5 1 so phuc

Số phức
Nếu ta muốn làm việc với  1 , ta phải mở rộng tập số thực.
Định nghĩa

i là một số sao cho i2 = -1

i 

C là tập hợp các số z, có dạng z  a  ib với a và b là các số
thực.
a được gọi là phần thực của z và ta viết a = R(z) of a = Re(z)
b được gọi là phần ảo của z và ta viết b = i(z) hoặc b = Im(z)


Cho

z1  a  bi

Phép cộng :

và

z 2  c  di

z1  z 2  (a  bi)  (c  di)

 (a  c)  (b  d )i

Phép nhân:

z1 z 2  (a  bi)(c  di)

 ac  adi  bci  bdi2
 (ac  bd )  (ad  bc)i


a) Cho

z1  3  2i and z2  4  3i , tìm

(i) z1  z2

(ii)

z1  z2

(iii) z1 z 2

(i) z1  z 2  (3  2i )  (4  3i )

(ii) z1  z 2  (3  2i )  (4  3i )

 7  5i

 1  i

(iii) z1 z 2  (3  2i )( 4  3i )

 12  9i  8i  6i 2
 6  17i

b) Giải phương trình z 2  2 z  5  0

Sử dụng công thức

 b  b 2  4ac
z
2a

2  4  20
2
2
 16
 
2
2
16 1
 1
2
 1 2i

z


Số phức liên hợp
Khi

z  a  bi , thì số phức liên hợp của nó được định nghĩa là

z  a  bi

Chú ý: z z

 a b
2

2

Khái niệm này rất hữu ích khi ta cần thực hiện phép chia số phức.


(4  2i )
(2  3i )

a) Tính

(4  2i ) (4  2i ) (2  3i )


(2  3i ) (2  3i ) (2  3i )

8  12i  4i  6i 2

49


14  8i
13

14 8
  i

13 13


b) Tính

5  12i

Đặt a  bi  5  12i với

a, b  

2
2
2

a

b
 2abi  5  12i
(
a

bi
)

5

12
i
Thế thì

Cân bằng các phần
thực và ảo ta được:

2ab  12
 ab  6
6
a
b

a 2  b2  5
2
6
    b 2  5
b
36 2
 2 b  5
b

và

 36  b 4  5b 2
 b 4  5b 2  36  0


b 4  5b 2  36  0

 (b 2  9)(b 2  4)  0
 b 2  4 or  9

Vì

b  , b  2
 a  3 or  3

 5  12i  3  2i or  3  2i


Sơ đồ Argand
Số phức z  x  yi được biểu diễn
trên mặt phẳng bởi điểm P(x,y).
Mặt phẳng được gọi là “ Mặt
phẳng phức”, và sơ đồ loại này
được gọi là sơ đồ Argand.

y

p
r

y



x

x

Bất cứ điểm nào trên trục x đều biểu diễn một số thuần thực
Bất cứ điểm nào trên trục y đều biểu diễn một số thuần ảo

z  x  iy được biểu diễn bởi véc tơ OP
Độ dài của véc tơ OP, r, được gọi là mô đung của z và được kí hiệu là |z|.


Góc quay so với trục x được gọi là argument của z
và thường được kí hiệu là Arg z.
Ta nói đến giá trị của Arg z nằm trong khoảng -< như là
argument chính. Nó thường được kí hiệu là arg z, với chữ ‘a’
thường.

r  x2  y 2

y

  tan 1 ( y x)      

p
r


Dùng lượng giác:

y
x

x

x  r cos
y  r sin 

Nên x  iy  z có thể được viết là
z  r (cos  i sin  )

Đây được gọi là Dạng cực của z.


a) Tìm mô đun và argument của số phức

z  3 4 5
2

2

z  3  4i

Arg z  tan 1 (4 3)  n radians
 0.927  n radians

Vì (3,4) nằm trong góc phần tư thứ nhất , n = 0
arg z  0.927 radians

b) Tìm mô đun và argument của số phức

z  3 4 5
2

2

z  3  4i

Arg z  tan 1 (4 3)  n radians
 0.927  n radians

Vì (-3,-4) nằm trong góc phần tư thứ ba, n = -1
arg z  0.927  
 2.21radians


c) Biểu diễn z  2  2i theo dạng cực r (cos  0  i sin  0 )
r  z  2 2
2

2

  arg z  tan 1 ( 2 2)  450

2 2

 z  2 2(cos 45  i sin 45 )
0

0

(2,2) trong góc
phần tư thứ 1


Dạng cực và Phép nhân
Xét z1 z2 với z1  a(cos A  i sin A) and z2  b(cos B  i sin B)

z1 z2  ab(cos A  i sin A)(cos B  i sin B)
 ab(cos A cos B  i 2 sin A sin B  i cos A sin B  iSinA cos B)
 ab(cos A cos B  sin A sin B  i (sin A cos B  cos A sin B))
 ab(cos( A  B)  i sin( A  B))

Do đó , z1 z2  z1  z2

và

Arg ( z1 z2 )  Arg z1  Arg z2

Chú ý là arg(z1z2) nằm trong khoảng (-, ) và ta sẽ phải thêm vào hay
bớt đi 2  tùy trường hợp nếu Arg(z1z2) nằm ngoài khoảng đó trong quá
trình tính toán.


Chú ý: cos  i sin   cos    i sin  
Và, nếu z  r (cos  i sin  ) thì
1 1
 (cos    i sin   )
z r
Do đó, 1  1 and arg 1   arg z
z
z
z

z1
1
 z1 

z2
z2
z1
 z1  z2
Vì vậy,
z2

Arg

z1
 Arg z1  Arg z2
z2


a) Đơn giản biểu thức 3(cos

 12(cos


3




2

 i sin







 )
3 2

5
5
 12(cos
 i sin )
6
6







 i sin )  4(cos  i sin )
3
3
2
2


z  r (cos





 i sin )
3
3

2
2
(a) z  zz  r (cos
 i sin )
3
3
(b) z 3  z 2 z  r 3 (cos   i sin  )
2

2

2
2
(c) z  z z  r (cos
 i sin
)
3
3
4

3

4

4 2
Because

3
3

Điều này dẫn đến công thức: Nếu z  r (cos  i sin  )
thì z n  r n (cos n  i sin n )


Định lý De Moivre
If z  r (cos  i sin  )

then z n  r n (cos n  i sin n )


z  1  i 3 tìm

a) Cho
z  1 3

2

(i) z 2

3
tan  
1

 

(ii) z 5


3

(iii) z 7



z  2  cos  i sin 
3
3


 1
3
 4   i   2  i 2 3
2 
 2

2
2 

(i ) z  4  cos
 i sin 
3
3 


5
5 

 

5
5
(ii ) z  2  cos  i sin   32  cos
 i sin
  16  i16 3
3
3 
3
3 


2

7
7 




(iii ) z  2  cos
 i sin   128  cos  i sin   64  i63 3
3
3 
3
3



7

7


z  2  i tìm z 4 .

b) Cho
z  4 1

 5

1
tan  
2

   0.464

z  5  cos 0.464  i sin 0.464 

z 
4

 5   cos1.856  i sin1.856  25  0.281  0.960i   7  24i
4


Theo định lý De Moivre, khi tìm căn bậc n của một số phức ta phải

chia argument cho n.

Nếu z  r  cos  i sin   thì n nghiệm của phương trình z1n  z là

  2 k 

   2k   where k  0,1, 2,...., n  1
z1  r  cos 

i
sin



n
n





1
n

Các véc tơ vị trí của các nghiệm này sẽ chia hình tròn bán kính r,
tâm tại gốc tọa độ, thành n cung bằng nhau.


a) Giải phương trình z 3  4  i 4 3.

4 3  3  

z

8
cos

i
sin
z  16  (16  3)  64  8 arg( z )  tan 



3
3


4
3


3

3

1

 

   2  0  


2

0

 3

3
  

 i sin 
 2  cos  i sin 
For k = 0 z  8  cos 



3
3
9
9
 


 



 
1
3


 




2

1


2

1

1
 3

3
   7
7 
3
 i sin 
 2  cos  i sin 
For k = 1 z  8  cos 



3

3
9
9 
 


 



 


4 3  3  

z  8  cos  i sin 
z  16  (16  3)  64  8 arg( z )  tan 

3
 3
 4  3
3

3

1


 





2

2


2

2

1
 3

3
   13
13 
3
 i sin 
 2  cos
 i sin
For k = 2 z  8  cos 




3
3
9

9

 


 



 
5 
5  



 2  cos 
  i sin 

 9 
 9 


5
5 

 2  cos  i sin 
9
9 



 
7
7  
5
5 

z   cos  i sin  ,  cos
 i sin  ,  cos  i sin  ,
9
9 
9
9  
9
9 



b) Giải phương trình z 5  1
z5  1

arg z  0

  2 k 
  2 k  



z  1 cos 
  i sin 

  , for k  0,1, 2,3, 4.
 5 
 5 

k  0, gives  cos 0  i sin 0   1

2
2
k  1, gives  cos
 i sin 
5
5 

4
4 

k  2, gives  cos
 i sin 
5
5 

4
4 

k  3, gives  cos
 i sin 
5
5 


2
2 

k  4, gives  cos
 i sin 
5
5 
