BÀI tập cơ học CHẤT điểm DÀNH CHO học SINH GIỎI l08

BÀI TẬP CƠ HỌC CHẤT ĐIỂM DÀNH CHO HỌC SINH
GIỎI

1


MỞ ĐẦU
I. LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Cơ học chất điểm là một nội dung chính và cũng là nội dung đầu tiên học
sinh được học khi bắt đầu vào trường chuyên. Phần nội dung này có vai trò rất
quan trọng, nó đặt nền móng để các em có thể học và tìm hiểu các mảng kiến thức
tiếp theo. Tuy nhiên cơ học chất điểm có dung lượng kiến thức và hệ thống bài tập
rất lớn, điều đó khiến nhiều học sinh cảm thấy lúng túng chưa biết sẽ sử đụng đơn
vị kiến thức nào để làm bài. Chuyên đề “BÀI TẬP CƠ HỌC CHẤT ĐIỂM
DÀNH CHO HỌC SINH GIỎI THPT CHUYÊN” sẽ định hướng, gợi ý cách
giải quyết khi gặp một bài tập Vật lí.

II. Nội dung
Nội dung chuyên đề gồm ba phần chính
- Phần một: Lí thuyết chung
- Phần hai: Bài tập mẫu
- Phần ba: Bài tập tham khảo

2


MỤC LỤC

PHẦN MỘT : LÍ THUYẾT CHUNG
I. ĐỘNG HỌC CHẤT ĐIỂM.
1. Các hệ tọa độ

1. 1.Tọa độ Đềcác.
a) Vị trí của chất điểm
Chọn 3 trục vuông góc Oxyz làm mốc.

rr r
i, j , k

Điểm M có thể xác định bằng bán kính vectơ
của

uuuu
r
OM

là các vectơ đơn vị trên các trục ấy.

uuuu
r r
OM = r

hoặc bằng các hình chiếu x, y, z

gọi là các tọa độ Đềcác của chất điểm M.
uuuu
r
r r
r
OM = xi + y j + zk

.

b) Vectơ vận tốc
Vectơ vận tốc
vectơ

uuuur r
OM = r

r
v

của chất điểm M là đạo hàm đối với thời gian t của bán kính

:
r
r dr
r r
r
& + y&j + zk
&
v=
= xi
dt

Vectơ vận tốc có các hình chiếu là đạo hàm của các tọa độ.
c) Vectơ gia tốc
Vectơ gia tốc là đạo hàm của đối với thời gian của vectơ vận tốc, hoặc đạo hàm
bậc hai của bán kính vectơ
r
r

r dv d 2r
r r
r
&+ &
&
a=
= 2 =&
xi
y&j + &
zk
dt dt

3


1.2. Hệ tọa độ cực
a) Tọa độ của chất điểm
Giả sử M chuyển động trong mặt phẳng xOy. Vị
trí của M có thể xác định bằng : độ lớn r > 0 của bán
kính vectơ

uuuu
r
OM

và góc θ mà

uuuu
r
OM

làm với trục Ox

(Hình 1).
b) Vectơ vận tốc
Gọi
ur
J

r
I

là vectơ đơn vị trên bán kính vectơ

là vectơ đơn vị thu được khi quay

thể viết

r
I

uuuu
r
OM

và

900 theo chiều dương (chiều tăng của θ). Ta có

r

r
r = rI

Lấy đạo hàm hai vế theo thời gian ta có
r
r
ur
dr r
= v = r&I + rθ&J
dt

Ta thấy vectơ vận tốc
- Vận tốc xuyên tâm
- Vận tốc phương vị

r
v

có hai thành phần

uu
r r
&
vr = rI

hướng vào tâm O nếu r giảm, hướng ra xa nếu r tăng

uu
r
ur

vθ = rθ&J

Modun của vận tốc là

vuống góc với

uuuu
r
OM

và có chiều quay của

uuuu
r
OM

v = (r&2 + r 2θ&2 )1/2

c) Vectơ gia tốc
Tiếp tục lấy đạo hàm vận tốc đối với thời gian ta có:
r
r
ur
ur
ur
r
&J − rθ&2 I
&I + r&
a = r&
θ&J + r&

θ&J + rθ&

Gia tốc có hai thành phần là:

4


- Gia tốc xuyên tâm
- Gia tốc phương vị

uu
r
r
ar = (&
r&− rθ&2 ) I
uu
r
ur
&
aθ = (2r&
θ&+ rθ&
)J

2. Hệ quy chiếu (HQC). Đổi hệ quy chiếu
2.1. Hệ quy chiếu quán tính.
Là hệ quy chiếu trong đó các định luật của Niutơn nghiệm đúng.
- HQC Copernic: có gốc ở tâm Mặt Trời và ba trục hướng về 3 ngôi sao cố định là
một HQC quán tính.
- HQC Galille: là bất kì HQC nào chuyển động thẳng đều với HQC Copernic, nó
cũng là HQC quán tính.

- HQC địa tâm: có gốc ở tâm Trái Đất và 3 trục song song với 3 trục của Copernic
có thể coi là HQC quán tính ở mức chính xác khá cao.
HQC có gốc và 3 trục gắn với Trái Đất và chuyển động tự quay của Trái Đất nên
không phải là HQC quán tính, nhưng với các thí nghiệm không kéo dài thì có thể gần
đúng là HQC quán tính
2.2. Đổi hệ quy chiếu (cộng vận tốc)
(O1) là HQC mà ta coi là cố định (O)
là HQC lưu động.
Đối với (O) thì chất điểm M vạch ra
quỹ đạo C0 gọi là quỹ đạo tương đối
trong khoảng thời gian t, t + ∆t điểm M
có dịch chuyển tương đối MM’. Vì (O)
chuyển động đối với (O1), C0 cũng cũng
chuyển động, điểm K trùng với M ở thời
điểm t nhưng gắn chặt với (O) có dịch
chuyển MM’’ gọi là dịch chuyển kéo
theo.

5


Tổng hợp hai chuyển động ấy thì đối với (O1) điểm M có dịch chuyển MM1 gọi là
dịch chuyển tuyệt đối, và vạch ra quỹ đạo tuyệt đối C 1. (Hình 2)
Khi ∆t → 0 thì MM’’M1 biến thành một tam giác và ta có:
uuuuur
uuuuur
uuuuuuu
r
MM 1
MM ''

M '' M 1
lim
= lim
+ lim
∆t
∆t
∆t
uuuuur
MM 1
lim
∆t
uuuuur
MM ''
lim
∆t

: vận tốc của M đối với (O1), gọi là vận tốc tuyệt đối

là vận tốc kéo theo

uuuuuuur
M '' M 1
lim
∆t

ur
v1

uu
r

vk

là vận tốc của M đối với (O), gọi là vận tốc tương đối

ur
vt

Vậy ta có công thức cộng vận tốc
ur uu
r ur
v1 = vk + vt

2.3. Đổi hệ quy chiếu (tổng hợp gia tốc)
a) HQC (O) chuyển động tịnh tiến (thẳng hoặc cong). Gia tốc tuyệt đối là tổng
vectơ của các gia tốc tương đối và kéo theo
ur uu
r ur
a1 = ak + at

6


b) HQC (O) quay đều với vận tốc ω. Xét một thanh Ox quay quanh điểm cố định
O với vận tốc góc không đổi ω. Trên Ox có một chất điểm M. xOy là HQC lưu động,

quay đều đối với HQC cố định x1Oy1(Hình 3)
Nếu M đứng yên trên Ox thì vt = 0 , at = 0. Điểm kéo theo K trùng với M. Gia tốc
tuyệt đối trùng với gia tốc kéo theo và là gia tốc hướng tâm a 1 = ak = -ω2OM = const
Giả sử M chuyển động trên Ox với vận tốc tương đối v t. Vận tốc kéo theo là vk
vuông góc với Ox, vì K chuyển động tròn

Nếu vt biến đổi thì có gia tốc tương đối at. Gia tốc kéo theo ak vẫn là gia tốc
hướng tâm, nhưng có môđun biến đối, vì OM biển đổi. Mặt khác v t biến đổi cả về
phương và môđun. Vì vậy gia tốc tuyệt đối (đối với x1Oy1 ) không chỉ bao gồm ak và
at mà còn có một số hạng thứ 3, gọi là gia tốc Côriôlit

uu
r
ac

, xuất hiện do sự biến đổi

môđun của ak và sự biến đổi về phương của vt
Người ta chứng minh rằng:
uu
r
ur ur
ac = 2ω × vt

Vậy gia tốc tuyệt đối gồm 3 số hạng

7


ur uu
r ur uu
r
a1 = ak + at + ac

Gia tốc Côriôlit ac triệt tiêu nếu vt = 0 hoặc

ur
vt

song song với

ur
ω

.

8


II. ĐỘNG LỰC HỌC CHẤT ĐIỂM
1. Các lực thường gặp
1.1. Lực căng
Lực căng là tên gọi chung có các lực xuất hiện bên trong một sợi dây, thanh, v.v…
khi nó bị kéo. Mỗi một đoạn của sợi dây chịu tác dụng của lực căng theo cả hai
hướng, trừ hai điểm cuối của nó. Trong một số trường hợp lực căng dây thay đổi dọc
theo dây. Ví dụ sợi dây có khối lượng hoặc được vắt qua một ròng rọc có ma sát.
1.2. Phản lực
Đây là lực vuông góc với mặt phẳng do mặt phẳng tác dụng lên vật. Thông
thường hợp lực do mặt phẳng tác dụng lên vật là tổng của phản lực và lực ma sát.
Nhưng với các mặt không ma sát như mặt trơn nhẵn thì chỉ có phản lực tồn tại. Sự
xuất hiện của phản lực là do thực ra mặt phẳng bị nén xuống một ít và nó ứng xử
giống như một lò xo rất cứng. Bề mặt sẽ bị nén xuống cho đến khi lực đàn hồi là đủ
lớn để làm cho nó không bị nén thêm nữa.
1.3. Lực ma sát
Lực ma sát là lực có phương song song với bề mặt tác động lên vật thế. Một số bề
mặt ví dụ như giấy nhám, có lực ma sát rất lớn. Còn bề mặt trơn thì cơ bản là không

có lực ma sát. Có hai loại lực ma sát, gọi là ma sát “động” và ma sát “tĩnh”. Lực ma
sát động xuất hiện khi có hai vật chuyển động tương đối với nhau. Một xấp xỉ khá tốt
của lực ma sát động giữa hai vật là nó tỉ lệ với phản lực của chúng. Hệ số tỉ lệ này
được gọi là µk (hệ số ma sát động), trong đó giá trị của µ k phụ thuộc vào hai bề mặt
đang xét. Vì vậy

F = µk N

trong đó N là phản lực. Hướng của lực ma sát là ngược với

chiều chuyển động.
Lực ma sát tĩnh liên quan đến hai vật ở trạng thái không có chuyển động tương
đối với nhau. Trong trường hợp bài toán tĩnh, ta có

F ≤ µs N

trong đó µs là hệ số mà sát

tính

9


1.4. Trọng lực
Xét hai chất điểm có khối lượng M và m, cách nhau một khoảng R. Thì giữa
chúng có lực hấp dẫn xuất hiện có độ lớn

F = GMm / R 2

trong đó G = 6.67 ×10-11m3/

(kg s2). Một vật trên bề mặt Trái Đất chịu ảnh hưởng của lực hấp dẫn bằng
 GM
F = m 2
 R


÷ = mg


trong đó M là khối lượng Trái Đất, R là bán kính Trái Đất. Đây là phương trình
định nghĩa g và chúng ta thu được

g ≈ 9.8

m/s2. Mỗi vật trên bề mặt Trái Đất đều chịu

tác dụng một lực F=mg hướng xuống.
1.5. Lực lò xo
Khi một lò xo bị biến dạng thì sẽ xuất hiện lực đàn hồi làm vật trở lại trạng thái
không biến dạng. Nếu độ biến dạng không quá nhiều thì độ lớn lực đàn hồi tuân theo
định luật Húc
F = k ∆l

trong đó k là độ cứng của lò xo và ∆l là độ biến dạng của lò xo.
2. Các định luật Newton
2.1. Định luật thứ nhất:Nếu một vật không chịu tác dụng của lực nào hoặc
chịu tác dụng của các lực có hợp lực bằng 0, thì nó giữ nguyên trạng thái đứng yên
hoặc chuyển động thẳng đều.
Từ đó ta có điều kiện để một vật cân bằng hoặc chuyển động thẳng đều là tổng

hợp lực tác dụng lên vật bằng không
Một điều mà định luật này đưa ra nó là hệ quy chiếu quán tính, mà được định
nghĩa một cách đơn giản là một hệ quy chiếu mà trong đó định luật thứ nhất đúng.
Định luật một không đúng đối với một hệ quy chiếu bất kì. Ví dụ nó không đúng trong
hệ quy chiếu quay.

10


2.2. Định luật thứ hai:Vectơ gia tốc của một vật luôn cùng hướng với lực tác
dụng lên vật. Độ lớn của vectơ gia tốc tỉ lệ thuận với độ lớn của vectơ lực tác dụng lên
vật và tỉ lệ nghích với khối lượng của vật
ur
r F
a=
m

hoặc

ur
r
F = ma

Và trong hệ tọa độ Đềcác, ta sẽ có 3 phương trình
Fx = ma x ;
Fy = ma y ;
Fz = maz .

2.3. Định luật thứ ba:Khi vật A tác dụng lên vật B một lực thì vật B cũng tác
dụng trở lại A một lực. Hai lực này là hai lực trực đối

uur
uur
FA = − FB

Một điều mà định luật này nói là nếu chúng ta có hai chất điểm cô lập tương tác
với nhau bởi một lực nào đó thì gia tốc của chúng có chiều ngược nhau. Theo một
nghĩa tương đương, định luật thứ ba nói rằng tổng động lượng của một hệ cô lập là
bảo toàn

3. Các định luật bảo toàn.
3.1. Định luật bảo toàn động lượng.
Xét một hệ cô lập gồm N hạt có khối lượng lần lượt m 1, m2,…, mN đang chuyển
động với vận tốc v1, v2, …, vN
Ta có động lượng được định nghĩa bởi biểu thức

ur
r
p = mv

Động lượng của hệ

11


ur
ur
P = ∑ mi vi
uuur uu
r
= ∑ mi vi −G + vG

uuur
uu
r
= ∑ mi vi −G + ∑ mi vG
uuur
uu
r
d ri −G
= ∑ mi
+ ( ∑ mi ) vG
dt
uuur
d ∑ mi ri −G
uur
=
+ M vG
dt
uu
r
= 0 + M vG

(

)

(

)

M là tổng khối lượng các hạt,

uu
r
vG

là vận tốc khối tâm.

Hệ cô lập, theo định luật thứ hai của Newton, ta có:

Từ đó

uu
r

∑F = 0
i

ur
ur
ur
d vi
dP
→ ∑ mi
=0→
= 0 → P = const
dt
dt

Động lượng được bảo toàn. Hay nói cách khác
Trong hệ tọa độ Đềcác. Ta có:

ur uu
r
P = P'

Px = Px ' ; Py = Py ' ; Pz = Pz'

Trong trường hợp ngoại lực tác dụng lên hệ khác không, thì xung lượng của ngoại lực
tác dụng bằng biến thiên động lượng của hệ
uu
r
ur
F
dt
=
m
d
v
∑ i ∑ i i

hay

ur
uu
r
Fdt = M dv

Trong hệ tọa độ Đềcác ta được 3 phương trình
Fx dt = Mdvx
Fy dt = Mdv y

Fz dt = Mdvz

3.2. Định luật bảo toàn năng lượng.
Xét một hệ khối lượng m chịu tác dụng của hợp lực

ur ur
F = F (r )

, công của lực

12


r
uu
r r
dv r
∫ Fr .d r = ∫ m dt .d r
r
dr r
= ∫ m .d v
dt
r r
= ∫ mv.d v
1
= E + mv 2
2

uuur r
V( r ) ≡ − ∫ F( r ) d r

r

Nếu định nghĩa thế năng

r0

thì chúng ta có thể viết

1 2
mv + V( r ) = E
2

Hay nói cách, tổng của động năng và thế năng là một hằng số
V( r ) = mgz

Thế năng trọng trường
V( r ) =

Thế năng đàn hồi

1
2
m ( ∆l )
2

4. Va chạm
Có hai loại va chạm cơ bản giữa các chất điểm, gọi là va chạm đàn hổi (trong đó
động năng được bảo toàn) và va chạm không đàn hổi (trong đó một phần động năng bị
mất đi). Trong bất cứ va chạm nào, thì tổng năng lượng cũng được bảo toàn, nhưng va
chạm không đàn hồi thì một phần năng lượng chuyển thành nhiệt năng thay vì ở dạng

năng lượng của chuyển động tịnh tiến của các chất điểm.
4.1. Vật va chạm với mặt phẳng
Chúng ta chia quá trình va chạm thành hai giai đoạn.
Giai đoạn một: tính từ khi bắt đầu va chạm, vật bị biến dạng. Động năng chuyển
thành thế năng đàn hồi đến khi vật bị biến dạng cực đại thì vận tốc khối tâm theo
phương pháp tuyến với mặt phẳng bằng không
Giai đoạn hai: vật bị biến dạng cực đại sinh ra lực hồi phục. Thế năng đàn hồi sẽ
chuyển thành động năng.
13


Giả sử không có lực ma sát dọc theo mặt phẳng trong suốt quá trình va chạm nên
hợp lực tác dụng lên vật chỉ có thành phần theo phương pháp tuyến với mặt phẳng.
Trong quá trình va chạm diễn ra rất nhanh nên chúng ta có thể bỏ qua ảnh hưởng của
trọng lực (hình 4).
a. Giai đoạn một. Lực nén cực đại của
vật là F. Ta có

ur
uu
r
Fdt = mdv y

b. Giai đoạn hai. Lực hồi phục là
uur
ur
F ' = −k F

(k là hệ số hồi phục). Ta có
uur

uur
F 'dt = mdv y '

Từ đó suy ra:

Theo Oy
Theo Ox

uuur
ur
uuuu
r
uuur uur
uu
r
m dv y
F dt
uur = uuuu
r → dv y ' = − k dv y → v y ' = −kv y
F 'dt mdv y '

uu
r uur
Fx = F 'x = 0 → vx = vx '

Vậy chỉ thành phần vận tốc theo phương pháp tuyến thay đổi, còn thành phần vận
tốc theo phương tiếp tuyến giữ nguyên. Va chạm sẽ được coi là hoàn toàn đàn hồi nếu
hệ số hồi phục k = 1. Lúc này vectơ vận tốc trước và sau sẽ giống như tia sáng bị phản
xạ
4.2. Va chạm xuyên tâm

Xét hệ cô lập gồm hai vật khối lượng m1 có vận tốc v1 va chạm với vật m2 có vận
tốc v2 Chúng ta cũng tiếp tục chia quá trình va chạm thành hai giai đoạn
Giai đoạn một: hai vật bắt đầu va chạm đến khi biến dạng cực đại. Khi đó vận tốc
hai vật bằng nhau
Giai đoạn hai: hai vật hồi phục và chuyển thế năng đàn hồi thành cơ năng.

14


a. Giai đoạn một. Gọi lực tương tác trung bình trong giai đoạn thứ nhất của vật
hai đối với vật một là

ur
F

và khi kết thúc 2 vật chuyển động với cùng vận tốc

uu
r
v0

Áp dụng định luật bảo toàn động lượng cho hệ gồm hai vật
ur
uu
r
r
m1 v1 + m2 v2 = (m1 + m2 )v 0

Đối với riêng từng vật ta có
Vật 1:

Vật 2:

uu
r
ur ur
m1 v0 − m1 v1 = F ∆t

uu
r
uu
r
ur
m2 v0 − m2 v2 = − F ∆t

b. Giai đoạn hai. Gọi lực tương tác trung bình trong giai đoạn hai của vật hai đối
với vật một là

uur
F'

. Ta có

uur
ur
F ' = kF

với k là hệ số hồi phục

Áp dụng định luật bảo toàn động lượng cho hệ gồm hai vật
uu

r
uur
uur
(m1 + m2 )v 0 = m1 v1 ' + m 2 v2 '

Đối với riêng từng vật
Vật 1:
Vật 2:

uur
uu
r uur
m1 v1 ' − m1 v0 = F '∆t
uur
uu
r
uur
m2 v2 ' − m2 v0 = − F '∆t

Giải hệ phương trình ta được
v1 ' =

m1v1 + m2 v2 − km2 (v1 − v2 )
m1 + m2

v2 ' =

m1v1 + m2 v2 − km1 (v2 − v1 )
m1 + m2

Nếu va chạm tuyệt đối đàn hồi thì k = 1 và động năng được bảo toàn.

15


PHẦN HAI : BÀI TẬP MẪU
I. BÀI TOÁN CHUYỂN ĐỘNG CÓ ĐIỀU KIỆN
1. Điều kiện vật rời mặt sàn

Bài 1

:Vật m1 đặt trên mặt bàn nằm ngang không ma

sát và được nối với vật m2 bằng một sợi dây nhẹ, không dãn vắt qua ròng rọc nhẹ, cố
định, không ma sát. Hai vật xem như chất điểm. Hệ được giữ sao cho góc hợp bởi
phần dây nghiêng với phương ngang là α0. (Hình vẽ). Sau khi buông các vật ra, hệ bắt
đầu chuyển động.
1. Tính gia tốc của các vật ngay sau buông chúng ra. Cho gia tốc rơi tự do là g.
2. Cho α0 = 300. Khi góc hợp bởi phần dây nghiêng với phương ngang là

α = α1 = 450

thì vật m1 bắt đầu rời khỏi mặt bàn. Tính tỉ số

m2
m1

.

Hướng dẫn:

Gọi v1, a1; v2; a2 lần lượt là vận tốc và gia tốc của vật 1 và vật 2 tại góc α như hình vẽ.

16


Phương trình định luật II Niu-tơn

Tcosα = m1a1

(1)

m 2g − T = m 2a 2

v1 cos α = v 2 → v1 =
Ta có:

v2
cos α

(2)

(3)

dv1 v 2sinα dα
1 dv 2
v sinα dα
a
=
.
+

.
→ a1 = 2 2 .
+ 2
2
dt
cos α dt cosα dt
cos α dt cosα

(4)

1. Tại thời điểm khi vừa buông các vật ra ta có

α = α 0 v 2 = v1 = 0
,
→

a1 =

a2
cos α 0

(5)

Giải hệ phương trình (1), (2), (5) ta được

a1 =

m 2gcosα 0
m 2 cos 2 α 0 + m1

m 2gcos 2α 0
a2 =
m 2 cos 2 α 0 + m1
m1g
T
=
r
α = α1 = 450
sin α1
N = 0. 
2. Tại
, vật bứt khỏi mặt bàn thì
Suy ra
T=
Mà từ (1) ta có

a1 = gcotα1 = g

m1a1
cosα1

, suy ra

a2 = g −
và

m1a1
m
=g−g 2 1
m 2 sin α1

m2

Gọi H là độ cao của ròng rọc so với mặt bàn

17


cosα
dx
H dα
x = H.
→ v1 = −
=
.
sinα
dt sin 2 α   dt

Thay vào (4) ta được

→

dα v 2sin 2α
=
dt H cos α

v 22
a
a1 = tan 3 α + 2
H
cosα

Với α =α1 = 450 ta tìm được


2m1 
v 22 = gH 1 − 2 +
÷
m2 


2m1 
v12 = 2gH 1 − 2 +
÷
m2 


Hệ bảo toàn cơ năng:

∆h =
Với

1
1
m1v12 + m 2 v 22 = m 2gΔh
2
2

H
H
−

= (2 − 2)H
sin α 0 sin α1

(6)

(7)

(8)

(9)

thay (6), (7), (9) vào (8) ta được
2

 2m1 
2m1
− 3− 2 = 0

÷ + 2− 2 .
m
m
 2 
2

(

)

(

)

Giải phương trình và loại nghiệm ta được:

2m1
m
=1→ 2 = 2
m2
m1

18


Bài 2: Một động cơ nhỏ cố định trên bức tường thẳng đứng ở
độ cao H quay và quấn sợi dây với vận tốc không đổi

v0

H

.Ở

đầu kia của dây có một vật nhỏ có thể chuyển động không
ma sát trên mặt sàn nằm ngang. Hỏi vật sẽ cách bức tường
bao nhiêu khi nó bị tách khỏi sàn. Áp dụng số với

H = 20cm, v 0 = 5cm / s

.

Hướng dẫn:
- Xét ở thời điểm dây hợp với sàn một góc

α

. Gọi x là khoảng cách từ vật đến tường

ở thời điểm ấy. Kí hiệu V là vận tốc của vật, do vận tốc kéo dây là

V0

không đổi nên

ta có :
V ⋅ cos α = V0 ⇒ V =

⇒

dV V0 ⋅ sinα dα V0 sinα
=
⋅
=
⋅ω
dt
cos 2 α dt
cos 2 α

trong đó

ω

V0
cos α

(1)

(2),

là vận tốc góc của vật trong chuyển động quay quanh vị trí đặt động cơ (vì

ta có thể phân tích chuyển động của vật thành hai chuyển động thành phần: chuyển
động dọc theo dây và chuyển động quay quanh điểm đặt động cơ).
x=H⋅

- Mặt khác,

cos α
dx
H
⋅ω
sinα V = − =
dt sin 2 α
;
(3)

ω=

- Từ (1) và (3) ta có :

V0 sin 2 α

H cos α

T ⋅ cos α = ma = m

- Ta lại có :

dV
dt

, sau đó thế vào (2), ta được:

dV V02 sin3 α
=
⋅
dt
H cos 3 α

(4)

(5)

19


- Khi vật bắt đầu rời khỏi sàn thì phản lực của sàn lên vật bằng không, ta có :
T=

mg
sinα

(6)

- Từ (4), (5) và (6) ta có :

cos α V02 sin3 α ⇒ tgα = 4 gH
g⋅
=
⋅
V02
sinα
H cos 3 α
x=

Khi đó vật cách tường một khoảng x :
Với

H = 20cm,V0 = 5cm / s

, ta được :

V2
H
= H4 0
tg α
gH

x = 3,76 cm

.

.

Bài 3:Hai quả cầu nhỏ coi là chất điểm, mỗi quả có khối lượng m,
được lồng vào một vòng cứng, nhẵn có khối lượng M, bán kính R,
được đặt thẳng đứng trên sàn nhà. Tác động nhẹ vào hai quả cầu để
chúng trượt xuống theo vòng sáng hai bên của vòng như hình 1. Để

R

cho vòng nảy lên khỏi sàn trong quá trình chuyển động của hai quả
cầu thì hãy tính:
a) Lực lớn nhất mà hai quả cầu tác dụng lên vòng.

b) Giá trị nhỏ nhất của tỷ số

m
M

.

c) Độ lớn góc α mà tại đó vòng nảy lên.
Hướng dẫn:

20


a) Do tính đối xứng nên hai quả cầu trượt xuống, vòng vẫn đứng yên một chỗ.
Tại vị trí lệch góc α, áp dụng định luật II Newton cho quả cầu ta có:
mg cos α + N = m

v2
R

(1)

Áp dụng định luật bảo toàn cơ năng cho quả cầu ta có:
mv 2
= mgR ( 1 − cos α )
2

(2)

Từ (1) và (2) ta có:
N = mg(2 – 3cosα) (3)
Theo định luật III Newton, mỗi quả cầu tác dụng lên vòng một phản lực có độ lớn
bằng N. Tổng hợp các lực này được lực mà các quả cầu tác dụng lên vòng có
phương thẳng đứng, chiều từ dưới lên và có độ lớn là:
F = 2Ncosα (4)
Thay (3) vào (4) ta có:
2
1 
1 
F = 6mg  −  cos α − ÷ 
3  
 9 

Từ (5) ta có: Fmax =

(5)

2
1
mg ⇔ cos α =
3
3

b) Để vòng nảy lên thì Fmax≥ Mg ⇒
c) Với Fmax = Mg

m 3
≥
M 2

1
1 M
cos α = ±
−
3
9 6m

Thay vào (5) ta tính được:
2. Điều kiện vật đạt đi qua một vị trí xác định
Bài 1:Một vật nhỏ có khối lượng đang trượt trên mặt phẳng nằm ngang nhẵn với vận
tốc thì trượt lên một vật khối lượng như hình vẽ. có chiều cao đỉnh là , ban đầu nêm

21


đứng yên và có thể trượt không ma sát trên mặt phẳng nằm ngang. Bỏ qua ma sát và
mất mát động năng khi va chạm.

1.

Tính giá trị cực tiểu của để vượt qua được nêm cao .

Lấy .
2. Biết , mô tả chuyển động của hệ thống và tìm các vận
tốc cuối cùng của vật và nêm trong hai trường hợp và .
Hướng dẫn:
1.
Trong trường hợp không vượt qua được , khi lên đến điểm
cao nhất nó sẽ có vận tốc tương đối so với bằng , khi đó vận
tốc của hệ là
Nếu gọi là độ cao cực đại mà đạt được, theo định luật bảo toàn cơ năng ta có
Do đó để vượt được qua ta cần có
Hay
2.
Tương tự như phần 1, vận tốc tối thiểu để vượt qua có là
vì vậy trong trường hợp thì không vượt được qua , do đó sẽ trượt lên đến điểm có độ
cao
rồi trượt ngược xuống dưới. Áp dụng định luật bảo toàn động lượng và định luật bảo
toàn cơ năng ta có vận tốc cuối cùng của các vật là

22


Còn đối với trường hợp thì khi trượt lên đến đỉnh của thì nó sẽ có vận tốc tương đối
so với bằng . Do đỉnh nêm là một vị trí cân bằng không bền của nên sẽ có hai khả
năng xảy ra:
Khả năng thứ nhất: trượt ngược trở lại, khi đó vận tốc cuối cùng của các vật là

Khả năng thứ hai: vượt qua , khi đó vận tốc cuối cùng của các vật là



Bài 2: Một vật A coi như một chất điểm có khối lượng m chuyển động với vận tốc v0
E

như hình vẽ, đến gặp một vật cản B có khối lượng
M đang đứng yên trên mặt nằm ngang. Một mặt của

N

vật B là mặt bán cầu đường kính DE=2R. Bỏ qua
m

các loại ma sát và biết rằng sau khi gặp nhau, vật A

chuyển động trên mặt bán cầu của vật B còn B A


v0

M

D
B

chuyển động tịnh tiến trên mặt nằm ngang.

v

a. Tìm điều kiện về 0 để vật A lên tới điểm E.

b. Tính áp lực do vật A tác dụng lên B khi nó ở
trung điểm N của cung DE.
Hướng dẫn:
a.
+ Tại điểm cao nhất, gọi v là vận tốc của m so
với M, V là vân tốc của M
+ Phương trình bảo toàn năng lượng
mv02 m(v − V ) 2
=
+ mg 2 R
2
2

(1)
+ Phương trình lực hướng tâm
N=

mv 2
− mg ≥ 0
R

(2)

23


Suy ra

v0 ≥

(4m + 5M ) gR
M

b. Khi vật ở N thì phản lực Q có phương nằm ngang, Fqt hướng cùng chiều Q.
Gọi vx, vy là các thành phần vận tốc của A hướng theo hai trục như hình vẽ thi:
Q + Fqt =

mv y2

R (3)
mQ
Fqt = ma =
M (4)
2
2
mv02 m(v x + v y )
=
+ mgR
2
2

(M+m)vx=mv0
Giải hệ ta được
Q=

Mmv 2y
( M + m) R

=

(5)

(7)
 mM (2m + M )v 02

M

− 2 gR 
( M + m) R 
(M + M )


3. Điều kiện vật gặp nhau
Bài 1:Một hạt cườm khối lượng m được xỏ qua một sợi dây nhẹ, không giãn chiều dài
L. Một đầu dây buộc cố định tại điểm A, đầu kia

m

buộc vào một cái vòng rất nhẹ, vòng lại có thể
trượt không ma sát trên một thanh ngang Tại

g

h
L

thời điểm ban đầu, dây được giữ ở cạnh vòng và
dây thẳng, không căng. Thả cho hạt cườm

A

chuyển động. Tìm vận tốc của nó ở thời điểm dây bị đứt biết rằng dây chịu sức căng
lớn nhất là T0. Khoảng cách từ A đến thanh là h. Bỏ qua mọi ma sát.
Hướng dẫn:
Chọn hệ tọa độ như hình vẽ. Theo định lý
2

y
g

Pitago:
2

x

O

Trước tiên ta xác định quỹ đạo chuyển động.

Q

AN = QN + QA

(L – y)2 = x2 + (h – y)2

V

T1

F

N
ỏ

T2

2

B

X

P

A
C
Y

24


L+h
x2
−
2(L − h)
y= 2

Như vậy quỹ đạo là parabol.

Phương trình định luật II Newton viết theo phương pháp tuyến:

v2
m = 2T.cosα − mg.cosα
R
với

v = 2g.y

(1)
(2)

còn R là bán kính chính khúc tại N.
Để tìm R ta so sánh quỹ đạo hạt cườm với quỹ đạo một vật ném xiên góc. Chọn
các thông số của quỹ đạo để nó đối xứng với quỹ đạo hạt cườm. Như vậy:
OV
L2 − h 2
=
t
2H
H+L
g
ux =
với H = 2

→ ux =
còn: vy =

g(L − h)
2g(H − y)

Gia tốc pháp tuyến tại N là:

an = g.cos α

2
2
u 2 u x + u y 2g(L − y)
=
=
R
R
= R

2(L − y)
Vậy: R = cos α
Giải các phương trình (1) – (3) được:

mgL
T = 2(L − y)

 mg 
L 1 −
÷
2T0 

Lúc T = T0 thì y =
25