Một số biện pháp khắc phục khó khăn của học sinh trong học tập nội dung giới hạn và tính liên tục của hàn số ở lớp 11 trung học phổ thông

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
--------------------------------

LƯƠNG THANH HOA

MỘT SỐ BIỆN PHÁP KHẮC PHỤC KHÓ KHĂN
CỦA HỌC SINH TRONG HỌC TẬP NỘI DUNG GIỚI HẠN
VÀ TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ Ở LỚP 11 THPT

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

THÁI NGUYÊN - 2019
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN




ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
--------------------------------

LƯƠNG THANH HOA

MỘT SỐ BIỆN PHÁP KHẮC PHỤC KHÓ KHĂN
CỦA HỌC SINH TRONG HỌC TẬP NỘI DUNG GIỚI HẠN
VÀ TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ Ở LỚP 11 THPT
Ngành: Lý luận và Phương pháp dạy học bộ môn Toán
Mã số: 8140111

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

Người hướng dẫn khoa học: TS. Đỗ Thị Trinh

THÁI NGUYÊN - 2019

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN




LỜI CAM ĐOAN
Tên tôi là Lương Thanh Hoa, học viên cao học chuyên ngành: Lý luận và
phương pháp dạy học bộ môn Toán, Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái
Nguyên, khóa học 2017 - 2019. Tôi xin cam đoan: Luận văn này là công trình nghiên
cứu thực sự của cá nhân, được thực hiện dưới sự hướng dẫn khoa học của TS. Đỗ
Thị Trinh.
Các số liệu có nguồn gốc rõ ràng, tuân thủ đúng nguyên tắc và kết quả
trình bày trong luận văn được thu thập trong quá trình nghiên cứu là trung thực,
chưa từng được ai công bố trước đây.
Tôi xin chịu trách nhiệm về nghiên cứu của mình.
Thái Nguyên, tháng 11 năm 2019
Tác giả luận văn
Lương Thanh Hoa

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN




LỜI CẢM ƠN

Đề tài "Một số biện pháp khắc phục khó khăn của học sinh trong học
tập nội dung giới hạn và tính liên tục của hàm số ở lớp 11 THPT" là một nội
dung trong chương trình dạy học bộ môn Toán ở bậc trung học phổ thông, và là
kết quả của một quá trình nghiên cứu của bản thân tác giả sau một thời gian học
tập và nghiên cứu chuyên ngành Lý luận và phương pháp dạy học bộ môn Toán.
Để có được kết quả này, ngoài sự nỗ lực, cố gắng của bản thân, trong quá trình
tiến hành nghiên cứu hoàn thiện đề tài, tôi đã nhận được sự động viên, giúp đỡ, sự
hướng dẫn tận tình của các thầy cô giáo trong Khoa Toán, Phòng Sau đại học
Trường Đại học Sư phạm Thái Nguyên và các thầy cô đã trực tiếp giảng dạy, giúp
đỡ cho tôi trong quá trình học tập và nghiên cứu tại trường.
Đặc biệt, tôi xin được bày tỏ sự biết ơn sâu sắc tới TS. Đỗ Thị Trinh - Cô
giáo đã trực tiếp giúp đỡ, hướng dẫn cho tôi trong suốt quá trình nghiên cứu và
hoàn thiện bản luận văn này.
Dù đã cố gắng nhiều, song vì những lý do khách quan và chủ quan, luận
văn không thể tránh khỏi những thiếu sót. Rất mong nhận được sự góp ý, chỉ dẫn
và giúp đỡ của quý thầy cô giáo, và các bạn đồng nghiệp.
Xin trân trọng cảm ơn!
Thái Nguyên, tháng 11 năm 2019
Tác giả
Lương Thanh Hoa

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN




MỤC LỤC
LỜI CAM ĐOAN .......................................................................................................... i
LỜI CẢM ƠN ............................................................................................................... ii
MỤC LỤC ................................................................................................................... iii

DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT VÀ GIẢI THÍCH THUẬT NGỮ ....................... iv
DANH MỤC CÁC BẢNG, HÌNH ............................................................................... v
MỞ ĐẦU ...................................................................................................................... 1
1. Lí do chọn đề tài ....................................................................................................... 1
2. Mục đích nghiên cứu ................................................................................................ 2
3. Giả thuyết khoa học .................................................................................................. 2
4. Nhiệm vụ nghiên cứu ................................................................................................ 2
5. Phạm vi nghiên cứu .................................................................................................. 3
6. Phương pháp nghiên cứu .......................................................................................... 3
7. Cấu trúc của luận văn................................................................................................ 3
Chương 1: CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN ....................................................... 4
1.1. Cơ sở lý luận .......................................................................................................... 4
1.1.1. Định hướng đổi mới PPDH ................................................................................ 4
1.1.2. Cơ sở lý luận ....................................................................................................... 8
1.2. Cơ sở thực tiễn ..................................................................................................... 30
1.2.1. Nội dung Giới hạn và tính liên tục của hàm số trong phân phối chương
trình môn Toán ở trường THPT ....................................................................... 30
1.2.2. Mục tiêu của dạy học Giới hạn và tính liên tục của hàm số ở lớp 11 THPT ............. 31
1.2.3. Khảo sát thực trạng việc dạy và học nội dung Giới hạn và tính liên tục của
hàm số ở trường phổ thông .............................................................................. 32
1.2.4. Một số điều cần lưu ý trong dạy học nội dung Giới hạn và tính liên tục của
hàm số .............................................................................................................. 35
1.2.5. Khó khăn và sai lầm mà HS thường gặp phải trong học tập nội dung giới
hạn và liên tục của hàm số ở lớp 11 trường THPT .......................................... 36
KẾT LUẬN CHƯƠNG 1 ........................................................................................... 48

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN

Chương 2: MỘT SỐ BIỆN PHÁP KHẮC PHỤC KHÓ KHĂN CỦA HỌC
SINH TRONG HỌC TẬP NỘI DUNG GIỚI HẠN VÀ TÍNH LIÊN TỤC
CỦA HÀM SỐ Ở LỚP 11 THPT ............................................................................ 49
2.1. Định hướng xây dựng một số biện pháp sư phạm khắc phục khó khăn của
HS trong học tập nội dung Giới hạn và tính liên tục của hàm số .................... 49
2.2. Một số biện pháp sư phạm nhằm khắc phục khó khăn và sai lầm trong học
tập nội dung Giới hạn và tính liên tục của hàm số .......................................... 50
2.2.1. Biện pháp 1: Hình thành biểu tượng các khái niệm trừu tượng trong dạy
học nội dung Giới hạn và tính liên tục của hàm số bằng việc sử dụng các
phần mềm hỗ trợ dạy học môn Toán ............................................................... 51
2.2.2. Biện pháp 2: Tăng cường khai thác và sử dụng các phản ví dụ trong dạy
học các khái niệm và định lí về giới hạn và tính liên tục của hàm số nhằm
mục đích giúp HS tiếp nhận và củng cố nội hàm của mỗi khái niệm trừu
tượng, ý nghĩa và điều kiện áp dụng mỗi định lí ............................................. 57
2.2.3. Biện pháp 3: Rèn luyện cho HS kỹ năng tìm lời giải theo quy trình của Polya............ 61
2.2.4. Biện pháp 4: Xây dựng hệ thống bài tập có tính chất phân bậc cho mỗi nội
dung cụ thể trong dạy học chuyên đề Giới hạn và tính liên tục của hàm số;
với mục đích giúp HS dần dần tiếp nhận và củng cố các khái niệm trừu
tượng ................................................................................................................ 67
KẾT LUẬN CHƯƠNG 2 ........................................................................................... 83
Chương 3: THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM ............................................................... 84
3.1. Mục đích, yêu cầu và nội dung thực nghiệm sư phạm ........................................ 85
3.1.1. Mục đích, yêu cầu ............................................................................................. 85
3.1.2. Nội dung và đối tượng thực nghiệm ................................................................. 85
3.2. Tổ chức thực nghiệm sư phạm............................................................................. 85
3.2.1. Giáo án thực nghiệm (Phụ lục 2) ...................................................................... 85
3.2.2.Tiến trình thực nghiệm ...................................................................................... 85
3.3. Kết quả thực nghiệm sư phạm ............................................................................. 87
3.3.1. Đánh giá định tính............................................................................................. 87

3.3.2. Đánh giá định lượng ......................................................................................... 87

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN




KẾT LUẬN CHƯƠNG 3 ........................................................................................... 89
KẾT LUẬN ................................................................................................................ 90
TÀI LIỆU THAM KHẢO ........................................................................................ 92
PHỤ LỤC.......................................................................................................................

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN




DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT VÀ GIẢI THÍCH THUẬT NGỮ
DH

Dạy học

GV

Giáo viên

HS

Học sinh

PPCT

Phân phối chương trình

PPDH

Phương pháp dạy học

THPT

Trung học phổ thông

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN




DANH MỤC CÁC BẢNG, HÌNH
Bảng 3.1. ......................................................................................................... 87
Hình 3.1. Biểu đồ tỉ lệ điểm kiểm tra sau thực nghiệm .................................. 88

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN




MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Một trong những mục tiêu của giáo dục mà Đảng ta đã đặt ra trong Nghị
quyết số 29-NQ/TW ngày 4 tháng 11 năm 2013 là “Phát triển giáo dục và đào

tạo, nâng cao dân trí, đào tạo nhân lực, bồi dưỡng nhân tài. Chuyển mạnh quá
trình giáo dục từ chủ yếu trang bị kiến thức sang phát triển toàn diên năng lực và
phẩm chất người học. Học đi đôi với hành; lý luận gắn với thực tiễn; giáo dục
nhà trường kết hợp với giáo dục gia đình và giáo dục xã hội”. Để đạt mục tiêu
giáo dục như trên, cùng với những thay đổi về nội dung, cần có những đổi mới
căn bản về phương pháp giáo dục.
Nhu cầu và định hướng đổi mới phương pháp dạy học cho thấy việc dạy
học không chỉ đơn giản là cung cấp tri thức có sẵn mà phải là giúp cho HS có tư
duy, khả năng sáng tạo, năng lực tổng hợp chuyển đổi và ứng dụng thông tin vào
hoàn cảnh mới để giải quyết các vấn đề đặt ra, thích ứng với những thay đổi
trong cuộc sống, có năng lực hợp tác và chuyển đổi năng lực.
Một phần rất quan trọng của Toán học là Giải tích, Douglas (1986) đã viết:
“Giải tích là nền tảng của Toán học, Giải tích là con đường, là trung tâm của
Toán học, là cơ sở cho việc nghiên cứu của nhiều ngành khoa học và kỹ thuật
khác”. Trong nội dung Giải tích lớp 11, vai trò của hai chủ đề chính là Giới hạn
và Đạo hàm được nêu rất rõ trong SGK Đại số và Giải tích 11 (nâng cao): “Giới
hạn là một trong các vấn đề cơ bản của Giải tích. Có thể nói: Không có giới hạn
thì không có Giải tích, hầu hết các khái niệm của Giải tích đều liên quan đến
giới hạn” Khi HS tiếp thu các tri thức của Giới hạn và Đạo hàm đã xảy ra quá
trình biến đổi về chất trong nhận thức của HS (vì ta đã biết Đại số đặc trưng bởi
kiểu tư duy “hữu hạn”, “rời rạc”, “tĩnh tại” còn khi học về Giải tích, kiểu tư
duy chủ yếu được vận dụng liên quan đến “vô hạn”, “liên tục”, “biến thiên”.
Giải tích lớp 11 đóng vai trò hết sức quan trọng trong toán học phổ thông bởi lẽ:
Khái niệm Giới hạn là cơ sở; hàm số liên tục là vật liệu để xây dựng các khái
niệm đạo hàm, vi phân và tích phân. Đó là những nội dung bao trùm chương
trình Giải tích ở THPT.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN

Một số nghiên cứu đã chỉ ra rằng, nhiều HS khi học nội dung Giới hạn và
tính liên tục của hàm số đã gặp khó khăn trong việc hiểu được bản chất của các
khái niệm. Ngay cả GV có kinh nghiệm cũng gặp không ít những khó khăn trong
việc truyền thụ các tri thức này cho HS, khi dạy về các chủ đề Giới hạn, tính liên
tục của hàm số. Thông thường, GV dạy định nghĩa một cách thoáng qua rồi tập
trung vào luyện các bài tập. Hậu quả là rất nhiều HS phổ thông sau khi tốt nghiệp
vẫn không hiểu được bản chất, nội hàm của các khái niệm về Giới hạn và tính
liên tục của hàm số. Do đó, làm thế nào để có thể giúp HS hiểu rõ bản chất của
mỗi khái niệm là một nhu cầu của thực tiễn.
Từ những lí do trên đây, với mong muốn góp phần giúp cho HS và GV khắc
phục khó khăn, nâng cao hiệu quả học tập chương trình Giải tích lớp 11, chúng tôi
chọn đề tài nghiên cứu: “Một số biện pháp khắc phục khó khăn của học sinh
trong học tập nội dung giới hạn và tính liên tục của hàm số ở lớp 11 THPT” .
2. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu những khó khăn trong việc học nội dung Giới hạn và tính liên tục
của hàm số trong chương trình Giải tích 11, từ đó đề xuất một số biện pháp cụ thể
nhằm khắc phục những khó khăn mà HS gặp phải trong học tập nội dung này.
3. Giả thuyết khoa học
Nếu đề xuất được các biện pháp khắc phục khó khăn của học sinh trong học
tập nội dung giới hạn và tính liên tục của hàm số thì có thể hạn chế sai lầm, phát
triển năng lực giải toán và góp phần nâng cao chất lượng học tập môn toán cho HS
ở trường phổ thông.
4. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Tìm hiểu nhu cầu và định hướng đổi mới PPDH.
- Nghiên cứu lý luận về dạy học có liên quan đến đề tài
- Nghiên cứu nội dung chương trình Giải tích 11.
- Khảo sát, điều tra thực trạng việc dạy và học nội dung Giới hạn và tính
liên tục của hàm số trong chương trình Giải tích 11 THPT hiện nay.
- Đề xuất một số biện pháp sư phạm nhằm khắc phục một số khó khăn mà

HS gặp phải trong học tập nội dung này.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN




- Tổ chức thực nghiệm sư phạm nhằm đánh giá hiệu quả và khả năng thực
hiện một số biện pháp cụ thể đã đề xuất trong luận văn.
5. Phạm vi nghiên cứu
Nội dung Giới hạn và tính liên tục của hàm số trong chương trình Giải tích
11 THPT.
6. Phương pháp nghiên cứu
+ Phương pháp nghiên cứu lý luận
- Tìm hiểu nhu cầu và định hướng đổi mới PPDH hiện nay.
- Nghiên cứu một số tài liệu về lý luận dạy học, phương pháp dạy học môn
Toán; các tài liệu có liên quan đến dạy và học nội dung Giới hạn, tính liên tục
của hàm trong chương trình môn Giải tích ở trường phổ thông.
+ Phương pháp quan sát điều tra
Quan sát, thăm dò thực trạng để tìm hiểu những sai lầm thường gặp ở HS
khi giải toán nội dung Giới hạn và tính liên tục của hàm số và điều tra theo các
hình thức: Dạy thử nghiệm, dự giờ, phỏng vấn trực tiếp và các biện pháp khác.
+ Phương pháp thực nghiệm sư phạm
Thực nghiệm sư phạm và dùng phương pháp thống kê toán học đánh giá
kết quả thực nghiệm nhằm xác định tính hiệu quả và khả năng thực hiện trong
thực tiễn các biện pháp nêu ra trong luận văn.
7. Cấu trúc của luận văn
Ngoài phần “Mở đầu”, “Kết luận” và “Danh mục tài liệu tham khảo”, luận
văn gồm 3 chương:
Chương 1: Cơ sở lý luận và thực tiễn.
Chương 2: Một số biện pháp khắc phục khó khăn của học sinh trong học

tập nội dung giới hạn và tính liên tục của hàm số ở lớp 11 THPT.
Chương 3: Thực nghiệm sư phạm.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN




Chương 1
CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1.1. Cơ sở lý luận
1.1.1. Định hướng đổi mới PPDH
Đổi mới phương pháp dạy học theo định hướng phát triển năng lực cho HS
là yêu cầu tất yếu và cấp bách của Giáo dục. Để đáp ứng được những yêu cầu
mới của sự nghiệp công nghiệp hóa, hiện đại hóa đất nước, sự thách thức trước
nguy cơ tụt hậu trên con đường tiến vào thế kỷ XXI bằng cạnh tranh trí tuệ đang
đòi hỏi phải đổi mới Giáo dục, trong đó có việc đổi mới căn bản về phương pháp
dạy và học, sớm tiếp cận trình độ giáo dục Phổ thông ở các nước phát triển trong
khu vực và trên Thế giới (đây không phải vấn đề riêng của nước ta, mà là vấn đề
đang được quan tâm ở mọi quốc gia) nhằm nâng cao chất lượng giáo dục toàn
diện thế hệ trẻ, phát triển nguồn nhân lực trong giai đoạn mới, phục vụ các yêu
cầu đa dạng của nền Kinh tế - Xã hội. Sự phát triển với tốc độ mang tính bùng
nổ của khoa học công nghệ thể hiện qua sự ra đời nhiều thành tựu mới cũng như
khả năng ứng dụng chúng vào thực tế cao, rộng và nhanh cũng đòi hỏi phải đổi
mới Giáo dục. Trong bối cảnh hội nhập giao lưu, HS được tiếp nhận nhiều nguồn
thông tin đa dạng, phong phú, từ nhiều mặt của cuộc sống, nên hiểu biết linh hoạt
và thực tế hơn nhiều, so với các thế hệ cùng lứa trước đây mấy chục năm (đặc
biệt là HS THPT). Vì vậy, đòi hỏi Giáo dục - Đào tạo phải xác định lại mục tiêu,
nội dung, phương pháp, phương tiện, tổ chức, cách đánh giá, theo định hướng
đổi mới phương pháp dạy học đã được xác định trong các tài liệu sau:

- Nghị quyết số 29 - NQ/TW ngày 04/11/2013 Hội nghị Trung ương 8 khóa
XI [17] đưa ra quan điểm chỉ đạo định hướng đổi mới căn bản, toàn diện Giáo
dục và đào tạo: “Phát triển giáo dục đào tạo là nâng cao dân trí, đào tạo nhân lực,
bồi dưỡng nhân tài. Nhấn mạnh quá trình giáo dục từ chủ yếu trang bị kiến thức
sang phát triển toàn diện năng lực và phẩm chất người học. Học đi đôi với hành,

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN




lý luận gắn liền với thực tiễn; giáo dục trong nhà trường kết hợp với giáo dục gia
đình và giáo dục xã hội”.
- Luật Giáo dục, điều 28.2, đã ghi: “Phương pháp Giáo dục - Phổ thông phải
phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo của HS; phù hợp với đặc điểm
từng lớp học, môn học; bồi dưỡng phương pháp tự học, rèn luyện kỹ năng, vận
dụng kiến thức vào thực tiễn; tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui hứng thú
cho HS”. Như vậy, quan điểm chung về hướng đổi mới phương pháp dạy học
hiện nay (và cũng là một trong những xu thế dạy học hiện đại trên Thế giới),
trong đó có phương pháp dạy học môn Toán đã được khẳng định, không còn là
vấn đề để tranh luận nữa là giúp cho HS học tập một cách tích cực, chủ động,
chống lại thói quen học tập thụ động. Đó là hướng tới học tập trong hoạt động
và bằng hoạt động, tức là cho HS được suy nghĩ nhiều hơn, thảo luận nhiều hơn,
hoạt động nhiều hơn, khi đứng trước một vấn đề của nội dung bài học hay một
yêu cầu thực tiễn của cuộc sống. Đây chính là tiêu chí, thước đo, đánh giá sự đổi
mới phương pháp dạy học. Trên tinh thần đó, việc dạy học không chỉ phải thực
hiện nhiệm vụ trang bị cho HS, những kiến thức cần thiết về môn dạy, mà điều
có ý nghĩa to lớn còn ở chỗ dần dần hình thành và rèn luyện cho HS tính tích
cực, độc lập sáng tạo trong quá trình học tập, để HS có thể chủ động, tự lực, tự
đào tạo, tự hoàn thiện tri thức trong hoạt động thực tiễn sau này.

Chương trình giáo dục phổ thông bao gồm chương trình tổng thể (khung
chương trình) và 27 chương trình môn học, hoạt động giáo dục.
Theo Bộ Giáo dục và Đào tạo, chương trình giáo dục phổ thông mới đã quán
triệt đầy đủ, nghiêm túc các quan điểm và tinh thần đổi mới căn bản, toàn diện giáo
dục và đào tạo nêu tại các Nghị quyết của Đảng, Quốc hội và Quyết định của Thủ
tướng Chính phủ, thể hiện quyết tâm đổi mới của ngành Giáo dục.
Về mục tiêu đổi mới, Chương trình giáo dục phổ thông mới thực hiện yêu
cầu của Nghị quyết 29 và Nghị quyết 88 [18]: “Chuyển mạnh quá trình giáo dục

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN




từ chủ yếu trang bị kiến thức sang phát triển toàn diện năng lực và phẩm chất
người học”.
Nếu như chương trình hiện hành và các chương trình giáo dục phổ
thông trước đây trả lời cho câu hỏi: “Học xong chương trình, học sinh biết được
những gì?” thì Chương trình giáo dục phổ thông mới tập trung trả lời cho câu
hỏi: “Học xong chương trình, học sinh làm được những gì?”.
Trong Chương trình giáo dục phổ thông mới, tổng thời lượng học tập của
học sinh phổ thông và thời lượng học tập dành cho mỗi cấp học, lớp học, môn
học, hoạt động giáo dục được xác định trên cơ sở kế thừa Chương trình giáo dục
phổ thông hiện hành và tham khảo tỉ lệ thời lượng phân bổ cho các môn học,
hoạt động giáo dục ở chương trình giáo dục phổ thông của nước ngoài.
Theo đó, tổng thời lượng học tập theo Chương trình giáo dục phổ
thông mới cụ thể: Tổng thời lượng học tập ở cả 3 cấp học là 8.172 giờ (60
phút/giờ), trong đó:
- Thời lượng học tập ở cấp tiểu học: 2.817,5 giờ
- Thời lượng học tập ở cấp trung học cơ sở: 3.070,5 giờ

- Thời lượng học tập ở cấp trung học phổ thông: 2.284 giờ.
Trong khi theo chương trình hiện hành, học sinhtiểu học học 2.353 giờ.
Chương trình mới là chương trình học 2 buổi/ngày (9 buổi/tuần), tính trung bình
học sinh học 1,8 giờ/lớp/buổi học; có điều kiện tổ chức các hoạt động vui chơi,
giải trí nhiều hơn. Chương trình hiện hành là chương trình học 1 buổi/ngày (5
buổi/tuần), tính trung bình học sinh học 2,7 giờ/lớp/buổi học.
Ở trung học cơ sở, theo Chương trình giáo dục phổ thông hiện hành, học
sinh học 3.124 giờ. Như vậy, thời lượng học ở trung học cơ sở giảm 53,5 giờ.
Ở trung học phổ thông, theo Chương trình giáo dục phổ thông hiện hành,
học sinh Ban cơ bản học 2.546 giờ; học sinh Ban A, Ban C học 2.599 giờ. Như
vậy, thời lượng học ở trung học phổ thông giảm mạnh, từ 262 giờ đến 315 giờ.
Chủ đề “Giới hạn” ở trường phổ thông được trình bày trong chương trình
lớp 11 (cơ bản) gồm 14 tiết, phân bố như sau:
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN




Bảng 1.1: Phân phối chương trình của chương “Giới hạn”
Chương IV: Giới hạn (14 tiết)
Nội dung
Giới hạn của dãy số.

Số tiết
49-52

Luyện tập
Giới hạn của hàm số.

53-57

Luyện tập
Hàm số liên tục.

58-59

Luyện tập
Ôn tập chương IV
Kiểm tra 1 tiết chương IV

60-62
62

Trong đó trình bày các nội dung chính như sau:
- Giới hạn của dãy số:
Giới hạn hữu hạn của dãy số (dãy số có giới hạn là 0, dãy số có giới hạn là
số a), một vài giới hạn đặc biệt, định lí về giới hạn hữu hạn, tổng của cấp số nhân
lùi vô hạn.
Giới hạn hàm số:
Giới hạn hàm số tại một điểm: Định nghĩa giới hạn hàm số tại một điểm,
định lí về giới hạn một bên (giới hạn bên trái, giới hạn bên phải).
Giới hạn hữu hạn của hàm số tại vô cực: định nghĩa giới hạn hữu hạn của
hàm số tại vô cực.
Giới hạn vô cực của hàm số: định nghĩa giới hạn vô cực, một vài giới hạn
đặc biệt, một vài quy tắc về giới hạn vô cực.
- Hàm số liên tục:
Hàm số liên tục tại một điểm: Định nghĩa hàm số liên tục tại một điểm, gián
đoạn tại một điểm.
Hàm số liên tục trên một khoảng: Định nghĩa hàm số liên tục trên một khoảng,
đoạn, nửa khoảng, nửa đoạn và hàm số không liên tục trên một khoảng.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN




Một số định lí cơ bản: định lí về sự liên tục của các hàm đa thức và phân
thức, định lí về tính liên tục của tổng hiệu tích thương của hai hàm số tại một
điểm, định lí về tính duy nhất nghiệm của hàm số trên một khoảng.
1.1.2. Cơ sở lý luận
1.1.2.1. Một số khái niệm cơ bản
- Khái niệm chướng ngại
Khái niệm chướng ngại trong khoa học luận do G.Bachelard đưa vào trong
cuốn “Sự hình thành trí tuệ khoa học” (Bachelard,1977) [12].
Để hiểu rõ khái niệm chướng ngại, điều quan trọng là phải phân biệt hai từ
dường như đồng nghĩa trong từ điển, đó là khó khăn và chướng ngại
(Bouazzaoui, 1988). Khi một vấn đề mới được đặt ra, việc giải quyết nó có thể
cần hay không cần sự tổ chức lại một lí thuyết hay sự điều chỉnh quan niệm về
một số kiến thức Toán học có liên quan. Ta nói rằng có một khó khăn nếu vấn
đề được giải quyết mà không đòi hỏi xem xét lại quan điểm của lí thuyết đang
xét hay của những quan niệm hiện hành. Ta nói có một chướng ngại nếu vấn đề
chỉ được giải quyết sau khi đã cấu trúc lại những quan niệm hay thay đổi quan
điểm lí thuyết.
Ta có thể phân biệt chướng ngại tánh được với chướng ngại không tránh
được:
+ Chướng ngại tránh được (còn gọi là chướng ngại sư phạm) liên hệ với sự
chuyển hóa sư phạm của tri thức. Đó là một kiểu chướng ngại cần được đặc biệt
chú ý, bởi vì no nảy sinh do những biện pháp sai lầm về mặt sư phạm. Nó có thể
tránh được nếu ta thực hiện những biện pháp chuyển hóa sư phạm hợp lí.
+ Chướng ngại không tránh đợc liên hệ với sự phát triển tâm lí của đối
tượng hoặc sự phát triển lịch sử của khái niệm. Tuy không tránh được nhưng

chúng có thể được xóa bỏ ở những thời điểm thích hợp bằng cách tổ chức cho
người học hoạt động trong những tình huống thích hợp.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN




- Khó khăn của HS trong học tập:
 Khái niệm khó khăn tâm lý
Trong từ điển Anh - Việt thì từ “Hardship” hoặc từ “Difficulty” đều được
dùng để chỉ sự khó khăn, sự gay go, sự khắc nghiệt đòi hỏi nhiều nỗ lực để khắc
phục.
Tuy nhiên, thông thường người ta hay dùng từ “shock” để chỉ sự khó khăn,
sự sốc, sự choáng váng trước một môi trường mới.
Từ điển Pháp - Việt thì “Difficulté” chỉ sự khó khăn, sự việc gây trở ngại.
Theo “Từ điển tiếng Việt căn bản” thì khó khăn nghĩa là sự trở ngại hoặc
sự thiếu thốn.
Theo “Từ điển láy tiếng Việt” thì khó khăn nghĩa là có nhiều trở ngại làm
mất nhiều công sức.
Tập hợp tất cả nghĩa của các từ điển nói trên ta có thể hiểu: khó khăn nghĩa
là những cản trở, trở ngại đòi hỏi nhiều nỗ lực để vượt qua.
Khó khăn tâm lý là những thiếu thốn, những biểu hiện tâm lí tiêu cực và những
thói quen có ảnh hưởng xấu (gây trở ngại) đến quá trình và kết quả của hoạt động
[11].
Trong cuộc sống hàng ngày, với bất kỳ hoạt động nào mà con người tham
gia không phải bao giờ cũng đạt được những mục tiêu như đã đề ra. Bởi trong
hoạt động, con người có thể gặp rất nhiều khó khăn, trở ngại, thiếu thốn cả về
mặt vật chất lẫn tinh thân. Đặc biệt, trước một môi trường sống mới, một hoạt
động mới, con người chịu ảnh hưởng của các yếu tố tâm lý, sức khỏe, vật chất...

của bản thân cũng như những điều kiện, áp lực từ môi trường bên ngoài làm cho
con người không có điều kiện thích ứng một cách kịp thời, có thể bị choáng, bị
sốc. Chính những yếu tố này làm cho hoạt động trí tuệ bị lệch hướng hoặc không
thể tiếp tục được nữa, kết quả không được như mong muốn. Những khó khăn,
đặc biệt là khó khăn tâm lý làm xuất hiện biểu hiện tâm lí tiêu cực, gây ra sự
choáng váng, chán nản, mệt mỏi làm ảnh hướng xấu đến tâm thế và chất lượng,
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN




hiệu quả công việc, đôi khi gây cho con người sự nhụt trí không thể vượt qua
được, có thể ảnh hưởng đến nét nhân cách.
Khó khăn tâm lý xuất hiện do nhiều yếu tố khác nhau: Những yếu tố bên
ngoài (yếu tố khách quan) và yếu tố bên trong (yếu tố chủ quan).
Những yếu tố bên ngoài được kể đến như là những điều kiện của hoạt động,
đó là môi trường gia đình, nhà trường, xã hội. Những yếu tố này ảnh hướng gián
tiếp đến hoạt động của con người. Tuy nhiên, trong một số trường hợp nào đó,
nó có vị trí hết sức quan trọng đến quá trình và kết quả hoạt động tâm lý của chủ
thể hoạt động.
Những yếu tố bên trong là: những yếu tố xuất phát từ bản thân mỗi chủ
thế khi tiến hành hoạt động như là: sự thiếu hiểu biết, vốn kinh nghiệm còn hạn
chế, những thói quen, hành vi không còn phù hợp với môi trường mới, sự chủ
quan, việc thực hiện các thao tác không phù hợp với đối tượng, sức khỏe... đây
là những yếu tố ảnh hưởng trực tiếp đến quá trình và kết quả của hoạt động chủ
thể [11].
 Khái niệm khó khăn tâm lý trong hoạt động học tập
Học tập là hoạt động đặc thù của con người giúp con người giúp con người
hình thành và phát triển tâm lí nhân cách. Trong quá trình học tập, không phải
bao giờ người học cũng tiến hành hoạt động trong những điều kiện thuận lợi và

giúp họ dễ dàng mang lại kết quả cao. Ngược lại, đôi khi tại một thời điểm hoặc
một giai đoạn nào đó hoặc cả cuộc đời của mình, người học chật vật, gian khổ
với sự nỗ lực rất cao nhưng kết quả học tập vẫn không như mong đợi. Đặc biệt,
khi đến môi trường học tập mới mẻ, xa lạ, người học dù ở lứa tuổi nào cũng gặp
khó khăn và chưa thể thích ứng ngay được. Bởi họ thường quen với suy nghĩ
hành động của môi trường cũ. Mặt khác, môi trường mưới ấy đôi khi có những
yếu tố cản trở sự cố gắng, nỗ lực của học sinh. Điều này gây ra ở HS tâm lý lo
lắng, sợ hãi đối với việc học, xấu hổ với cha mẹ, thầy cô, bạn bè. Khó khăn tâm
lý đã cản trở đến quá trình và kết quả của hoạt động học tập, ảnh hưởng tiêu cực
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN




đến việc hình thành và phát triển những phẩm chất tâm lý cá nhân. Chúng tôi
cho rằng, khó khăn tâm lý trong học tập là một hiện tượng tâm lý phức tạp cần
được nghiên cứu và được định nghĩa như sau: “Khó khăn tâm lý trong hoạt động
học tập là những thiếu thốn, những biểu hiện tâm lý tiêu cực và những thói quen
làm ảnh hưởng xấu (làm cản trở) đến quá trình và kết quả học tập” [11].
1.1.2.2. Vị trí của khái niệm và yêu cầu của dạy học khái niệm
a. Vị trí của dạy học khái niệm
Trong việc dạy học toán, cũng như việc dạy học bất cứ khoa học nào ở
trường phổ thông, điều quan trọng bậc nhất là hình thành một cách vững chắc
cho HS một hệ thống khái niệm. Đó là cơ sở của toàn bộ kiến thức toán học cho
HS, là tiền đề quan trọng để xây dựng cho họ khả năng vận dụng các kiến thức
đã học.
b. Yêu cầu của dạy học khái niệm
Việc dạy học khái niệm ở trường THPT phải làm cho HS dần đạt được
những yêu cầu sau:
- Nắm vững các đặc điểm đặc trưng cho một khái niệm.

- Biết nhận dạng khái niệm, tức là biết phát hiện xem một đối tượng cho
trước có thuộc phạm vi một khái niệm nào đó hay không, đồng thời biết thể hiện
khái niệm, nghĩa là biết tạo ra một đối tượng thuộc phạm vi một khái niệm cho
trước.
- Biết phát biểu rõ ràng, chính xác định nghĩa của một số khái niệm.
- Biết vận dụng khái niệm trong những tình huống cụ thể trong hoạt động
giải toán và ứng dụng vào thực tiễn.
- Biết phân loại khái niệm và nắm được mối quan hệ của một khái niệm với
những khái niệm khác trong một hệ thống khái niệm.
Các yêu cầu trên đây có quan hệ chặt chẽ với nhau, song vì lí do sư phạm,
các yêu cầu trên không phải lúc nào cũng được đặt ra với mức độ như nhau với
mọi khái niệm. Chẳng hạn, khái niệm về “hướng của véctơ” không được nêu
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN




thành định nghĩa một cách tường minh mà chỉ được diễn tả một cách trực quan
dựa vào kinh nghiệm sống của HS. Nhưng với các khái niệm “hàm số”, “hàm số
chẵn”, “hàm số lẻ”,... thì lại yêu cầu HS phải phát biểu được định nghĩa một cách
chính xác và vận dụng được khi giải toán [10].
c. Những con đường tiếp cận khái niệm
Con đường tiếp cận khái niệm được hiểu là quá trình hoạt động và tư duy
dẫn tới một sự hiểu biết về khái niệm đó nhờ định nghĩa tường minh, nhờ mô tả,
nhờ trực giác, ở mức độ nhận biết một đối tượng, một tình huống có thuộc về
khái niệm đó hay không.
Trong dạy học người ta phân biệt ba con đường tiếp cận khái niệm đó là:
- Con đường qui nạp.
- Con đường suy diễn.
- Con đường kiến thiết.

Sau đây ta sẽ đi sâu vào từng con đường nói trên.
 Con đường qui nạp
Theo con đường này, xuất phát từ một số đối tượng riêng lẻ (như vật thật,
mô hình, hình vẽ,…) GV dẫn dắt HS phân tích, so sánh, trừu tượng hoá và khái
quát hoá để tìm ra dấu hiệu đặc trưng của một khái niệm thể hiện ở những trường
hợp cụ thể này, từ đó đi đến một định nghĩa tường minh hay một sự hiểu biết
trực giác về khái niệm đó tuỳ theo yêu cầu của chương trình.
Cần phải chọn lọc một số lượng thích hợp những hình ảnh, thí dụ cụ thể,
trong đó dấu hiệu đặc trưng cho khái niệm được đọng lại nguyên vẹn, còn những
thuộc tính khác của những đối tượng thì thay đổi.
Qui trình tiếp cận một khái niệm theo con đường qui nạp:
- GV đưa ra những ví dụ cụ thể để HS thấy sự tồn tại hoặc tác dụng của một
đối tượng nào đó.
- GV dẫn dắt HS phân tích, so sánh và nêu bật những đặc điểm chung của
các đối tượng đang được xem xét. Có thể đưa ra đối chiếu một vài đối tượng
không có đủ các đặc điểm đã nêu.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN




- GV gợi mở để HS phát biểu một định nghĩa bằng cách nêu tên và đặc
điểm đặc trưng của khái niệm.
Con đường quy nạp có ưu điểm là thuận lợi cho việc huy động hoạt động
tích cực của HS, góp phần phát triển năng lực trí tuệ chung và đào tạo cho họ
nâng cao tính độc lập trong việc đưa ra định nghĩa. Tuy nhiên con đường này đòi
hỏi tốn nhiều thời gian nên không phải lúc nào cũng có điều kiện thực hiện.
Con đường này nên thực hiện khi:
- Trình độ nhận thức HS còn thấp.

- Vốn kiến thức còn chưa nhiều và thường được sử dụng trong điều kiện: chưa
phát hiện được một khái niệm nào làm điểm xuất phát cho con đường suy diễn.
- Đã định hình được một số đối tượng thuộc ngoại diên của khái niệm cần
hình thành, do đó đủ vật liệu để thực hiện phép quy nạp [10].
Ví dụ 1.1. Khi dạy về khái niệm giới hạn của dãy số GV có thể dạy như sau:
Cho HS biểu diễn các dãy số sau trên trục số.

1
(1) Dãy  un  với un  .
n
(2) Dãy  un  với un 

1n
.
n

(3) Dãy  un  với un 

1
.
n  n  1

(4) Dãy  un  với un 

2n  1
.
n

(5) Dãy  un  với un 

6n  1
.
n

(6) Dãy  un  với un 

3n  1
.
5  2n

+ Học sinh quan sát các hình biểu diễn và nhận xét xem các dãy số trên có
tính chất gì? Nêu lên sự giống nhau và khác nhau, từ đó rút ra tính chất đặc trưng?
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN




+ GV hướng dẫn HS nhận xét: Từ chỉ số nào đó khá lớn của n các dãy (1),
(2), (3) gần bằng 0, các số hạng của dãy (4) gần bằng 2, các số hạng của dãy (5)
gần bằng 6, các số hạng của dãy (6) gần bằng

3
.
2

Sau khi đã cùng học sinh quan sát và nhận xét, GV hoặc HS có thể đưa ra
định nghĩa giới hạn 0 và giới hạn a của dãy số.
Qua ví dụ trên, GV đã cho HS tiếp cận theo con đường quy nạp. Quá trình
này chưa kết thúc khi phát biểu được định nghĩa của khái niệm đó.
 Con đường suy diễn

Con đường thứ hai là con đường suy diễn, trong đó định nghĩa khái niệm
mới xuất phát từ định nghĩa của khái niệm mà HS đã biết.
Qui trình tiếp cận một khái niệm bằng con đường suy diễn:
- Xuất phát từ khái niệm đã biết, thêm vào nội hàm của khái niệm đó một
số đặc điểm mà ta quan tâm.
- Phát biểu định nghĩa bằng cách nêu tên khái niệm mới và định nghĩa nó
bằng một khái niệm tổng quát hơn cùng với những đặc điểm để hạn chế một bộ
phận trong khái niệm tổng quát đó.
- Đưa ra ví dụ minh hoạ cho khái niệm được định nghĩa.
Con đường này nên thực hiện khi:
- Trình độ nhận thức của HS đã khá hơn.
- Vốn kiến thức đã nhiều lên.
- Phát hiện ra một khái niệm làm điểm xuất phát cho con đường suy diễn.
Ví dụ 1.2. Có thể hình thành khái niệm giới hạn của một tổng cho HS theo
con đường suy diễn bằng cách dựa vào giới hạn hữu hạn của hàm số đã được học
trước đó như sau:
“Giả sử lim f  x   L và lim g  x   M khi đó lim f  x   g  x   L  M ”
x x0

x x0

x x0

 L, M  . ”
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN




Sau khi định nghĩa theo con đường này, cần thiết phải lấy ví dụ cụ thể để

chứng tỏ rằng khái niệm được định nghĩa như vậy thực sự tồn tại.
Ví dụ 1.3. Khái niệm giới hạn của hàm số tại một điểm: Cho khoảng K
chứa điểm x0 và hàm số y  f  x  xác định trên K hoặc K \  x0  .
Ta nói hàm số y  f  x  có giới hạn là L khi x dần đến x0 nếu với dãy số

 xn  bất kỳ,

xn  K \  x0  và xn  x0 , ta có f  xn   L .

Ký hiệu: lim f  x   L .
x x0

Con đường suy diễn có ưu điểm là tiết kiệm thời gian và thuận lợi cho việc
tập luyện cho HS tự học những khái niệm toán học thông qua sách và tài liệu,
hoặc nghe những báo cáo khoa học trên lĩnh vực toán học. Tuy nhiên, con đường
này hạn chế về mặt khuyến khích HS phát triển những năng lực trí tuệ chung như
phân tích, tổng hợp, so sánh, trừu tượng hoá và khái quát hoá.
Con đường thường được sử dụng khi phát hiện ra một khái niệm loại làm
điểm xuất phát cho con đường suy diễn.
 Con đường kiến thiết
Con đường này mang cả những yếu tố quy nạp lẫn yếu tố suy diễn. Yếu tố
suy diễn thể hiện ở chỗ xuất phát từ những yêu cầu tổng quát để xây dựng một
hay nhiều đối tượng đại diện cho khái niệm cần hình thành. Yếu tố quy nạp thể
hiện ở chỗ khái quát hoá quá trình xây dựng những đối tượng đại diện riêng lẻ,
đi đến đặc điểm tổng quát đặc trưng cho khái niệm cần định nghĩa.
Quá trình tiếp cận một khái niệm theo con đường kiến thiết thường diễn ra
như sau:
Bước 1: Xây dựng một hay nhiều đối tượng đại diện cho khái niệm cần
được hình thành, hướng vào những yêu cầu tổng quát nhất định, xuất phát từ nội
bộ toán học hay từ thực tiễn.

Bước 2: Khái quát hoá quá trình xây dựng những đối tượng đại diện, đi tới
những đặc điểm đặc trưng cho khái niệm cần hình thành.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN




Bước 3: Phát biểu định nghĩa được gợi ý do kết quả từ bước 2.
Con đường kiến thiết thuận lợi cho việc khơi gợi hoạt động tự giác, tích cực
của HS và rèn luyện cho họ khả năng giải quyết vấn đề trong quá trình hình thành
khái niệm. Bởi con đường này mang cả những yếu tố quy nạp lẫn suy diễn nên
quy luật biện chứng “từ trực quan sinh động đến tư duy trừu tượng, từ tư duy
trừu tượng đến thực tiễn” được tuân thủ triệt để. Điều đó kích thích sự phát triển
tư duy biện chứng cho HS.
d. Hoạt động củng cố khái niệm
Để củng cố khái niệm cho HS, GV cần cho HS luyện tập những hoạt động:
Nhận dạng và thể hiện khái niệm, hoạt động ngôn ngữ, khái quát hóa và đặc biệt
hóa khai niệm, vận dụng khái niệm,...
Sau đây ta sẽ đi sâu vào từng hoạt động.
 Nhận dạng và thể hiện khái niệm
Một trong những biểu hiện của chủ nghĩa hình thức trong quá trình học môn
toán là HS học thuộc cách phát biểu định nghĩa nhưng lại không nhận biết được
một đối tượng cụ thể trong những tình huống khác nhau có thỏa mãn định nghĩa
ấy hay không, không tự mình tạo ra được những đối tượng thỏa mãn định nghĩa.
Vì vậy, cần phải cho HS tiến hành những hoạt động “nhận dạng” và “thể hiện”
để tránh và khắc phục tình trạng này [10].
Ví dụ 1.4. Sau khi học xong khái niệm hàm số liên tục, HS làm bài tập sau:
Bài tập 1:
Hàm số f (x ) có đồ thị như hình bên không liên
tục tại điểm có hoành độ là bao nhiêu?

y
3

A. x = 0.
B. x = 1.

1

C. x = 2.

O

x
1

2

D. x = 3.
Bài tập 2:
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN