Vấn đề 1: Phép Tịnh Tiến

Lê Trinh Tường Tài liệu phụ đạo 11CB&NC
Vấn đề 1: PHÉP TỊNH TIẾN
A − Tóm tắt cơ sở:
• Định nghĩa:
v
T
r
: M
a
M′ ⇔
'MM v=
uuuuur
r
• Tính chất:
v
T
r
(M) = M′,
v
T
r
(N) = N′ ⇒
' 'M N MN=
uuuuuur uuuur
( Các hệ quả: tự nêu)
• Biểu thức tọa độ:
v
T
r
: M(x; y)
a

M′(x′; y′). Khi đó:
'
'
x x a
y y b

= +

= +

(
( )
;v a b=
r
)
B − Luy ệ n t ậ p:
1) Bài tốn 1: Áp dụng phép tịnh tiến để tính tốn hoặc chứng minh tính chất hình học.
1) Cho tứ giác lồi ABCD và một điểm M được xác định bỡi
AB DM=
uuur uuuur
và
·
·
CBM CDM=
. Chứng minh:
·
·
ACD BCM=
.
Hướng dẫn: Xét phép tịnh tiến theo

AB
uuur
.
2) Cho hình thang ABCD có đáy lớn CD, O là giao điểm của hai đường chéo. Biết AB = a, AC = b, BD =
c và
·
AOB
α
=
. Tính độ dài của cạnh CD theo a, b, c và α.
Hướng dẫn: Xét phép tịnh tiến theo
AB
uuur
. ĐS: CD =
2 2
2 .cosb c bc a
α
+ − −
3) Cho tứ giác ABCD có M, N, P, Q lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC, CD, DA. Chứng minh rằng
tứ giác ABCD là hình bình hành khi và chỉ khi
( )
1
2
MP NQ AB BC CD DA+ = + + +
(*)
Hướng dẫn: Thực hiện phép tịnh tiến theo
BC
uuur
.
D E

→
⇒ BCED là hình bình hành ⇒ P là trung điểm BE.
MP =
( ) ( )
1 1 1
2 2 2
AE AD DE AD BC≤ + = +
(1). Dấu “ = “ xảy ra ⇔ A, D, E thẳng hàng ⇔ AD//BC
Chứng minh tương tự:
( )
1
2
NQ AB CD≤ +
(2) và dấu “ = “ xảy ra ⇔ AB//CD.
Cộng (1) và (2) ta được:
( )
1
2
MP NQ AB BC CD DA+ ≤ + + +
(3)
Để có (*) thì dấu “=” trong (3) xảy ra, nghĩa là dấu “=” trong (1) và (2) đồng thời xảy ra ⇔
//
//
AB CD
BC AD



−−
> ABCD là hình bình hành.

4) Cho tứ giác ABCD có
·
·
0
3, 3, 2 3, 60AB BC CD BAD CDA= = = = =
. Tính số đo
·
·
à .ABC v BCD
Hướng dẫn: Thực hiện phép tịnh tiến theo
DC
uuur
.
A A
′
→
⇒ ADCA’ là hình bình hành và
·
0
AA 60B
′
=
.
∆ABA’ có:
·
0
AA 60 à AA'=2AB ABA vngB v
′ ′
= ⇒ ∆
tại B và

·
0
' 30 , ' 3BA A A B= =
−−− > ∆BCA’ cân tại
B −−− >
·
·
·
·
0
' ' AA'C ' 30BCA BA C BA A= = − =
−−− >
·
·
·
·
·
( )
0
0 0
90
360 150
BCD
ABC BAD CDA BCD

=


= − + + =



.
5) Cho tứ giác ABCD có AB =
6 3
, CD = 12 và
µ µ
µ
0 0 0
60 , 150 , 90A B D= = =
. Tính BC và AD.
Hướng dẫn: Xét phép tịnh tiến theo
BA
uuur
. ĐS: BC = 6, AD =
6 3
.
2) Bài tốn 2: Áp dụng phép tịnh tiến để tìm quỹ tích.
1) Cho hai điểm cố đònh B, C trên đường tròn (O) và một điểm A thay đổi trên đường tròn đó. Tìm
q tích trực tâm H của ∆ABC.
Hướng dẫn: Vẽ đường kính BB
′
. Xét phép tònh tiến theo
'v B C=
uuuur
r
. Q tích điểm H là đường tròn (O
′
) ảnh
của (O) qua phép tònh tiến đó.
1

Lê Trinh Tường Tài liệu phụ đạo 11CB&NC
2) Cho đường tròn (O; R), đường kính AB cố đònh và đường kính MN thay đổi. Tiếp tuyến với đường
tròn (O) tại B cắt AM tại P, AN tại Q. Tìm tập hợp trực tâm các tam giác MPQ và NPQ.
Hướng dẫn: Gọi H là trực tâm
∆
MPQ, K là trực tâm
∆
NPQ. Xét phép tònh tiến theo vectơ
v BA=
uuur
r
. Tập hợp
các điểm H va øK là đường tròn (O
′
) ảnh của (O) qua phép tònh tiến đó (trừ hai điểm A và A' với
'AA BA=
uuur uuur
).
3) Cho hai đường trong (O) và (O
1
) cắt nhau tại hai điểm, gọi A là một trong hai giao điểm đó. Đường
thẳng (d) di động qua A và cắt hai đường tròn đã cho tại M, N. Trên hai tia AM và AN lấy hai điểm B, C
sao cho:
2 2BA AC MN= =
uuur uuur uuuur
. Tìm tập hợp các điểm B và C.
3) Bài tốn 3: Áp dụng phép tịnh tiến để tìm tọa độ của điểm, viết phương trình của đường.
Phương pháp:
Dạng 1: Tìm tọa độ điểm M’ là ảnh của điểm M qua phép tịnh tiến
v

T
r
.
Áp dụng biểu thức tọa độ:
( )
'
'
'
M M v
v
M M v
x x x
M T M
y y y
= +

= ⇒

= +

r
.
Dạng 2: Cho đường (C) f(x,y) = 0 và
( ; )v a b=
r
. Tìm phương trình của đường (C’) là ảnh của (C) qua
phép tịnh tiến
v
T
r

.
Vì (C’) =
( )
v
T C
r
⇒ Mỗi điểm M(x; y) ∈(C’) là ảnh của một điểm M
0
(x
0
; y
0
)∈(C), ta có :
( )
( )
( )
0 0
0 0 0
0
0
0
; 0
( ; )
; 0(*)
f x y
M x y C
x x a f x a y b
M M v
y y b
=


∈


⇔ − = ⇒ − − =
 
=



− =

uuuuuur r
. Phương trình (*) là phương trình của (C’).
Bài tập:
1. Tìm ảnh của các điểm A(0; 2), B(1; 3), C(–3; 4) qua phép tònh tiến
v
T
r
trong các trường hợp sau:
a)
v
r
= (1; 1) b)
v
r
= (2; 1) c)
v
r
= (–2; 1) d)

v
r
= (3; –2)
e)
v
r
= (0; 0) f)
v
r
= (–3; 2)
2. Cho điểm A(1; 4). Tìm toạ độ điểm B sao cho
( )
v
A T B=
r
trong các trường hợp sau:
a)
( )
2; 3v = −
r
b)
v
r
= (2; 1) c)
v
r
= (–2; 1) d)
v
r
= (3; –2)

e)
v
r
= (0; 0) f)
v
r
= (–3; 2)
3. Tìm toạ độ vectơ
v
r
sao cho
( )
/
v
T M M=
r
trong các trường hợp sau:
a) M(−10; 1), M’(3; 8) b) M(−5; 2), M′(4; −3) c) M(–1; 2), M′(4; 5)
d) M(0; 0), M′(–3; 4) c) M(5; –2), M′(2; 6) f) M(2; 3), M′(4; –5)
4. Trong mpOxy, cho đường thẳng (d) : 2x − y + 5 = 0. Tìm phương trình của đường thẳng (d’) là ảnh của (d)
qua phép tònh tiến theo
v
r
trong các trường hợp sau:
a)
( )
4; 3v = −
r
b)
v

r
= (2; 1) c)
v
r
= (–2; 1) d)
v
r
= (3; –2)
5. Trong mpOxy, cho đường tròn (C):
( ) ( )
2 2
1 2 4x y− + + =
. Tìm phương trình của đường tròn (C′) là ảnh của
(C) qua phép tònh tiến theo
v
r
trong các trường hợp sau:
a)
( )
4; 3v = −
r
b)
v
r
= (2; 1) c)
v
r
= (–2; 1) d)
v
r

= (3; –2)
6. Trong mpOxy, cho Elip (E):
2 2
1
9 4
x y
+ = . Tìm phương trình của elip (E′) là ảnh của (E) qua phép tònh tiến
theo
v
r
trong các trường hợp sau:
a)
( )
4; 3v = −
r
b)
v
r
= (2; 1) c)
v
r
= (–2; 1) d)
v
r
= (3; –2)
2
Lê Trinh Tường Tài liệu phụ đạo 11CB&NC
7. Trong mpOxy, cho Hypebol (H):
2 2
1

16 9
x y
− =
. Tìm phương trình của Hypebol (H′) là ảnh của (H) qua phép
tònh tiến theo
v
r
trong các trường hợp sau:
a)
( )
4; 3v = −
r
b)
v
r
= (2; 1) c)
v
r
= (–2; 1) d)
v
r
= (3; –2)
8. Trong mpOxy, cho Parabol (P): y
2
= 16x. Tìm phương trình của Parabol (P′) là ảnh của (P) qua phép tònh
tiến theo
v
r
trong các trường hợp sau:
a)

( )
4; 3v = −
r
b)
v
r
= (2; 1) c)
v
r
= (–2; 1) d)
v
r
= (3; –2)
9. Cho đường thẳng d: x + 2y – 1 = 0 và vectơ
v
r
= (2; m). Tìm m để phép tònh tiến
v
T
r
biến d thành chính nó.
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
3