Công thức Lượng giác có hình vẽ minh họa

KIến thức lợng giác
A- KIến thức cần nhớ
Đờng tròn lợng giác:
- 3
-1
- 3 /3
(ẹieồm goỏc)
t
t'
y
y'
x
x'
u
u'
- 3
-1
- 3 /3
1
1
-1
-1
-

/2

5

/6
3

/4
2

/3
-

/6
-

/4
-

/3
-1/2
- 2 /2
- 3 /2
-1/2- 2 /2- 3 /2
3 /2
2 /2
1/2
3 /2
2 /2
1/2
A

/3

/4

/6

3 /3
3
B

/2
3 /3
1
3
O
Bảng giá trị lợng giác:
Goực 0
0
30
0
45
0
60
0
90
0
120
0
135
0
150
0
180
0
360
0

0
6

4

3

2

3
2

4
3

6
5



2
sin

0
2
1
2
2
2
3

1
2
3
2
2
2
1
0 0
cos

1
2
3
2
2
2
1
0
2
1

2
2

2
3

-1 1
tg

0
3
3
1
3
kxủ
3

-1
3
3

0 0
cotg

kxủ
3
1
3
3
0
3
3

-1
3

kxủ kxủ
V. Hàm số lượng giác của các cung (góc) có liên quan đặc biệt:
Đó là các cung :

1. Cung đối nhau :
và -
α α
(tổng bằng 0) (Vd:
6
&
6
ππ
−
,…)
2. Cung bù nhau :
và -
α π α
( tổng bằng
π
) (Vd:
6
5
&
6
ππ
,…)
3. Cung phụ nhau :
và
2
π
α α
−
( tổng bằng
2

π
) (Vd:
3
&
6
ππ
,…)
4. Cung hơn kém
2
π
:
và
2
π
α α
+
(Vd:
3
2
&
6
ππ
,…)
5. Cung hơn kém
π
:
và
α π α
+
(Vd:

6
7
&
6
ππ
,…)
1. Cung đối nhau: 2. Cung bù nhau :

cos( ) cos
sin( ) sin
( )
cot ( ) cot
tg tg
g g
α α
α α
α α
α α
− =
− = −
− = −
− = −

cos( ) cos
sin( ) sin
( )
cot ( ) cot
tg tg
g g
π α α

π α α
π α α
π α α
− = −
− =
− = −
− = −
3. Cung phụ nhau : 4. Cung hơn kém
2
π


cos( ) sin
2
sin( ) cos
2
( )
2
cot ( ) t
2
tg cotg
g g
π
α α
π
α α
π
α α
π
α α

− =
− =
− =
− =

cos( ) sin
2
sin( ) cos
2
( )
2
cot ( ) t
2
tg cotg
g g
π
α α
π
α α
π
α α
π
α α
+ = −
+ =
+ = −
+ = −

5. Cung hơn kém
π

:

cos( ) cos
sin( ) sin
( )
cot ( ) cot
tg tg
g g
π α α
π α α
π α α
π α α
+ = −
+ = −
+ =
+ =

Ví dụ 1: Tính
)
4
11
cos(
π
−
,
4
21
π
tg
Đối cos

Bù sin
Phụ chéo
Hơn kém
2
π
sin bằng cos
cos bằng trừ sin
Hơn kém
π
tang , cotang
Ví dụ 2: Rút gọn biểu thức:
)3cos()2cos()
2
cos( xxxA
++−++=
ππ
π
VI. Công thức lượng giác:
1. Các hệ thức cơ bản:

2 2
cos sin 1
sin
tg =
cos
cos
cotg =
sin
α α
α

α
α
α
α
α
+ =

2
2
2
2
1
1 tg =
cos
1
1 cotg =
sin
tg . cotg = 1
α
α
α
α
α α
+
+

Ví dụ: Chứng minh rằng:
1.
xxxx
2244

cossin1sincos
−=+
2.
xxxx
2266
cossin31sincos
−=+
2. Công thức cộng :


cos( ) cos .cos sin .sin
cos( ) cos .cos sin .sin
sin( ) sin .cos sin .cos
sin( ) sin .cos sin .cos
tg +tg
tg( + ) =
1 .
tg tg
tg( ) =
1 .
tg tg
tg tg
α β α β α β
α β α β α β
α β α β β α
α β α β β α
α β
α β
α β
α β

α β
α β
+ = −
− = +
+ = +
− = −
−
−
−
+
Ví dụ: Chứng minh rằng:

π
α α α
π
α α α
+ = −
− = +
1.cos sin 2 cos( )
4
2.cos sin 2 cos( )
4

3. Công thức nhân đôi:

α α α
α
α
α α
α α α

α
α
α
= −
= −
= −
= −
=
=
−
2 2
2
2
4 4
2
cos2 cos sin
2cos 1
1 2sin
cos sin
sin2 2sin .cos
2
2
1
tg
tg
tg

4 Công thức nhân ba:

3

3
cos3 4cos 3cos
sin 3 3sin 4sin
α α α
α α α
= −
= −

2
2cos1
cos
2
α
α
+
=
2
2cos1
sin
2
α
α
−
=
ααα
2sin
2
1
cossin
=

4
cos33cos
cos
3
αα
α
+
=
4
3sinsin3
sin
3
αα
α
−
=
5. Công thức hạ bậc:


α
α
α
α
α
α
α
2cos1
2cos1
;
2

2cos1
sin;
2
2cos1
cos
222
+
−
=
−
=
+
=
tg
6.Công thức tính
sin ,cos ,tg
α α α
theo
2
t tg
α
=

22
2
2
1
2
;
1

1
cos;
1
2
sin
t
t
tg
t
t
t
t
+
=
+
−
=
+
=
ααα


7. Công thức biến đổi tích thành tổng :


[ ]
[ ]
[ ]
1
cos .cos cos( ) cos( )

2
1
sin .sin cos( ) cos( )
2
1
sin .cos sin( ) sin( )
2
α β α β α β
α β α β α β
α β α β α β
= + + −
= − − +
= + + −
Ví dụ:
1. Biến đổi thành tổng biểu thức:
xxA 3cos.5cos
=
2. Tính giá trò của biểu thức:
12
7
sin
12
5
cos
ππ
=
B
8. Công thức biến đổi tổng thành tích :

cos cos 2cos .cos

2 2
cos cos 2sin .sin
2 2
sin sin 2sin .cos
2 2
sin sin 2 cos .sin
2 2
sin( )
cos cos
sin( )
cos cos
tg tg
tg tg
α β α β
α β
α β α β
α β
α β α β
α β
α β α β
α β
α β
α β
α β
α β
α β
α β
+ −
+ =
+ −

− = −
+ −
+ =
+ −
− =
+
+ =
−
− =

Ví dụ: Biến đổi thành tích biểu thức:
3xsin 2x sinsin
++=
xA

9. Các công thức thường dùng khác:

cos sin 2 cos( ) 2 sin( )
4 4
cos sin 2 cos( ) 2 sin( )
4 4
π π
α α α α
π π
α α α α
+ = − = +
− = + = − −

8
4cos35

sincos
4
4cos3
sincos
66
44
α
αα
α
αα
+
=+
+
=+

B. PHƯƠNG TRÌNH LƯNG GIÁC
Các bước giải một phương trình lượng giác
Bước 1: Tìm điều kiện (nếu có) của ẩn số để hai vế của pt có nghóa
Bước 2: Sử dụng các phép biến đổi tương đương để biến đổi pt đến một pt đã biết cách giải
Bước 3: Giải pt và chọn nghiệm phù hợp ( nếu có)
Bước 4: Kết luận
I. Đònh lý cơ bản: ( Quan trọng )


u = v+k2
sinu=sinv
u = -v+k2
u = v+k2
cosu=cosv
u = -v+k2

tgu=tgv u = v+k (u;v )
2
cotgu=cotgv u = v+k (u;v k )
k
π
π π
π
π
π
π π
π π

⇔



⇔


⇔ ≠ +
⇔ ≠
( u; v là các biểu thức chứa ẩn và
Zk
∈
)
Ví dụ : Giải phương trình:
1.
sin3 sin( 2 )
4
x x

π
= −
2.
4
3
cos)
4
cos(
ππ
=−
x
3.
xx 2sin3cos
=
4.
4 4
1
sin cos (3 cos6 )
4
x x x+ = −

II. Các phương trình lượng giác cơ bản:
1. Dạng 1: sinx = m ; cosx = m ; tgx = m ; cotgx = m (
Rm
∈∀
)
* Gpt : sinx = m (1)
• Nếu
1m >
thì pt(1) vô nghiệm

• Nếu
1m ≤
thì ta đặt m = sin
α
và ta có

x = +k2
(1) sinx=sin
x = ( - )+k2
α π
α
π α π

⇔ ⇔


* Gpt : cosx = m (2)