Phương pháp giải phương trình bậc cao dành cho học sinh bậc trung học cơ sở

I. Đại cơng về phơng trình

1. Khái niệm về phơng trình - nghiên cứu của phơng trình
Giả sử A(x) và B(x) là hai biểu thức chứa một biến (x).
Khi nói A(x) = B(x) là một phơng trình, ta hiểu rằng phải
tìm giá trị của x để các giá trị tơng ứng của hai biểu thức
này bằng nhau.
Biến x đợc gọi là ẩn số.
Giá trị tìm đợc của ẩn số gọi là nghiệm của phơng
trình.
Việc tìm nghiệm gọi là giải phơng trình.
Mỗi biểu thức gọi là một vế của phơng trình.
2. Điều kiện xác định của phơng trình
Điều kiện xác định của một phơng trình là tập hợp các
giá trị của ẩn làm cho mọi biểu thức trong phơng trình có
nghĩa.
Tập xác định viết tắt là: ĐKXĐ
3. Hai phơng trình tơng đơng
Hai phơng trình đợc gọi là tơng đơng nếu chúng có
cùng một tập hợp nghiệm.
II. Phơng trình bậc cao

1. Định nghĩa
Ta gọi phơng trình Đại số bậc n (n 3) ẩn x trên trờng số
thực là các phơng trình đợc đa về dạng:
anxn+an-1xn-1+...+a1x+a0= 0

(1)

Trong đó n N*; a1, a2 ... an R;a n 0 .
2. Phơng pháp chung để giải phơng trình bậc cao

Quy về phơng trình bậc nhất và phơng trình bậc hai.
III. Những kiến thức bổ trợ để giải phơng trình bậc cao


1




1. Phơng trình bậc nhất một ẩn số
Dạng tổng quát ax+b = 0; trong đó a, b là các hằng số; a
0.

Nghiệm là x = -b/a
* Nhận xét: Giải phơng trình mx+n = 0, phơng trình
đã cho cha chắc đã là phơng trình bậc nhất nên khi giải cần
phải xem xét hết các trờng hợp.
+ Nếu m 0 thì phơng trình có nghiệm duy nhất x =
-n/m
+ Nếu m= 0 thì phơng trình có dạng 0x = n
+ Nếu n = 0 thì phơng trình vô số nghiệm.
+ Nếu n 0 thì phơng trình vô nghiệm.
2. Phơng trình bậc hai một ẩn
* Dạng tổng quát: ax2 + bx+c = 0, trong đó a, b, c
R, a

0

Cách giải:
* Dùng công thức nghiệm:

=b2 - 4ac
+ <0, PT vô nghiệm
+ = 0, PT có nghiệm kép

'=b'2 - ac
+ ' <0, PT vô nghiệm
+ ' = 0, PT có nghiệm kép

x1 = x2 =-b/2a
x1 = x2 =-b'/a
+ > 0, PT có 2 nghiệm + ' > 0, PT có 2 nghiệm
phân biệt
x1,2

b
2a

phân biệt
x1,2

b ' '
a

* Dùng định lý Vi-et
Nếu phơng trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 có hai nghiệm
x1, x2 thì
S = x1 + x2 = -b/a
P = x1.x2 = c/a
* Phân tích vế trái thành tích:
3. Phơng trình tích

2




Phơng trình tích là phơng trình có dạng:
F(x). G(x) ... H(x) = 0
Cách giải:
F(x) 0


G(x) 0
F(x). G(x) ... H(x) = 0

.............

H(x) 0


4. Các định lý
Định lý 1: Trên trờng số thực, mọi phơng trình bậc n
luôn phân tích đợc thành tích của các nhị thức bậc nhất và
các tam thức bậc hai.
Định lý 2: Nếu phơng trình P(x) có nghiệm x=a thì
P(x) M(x-a)
Định lý 3:
+ Nếu phơng trình P(x) = 0 có tổng các hệ số bằng 0
thì x=1 là một nghiệm của phơng trình.

+ Nếu phơng trình P(x) =0 có tổng các hệ số của các số
hạng bậc chẵn bằng tổng các hệ số của các số hạng bậc lẻ thì
x=-1 là nghiệm của phơng trình.
Định lý về bất đẳng thức:
(1) A B A B Dấu "=" xẩy ra khi AB 0
(2) A B A B Dấu "=" xẩy ra khi AB 0
(3) A A Dấu "=" xẩy ra khi A 0
IV. Một số phơng pháp thờng dùng để giải phơng trình bậc
cao

1. Phơng pháp 1: Đa về phơng trình tích.
a. Định nghĩa: Phơng trình tích là phơng trình có
dạng.
F(x). G(x) ... H(x) = 0

(1)

b. Cách giải:


3




000000000

00000000000000000000

Giải: Ta nhóm các hạng tử thích hợp ở vế trái tạo thành các
bình phơng đúng rồi sử dụng công thức A2 - B2 = (A - B).(A +
B) để biến vế trái thành tích. x 4 + 4x3 + 3x2 + 2x - 1= 0
(x2 + 2x)2 - (x-1)2 =0
(x2 + x+ 1) (x2 +3x-1) = 0
PT vô nghiệm


x
2
x

2

Tập


x 1 0
3 13
3 13

3x 1 0
x
; x2
1
2
2

nghiệm

của

phơng

trình

(1.2)

là

S=

3 13 3 13
;


2
2


Ví dụ 3:
Giải phơng trình: x4 - 4x3 - 10x2 + 37x - 14 = 0
(1.3)
Giải: Vế phải là một đa thức bậc 4, giả sử phân tích đợc
thành hai nhân tử bậc hai x2 + pq+q và x2 + rx + s; Trong đó
p, q, r, s là các số nguyên cha xác định, khi đó:
x4 - 4x3 - 10x2 + 37x - 14 = (x2 + pq + q) (x2 + rx + s)
Khai triển, nhóm các hạng tử rồi đồng nhất các số hạng
cùng bậc ở hai vế của đồng nhất thức ta có hệ sau:
p q 4

s p qr 10


ps qr 37


qs 14


Giải hệ phơng trình này ta đợc p =-5; q=2; s= -7; r=1
do đó phơng trình đã cho trở thành: (x2 - 5x + 2) (x2 + x -7)
=0

x 2 5x 2 0
2

x x7 0



5 17
5 17
x1
; x2

2
2

1 29
1 29
x3
; x4


2
2

5




Tập nghiệm của phơng trình (1.3)
5 17 5 17 1 29 1 29
;
;
;

2
2
2

2

S=

Ví dụ 4: Giải phơng trình: x4 - x3 + 2x2 - x + 1 = 0

(1.4)
Giải: Phơng trình (1.4) <=> (x2 + 1)2 - x(x2 + 1) = 0
<=> (x2 + 1)2 (x2-x + 1) = 0
Cả hai thừa số ở phía trái đều dơng nên tập nghiệm của
phơng trình (1.4) là S =
Ví dụ 5:
Giải phơng trình: (x2 - 4)2 = 8x + 1

(1.5)

Giải: Phơng trình (1.5) <=> (x2 - 4)2 + 16x2 = 16x2 +
8x 1
<=> (x2 - 4)2 - (4x + 1)2 = 0
<=> (x2 + 4x + 5) (x2 - 4x + 3) = 0
PT vô nghiệm


x 2 4x 5 0

2

x1 1; x 2 3
x 4x 3 0



Tập nghiệm của phơng trình (1.5) là S{1;3}
Ví dụ 6: Giải phơng trình: 12x3 - 3x2 - 7x + 8 = 0
(1.6)
Giải: Ta thấy x=-1 là nghiệm của phơng trình (1.6)

=> phơng trình (1.6) <=> (x+1) (12x2 - 15x+8) = 0
x 1 0

2

12x 15x 8 0


Tập

nghiệm

x1 1


15 129
15 129

x
; x3
2
24
24

của

phơng

trình

(1.6)

là

S

15 129 15 129
;
1;

24
24



2. Phơng pháp 2: Đặt ẩn phụ
Phơng pháp này đợc dùng với các dạng phơng trình sau:


6



=


2.1. Phơng trình trùng phơng:
a. Định nghĩa: Phơng trình trùng phơng là phơng trình
có dạng
ax4 + bx2 + c = 0 (a 0)

(2.1)

b. Cách giải:
+ Bớc 1: Đặt x2 = y (y 0)
=> (2.1) <=> ay2 + by + c = 0

(2.2)

Bớc 2: Biện luận phơng trình (2.2) qua các trờng hợp của
=b2-4ac
- Trờng hợp 1: <0 => (2.2) vô nghiệm => (2.1) vô
nghiệm.
- Trờng hợp 2: =0 => (2.2) có nghiệm kép y0=-b/2a
=>

Nếu y0 <0 => (2.1) vô nghiệm.
Nếu y0 =0 => (2.1) có một nghiệm x=0
Nếu y0 >0 => (2.1) có hai nghiệm.

x1 =

y0 ; x 2 y0

- Trờng hợp 3: >0 => (2.2) có hai nghiệm phân biệt
y1

b
b
; y2

2a
2a

(Không mất tính tổng quát ta giả sử y1 < y2).
- Nếu y1 < y2 < 0 => (2.1) vô nghiệm.
- Nếu y1 < y2 = 0 => (2.1) có một nghiệm x=0
- Nếu y1 <0< y2 => (2.1) có hai nghiệm x1 =

y2 ; x 2 y2

- Nếu 0=y1 < y2 => (2.1) có 3 nghiệm x 1 = 0; x2 =
y2 ; x3 y2

-

Nếu

0
<

y2

=>

(2.1)

có

4

nghiệm

y1 ; x 2 y 2 ; x 3 y 2 ; x 4 y 2

c. Các ví dụ:
Ví dụ 1: Giải phơng trình x4 - 5x2 + 6 = 0 (2.1.1)


7



x1

=


Giải: Đặt x2 = y 0 thì (2.1.1) <=> y2 - 5x + 6 = 0 => y1
= 2; y2 = 3
Với y1 = 2 => x2 = 2 => x1=

2; x 2 2

Với y2 = 3 => x2 = 3 => x3 = 3; x 4 3
Tập nghiệm của phơng trình (2.1.1) là S=



2; 2; 3; 3

Ví dụ 2: Giải phơng trình 2x4 + 7x2 + 3 = 0



(2.1.2)

Giải: Đặt x2 = y 0 thì (2.1.2) <=> 2y2 + 7y + 3 = 0
=> y1 -1/2 (loại); y2 -3 (loại)
Phơng trình (2.1.2) vô nghiệm.
Tập nghiệm của phơng trình (2.1.2) là: S =
Ví dụ 3: Giải phơng trình 3x4- 5x2 - 2 = 0 (2.1.3)
Giải: Đặt x2 = y 0 thì (2.1.3) <=> 3y2 - 5y - 2= 0
=> y1 = 2; y2 -1/3 (loại)
Với y1 = 2 => x2 = 2 => x1 =

2; x 2 2

Tập nghiệm của phơng trình (2.1.3) là S= 2; 2
2.2. Phơng trình đối xứng bậc chẵn
a. Định nghĩa: Phơng trình đối xứng bậc chẵn là phơng trình có dạng: a0x2n + a1x2n-1 + ..... an-1xn+1 + anxn + an+1xn-1
+...+ a1x+a0 = 0

(2.2)

b. Cách giải:
Nếu x = 0 không là nghiệm của phơng trình (2.2) thì ta
chia cả hai vế của phơng trình (2.2) cho x2 0
(2.2) <=> a0x2n + a1x2n-1 + ..... an-1x1 + anx0 + an+1x-1 +...+
a1x-(n-1)+a0x-n = 0

<=> a0(xn + x-n) + a1(xn-1 + x-(n-1)+...+an = 0
Đặt y = x + x-1 => ta đa phơng trình (2.2) về phơng trình
bậc 2 với ẩn y.
c. Các ví dụ:


8




Ví dụ 1: Giải phơng trình: 2x4 + 3x3 - 16x2 + 3x + 2 = 0
(2.2.1)
Giải: x = 0 không phải là nghiệm của phơng trình
(2.2.1), chia hai vế của phơng trình (2.2.1) cho x2 rồi nhóm lại
ta có:
(2.2.1) <=> 2(x2 + 1/x2) + 3(x+1/x) - 16 = 0
Đặt: y = x + 1/x ta đợc phơng trình bậc hai.
2y2 + 3y - 20 = 0 => y1 = 5/2; => y2 = -4
Với y1 = 5/2 => x+1/x = 5/2 <=> 2x2 - 5x + 2 = 0
=> x1 = 2; x2 = 1/2
Với y2 = -4 => x+1/x = -4 <=> x2 + 4x + 1 = 0
=> x3 = -2+

3 ; x4 = -2-

3

Tập nghiệm của phơng trình (2.2.1) là: S= {2;1/2;-2+
3 ;-2-

3}

Ví dụ 2: Giải phơng trình: x4 - 3x3 + 4x2 - 3x + 1 = 0
(2.2.2)
Giải: x = 0 không là nghiệm của phơng trình (2.2.2),
chia 2 vế của phơng trình (2.2.2) cho x2 rồi nhóm lại ta có:
(2.2.2) <=> (x2 + 1/x2) - 3(x+1/x)+4 = 0
Đặt x+1/x = y ta đợc phơng trình bậc hai.
y2 - 3y + 2 = 0
=>

y 1 = 1 ; y1 = 2

Với y1 = 1 => x + 1/x =1 <=> x2 - x + 1 = 0 phơng trình
vô nghiệm.
Với y2 = 2 => x + 1/x =2 <=> x2 - 2x + 1 = 0 => x = 1
Tập nghiệm của phơng trình (2.2.2) là: S = {1}
2.3 Phơng trình đối xứng bậc lẻ
a. Định nghĩa: Phơng trình đối xứng bậc lẻ là phơng
trình có dạng.


9




a0x2n+1 + a1x2n + ..... an+1xn+1 + anxn + an-1xn-1 +...+ a1x+a0
= 0 (2.3)

b. Cách giải: Phơng trình này luôn có nghiệm x=-1,. Do đó
ta chia cả hai vế của phơng trình (2.3) cho (x+1) ta đợc phơng
trình đối xứng bậc chẵn.
c. Các ví dụ:
Ví dụ 1: Giải phơng trình: 2x3 + 7x2 + 7x + 2 = 0
(2.3.1)
Giải: Ta thấy x =-1 là một nghiệm của (2.3.1)
Hạ bậc (2.3.1) <=> (x+1) (2x2 + 5x+2) = 0
<=> (x+1) (x+2).(2x+1) = 0
x 1 0



x20

2x 1 0


x 1


x 2


x 1/ 2


Tập nghiệm của phơng trình (2.3.1) là S = {1;-2;-1/2}
Ví dụ 2: Giải phơng trình: x7-2x6+3x5 - x4 - x3 + 3x2 -2x
+1 = 0(2.3.2)

Giải: Ta thấy x=-1 là một nghiệm của phơng trình
(2.3.2)
Dùng sơ đồ Hooc nơ để hạ bậc của phơng trình.
-1

1
-2
3
-1
-1
3
-2
1
1
-3
6
-7
6
-3
1
0
6
5
4
(2.3.2) <=> (x+1)(x - 3x + 6x - 7x3 + 6x2 - 3x + 1) = 0
Ta giải phơng trình: (x6 - 3x5 + 6x4 - 7x3 + 6x2 - 3x + 1) =

0

(*)

(Đây là phơng trình đối xứng bậc chẵn)
Ta thấy x=0 không là nghiệm của phơng trình (*), ta

chia cả 2 vế của (*) cho x3 0 ta đợc:
x3 - 3x2 + 6x - 7 + 6/x - 3/x2 + 1/x3 = 0
<=> (x3 + 1/x3) =3(x2 +1/x2) +6(x+1/x)-7=0 (**)


10




Đặt: x+1/x = t phơng trình

<=> t3 - 3t2 + 3t

(**)

-1=0
<=> (t-1)3 = 0
=> t =1
=> x+1/x = 1 <=> x2 - x + 1 = 0. Phơng trình này vô
nghiệm.
.

x+1=0 => x = -1

Tập nghiệm của phơng trình (2.3.2) là: S = {-1}
2.4. Phơng trình phản thơng

a. Phơng trình phản thơng là phơng trình có dạng:
ax4 + bx3 + cx2 - bx + a = 0

(2.4)

(Hoặc: ax4 -bx3 + cx2 - bx + a = 0 (2.4*)
b. Cách giải:
x= 0 không là nghiệm của (2.4), chia cả hai vế của (2.4)
cho x2 ta có:
(2.4) <=> ax2 + bx+c - b/x + a/x2 = 0
<=> a(x2 + 1/x2) + b(x-1/x) + c = 0
Đặt: x-1/x = y ta có phơng trình: ay2 + by + c + 2a = 0
giải phơng trình này ta đợc nghiệm y0, giải phơng trình: x1/x = y0 ta đợc nghiệm của phơng trình (2.4)
Giải tơng tự đối với phơng trình (2.4*).
c. Các ví dụ:
Ví dụ 1: Giải phơng trình: x4 - 7x3 + 8x2 + 7x+ 1 = 0
(2.4.1)
Giải: x = 0 không là nghiệm của phơng trình (2.4.1),
chia cả hai vế của phơng trình (2.4.1) cho x2 ta có: x2 - 7x + 8
+ 7/x+ 1/x2 = 0
<=> (x2 + 1/x2 )- 7(x - 1/x)+ 8 = 0
Đặt: x-1/x = y ta có phơng trình: y2 - 7y + 10 = 0


11




=> y1 = 5; y2 = 2

Với y1 = 5 => x - 1/x = 5 <=> x2 - 5x - 1 = 0
x1

5 29
5 29
; x2
2
2

Với y2 = 2 => x-1/x = 2 => x2 - 2x - 1 0
=> x3 = 1 +

2 ; x4 = 1-

2

Tập nghiệm của phơng trình (2.4.1) là:
S=

5 29 5 29
;
;1 2;1 2
2
2

Ví dụ 2: Giải phơng trình: 6x4 + 7x3 - 36x2 - 7x+ 6 = 0
(2.4.2)
Giải: x = 0 không là nghiệm của phơng trình (2.4.2),
chia cả hai vế của phơng trình (2.4.2) cho x2 ta có: 6x2 + 7x
-36 - 7/x+ 6/x2 = 0

<=> 6(x2 + 1/x2 )+ 7(x - 1/x)-36 = 0
Đặt: x-1/x = y phơng trình trở thành:
6(y2 +2)+ 7y -36 = 0
6y2 + 7y - 24 = 0
=> y1 = 3/2; y2 = -8/3
Với y1 = 3/2 => x - 1/x = 3/2 <=> 2x2 - 3x - 2 = 0=> x1 =
2; x2 = -1/2
Với y = -8/3 => x - 1/x = -8/3 <=> 3x 2 + 8x - 3 = 0=> x3
= 1/3; x4 = -3
Tập nghiệm của phơng trình (2.4.2) là: S = {2; -1/2; 1/3;
3}
2.5. Phơng trình hồi quy
a. Định nghĩa:
Phơng trình hồi quy là phơng trình có dạng:
ax4 + bx3 + cx2 dx+ e = 0

(2.5) trong đó: e/a =

(d/b)2 = t2


12




b. Cách giải:
x = 0 không là nghiệm của phơng trình (2.5), chia cả hai
vế của phơng trình (2.5) cho x2 thì (2.5) <=> ax2 + bx + c
d/x+ e/x2 = 0

<=> (ax2 + e/x2) + (bx d/x)+ c = 0
<=> a(x2 + t2x-2) + b(x tx-1)+ c = 0
Đặt: x tx-1 = y khi đó (2.5*) <=> ay 2 + by+ c 2at = 0
giải phơng trình này ta đợc nghiệm y0, giải x tx-1 = y0 ta đợc
nghiệm của phơng trình (2.5)
c. Các ví dụ:
Ví dụ 1: Giải phơng trình: x4 - 3x3 + 3x+1 = 0
(2.5.1)
Giải:
x = 0 không là nghiệm của phơng trình (2.5.1), chia cả
hai vế của phơng trình (2.5.1) cho x2 thì (2.5.1) <=> x2 - 3x
+ +3/x +1/x2 = 0
<=> (x2 + 1/x2) - 3 (x-1/x) = 0
Đặt: x-1/x = t ta có phơng trình: t2 - 3t + 2 = o => t 1 =
1; t2 = 2
Với t1 = 1 => x-1/x = 1<=> x 2- x-1= 0 => x1 =
1 5
1 5
; x2
2
2

Với t2= 2=> x-1/x = 2=> x2- 2x-1= 0 => x3 =
1 2; x 4 1 2

Tập nghiệm của phơng trình (2.5.1) là:
1 5 1 5

;
;1 2;1 2

2
2

S=

Ví dụ 2: Giải phơng trình: x4 + 3x3 - 14x2 - 6x + 4 = 0
(2.5.2)


13




Giải: Ta thấy x = 0 không là nghiệm của phơng trình
(2.5.2) chia hai vế của phơng trình (2.5.2) cho x2 0 ta đợc:
x2 + 3x - 14 - 6/x + 4/x2 = 0
Đặt: x-2/x = t => x2 + 4/x2 = t2 + 4
Phơng trình (2.5.2) trở thành: t2 + 3t - 10 = 0 => t1 = 2;
t2 = -5
Với t1 = 2 => x-2/x = 2 <=> x2 -2x - 2 = 0 => x1 =
1 3; x 2 1 3

Với t2 = -5 => x-2/x = -5 <=> x2 +5x - 2 = 0
=> x3 =

5 33
5 33
; x4
2

2

Tập nghiệm của phơng trình (2.5.2) là:



1 3;1 3;
S=


5 33 5 33
;

2
2


2.6. Phơng trình có dạng: (x+a)4 +(x+b)4 = c (2.6)
a. Cách giải:
Đặt y = x+

ab
ab
x y
2
2

ab

xa y

2
Khi đó:
x b y a b

2

Phơng trình (2.6) có dạng:
(y

ab 4
ab 4
ab 2 2
ab
) + (y
) = c <=> 2y4 + 12(
) y + 2(
2
2
2
2

)4 - c=0
Đây là phơng trình trùng phơng ta đã biết cách giải.
b. Các ví dụ:
Ví dụ 1: Giải phơng trình (x+2)4 + (x+8)4 = 272
(2.6.1)
Giải: Đặt y=x+

28
= x+5 => x=y-5
2

14




(2.6.1) <=> (y-3)4 + (y+3)4 = 272
<=> 2y4 + 108y2 + 162 = 272
<=> 2y4 + 108y2 - 110 = 0
<=> y4 + 54y2 - 55 = 0

(2.6.1')

Đặt: y2 = z 0 phơng trình (2.6.1') có dạng:
Z2 + 54z - 55 = 0 => z1 = 1; z2 = -55 (loại)
Với z1 = 1 =>y1 = 1; y2 = -1
y1 = 1 =>x1 = -4
y2 = -1 =>x2 = -6
Tập nghiệm của phơng trình (2.6.1) là: S{-4;-6}
Ví dụ 2: Giải phơng trình: (x-6)4 + (x-8)4 = 16
Đặt: y = x+

(2.6.2)

(6) (8)
= x-7 => x=y+7

2

(2.6.2) => (y+1)4 + (y-1)4 = 16
<=> 2y4 + 12y2 + 2 = 16
<=> y4 + 6y2 - 7 = 0
Đặt: y2 = z 0 phơng trình có dạng: z2 + 6z - 7 = 0 => z1 =
1; z2 =-7 (loại)
Với z1 = 1 => y1 = 1; y2 = -1
=> x1 = 8; x2 = 6 vậy tập nghiệm của phơng trình
(2.6.2) là: S= {8;6}
2.7. Phơng trình: (x+a)(x+b)(x+c)(x+d) = mx2 (2.7)
trong đó ad =bc
a. Cách giải:
Ta nhóm: [(x+a) (x+d)][ (x+b) (x+c)] = mx2
<=> [x2 + (a+d)x + ad] x2 + [(b+c)x + bc] = mx2 (2.7.1')
Ta thấy x = 0 không là nghiệm của phơng trình (2.7.1'),
chia cả hai vế của phơng trình (2.7.1') cho x2.
(2.7.1') <=> [x + (a+d) + ad x-1] x + (b+c) + bc x-1] = m



15




Đặt: y = x+ad x-1 ta có phơng trình: [y+(a+d] [y+(b+c)]
= m (2.7.1'')
Giải phơng trình (2.7.1'') ta đợc nghiệm y0.
Giải phơng trình x+ad x-1 = y0 ta đợc nghiệm của phơng

trình (2.7)
b. Các ví dụ:
Ví dụ 1: Giải phơng trình: (x+2)(x+3)(x+8)(x+12) = 4x2
(2.7.1)
Giải:
(2.7.1) <=> [((x+2) (x+12)][ (x+3) (x+8)] = 4x2
<=> (x2 + 14x+24) (x2 + 11x+ 24)= 4x2
Phơng trình này không có nghiệm x = 0, chia cả hai vế
của phơng trình x2 0 ta đợc phơng trình:
(x + 14+24/x) (x + 11+ 24/x)= 4.
Đặt: x+24/x = y rồi đa phơng trình về dạng:
(y+14)(y+11) = 4 <=> y2 + 25y+ 150 = 0 => y1 = -15;
y2 = -10
Với y1 = -15 => x+24/x = -15 <=> x2 + 15x + 24 = 0
x1

15 129
15 129
; x2
2
2

Với y2 = -10 => x+24/x = -10 <=> x2 + 10x + 24 = 0 =>
x3 = -6; x4 = 4
Tập nghiệm của phơng trình (2.7.1) là:

15 129 15 129
;
; 6; 4
2

2



S=

Ví dụ 2:
Giải phơng trình: (x+1) (x-4) (x+3) (x-12) = -2x 2
(2.7.2)
Giải: (2.7.2) <=> [(x+1) (x-12)] [(x-4) (x+3)] = -2x2



16




<=> (x2 - 11x - 12) (x2 - x - 12) = -2x2 phơng trình không
có nghiệm x=0, chia cả hai vế của phơng trình cho x2 0 ta
đợc:
(x - 11 - 12/x) ( x-1 - 12/x) = -2
Đặt: x-12/x = y phơng trình trở thành.
(y-11) (y-1) = -2 <=> y2 - 12y + 13 = 0
=> y1 = 1; y2 = 13
Với y1 = 1 => x-12/x = 1 <=> x 2 - x - 12 = 0 => x1 = 4; x2
= -3
Với y2 = 13 => x-12/x = 13 <=> x2 - 13x - 12 = 0
=> x 3
Tập

13 217
13 217
; x4
2
2

nghiệm

của

phơng

trình

(2.7.2)

là:

S=


13 217 13 217
;
4; 3;

2
2

2.8. Phơng trình dạng: d(x+a)(x+b)(x+c) = mx (2.8)
trong đó
d=

abc
; m=(d-a)(d-b) (d-c)
2

a. Cách giải: Đặt y = x+d => x=y-d thay vào phơng
trình (2.8) ta đợc phơng trình ẩn y; giải phơng trình đó ta
tìm đợc nghiệm y0. Giải phơng trình x=y0 - d ta tìm đợc x0
là nghịêm của (2.8)
b. Các ví dụ:
Ví dụ 1:
Giải phơng trình (x-2)(x-3)(x+7) = -72x
Giải: Đặt y=x+

(2) (3) 7
=x+1
2

(2.8.1)

=> x=y-1 thay vào

(2.8.1) ta có:

17




(y-3)(y-4)(y+6) = -72(y-1) <=> y3 - y2 + 42y = 0 <=>
y(y2- y + 42) = 0
y0

2
y y 42 0


Phơng trình vô
nghiệm

Với y = 0 => x = 0 - 1 = -1
Tập nghiệm của phơng trình (2.8.1) là: S={-1}
Ví dụ 2: Giải phơng trình: 8(x+2)(x+5)(x+9) = -18x
(2.8.2)
Giải: Đặt y=x=8 => x=y-8 thay vào (2.8.2) ta có:
8 (y-6) (y-3)(y+1) = -18 (y-8)
<=> 4y3 - 32y2 + 45y = 0 <=> y(4y2 - 32y + 45) = 0.
16 76
16 76
; y3
4
4

Giải phơng trình này ta đợc: y1 = 0; y2 =

Với y1 = 0 => x1 = -8
Với y2 =

16 76
16 76
=> x2 =
-8=
4
4

Với y3 =

16 76
76 16
=> x3 =
4
4

Tập

nghiệm

của

phơng

76 16
4

trình:

(2.8.2)

là:

S

=


76 16 76 16
;
8;

4
4



2.9. Phơng trình có dạng:
(x+a) (x+b) ( x+ c) (x+d) = m

(2.9) trong đó:

a+d= b +c
a. Cách giải: Ta nhóm [(x+a) (x+d) ] [(x+b) (x+c)] = m
(2.9.1')
Đặt: y = (x+a) (x+d) thay vào phơng trình (2.9.1') ta
tìm đợc y0. Giải phơng trình (x+a) (x+d) = y0 ta có x0 là
nghiệm của phơng trình (2.9.1')

b. Các ví dụ:


18




Ví dụ 1: Giải phơng trình: (x+5) (x+6) (x+8) (x+9) = 40
(2.9.1)
Giải: (2.9.1) <=> [(x+5) (x+9)] [(x+6) (x+8) ] = 40
<=> (x2 + 14x + 45) (x2 + 14x + 48) = 40
Đặt: x2 + 14x + 45 = y phơng trình có dạng: y(y+3) =
40
<=> y2 + 3y - 40 =0 => y1 = 5; y2 = -8
Với y1 = 5 => x2 +14x + 45 = 5 <=> x2+14x + 40 = 0=>
x1 =-4; x2=-10
Với y2 = -8 => x2 +14x + 45 =-8 <=> x2+14x + 53=0 PT
vô nghiệm.
Tập nghiệm của phơng trình: (2.9.1) là: S = {-4; -10}
Ví dụ 2: Giải phơng trình: (x-1) (x+7) (x2 + 2x - 15) =
297

(2.9.2)
Giải: (2.9.2) <=> (x-1) (x+7) (x-3) (x+5) = 297
<=> [(x-1) (x+5) [(x+7) (x-3)] = 297
<=>(x2 + 4x - 5) (x2 + 4x - 21) = 297
Đặt x2 + 4x - 5 = y phơng trình có dạng: y(y-16) = 297
<=> y2 - 16y - 297 = 0 => y1 = 27; y2 = -11
Với y1 = 27 => x2 + 4x - 5 = 27 => x2 + 4x - 32 = 0 => x1

=-8; x2 = 4
Với y2 =-11 => x2 + 4x - 5 = -11 => x 2 + 4x +6 = 0 PT vô
nghiệm.
Tập nghiệm của phơng trình (2.9.2) là: S = {-8;4}
2.10. Phơng trình tam thức:
a. Định nghĩa: Phơng trình tam thức là phơng trình có
dạng:
ax2n + bxn + c = 0 (a 0)

(2.10)

Trong đó: a,b,c là các số thức, n nguyên dơng, n 2.


19




Nếu a,b,c là các số thực đồng thời khác 0 và n = 2 thì
(2.10) là phơng trình trùng phơng.
b. Cách giải:

xn y
(*)
Đặt x = y (2.10) <=> 2
ay by c 0 (**)

n

Giải; (**) ta tìm đợc y0 thay vào (*) ta tìm đợc x0 là
nghiệm của (2.10).
c. Các ví dụ:
Ví dụ 1: Giải phơng trình: x6 - 7x3 + 6 = 0

(2.10.1)

Giải: Đặt x3 = y thì (2.10.1) <=> y2 - 7y + 6 = 0 => y1 =
1; y2 = 6
Với y1 = 1 => x3 = 1 => x=1
Với y2 = 6 => x3 = 6 => x =

3

6

Tập nghiệm của phơng trình (2.10.1) là: S = {1;
Ví dụ 2: Giải phơng trình: x10 + x5 - 6 = 0

3

6}

(2.10.2)

Giải: Đặt x5 = y thì (2.10.2) <=> y2 + y - 6 = 0 => y 1 =
2; y2 = -3
Với y1 = 2 => x5 = 2 => x =

5

2

Với y2 = -3 => x5 = -3 => x =

5

3

Tập nghiệm của phơng trình (2.10.2) là: S = { 5 2 ;

5

3 }

3. Phơng pháp 3: Đa hai vế về luỹ thừa cùng bậc.
a. Cơ sở lý luận: Thêm bớt vào hai vế của phơng trình đi
cùng một biểu thức (hay 1 số) để đa 2 vế của phơng trình trở
thành 2 luỹ thừa cùng bậc.
Phơng trình: An = Bn

(3.1)

+ Nếu n là số chẵn thì A = B
+ Nếu n là số lẻ thì A = B

(3.2)
(3.3)

Giải phơng trình (3.2) và (3.3) ta tìm đợc nghiệm của phơng trình (3.1)


20




b. Các ví dụ:
Ví dụ 1:
Giải phơng trình: x4 = 24x + 32

(3.1.1)

Giải: Cộng 4x2 + 4 vào hai vế của phơng trình (3.1.1) ta
có:
x4 +4x2 + 4 = 4x2 + 24x + 36
<=> (x2 + 2)

2

= (2x+ 6)2

2

x2+2=2x+6 x -2x-4=0 x1=1+ 5; x2=1- 5
<=> 2
x +2=-2x-6 x2+2x=4=0 phơng trình vô

nghiệm
Tập nghiệm của phơng trình (3.1.1) là: S = { 1 5 ; 1 5
}
Ví dụ 2: Giải phơng trình: (x2 - 9)2 = 12x +1 (3.1.2)
Giải: Cộng 36x2 vào hai vế của phơng trình thì (3.1.2)
<=> (x2 - 9)2 + 36x2 = 36x2 + 12x + 1
<=> (x2 + 9)2 = (6x + 1)2

x2+9=6x+1
<=> 2
x +9=-6x-1


x2-6x+8=0
x =2; x =4
1
2

<=> 2
trình vô

x +6x+10=phơng
0


nghiệm

Tập nghiệm của phơng trình (3.1.2) là: S = {2;4}
4. Phơng pháp 4: Dùng bất đẳng thức

a. Cơ sở lý luận:
* Dùng tính đơn điệu của hàm số trên từng khoảng:
Đa phơng trình đã cho về dạng f(x) = g(x)

(1*)

+ Nếu x1 > x2 mà f(x1) > f(x2) thì f(x) là hàm đồng
biến.
+ Nếu x1 > x2 mà f(x1) < f(x2) thì f(x) là hàm nghịch
biến.


21




+ Nếu

f(x) tăng trên [a,b]
g(x) giảm trên [a,b] thì x0 là nghiệm duy nhất

của (1*)
f(x0) = g(x0)
+ Nếu

f(x) giảm trên [a,b]
g(x) tăng trên [a,b] thì x0 là nghiệm duy nhất

của (1*)

f(x0) = g(x0)
* Dùng các bất đẳng thức.
A B A B dấu "=" xẩy ra khi AB 0
A B A B dấu "=" xẩy ra khi AB 0
A A dấu "=" xẩy ra khi A 0

b. Các ví dụ:
Ví dụ 1: Giải phơng trình: x x 1 1

(4.1)

Giải: áp dụng hằng bất đẳng thức
A B A B dấu "=" xẩy ra khi AB 0
x x 1 x 1 x x 1 x

1

Xẩy ra dấu đẳng thức khi và chỉ khi: x(1-x) 0 <=> 0
x 1
Tập nghiệm của phơng trình (4.1) là: S = {x/0 x 1}
5

6

Ví dụ 2: Giải phơng trình x 8 x 9 1

(4.2)

Giải: Viết phơng trình (4.2) dới dạng:
5

6

x 8 x 9 1

Dễ thấyx =8; x =9 đều là nghiệm của(4.2).Xét các giá
trị còn lại của x.
6

5

Với x<8 thì 9 x 1 9 x 1 còn x 8 0



22




5

6

=> x 8 x 9 1 vậy phơng trình (4.2) vô nghiệm khi
x<8.
5

6

Với x>9 thì x 8 1 x 8 1 còn 9 x >0
5

6

=> x 8 x 9 1 phơng trình (4.2) vô nghiệm khi x>9.
Với 85

0 < x - 8 < 1 => x 8 x 8 = x - 8
6

0< 9 - x < 1 => 9 x 9 x 9 x
5

6

5

6

=> x 8 x 9 x 8 9 x
=> x 8 x 9 1 => phơng trình (4.2) vô nghiệm.
Kết luận:Tập nghiệm của phơng trình (4.2) là: S = {8;9}
5. Phơng pháp 5: Dùng tính chất về số nghiệm thực
của phơng trình
a. Cơ sở lý luận:
Ngời ta chứng minh đợc rằng phơng trình đại số bậc n
có

không quá n nghiệm thực. Do đó nếu ta chỉ ra đợc n

nghiệm của một phơng trình đại số bậc n thì đó là tất cả
các nghiệm của phơng trình đó.
Ví dụ: Giải phơng trình với a là tham số:
(a2 - a)2 (x2 - x+1)3 = (x2 - x)2 (a2 - a + 1)3

(5.1)

Giải: Với a = 0 hoặc a = 1 thì (5.1) có hai nghiệm: 0 và 1
Xét a 0, a 1. Khi đó x 0 (Vì nếu x = 0 thì a = 0
hoặc a = 1). Gọi m là nghiệm của (5.1).
=> (a2 - a)2 (m2 - m + 1)3 = (m2 - m)2 (a2 - a + 1)3

(5.1.1')

Chia hai vế của (5.1.1') cho m2 ta có:
(a2 - a)2 (1-1/m+1/m2)3 = (1/m - 1/m2)2 (a2 - a + 1)3
<=> (a2 - a)2 (1/m2 - 1/m + 1)3 = (1/m2 - 1/m)2 (a2 - a +
1)3.



23




Điều này chứng tỏ rằng 1/m cũng là nghiệm của (5.1). Ta
dễ dàng chứng minh đợc 1- m cũng là nghiệm của (5.1).

Vậy a là một nghiệm của (5.1) theo trên thì 1/a và 1-a
cũng là nghiệm của (5.1). Do 1/a là nghiệm của (5.1) nên 1-1/a
cũng là nghiệm của (5.1).
Do 1-a là nghiệm của (5.1) nên

1
cũng là nghiệm của
1 a

(5.1).
Do đó 1-

1
cũng là nghiệm của (5.1).
1 a

Điều kiện để sáu giá trị a, 1/a, 1-a, 1-1/a,

1
1
, 1đôi
1 a
1 a

1 khác nhau là: a 0, a 1, a -1; a 2; a 1/2.
Các trờng hợp a = 0, a = 1 đã xét ở trên.
Trong mỗi trờng hợp a = -1, a =2, a = 1/2, phơng trình
(5.1) đều có dạng: 4(x2 - x + 1)3 = 27 (x2 - x)2.
<=> (x+1)2 (x-2)2 (2x-1)2 = 0
Phơng trình có 3 nghiệm kép: -1; 2; 1/2.

Trong trờng hợp a 0, a 1, a 2, a 1/2, phơng trình có
6 nghiệm nêu trên, không còn nghiệm nào khác.
6. Một số phơng pháp khác:
Ví dụ 1:
Giải phơng trình: (3-x)4 + (2-x)4 = (5-2x)4

(6.1)

Giải: Đặt 3-x = y; 2-x = z => 5-2x = y+z phơng trình
(6.1 có dạng:
y4 + z4 = (y+z)4. Khai triển vế phải, rút gọn rồi biến đổi
ta đợc:
yz (2y2 + 3yz + 2z2 ) = 0

y0


z0

2y 2 3yz 2z 2 0



24




Với y = 0 => 3-x = 0 => x1 = 3
Với z = 0 => 2 - x = 0 => x2 = 2

Với 2y2 + 3yz + 2z2 = 0 => 2(3-x)2 + 3 (3-x) (2-x) + 2 (2x)2 = 0
<=> 7x2 - 35x + 44 = 0 phơng trình vô nghiệm.
Tập nghiệm của phơng trình (6.1) là: S = {3;2}
Ví dụ 2:
Giải phơng trình:
(x2 - x + 1)4 - 10x2 (x2 - x + 1)2 + 9x4 = 0 (6.2)
Giải: Đặt (x2-x+1)2 = y phơng trình (6.2) trở thành: y210x2y +9x4 = 0
<=> (y-x2) (y-9x2) = 0 => y1 = x2; y2 = 9x2

x2 x 1 x
Với y1 = x => (x - x + 1) = x <=> 2
x x 1 x

2

2

2

2


x 2 2x 1 0 x1 x 2 1
2
Phơng trình vô
x 1 0


nghiệm

x 2 x 1 3x
Với y2 = 9x => (x - x + 1) = 9x 2
x x 1 3x

2


x 2 4x 1 0
2
x 2x 1 0


2

2

2

x 3 2 3; x 4 2 3
x 5 x 6 1

Tập nghiệm của phơng trình (6.2) là: S = {1; - 1; 2 3 ;
2 3}

Ví dụ 3:
Giải và biện luận phơng trình với a là tham số:
x4 - 2ax2 - x + a2 - a = 0

(6.3)

Giải: Biến đổi (6.3) <=> (x2 - x - a) (x2 + x + 1 - a) = 0

x2 x a 0
(*)
2
x x 1 a 0 (**)


Phơng trình (*) có 1 = 1+4a, phơng trình (**) có 2 =
4a-3
- Nếu a<-1/4 phơng trình vô nghiệm
- Nếu a =-1/4 phơng trình có nghiệm duy nhất x = 1/2
- Nếu -1/4

25