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❈❤♦ X, Y, Z ✈➔ W ❧➔ ❝→❝ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ ✈➔ C ❧➔ t➟♣ ❝♦♥ ❦❤→❝ ré♥❣
❝õ❛ X ❀ Q ✈➔ S ❧➛♥ ❧÷ñt ❧➔ ❝→❝ ♥â♥ ❧ç✐ tr♦♥❣ Y ✈➔ Z ❀ F : X × X → Y
❧➔ ♠ët s♦♥❣ ❤➔♠ ✈❡❝tì ✈î✐ F (x, x) = 0✱ ✈î✐ ♠å✐ x ∈ X ❀ g : X → Z ✈➔
h : X → W ❧➔ ❝→❝ →♥❤ ①↕ r➔♥❣ ❜✉ë❝✳
• ❇➔✐ t♦→♥ ❝➙♥ ❜➡♥❣ ✈❡❝tì ❝â r➔♥❣ ❜✉ë❝✱ ❦➼ ❤✐➺✉ ❧➔ ✭❈❱❊P✮✱ ✤÷ñ❝ ♣❤→t
❜✐➸✉ ♥❤÷ s❛✉✿ ❚➻♠ ✈❡❝tì x ∈ K s❛♦ ❝❤♦
/ −Q\ {0} , ✈î✐ ♠å✐ y ∈ K,
F (x, y) ∈
tr♦♥❣ ✤â✱ Q ❧➔ ♥â♥ ❧ç✐ tr♦♥❣ Y ✈➔ K = {x ∈ C : g(x) ∈ −S, h(x) = 0}
❧➔ t➟♣ ❝❤➜♣ ♥❤➟♥ ✤÷ñ❝ ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥✳
◆➳✉ ✐♥t Q = ∅, ✈❡❝tì x ∈ K t❤ä❛ ♠➣♥
/ −✐♥tQ, ✈î✐ ♠å✐ y ∈ K,
F (x, y) ∈
(1.1)
✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ♥❣❤✐➺♠ ❤ú✉ ❤✐➺✉ ②➳✉ ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥ ✭❈❱❊P✮✳ ◆➳✉ tç♥ t↕✐ ♠ët
❧➙♥ ❝➟♥ U ❝õ❛ x s❛♦ ❝❤♦ ✭✶✳✶✮ t❤ä❛ ♠➣♥ ✈î✐ ♠å✐ y ∈ K ∩ U t❤➻ x ✤÷ñ❝
❣å✐ ❧➔ ♥❣❤✐➺♠ ❤ú✉ ❤✐➺✉ ②➳✉ ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣ ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥ ✭❈❱❊P✮✳
❚r÷í♥❣ ❤ñ♣ Y = Rr , Z = Rm , W = R ✈➔ ❝→❝ ♥â♥ Q = Rr+ ✱ S = Rm
+✱
❜➔✐ t♦→♥ ❝➙♥ ❜➡♥❣ ✈❡❝tì ❝â r➔♥❣ ❜✉ë❝ ✭❈❱❊P✮ ❝â ❞↕♥❣✿ ❚➻♠ x ∈ K
s❛♦ ❝❤♦
F (x, y) ∈
/ −Rr+ \ {0}, ✈î✐ ♠å✐ y ∈ K,
(1.2)
tr♦♥❣ ✤â t➟♣ ♥❤➟♥ ✤÷ñ❝
K = x ∈ C : gi (x) ≤ 0, ✈î✐ ♠å✐ i ∈ I; hj (x) = 0, ✈î✐ ♠å✐ j ∈ L ,
ợ gi , hj (i I := {1, 2, ..., m} , j L := {1, 2, ..., }) số tỹ
tr Rn tỡ F = (F1 , F2 , ..., Fr )
t Fx (y) = F (x, y), Fk,x (y) = Fk (x, y), ợ ồ k {1, 2, .., r}
sỷ r Fx (x) = 0 õ tỡ x K ỳ ữỡ
tữ ỳ ữỡ ừ t P tỗ
t > 0 s ổ tỗ t y K B(x, ) tọ
Fk,x (y) 0, ợ ồ k J;
Fs,x (y) < 0, ợ t t ởt s J;
(tữ Fk,x (y) < 0, ợ ồ k J).
t ú tổ ỹ ỏ t
P
ồ Y ổ ố ừ ổ Y ỵ Q õ
ố ừ õ Q Y ữ s
Q = y Y : y , y 0, ợ ồ y Q .
ỹ tr qstrr ừ Q Q# ữủ
Q# = y Y : y , y > 0, ợ ồ y Q\ {0} .
ởt t ỗ rộ B ừ Q ữủ ồ ởt ỡ s ừ õ Q
Q = B 0
/ B. B ỡ s ừ Q
Q (B) = y Q# : t > 0 tọ y , y t, ợ ồ b B .
t õ Q (B) = ỷ ử ỵ t t
ỗ rớ {0} B s r tỗ t y Y \ {0} s
= inf { y , b : b B} > y (0) = 0.
t ởt VB tt ố ỗ ừ 0 Y tr
VB = y Y : | y , y | <
.
2
õ t ữủ
inf { y , y : y B + VB }
.
2
ợ ộ ởt ỗ U ừ 0 ợ U VB t õ 0
/ (B + U ). t
t QU (B) = (U + B) ởt õ ỗ ồ
Q\ {0} tQU (B).
sỷ A ởt t ừ ổ X
A ữủ ồ ỗ ợ ồ x, y A ợ ồ , à 0 : + à = 1
t õ x + ày A;
A ữủ ồ ợ ồ x, y A ợ ồ : || 1 t
õ x A;
A ữủ ồ tt ố ỗ A ỗ
ỹ tr ổ t tr ỳ
s ỳ ữủ tr ữ s
tỡ x K ồ ỳ
ừ t P tỗ t tt ố ỗ U ừ 0 ợ
U VB s
F (x, K) (tQU (B)) = ,
tr õ F (x, K) =
yK
F (x, y)
QU (B) õ ỗ ồ x ỳ
F (x, K) (tQU (B)) = .
(1.3)
ữ ỵ r x K ỳ ừ t P
tỗ t tt ố ỗ U ừ 0 ợ U VB s
F (x, K) (U B) = .
(1.4)
tỡ x K ồ s ỳ ừ
t P ợ ộ ởt V ừ 0 tỗ t ởt
U ừ 0 s
F (x, K) (U Q) V.
(1.5)
r tr t t K K W ợ W
ởt ừ x t t ữủ ỳ
ữỡ tữ ừ t P
t t sỷ B ởt ỡ s ừ õ Q
x K s ỳ ừ t P t x ụ
ỳ ừ t õ
B t õ t ỳ ừ
t P ụ s ỳ ừ t õ
sỷ B ởt ỡ s ừ õ Q õ
ợ ồ tt ố ỗ U ừ 0 ợ U VB t õ
ờ
QU (B) \ {0} Q (B);
ợ ộ f Q (B) tỗ t ởt tt ố ỗ U ừ
0 Y ợ U VB s f QU (B) \ {0}
B t õ t t Q = Q (B), ợ t Q
tr ừ Q tr Y t tổổ ừ Y .
t t tự tỡ
ỵ L(X, Y ) ổ t t tử tứ X
Y K X t t tự õ r ở ỵ
õ x K s
T (x)(y x)
/ Q \ {0}, ợ ồ y K,
(1.6)
tr õ T : K L(X, Y ) tr t tỷ t
t tử tứ X Y
t t tỡ P ữ tr ử
tr õ s F ữủ
F (x, y) = T (x)(y x), ợ ồ x, y K.
õ t tỡ õ r ở P tr t
t t tự tỡ
❱❡❝tì x ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ♥❣❤✐➺♠ ❤ú✉ ❤✐➺✉ ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣ ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥ ✭❈❱❱■✮
♥➳✉ tç♥ t↕✐ sè δ > 0 s❛♦ ❝❤♦ ✭✶✳✻✮ t❤ä❛ ♠➣♥ ✈î✐ ♠å✐ y ∈ K ∩ B(x; δ)✳
❚r♦♥❣ tr÷í♥❣ ❤ñ♣✱ ✐♥tQ = ∅ ❦❤✐ ✤â x ❣å✐ ❧➔ ♥❣❤✐➺♠ ❤ú✉ ❤✐➺✉ ②➳✉ ✤à❛
♣❤÷ì♥❣ ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥ ✭❈❱❱■✮ ♥➳✉ tç♥ t↕✐ δ > 0 s❛♦ ❝❤♦
T (x)(y − x) ∈
/ −✐♥tQ, ✈î✐ ♠å✐ y ∈ K ∩ B(x; δ).
❑❤✐ ✤â✱ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ ♥❣❤✐➺♠ ❤ú✉ ❤✐➺✉ ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣ ✭t✳÷✳✱ ♥❣❤✐➺♠ ❤ú✉
❤✐➺✉ ②➳✉ ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣✮ tr♦♥❣ tr÷í♥❣ ❤ñ♣ Q = Rr+ ❝â ❞↕♥❣✿ ❑❤æ♥❣ tç♥ t↕✐
y ∈ K ∩ B(x; δ) s❛♦ ❝❤♦
T (x)k (y − x) ≤ 0, ✈î✐ ♠å✐ k ∈ J;
T (x)s (y − x) < 0, ✈î✐ ➼t ♥❤➜t ♠ët s ∈ J;
(t✳÷✳✱ T (x)k (y − x) < 0, ✈î✐ ♠å✐ k ∈ J),
tr♦♥❣ ✤â✱ T (x) = (T (x)1 , . . . , T (x)r ), T (x)k : X → R (k = 1, . . . , r)✳
✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✹✳ ✭❬✷✹❪✱ ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✷✳✹✮ ❈❤♦ T : K → L(X, Y ) ❧➔ ♠ët
❤➔♠ ❣✐→ trà ✈❡❝tì✳ ◆➳✉ F (x, y) = T (x)(y − x), ✈î✐ ♠å✐ x, y ∈ K ✈➔ ♥➳✉
x ∈ K ❧➔ ♠ët ♥❣❤✐➺♠ ❤ú✉ ❤✐➺✉ ②➳✉✱ ❤❛② ♥❣❤✐➺♠ ❤ú✉ ❤✐➺✉ ❍❡♥✐❣✱ ♥❣❤✐➺♠
s✐➯✉ ❤ú✉ ❤✐➺✉ ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥ ✭❈❱❊P✮✱ t❤➻ x ∈ K ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ♥❣❤✐➺♠ ❤ú✉
❤✐➺✉ ②➳✉✱ ❤❛② ♥❣❤✐➺♠ ❤ú✉ ❤✐➺✉ ❍❡♥✐❣✱ ♥❣❤✐➺♠ s✐➯✉ ❤ú✉ ❤✐➺✉ ✭t✳÷✳✱✮ ❝õ❛
❜➔✐ t♦→♥ ✭❈❱❱■✮✳
✶✳✶✳✸✳ ❇➔✐ t♦→♥ tè✐ ÷✉ ✈❡❝tì
▼ët tr♦♥❣ ♥❤ú♥❣ ù♥❣ ❞ö♥❣ q✉❛♥ trå♥❣ ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥ ❝➙♥ ❜➡♥❣ ✈❡❝tì
❧➔ ❜➔✐ t♦→♥ tè✐ ÷✉ ✈❡❝tì✳ ❇➔✐ t♦→♥ tè✐ ÷✉ ✈❡❝tì ✭❈❱❖P✮ ❝â ❞↕♥❣ s❛✉✿
min {f (x) : x ∈ K} ,
(1.7)
tr♦♥❣ ✤â✱ f : K → Rr ✱ ❝ü❝ t✐➸✉ ✤÷ñ❝ ❧➜② t❤❡♦ ♥â♥ ❧ç✐ ✤â♥❣ Q✱
K = {x ∈ C : g(x) ∈ −S, h(x) = 0} ,
ð ✤➙②✱ K ❧➔ t➟♣ ❝❤➜♣ ♥❤➟♥ ✤÷ñ❝ ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥ ✤÷ñ❝ t❤✐➳t ❧➟♣ ♥❤÷ tr♦♥❣
▼ö❝ ✶✳✶✳✶✳
t t tỡ P tr õ s F ữủ
F (x, y) = f (x) f (y), ợ ồ x, y K.
õ t tố ữ tỡ P tr t t tỡ
P
r trữớ ủ Q = Rr+ ỹ t Prt ữỡ ỹ
t Prt ữỡ tr t ổ tỗ t y M B(x; )
s
fk (x) fk (x), ợ ồ k J,
fs (x) < fs (x), ợ t t ởt s J.
(tữ fk (x) < fk (x), ợ ồ k J).
f : K Y ởt
tr tỡ F (x, y) = f (y) f (x), ợ ồ x, y K x K
ởt ỳ ỳ
s ỳ ừ t P t x K ồ ỳ
ỳ s ỳ tữ ừ