Phân tích thống kê mô hình ARCH và một số ứng dụng trong tài chính

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

ĐÀO VIỆT HÙNG

PHÂN TÍCH THỐNG KÊ MÔ HÌNH ARCH
VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG TRONG TÀI CHÍNH

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Hà Nội - 2012


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

ĐÀO VIỆT HÙNG

PHÂN TÍCH THỐNG KÊ MÔ HÌNH ARCH
VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG TRONG TÀI CHÍNH
Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất và thống kê toán học
Mã số: 60 46 15

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
GS.TS. Nguyễn Văn Hữu

Hà Nội - 2012

Lời cảm ơn

Trước khi trình bày nội dung chính của khóa luận, tác giả xin được bày tỏ lòng
biết ơn sâu sắc đối với GS.TS Nguyễn Văn Hữu - Đại học KHTN - ĐHQGHN,
người thầy đã động viên, tận tình hướng dẫn để tác giả có thể hoàn thành luận văn
này.
Tác giả cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn thể các thầy cô giáo
trong khoa Toán - Cơ - Tin học, Đại học Khoa Học Tự Nhiên, đã dạy bảo tác giả tận
tình trong suốt quá trình học tập tại khoa. Tác giả xin gửi lời cám ơn tới tập thể thầy
cô giáo Bộ môn Toán, trường Đại học Thủy Lợi, nơi tác giả đang công tác, đã hết
sức tạo điều kiện, chia sẻ gánh vác công việc để tác giả hoàn thành quá trình học
tập và luận văn này.
Nhân dịp này tác giả cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn
bè đã cổ vũ, động viên, giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình học tập và thực hiện đề
tài.
Một lần nữa, tác giả xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, ngày 01 tháng 07 năm 2012
Học viên

Đào Việt Hùng

2


Mục lục
MỞ ĐẦU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

Chương 1. Mở đầu về chuỗi thời gian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.1. Mô hình hóa chuỗi thời gian bởi các quá trình ngẫu nhiên . . . . . . . .

8

1.2. Tính dừng mạnh và dừng yếu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

1.3. Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

1.4. Quá trình phi tuyến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

1.4.1. Thống kê "cái treo áo" (statistique portmanteau) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

1.4.2. Một số hệ quả của giả thiết về nhiễu trắng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

Chương 2. Mô hình ARCH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19

2.1. Mô hình ARCH một chiều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19

2.1.1. Mô hình với phương sai không thuần nhất cấp 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19

2.1.2. Tính chất của quá trình sai số εt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

2.1.3. Tính chất của quá trình {Yt , t ∈ Z} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

2.1.4. Phân bố của các sai số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

22

2.2. Tính chất chung của các mô hình ARCH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23

2.2.1. Các hướng mở rộng khác nhau. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23

2.2.2. Tính dừng của mô hình GARCH(p,q) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25

2.2.3. Độ nhọn (Kurstosis) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

26

2.2.4. Phương trình Yule - Walker cho bình phương của một quá trình GARCH . . .
27

3


MỤC LỤC

4

Chương 3. Ước lượng và kiểm định (Mô hình ARCH một biến) . . . . . . .

29

3.1. Ước lượng bằng phương pháp giả hợp lý cực đại . . . . . . . . . . . . . . . .

29

3.1.1. Phương pháp chung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

29

3.1.2. Trường hợp mẫu độc lập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

30

3.1.3. Mô hình hồi qui với sai số có phương sai không thuần nhất . . . . . . . . . . .

32

3.1.4. Mô hình hồi qui với sai số ARCH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

36

3.1.5. Áp dụng của mô hình GARCH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

38

3.2. phương pháp ước lượng theo 2 bước . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

39

3.2.1. Mô tả phương pháp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

39

3.2.2. So sánh các phương pháp ước lượng với giả thiết về phân bố chuẩn có điều
kiện . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

40

3.2.3. Nghiên cứu độ mất hiệu quả . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

41

3.3. Khoảng dự báo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

43

3.4. Kiểm định tính thuần nhất của phương sai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

46

3.4.1. Mô hình hồi qui với sai số có phương sai không thuần nhất . . . . . . . . . . .

46

3.4.2. Một biểu diễn của thống kê tiêu chuẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

48

3.4.3. Áp dụng cho mô hình hồi qui với sai số ARCH và GARCH . . . . . . . . . . .

49

3.4.4. Ví dụ minh họa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

51

Chương 4. Mô hình ARCH nhiều biến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

56

4.1. Các mô hình không có rằng buộc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

56

4.1.1. Mô hình GARCH nhiều biến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

56

4.1.2. Các ràng buộc về tính dương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

58

4.1.3. Các rằng buộc về tính ổn định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

58

4.1.4. Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

59

4.1.5. Khai triển phổ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

60

4.2. Mô hình ràng buộc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

62

4.2.1. Mô hình đường chéo (Bollerslev − Engle −Wooldridge (1988)) . . . . . .

62

4.2.2. Mô hình tương quan có điều kiện hằng số (Bollerslev (1987)) . . . . . . . .

64

4.2.3. Mô hình với các hệ số ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

65

4.2.4. Mô hình dựa trên phân tích phổ (Baba - Engle - Kraft - Kroner (1987) ; Engle
- Ridrigues (1987) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

66

4.2.5. Mô hình ARCH với các nhân tố ( Dicbold-Nerlove(1988,1989)) . . . . . .

67


MỤC LỤC

5

4.3. Ước lượng các mô hình động phương sai không thuần nhất . . . . . .

68

4.3.1. Ước lượng bằng phương pháp giả hợp lý cực đại . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

68

4.3.2. Tính chất tiệm cận của phương pháp giả hợp lý cực đại . . . . . . . . . . . . . . .

70

4.3.3. Mô hình với tương quan có điều kiện hằng số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

71

Chương 5. Danh mục đầu tư hiệu quả và danh mục đầu tư bảo hộ . . . .

73

5.1. Xác định danh mục đầu tư hiệu quả . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

73

5.2. Tiêu chuẩn trung bình phương sai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

75

5.3. Danh mục đầu tư hiệu quả theo tiêu chuẩn trung bình - phương sai . .
76
5.3.1. Xác định danh mục hiệu quả khi không tồn tại chứng khoán không rủi ro . . .
76
5.3.2. Sử dụng để phân loại các chứng khoán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

78

5.3.3. Xác định danh mục tối ưu trong trường hợp có chứng khoán không rủi ro . . .
78

5.4. Tính chất của tập các danh mục đầu tư hiệu quả . . . . . . . . . . . . . . . .

79

5.4.1. Tập các danh mục đầu tư hiệu quả . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

79

5.4.2. Sự tồn tại các nhân tố . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

81

5.5. Danh mục đầu tư bảo hộ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

83

KẾT LUẬN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

86


MỞ ĐẦU

Sự phát triển của các mô hình chuỗi thời gian đã được phát triển rất nhanh để mô
tả sự biến đổi theo thời gian của chuỗi các biến ngẫu nhiên trong kinh tế, kỹ thuật
và phục vụ cho việc chẩn đoán tính mùa, dự báo, điều khiển các hệ. Vào những năm

70 một lớp các mô hình loại ARMA đã được nghiên cứu. Các mô hình đó dựa trên
giả thiết giá trị hiện tại của chuỗi biểu diễn tuyến tính qua các giá trị quá khứ của
chuỗi và nhiều ngẫu nhiên. Tuy nhiên các mô hình đó có những bất tiện, nó dựa
trên tính chất tuyến tính và phải hạn chế các tham số để mô tả cấu trúc của các hiện
tượng. Trong các lĩnh vực ứng dụng của mô hình ARMA cổ điển, mô hình ARMA
đã bộc lộ các nhược điểm khi nghiên cứu các bài toán trong kinh tế, tài chính và
tiền tệ. Trước tiên, các chuỗi đó thể hiện tính phi tuyến : sự biến thiên giá trị hiện tại
của chuỗi, độ biến động phụ thuộc (phi tuyến) vào các giá trị quá khứ. Mặt khác có
các lý thuyết về tài chính và tiền tệ dựa trên học thuyết về cân bằng và thái độ hợp
lý của các hãng khi can thiệp vào thị trường và lẽ tự nhiên phải đưa ra và kiểm định
các rằng buộc cấu trúc của các tham số. Các mô hình ARCH mô hình phương sai
của sai số có điều kiện tự hồi quy (Conditionally autoregressive heterosedastivity)
được đưa ra bởi Engle 1982. Có khoảng 50 bài báo và hàng chục luận án nghiên
cứu về mô hình ARCH. Sự phát triển nhanh chóng của các công trình nghiên cứu
thể hiện tầm quan trọng của các mô hình ARCH trong lý thuyết thống kê và các áp
dụng của nó.
Về phương diện thống kê các mô hình ARCH lập nên một lớp các mô hình phi
tuyến. Với các mô hình đó người ta cần nghiên cứu một số bài toán cổ điển : Kiểm
tra các cơ chế ngẫu nhiên, xác định khoảng các dự báo . . .

6


MỤC LỤC

7

Trong lĩnh vực tài chính người ta đã áp dụng các mô hình ARCH trong đó sự
biến động (Voltality) của chuỗi phụ thuộc vào thời gian. Người ta cũng sử dụng
mô hình ARCH trong tài chính để nghiên cứu danh mục các đầu tư tối ưu (optimal

portefolio), định giá các quyền chọn, hiệu quả của các thông tin khác nhau về thị
trường.
Cấu trúc của luận văn:
• Chương 1 : Mở đầu về chuỗi thời gian.
• Chương 2 : Mô hình ARCH một biến.
• Chương 3 : Ước lượng và kiểm định mô hình.
• chương 4 : Mô hình ARCH nhiều biến.
• chương 5 : Danh mục đầu tư hiệu quả và danh mục đầu tư bảo hộ.


Chương 1

Mở đầu về chuỗi thời gian

1.1.

Mô hình hóa chuỗi thời gian bởi các quá trình
ngẫu nhiên

Việc phân tích động học các chuỗi kinh tế dựa trên các quan sát các dữ liệu theo
thời gian nói chung các chuỗi đó bộc lộ một số các tính chất thông thường : Các
thành phần bùng nổ hoặc tuần hoàn (xem : chuỗi thời gian về số người thất nghiệp
ở Pháp), xu thế, lợi tức của quá trình kinh doanh . . . và các chuỗi đó được xem như
thể hiện theo thời gian của một quá trình ngẫu nhiên nào đó.
Một quá trình ngẫu nhiên (QTNN) với thời gian rời rạc là dãy các biến ngẫu
nhiên xác định trên một không gian xác suất (Ω, A, P) nào đó. Các biểu ngẫu nhiên
đó có thể là 1 hoặc nhiều chiều được gắn với chỉ số thời gian t. Để đơn giản ta giả
thiết rằng các thời điểm quan sát cách đều nhau và gắn chỉ số nguyên. QTNN sẽ
được ký hiệu :
Y = (Yt , t ∈ τ)

(1.1.1)

Trong đó τ ⊂ N hoặc Z (N : tập số nguyên, Z : tập các số nguyên mở rộng). Khi Y
là quá trình ngẫu nhiên n chiều ta viết :
Yt = (Y j t , j = 1, . . . , n)

8

(1.1.2)


CHƯƠNG 1. MỞ ĐẦU VỀ CHUỖI THỜI GIAN

9

Mỗi dãy Y j = (Y j t , t ∈ τ) xác định một quá trình ngẫu nhiên 1 chiều.
Các định nghĩa : Nếu ω ∈ Ω xác định một quá trình ngẫu nhiên thì dãy quan
sát Yt (ω), t = 1, . . . , T được gọi là quĩ đạo của quá trình.
Theo định lý Kolmogora phân bố xác xuất trên không gian các quĩ đạo được xác
định duy nhất bởi các phân bố hữu hạn chiều của (Yt1 , . . . ,Ytn ) với n và các t1 , . . . ,tn
tùy ý. Phân bố đó được xác định bởi phân bố biên duyên của Yt và các phân bố có
điều kiện của Yt khi biết Yt−1 = yt−1 , . . . ,Yt−k = yt−k . Trong trường hợp của luật
phân bố liên tục ta có thể đưa ra mật độ biên duyên và mật độ có điều kiện tương
ứng :
f (yt ) và ft |t−1,...,t−k (yt | yt−1 , . . . , yt−k )
Khi đó mật độ của (Yt ,Yt−1 , . . . ,Yt−k ) được cho bởi :
ft−k (yt−k ) · ft−k+1 |t−k (yt−k+1 | yt−k ) · · · ft |t−1,...,t−k (yt | yt−1 , . . . , yt−k )

(1.1.3)

Khi các thành phần Y j t là bình phương khả tích theo P thì quá trình Y được gọi là
quá trình cấp 2.
mt = E Yt ; m j t = E(Y j t ) ; j = 1, 2, . . . , n

(1.1.4)

là hàm giá trị trung bình.
Γ(t; h) = E [(Yt − E Yt )(Yt+h − E Yt+h ) ] ; t, h ∈ τ

(1.1.5)

là ma trận hiệp phương sai của quá trình.
Định nghĩa 1.1
1. Quá trình Y được gọi là dừng mạnh khi và chỉ khi phân bố của (Yt+t1 , . . . , Yt+tn )
bằng phân bố của (Yt1 , . . . , Ytn ) , ∀ n, t, t1 , . . . , tn .
2. Quá trình Y là dừng (yếu) hoặc dừng cấp 2 khi và chỉ khi :
• Hàm trung bình mt = m; ∀t (không phụ thuộc vào thời gian).
• Hàm tự hiệp phương sai : Γ(t ; h) = Γ(h) không phụ thuộc t, ∀h ∈ τ. Rõ ràng
một quá trình ngẫu nhiên cấp 2 là dừng mạnh sẽ là dừng yếu. Nếu Y là quá
trình Gauss (tất cả phân bố hữu hạn chiều của nó là chuẩn ) thì nó là dừng


CHƯƠNG 1. MỞ ĐẦU VỀ CHUỖI THỜI GIAN

10

mạnh khi và chỉ khi nó là dừng yếu. Trong thực hành các chuỗi thời gian
thường được biến đổi để loại bỏ tính không dừng. Chẳng hạn dùng phép sai
phân :

Yt →

Yt = Yt −Yt−1 .

hoặc chuyển qua loga :
Yt → log Yt .
Giả thiết về tính Markov là một loại ý tưởng khác.
Định nghĩa 1.2
Quá trình Y gọi là quá trình Markov cấp K (K ∈ N) khi và chỉ khi :
ft |t−1,...,k (yt | yt−1 , . . . , yt−k ) = ft |t−1,...,t−K (yt | yt−1 , . . . , yt−K )
∀t, ∀ k

(1.1.6)

K.

tức là tất cả các thông tin chứa trong K giá trị của biến ngẫu nhiên đầu tiên.
Đặt Yt−1 = {Yt−1 ,Yt−2 , . . .}.
Kỳ vọng có điều kiện E (Yt |Yt−1 ) là xấp xỉ (phi tuyến) tốt nhất của Yt theo nghĩa
bình phương trung bình cực tiểu. Trong khi đó E L (Yt |Yt−1 ) ( E L ký hiệu kỳ vọng
tuyến tính) là xấp xỉ tốt nhất của Yt bởi hàm tuyến tính affine của Yt−1 ,Yt−2 ,. . .
Định nghĩa 1.3
Một quá trình ngẫu nhiên cấp 2 là :
• Một quá trình tự hồi qui cấp k khi và chỉ khi :
E(Yt |Yt−1 ) = E(Yt |Yt−1 , . . . ,Yt−k ), ∀t.
• Một quá trình tự hồi qui tuyến tính cấp k khi và chỉ khi :
E L(Yt |Yt−1 ) = E L(Yt |Yt−1 , . . . ,Yt−k ), ∀t.


CHƯƠNG 1. MỞ ĐẦU VỀ CHUỖI THỜI GIAN

1.2.

11

Tính dừng mạnh và dừng yếu

Một phần rất lớn các công trình về chuỗi thời gian giành cho việc nghiên cứu
các mô hình tuyến tính, đặc biệt các mô hình tự hồi qui trung bình trượt ARMA, đó
là chuỗi giá trị hiện tại Yt được biểu diễn bởi hàm tuyến tính của các giá trị quá khứ
và quá trình nhiễu trắng ε :
Yt = c + φ1Yt−1 + · · · + φ p Yt−p + εt − θ1 εt−1 − · · · − θq εt−q

(1.2.1)

Trong đó φ1 , . . . , φ p ; θ1 , . . . , θq là các ma trận vuông.
Ta có thể đưa ra đa thức toán tử trễ tự hồi qui, trung bình trượt :
φ (L) = Id − φ1 L − · · · − φ p L p
θ (L) = Id − φ1 L − · · · − φq Lq .

(1.2.2)

Trong đó L ký hiệu toán tử trễ :LYt = Yt−1 .
Khi đó biểu diễn (1.2.1) được viết dưới dạng :
φ (L)Yt = c + θ (L)εt

(1.2.3)

Các hệ số φ j , j = 1, . . . , p; θ j , j = 1, . . . , q thông thường có các rằng buộc bởi tính
dừng. Các ràng buộc đó liên quan tới nghiệm của các phương trình :

detφ (z) = 0 và detθ (z) = 0

(1.2.4)

Các nghiệm đó nằm ngoài hình tròn bán kính 1, tức là nghiệm z có |z| > 1.
Với rằng buộc của tính dừng các toán tử Φ(L) và θ (L) có ngược (khả nghịch),
điều đó dẫn đến biểu diễn :
Yt = Φ(L)−1 c + Φ−1 θ (L)εt

(1.2.5)

hoặc biểu diễn tự hồi qui vô hạn :
θ (L)−1 φ (L)Yt = θ (1)−1C + εt .

(1.2.6)

Thành công chủ yếu của mô hình ARMA là mô hình khá đơn giản, biểu diễn tuyến
tính qua các biến và qua một số tham số. Tính tuyến tính theo các biến đưa đến
các công thức dự báo đơn giản, tính tuyến tính theo tham số cho phép ta sử dụng
phương pháp ước lượng bình phương cực tiểu. Hơn nữa biểu diễn trung bình trượt
(1.2.6) xấp xỉ nhiễu trắng qua 1 số các quan sát. Ta có định lý phân tích của Wold.


CHƯƠNG 1. MỞ ĐẦU VỀ CHUỖI THỜI GIAN

12

Định lý 1.2.1. Một quá trình dừng yếu (Yt , t ∈ Z) sao cho :
lim E(Yt+h |Yt ) = E Yt

h→ ∞

luôn luôn có biểu diễn trung bình trượt vô hạn.
Yt = c0 + εt − A1 εt−1 − A2 εt−2 − · · · = c0 + A(L)εt .

(1.2.7)

Trong đó (εt , t ∈ Z) là dãy các biến ngẫu nhiên có Eεt = 0, phương sai thuần nhất,
V (εt ) = Γ, không tương quan cov(εt , εt ) = 0 ∀t

t và các hệ số A1 , A2 , . . . thỏa

mãn điều kiện dừng :
∞

∑ A j ΓA j < ∞.

j=0

Điều kiện
lim E (Yt+h |Yt ) = E Yt

h→∞

có nghĩa rằng các quan sát trước thời điểm t không mang các thông tin để dự báo
trên phạm vi vô hạn. Khi điều kiện đó được thỏa mãn, quá trình đó được gọi là chính
qui. Hơn nữa εt là sai số của dự báo tuyến tính.
εt = Yt − E L(Yt | εt−1 ).

(1.2.8)

εt được gọi là quá trình đổi mới.
Từ (1.2.7) ta có biểu diễn :
A(L)−1Yt = A(−1)−1C0 + εt .

(1.2.9)

Giả thiết H1 :
ε = (εt , t ∈ Z) là một nhiễu trắng yếu, tức là Eεt ≡ 0, phương sai thuần nhất
không tương quan.
Điều kiện này có thể biểu diễn theo thuật ngữ dự báo tuyến tính.
E L(εt | εt−1 ) = 0
V (εt ) = Γ, không phụ thuộc t.
Giả thiết H2 :

(H1 )


CHƯƠNG 1. MỞ ĐẦU VỀ CHUỖI THỜI GIAN

13

ε = (εt , t ∈ Z) là một hiệu martingale với phương sai thuần nhất :
E (εt | εt−1 ) = 0
V (εt ) = Γ, độc lập với t.

(H2 )

Giả thiết H3 :
ε = (εt , t ∈ Z) là một nhiễu trắng có điều kiên :

E (εt | εt−1 ) = 0
V (εt | εt−1 ) = Γ, độc lập với t.

(H3 )

Giả thiết H4 :
ε = (εt , t ∈ Z) là một nhiễu trắng mạnh, tức là một dãy các biến ngẫu nhiên
độc lập, cùng phân bố (i.i.d) với phương sai hữu hạn.
Giả thiết H5 :
ε = (εt , t ∈ Z) là một nhiễu trắng Gauss, tức là i.i.d với phân bố chuẩn.
Mỗi giả thiết về nhiễu trắng tương ứng với một khái niệm về biểu diễn trung
bình trượt hoặc tự hồi qui.
Ví dụ như ta đã thấy tất cả các quá trình dừng yếu chính qui chấp nhận biểu
diễn trung bình trượt với một nhiễu trắng yếu. Tuy nhiên nó không chấp nhận biểu
diễn trung bình trượt với nhiễu trắng mạnh. Trong trường hợp đó dự báo tốt nhất
E(Yt |Yt−1 ) là hàm phi tuyến của các giá trị quá khứ của quá trình.
Để thấy rõ sự khác nhau giữa giả thiết H1 và H5 ta cần nhắc lại một kết quả cổ
điển liên quan tới quá trình dừng mạnh : người ta đã khẳng định rằng (xemNisio(1960), (1961))
tất cả các quá trình dừng mạnh có thể xấp xỉ bởi một đa thức của các nhiễu trắng
Gauss với độ chính xác bao nhiêu tùy ý. Cụ thể, tất cả các chuỗi dừng mạnh chấp
nhận biểu diễn sau :
∞

Yt = µ +

∑

i=−∞

θi εt−i + ∑ ∑ θi j εt−i εt− j

i

j

+ ∑ ∑ ∑ θi j k εt−i εt− j εt−k + · · ·
i

j

k

Trong đó ε = (εt , t ∈ Z) là nhiễu trắng Gauss.
Khai triển trên là khai triển Volterra.


CHƯƠNG 1. MỞ ĐẦU VỀ CHUỖI THỜI GIAN

14

Rõ ràng rằng Yt cũng là quá trình cấp 2, theo định lý Wold nó chấp nhận biểu
diễn :
Yt = µ + ∑ θ j∗ ut− j
j

Trong đó u = (ut ) là một nhiễu trắng yếu.
Hai biểu diễn trên trùng nhau, tức là u sẽ bằng ε khi và chỉ khi các thành phần
cấp

2 cần phải triệt tiêu trong biểu diễn Volterra :
θi j = 0, ∀ i, j ; θi j k = 0, ∀ i, j, k, . . .

Trong phần sau chúng ta sẽ đưa ra các ví dụ khác nhau về quá trình dừng yếu (tức
là quá trình tuyến tính yếu theo khai triển Wold). Trong đó quá trình đổi mới tuyến
tính Yt − EL(Yt |Yt−1 ) không còn là nhiễu trắng mạnh.

1.3.

Ví dụ

Có các phương pháp khác nhau để đưa ra chuỗi thời gian không tuyến tính. Ta
xét biến đổi tuyến tính của một quá trình tuyến tính mạnh. Ví dụ : xét quá trình
trung bình trượt cấp 1 :
1
Xt = εt − εt−1
(1.3.1)
2
Trong đó (εt ) là nhiễu trắng Gauss với phương sai bằng 1. Quá trình đó cũng là quá
trình Gauss với hàm trung bình bằng 0 và hàm tự hiệp phương sai là :
1 5
1
=
γx (1) = −
4 4
2
γx (h) = 0 ∀h 2

γx (0) = 1 +

Dấu của quá trình X xác định một quá trình ngẫu nhiên khác :
Yt =

1
−1

nếu Xt

0

nếu Xt < 0

Quá trình này không phụ thuộc vào thời gian nên (Yt ) là dừng mạnh, Yt bị chặn bởi
1, nên Yt là quá trình cấp 2, vậy nó là dừng yếu và chấp nhận biểu diễn trung bình
trượt vô hạn. Vì Xt là độc lập với Xt−2 , Xt−3 , . . . và Yt là hàm của Xt nên nó cũng độc
lập với Yt−2 ,Yt−3 , . . . và do đó hàm tự hiệp phương sai của Y là bằng 0 với các độ
trễ

2, tức là :


CHƯƠNG 1. MỞ ĐẦU VỀ CHUỖI THỜI GIAN
γY (h) = 0, ∀ h

15

2

Điều đó suy ra rằng biểu diễn trung bình trượt của Y là biểu diễn cấp 1 :
Yt = ηt + θ ηt−1

(1.3.2)

Trong đó (η) là nhiễu trắng yếu.
Tuy nhiên (ηt ) không phải là nhiễu trắng mạnh. Có thể dễ dàng chứng tỏ rằng
ηt−1 và ηt là độc lập và phân bố có điều kiện của ηt biết rằng ηt−1 đã cho là độc
lập với ηt−1 ; nhưng ηt = Yt − θ ηt−1 , các giá trị có thể có của ηt là 1 − θ ηt−1 ;
−1 − θ ηt−1 là giá trị của phân bố có điều kiện lại phụ thuộc vào ηt−1 .
Trong các hình vẽ dưới đây, chúng ta sẽ đưa ra các quĩ đạo tương ứng với chuỗi
ban đầu X và chuỗi biến đổi Y . Các quĩ đạo đó nhận được với một nhiễu trắng và
giá trị của tham số θ bằng 0, 5.


CHƯƠNG 1. MỞ ĐẦU VỀ CHUỖI THỜI GIAN

1.4.

16

Quá trình phi tuyến

Như ta đã thấy trong mục (1.2) rằng chuỗi thời gian tuyến tính là phức tạp và
đã đưa ra các định nghĩa khác nhau về tính tuyến tính phụ thuộc vào các giả thiết đã
đặt vào các nhiễu trắng. Nói chung cần phải xây dựng các tiêu chuẩn để kiểm định
các giả thiết xem các số hạng của sai số ε có phải là một nhiễu trắng yếu hay không.
Trước tiên ta đưa ra các tiêu chuẩn để kiểm tra xem quá trình nhiễu (εt ) có phải
là nhiễu trắng Gauss hay không.

1.4.1.

Thống kê "cái treo áo" (statistique portmanteau)

Nếu quá trình quan sát (Yt ) chấp nhận biểu diễn (ARMA) với nhiễu trắng yếu :

φ (L)Yt = C + θ (L)εt
với (εt ) là nhiễu trắng yếu.
Một phép kiểm định tự nhiên về biểu diễn tuyến tính yếu là kiểm tra xem hiệp
phương sai γε (h) của εt và εt+h , với ∀ h

1 có bằng 0 hay không.

Sau đây là phương pháp Portmanteau đã được nghiên cứu với Box-Pierce (1970)
và Ljung-Box (1978).
Nếu (εˆt ký hiệu phần dư của ước lượng trong mô hình ARMA, người ta xây
dựng hàm tương quan thực nghiệm :
T −h

∑

ˆ
ρ(h)
=

εˆt εˆt−h

t=1
T

∑ εˆt2

t=1

và tính thống kê :
H

QH = T (T + 2) ∑
h=1

ρˆ 2 (h)
T −h

Dưới giả thiết không về mô hình ARMA (với nhiễu trắng thực sự) thống kê QH có
phân bố tiệm cận khi bình phương χ 2 (H − p − q) với (H − p − q) bậc tự do. Giả
thiết không sẽ bị bác bỏ nếu QH

2 (H − p − q).
χ0,95


CHƯƠNG 1. MỞ ĐẦU VỀ CHUỖI THỜI GIAN

1.4.2.

17

Một số hệ quả của giả thiết về nhiễu trắng

i, Hồi qui bổ sung :
Nếu (εt ) là nhiễu trắng Gauss, giả thiết về hiệu martingale được thỏa mãn và εt
không tương quan với tất cả các giá trị quá khứ, giả thiết H2 sẽ được kiểm tra gắn
với mô hình ARMA với 1 hoặc nhiều nhân tố hồi qui bổ sung, tức là xét mô hình
mở rộng :

Φ(L)Yt = C + θ (L) εt + α h (Yt−1 )
và kiểm định giả thiết α = 0 có đúng hay không.
Để làm ví dụ, ta hãy kiểm định sau khi ước lượng quá trình :
Yt = ρ Yt−1 + εt
Giả thiết về hiệu quả ngưỡng :
Yt = ρ Yt−1 + α 1Yt−1 >0 + εt
Có thể dẫn ra tiêu chuẩn dựa trên thống kê Student để kiểm định giả thiết α = 0.
Trong trường hợp khác người ta có thể xét các tiêu chuẩn để kiểm định các thành
phần của (εt ) có tương tác với nhau hay không, chẳng hạn :
Nếu mô hình ARMA dẫn đến biểu diễn ARMA (1).
Yt = ρ Yt−1 + εt ,
ta có thể đưa ra mô hình mở rộng :
2 +C ε
Yt = ρ Yt−1 +C11 εt−1
12 t−1 εt−2 + εt .

Tiêu chuẩn đó sẽ được xây dựng dựa trên thống kê Fisher tương ứng với giả
2 , ε
thiết C11 = C12 = 0, sau khi thay các nhân tố hồi qui bổ trợ εt−1
t−1 εt−2 bởi
2 ; εˆ
ˆ Yt−1 là giá trị dưới giả thiết không. Cách tiếp cận đó
εˆt−1
t−1 εˆt−2 , với εˆt = Yt − ρ

dựa trên khai triển Volterra và Kecnan (1985).
ii, Sự độc lập của các nhiễu trắng :
Một trong giải pháp khác là tổng quát hóa trực tiếp thống kê Portmanteau :
Thực vậy, nếu ε = (εt ) là dãy các biến ngẫu nhiên độc lập, cùng phân bố, tính
chất không tương quan có thể biểu thị dưới dạng : với mọi hàm phi tuyến của ε :

CHƯƠNG 1. MỞ ĐẦU VỀ CHUỖI THỜI GIAN
∀g, ∀h

18

0 : cov [g(εt ) , g(εt−h )] = 0.

Vì vậy thống kê portmanteau có thể được xác định cho một phép biến đổi nào
đấy. McLeod và Li (1983) đã đề xuất một tiêu chuẩn portmanteau dựa trên tương
quan của các bình phương, thống kê đó là :
H

QH = T (T + 2) ∑
h=1

ρˆ 22 (h)
;
T −h

T −h
2
− σˆ 2 )
∑ (εˆt2 − σˆ 2 )(εˆt−h

ρˆ ( 2)(h) =

t=1

T

∑ (εˆt2 − σˆ 2 )

t=1

σˆ 2 =

1
T

T

∑ εˆt2 .

t=1

iii, Phân tích các mẫu con :
Một trong các cách thông thường để kiểm định tính độc lập và cùng phân bố là
tách mẫu mẫu ban đầu {Yt , t = 1, . . . , T } (hoặc {εˆt , t = 1, . . . , T }) thành hai mẫu
con (Yt , t ∈ J1 ) ; (Yt , t ∈ J2 ) hoặc (εˆt , t ∈ J1 ) ; (εˆt , t ∈ J2 ) và nghiên cứu các tính
chất phân bố giống hệt nhau đối với hai mẫu. Cách tiếp cận này đã được thể hiện
trong tiêu chuẩn Chow cổ điển.


Chương 2

Mô hình ARCH

2.1.

Mô hình ARCH một chiều

Trong mục này ta sẽ trình bày các công thức cơ bản với phương sai có điều kiện
không thuần nhất, đặc biệt là mô hình tự hồi qui cấp 1 với phương sai của sai số
không thuần nhất.

2.1.1.

Mô hình với phương sai không thuần nhất cấp 1

Xét mô hình sau :
Yt = µ + ϕ Yt−1 + εt , t ∈ Z, |ϕ| < 1

(2.1.1)

và ε = (εt , t ∈ Z) là ồn trắng yếu, thỏa mãn điều kiện của hiệu martingale :
E (εt | εt−1 ) = 0, ∀t ∈ Z.

(2.1.2)

Trong đó εt−1 ký hiệu dãy εt−1 , εt−2 , . . ..
Như thường lệ ta không giả thiết rằng Var(εt | εt−1 ) không phụ thuộc vào t, mà
giả thiết rằng εt2 thỏa mãn phương trình tự hồi qui cấp 1 :
2
εt2 = c + aεt−1
+ ut , t ∈ Z.

19

(2.1.3)


CHƯƠNG 2. MÔ HÌNH ARCH

20

với u = (ut ) là nhiễu trắng.
Quá trình Yt thỏa mãn (2.1.1), (2.1.2), (2.1.3) được gọi là quá trình tự hồi qui
cấp 1 với sai số là ARCH (1).
Sau đây ta sẽ nghiên cứu các điều kiện để quá trình như vậy sẽ tồn tại.
i, Để có sai số thỏa mãn (2.1.3) thì
mt = E (εt2 ) = c + a mt−1 , t ∈ Z.

(2.1.4)

đó là phương trình sai phân cấp 1, và cần phải có điều kiện ban đầu là m0 đã cho.
Ta giả thiết rằng |a| < 1 và điều kiện ban đầu m0 là giá trị cân bằng của phương
trình (2.1.4), tức là :
m0 =
ii, Để cho εt2

c
1−a

(2.1.5)

0 thì

cần giả thiết a > 0 và c + ut

0,với mọi giá trị của quá trình ut , vì vậy cần hạn

chế tập giá trị của ut .
iii, Cuối cùng ta xét hai quá trình ngẫu nhiên độc lập (Zt ) ; (δt )
Trong đó Zt

0 và thỏa mãn :
Zt = c + a Zt−1 + ut

Còn các biến ngẫu nhiên δt , t ∈ Z là các biến độc lập, cùng phân bố như sau :
P{δt = 1} = P{δt = −1} =
Khi đó dễ thấy rằng quá trình εt = δt

2.1.2.

1
2

√
Zt sẽ thỏa mãn (2.1.2) và (2.1.3).

Tính chất của quá trình sai số εt

Như trên ta giả thiết quá trình sai số εt thỏa mãn điều kiện :
E (εt | εt−1 ) = 0.
Điều kiện (2.1.2) suy ra :
E (εt | εt−h ) = 0, ∀h > 0.
Thật vậy :
E (εt | εt−h ) = E (E (εt | εt−1 ) | εt−h ) = 0.

CHƯƠNG 2. MÔ HÌNH ARCH

21

Hơn nữa ∀k, h > 0 ta có :
cov{(εt , εt+k ) | εt−h } = E (εt εt+k | εt−h )
= E (εt E (εt+h | εt+k−1 ) | εt−h ) = 0.
Các tính chất khác của quá trình {εt , t ∈ Z} suy ra từ (2.1.3). Chú ý rằng từ (2.1.3)
ta có :
2
εt2 = c 1 + a + · · · + ah−1 + ah εt−h
+ ut + aut−1 + · · · + ah−1 ut−h+1

Như vậy :
Var(εt | εt−h ) = E(εt2 | εt−h ) = c

1 − ah
2
+ ah εt−h
1−a

(2.1.6)

Khi h → +∞ thì phương sai đó hội tụ đến :
Var (εt ) = E V (εt | εt−h ) =

c
1−a

(2.1.7)

Phương sai đó không phụ thuộc vào t. Như vậy εt , t ∈ Z lập nên một ồn trắng.
Từ (2.1.6) và (2.1.7) ta suy ra :
2
2
V (εt | εt−h ) −V (εt ) = ah [εt−h
− E εt−h
]

2.1.3.

(2.1.8)

Tính chất của quá trình {Yt , t ∈ Z}

Tính chất của quá trình Yt suy ra trực tiếp từ tính chất của nhiễu trắng ε.
i) Dự báo phi tuyến của Y trùng với dự báo tuyến tính
E(Yt |Yt−h ) = µ

1 − ϕh
+ ϕ h Yt−h
1−ϕ

(2.1.9)

Và giá trị này phụ thuộc tuyến tính vào giá trị gần nhất Yt−h .
ii) Phương sai và hiệp phương sai có điều kiện có thể tính dựa trên biểu diễn Yt theo
các đổi mới

Yt = µ

1 − ϕh
+ ϕ hYt−h + εt + ϕεt−1 + · · · + ϕ h−1 εt−h+1 .
1−ϕ


CHƯƠNG 2. MÔ HÌNH ARCH
Nếu h và k là hai số nguyên sao cho k > 0 và h
cov (Yt , Yt+k ) |Yt−h = cov
,µ

22
0 khi đó :

1 − ϕh
+ ϕ h Yt−h + εt + ϕεt−1 + · · · + ϕ h−1 εt−h+1 ,
1−ϕ

1 − ϕ h+k
+ ϕ h+kYt−h + εt+k + ϕ εt+k−1 + · · · + ϕ h+k−1 εt−h+1 |Yt−h
1−ϕ

= cov (εt + ϕεt−1 + · · · + ϕ h−1 εt−h+1 ; εt+k + ϕεt+k−1 + · · · + ϕ h−k+1 )|Yt−h
= ϕ k V (εt | εt−h ) + ϕ k+2 V (εt−1 |εt−h ) + · · · + ϕ k−2(h−1)V (εt−h+1 | εt−h )
h−1

= ϕk

∑ ϕ 2 jV (εt− j | εt−h )

j=0

h−1

= ϕk

∑ ϕ2 j c

j=0

=

1 − ah− j
2
+ ah− j εt−h
1−a

h−1
c ϕ k h−1 2 j c ah ϕ k h−1 2 j − j
h k 2
2j −j
ϕ
−
ϕ
a
+
a
ϕ
ε

(theo (2.2.6))
∑
∑
t−h ∑ ϕ a
1 − a j=0
1 − a j=0
j=0

h
2h
c ϕk
1 − ϕ 2h c a ϕ k ak
ah − ϕ 2h
k 2 a −ϕ
=
···
−
···
+ a ϕ εt−h
1−a
1 − ϕ2
1−a
1 − ϕ2
1 − ϕ2

Đặc biệt ta nhận được cov không có điều kiện như giới hạn của covariance có điều
kiện khi h → ∞ như sau :
cϕ k
1
cov(Yt , Yt+k ) =

···
= ϕ kV (Yt ), Z
1−a
1 − ϕ2

0.

(2.1.10)

2
iii) Var(Yt |Yt−1 ) = Var(εt |Yt−1 ) = c + aεt−1

2.1.4.

Phân bố của các sai số

Các kết quả khác có thể thu được nếu ta giả thiết các sai số có phân bố chuẩn :
2
).
εt | εt−1 ∼ N(0, c + aεt−1

(2.1.11)

Rõ ràng rằng (2.1.11) không suy ra rằng quá trình εt là Gauss. Thực vậy từ (2.1.11)
ta suy ra rằng mô men cấp 2 và mô men cấp 4 là dừng nếu 3a2 < 1, các mô men đó
cho bởi công thức :
E εt2

c
3c2

1 − a2
4
=
; E(εt ) =
1−a
(1 − a)2 1 − 3a2

(2.1.12)


CHƯƠNG 2. MÔ HÌNH ARCH

23

điều đó dẫn đến hệ số nhọn :
k=

1 − a2
E εt4
=
3
<3
1 − 3a2
(E εt2 )2

Như vậy tồn tại phân bố có độ nhọn cao hơn phân bố chuẩn (Leptokirrtique).

2.2.

Tính chất chung của các mô hình ARCH

2.2.1.

Các hướng mở rộng khác nhau

Để nhận được các phương sai có điều kiện phụ thuộc vào quá khứ ta sẽ mô tả
nhanh các mô hình và các thuật ngữ tương ứng.
i) Mô hình ARCH(q) (Angle(1982)) :
Mô hình này mở rộng mô hình ARCH cấp q như sau :
q

εt2

2
= c + ∑ αi εt−i
+ ut ; E(εt | εt−1 ) = 0

(2.2.1)

i=1

Trong đó {ut } là hiệu martingale. Phương sai có điều kiện của εt là :
q
2
Var εt | εt−1 = c + ∑ αi εt−i

(2.2.2)

i=1

ii) Mô hình GARCH(p,q) (Bollerslev(1986)) :
Mô hình GARCH(p,q) là mở rộng mô hình ARCH(q) với thành phần trung
bình trượt cấp q :




E(εt | εt−1 ) = 0;
p

q

j=1

i=1

2

 V (εt | εt−1 ) ≡ ht = c + ∑ β j ht− j + ∑ αi εt−i

(2.2.3)

Mô hình GARCH có thể biểu diễn dưới dạng ARMA(p;q) như sau :
Ta sẽ đưa vào quá trình hồi phục ứng với bình phương của quá trình sai số :
ut = εt2 − ht .
Nếu thay ht bởi ut trong mô hình GARCH (2.2.3) ta có :
q

εt2 − ut

= c+ ∑

i=1

p
2
αi εt−i
+

2
∑ β j (εt−
j − ut− j )

j=1