Chuyên đề GIẢI một số bài TOÁN VA CHẠM BẰNG GIẢN đồ l04

Chuyên đề: GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN VA CHẠM BẰNG GIẢN ĐỒ

A. Phần mở đầu:
1. Lý do chọn đề tài:
Trong chương trình bồi dưỡng học sinh giỏi THPT, cơ học là một phân môn quan
trọng, mang tính nền tảng để hình thành tư duy Vật Lý cho học sinh. Trong đó, cơ học
chất điểm là chuyên đề ở đầu, mang ý nghĩa nền tảng để tiếp tục xây dựng những khái
niệm và các định luật cho các phần như cơ học vật rắn hay các chuyên đề về điện. Các
bài toán trong cơ học chất điểm rất phong phú, đa dạng, dễ tưởng tượng và có nhiều ý
nghĩa thực tiễn.
Trong số đó, các bài toán về va chạm là một bài toán quan trọng, có mật độ xuất
hiện tương đối nhiều trong các đề thi học sinh giỏi các cấp. Các bài toán này là các bài
toán ứng dụng triệt để các định luật bảo toàn, chúng không khó về mặt bản chất hiện
tượng mà thường gây khó khăn cho học sinh về việc tính toán. Việc tồn tại nhiều biến số
(đặc biệt là sau khi trải qua các quá trình phức tạp để tạo chuyển động ban đầu) dễ dẫn
đến những hệ phương trình rất nhiều ẩn và tham số, trong đó có cả phương trình bậc nhất,
cả phương trình bậc hai, điều này sẽ gây không ít tâm lý tiêu cực và gây khó khăn cho
việc làm bài của học sinh nếu học sinh vẫn tôn trọng cách làm đại số.
Tuy vậy khi sử dụng đến phương pháp hình học (hay có thể gọi là giản đồ) thì ta có
thể dựa vào các tính chất hình học và các quan hệ trong hình học đã được chứng minh
bằng toán sơ cấp (học sinh đã được học và chứng minh từ cấp 2 hoặc đầu cấp 3) để giảm
nhẹ khối lượng tính toán đi rất nhiều. Từ đó đem lại các kết quả đẹp, đem lại các tính chất
thú vị được tìm ra nhờ các tính chất hình học. Hoặc ta có thể sử dụng giản đồ như một
công cụ trực quan để quan sát và nhận định mối quan hệ giữa các đại lượng. Chính vì vậy
tôi chọn làm chủ đề: GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN VA CHẠM BẰNG GIẢN ĐỒ.
2. Mục đích của đề tài:
- Triển khai phương pháp giản đồ trong việc giải các bài toán va chạm.


- Tìm kiếm những ví dụ mà trong đó thể hiện được tác dụng của phương pháp giản
đồ trong việc giải các bài toán va chạm.

- Tạo ra tài liệu tham khảo cơ bản nhất dành cho các độc giả bắt đầu tìm hiểu bài
toán va chạm.
B. Nội dung:
I. Phần lý thuyết
1. Các khái niệm cơ bản và các định luật bảo toàn:
a. Hệ vật, nội lực và ngoại lực:
- Hệ vật là hệ gồm 2 hay nhiều vật, thường tác dụng với nhau.
- Những lực tương tác của các vật trong hệ với nhau là nội lực, lực các vật ở ngoài
tác dụng lên hệ là ngoại lực.
- Hệ được coi là cô lập nếu như không có ngoại lực tác dụng lên hệ hoặc các ngoại
lực tác dụng lên hệ cân bằng với nhau.
- Hệ được coi là kín khi không có vật chất đi vào hoặc đi ra khỏi hệ
b. Động lượng. Định luật bảo toàn động lượng:
r

r

- Động lượng của 1 vật: p = mv

- Định lý biến thiên động lượng:

r
r
∆p = ∑ F ∆t

, độ biến thiên động lượng của một vật

trong khoảng thời gian Δt bằng xung lượng của tổng các lực tác dụng lên vật trong
khoảng thời gian đó.
r dpr

∑ F = dt
- Định luật II Newton dạng tổng quát:

- Định luật bảo toàn động lượng: Tổng vecto động lượng của một hệ cô lập và kín là
một đại lượng bảo toàn.
c. Động năng, thế năng, định luật bảo toàn cơ năng:
- Động năng của một vật:

Wd =

1 2
mv
2

- Định lý biến thiên động năng: Độ biến thiên động năng của một vật bằng công
toàn phần của các lực tác dụng lên vật.


- Lực thế: lực mà công do nó thực hiện trên một vật không phụ thuộc vào dạng
đường đi mà chỉ phụ thuộc vào các vị trí đầu và cuối của đường đi.
- Thế năng: là một dạng năng lượng gắn với lực thế. Khi một hệ vật tương tác với
nhau bằng một lực thế thì hệ vật dự trữ một thế năng. Khác với động năng, thế năng có
nhiều loại ứng với nhiều loại lực thế khác nhau (thế năng trọng trường, thế năng đàn hồi).
- Cơ năng: lực thế thực hiện công làm tăng động năng của hệ lên bao nhiêu thì đồng
thời cũng làm giảm thế năng của hệ đi bấy nhiêu.
- Định luật bảo toàn cơ năng: Nếu chỉ có lực thế tác dụng giữa các vật trong một hệ
kín và cô lập thì động năng của các vật trong hệ có thể chuyển hóa thành thế năng và
ngược lại, nhưng cơ năng của hệ thì được bảo toàn.
- Thế năng của vật tại VTCB có giá trị cực tiểu (VTCB bền) hoặc cực đại (VTCB
không bền).

2. Va chạm:
a. Cơ chế của sự va chạm:
Thí nghiệm chứng tỏ khi hai vật va chạm nhau chúng bị biến dạng nhỏ, bị dẹt đi và
khi đó chúng có cùng vận tốc. Sau đó chúng lấy lại hình dạng ban đầu và xảy ra sự nhảy
lùi xa nhau. Như vậy va chạm bao gồm hai pha, pha nén và pha dãn.
Thời gian va chạm tuy không bằng 0 nhưng luôn rất nhỏ so với thời gian phân tích
hiện tượng. Do đó có thể coi sự va chạm xảy ra một chỗ trong không gian. Ngoài ra sự
biến thiên vận tốc của hai vật lớn vì chúng tác dụng vào nhau những lực rất lớn.
Ở đây ta được áp dụng được định luật bảo toàn động lượng vì trong thời gian va
chạm, các ngoại lực rất nhỏ so với nội lực (lực va chạm), khi đó ta có thể coi hệ va chạm
là hệ cô lập.
b. Giới hạn của đề tài:
Trong đề tài này tôi xét các va chạm trực diện mà không xét đến sự quay của các vật
được kích thích do xung lực không đi qua khối tâm vật. Bên cạnh đó tôi cũng không xét
các bài toán về lực ma sát xuất hiện trên bề mặt giữa các vật trong quá trình va chạm , từ
đó dẫn đến việc không xét sự quay bất thường xảy ra trong quá trình va chạm. Hoặc nếu
có thì hiệu ứng của chúng được coi là rất nhỏ, không ảnh hưởng đến kết quả của bài toán.


c. Các kiểu va chạm
- Va chạm đàn hồi:
Những va chạm trong đó động năng của hệ được bảo toàn được gọi là va chạm đàn
hồi. Vì vậy va chạm đàn hồi tuân theo các định luật về bảo toàn động năng và động
lượng. Sử dụng các hệ phương trình này để giải bài toán va chạm
r
r
r
r
m1v1 + m2v2 = m1v '1 + m2v '2


 m1v12 m2v22 m1v '12 m2v '22
+
=
+

 2
2
2
2

- Va chạm không đàn hồi: Là va chạm mà động năng của hệ không được bào toàn,
phần động năng mất đi chủ yếu biền thành nhiệt năng.
r
r
r
r
m1v1 + m2 v2 = m1v '1 + m2 v '2

 m1v12 m2 v22 m1v '12 m2v '22
+
=
+
+Q

 2
2
2
2

* Va chạm mềm: Là va chạm mà sau khi va chạm 2 vật chuyển động cùng vận tốc

do dính với nhau.
- Sau va chạm mềm động năng của hệ giảm đi, phần động năng giảm đi chuyển
thành năng lượng biến dạng và nhiệt năng.
r
r
r
m1v1 + m2v2 = ( m1 + m2 ) v '

 m1v12 m2 v22 ( m1 + m2 ) v '2
+
=

 2
2
2

3. Bổ sung toán học:
a. Hình giải tích trong không gian 2 chiều:
* Trong mặt phẳng Oxy cho các điểm
Tọa độ vecto

uuur
AB = ( xB − xA , yB − y A )

A ( xA , y A )

,

B ( xB , yB ) C ( xC , yC )

,

 x + xB y A + y B 
J A
,
÷
2
2 

Tọa độ trung điểm đoạn thẳng AB là
 x + x + x y + yB + yC 
G A B C , A
÷
3
3

Tọa độ trọng tâm của tam giác ABC là 

* Phương trình đường thẳng:

và

D ( xD , y D )


r r r
u
Vecto ( u ≠ 0 ) là vecto chỉ phương của đường thẳng d nếu nó có giá song song

hoặc trùng với đường thẳng d.

r

r

r

Vecto n ( n ≠ 0 ) là vecto pháp tuyến của đường thẳng d nếu nó có giá vuông góc
với đường thẳng d.
r
n ( a, b )
ax
+
by
+
c
=
0
Đường thẳng
có một vecto pháp tuyến là
.

Hai đường thẳng song song có cùng vecto chỉ phương (vecto pháp tuyến)
Hai đường thẳng vuông góc có vecto pháp tuyến của đường thẳng này là vecto chỉ
phương của đường thẳng kia.
r

r

Nếu u , n lần lượt là vecto chỉ phương và vecto pháp tuyến của đường thẳng d thì
rr

u.n = 0 .
2
2
- Phương trình tổng quát của đường thẳng: ax + by + c = 0 ( a + b > 0 )

- Đường thẳng đi qua M(x0,y0) và nhận

r
n ( a, b )

là vecto pháp tuyến có dạng:

r
u ( p, q )

là vecto chỉ phương có phương trình

a ( x − x0 ) + b ( y − y0 ) = 0

- Đường thẳng đi qua M(x0,y0) và nhận

tham số và phương trình chính tắc lần lượt là:
 x = x0 + pt

 y = y0 + qt

x − x0 y − y0
=
q
và p

- Đặc biệt phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm phân biệt

A ( xA , y A )

,

B ( xB , y B )

x − xA
y − yA
=
có dạng: xB − xA yB − y A

- Đường thẳng đi qua M(x0,y0) và có hệ số góc k thì có phương trình đường thẳng
với hệ số góc có dạng:
y = k ( x − x0 ) + y0

* Phương trình đường tròn:
x − a ) + ( y − b) = R2
Đường tròn tâm I(a,b) bán kính R có dạng: (
2

2


Phương trình tiếp tuyến của đường tròn tại M(x0,y0):

( x0 − a ) ( x − x0 ) + ( y0 − b ) ( y − y0 ) = 0
* Góc và khoảng cách:

r

r

Góc giữa hai vecto v và w được tính theo công thức:

rr
v .w
r r
cos ( v , w ) = r r
v.w

r
r
n
n
1
Giả sử và 2 lần lượt là vecto pháp tuyến của các đường thẳng d1 và d2. Khi đó:
r r
n1.n2
cos ( d1 , d 2 ) = r r
n1 . n2

Độ dài vecto

r
u = ( a, b )

r
u = a 2 + b2

là

b. Hình giải tích không gian 3 chiều:
Hệ trục tọa độ Descartes Oxy gồ 3 trục Ox, Oy, Oz đôi một vuông góc với nhau với
r r r
r r r i = j = k =1
3 vecto đơn vị i , j , k (
). Các mặt phẳng (Oxy), (Oyz), (Oxz) đôi một

vuông góc với nhau và được gọi là mặt phẳng tọa độ.
r
r
r
r
r
a ( ax , a y , az ) ⇔ a = ax i + a y j + az k

uuuu
r
r
r r
M ( x, y , z ) ⇔ OM = xi + yj + zk

* Tọa độ của vecto: Cho

r
r
u ( x, y, z ) = v ( x ', y ', z ' )

r r
u = v ⇔ x = x '; y = y '; z = z '

r r
u ± v = ( x ± x ', y ± y ', z ± z ')
rr
u .v = xx '+ yy '+ zz '
r r
u ⊥ v ⇔ xx '+ yy '+ zz ' = 0

r
u = x2 + y 2 + z 2
r
i
r r r r
u ∧ v = [ u, v ] = x
x'

r r
j k
y z
y' z'

;

r
ku = ( kx, ky , kz )


rr

r r
u .v
cos ( u , v ) = r r
u .v

* Tọa độ của điểm: cho

A ( xA , y A , z A )

uuur
AB = ( xB − x A , yB − y A , z B − z A )

AB =

( xB − x A )

2

,

+ ( yB − y A ) + ( z B − z A )
2

B ( xB , yB , z B ) C ( xC , yC , zC )

,

2

 x + xB + xC y A + yB + yC z A + z B + zC 

G A
,
,
÷
3
3
3


Tọa độ trọng tâm tam giác ABC:

* Phương trình mặt phẳng:
Mặt (Oxy): z = 0;
Mặt (Oxz): y = 0;
Mặt (Oyz): x = 0;
r
n = ( A, B , C )

Mặt phẳng đi qua điểm M(x0,y0,z0) có vecto pháp tuyến là
định bởi

A ( x − x0 ) + B ( y − y0 ) + C ( z − z0 ) = 0 ⇔ Ax + By + Cz + D = 0

.

được xác

r

r

Bên cạnh đó một mặt phẳng được xác định bởi cặp vecto chỉ phương u và w sẽ có
r

r

r

vecto pháp tuyến là n = u ∧ w .
* Phương trình đường thẳng:
Đường thẳng đi qua điểm M(x 0,y0,z0) có vecto chỉ phương

r
u = ( a, b, c )

được xác

định:

- Phương trình tham số:

 x = x0 + at

 y = y0 + bt
 z = z + ct
0


x − x0 y − y0 z − z 0
=

=
b
c
- Phương trình chính tắc: a

* Phương trình mặt cầu:
Phương trình mặt cầu (S) có tâm I(a,b,c) và bán kính R được viết dưới dạng:

( x − a)

2

+ ( y − b) + ( z − c) = 0
2

2


II. Bài tập mẫu:
Bài 1: Một vật m1 chuyển động thẳng đều với vận tốc v 01 va chạm trực diện với một
chất điểm khối lượng m2 chuyển động cùng phương với vận tốc v02. Tính tốc độ của mỗi
vật sau va chạm nếu:
a. Va chạm giữa chúng là đàn hồi.
b. Va chạm giữa chúng là mềm.
c. Năng lượng của hệ sau va chạm bằng ε so với trước khi va chạm.
Bài giải:
* Phương pháp các định luật bảo toàn:
Gọi vận tốc sau chạm của chúng lần lượt là v’1 và v’2.
a. Do các vật va chạm đàn hồi, áp dụng các định luật bảo toàn động lượng và định
luật bảo toàn năng lượng, ta lập được hệ phương trình:

r
r
r
r
m1v01 + m2 v02 = m1v '1 + m2 v '2

2
 m1v01
m v2
m v '2 m v '2
+ 2 02 = 1 1 + 2 2

 2
2
2
2

Chiếu hệ phương trình lên phương chuyển động và rút gọn biểu thức ta thu được:


m1v01 + m2 v02 = m1v '1 + m2v '2
 2
2
2
2
m1v01 + m2 v02 = m1v '1 + m2 v '2
m1

v '2 = v02 + m ( v01 − v '1 )
2


⇔
2
m v 2 + m v 2 = m v '2 + m  v + m1 v − v ' 
( 01 1 ) 
2 02
1 1
2  02
 1 01
m2



m1

v '2 = v02 + m ( v01 − v '1 )

2
⇔
2
m ( v 2 − v '2 ) = 2m v ( v − v ' ) + m1 ( v − v ' ) 2
1
1 02
01
1
01
1
 1 01
m2
m1


v '2 = v02 + m ( v01 − v '1 )
⇔
2
 m ( v + v ' ) = 2m v + m ( v − v ' )
1
2 02
1
01
1
 2 01

( m1 − m2 ) v01 + 2m2v02
v '1 =
m1 + m2

⇔
v ' = ( m2 − m1 ) v02 + 2m1v01
 2
m1 + m2


b. Do các vật va chạm mềm, áp dụng các định luật bảo toàn động lượng và định luật
bảo toàn năng lượng, ta thu được phương trình:
r
r
r
m1v01 + m2 v02 = ( m1 + m2 ) v '

Chiếu phương trình trên lên phương chuyển động ta thu được:

m1v01 + m2 v02 = ( m1 + m2 ) v '
⇔ v' =

m1v01 + m2 v02
m1 + m2

c. Do các vật va chạm có sự mất mát năng lượng, theo giả thiết, ta lập được hệ
phương trình:
r
r
r
r
m1v01 + m2v02 = m1v '1 + m2v '2

2
2
m2 v02
1  m1v '12 m2v '22 
 m1v01
 2 + 2 =ε 2 + 2 ÷




Chiếu hệ phương trình lên phương chuyển động và rút gọn biểu thức ta thu được:


m1v01 + m2v02 = m1v '1 + m2v '2

 2

1
2
2
2
m1v01 + m2v02 = ε ( m1v '1 + m2v '2 )
m1

v '2 = v02 + m ( v01 − v '1 )
2

⇔
2
ε m v 2 + m v 2 = m v '2 + m v + m1 v − v ' 
( 01 1 ) 
2 02 )
1 1
2  02
 ( 1 01
m2



m1

v '2 = v02 + m ( v01 − v '1 )

2
⇔
2
 m1 v 2 ε + v 2 ε = m1 v '2 + v 2 + 2 m1 v ( v − v ' ) + m1 ( v − v ' ) 2

02
1
02
02
01
1
01
1
 m2 01
m2
m2
m22
m1

v '2 = v02 + m ( v01 − v '1 )
2

⇔
2
2
2
v '2  m1 + m1  − 2v '  m1 v + m1 v  + 2 m1 v v − v 2 ( ε − 1) − ε m1 v 2 + m1 v 2 = 0

÷

÷
1
02
01
01 02

02
01
01
 1  m22 m2 
m22 
m2
m2
m22
 m2

Xét tam thức bậc 2 trên, điều kiện để hệ có nghiệm là:
2

 m1
m12   m12 m1   m1
m1 2 m12 2 
2
v01 + 2 v01  ≥ 0
 v02 + 2 v01 ÷ −  2 +
÷ 2 v01v02 − v02 ( ε − 1) − ε
m2
m2
m2 
 m2
  m2 m2   m2
2

m
 2 m1 2  2 m12 2 
m2   m2 m   m

⇔  1 v02 + 12 v01 ÷ −  12 + 1 ÷ 2 1 v01v02 − ε  v02
+
v01 ÷+ v02 + 2 v01  ≥ 0
m2
m2 
m2 
 m2
  m2 m2   m2

2
2
 m12 m1  
 2 m1 2   m1
m1 
m12 
⇔ 2 +
v01 ÷ − ε  v02 +
v01 ÷ ≤ 
v02 + 2 v01 ÷
÷ v02 +
m2 
m2   m2
m2
 m2 m2  



2



m1 
v01 ÷
2
 v02 +
m2 

 2 m1 2  
m1 
⇔  v02 +
v01 ÷ − ε  v02 +
v01 ÷ ≤
m2 
m2 
 m2 


1 +
÷
 m1 






m1  
1

v01 ÷ 1 −
 v02 +



m


m

2

2
 1 +
÷
2
m1v01 + m2 v02 )
(
 m1  

⇔ε ≥
=
 2 m1 2 
( m1 + m2 ) ( m1v012 + m2v022 )
v
+
v
 02
01 ÷
m2 

2

Khi đó ta thu được các nghiệm của hệ có dạng:



2
2
m1 ( m1v01 + m2 v02 ) − m1m2 ε ( m1 + m2 ) ( m1v01
+ m2v02
) − ( m1v01 + m2v02 ) 2 


v '1 =
m1 ( m1 + m2 )


2
2
2

m2 ( m1v01 + m2v02 ) + m1m2 ε ( m1 + m2 ) ( m1v01
+ m2v02
− ( m1v01 + m2v02 ) 
)


v ' =
2

m2 ( m1 + m2 )
(1)

hoặc:
2

2
2
ε ( m1 + m2 ) ( m1v01

m
m
v
+
m
v
+
m
m
+
m
v
−
m
v
+
m
v
(
)
(
)

)
1
1
01
2
02
1
2
2
02
1
01
2
02



v
'
=
 1
m1 ( m1 + m2 )


2
2
2

m2 ( m1v01 + m2v02 ) − m1m2 ε ( m1 + m2 ) ( m1v01
+ m2v02

− ( m1v01 + m2v02 ) 
)


v ' =
 2
m2 ( m1 + m2 )
(2)

Hai nghiệm này có thể được chọn hoặc không tùy thuộc vào các điều kiện đầu bài,
thông thường khi vật 1 ở tọa độ nhỏ hơn vật 2 và có vận tốc ban đầu lớn hơn vật 2 thì sau
va chạm vận tốc vật 1 thường nhỏ hơn vật 2, cho nên ta thường chọn nghiệm (1).
* Phương pháp giản đồ:
a. Do các vật va chạm đàn hồi, áp dụng các định luật bảo toàn động lượng và định
luật bảo toàn năng lượng, ta lập được hệ phương trình:
r
r
r
r
m1v01 + m2 v02 = m1v '1 + m2v '2

2
2
 m1v01
m2 v02
m1v '12 m2 v '22
+
=
+


 2
2
2
2

Chiếu hệ phương trình lên phương chuyển động và rút gọn biểu thức ta thu được:
 m1v01 + m2 v02 = m1v '1 + m2 v '2
 2
2
2
2
 m1v01 + m2 v02 = m1v '1 + m2 v '2

Đến đây ta lập một hệ tọa độ Oxy trong đó các tọa độ tương ứng với giá trị các đại
lượng:
 x = m1 v1

 y = m2 v2


Trong đó các thông số vận tốc ban đầu của mỗi vật sẽ được biểu diễn bằng điểm M 0
trên đồ thị có tọa độ:
 x0 = m1 v01

 y0 = m2 v02

Đến đây ta nhận thấy phương trình định luật bảo toàn động năng tương ứng với một
đường tròn tâm là gốc tọa độ, và đi qua điểm M 0. Định luật bảo toàn động lượng tương
tan α = −

ứng với một đường thẳng đi qua M0, và có hệ số góc là α thỏa mãn
y − y0 = −

thẳng có phương trình

m1
( x − x0 )
m2

m1
m2

(đường

).

Ta có giản đồ sau:

γ

β
y

N

M1

α
x

O

M0
Trong đó ta đặt các góc β và γ để xác định các vị trí của điểm M0 và M1 thỏa mãn:


cos β = x0 = m1 v01

sin β = y0 = m2 v02 và

cos γ = x1 = m1 v '1

sin γ = y1 = m2 v '2

Gọi N là giao điểm của M1M0 với Ox, ta thấy rằng:
·
Do γ là góc ngoài của tam giác M1ON nên ta có: γ = α + OM 1 N

Do tam giác OM1M0 cân tại O, xét biểu thức:

(

)

· OM = γ + π − 2OM
· M = γ + π − 2 ( γ − α ) = −γ + 2α + π
β =γ +M
1
0
1

0
⇔ γ = 2α − β + π

Từ đó ta suy ra:

m 
2 − 1 ÷
2 tan α
 m2  = 2 m1m2
tan 2α =
=
m
1 − tan 2 α
m1 − m2
1− 1
m2

tan γ = tan ( 2α − β + π ) = tan ( 2α − β ) =

tan 2α − tan β
=
1 + tan 2α tan β

2 m1m2
m2 v02
−
m1 − m2
m1 v01
1+

2 m1m2
m1 − m2

m2 v02
m1 v01

2m1v01 − v02 ( m1 − m2 )
 2
v 
m1m2 
− 02 ÷
m1v01 ( m1 − m2 )
m2 2m1v01 − v02 ( m1 − m2 )
 m1 − m2 m1v01  = m m
=
=
1 2
2m2 v02
2m2 v02
m1 v01 ( m1 − m2 ) + 2m2v02
1+
1+
m1 − m2 v01
m1 − m2 v01

Đến đây ta thu được biểu thức:
tan γ =
⇔
⇔
=

=

sin γ
⇔
cos γ

m2 v '2
m2 2m1v01 − v02 ( m1 − m2 )
=
m1 v '1
m1 v01 ( m1 − m2 ) + 2m2v02

v '2 2m1v01 − v02 ( m1 − m2 )
=
v '1 v01 ( m1 − m2 ) + 2m2 v02

v01 ( m1 − m2 ) + 2m2 v02 2m1v01 − v02 ( m1 − m2 )
=
v '1
v '2

v01m1 ( m1 − m2 ) + 2m1m2 v02 + 2m1m2 v01 − v02 m2 ( m1 − m2 )
m1v '1 + m2 v '2

v01m1 ( m1 + m2 ) + v02 m2 ( m1 + m2 )
v m +v m
= ( m1 + m2 ) 01 1 02 2 = m1 + m2
m1v '1 + m2 v '2
m1v '1 + m2 v '2

Từ đó ta tìm được:
⇔

v01 ( m1 − m2 ) + 2m2 v02
v '1

=

2m1v01 − v02 ( m1 − m2 )
v '2

= m1 + m2


v01 ( m1 − m2 ) + 2m2 v02
v '1 =
m1 + m2

⇔
v ' = 2m1v01 − v02 ( m1 − m2 )
 2
m1 + m2


b. Do các vật va chạm mềm, áp dụng các định luật bảo toàn động lượng và định luật
bảo toàn năng lượng, ta lập được phương trình:
r
r
r

m1v01 + m2v02 = ( m1 + m2 ) v '

Chiếu hệ phương trình lên phương chuyển động và rút gọn biểu thức ta thu được:
m1v01 + m2v02 = ( m1 + m2 ) v '

Đến đây ta lập một hệ tọa độ Oxy trong đó các tọa độ tương ứng với giá trị các đại
lượng:
 x = m1 v1

 y = m2 v2

Trong đó các thông số vận tốc ban đầu của mỗi vật sẽ được biểu diễn bằng điểm M 0
trên đồ thị có tọa độ:
 x0 = m1 v01

 y0 = m2 v02

Đến đây ta nhận thấy phương trình định luật bảo toàn động lượng tương ứng với
tan α = −

một đường thẳng d1 đi qua M0, và có hệ số góc là α thỏa mãn

có phương trình

y − y0 = −

m1
( x − x0 )
m2

).

m1
m2

(đường thẳng


Do sau va chạm vận tốc hai vật bằng nhau nên điểm M 1 biểu diễn tốc độ của hai vật

ngay sau va chạm nằm trên đường thẳng d2 biểu diễn v1 = v2 hay

y=

m2
x
m1

.
y

d1
M0

d2

M1

O

x

Ta dễ dàng chứng minh được d1 ⊥ d2.
Để tìm tọa độ điểm M1 ta giải hệ phương trình.


m1
m x + m1m2 y0
( x − x0 )  x = 1 0
 y − y0 = −
m2
m1 + m2


⇔

m1m2 x0 + m2 y0
 y = m2 x

y=


m1
m1 + m2



Từ đó ta tìm được:



m1 x0 + m1m2 y0
m1 m1 v01 + m1m2 m2 v02
x =
 m1 v '1 =
m1 + m2
m1 + m2
m v + m2 v02


⇔
⇔ v '1 = v '2 = 1 01

m1 + m2
m1m2 x0 + m2 y0
m1m2 m1 v01 + m2 m2 v02


y
=
m
v
'
=

 2 2
m1 + m2
m1 + m2



c. Do các vật va chạm có sự mất mát năng lượng, theo giả thiết, ta lập được hệ
phương trình:
r
r
r
r
m1v01 + m2v02 = m1v '1 + m2v '2

2
2
m2 v02
1  m1v '12 m2v '22 
 m1v01
+
=
+

÷
 2
2
ε 2
2 



Chiếu hệ phương trình lên phương chuyển động và rút gọn biểu thức ta thu được:
m1v01 + m2 v02 = m1v '1 + m2 v '2

 2
1

2
2
2
m1v01 + m2 v02 = ε ( m1v '1 + m2 v '2 )

Từ đó ta thiết lập giản đồ theo các quy tắc ở phần a và b với một số đặc điểm:
- Đường tròn biểu diễn động năng của hệ ngay sau va chạm đồng tâm O và có bán
kính bằng ε lần so với đường trong động năng của hệ ngay trước va chạm.
- Các giao điểm của d1 với đường tròn là M2 và M3 lần lượt là nghiệm cần tìm của
bài toán.
y
M0
d2

M2

M1

x

O
M3
d1

Đến đây ta nhận thấy điều kiện để bài toán có nghiệm là cần có giao điểm của
đường

tròn

động

năng

sau

2
2
OM 2 ≥ OM 1 ⇔ ε m1v01
+ m2v02
≥ x2 + y 2

như ở phần b.
Khi đó ta có:

va

chạm

với

d 1,

khi

đó

trong đó x, y là các tọa độ của M 1 tìm được


ε ≥

x2 + y 2
2
2
m1v01
+ m2 v02
2

 m1 m1 v01 + m1m2 m2 v02 

÷
÷
m1 + m2
x2 + y 2


⇔ε ≥
=
2
2
2
2
m1v01 + m2 v02
m1v01 + m2 v02

Ta có

 m2 
1 +
÷

 m1 

M 2 M 1 = M 3 M 1 = OM − OM = ε ( m v + m v
2
0

2
2

2
1 01

2
2 02

)

( m1v01 + m2v02 )
=
( m1 + m2 ) ( m1v012 + m2v022 )
2

( m v + m2v02 )
− 1 01

2

m1 + m2



m2
cos α = −
m1 + m2


m1
sin α =

m1 + m2
và 

Khi đã có ε thỏa mãn, ta dễ dàng tìm được các nghiệm của phương trình có dạng:
 xM 2 = x + M 1M 2 cos α

 yM 2 = y + M 1M 2 sin α và

 xM 3 = x − M 1M 3 cos α

 yM 3 = y − M 1M 3 sin α

Thay x, y, M1M2, M1M3, thay các biểu thức xác định chúng vào biểu thức trên ta dễ
dàng tìm lại được các nghiệm của hệ có dạng:

2
2
m1 ( m1v01 + m2 v02 ) − m1m2 ε ( m1 + m2 ) ( m1v01
+ m2v02
) − ( m1v01 + m2v02 ) 2 



v '1 =
m1 ( m1 + m2 )


2
2
2

m2 ( m1v01 + m2v02 ) + m1m2 ε ( m1 + m2 ) ( m1v01
+ m2v02
− ( m1v01 + m2v02 ) 
)


v ' =
2

m2 ( m1 + m2 )
(1)

hoặc:

2
2
m1 ( m1v01 + m2 v02 ) + m1m2 ε ( m1 + m2 ) ( m1v01
+ m2v02
) − ( m1v01 + m2v02 ) 2 


v '1 =

m1 ( m1 + m2 )


2
2
2

m2 ( m1v01 + m2v02 ) − m1m2 ε ( m1 + m2 ) ( m1v01
+ m2v02
− ( m1v01 + m2v02 ) 
)


v ' =
 2
m2 ( m1 + m2 )
(2)


* Bình luận:
- Qua bài tập trên chúng ta nhận thấy rằng một bài toán va chạm trực diện hoàn toàn
có thể được giải bằng phương pháp giản đồ, bằng cách sử dụng các hệ thức lượng giác
(phần b) hoặc các tính chất hình học đặc biệt (phần c). Dĩ nhiên cách làm ở phần b cũng
dùng được để giải phần c và ngược lại. Nhưng trong khuôn khổ chuyên đề tôi không giải
chi tiết mà để lại làm bài giải luyện tập.
- Đặc điểm của phương pháp này là có sử dụng biến phụ và các công thức biến đổi
đơn giản, sử dụng các mối liên hệ hình học đơn giản, thích hợp để xem xét tương quan
các loại tương tác, xu hướng biến đổi các đại lượng khi thay đổi các thông số khác. Bên
cạnh đó các phép tính toán trở nên nhẹ nhàng và đơn giản hơn, các phương trình phải giải
ở bậc nhỏ hơn và độ phức tạp các tính toán giảm đi nhiều.

- Dựa vào các tính chất hình học, ta còn có thể tìm được một số tính chất thú vị
trong va chạm. Ví dụ như va chạm mềm là va chạm mà năng lượng bị hao hụt nhiều nhất
trong quá trình va chạm, hay theo như tính đối xứng của hệ nếu hai vật có khối lượng
bằng nhau.
Bài 2: Ở một góc tường, trên một mặt bàn nằm ngang, nhẵn, dọc theo một đường
thẳng người ta bố trí 2 vật có khối lượng lần lượt là m 1 và m2 (vật m2 sát tường hơn). Ban
đầu vật m2 đứng yên, vật m1 chuyển động đến va chạm đàn hồi trực diện với vật m 2. Hỏi
m1
với tỉ số nào của m2 thì trong hệ chỉ xảy ra đúng 3 va chạm.


m2

m1

Bài giải:
Để đơn giản ta chọn chiều dương của chuyển động là chiều từ m1 đến m2.
Ta dễ nhận thấy vận tốc các vật quyết định khả năng va chạm tiếp theo của chúng.
Điều kiện để chúng không va chạm nữa là: 0 ≤ v1 ≤ v2 .
Ta xét các giai đoạn của vật giữa các lần va chạm.
Chọn hệ trục tọa độ có các trục biểu diễn các đại lượng:
 x = m1 v1

 y = m2 v2

- Giai đoạn 1:

α
M0

x

O

M1
Trong hình điểm M0 biểu diễn vị trí của các vật ngay trước khi va chạm (trạng thái
ban đầu) và điểm M1 biểu diễn vị trí của các vật ngay sau khi va chạm lần đầu tiên.


tan α = −

Hệ số góc của đường thẳng M0M1 lúc này vẫn là

m1
m2

.

- Giai đoạn 2:
Sau khi vật m2 va chạm với tường, nó chỉ thay đổi dấu của vận tốc, còn năng lượng
của hệ và tốc độ của nó không đổi, nên ta thu được:
M2

α
M0

x

O

M1
Khi này điểm M2 đối xứng với M1 qua trục Ox.
- Giai đoạn 3: Sau khi va chạm với tường, vật m 1 lại va chạm với vật m2, khi đó
phương trình định luật bảo toàn động lượng của hệ có hệ số góc giống như phương trình
định luật bảo toàn động lượng của hệ trong quá trình va chạm lần đầu.
Sử dụng điều kiện để các vật không va chạm nhau nữa ta cần tìm điều kiện để cho
M3 nằm ở trong cung nhỏ AB, trong đó B là điểm đối xứng M 0 qua O và A là điểm trên
đường tròn biểu diễn v1 = v2 như hình vẽ:


B
α

A

y
M2

α

M3

O

M0

x

M1
Đến đây theo các tính chất hình học ta dễ dàng chứng minh được:

- OA ⊥ M0M1
-

¼M = M
¼M = M
¼M
M
0
1
0
2
1
3


Do M2 và M3 đối xứng nhau OA nên ta thu được điều kiện để hệ không va chạm nữa
là:
¼ B ≤ M
¼M M ≤ M
¼ A
M
0
0
1
3
0
· OM ≤ π + ·AOB
⇔ π ≤ 2M
0
1

(

)

· M ≤ π + α − π 
⇔ π ≤ 2 π − 2OM
0
1

÷
2

π

⇔ π ≤ 2 π − 2 ( π − α )  ≤ π +  α − ÷
2

π

⇔ π ≤ 2 ( 2α − π ) ≤ π +  α − ÷
2

3π
5π
⇔
≤α ≤
4
6

Do đặc điểm đồng biến của hàm tan nên ta thu được:
3π
5π
≤α ≤
4
6
π
π
⇔ ≤ π −α ≤
6
4
π
π
⇔ tan ≤ tan ( π − α ) ≤ tan
6
4
π
π
⇔ tan ≤ − tan α ≤ tan
6
4
1
m1
⇔
≤
≤1
m2
3
⇔

1 m1
≤
≤1
3 m2

* Bình luận:
Đến đây ta nhận rõ được vai trò và ưu thế tuyệt đối của phương pháp giản đồ trong
việc giải bài toán. Đối với phương pháp động lực học ta phải giải một vài hệ phương
trình và giải quyết bài toán bất đẳng thức với khá nhiều biến số. Tuy nhiên khi dùng
phương pháp giản đồ, bằng việc sử dụng các tính chất hình học, ta đã giảm số lượng và
khối lượng tính toán đi rất nhiều.


Phương pháp này sẽ chứng minh tác dụng của nó khi ta thay đổi điều kiện ban đầu
hoặc tăng số lần va chạm. Cách làm này cũng có thể được dùng để đếm số lần va chạm
khi cho trước
r

Bài 3: Một chất điểm khối lượng m1 đang bay với vận tốc v01 thì va chạm đàn hồi
với một nêm khối lượng m2 đang di chuyển không ma sát trên một mặt bàn ngang với vận
r
v
tốc 02 . Biết góc nghiêng của nêm là α. Tính vận tốc của chúng sau va chạm.

Bài giải:
Do các vật va chạm đàn hồi, áp dụng các định luật bảo toàn động lượng phương
ngang và định luật bảo toàn năng lượng, ta lập được hệ phương trình:
m1v01x + m2 v02 = m1v '1x + m2 v '2

2

2
 m1v01
m2 v02
m1v '12 m2 v '22
+
=
+

 2
2
2
2

Do xung lực tác dụng vào vật m1 có phương vuông góc với mặt phẳng chính của
nêm, áp dụng định luật bảo toàn động lượng ta thu được:
r
r r
m1 ( v '1 − v01 ) = P

Chọn chiều nghiêng của nêm là chiều dương trục Ox (x tăng thì độ cao nêm giảm)
và chiều thẳng đứng hướng lên là chiều dương trục Oy. Ta có:
 m1 ( v '1x − v01 x ) = Px

 m1 ( v '1 y − v01 y ) = Py

Do

Px
v' −v
= − tan α ⇒ 1x 01x = − tan α

Py
v '1 y − v01 y

Tổng hợp lại ta thu được hệ phương trình:


m2
 v '1x − v01x
 v' −v = − m
1
 2 02
2
2
 m1 ( v01x + v01 y ) m v 2 m1 ( v '12x + v '12y ) m v '2
+ 2 02 =
+ 2 2

2
2
2
2

 v '1x − v01x
 v ' − v = − tan α
 1 y 01 y
(3.1)

Đến đây ta thiết lập một hệ trục tọa độ Oxyz (x, y này không giống với x,y khi chọn
hệ tọa độ để chiếu các phương trình chuyển động) trong đó các thành phần tương ứng là:
 x = m1 v1x


 y = m1 v1 y

 z = m2 v2

Trong đó ta dùng điểm

M 0 ( x0 , y0 , z0 )

và

M ' ( x ', y ', z ')

để lần lượt biểu diễn các giá

trị vận tốc trước và sau va chạm.
Khi đó hệ phương trình (3.1) được thu gọn thành
 x − x0
m1 v '1x − v01x
m m
m2
=
=− 1 2 =−

m2 v '2 − v02
m2 m1
m1
 z − z0
 2
2

2
2
2
2
 x + y + z = x0 + y0 + z0
x−x
0

= − tan α
 y − y0


k=−

Đặt

m1
m2

và l = − cot α , các số k và l lúc này đều là hằng số.

Ta thu được hệ phương trình:
y − y0 z − z0

=
 x − x0 =
l
k

 x2 + y 2 + z 2 = x2 + y 2 + z 2

0
0
0


Ta thấy phương trình bên trên là phương trình đường thẳng M 0M’ trong hệ Oxyz, và
phương trình bên dưới là phương trình một mặt cầu tâm O và đi qua M0.


Gọi H là trung điểm của M0M’ ta dễ chứng minh ∆OM 0 M ' cân tại O tên OH ⊥
M0M’.
Do H ∈ M0M’ ⇒

H ( t + x0 , lt + y0 , kt + z0 )

uuur
OH = ( t + x0 , lt + y0 , kt + z0 )
⇒  uuuuuuu
r
 M ' M 0 = ( 1, l , k )

Do OH ⊥ M0M’

uuur uuuuuuu
r
⇒ OH .M ' M 0 = 0

⇒ t + x0 + l ( lt + y0 ) + k ( kt + z0 ) = 0
⇒t =−

x0 + ly0 + kz0
1+ l2 + k2

Do H là trung điểm của đoạn M0M’ nên ta thu được:

2 ( x0 + ly0 + kz0 )
 x ' = 2 xH − x0 = 2t + x0 = x0 −
1+ l2 + k 2

2l ( x0 + ly0 + kz0 )

 y ' = 2 yH − y0 = 2lt + y0 = y0 −
1+ l 2 + k 2


2k ( x0 + ly0 + kz0 )
 z ' = 2 z H − z0 = 2kt + z0 = z0 −
1+ l2 + k2


Đến đây bằng cách thay các số ở đầu bài vào ta sẽ dễ dàng thu được kết quả của bài
toán, nhưng do sự phức tạp của nó mà tôi sẽ không trình bày cụ thể đáp án.
* Bình luận:
Đến đây bằng cách sử dụng các công cụ hình học, thì ta nhận thấy rằng ta giải bài
toán va chạm này mà hoàn toàn không cần giải phương trình bậc hai. Việc này giúp ta
giảm số lượng và khối lượng tính toán cần thiết.
Bên cạnh đó bài toán này ngoài việc nghiệm đúng lại trường hợp 1 chiều, ta có thể
mở rộng ra để giải rất nhiều bài toán khác:
- Bài toán 1 vật khối lượng m va chạm đàn hồi với một bán cầu có thể chuyển động
không ma sát