áp dụng một số bất đẳng thức đơn giản để chứng minh bất đẳng thức trong chương trình đại số lớp 10

Giáo viên : Trần Lê Thuấn

Trung tâm GDTX Quảng Xương
A. PHẦN MỞ ĐẦU

I. Lý do thực hiện đề tài:
1. Cơ sở lý luận:
Bất đẳng thức là một trong những phần rất quan trọng trong chương trình
tốn phổ thơng. Nó có mặt trong tất cả các bộ mơn Số học, Hình học, Đại số,
Lượng giác và Giải tích. Các bài tốn về bất đẳng thức tỏ ra có sức hấp dẫn mạnh
mẽ từ tính độc đáo của các phương pháp giải chúng. Chính vì thế bất đẳng thức là
chun đề được mọi người quan tâm đến rất nhiều.
Tuy nhiên, việc giải quyết một bài toán về chứng minh bất đẳng thức không
hề đơn giản, yêu cầu không chỉ nắm vững các kiến thức cơ bản, mà còn phải biết
vận dụng linh hoạt, sáng tạo các phương pháp đã học kết hợp với kỹ năng biến đổi,
suy luận, dự đoán, ...
2. Cơ sở thực tiễn:
Khi học toán, học sinh thường thấy “sợ” khi nhắc đến bất đẳng thức, cho rằng
bất đẳng thức là một phần rất khó khơng thể giải được. Ngun nhân là học sinh
không biết cách lựa chọn phương pháp thích hợp để giải. vì vậy một bài tốn đơn
giản cũng trở nên “vơ cùng khó” đối với các em.
Với mong muốn đóng góp vào việc nâng cao chất lượng dạy và học về bất
đẳng thức, đem lại cho học sinh cách nhìn mới về bất đẳng thức, tơi nghiên cứu đề
tài:
“Kinh nghiệm áp dụng một số bất đẳng thức đơn giản để chứng minh bất đẳng
thức trong chương trình đại số lớp10”
II. Phương pháp nghiên cứu:
1. Phương pháp nghiên cứu lý luận;
2. Phương pháp điều tra thực tiễn;
3. Phương pháp thực nghiệm sư phạm;
4. Phương pháp thông kê.

Trang 1


Giáo viên : Trần Lê Thuấn

Trung tâm GDTX Quảng Xương

III. Đối tượng nghiên cứu:
Các bài toán chứng minh bất đẳng thức sử dụng bất đẳng thức
(*)
(**)
(***)

B. PHẦN NỘI DUNG
1. Ứng dụng của bài toán bất đẳng thức đơn giản :
Chúng ta biết rằng chứng minh bất đẳng thức là một chun đề rất hấp dẫn bởi nó
địi hỏi cao về kỹ năng và tư duy sáng tạo của học sinh. Ở đề tài này tôi muốn giới
thiệu một số bất đẳng thức được khai thác và phát triển từ một bất đẳng thức đơn
giản trong sách giáo khoa Đại số 10.
a.Ví dụ 1(Bài 4 trang 79, SGK Đại số 10- Ban cơ bản)
Chứng minh rằng : Nếu
(*)
Đẳng thức xảy ra khi nào ?
Chứng minh :
Cách 1 :
(*)

Bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b
Cách 2 :
Ta có

(vì
). Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a=b
Nhận xét 1 : Vì a,b là hai số dương nên từ (*) ta có thể suy ra một bất đẳng thức
mới
Ở bài toán này nhiều giáo viên cho là dễ nên có thể khơng cần phải hướng dẫn hoặc
hướng dẫn qua loa. Như vậy là vấn đề cơ bản chưa được giải quyết đã bỏ sót một
trong những yếu tố quan trọng trong phát triển tư duy cho học sinh. Theo tôi, cần
cho học sinh suy nghĩ và hướng dẫn khai thác các bài toán qua đó vận dụng từ bài
tốn đơn giản trên để hướng dẫn giải các bài tốn có liên quan.
Trang 2


Giáo viên : Trần Lê Thuấn

Trung tâm GDTX Quảng Xương

Bài 1: Cho a,b ≥0, chứng minh rằng
(1)
Hướng dẫn : Bất đẳng thức (1) được chứng minh nhờ việc áp dụng nhận xét trên 3
lần
Bài 2 : Cho a,b,c là ba số thực không âm. Chứng minh rằng :
Chứng minh :
Áp dụng bất đẳng thức (*) ta được

Cộng vế với vế các bất đẳng thức trên ta có :
(1)
Mặt khác áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số thực không âm ta được :
(2)
Từ (1) và (2) suy ra điều phải chứng minh
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b=c

Nhận xét 2 : Thực chất đây là một dạng khai thác bài tốn trên dưới dạng cách nhìn
khác mà thôi. Tuy nhiên nếu như học sinh không biết vận dụng ví dụ trên thì liệu
bài tốn trên học sinh giải được không phải đơn giản chút nào. Và ở bài tốn sau
đây, chúng ta có thể đặt thêm một vấn đề nhằm khai thác bài toán trên với việc
ab=1. Ta lại có bài tốn mới sau.
Bài 3: Cho a
và ab=1. Chứng minh rằng

Chứng minh :
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với
Áp dụng bất đẳng thức (*) và bất đẳng thức Côsi cho hai số không âm ta có
(đpcm)
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b=1

Trang 3


Giáo viên : Trần Lê Thuấn

Trung tâm GDTX Quảng Xương

Bài 4 : Chứng minh rằng
Trong đó a,b,c là ba số thực dương.
Chứng minh :
Áp dung bất đẳng thức (*) ta được

(1)
Mặt khác áp dụng bất đẳng thức Côsi cho ba số thực dương ta được
Từ (1) và (2) suy ra điều phải chưng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b=c
Nhận xét 3: Ta có thể chuyển tải bài tốn trên về những bài tốn mũ, thì việc quy

lạ về quên tạo cho chúng ta dễ dàng hơn trong việc khai thác các bài toán tương tự
nhằm phát huy tư duy của học sinh.
Bài 5:
Cho ba số a,b,c
. Chứng minh rằng
Chứng minh
Áp dụng bất đẳng thức (*) ta có

(1)
Mặt khác
Từ (1) và (2) suy ra điều phải chứng minh
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b=c=0
Bài 6 : Cho ba số dương a,b,c. Chứng minh rằng :

(2)

Chứng minh :
Áp dụng bất đẳng thức (*) ta có

Trang 4


Giáo viên : Trần Lê Thuấn

Trung tâm GDTX Quảng Xương

Tương tự
,
Cộng các bất đẳng thức trên vế với vế ta được điều phải chứng minh
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b=c

Bài 7 : Chứng minh rằng với ba số dương a,b,c bất kì ta có
Chứng minh
Áp dụng bất đẳng thức (*) ta được

Tương tự
,
Cộng vế với vế các bất đẳng trên ta được điều phải chứng minh
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b=c
Bài 8 : Cho x,y,z là ba số thực dương và xyz=1. Chứng minh rằng

Chứng minh :
Áp dụng bất đẳng thức (*) ta được

Trang 5


Giáo viên : Trần Lê Thuấn

Trung tâm GDTX Quảng Xương

Tương tự

,
Cộng vế với vế các bất đẳng thức trên ta được

Mặt khác áp dụng bất đẳng thức Cơsi ta có
Từ (1) và (2) suy ra điều cần phải chứng minh.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x=y=z=1
Bài 9 : Cho a,b,c là ba số thực dương. Chứng minh rằng :

(2)

Chứng minh :
Áp dụng bất đẳng thức (*) ta được

Tương tự

,

Cộng vế với vế các bất đẳng thức trên ta được điều phải chứng minh
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b=c
Nhận xét 4 : Nếu ở bài toán trên chúng ta cộng điều kiện nữa abc=1, ta có bài toán
mới sau đây
Bài 10 : Cho a,b,c là ba số thực dương và abc=1. Chứng minh rằng :

Nhận xét 5 : Nếu ta lại đặt
ta lại có bài tốn mới sau
Bài 11 : Cho x,y,z là ba số thực dương và xyz=1. Chứng minh rằng :

Trang 6


Giáo viên : Trần Lê Thuấn

Trung tâm GDTX Quảng Xương

Nhận xét 6 : Ta lại bỏ đi điều kiện xyz=1 Ta lại có bài tốn mới khó hơn
Bài 12 : Cho x,y,z là ba số thực dương. Chứng minh rằng :

Bài 13 : Cho a,b,c

thỏa mãn

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức S=a+b+c
Nhận xét 7 : Việc chứng minh các bài tốn 10,11,12,13 khơng khó, nếu biết sử
dụng linh hoạt các bài toán tương tụ bài 9. Nếu học sinh không biết vận dụng bài 9
(Tức sẽ vận dụng ví dụ 1) thì e là sẽ khó làm đối với các em học sinh, kể cả đội
tuyển học sinh giỏi.
Bài 14 : Chứng minh rằng :

Trong đó a,b,c là các số thực dương.
Chứng minh :
Áp dụng bất đẳng thức (*) ta được :

Tương tự

Cộng vế với vế các bất đẳng thức trên ta được :

Mặt khác áp dụng bất đẳng thức Cơsi ta có

Trang 7


Giáo viên : Trần Lê Thuấn

Trung tâm GDTX Quảng Xương

Từ (1) và (2) suy ra điều phải chứng minh
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b=c
Nhận xét 8 : Nếu chúng ta lại đặt

Ta lại có bài tốn mới

sau
Bài 15 : Chứng minh rằng
Trong đó x,y,z là ba số thực
dương và xyz=1.
Nhận xét 9 : Từ bài toán vừa nêu, nếu chúng ta đặt
thì ta có
thể giải bài tốn 5 đơn giản hơn
Bài 16 : Cho ba số a,b,c thỏa mãn điều kiện a+b+c=0. Chứng minh rằng
Hướng dẫn : Bài toán này trở về việc chứng minh bất đẳng thức
Áp dụng bài tốn 15 ta có ngay kết quả.
Nhận xét 10 : Ta lại có bài tốn tổng qt bài toán 15 sau đây :
Bài 17 : Cho m là một số không âm; x,y,z là ba số thỏa mãn x+y+z=0.
Chứng minh rằng :
Nhận xét 11 : Từ bài tốn tổng qt trên qua q trình phân tích, nhận định phát
huy tư duy sáng tạo cho học sinh, ta xây dựng bài tốn tổng qt ví dụ 1.
Bài 18 : (Bài tốn tổng qt ví dụ 1)
Cho
là các số thực không âm ,
. Chứng minh rằng :
Chứng minh :
Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho n+1 số thực không âm ta có :
..............................................
Cộng vế với vế các bất đẳng thức trên ta được điều phải chứng minh.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
Áp dụng bất đẳng thức (*) và bất đẳng thức tổng quát vào chứng minh các bất
đẳng thức sau :
Bài 19 : Cho

là các số thực dương ,
. Chứng minh rằng :

Trang 8


Giáo viên : Trần Lê Thuấn

Trung tâm GDTX Quảng Xương

Chứng minh :
Áp dụng bất đẳng thức tổng quát của bất đẳng thức (*) ta có

Mặt khác áp dụng bất đẳng thức Côsi cho mẫu thức của các biểu thức ở vế trái ta
được :

Từ (1) và (2) suy ra điều phải chứng minh
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
Nhận xét 12 : Từ những ví dụ minh họa thêm chúng ta có thể khai thác bài tốn
trên bằng nhiều cách, nhiều hướng khác nhau. Hướng cho học sinh hiểu rõ được
những vấn đề cơ bản của nó, học sinh sẽ giải quyết được các bài toán trên đây dễ
dàng hơn, qua đó nâng cao hứng thú tìm tịi, rèn luyện tư duy khai thác và sáng tạo
của học sinh.
b/Ví dụ 2 :
Chứng minh rằng nếu
(**)
Đẳng thức xảy ra khi nào ?
Chứng minh :
(**)

Bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b
Bài 1 : (Bài tốn tổng qt)
Cho
là các số thực khơng âm ,
. Chứng minh rằng :
Trang 9


Giáo viên : Trần Lê Thuấn

Trung tâm GDTX Quảng Xương

Chứng minh :
Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho n+2 số thực khơng âm ta có :
.................................................................
Cộng vế với vế các bất đẳng thức trên ta được điều phải chứng minh
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
Áp dụng bất đẳng thức (**) và bất đẳng thức tổng quát vào chứng minh các
bất đẳng thức sau.
Bài 2 : Cho hai số dương a,b .Chứng minh rằng :

Chứng minh :
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với
Đây chính là bất đẳng thức (**) cho hai số dương
chứng minh.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b

nên ta được điều phải

Bài 3 : Chứng minh rằng :

Trong đó a,b,c là ba số thực không âm.
Chứng minh :
Áp dụng bất đẳng thức (**) ta có

Cộng vế với vế các bất đẳng thức trên ta được :
(1)
Mặt khác áp dụng bất đẳng thức Cô si cho hai số khơng âm ta có
(2)
Từ (1) và (2) suy ra điều phải chứng minh.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b=c
Bài 4 : Cho ba số dương a,b,c. Chứng minh rằng :

Trang 10


Giáo viên : Trần Lê Thuấn

Trung tâm GDTX Quảng Xương

Chứng minh :
Áp dụng bất đẳng thức (**) ta có

Cộng vế với vế các bất đẳng thức trên ta được :

Mặt khác áp dụng bất đẳng thức Cơ si ta có
(2)
Và áp dụng kết quả Bài 9 ta được
(3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra điều phải chứng minh.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b=c

Bài 5 : Chứng minh rằng :

Trong đó x,y,z là ba số thực dương.
Chứng minh :
Áp dụng bất đẳng thức (**) ta có

Trang 11


Giáo viên : Trần Lê Thuấn

Trung tâm GDTX Quảng Xương

Tương tự

Cộng vế với vế các bất đẳng thức trên ta được điều phải chứng minh
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
Bài 6 : Cho a,b,c là ba số thực dương .Chứng minh rằng :
Chứng minh :
Áp dụng bất đẳng thức tổng quát của bất đẳng thức (**) cho n=3 ta có
(1)
Mặt khác áp dụng bất đẳng thức Cơ si cho ba số dương ta có

Từ (1) và (2) suy ra điều phải chứng minh.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b=c
Nhận xét 13 : Từ bài toán 6, chúng ta có thể khai thác bậc 5, đối với 2 số bằng một
bất đẳng thức
(***) rõ ràng việc chứng minh bất đẳng thức này quả thật
khơng khó. Tuy nhiên, nếu người thầy biết hướng dẫn nhìn nhận khai thác bài tốn
cơ bản trên thì việc nhận ra và chứng minh bài toán này là một việc làm đơn giản,

qua đó ta lại có một bài tốn mới .
Bài 7 :
Các số dương x,y,z có tích bằng 1. Chứng minh rằng :
Chứng minh :
Áp dụng (***) ta có

Tương tự

Trang 12


Giáo viên : Trần Lê Thuấn

Trung tâm GDTX Quảng Xương

Cộng vế với vế các bất đẳng thức trên ta được điều phải chứng minh
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
=1
Các bài tập tương tự
Áp dụng các bất đẳng thức (*), (**) và các bất đẳng thức tổng quát của chúng giải
các bài tập sau :
Bài 8 : Cho ba số dương a,b,c. chứng minh rằng
Bài 9 : Cho a,b,c là ba số dương và

. Chứng minh rằng :

Bài 10 : Cho a,b,c,d là những số thực dương . Chứng minh rằng :

Bài 11 : Cho

là các số thực dương ,

. Chứng minh rằng :

2. Kết Quả :
Khi áp dụng chuyên đề này tôi thấy các em đỡ lúng túng hơn khi gặp các dạng bài
tập trên. Cụ thể :
Lớp
Sĩ số
Giỏi
Khá
Trung Bình
Yếu
10A
25
3
12%
5
20%
15
60%
2
8%
10B
27
1
3,7%
6
22,2%
19

70,4%
1
3,7%
Quan trọng hơn học sinh đã cảm thấy hứng thú hơn với bất đẳng thức, không bị áp
lực phải ngồi học trong các giờ toán, tạo được niềm tin và sự hứng thú trong học
tập .
3.Bài học kinh nghiệm :
Một số kinh nghiệm đúc kết qua việc giảng dạy học sinh phát huy tư duy tốn :
Theo tơi việc phát triển tư duy cho học sinh là một việc làm rất quan trọng của
người thầy giáo. Nó địi hỏi người thầy giáo cần phải biết nhìn nhận để định hướng
các em học sinh biết cách khai thác, vận dụng linh hoạt cách giải, các phương pháp
chứng minh, nhận định bài tốn trên nhiều phương diện. Bản thân tơi trong quá
trình dạy học đã thường xuyên áp dụng và thấy rằng tương có hiệu quả. Để đạt
được những hiệu quả đó, tơi đã thực hiện một số biện pháp sau:
Trang 13


Giáo viên : Trần Lê Thuấn

Trung tâm GDTX Quảng Xương

- Luôn tăng cường tham khảo tài liệu, đặc biệt là nghiên cứu kĩ sách giáo khoa (đây
là một tài liệu quan trọng hơn bao giờ hết), qua đó cố gắng ghi lại những bài tốn
có thể khai thác các ứng dụng của nó, gải bài tốn được trong nhiều cách nhằm
phát huy khả năng sáng tạo và tư duy của học sinh.
- Trong quá trình giảng dạy người giáo viên cần phải biết cách hướng dẫn nhằm
cung cấp cho các em học sinh các phương pháp tiếp cận loại bài tốn đó và thường
xun đặt câu hỏi : Bài tốn này có thể khai thác từ bài tốn nào ?Ứng dụng của nó
ra sao ?
- Giáo viên cần phải chuẩn bị các kiến thức hướng dẫn để học sinh tự khám phá , tự

đặt bài toán tổng quát và độc lập giải quyết nó
- Đứng trước một bài tốn giáo viên cần hướng dẫn và phân tích cho các em học
sinh , phải xem xét nó cách nhìn nhận vấn đề khác nhau, qua đó tìm ra được các
định hướng được cách giải bài toán cho học sinh và cách khai thác ứng dụng của
nó.
- Từ việc khai thác các ứng dụng của nó giáo viên có thể hướng các em học sinh
biết lật ngược được vấn đề, hướng dẫn chuyển đổi các dạng bài toán về các bài toán
mới hay hơn và hiệu quả hơn.
C.PHẦN KẾT LUẬN
Khai thác tiềm năng sách giáo khoa, ứng dụng các bài toán đơn giản sách giáo khoa
vào giải các bài toán khác nhằm phát triển tư duy cho học sinh là việc làm cần thiết
đối với mỗi giáo viên, qua đó phát triển cho học sinh tư duy toán học, khả năng vận
dung và sự linh hoạt trong giải quyết vấn đề. Đi từ những vấn đề đơn giản giải
quyết các vấn đề phức tạp phù hợp với quá trình nhận thức của học sinh, từ đó làm
cho học sinh u thích và hăng say học tập mơn tốn hơn.
Trên đây là một số kinh nghiệm của bản thân đã đúc rút ra trong q trình nghiên
cứu.
Rất mong các cấp chun mơn đóng góp ý kiến, bổ sung để bản thân ngày
càng hồn thiện hơn và có nhiều kết quả tốt hơn.
Xin chân thành cảm ơn !
XÁC NHẬN
CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ

Thanh Hoá, ngày 16 tháng 5 năm 2013
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của
mình viết, khơng sao chép nội dung của
người khác

(Đã ký)

Trang 14


Giáo viên : Trần Lê Thuấn
Nguyễn Xuân Dương

Trung tâm GDTX Quảng Xương
Trần Lê Thuấn (Đã ký)

Trang 15