DE HOC SINH GIOI TOAN+DAP AN

Sở GD&ĐT Nghệ An
Kì thi chọn học sinh giỏi tỉnh lớp 12
Năm học 2008 - 2009
Môn thi: toáN 12 THPT- bảng A
Thời gian làm bài: 180 phút
Câu 1. (3,0 im)
Tỡm m phng trỡnh sau cú bn nghim phõn bit thuc on
;
4 4






4 4 2
sin x + cos x + cos 4x = m.
Câu 2. (3,0 im)
Cho h:
4
7 7 a
x y
x y

+ =


+ + +


(a l tham s ).

Tỡm a h cú nghim
( )
x; y
tha món iu kin
9.x
Câu 3. (3,0 im)
Cho hm s
2
3
1 sin 1
0
( )
0 0.
với
với
x x
x
f x
x
x

+


=


=

Tớnh o hm ca hm s ti x =0 v chng minh rng hm s t cc tiu ti x = 0.
Câu 4. (3,0 im)
Cho ba s dng a,b,c thay i. Tỡm giỏ tr ln nht ca biu thc
.
3 3 3
bc ca ab
P
a bc b ca c ab
= + +
+ + +
Câu 5. (3,0 im)
Cho n l s t nhiờn,
2.n
Chng minh ng thc sau:
( ) ( )
2 2
2 0 1 2 2 2 2 1 2
1 2 ... 2 1 ( 1)2 .
n n n
n n n n n
n C n C n C C C n n

+ + + + + = +
Câu 6. (3,0 im)
Cho khi chúp S. ABCD cú ỏy ABCD l hỡnh bỡnh hnh. Gi M, N, P ln lt l
trung im ca cỏc cnh AB, AD, SC. Chng minh rng mt phng (MNP) chia khi
chúp S.ABCD thnh hai phn cú th tớch bng nhau.
Câu 7. (2,0 im)
Cho t din ABCD cú AB = CD, AC = BD, AD = BC v mt phng (CAB) vuụng
gúc vi mt phng (DAB). Chng minh rng:

ã
ã
1
CotBCD.CotBDC = .
2
-------------Ht-------------
H v tờn thớ sinh:....................................................................S bỏo danh:.....................
Đề chính thức
Sở Gd&Đt Nghệ an
Kỳ thi chọn học sinh giỏi tỉnh lớp 12
Năm học 2008 - 2009
hớng dẫn và biểu điểm Chấm đề chính thức
(Hớng dẫn và biểu điểm chấm gồm 04 trang)
Môn: toán 12 THPT - bảng A
----------------------------------------------
Câu Nội dung Điểm
1 3.0
Phơng trình đã cho tơng đơng
2
3 4
4
4
cos x
cos x m
+
+ =

2
4 4 4 4 3cos x cos x m+ =
(1)

0.50
Đặt t = cos4x ta đợc:
2
4 4 3t t m+ =
, (2)
Với
;
4 4
x





thì
[ ]
1;1 .t
0.50
Phơng trình (1) có 4 nghiệm phân biệt
;
4 4
x





khi và chỉ khi phơng trình (2) có 2
nghiệm phân biệt t[-1; 1), (3)
0.50

Xét g(t) =
2
4t t+
với
[ 1;1)t
, g(t) = 8t+1.
g(t) = 0 t =
1
8


0.50
Bảng biến thiên
0.50
Dựa vào bảng biến thiên suy ra (3) xảy ra
1
4 3 3
16
m <

47 3
64 2
m<

Vậy giá trị m cần tìm là:
47 3
64 2
m<
.
0.50

2 3,0
Đặt
t x=
từ (1) và điều kiện suy ra
3 4t

Khi đó 4y t= y = t
2
8t +16.
0.50
Khi đó bất phơng trình (2) trở thành
2 2
7 8 23 ,t t t a+ + +
(3)
Đặt
2 2
( ) 7 8 23f t t t t= + + +
.
0.50
Ycbt bất phơng trình (3) có nghiệm t [3;4]
[3;4]
min ( )f t a
( )
2 2
4
'
7 8 23
t t
f t
t t t

= +
+ +
0,50
3
g(t) 0 +
t 1
g(t)
5
1
16

( ) ( )
2 2
' 0 8 23. 4 7f t t t t t t= + = +
( ) ( )
( )
2 2
2 2
4 7 . 4 7 2,.t t t t t

+ = + =

0,50
Ta có
( ) ( )
3 4 8; 4 23 7f f= + = +
0,50
Từ đó suy ra
[3;4]

min ( ) (3) 4 8f t f= = +
. Vậy a
4 8+
0.50
3 3.0
( )
0
( ) (0)
' 0 lim
x
f x f
f
x


=
0.5
( )
2 23
2
0 0
2
2 2 23
3
1 sin 1 sin
lim lim
1 sin 1 sin 1
x x
x x x x
x

x x x x x

+
= =

+ + + +


0.5

( )
2
0
2 23
3
sin 1
limsin . .
1 sin 1 sin 1
x
x
x
x
x x x x

=
+ + + +
0.5
0.
=
0.5

Mặt khác với
0x

, ta có
( )
( )
( ) ( )
2
2
2 23
3
sin
0 0 .
1 sin 1 sin 1
x
f x f x f
x x x x
= =
+ + + +
0.5
Vì
( )f x
liên tục trên R nên từ đó suy ra
( )
f x
đạt cực tiểu tại
0.x
=
0.5
4 3,0

Đặt
( )
, , ; , , 0; .x a y b z c x y z= = = +
Khi đó:
2 2 2
.
3 3 3
yz zx xy
P
x yz y zx z xy
= + +
+ + +
0.50
Ta có
2 2 2
3 3 3
3
3 3 3
yz zx xy
P
x yz y zx z xy
= + +
+ + +
2 2 2
2 2 2
3 3
3 3 3
x y z
Q
x yz y zx z xy

= + + =
ữ
+ + +

0.50
áp dụng bđt BCS ta đợc
( )
2
2 2 2
2 2 2
2 2 2
3 3 3
3 3 3
. 3 3 3
x y z
x yz y zx z xy
x yz y zx z xy
Q x y z xy yz zx

ữ
+ + + + +
ữ
+ + +

+ + + + +
0.50
( )
( )
2

2
x y z
Q
x y z xy yz zx
+ +

+ + + + +
. Mặt khác
( )
2
3
x y z
xy yz zx
+ +
+ +
0.50
Suy ra
3
4
Q
, do đó
9 3
3 .
4 4
P P
0.50
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
.a b c
= =
Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng

3
.
4
0.50
5 3.0
Ta có với 0x ,
( ) ( )
0
1 , 1
n
n
k n k
n
k
x C x

=
+ =

0.5
Đạo hàm hai vế của (1) ta đợc
( )
1
1
1
0
1 ( )
n
n
k n k

n
k
n x n k C x



=
+ =

0.5
Suy ra
( ) ( ) ( )
1
1
0
1 , 2 .
n
n
k n k
n
k
nx x n k C x



=
+ =

1,0
Đạo hàm hai vế của (2) ta đợc

( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1
1 2 2
1
0
1 1 1 . , 3 .
n
n n
k n k
n
k
n x n x n k C x



=

+ + + =


0.5
Thay 1x = vào (3) ta đợc đpcm 0.5
6 3.0
Gọi K và I lần lợt là giao điểm của MN với CD và BC, ta có CK =
3
2
CD, CI =
3
2
CB

0.25
d(P,(ABC)) =
1
2
d(S,(ABC))
0.25
V
PCIK
=
1 1
.
3 2
CI.CK.sin
ã
ICK
.d(P,(ABC))
0.25
=
9
16
(
1
3
CB.CD.sin
ã
BCD
.d(S;(ABC))
0.25
V
PCIK

=
9
16
V
SABCD
, (1)
0.25
Mặt khác
1
. .
18
IBEM
ICPK
V IB IE IM
V IC IP IK
= =
(2)
0.5
Từ (1) và (2) V
IBEM
=
1
32
V
SABCD
0.25
Tơng tự V
KNDF
=
1

32
V
SABCD
0.25
Gọi V
2
là thể tích của khối đa diện giới hạn bởi mặt phẳng (MNP) và mặt phẳng đáy V
2
=
V
PCIK
- (V
IBEM
+ V
KNDF
)
0.25
=
9
16
V
SABCD
-
1
16
V
SABCD
=
1
2

V
SABCD
0.25
Vậy V
2
=
1
2
V
SABCD
đpcm
0.25
A
D
S
P
C
B
M
E
F
N
I
K
O
7 2,0
Đặt
ã
ã
ã

, , , , , .AD BC a AC BD b AB CD c BAC A ABC B ACB C= = = = = = = = =
Ta có ABC nhọn và ABC = DCB = CDA = BAD.
Suy ra
ã
ã
ã
ã
ã
( )
; , 1BCD ABC B ABD BDC CAB A= = = = =
0.5
Hạ
CM AB

, vì
( ) ( )
CAB DAB
nên
( ) ( )
2 2 2
, 2 .CM DAB CM MD CM DM CD + =
0.5
áp dụng định lí cosin cho tam giác BMD ta đợc
ã
( )
2 2 2
2 . .cos , 3MD BM BD BM BD MBD= +
0.25
Từ (1), (2), (3) ta đợc
2 2 2 2

2 . .cosCM BM BD BM BD A CD+ + =
2 2 2 2 2 2
2 . .cos 2 cos .cosBC BD BM BD A CD a b ab A B c+ = + =
0.25
1
cos cos .cos sin .sin 2cos .cos cot .cot .
2
C A B A B A B A B = = =
0.5
Chú ý: Học sinh giải theo cách khác nếu đúng vẫn cho điểm tối đa.
M
A
B
C
D
M
A
B
D
C