CHUYÊN ĐỀCHUYỂN ĐỘNG của CHẤT điểm l05

CHUYÊN ĐỀ:CHUYỂN ĐỘNG CỦA CHẤT ĐIỂM

TRONG HỆ PHI QUÁN TÍNH



MỤC LỤC
PHẦN MỞ ĐẦU
I. LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI
II. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU
PHẦN NỘI DUNG

I. KHÁI NIỆM HỆ QUI CHIẾU KHÔNG QUÁN TÍNH
II. LÖÏC QUAÙN TÍNH
III. ĐỘNG HỌC
IV. ĐỘNG LỰC HỌC
V. CÁC ĐỊNH LUẬT NĂNG LƯỢNG TRONG HỆ PHI QUÁN TÍNH
VI. MỘT SỐ BÀI TẬP MINH HỌA
KẾT LUẬN
TÀI LIỆU THAM KHẢO


PHẦN MỞ ĐẦU
I. LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Chuyển động của chất điểm trong hệ phi quán tính có khác so với trong hệ quán tính. Đối với học
sinh chuyên lý việc hiểu rõ và vận dụng tốt vào giải bài tập cũng như lý giải một số hiện tượng trong
thực tế là rất cần thiết. Hơn nữa, trong các kì thi học sinh giỏi cấp tỉnh, cấp quốc gia, quốc tế thì các em
vẫn thường bắt gặp các bài toán dạng này, vì vậy tôi chọn đề tài này để nghiên cứu học hỏi nhằm giúp
cho việc giảng dạy được tốt hơn.
II. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU
- Hệ thống kiến thức lý thuyết về chuyển động của chất điểm trong hệ phi quán tính.

-Sưu tầm một số bài tập liên quan đến kiến thức này.


PHẦN NỘI DUNG

CHUYỂN ĐỘNG CỦA CHẤT ĐIỂM TRONG HỆ PHI QN TÍNH
I. KHÁI NIỆM HỆ QUI CHIẾU KHƠNG QN TÍNH
Như chúng ta đã biết các đònh luật Newton chỉ
đúng trong hệ quy chiếu quán tính, tức là hệ quy
chiếu cố đònh hay chuyển động thẳng đều đối với
nhau. Ta không thể áp dụng máy móc đònh luật I
và II Newton trong hệ quy chiếu không phải là hệ
quy chiếu quán tính. Nhưng làm thế nào để biết
được một hệ quy chiếu nào đó là hệ quy chiếu
quán tính hay không quán tính? Không thể được
nếu không dựa vào đònh luật I.

a

Trong một toa tàu đang đứng yên hoặc chuyển động thẳng
đều so với mặt đất, mọi thí nghiệm cơ học đều tuân theo đònh
luật I. Một hòn bi đang đứng yên trên mặt bàn nằm ngang sẽ
đứng yên mãi. Con lắc luôn có phương thẳng đứng. Bây giờ con
tàu tăng (giảm) tốc độ hoặc đổi hướng chuyển động. Các hiện
tượng cơ học diễn ra hoàn toàn khác trước. Hòn bi thu gia tốc và
chuyển động về phía ngược lại. Con lắc lệch khỏi phương thẳng
đứng về phía ngược lại. Mặc dù, ta không thấy có vật nào ở
xung quanh đã tác dụng lên chúng và gây ra gia tốc ấy. Như vậy
trong con tàu chuyển động có gia tốc, các đònh luật Newton không
được nghiệm đúng. Hệ quy chiếu gắn với con tàu có gia tốc trong

trường hợp này là hệ quy chiếu không quán tính.
Vậy, hệ quy chiếu không quán tính đó là một hệ bất kỳ
chuyển động có gia tốc tương đối với hệ quy chiếu quán tính.
Các đònh luật Newton không nghiệm đúng trong các hệ quy chiếu
không quán tính.
Hệ quy chiếu không quán tính đơn giản nhất là hệ quy chiếu
chuyển động thẳng có gia tốc và hệ quy chiếu quay đều.
II. LỰC QUÁN TÍNH
Lực quán tính là lực xuất hiện do tính chất không quán tính của
hệ quy chiếu chứ không do tương tác giữa các vật nên nó
không tuân theo đònh luật III Newton, tức là không có phản lực
tương ứng. Tuy nhiên, nếu thêm lực quán tính thì đònh luật II Newton
mới áp dụng được cho các hệ quy chiếu không quán tính và việc


giải thích nhiều hiện tượng vật lý cũng như giải một số bài
toán cơ học trở nên dễ dàng hơn.
III. ĐỘNG HỌC
1. Vận tốc trong hệ phi qn tính
Xét 3 hệ quy chiếu:
K0(O0x0y0z0): là HQC qn tính.
K’(O’x’y’z’) là HQC chuyển động tịnh tiến đối với hệ K0.
K(Oxyz) là HQC có O trùng với O’, , K quay quanh K’ với vận tốc góc .
Gọi r, v lần lượt là bán kính vectơ vị trí và vận tốc của chất điểm M đối với hệ K.
Ta có:

Với là vận tốc của M đối với K0; là vận tốc của M đối với K’.
là vận tốc tịnh tiến K’ so với K0; là vận tốc M đối với K
Là vận tốc dài của K đối với K’ tại vị trí M.
Từ hai biểu thức trên:

Phát biểu: Vận tốc tuyệt đối bằng vận tốc tương đối cộng vận tốc kéo theo.
Vận tốc kéo theo này phụ thuộc vào những yếu tố sau:
+ Vận tốc tịnh tiến của O’ so với O0 (K’/K0) ( có thể thẳng hoặc cong )
+ Vận tốc góc của K so với K’.
+ Vị trí điểm M ở thời điểm đang xét.
Trong trường hợp K’ trùng với K, tức là K khơng quay mà tịnh tiến như K ’ thì vận tốc kéo theo
này độc lập với mọi vị trí của chất điểm vì .

Vận tốc tương đối bằng vạn tốc tuyệt dối trừ đi vận tốc kéo theo.
2. Gia tốc trong hệ phi qn tính


Gia tốc kéo theo có 3 số hạng:
+ Chuyển động tịnh tiến của O’ so với O0
+ Gia tốc pháp tuyến của điểm đứng n đối với K tại M
+ Gia tốc tiếp tuyến của điểm đứng n đối với K tại M.
Gia tốc Coriolic

Gia tốc tương đối bằng gia tốc tuyệt đối trừ đi gia tốc kéo theo và gia tốc Coriolic.
Chú ý: Đối với vật rắn, ta chọn gốc O’ của K’ trùng với một điểm cực của vật rắn; hệ K gắn liền
với vật rắn. Khi đó hiển nhiên vận tốc tương đối, gia tốc tương đối, gia tốc Coriolis đều bằng 0.
Vì vậy, ta có: Vận tốc tuyệt đối = Vận tốc kéo theo; Gia tốc tuyệt đối = Gia tốc kéo theo.
Nếu chọn điểm A trên vật rắn làm cực thì vận tốc, gia tốc của một điểm B bất kì trên vật sẽ là:

IV. ĐỘNG LỰC HỌC
Từ biểu thức gia tốc tương đối, ta suy ra:

Trong đó:
là tổng hợp những lực thực, khác với những lực xuất hiện do tính chất phi qn tính.

: Xuất hiện một trường lực đều ở mỗi thời điểm.
: Lực qn tính li tâm.
Về độ lớn: Trong đó là khoảng cách từ M đến trục quay.
: lực này xuất hiện khi hệ K quay khơng đều quanh K’ với gia tốc góc

Lực này xuất hiện khi thỏa đồng thời 3 điều kiện: Hệ quy chiếu trong đó ta khảo sát chuyển
động của vật phải quay ( hệ K ); vật chuyển động trong hệ K;
 Lực quán tính coriolis luôn vuông goc với phương chuyển động
của vật nên nó không sinh công, mà chỉ làm lệch qũy đạo


mà thôi, không làm thay đổi độ lớn vận tốc của vật chuyển
động.
Tóm lại khi chuyển sang hệ phi qn tính, tổng qt sẽ có xuất hiện thêm 4 lực so với ở trong
hệ qn tính.
Với kết quả trên có thể phát biểu đònh luật II Newton trong
trường hợp hệ quy chiếu không quán tính: phương trình động lực
học của chuyển động trong hệ quy chiếu không quán tính có
cùng dạng như trường hợp hệ quy chiếu quán tính, nhưng ngoài
các lực tác dụng thông thường lên chất điểm phải đưa vào 2
lực: lực quán tính kéo theo và lực quán tính coriolis.
V. CÁC ĐỊNH LUẬT NĂNG LƯỢNG TRONG HỆ PHI QN TÍNH
V.1. Trong hệ quy chiếu quán tính
Người ta đã rút ra các đònh luật năng lượng từ các đònh luật
Newton. Một hệ gồm nhiều chất điểm (hay nhiều vật mà ta có
thể coi là chất điểm) tương tác với nhau được gọi là một cơ hệ.
Lực tương tác giữa các chất điểm trong cơ hệ với nhau được gọi
là nội lực. Lực tương tác giữa một chất điểm trong cơ hệ và các
chất điểm ở ngoài cơ hệ được gọi là ngoại lực.
Các cơ hệ được phân thành 2 loại:

- Cơ hệ kín: là cơ hệ không có tương tác với các vật ở ngoài
hệ.
- Cơ hệ không kín: là cơ hệ có chòu tác dụng của các ngoại lực.
Đối với các hệ kín: do các nội lực của hệ tồn tại theo từng
cặp lực-phản lực trực đối nhau và hệ không chòu tác dụng của
các ngoại lực, nên tổng các lực tác dụng lên hệ bằng không. Vì
vậy, các đònh luật bảo toàn được phát biểu như sau:
- Đònh luật bảo toàn động lượng: “Tổng động lượng của một
hệ kín không biến đổi theo thời gian”.
P = const

- Đònh luật bảo toàn cơ năng: “Cơ năng của một hệ kín không
biến đổi theo thời gian” hay “Khi một cơ hệ chỉ chòu tác dụng của
những lực thế, cơ năng của hệ là một đại lượng không đổi”.
Wđ + Wt = W = const


- Đònh luật bảo toàn mômen động lượng: “Khi momen của các
ngoại lực tác dụng lên cơ hệ bằng 0 đối với một điểm nào đó,
thì momen động lượng của cơ hệ đối với điểm đó không đổi”
Lo = const

Đối với các hệ không kín: do có các ngoại lực tác dụng lên
hệ. Vì vậy các đònh luật bảo toàn được thay thế bằng đònh luật
tổng quát hơn đó là các đònh luật biến thiên, chúng được phát
biểu như sau:
- Đònh luật biến thiên động lượng: “Độ biến thiên động lượng
của một cơ hệ trong một khoảng thời gian bằng xung lượng của
các ngoại lực tác dụng lên hệ trong khoảng thời gian đó”.
d ( m.V ) = F .dt

- Đònh luật biến thiên cơ năng: “Độ biến thiên cơ năng của cơ
hệ trong một khoảng thời gian bằng công của các lực khác
không phải là lực thế tác dụng lên cơ hệ trong khoảng thời gian
đó”.
d(Wđ + Wt) = dA
- Đònh luật biến thiên momen động lượng: “Độ biến thiên động
lượng của cơ hệ đối với một điểm nào đó trong một khoảng
thời gian bằng xung lượng của tổng momen các ngoại lực đối với
điểm đó trong khoảng thời gian đó”.
d L = M ( e) dt

hay

d .L
= OM .Λ.F
dt

V.2. Trong hệ quy chiếu không quán tính
Người ta đưa thêm vào các lực quán tính để vẫn có thể áp
dụng được các đònh luật Newton, nhưng lực quán tính không có
phản lực. Vì vậy trong hệ quy chiếu không quán tính ngay cả khi
không có ngoại lực tác dụng thì vẫn có lực quán tính tác dụng
lên cơ hệ, tổng ngoại lực tác dụng lên cơ hệ luôn khác không.
Do đó, trong hệ quy chiếu không quán tính phát biểu các đònh
luật năng lượng theo kiểu cơ hệ không kín và phải cộng thêm
các lực quán tính vào các ngoại lực tác dụng lên hệ.
- Đònh luật biến thiên động lượng: “Trong hệ quy chiếu không
quán tính, độ biến thiên động lượng của một cơ hệ trong một

khoảng thời gian bằng xung lượng của các ngoại lực và các lực
quán tính tác dụng lên hệ trong khoảng thời gian đó”.
- Đònh luật biến thiên cơ năng: “ Trong hệ quy chiếu không quán
tính, độ biến thiên cơ năng của cơ hệ trong một khoảng thời gian
bằng công của các lực khác không phải là lực thế và công
của lực quán tính tác dụng lên hệ trong khoảng thời gian đó”.
d(W’đ + W’t) = dA + dAFie
- Đònh luật biến thiên momen động lượng: “Trong hệ quy chiếu
không quán tính, độ biến thiên momen động lượng của cơ hệ đối
với một điểm nào đó trong một khoảng thời gian bằng xung
lượng của tổng momen các ngoại lực và momen của các lực quán
tính đối với điểm đó trong khoảng thời gian đó”.
d .L o
= OM .Λ( F + Fie + Fic )
dt

Trong đó:
Fie
Fic

: lực quán tính kéo theo
: lực quán tính coriolis

 Đònh lý về động năng trong hệ quy chiếu không quán tính K.
Đònh lý về động năng cũng áp dụng trong hệ K nếu đưa thêm
vào công của lực quán tính:
∆

Wđ

= A( F ) + A( Fie )

Trong hệ K, công của lực quán tính coriolis bằng 0
A( Fic ) = 0

 Thế năng của lực quán tính ly tâm: hệ quy chiếu không quán
tính K quay với vận tốc không đổi xung quanh một trục cố đònh
của K’..
Xét chất điểm có khối lượng m. Tính công nguyên tố của lực
quán tính ly tâm tác dụng lên chất điểm trong hệ K.

( )

δA Flt

/K

= m.ω 2 .r.er .d (r.er + z.e z ) = m.ω 2 .r.dr


Do vaäy ta coù:

( )

δA Flt



/K

= −dU

m.ω 2 .r 2
U =−
+ const
2

Qui öôùc: U = 0 khi r = 0 neân const = 0
VI. MỘT SỐ BÀI TẬP MINH HỌA
PHẦN ĐỘNG HỌC
Bài1
Hình vẽ là một kết cấu nằm trên mặt phẳng thẳng đứng tạo thành từ 3 thanh cứng AB, BC, CD
của một tam giác. AB và CD có thể chuyển động quanh 2 trục A, D cố định vuông góc với mặt
hình vẽ ; 2 điểm A, D cùng ở trên 1 đường nằm ngang. Hai đầu của thanh BC nối với AB và CD
có thể quay quanh chỗ tiếp xúc (tương tự bản lề).
Cho AB quay quanh trục A với tốc độ góc

ω

tới vị trí như trên hình vẽ, AB ở vị trí thẳng đứng,

BC và CD đều tạo với phương nằm ngang góc

450

. Biết rằng độ dài của AB là l, độ dài của BC

và CD được xác định như trong hình vẽ. Khi đó hãy tìm giá trị và hướng gia tốc
(biểu diễn qua góc với thanh CD)

Vì điểm B quay tròn quanh trục A, tốc độ của nó là
v B = ωl

gia tốc hướng tâm của điểm B là

(1)

ac

của điểm C


a B = ω 2l

(2)

Vì chuyển động với tốc độ góc không đổi nên thành phần gia tốc tiếp tuyến của điểm B bằng
aB

0 và cũng là gia tốc toàn phần của B, nó có hướng dọc theo BA. Điểm C quay tròn quanh trục
D với tốc độ vC, tại thời điểm khảo sát có hướng vuông góc với thanh CD. Từ hình 1có thể
thấy hướng đó dọc theo BC. Vì BC là thanh cứng nên tốc độ của B và C theo hướng BC ắt phải
bằng nhau và bằng
vC = vB cos450 =

2
ωl
2

(3)

Lúc đó thanh CD quay quanh trục D theo hướng thuận chiều kim đồng hồ, gia tốc pháp tuyến
của C bằng
aCn =

vC2
CD

(4)

Hình 1 cho thấy
aCn =

2 2
ωl
8

CD = 2 2l

, từ (3), (4) ta được

(5)

Gia tốc này có hướng dọc theo hướng CD.
Bây giờ ta sẽ phân tích gia tốc của điểm C theo hướng vuông góc với thanh CD, tức là gia tốc
tiếp tuyến

aCt

. Vì BC là thanh cứng nên chuyển động của C đối với B chỉ có thể là quay quanh

B, phương của vận tốc ắt phải vuông góc với thanh BC. Gọi
(1) và (3) ta có

vCB

là độ lớn của vận tốc này, theo


vCB = vB2 − vC2 =

2
ωl
2

(6)

Điểm C quay tròn quanh điểm B, vậy gia tốc hướng tâm của nó đối với B là
aCB =

Vì

2
vCB
CB

(7)

CB = 2l

aCB =

nên

2 2
ωl
4

(8)

Gia tốc này có hướng vuông góc với CD
Từ công thức (2) và hình 1 thấy rằng thành phần gia tốc dọc thanh BC của điểm B là
(a B ) BC = aB cos450 =

2 2
ωl
2

(9)

Cho nên thành phần gia tốc vuông góc với thanh CD của điểm C đối với điểm A (hoặc điểm D)
là
aCt = aCB + ( a B ) BC =

2 2
2 2 3 2 2
ω l+
ωl=
ωl

4
2
4

(10)

Gia tốc toàn phần của điểm C bao gồm gia tốc pháp tuyến
và gia tốc tiếp tuyến
2
aC = aCn
+ aCt2 =

aCt

74 2
ωl
8

Góc giữa phương của
θ = arctan

Bài 2

, nghĩa là

aC

(11)
với thanh CD là

aCt
= arctan 6 = 80,54 0
aCn

(12)

aCn

khi C chuyển động tròn quanh D


Hai thanh cứng, cùng chiều dài L, được nối với nhau ở một đầu bằng một bản lề. Đầu kia của
một thanh được giữ cố định bằng một bản lề, còn đầu kia của thanh thứ hai thì cho chuyển động
với vận tốc véctơ v0 không đổi cả về độ lớn lẫn hướng, đồng thời tại thời điểm ban đầu véc tơ
vận tốc v0 song song với đường phân giác của góc tạo bởi hai thanh ở thời điểm đó. Hãy tìm độ
lớn và hướng của véc tơ gia tốc của bản lề nối hai thanh sau thời điểm ban đầu một khoảng thời
gian rất ngắn.
Lời giải
Bản lề

- Quỹ đạo của B là tròn.
- Do thanh BC cứng, hình chiếu của B và C lên phương thanh
bằng nhau:
v0 cosα = vB sin2α ⇒ vB =

2

v0

v0

2sinα

(1)

Bản lề cố định

+ Gia tốc B gồm hai thành phần:

* Pháp tuyến:

v2
v02
an = B =
L
4L sin2 α

* Tiếp tuyến at hướng theo

vB

(2)

at
- v0

an
v0

uuu
r uuu

r uu
r
vBC = vBA − vo

Từ hình vẽ tính được:

vBC

uu
r
vB

Xét trong hệ quy chiếu quán tính gắn với C

vBC =

B

C

A

v0
2sinα

Vận tốc này vuông góc với BC do B quay quanh C.
Gia tốc pháp tuyến của B trong hệ này (hướng từ B về C):
anC = an.cos2α + at cosβ (vì an hướng theo thanh AB, còn at theo phương của
= an cos2α + at sin2α =

vBC 2
v2o
=
= an
L
4L sin2 α

⇒ at sin2α = an(1− cos2α ) = an.2sin2 α =

v02
2L

uu
r
vB

)


P

⇒ at =

r arBAn
aB

r
aB



VA

r v
4aLAsinα cosα
2
0

⇒ aB = an2 + at2 =

sinα + cosα
sin2α

v02
L sinα

at
= tgα
an

r
⇒
a
Hướng của a hợp vớiAAB góc ϕ tgϕ =

V A tốc của B hướng dọc theo phân giác góc 2α.
⇒ϕ = α, tức là gia
B

Bài 3

Thanh AB chuyển động trong mặt phẳng thẳng đứng
với đầu A chuyển động theo phương ngang và đầu B
chuyển động theo phương đứng. Tại thời điểm khảo
sát đầu A có vận tốc VA = 40 cm/s và gia tốc
WA= 20 cm/s2. Trong đó AB = 20 cm và α = 30o
Tìm gia tốc điểm B và gia tốc của thanh AB
Lời giải
Gia tốc điểm B và gia tốc của thanh AB
P là tâm vận tốc tức thời : Sin

α

=PA/L vậy PA=L.Sin

ω AB =

, AP = 10 cm

VA
40
= .=
A P 10

Vận tốc góc của thanh AB:
Gia tốc của điểm B:

α

4 rad/s

r
r rτ
rn
aB = a A + aBA
+ aBA

(a)

Trong đó :

r a
a;B

aτAB = γ BA . AB

n
BA

2
= ω AB
. AB =

320 cm/s2

Chiếu biểu thức (a) lên phương AB, ta có:

r
aA

n

aB sin 300 = a A cos 300 + aBA
⇒ aB =

674,64 cm/s2

A

B

D

C

Bài 4
Một tấm hình vuông cạnh a chuyển động trong mặt
phẳng như hình vẽ. Lúc khảo sát các đỉnh A,B có


r
aBAτ
r
2
aBAn gia tốc WA = WB=16 cm/s và tương ứng hướng theo

aCBn
r
aCBτ

các cạnh AD, BA. Tìm gia tốc của đỉnh C
Hình vuông chuyển động song phẳng

r
a

r uuu
r
uur uur uunu
t
aB = a A + aBA
+ aBA
Chọn A làm cực : B

r
aA hai trục vuông góc
Chiếu (1) lên
aB =

n
aBA

= AB. ω2 = a.ω2 ⇒ω =

0 = - aA +

aτBA

⇒

Chọn B làm cực :

aτBA

(1)

= aA = AB.γ⇒γ =

ur
uur uur uunur uu
τ
aC = aB + aCB
+ aCB

WA
a

(2)

Trong đó :
n
aCB

= CB.ω2 = a.ω2 = WB ;

τ
aCB

= CB.γ = a.γ = WA

Chiếu (2) lên 2 trục tọa độ.
aCx = - aB +

aCy =

n
aCB

τ
aCB

A

B

D

C

aB
a

= - a B + aA = 0

= aω2⇒ aC = aCy = 16 cm/s2 hướng từ C đến B.


2bb
2b

Bài 5

a

o

o

A

B


r
aτBA
r
aBτ

cơ cấu bốn khâu bản lề, tay quay OA=b quay nhanh dần với vận tốc góc ω0 và gia tốc γ0.
Thanh truyền AB = 2.OA, tại thời điểm đã cho tạo với đường thẳng OO 1 góc α = 300 và OA,
r
O1B đều vuông góc
aτAvới OO1. Tìm gia tốc góc của thanh AB và gia tốc củaB tại vị trí đó

r Trong
aBn
o

O

O

r Chọn điểm A làm cực, định lý về quan hệ gia tốc cho

a An
r r
r r n rt
r r
r r r n rt
aτB + aBn = a A + aBA
+ aBA aτB + aBn = a At + a An + aBA
+ aBA

⇒

a

2

ta:

a

2

(*)

K

Trong đó :
a = bω ,
n
A

2
0

a

n
BA

= 0 a = ε 0 .b
t
A

;

VA = b.ω0

n
aBA
=

,

b ωo2
2

Chiếu hai vế của (*) lên trục AB
τ
B

τ

A

a cosα + a sin α = a cos α + a sin α
n
B

n
A

⇒

b
aτB = ( 3 ωo2 − 6 ε o )
6

B

Chiếu hai vế của (*) lên trục vuông góc AB ta nhận được:I
− aB = − a An sin α + aτBA cos α

ε BA

⇒

aτBA =

⇒

ω o2 rad
=

2 3 s2

a ωo2
3

a

Bài 6
Tay quay OA = r quay đều quanh trục O cố định với vận tốc góc ω0. Đầu B của thanh truyền
gắn bản lề với trục của con lăn D có bán kính R, lăn không trượt trên đường nằm ngang. Biết
chiều dài thanh AB = 1.
o
Tìm vận tốc và gia tốc tại hai điểm I, K trên chu vi con lăn tại thờiođiểm bán kính BI thẳng
đứng và bốn điểm O, A, B, K cùng nằm trên đường thẳng ngang
A

A

a.

Vận tốc và gia tốc điểm I


− Vận tốc và gia tốc điểm A:

V A = rω 0 a An = rω02 aτA = rε 0 = 0

,

,

r
aτIB

rτ
aKB
r
a An

r
rn
aB AB
aBA
− Thanh truyền
chuyển
rτ động song1 phẳng :
r
ra
r
r n rτ
BA r
aB = V
aA + aBA = a An + aBA
+ aBA
A

− Gia tốc điểm B:

(Giả thiết chiều

r
aB

và

rτ
aBA

VB = VP1 = 0

ω1 =

,

rω
VA
= 0
AP1
l

(1)

như hình vẽ)

D

Chiếu (1) lên hệ trục Oxy:
o

n
aB = a An + aBA
= rω02 + lω12

O

0 = −aτBA = −lε1

(2)

r (l + r ) 2
ω0
ε1 = 0
l

aB =

(2) ⇒

K

,

ω2 =

Xét con lăn D tại thời điểm đó:
Chọn B làm cực, ta được:
Trong đó:

r

r
r
r
aI = aB + aIBn + aτIB

B

,

Mà:

I

2
V&
WB R ( l − r ) ω0
B
=
=
R
R
Rl

r
aτIB = (l + r )ω02
l

Hai véctơ:

r

aτB

và

rτ
aIB

song song cùng chiều
aI = aB + aτIB =

Giá trị của gia tốc tại I bằng:
b.

⇒ VI = VK = 0

aIBn = Rω22 = 0 aτIB = Rε 2

ε 2 = ω&2 =

Do đó:

VB
=0
BP2

2r
(l + r )ω02
l

Gia tốc tại điểm K như sau:

r
r
rτ
rn
aK = aB + aKB
+ aKB

Trong đó:

W

n
KB

r
aτKB = Rε 2 = (l + r )ω02
= Rω = 0
l
2
2

,


P

r
aB

Hai vectơ

và

2
aK = aB2 + (aKB
)2 =

rτ
aKB

vuông góc với nhau do đó gia tốc của điểm K bằng:

r 2
(l + r )ω02
l

Bài 7
Cơ cấu 4 khâu như hình vẽ. Tay quay OA quay

O

o

A

đều với vận tốc góc ωo = 4 rad/s , OA = r = 0,5 m
AB = 2r , BC = r

2

C

Hãy tìm:

45o

Vận tốc góc, gia tốc góc thanh AB và BC.

r
a An

B

•

Vận tốc góc, thanh AB,BC
Thanh AB chuyển động song phẳng có tâm vận tốc tức thời là P.
V A = ωo.OA = ωAB AP⇒ωAB =

VA
=
AP

2 rad/s

VA

Chiếu

VA

và

VB

lên phương AB cho :

VA = VBcos45 ⇒ VB = VA.

2

=2


aτBA V⇒
B Vận tốc góc thanh BC là : ωBC =

2

m/s

VB
2 2
=
BC 0,5. 2

= 4 rad/s

n

Gia tốc
aBA góc thanh AB,BC
Chọn A làm cực .
•

r uuu
r
uur uur uur uur uuu
r uuu
r
uur ruur uuu
n
n
aB =aaτA + aτBA + aBA
⇔ aBn + aτB = a An + aτA + aτBA + aBA
B

Trong đó :

r
aBn

2
aBn = BC.ωBC
= 0,5 2.42 = 8 2

aτB = BC .ε BC

;

a An

m/s2

= OA. ωo2 = 0,5.42 = 8 m/s2

(1)


aτA

aτBA

=0;

n
2
aBA
= AB.ω AB

aτB

Giả sử
aτB

⇒
aτB

= 2.0,5.22 = 4 m/s2
O

có chiều như hình vẽ, và chiếu (1) lên phương AB cho :

.cos45 =

aτB

= AB.εAB

n
aBA
+ aBn

o

cos45

n
aBA
+ aBn .cos 45
=
cos 45

4 + 8 2.
2
2

=

= BC.εBC⇒εBC =

2
2

45o

⇒

aτB
12 2
=
BC 0,5. 2

aτB

= 12

2

B

m/s2

= 24 rad/s2

Chiếu (1) lên phương vuông góc với AB cho :
aBn cos 45 − aτB cos 45 = −a An − aτBA

r
aDOn

r r
aBOn aCOτ a

τ
BA

= 12 2.

Vậy
aτBA

r
aaBOτ
τ
BA

2
2
− 8 2.
−8
2
2

⇒

aτBA = aτB cos 45 − aBn cos 45 − a An

=-4<0

rτ

aDO hình vẽ
ngược chiều

= AB .εAB ⇒εAB =

aτBA
−4
=
AB 2.0,5

 rτ
VaD DO

r
a0

= - 4 rad/s2

Vậy εAB quay ngược chiều kim đồng hồ

 ar
M
2
2 theo quy luật x = 2t 2 ( x tính bằng m)VM
Vật M rơi xuống
làm chuyển động ròng
rọc 2 và ròng rọc
Bài 8

động 1. Ròng rọc 1 có bán kính bằng 0,2 m.
A

Tìm gia tốc các điểm C, B và D trên vành của ròng rọc 1 lúc t = 0,51 s ; OB ⊥ CD
1

C

O
B

D

M
x

A

C

O

M

D
B

x

Ròng rọc 1 chuyển động song phẳng,
VM =

x

⇒ VO =

= VD = 4t (m/s)
VD .R V D VM 4t
=
=
=
2R
2
2
2

⇒ Vận tốc góc : ω =

VO
2t
=
R 0,2

dω
dt

⇒ Gia tốc góc : ε =

=2t m/s

= 10t

= 10 rad/s2

Gia tốc tại C: chọn O làm cực :
ur
uur uur uunur uu
T
aC = aO + aOC
+ aOC

(1)

Trong đó : - aO =
(1)

n
aCO

=

τ
aCO

⇒ aC =

Gia tốc tại B :

dVO
dt

n
aBO

=

=

aτBO

=

= 2 m/s2
n
aDO

aτDO

= R.ω2 = R.(10t)2 = 0,2(10.0,5)2 = 5 m/s2 ;
= R.ε = 0,2.10⇒

T
n
(aCO
− aO ) 2 + (aCO
)2

ur

uur uur uunur uu
aB = aO + aBO
+ aτBO

(2 − 2) 2 + 5 2

=

= 2 m/s2
⇒ aC = 5 m/s2

(2)

n
(aO + aBO
) 2 + ( aτBO ) 2

Từ (2) :⇒ aB =

T
aOC

⇒ aB =

(2 + 5) 2 + 2 2

= 7,28 m/s2


P

O1

A


V

ur
uur uur uunur uu
τ
a
=
a
+
a
+
a
D
O
DO
DO
o
A
• oo Gia tốc tại D :
B

O

Từ (3) : ⇒ aD =

(3)

n
(aO + aτDO ) 2 + (aDO
) 2 = (2 + 2) 2 + 52

= 6,4 m/s2

Bài 9

r
aAn

2

Cơ cấu 4 khâu bản lề như hình vẽ. Cho OA = r ; AB = 2r; O1B = r
. Lúc OA thẳng đứng, các
điểm OBO1 cùng nằm trên đường nằm ngang, khi đó thanh OA có vận tốc góc là ωo và gia tốc
góc εo=ωo

2

3

a. Vận tốc thanh AB: Dùng tâm vận tốc tức thời
− Tâm vận tốc tức thời trùng với O .
ω AB =

− Tìm vận tốc góc của thanh AB : vA = rω0 = PA.ωAB ⇒

vậy thanh AB quay ngược chiều kim đồng hồ.
- Điểm B thuộc thanh AB nên:
ω BO =
1

⇒

r 3ω 0
vB
=
= ω0
BO1
r 2

3
2

v B = PB.ω AB = r 3ω 0 = BO1 ω BO1 ,

,

Và thanh BO1 quay quanh trục qua O1 theo chiều kim đồng hồ.
b. Gia tốc góc thanh AB:
− Chọn điểm A làm cực, định lý về quan hệ gia tốc cho ta:
r r n rt
aB = a A + aBA
+ aBA

Trong đó :

r
aτA

. Tìm vận tốc góc và gia tốc góc của thanh AB.

⇒

r
r
r
r
rn rt
aBt + aBn = a At + a An + aBA
+ aBA

(*)

v A rω 0
=
= ω0
PA
r


r
ar

M

3r 2
ω0 ; a An = OAω02 = rω02 ;
2

2
aBn = BO1.ω BO
=
1

A

r
Vr a

t
A

r
Vr

= ε 0 .OA = r 3.ω02 ;
rt
aBA

Để tính giá trị của

, chiếu hai vế của (*) lên trục

a = −a − a cos 30 + a cos 60
n

B

r
a en

O

r
Ve

r
aτe

n
2
aBA
= ω AB
. AB = 2rω02 ;

t
A

ε AB =

⇒

n
BA

0

t
BA

t
aBA
=

0

⇒

OO1

, ta nhận được:

6+4 6
r ωo2
2

t
aBA
3+ 2 6 2
=
ω0
BA
2

Bài 10
M

Một cơ cấu culít OA quay quanh trục đi qua O với phương trình:
ϕ = 5t – 0,5t2 . Một con chạy M chuyển động dọc theo rãnh của culít với
phương trình S = OM = 0.5t3 ( S tính bằng cm , t tính bằng giây).

A

Tìm vận tốc và gia tốc tuyệt đối của con chạy M tại thời điểm t = 2s

Tìm vận tốc tuyệt đối của con chạy M tại thời điểm t = 2s

O

Định lí hợp vận tốc:


 
v M = ve + vr

Vr = s =

Trong đó: -

-

3 2
t =6
2

OM = sr =

t=2

cm/s

1 3
2 =4
2

Ve = OM ω = 4.3 = 12

Khi
s thì
cm ⇒
cm/s
Phương chiều các vectơ vận tốc biểu diễn trên hình vẽ
Va =

(V

2
r

) (

+ Ve2 =

6 2 + 12 2

)

= 13.4 cm/s