Công thức hình học lớp 12 hay

CÁC KH I A DI N

U

Tên (m m t)

Lo i
{p;q}

T di n đ u
Hình l p ph ng
Bát di n đ u
Th p nh (12) m t đ u
Nh th p (20) m t đ u

{3;3}
{4;3}
{3;4}
{5;3}
{3;5}

CÁC LO I ÁY TH

H TH C L

Hình vuông c nh a
S
đ nh
=mp/q
4
8

6
20
12

S
c nh
=mp/2
6
12
12
30
30

Di n tích:

S mp
đ i
x ng
6
9
9
15
15

đ

×

Bán kính đ ng
tròn ngo i ti p:

C nh huy n:
Bán kính đ ng
tròn ngo i ti p:
Di n tích:

Tam giác vuông

T l 3 c nh:
: :
Bán kính đ ng
tròn ngo i ti p:
ng cao ng v i
/
c nh huy n:

Hình thoi có góc

Hình thang vuông đ c bi t

N a l c giác đ u

Di n tích:

=

.

ng

Ghép b i 1 hình
vuông và 1 tam giác
vuông cân.
Ghép b i 2 tam giác
vuông cân.

Là 3 tam giác đ u
ghép l i.
đ =

, v.v...
+

=

+

=

=
=

: bán kính đ ng tròng n i ti p.
ng tròn ngo i ti p
đ : Bán kính đ
=

Di n tích:

: n a chu vi

CÁC TR

NG H P HÌNH CHÓP TH

C nh bên vuông đáy

ng cao là c nh bên đó.
M t bên vuông v i đáy

.

= . =
(

)(

đ

=

)(

đ

NG G P

ng cao là giao tuy n c a
hai m t đó.
Các c nh bên b ng nhau

(c nh bên cùng t o v i đáy
góc b ng nhau).

ng chéo vuông
góc v i c nh bên.

c nh
Hình bình hành

Di n tích:
ng chéo ng n:
+
ng chéo dài
+

+

ng cao là đ ng cao h
t đ nh S c a tam giác m t
bên đó.

=

Hai m t cùng vuông v i đáy

Di n tích:

ng cao = ½ c nh
bên.
C nh đáy =

bên.
đ =

Hình ghép c a hai
tam giác đ u.
Hình ghép c a hai
tam giác cân 120.
Di n tích b ng ½ tích
hai đ ng chéo =
.

Di n tích:
Tam giác cân có đ nh

+

=

Th y L c Trí Tuyên – 0972177717

Tam giác vuông cân c nh bên b ng
a

Tam giác th

Di n tích: ab
Bán kính đ ng tròn
ngo i ti p:
+

Th y L c Trí Tuyên – 0972177717

Di n tích:

=

=

ng cao:

đ

=

=

.

áy là hình ch nh t

=

.

=

NG G P

Tam giác đ u c nh a

NG TRONG TAM GIÁC

Tam giác vuông

Chân đ ng cao trùng v i
tâm đ ng tròn ngo i ti p
đáy.

)


GÓC C

B N VÀ KHO NG CÁCH C

Góc gi a c nh bên và đáy
K t chân đ ng cao t i giao
đi m c a c nh bên v i đáy.
N iv iS

B N

T S TH TÍCH
Chóp tam giác

Góc gi a m t bên và đáy
K t chân đ ng cao t i
giao tuy n c a m t bên v i
đáy. N i v i S

×

Chóp hình bình hành
-

×
=

-

=
=

+

=

đ.

=

KH I C U
Kho ng cách t chân đ
cao đ n m t xiên.

ng

Kho ng cách t đi m thu c
đáy đ n m t th ng đ ng.

KH I L NG TR
Tách kh i chóp ra kh i l ng tr

)

=

=

;

=

Có:
(

+

=

(
D ch chuy n đinh song song

)

+
)
=

;

+

=

+ +

/

D ch chuy n đáy: Khi th y đáy n m trong m t m t ph ng có th
m r ng.

=

M t ph ng c t (S) theo đtr (H;r)

=

D ch đ nh không song song

/

=

; =

Th y L c Trí Tuyên – 0972177717

T đi m đó k vuông góc
v i giao tuy n c a m t đó

v i đáy.

Th y L c Trí Tuyên – 0972177717

K vuông hai nhát:
- K HI vuông v i giao tuy n.
- K HK vuông góc v i SI

)

( .
( .

=

;

=

Th tích kh i chóp

Chóp ho c l ng tr có c nh
bên vuông góc v i đáy
ng tròn
đ L
ngo i ti
=

đ

+

KH I NÓN VÀ KH I TR

Th tích l ng tr

-

đ

=

=

+
= . .
+

= / .

đ.

=
=

đ.

đ.

=

+

;( )

BA CÔNG TH C BÁN KÍNH M T C U NGO I TI P

Làm vi c v i l ng tr ch c n làm vi c v i hình chóp.

TH TÍCH KH I CHÓP VÀ L NG TR

=

Chóp có c nh bên b ng nhau
(nón)
+ đ
=
=
C nh bên bình chia hai l n

Chóp ho c l ng tr có m t
bên vuông v i đáy
: là bán kính đ ng tròn
ngo i ti p m t bên.
: Là giao tuy n c a m t
bên và đáy.
=

đ

+


T A

VECTOR VÀ I M TRONG KHÔNG GIAN

ng d ng tích có h
i u ki n

- 3 vector đ n v : , , đ
dài 1 và đôi m t vuông
góc.
- Tr c Oz: tr c cao.
- T a đ vector:
=( ; ; )
=
+
+
- T a đ c a đi m chính
.
là t a đ

;

±
)

=(

±

=(
| |=

;

;

=

;

;

)

;

±

=
=
=
=
=
=

=

)

+
+

=

=(

±

;

+

,

) và

;

+

=

| |

).

Cho ( ; ; ); ( ; ; ); ( ; ;

( ; ; ) là trung đi m c a
.
( ; ; ) là tr ng tâm tam giác
.
=(

;
+

+

TÍCH CÓ H

+

;
;

;
+

+

)
+

;
+

;

+

NG C A HAI VECTOR nh ngh a

,

NG D NG

,

=

đ nđ

Kho ng cách t

đ n m t ph ng (

.

ng ph ng (AB):
,
,( ) =

) =

,

)=

):
.

,
,
,

V TRÍ T

:
.

,

NG TRÌNH M T PH NG –
Vector pháp tuy n

=

NG TH NG

Ch n 1 vector pháp tuy n
- N u bi t
:
Ch n =
- N u bi t
Ch n

và

:

,

M t ph ng (P) xác đ nh b i c p ( , ) (ký hi u ( )~( , ))
ngh a là
( ; ; )
=( ; ; )
Ph ng trình:
)=
)+ (
)+ (
(
Ng c l i, m t ph ng có d ng
+
+ + =
Thì có m t vector pháp tuy n là = ( ; ; ) và thay , b i
hai s b t k r i gi i ra ta đ c đi m
( ).
Ph ng trình m t ch n:
( ; ; ), ( ; ; ),
( ; ; ).
):

+

+

;

Vector ch ph

;

NG

I

Cho các đ ng ~( , ),
Cho các m t ph ng
( )~( , ), ( )~(

Ch n 1 vector pháp tuy n
:
- N u bi t
Ch n =
- N u bi t
Ch n

và
,

:

~(
,

), ~( , )

,
), (

)~(

)

,

i u ki n

V trí

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

( )

(

)

(

)

( )

( )

( )

( )
ng ho c m t c t
th a mãn (*)

=

ng

=

,

ng chéo nhau
(

PH

,

=

V i

+ H ng vuông góc v i c
và .
+
l n:
,
=| | .
,
+
l n b ng đ l n di n tích
hình bình hành hai c nh là hai
vector và
Công th c t a đ
=

+

. =

Kho ng cách t

(

= 1 vec t có:

,

=

:

,

Th y L c Trí Tuyên – 0972177717

=(

Th tích t di n

Kho ng cách hai đ

Th y L c Trí Tuyên – 0972177717

Cho

PHÉP TOÁN

:

,(

Cho ( ; ; ). T a đ hình chi u vuông góc c a lên:
: là ( ; ; )
: là ( ; ; )
: là ( ; ; )
(
): là ( ; ; )
(
): là ( ; ; )
(
): là ( ; ; )

CÔNG TH C T A

Di n tích tam giác

ng th ng (d) xác đ nh b i c p ( , ) (ký hi u
( )~( , )) ngh a là:
( ; ; )
=( ; ; )
Ph ng trình tham s :
+
=
=
+

(
)
= +
Ph ng trình chính t c khi
:

ng c a hai vector

, , đ ng ph ng:

KHO NG CÁCH VÀ GÓC
Kho ng cách
,( )
|
+
+
+ |
=
+
+
,
( , )=
| |
[ , ].
( , )=
|[ , ]|

- Tham s đi m c t ( ).
- T (*) gi i PT n .

Góc
(
(

,

)=

|
|

. |
|. | |

| . |
| |. | |
| . |
,( ) =
| |. | |

), (

) =


M TC U
M t c u (S) tâm ( ; ; ), bán kính :
) =
) +(
) +(

(
Ng c l i, m t c u (S) có ph ng trình:
+
+ +
+
+
+ =
+
+
> thì có:
V i đi u ki n
tâm ( ;
; ) và bán kính =
+
+
M t c u (S) ti p xúc mp(P) M t c u (S) c t mp(P)

D CH CHUY N KHO NG CÁCH VÀ DÙNG TH TÍCH

TH TÍCH L NG TR

T S
t

t

=

;

=

;

=

=

;

=

=

;

;..

( )

.
.

- K:
,( ) =
- Ti p đi m là hình chi u
c a lên (P).
Chú ý:
- T ng t đ i v i v trí c a m t c u và đ ng th ng. Ch
khác tr ng h p đ ng c t m t c u s là m t dây cung.

- V trí t ng đ i c a hai m t c u t ng t v trí t ng đ i
c a hai đ ng tròn THCS. Ch khác khi c t nhau thì thi t
di n là đ ng tròn.
M TS

V N

NÂNG CAO

CÁC CÔNG TH C TÍNH TH TÍCH TÚ DI N

=

.

.

.

(

,

)

=

.

.

.

(

,

Công th c tính góc nh di n
bi t 3 góc tam di n:
=

=

.

.

+

.
.

)

+

.

.

PH

=

NG PHÁP TR I PH NG TÌM QUÃNG

( )=

+

NG MIN

Hình chóp giác đ u có các
góc đ nh c a m t bên là
< .
G i là trung đi m . Tìm
quãng đ ng ng n nh t đi
t
đ n mà ph i đi qua 4
m t bên c a hình chóp.

Gi i
Tr i ph ng 4 m t bên c a hình chóp. Chú ý là b n sao
c a .
Quãng đ ng ng n nh t là
trong
.
Tính
s d ng đ nh lý hàm s cos trong tam giác
v i

=
, hai c nh bên là và , v i là c nh bên hình
chóp.

=

,( ) =

+

=

Th y L c Trí Tuyên – 0972177717

Th y L c Trí Tuyên – 0972177717

- K:
,( ) < .
- Thi t di n là đ ng tròn
tâm là hình chi u c a lên
(P) và bán kính =

=

+

=

TÍNH GÓC NÂNG CAO
Dùng kho ng cách t đi m M b t k

,( ) =

,( )

Di n tích hình chi u

,( )
( , )
Dich chuy n song song
( ), ( ) =

Khi d ch chuy n đ ng
hay m t song song thì góc
không đ i.
NGUYÊN T C T A
HÓA HÌNH KHÔNG GIAN
Ch n
và
là hai
đ ng vuông góc đáy:
- S n có v i tam giác
vuông, hình ch nh t,
vuông, thoi.
- K trung tuy n v i tam
giác đ u.
- Nh th m i d xác đ nh
t a đ các đi m đáy.
Không c n k
vì cao đ chính là chi u cao c a hình

- T a đ S suy ra t t a đ H