm nghiệm còn lại
Bài 20:Cho phương trình: x2 - 2(m- 1)x + m2 - 3m = 0
a) Giải phương trình với m = - 2

b) Tìm m để phương trình có một nghiệm x = - 2. Tìm nghiệm còn lại
c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt
d) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1 và x2 thảo mãn: x12 + x22 = 8
e) Tìm giá trị nhỏ nhất của A = x12 + x22
Bài 21: Cho phương trình: mx2 - (m + 3)x + 2m + 1 = 0
a) Tìm m để phương trình có nghiệm kép
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt
c) Tìm m để phương trình có hiệu hai nghiệm bằng 2
d) Tìm hệ thức liên hệ giữa x1và x2 không phụ thuộc m
Bài tập 22: Cho phương trình: x2 - (2a- 1)x - 4a - 3 = 0
a) Chứng minh rằng phương trình luôn có nghiệm với mọi giá trị của a
b) Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào a
c) Tìm giá trị nhỏ nhật của biểu thức A = x12 + x22
Bài 23: Cho phương trình: x2 - (2m- 6)x + m -13 = 0
a) Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = x1. x2 - x12 - x22
Bài 24: Cho phương trình: x2 - 2(m+4)x + m2 - 8 = 0
14


cng ụn thi vo lp 10, mụn toỏn
a) Tim m phng trinh cú hai nghiờm phõn biờt
b) Tim m A = x12 + x22 - x1 - x2 t giỏ tr nh nht
c) Tim m B = x1 + x2 - 3x1x2 t giỏ tr ln nht
d) Tim m C = x12 + x22 - x1x2
Bi 25: Cho phng trinh: ( m - 1) x2 + 2mx + m + 1 = 0
a) Gii phng trinh vi m = 4
b) Tim m phng trinh cú hai nghiờm trỏi du
c) Tim m phng trinh cú hai nghiờm x1 v x2 tho món: A = x12 x2 + x22x1
d) Tim hờ thc liờn hờ gia hai nghiờm khụng ph thuc vo m

Bi 26: Tim giỏ tr ca m cỏc nghiờm x1, x2 ca phng trinhm x2 - 2(m - 2)x + (m - 3) =
0 tho món iờu kiờn x12 x22 1
Bi 27:Cho phng trinh x2 - 2(m - 2)x + (m 2 + 2m - 3) = 0. Tim m phng trinh cú 2
1

1

x x2

1
nghiờm x1, x2 phõn biờt tho món x x 5
1
2

Bi 28:Cho phng trinh: mx2 - 2(m + 1)x + (m - 4) = 0 (m l tham s).
a) Xỏc nh m cỏc nghiờm x1; x2 ca phng trinh tho món
x1 + 4x2 = 3
b) Tim mt hờ thc gia x1; x2 m khụng ph thuc vo m
Bi 29: Cho phng trinh x2 - (m + 3)x + 2(m + 1) = 0

(1)

Tim giỏ tr ca tham s m phng trinh cú (1) cú nghiờm x1 = 2x2.
Bi 30:

Gi x1, x2 l cỏc nghiờm ca phng trinh: x2 - (2m - 1)x + m 2 = 0

Tim m x12 x22 cú giỏ tr nh nht
Bi 31: Gi x1; x2 l nghiờm ca phng trinh:
2x2 + 2(m + 1)x + m2 + 4m + 3 = 0

Tim giỏ tr ln nht ca biu thc: A =x1x2 - 2x1 - 2x2

CHUYấN 4: GII BI TON BNG CCH LP
PHNG TRèNH HOC H PHNG TRèNH
A.Túm tt lớ thuyt
Bớc 1: Lập phơng trình hoặc hệ phơng trình:
a) Chọn ẩn và đặt điều kiện cho ẩn.
b) Biểu diễn các đại lợng cha biết thông qua ẩn và các địa lợng đã biết.
c) Lập phơng trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lợng.
Bớc 2: Giải phơng trình.
Bớc 3: Đối chiếu nghiệm của pt, hệ phơng trình (nếu có) với điều kiện
của ẩn số để trả lời.
15


cng ụn thi vo lp 10, mụn toỏn
Chú ý: Tuỳ từng bài tập cụ thể mà ta có thể lập phơng trình
bậc nhất một ẩn, hệ phơng trình hay phơng trình bậc hai.
Khi đặt diều kiện cho ẩn ta phải dựa vào nội dung bài toán và
những kiến thức thực tế....
B. Cỏc Dng toỏn

Dạng 1: Toán về quan hệ các số.

*Những kiến thức cần nhớ:
+ Biểu diễn số có hai chữ số : ab 10a b ( vi0+ Biểu diễn số có ba chữ số :
abc 100a 10b c ( v
i 0

+ Tng hai số x; y là: x + y
+ Tổng bình phơng hai số x, y là: x2 + y2
+ Bình phơng của tổng hai số x, y là: (x + y)2.
1 1

+ Tổng nghịch đảo hai số x, y là: x y .
*Bi tõp
Bài 1: Đem một số nhân với 3 rồi trừ đi 7 thì đợc 50. Hỏi số đó là
bao nhiêu?
Bài 2: Tổng hai số bằng 51. Tìm hai số đó biết rằng
nhất thì bằng

2
số thứ
5

1
số thứ hai.
6

Bài 3: Tìm một số tự nhiên có hai chữ số, biết tổng các chữ số
của nó là 7. Nếu đổi chỗ hai chữ số hàng đơn vị và hàng
chụccho nhau thì số đó giảm đi 45 đơn vị.
Bài 4: Tìm hai số hơn kém nhau 5 đơn vị và tích của chúng
bằng 150.
Bài 5: Tìm số tự nhiên có 2 chữ số, biết rằng số đó bằng lập phơng của số tạo bởi chữ số hàng vạn và chữ số hàng nghìn của số
đã cho theo thứ tự đó.
Bài 6: Mu số của một phân số lớn hơn tử số của nó là 3 đơn vị.
Nếu tăng cả tử và mẫu của nó thêm 1 đơn vị thì đợc một phân
số mới bằng

1
phân số đã cho. Tìm phân số đó?
2

Bài 7: Tổng các chữ số của 1 số có hai chữ số là 9. Nếu thêm vào
số đó 63 đơn vị thì số thu đợc cũng viết bằng hai chữ số đó nhng theo thứ tự ngợc lại. Hãy tìm số đó?
Bài 8: Tìm hai số tự nhiên liên tiếp có tổng các bình phơng của
nó là 85.
Đáp số:

Bài
Bài
Bài
Bài
Bài

1:
2:
3:
4:
5:

Số đó là 19;
Hai số đó là 15 và 36
Số đó là 61
Hai số đó là 10 và 15 hoặc -10 và -15;
Số đó là 32.

Dạng 2: Toán chuyển động

16


cng ụn thi vo lp 10, mụn toỏn
*Những kiến thức cần nhớ:
Nếu gọi quảng đờng là S; Vận tốc là v; thời gian là t thì:
s
t

S = v.t; v ;t

s
.
v

Gọi vận tốc thực của ca nô là v1 vận tốc dòng nớc là v2 tì vận tốc ca
nô khi xuôi dòng nớc là
v = v1 + v2. Vân tốc ca nô khi ngợc dòng là v = v1 - v2
*Bài tập:
1. Một ô tô khởi hành từ A với vận tốc 50 km/h. Qua 1 giờ 15
phút ô tô thứ hai cũng khởi hành từ A đi cùng hớng với ô tô thứ nhất
với vận tốc 40 km/h. Hỏi sau mấy giờ thì ô tô gặp nhau, điểm
gặp nhau cách A bao nhiêu km?
2. Một ca nô xuôi dòng 50 km rồi ngợc dòng 30 km. Biết thời
gian đi xuôi dòng lâu hơn thời gian ngợc dòng là 30 phút và vận
tốc đi xuôi dòng lớn hơn vận tốc đi ngợc dòng là 5 km/h.
Tính vận tốc lúc đi xuôi dòng?
3. Hai ô tô cùng khởi hành cùng một lúc từ A đến B cách nhau
150 km. Biết vận tốc ô tô thứ nhất lớn hơn vận tốc ô tô thứ hai là 10
km/h và ô tô thứ nhất đến B trớc ô tô thứ hai là 30 phút. Tính vânl

tốc của mỗi ô tô.
4. Một chiếc thuyền đi trên dòng sông dài 50 km. Tổng thời
gian xuôi dòng và ngợc dòng là 4 giờ 10 phút. Tính vận tốc thực của
thuyền biết rằng một chiếc bè thả nổi phải mất 10 giờ mới xuôi hết
dòng sông.
5. Một ngời đi xe đạp từ A đến B cách nhau 108 km. Cùng lúc
đó một ô tô khởi hành từ B đến A với vận tốc hơn vận tốc xe đạp
là 18 km/h. Sau khi hai xe gặp nhau xe đạp phải đi mất 4 giờ nữa
mới tới B. Tính vận tốc của mỗi xe?
6. Một ca nô xuôi dòng từ A đến B cách nhau 100 km. Cùng
lúc đó một bè nứa trôi tự do từ A đến B. Ca nô đến B thì quay lại
A ngay, thời gian cả xuôi dòng và ngợc dòng hết 15 giờ. Trên đờng
ca nô ngợc về A thì gặp bè nứa tại một điểm cách A là 50 km.
Tìm vận tốc riêng của ca nô và vận tốc của dòng nớc?
7. Xe máy thứ nhất đi trên quảng đờng từ Hà Nội về Thái Bình hết
3 giờ 20 phút. Xe máy thứ hai đi hết 3 giờ 40 phút. Mỗi giờ xe máy thứ
nhất đi nhanh hơn xe máy thứ hai 3 km.
Tính vận tốc của mỗi xe máy và quảng đờng từ Hà Nội đến Thái
Bình?
8. Đoạn đờng AB dài 180 km . Cùng một lúc xe máy đi từ A và
ô tô đi từ B xe máy gặp ô tô tại C cách A 80 km. Nếu xe máy khởi
hành sau 54 phút thì chúng gặp nhau tại D cách A là 60 km. Tính
vận tốc của ô tô và xe máy ?
9. Một ô tô đi trên quảng đờng dai 520 km. Khi đi đợc 240
km thì ô tô tăng vận tốc thêm 10 km/h nữa và đi hết quảng đờng
còn lại. T ính vận tốc ban đầu của ô tô biết thời gian đi hết quảng
đờng là 8 giờ
Đáp án:
2. 20 km/h
17

cng ụn thi vo lp 10, mụn toỏn
3. Vn tốc của ô tô thứ nhất 60 km/h. Vận tốc của ô tô thứ hai là 50
km/h.
4. 25 km/h
6. Vận tốc của ca nô là 15 km/h. Vận tốc của dòng nớc là 5 km/h.

Dạng 3: Toán làm chung công việc
*Những kiến thức cần nhớ:
- Nếu một đội làm xong công việc trong x giờ thì một ngày đội
đó làm đợc

1
công việc.
x

- Xem toàn bộ công việc là 1
*Bi tõp
1. Hai ngời thợ cùng làm một công việc thì xong trong 18 giờ.
Nếu ngời thứ nhất làm trong 4 giờ, ngời thứ hai làm trong 7 giờ thì
đợc 1/3 công việc. Hỏi mỗi ngời làm một mình thì mất bao lâu sẽ
xong công việc?
2. Để hoàn thành một công việc hai tổ phải làm trong 6 giờ.
Sau 2 giờ làm chung thì tổ hai đợc điều đi làm việc khác. Tổ
một đã hoàn thành công việc còn lại trong 10 giờ. Hỏi nếu mỗi tổ
làm riêng thhì bao lâu xong công việc đó?
3. Hai đội công nhân cùng đào một con mơng. Nếu họ cùng
làm thì trong 2 ngày sẽ xong công việc. Nếu làm riêng thì đội
haihoàn thành công việc nhanh hơn đội một là 3 ngày. Hỏi nếu

làm riêng thì mỗi đội phải làm trong bao nhiêu ngày để xong
công việc?
4. Hai chiếc bình rỗng giống nhau có cùng dung tích là 375
lít. ậ mỗi binmhf có một vòi nớc chảy vào và dung lợng nớc chảy
trong một giờ là nh nhau. Ngời ta mở cho hai vòi cùng chảy vào
bình nhng sau 2 giờ thì khoá vòi thứ hai lại và sau 45 phút mới tiếp
tục mở lại. Để hai bình cùng đầy một lúc ngời ta phải tăng dung lợng vòi thứ hai thêm 25 lít/giờ.Tính xem mỗi giờ vòi thứ nhất chảy
đợc bao nhiêu lít nớc.
5. Hai ngời thợ cùng làm một công việc trong 16 giờ thì xong.
Nếu ngời thứ nhất làm 3 giờ, ngời thứ hai làm 6 giờ thì chỉ hoàn
thành đợc 25% công việc. Hỏi nếu làm riêng thì mỗi ngời hoàn
thành công việc trong bao lâu?
6. Hai thợ cùng đào một con mơng thì sau 2giờ 55 phút thì
xong việc. Nếu họ làm riêng thì đội 1 hoàn thành công việc
nhanh hơn đội 2 là 2 giờ. Hỏi nếu làm riêng thì mỗi đội phải làm
trong bao nhiêu giờ thì xong công việc?
7. Hai ngời thợ cùng sơn cửa cho một ngôi nhà thì 2 ngày xong
việc. Nếu ngời thứ nhất làm trong 4 ngày rồi nghỉ ngời thứ hai làm tiếp
trong 1 ngày nữa thì xong việc. Hỏi mỗi ngời làm một mình thì bao
lâu xong công việc?
8. Theo k hoch hai t sn xut 1000 sn phm trong mt thi gian d nh.
Do ỏp dng k thut mi nờn t I vt mc k hoch 15% v t hai vt mc 17%.
18


cng ụn thi vo lp 10, mụn toỏn
Vi vy trong thi gian quy nh c hai t ó sn xut c tt c c 1162 sn
phm. Hi s sn phm ca mi t l bao nhiờu?
9. Theo k hoch hai t sn xut 600 sn phm trong mt thi gian nht nh.
Do ỏp dng k thut mi nờn t I ó sn xut vt mc k hoch l 18% v t II vt

mc 21%. Vi vy trong thi gian quy nh h ó hon thnh vt mc 120 sn phm.
Hi s sn phm c giao ca mi t l bao nhiờu.
Kết quả:
1) Ngời thứ nhất làm một mình trong 54 giờ. Ngời thứ hai làm một
mình trong 27 giờ.
2) Tổ thứ nhất làm một mình trong 10 giờ. Tổ thứ hai làm
một mình trong 15 giờ.
3) Đội thứ nhất làm một mình trong 6 ngày. Đội thứ hai làm
một mình trong 3 ngày.
4) Mỗi giờ vòi thứ nhất chảy đợc 75 lít.

Dạng 4: Toán có nội dung hình học
*Kiến thức cần nhớ:
- Diện tích hình chữ nhật S = x.y ( xlà chiều rộng; y là chiều
dài)
1
2

- Diện tích tam giác S x.y ( x l chiờu cao, y l cnh ỏy tng ng)
- di cnh huyờn : c2 = a2 + b2 (c l cnh huyờn; a,b l cỏc cnh gúc vuụng)
*Bi tõp :
Bi 1: Mt hinh ch nht cú ng cheo bng 13 m, chiờu di hn chiờu rng
7 m. Tớnh diờn tớch hinh ch nht ú?
Bi 2: Mt tha rung hinh ch nht cú chu vi l 250 m. Tớnh diờn tớch ca
tha rung bit rng chiờu di gim 3 ln v chiờu rng tng 2 ln thi chu vi tha
rung khụng thay i
Bi 3: Mt cỏi sõn hinh tam giỏc cú diờn tớch 180 m2 . Tớnh cnh ỏy ca sõn
bit rng nu tng cnh ỏy 4 m v gim chiờu cao tng ng 1 m thi diờn tớch khụng
i?
Bi 4 : Tớnh cỏc kớch thc ca hinh ch nht cú diờn tớch 40 cm2 , bit rng

nu tng mi kớch thc thờm 3 cm thi diờn tớch tng thờm 48 cm2.
Bi 5: Cnh huyờn ca mt tam giỏc vuụng bng 5 m. Hai cnh gúc vuụng
hn kem nhau 1m. Tớnh cỏc cnh gúc vuụng ca tam giỏc?
ỏp s:
Bi 1: Diờn tớch hinh ch nht l 60 m2
Bi 2: Diờn tớch hinh ch nht l 3750 m2
Dng 5: Toán dân số, lãi suất, tăng trởng
*Những kiến thức cần nhớ :
+ x% =

x
100

+ Dõn s tnh A nm ngoỏi l a, t lờ gia tng dõn s l x% thi dõn s nm nay ca tnh A l

a a.

x
100

Sd
n n
m sau l(a+a.

x
x
x
) (a+a.
).
100

100 100
19


Đề cương ôn thi vào lớp 10, môn toán
*Bài tập:
Bài 1: Dân số của thành phố Hà Nội sau 2 năm tăng từ 200000 lên 2048288
người. Tính xem hàng năm trung bình dân số tăng bao nhiêu phần trăm.
Bài 2: Bác An vay 10 000 000 đồng của ngân hàng để làm kinh tế. Trong một
năm đầu bác chưa trả được nên số tiền lãi trong năm đầu được chuyển thành vốn để
tính lãi năm sau. Sau 2 năm bác An phải trả là 11 881 000 đồng. Hỏi lãi suất cho vay
là bao nhiêu phần trăm trong một năm?
Kết quả:
Bài 1: Trung bình dân số tăng 1,2%.
Bài 2: Lãi suất cho vay là 9% trong 1 năm

Bài tập tổng hợp
Bài 1: Một phòng họp có 240 ghế được xếp thành các dãy có số ghế bằng nhau. Nếu
mỗi dãy bớt đi một ghế thì phải xếp thêm 20 dãy mới hết số ghế. Hỏi phòng họp lúc
đầu được xếp thành bao nhiêu dãy ghế.
Bài 2: Hai giá sách có 400 cuốn. Nếu chuyển từ giá thứ nhất sang giá thứ hai 30
cuốn thì số sách ở giá thứ nhất bằng

3
số sách ở ngăn thứ hai. Tính số sách ban đầu
5

của mỗi ngăn?
Bài 3: Người ta trồng 35 cây dừa trên một thửa đất hình chữ nhật có chiều dài 30 m
chiều rộng là 20 m thành những hàng song song cách đều nhau theo cả hai chiều.

Hàng cây ngoài cùng trồng ngay trên biên của thửa đất. Hãy tính khoảng cách giữa
hai hàng liên tiếp?
Bài 4: Hai người nông dân mang 100 quả trứng ra chợ bán. Số trứng của hai người
không bằng nhau nhưng số tiền thu được của hai người lại bằng nhau. Một người nói
với người kia: “ Nếu số trứng của tôi bằng số trứng của anh thì tôi bán được 15 đồng
”. Người kia nói “ Nếu số trứng của tôi bằng số trứmg của anh tôi chỉ bán được 6

2
3

đồng thôi”. Hỏi mỗi người có bao nhiêu quả trứng?
Bài 5: Một hợp kim gồm đồng và kẽm trong đó có 5 gam kẽm. Nếu thêm 15 gam
kẽm vào hợp kim này thì được một hợp kim mới mà trong đó lượng đồng đã giảm so
với lúc đầu là 30%. Tìm khối lượng ban đầu của hợp kim?
Kết quả:
Bài 1: Có 60 dãy ghế
Bài 2: Giá thứ nhất có 180 quyển. Giá thứ hai có 220 quyển.
Bài 3: Khoảng cách giữa hai hàng là 5m
Bài 4: Người thứ nhất có 40 quả. Người thứ hai có 60 quả.
Bài 5: 25 gam hoặc 10 gam.
---------------------------Hết-------------------

CHUYÊN ĐỀ 1 : CĂN THỨC BẬC HAI À HẰNG ĐẲNG THỨC
A.TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1)
2)
3)
4)

A2  A

AB  A. B ( víi A  0 vµ B  0 )
A
A

( víi A  0 vµ B > 0 )
B
B

A 2 B  A B (víi B  0 )

20


Đề cương ôn thi vào lớp 10, môn toán
5) A B  A 2 B ( víi A  0 vµ B  0 )
A B  A 2 B ( víi A < 0 vµ B  0 )
A
AB

( víi AB  0 vµ B  0 )
B
B

6)
7)

A
B



A B
( víi B > 0 )
B

C

8)



A B
C

9)

A B

C ( A B )
( Víi A  0 vµ A  B2 )
2
A B



C( A  B )
( víi A  0, B  0 vµ A  B
A B

B. BÀI TẬP

I.THỰC HIỆN PHÉP TÍNH – RÚT GỌN – BIẾN ĐỔI BIỂU THỨC CHỨA CĂN
Bµi 1: T×m §KX§ cña c¸c biÓu thøc sau:
a)

3
 2x 1

b)

2x  3

2

c)

1
2x 2

d)

x1

Bµi 2: Ph©n tÝch thµnh nh©n tö ( víi x  0 )
a) 2  3  6  8
b) x2 - 5
c) x - 4
d) x x  1
Bµi 3: §a c¸c biÓu thøc sau vÒ d¹ng b×nh ph¬ng.
a) 3  2 2
b) 3  8

c) 9  4 5
d) 23  8 7
Bµi 4 : Thực hiện phép tính.
2.
3.
 2  1. 2  1
1.
28 : 7
2 3  2



4.
7.





5.

3 1. 3  1

8.

0,09

10. 1  6

11.

1
4

6.

2,5. 40

 4 5
2

2

2



 4  5

2

50 . 2

9.

0,0001

12. 3 1

7

9

5



2

1

11
25

Bài 5/Thực hiện phép tính:
20  5
7)
8) 6 12  20  2 27  125
9)
12  27
10) 3 2  8  50  4 32
27  2 3  2 48  3 75
11)
12) 3 2  4 18  32  50
Bài 6/Trục căn thức ở mẫu, rút gọn ( víi x 0, x 1 )
17.
21.
25.

4 

17



2

x2  5
x 5
3
1
1

2
20
60
15

18.
22.
26.

2 3

19.

2
2
2

3

3
4

5 2
6 2

23.

6  14
2 3  28
2 1
21
1
1


. 5
5 3
 5 3


27. 

21

x 1

20.
24.

28.

x2  1
x x1
x1





20  45  5 . 5


cng ụn thi vo lp 10, mụn toỏn





29. 5 3 3 5 : 15

30.

1 1

5 4
5 : 2 5 32.
31. 5 20
5 2
4 5

1
1
48 3 75 27 10 1
3
3





Bi 7/* Chng minh cỏc ng thc sau:
a/ 2 3 2 3 6
1

b/

2 1
1

c/

2 1


d/

3 2
1

a

a 2

e/

1



3 2


a b
2 a 2 b

a
a 2




1
4 3

1

...

a

1

100 99

9

4 a 1 1
:
1
a 4 a 4
b

2 a 2 b



2b
2 b

b a
a b

II. RT GN V TNH GI TR BIU THC
Bi 1. Cho biểu thức: A =

x x 1 x 1

x 1
x 1

a)Tìm ĐKXĐ và rút gọn A.
b) Tính giá trị biểu thức A khi x =

9
.
4

c) Tìm tất cả các giá trị của x để A < 1.
1

1

1

1

1


:

Bi 2. Cho A =
vi x > 0 , x 1


1 x 1 x

1 x 1 x 2 x


a. Rỳt gn A
b. Tớnh A vi x = 6 2 5
2x
x 1 3 11x


vi x 3
x 3 3 x x2 9
a/ Rỳt gn biu thc A.
b/ Tim x A < 2.
c/ Tim x nguyờn A nguyờn.

Bi 3. Cho biu thc A

1 a a

1 a a



a .
a
Bi 4 Cho biểu thức: P =
1 a
1 a

c) Rút gọn P

d) Tìm a để P < 7 4 3
1



1

a 1


Bi 21. Cho biu thc M
vi a > 0 v a 1
:
a 1 a 2 a 1
a a
a/ Rỳt gn biu thc M.
b/ So sỏnh giỏ tr ca M vi 1.
1

1




3


1
Bi 22. Cho biu thc : A =

a 3
a3
a
a) Rỳt gn biu thc sau A.

22

2 5 - 2 5
2

2


cng ụn thi vo lp 10, mụn toỏn
b) Xỏc nh a biu thc A >

1
2



x 4
3 x 2
x


:

vi x > 0 , x 4
Bi 23. Cho A =
x 2
x
x 2
x x 2









a. Rỳt gn A
b. Tớnh A vi x = 6 2 5
Bi 24. Cho biu thc: P =

a3
a 2



a 1 4 a 4

(a 0; a 4)
4 a
a 2

a) Rỳt gn P.
b) Tớnh giỏ tr ca P vi a = 9
a a
a a
1





a

1
a 1





1
Bi 25. Cho biu thc: N =


1) Rỳt gn biu thc N.
2) Tim giỏ tr ca a N = - 2016
2 x
x
3x 3 2 x 2
:

1
Bi 26. Cho biu thc P
x 3 x 9 x 3
x 3

a. Rỳt gn P.

b. Tim x P

1
2

c. Tim giỏ tr nh nht ca P.
a 1

Bi 27. Cho A =


a 1




a 1
1
4 a
. a
vi x > 0 ,x 1

a 1
a


c. Rỳt gn A



d. Tớnh A vi a = 4 15 . 10 6 . 4 15
a 2

a 2





2

:

Bi 28. Cho biu thc: E
2
a

1
a 2 a 1 (1 a )


a) Rỳt gn E

Bi 29.

b) Tim Max E


x

1



1

2

:



Cho biểu thức: P =

x 1 x x x 1 x 1
d) Tìm ĐKXĐ và rút gọn P
e) Tìm các giá trị của x để P > 0
f) Tìm x để P = 6.

Bi 30. Cho A =

15 x 11 3 x 2 2 x 3

vi x 0 , x 1
x 2 x 3 1 x
x 3

c. Rỳt gn A.
d. Tim x A =

b.Tim GTLN ca A.
1
2

2
3

c.CMR : A

23


cng ụn thi vo lp 10, mụn toỏn
x 5 x 25 x
x 3
x 5
1
:



x 2 x 15

x 5
x 3
x 25



Bi 31. Cho A =

a. Rỳt gn A
Bi 32. Cho A =

b. Tim x Z A Z

2 a 9
a 3 2 a 1


vi a 0 , a 9 , a 4.
a5 a 6
a 2 3 a

a. Rỳt gn A.
b. Tim a A < 1
c. Tim a Z A Z
x x 7
1 x 2
x 2 2 x

:

x 2
vi x > 0 , x 4.
x

4
x

4
x

2
x

2




Bi 33. Cho A =


a. Rỳt gn A.
1

1

b. So sỏnh A vi

1

1

1
A

1


:

Bi 34. Cho A =
vi x > 0 , x 1


1 x 1 x
1 x 1 x 2 x


a. Rỳt gn A

b. Tớnh A vi x = 6 2 5
2 x
x
3 x 3 2 x 2


:
1

vi x 0 , x 9
x 3 x 9
x 3
x 3


Bi 35. Cho A =

a. Rỳt gn A

x 1

Bi 36. Cho A =


x 1

b. Tim x A <

1
2

x 1 8 x x x 3
1

:


vi x 0 , x 1

x 1 x 1
x 1
x 1


a. Rỳt gn A
b. Tớnh A vi x = 6 2 5
c . CMR : A 1

CHUYấN 2: HM S BC NHT- BC HAI- H PHNG TRèNH
I.HM S BC NHT
1. Lý thuyt
1/Hàm số y = ax + b là bậc nhất a 0
2/ a) Tớnh cht : Hàm s xỏc nh vi mi giỏ tr ca x trờn R đồng
biến khi a > 0 và nghịch biến khi a < 0).
b) th ca h/s y = ax + b (a 0) l mt ng thng luụn ct trc tung ti im cú
tung l b, song song vi ng thng y = ax nu a 0 v trựng vi t y = ax vi b = 0.
3/ Cách tìm giao điểm của (d) với hai trục toạ độ
Cho x = 0 => y = b => (d) cắt trục tung tại A(0;b)
Cho y =0 => x = -b/a => (d) cắt trục hoành tại B( -b/a;0)
a gọi là hệ số góc, b là tung độ gốc của (d)
4/ Cách vẽ đồ thị hàm số y = ax + b
Cho x = 0 => y = b => A (0;b)
Cho y =0 => x = -b/a => B( -b/a;0)
Vẽ đờng thẳng AB ta đợc đồ thị hàm số y = ax + b
5/ (d) đi qua A(xo; yo) yo= axo + b
24


cng ụn thi vo lp 10, mụn toỏn

6/ Gọi
là góc tạo bởi đờng thẳng và tia Ox. Khi đó:
là góc nhọn khi a > 0, là góc tù khi a < 0
7/ (d) cắt (d) a a
(d) vuông góc (d) a. a = -1
(d) trùng (d)

a a'



b

b'


(d)//(d)

a a'


b b'


8/ (d) cắt trục hoành tại điểm có hoành độ l a (d) đi qua A(a;
0)
9/ (d) cắt trục tung tại điểm có tung độ b (d) đi qua B(0; b)
10/ Cỏch tim toạ độ giao điểm của (d) và (d): Gii phơng trình
HG: ax + b = ax + b

Tim c x. Thay giỏ tr ca x vo (d) hoc (d) ta tim c y
=> A(x; y) l TG ca (d) và (d).
2. Bi tp
Bài 1 : Cho hàm số y = (m + 5)x+ 2m 10
i) Với giá trị nào của m thì y là hàm số bậc nhất
j) Với giá trị nào của m thì hàm số đồng biến.
k) Tìm m để đồ thị hàm số đi qua điểm A(2; 3)
l) Tìm m để đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 9.
m)

Tìm m để đồ thị đi qua điểm 10 trên trục hoành .

n) Tìm m để đồ thị hàm số song song với đồ thị hàm số y = 2x -1
o) Chứng minh đồ thị hàm số luôn đi qua 1 điểm cố định với mọi
m.
p) Tìm m để khoảng cách từ O tới đồ thị hàm số là lớn nhất
Bài 2: Cho đờng thẳng y=2mx +3-m-x (d) . Xác định m để:
i) Đờng thẳng d qua gốc toạ độ
j) Đờng thẳng d song song với đờng thẳng 2y- x =5
k) Đờng thẳng d tạo với Ox một góc nhọn
l) Đờng thẳng d tạo với Ox một góc tù
m)

Đờng thẳng d cắt Ox tại điểm có hoành độ 2

n) Đờng thẳng d cắt đồ thị Hs y= 2x 3 tại một điểm có hoành độ
là 2
o) Đờng thẳng d cắt đồ thị Hs y= -x +7 tại một điểm có tung độ y
=4
p) Đờng thẳng d đi qua giao điểm của hai đờng thảng 2x -3y=-8 và

y= -x+1
Bài 3: Cho hàm số y = (m 2)x + m + 3.
1) Tìm điều kiện của m để hàm số luôn nghịch biến.
2) Tìm m để đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ
bằng 3.
25