BÀI GIẢNG: ỨNG DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU ĐỂ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC
CHUYÊN ĐỀ: HÀM SỐ VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN
MÔN TOÁN LỚP 12
THẦY GIÁO: NGUYỄN QUỐC CHÍ
I. CÁCH CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC
Yêu cầu chứng minh: f(x) > g(x)
+) Chuyển hết các số hạng về một vế ( sao cho có dạng f(x) > 0)
+) Chứng minh f(x) luôn đồng biến hoặc nghịch biến trên TXĐ
+) Sử dụng tính chất của đồng biến hay nghịch biến để chứng minh.
Bài tập ví dụ
VD1: Chứng minh rằng sin x x x 0.
Hƣớng dẫn giải
sin x x x sin x 0
+) Gọi f(x) = x – sinx x 0; f ' x 1 cos x.
Vì 1 cos x 1 1 cos x 0 f ' x 0 x
Hàm số f(x) đồng biến.
+) Ta có: x > 0 f(x) > f(0) x – sinx > 0 x > sinx. (đpcm)
VD2: Chứng minh rằng cos x 1
x2
x 0.
2
Hƣớng dẫn giải
x2
x2
cos x 1 0
2
2
x2
)f x
cos x 1
2
)f ' x x sin x
cos x 1
)g x x sin x
Làm tương tự như VD1 ta có: x – sinx > 0
f’(x) > 0 Hàm số luôn đồng biến x 0
x2
+) x > 0 f(x) > f(0) cos x 1 0 (đpcm)
2
II. CÁCH CHỨNG MINH PHƢƠNG TRÌNH CÓ NGHIỆM.
+) Bước 1: Đưa phương trình về dạng f(x) = 0
nhẩm ra một nghiệm của phương trình
+) Bước 2: Nhận xét f(x) luôn đồng biến hoặc nghịch biến
Phương trình có nghiệm duy nhất
Bài tập ví dụ
VD1: Chứng minh rằng
1
x 1 x3 3x2 4x 5 có nghiệm duy nhất
Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử
- Địa – GDCD tốt nhất!
Hƣớng dẫn giải
ĐK: x 1
x 1 x3 3x 2 4x 5
x 1 x3 3x 2 4x 5 0.
+) Gọi f x x 1 x3 3x2 4x 5
Dễ thấy f(2) = 0 Phương trình có một nghiệm là x = 2.
1
3x 2 6x 4
2 x 1
1
f ' x
3x 2 6x 3 1
2 x 1
1
f ' x
3 x 2 2x 1 1
2 x 1
1
2
f ' x
3 x 1 1 0
2 x 1
f ' x
f(x) đồng biến với mọi x 1.
x = 2 là nghiệm duy nhất của phương trình.
VD2: Chứng minh rằng: x5 x2 2x 1 0 có nghiệm duy nhất
Hƣớng dẫn giải
x 5 x 2 2x 1 0
x5 x 2 2x 1
x5 x 1
2
) x 1 0 x 5 0 x 0 x 1 1 x 5 1 x 1
2
2
+) Đặt f x x5 x2 2x 1
Xét f(x) trên (1; 2)
f 1 3
f 1 .f 2 69 0
Ta có
f 2 23
Vì hàm số liên tục trên (1; 2) Phương trình f(x) = 0 có ít nhất 1 nghiệm thuộc (1;2)
)f ' x 5x 4 2x 2
x 4 4x 4 4x 2x 2
x 4 4x x 3 1 2 x 1 0
f(x) luôn đồng biến trên tập xác định
Vậy phương trình f(x) = 0 có nghiệm duy nhất.
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Câu 1: Chứng minh các bất đẳng thức sau:
a) sin x x với mọi x 0 .
x2
với mọi x 0 .
2
Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử
- Địa – GDCD tốt nhất!
b) cos x 1
2
c) 2sin x tan x 3x với x 0; .
2
d) tan x x
x3
với x 0; .
3
2
Câu 2: Chứng minh các phƣơng trình sau có nghiệm duy nhất.
a) 3 cos x 1 2sin x 6 x 0
b) x3 x2 3x 2 0
HƢỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT
THỰC HIỆN: BAN CHUYÊN MÔN TUYENSINH247.COM
Câu 1:
a) sin x x với mọi x 0 .
Xét hàm số f x sin x x trên 0; ta có: f ' x cos x 1 .
Do 1 cos x 1 1 cos x 1 2 cos x 1 0 f ' x 0 x và bằng 0 tại hữu hạn điểm.
Hàm số f x sin x x nghịch biến trên R.
Do đó hàm số f x sin x x nghịch biến trên 0;
Mà x 0 f x f 0 sin 0 0 0 x 0;
Vậy f x sin x x 0 sin x x với mọi x 0 .
b) cos x 1
x2
với mọi x 0 .
2
Xét hàm số f x cos x 1
x2
trên R \ 0 .
2
Ta có : f ' x sin x x g x
Ở ý a) ta đã chứng minh được hàm số h x sin x x nghịch biến trên R g x sin x x luôn đồng
biến trên R.
Với x 0 g x g 0 0 f ' x 0
Với x 0 g x g 0 0 f ' x 0
3
Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử
- Địa – GDCD tốt nhất!
Hàm số đồng biến trên 0; và nghịch biến trên ;0 .
x 0 f x f 0 cos 0 1 0 0
x 0 f x f 0 0
Vậy với x 0 thì f x 0 cos x 1
x2
x2
0 cos x 1 .
2
2
c) 2sin x tan x 3x với x 0; .
2
1
2cos3 x 3cos 2 x 1
3
Xét hàm số f x 2sin x tan x 3x trên 0; ta có f ' x 2cos x
cos 2 x
cos 2 x
2
Đặt t cos x t 0;1 , xét hàm số f t 2t 3 3t 2 1 trên 0;1 ta có :
t 0
; f ' t 0 t 0;1 Hàm số nghịch biến trên 0;1
f ' t 6t 2 6t 0
t 1
f 0 f t f 1 t 0;1
1 f t 0 t 0;1
2 cos3 x 3cos 2 x 1 0 x 0; f ' x 0 x 0;
2
2
Vậy hàm số y f x đồng biến trên 0;
2
f 0 f x f x 0;
2
2
f x 0 x 0;
2
2sin x tan x 3x 0 x 0; 2sin x tan x 3 x x 0;
2
2
x3
d) tan x x
với x 0; .
3
2
x3
Xét hàm số f x tan x x
trên 0; ta có :
3
2
f ' x
1
1 x 2 1 tan 2 x 1 x 2 tan 2 x x 2 tan x x tan x x
2
cos x
Với x 0; thì tan x x 0 .
2
4
Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử
- Địa – GDCD tốt nhất!
1
1
Xét hàm số g x tan x x trên 0; ta có : g ' x
cos 2 x
2
1
1
Với x 0; cos x 0;1 cos 2 x 0;1
1
1 0
2
cos x
cos 2 x
2
Hàm số đồng biến trên 0; .
2
g 0 g x g x 0; g x g 0 0
2
2
tan x x 0 x 0; f ' x 0 x 0;
2
2
Hàm số f x tan x x
x3
đồng biến trên
3
0;
2
x
f x f 0 0 x 0; tan x x
x 0; .
3
2
2
3
Câu 2 :
a) 3 cos x 1 2sin x 6 x 0
Xét hàm số f x 3 cos x 1 2sin x 6 x ta có f 0 0 x 0 là nghiệm của phương trình.
Ta có
f ' x 3sin x 2 cos x 3 2 1 3 1 sin x 2 cos x 1 1
sin x 1 1 sin x 0
cos x 1 cos x 1 0
f ' x 0 x R
Hàm số đồng biến trên R Phương trình có nghiệm duy nhất x 0 .
b) x3 x2 3x 2 0
Xét hàm số f x x3 x 2 3x 2 ta có
2
2
1 8
1 8
f ' x 3x 2 x 3 3 x 2 x 3 x 0 x R
3
9 3
3 3
2
Hàm số luôn nghịch biến trên R.
Ta có f 0 2; f 1 1 f 0 . f 1 0 Phương trình có nghiệm duy nhất x0 0;1 .
c) x5 x3 7 0
5
Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử
- Địa – GDCD tốt nhất!
Xét hàm số f x x5 x3 7 ta có : f ' x 5x4 3x2 x2 5x2 3 0 Hàm số y f x đồng biến
trên R.
Ta có f 1 5; f 2 33 f 1 . f 2 0 Phương trình có nghiệm duy nhất x0 1; 2 .
6
Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử
- Địa – GDCD tốt nhất!