(Luận văn thạc sĩ) Về phân tích đa thức hai biến thành nhân tử

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
---------------------------

NGUYỄN ĐỨC HẢI

VỀ PHÂN TÍCH ĐA THỨC
HAI BIẾN THÀNH NHÂN TỬ
Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp
Mã số: 8 46 01 13

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
TS. Ngô Thị Ngoan

THÁI NGUYÊN - 2019


i

Mục lục
Mở đầu

1

1 Một số kiến thức chuẩn bị
1.1 Đa thức bất khả quy . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Sơ đồ Newton và đa diện Newton . . . . . . . . . . . .

3

3
5

2 Một số tiêu chuẩn bất khả quy của đa thức
2.1 Tiêu chuẩn Eisenstein-Dumas . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Đa giác không phân tích nguyên được và tính bất khả
quy tuyệt đối của đa thức hai biến . . . . . . . . . . . .

12
12

3 Sự phân tích đa thức hai biến thành nhân tử
3.1 Sự phân tích đa thức hai biến thành nhân tử . . . . . .
3.2 Một số ví dụ ứng dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20
20
29

Tài liệu tham khảo

37

16


ii

Lời cảm ơn
Luận văn này được thực hiện tại Trường Đại học Khoa học – Đại

học Thái Nguyên và hoàn thành dưới sự hướng dẫn của TS. Ngô Thị
Ngoan. Tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới
người hướng dẫn khoa học của mình, người đã đặt vấn đề nghiên cứu,
dành thời gian hướng dẫn và tận tình giải đáp những thắc mắc của tác
giả trong suốt quá trình làm luận văn.
Tác giả cũng đã học tập được rất nhiều kiến thức chuyên ngành bổ
ích cho công tác và nghiên cứu của bản thân. Tác giả xin bày tỏ lòng
cảm ơn sâu sắc tới các thầy giáo, cô giáo đã tham gia giảng dạy lớp Cao
học Toán K11B; Nhà trường và các phòng chức năng của Trường; Khoa
Toán – Tin, trường Đại học Khoa học – Đại học Thái Nguyên đã quan
tâm và giúp đỡ tác giả trong suốt thời gian học tập tại trường.
Tác giả cũng xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới Trung tâm Nghiên cứu và
Phát triển giáo dục Hải Phòng đã giúp đỡ, tạo mọi điều kiện thuận lợi
giúp tôi có thể hoàn thành luận văn này.
Tác giả cũng xin gửi lời cảm ơn tới tập thể lớp Cao học Toán K11B
đã luôn động viên và giúp đỡ tác giả rất nhiều trong quá trình học tập
và làm luận văn.
Cuối cùng, tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè đã
giúp đỡ và tạo điều kiện tốt nhất cho tôi khi học tập và nghiên cứu.
Thái Nguyên, tháng 11 năm 2019
Tác giả
Nguyễn Đức Hải


1

Mở đầu
Các bài toán về đa thức bất khả quy và bài toán phân tích một đa
thức thành các nhân tử đã được đưa vào giảng dạy ngay trong chương
trình toán phổ thông. Việc phân tích đa thức thành nhân tử cho phép

học sinh chuyển việc giải một phương trình đại số về giải các phương
trình có bậc thấp hơn.
Các tiêu chuẩn để xét tính bất khả quy của đa thức cũng luôn được
sự quan tâm rất lớn của các nhà toán học từ rất lâu. Chúng ta biết tiêu
chuẩn Eisenstein là một tiêu chuẩn khá hữu hiệu để kiểm tra một đa
thức đã cho là bất khả quy. Nhắc lại rằng, cho R là một vành nhân tử
hóa và f = f0 + f1 X + . . . + fn X n ∈ R[X] là đa thức có các hệ tử
f0 , f1 , . . . , fn nguyên tố cùng nhau. Nếu tồn tại một phần tử nguyên tố
p ∈ R sao cho trừ hạng tử cao nhất fn các hạng tử còn lại của f đều
chia hết cho p và f0 không chia hết cho p2 , thế thì f bất khả quy trong
R[X]. Tiêu chuẩn này cho ta một điều kiện đơn giản để kiểm tra một
đa thức bất khả quy. Những năm qua, nhiều nhà toán học đã không
ngừng mở rộng, tổng quát hóa tiêu chuẩn này. Đặc biệt là việc sử dụng
các yếu tố hình học thông qua Sơ đồ Newton và Đa giác Newton để đưa
ra những tiêu chuẩn rất hiệu quả cho việc kiểm tra tính bất khả quy
của đa thức.
Trong luận văn này, chúng tôi sẽ bắt đầu bằng việc giới thiệu phương
pháp sử dụng sơ đồ Newton của đa thức. Nó cho ta khẳng định tính bất
khả quy của một lớp khá rộng các đa thức dựa vào đặc điểm của sơ đồ
Newton của chúng thể hiện bởi tiêu chuẩn Eisenstein-Dumas và ta sẽ
thấy tiêu chuẩn Eisenstein quen thuộc là một trường hợp đặc biệt. Sau
đó, bằng phương pháp sử dụng đa giác Newton, chúng tôi trình bày hai


2

nội dung:
(1) Xét tính bất khả quy của đa thức hai biến qua đa giác Newton.
(2) Xét sự phân tích đa thức hai biến với hệ số nguyên thành nhân tử.
Chúng ta sẽ thu được các kết quả rất thú vị về tính bất khả quy của

đa thức hai biến thông qua đặc điểm không phân tích nguyên được của
đa giác Newton của nó. Thông qua việc nhận diện các đoạn thẳng không
phân tích nguyên được, tam giác không phân tích nguyên được sẽ cho
ta một số lớp đa thức hai biến bất khả quy trên một trường tùy ý.
Cũng sử dụng công cụ đa giác Newton của đa thức, ta thu được thông
tin chính xác về sự phân tích đa thức hai biến hệ số nguyên thành nhân
tử. Đó là, đa thức f (x, y) ∈ Z[x, y] có nhân tử đa thức không tầm
thường khi và chỉ khi dàn các nút của đa giác Newton của f có thể
được phủ bởi một siêu phủ phù hợp. Từ cách chọn siêu phủ của đa giác
Newton, sẽ cho ta sự phân tích đa thức thành nhân tử.
Nội dung luận văn chia làm 3 chương. Chương 1 ngoài một số kiến
thức chuẩn bị về đa thức, đa thức bất khả quy, chương này còn trình
bày các khái niệm sơ đồ Newton của đa thức; một số khái niệm và tính
chất về tập lồi trong Rn ; về đa diện nguyên, đa diện nguyên không phân
tích nguyên được và nhận diện một số đa diện nguyên trong R2 (gọi là
đa giác) không phân tích nguyên được. Nội dung chính của luận văn
nằm trong Chương 2 và Chương 3. Chương 2 tập trung trình bày một
số tiêu chuẩn bất khả quy của đa thức dựa vào sơ đồ Newton và đa giác
Newton của đa thức. Chương 3 trình bày điều kiện cần và đủ để một đa
thức hai biến với hệ số nguyên có nhân tử đa thức nguyên không tầm
thường cùng với một số ví dụ áp dụng.


3

Chương 1

Một số kiến thức chuẩn bị
Chương này trình bày một số kiến thức chuẩn bị về đa thức, sơ đồ
Newton của đa thức, đa diện Newton, đa giác Newton của đa thức. Tài

liệu tham khảo chính của chương là [1], [2], [3], [5] và [6].

1.1

Đa thức bất khả quy

Định nghĩa 1.1.1. Cho V là một vành giao hoán có đơn vị. Một đa
thức một biến với hệ số trên V có thể được viết dưới dạng f (x) =

an xn + an−1 xn−1 + . . . + a1 x + a0 , trong đó a0 , . . . , an ∈ V và x là một
ký hiệu gọi là biến (hay biến không xác định). Ta cũng viết đa thức này
∞

dưới dạng f (x) =

ai xi hoặc f (x) =

ai xi , trong đó ai = 0 với mọi

i=0

i > n. Hai đa thức

ai xi và

bi xi là bằng nhau nếu ai = bi với mọi i.

Ký hiệu V [x] là tập các đa thức một biến x với hệ số trên V . Cho
f (x) = an xn + an−1 xn−1 + . . . + a1 x + a0 ∈ V [x]. Ta gọi a0 là hệ số
tự do của f (x). Nếu an = 0 thì n được gọi là bậc của f (x) và được ký

hiệu là degf (x). Trong trường hợp này, an được gọi là hệ số cao nhất
của f (x). Nếu an = 1 thì f (x) được gọi là đa thức dạng chuẩn. Nếu
f (x) = a ∈ V thì f (x) được gọi là đa thức hằng. Các đa thức bậc 1
được gọi là đa thức tuyến tính.
Định nghĩa 1.1.2. Với hai đa thức f (x) =
trong V [x], định nghĩa

f (x) + g(x) =

(ai + bi )xi .

ai xi và g(x) =

bi xi


4

ck xk , trong đó ck =

f (x)g(x) =

ai bj với mọi k.

Khi đó V [x] là vành giao hoán với phép cộng và nhân đa thức. Vành

V [x] được gọi là vành đa thức một biến x với hệ số trong V . Phần tử
không của vành đa thức là đa thức 0, phần tử đơn vị là đa thức 1.
Mỗi bộ n số nguyên không âm i = (i1 , . . . , in ) ∈ Nn0 cho ta một đơn
thức xi11 . . . xinn của n biến x1 , . . . , xn với bậc i1 + . . . + in . Chúng ta

thường viết đơn thức này dưới dạng xi . Với j = (j1 , . . . , jn ) ∈ Nn0 , hai
đơn thức xi và xj là bằng nhau nếu i = j, tức là ik = jk với mọi k . Một
từ là một biểu thức có dạng axi với a ∈ V (được gọi là hệ số của từ) và
xi là một đơn thức được gọi là đơn thức của từ. Hai từ được gọi là đồng
dạng nếu hai đơn thức của chúng bằng nhau. Hai từ được gọi là bằng
nhau nếu chúng đồng dạng và có cùng hệ số. Một đa thức là một tổng
của hữu hạn từ.
Định nghĩa 1.1.3. Ký hiệu V [x1 , . . . , xn ] là tập hợp các đa thức n
biến x1 , . . . , x2 với hệ số trong V . Với i, j ∈ Nn0 , trong đó i = (i1 , . . . , in )
và j = (j1 , . . . , jn ), ta định nghĩa i + j = (i1 + j1 , . . . , in + jn ). Khi đó

V [x1 , . . . , xn ] là một vành với phép cộng
bi xi =

ai xi +
i∈Nn
0

i∈Nn
0

(ai + bi ) xi
i∈Nn
0

và phép nhân

ai x i
i∈Nn
0

bi xi =
i∈Nn
0

k∈Nn
0

ai xi ,

với mọi đa thức
i∈Nn
0

ck xk , ck =

ai b j
i+j=k

bi xi ∈ V [x1 , . . . , xn ]. Vành V [x1 , . . . , xn ]
i∈Nn
0

được gọi là vành đa thức n biến x1 , . . . , xn với hệ số trong V .
Định nghĩa 1.1.4. Đa thức khác không, không khả nghịch thuộc V [x1 ,

. . . , xn ] được gọi là đa thức bất khả quy nếu nó không có ước thực sự
trong vành V [x1 , . . . , xn ], tức là nếu g là ước của f thì g khả nghịch
hoặc f cũng là ước của g .
Chú ý rằng đa thức f (x) với hệ số trên một trường F là bất khả quy

5

nếu và chỉ nếu degf (x) > 0 và f (x) không phân tích được thành tích
của hai đa thức có bậc nhỏ hơn.
Định nghĩa 1.1.5. Một đa thức trên trường F được gọi là bất khả quy
tuyệt đối trên F nếu nó bất khả quy trên mọi mở rộng đại số của F .

1.2

Sơ đồ Newton và đa diện Newton

Cho R là một vành nhân tử hóa và

f = f0 + f1 X + . . . + fn X n ∈ R[X] với f0 fn = 0.
Cho p ∈ R là một phần tử nguyên tố cho trước, ta biểu diễn mỗi hệ số
khác 0 của f dưới dạng fi = ai pαi trong đó ai là phần tử của R không
chia hết cho p. Với mỗi hạng tử khác không của f , ta lấy một điểm
tương ứng trong mặt phẳng với tọa độ (i, αi ). Tập các điểm này sẽ cho
ta một sơ đồ Newton của f ứng với phần tử nguyên tố p.

Hình 1.1

Đặt P0 = (0, α0 ) và P1 = (i1 , αi1 ) trong đó i1 là số nguyên lớn nhất sao
cho không có điểm (i, αi ) nào nằm phía dưới đường thẳng P0 P1 . Sau đó,
lấy P2 = (i2 , αi2 ) trong đó i2 là số nguyên lớn nhất sao cho không có
điểm (i, αi ) nào nằm phía dưới đường thẳng P1 P2 . Cứ tiếp tục như vậy,
đoạn thẳng cuối ta nhận được có dạng Pr−1 Pr trong đó Pr = (n, αn ).
Nếu một số đoạn của đường gấp khúc P0 P1 . . . Pr đi qua những điểm có

6

tọa độ nguyên, thì ta thêm vào tất cả các điểm có tọa độ nguyên đó và
được đường gấp khúc mới Q0 Q1 . . . Qr+s trong đó Q0 = P0 , Qr+s = Pr .
Định nghĩa 1.2.1. Đường gấp khúc Q0 Q1 . . . Qr+s được xây dựng như
trên được gọi là Sơ đồ Newton của f ứng với phần tử nguyên tố p. Các
đoạn Pl Pl+1 và Qi Qi+1 tương ứng được gọi là các cạnh và các đoạn của
−−−−→
sơ đồ và các vectơ Qi Qi+1 sẽ được gọi là vectơ đoạn của sơ đồ Newton.
Trước khi trình bày về khái niệm đa diện Newton của đa thức ta sẽ
trình bày một số khái niệm và tính chất về tập lồi và đa diện lồi.
Ta xét Rn là không gian vectơ thực, là không gian affine thực, hoặc
là không gian Eulid với tích vô hướng

x, y = ξ1 η1 + . . . + ξn ηn với x = (ξ1 , . . . , ξn ) , y = (η1 , . . . , ηn ) ,
và khoảng cách giữa hai điểm x và y được xác định bởi

x−y

2

= x − y, x − y .

Định nghĩa 1.2.2. Một tập C ⊆ Rn được gọi là tập lồi nếu với mọi

x, y ∈ C, x = y ta có đoạn thẳng
[x, y] := {λx + (1 − λ)y | 0 ≤ λ ≤ 1}
chứa trong C .

Ta nói x là một tổ hợp lồi của x1 , . . . , xr ∈ Rn nếu tồn tại λ1 , . . . , λr ∈
R sao cho các điều kiện sau được thỏa mãn
(1) x = λ1 x1 + . . . + λr xr ,
(2) λ1 + . . . + λr = 1,
(3) λ1 ≥ 0, . . . , λr ≥ 0.
Chú ý rằng, nếu bỏ điều kiện (3) ta gọi x là một tổ hợp affine của
x1 , . . . , xr , khi đó x, x1 , . . . , xr được gọi là phụ thuộc affine.
Nếu x, x1 , . . . , xr không phụ thuộc affine ta nói chúng độc lập affine.
Định nghĩa 1.2.3. Tập tất cả các tổ hợp lồi của các phần tử của một
tập S ⊆ Rn được gọi là bao lồi của S , ký hiệu conv(S).
t

t

λi xi | xi ∈ S, λi ≥ 0;

conv(S) =
i=1

λi = 1 .
i=1


7

Khi S = {x1 , . . . , xk } là một tập hữu hạn, ta gọi conv(S) là một đa
diện và cũng sử dụng ký hiệu conv(x1 , . . . , xk ). Một điểm x của đa diện
được gọi là đỉnh nếu nó không thuộc bất kỳ một đoạn tạo bởi hai điểm
phân biệt nào khác x của đa diện. Ta có một đa diện luôn là bao lồi của
các đỉnh của nó và ngược lại mỗi đỉnh của bao lồi conv(x1 , . . . , xk ) đều

là một trong số x1 , . . . , xk .
Chú ý 1.2.4. Với tập lồi C trong Rn , ta gọi số chiều của bao affine
aff(C) là số chiều của C và ký hiệu dimC . Rõ ràng nếu {x1 , . . . , xr } độc
lập affine thì dim(conv(x1 , . . . , xr )) = r − 1.
Cho C là một tập lồi trong Rn và a0 ∈ C . Một siêu phẳng

H = {x ∈ Rn | α · x − β = 0} , α ∈ Rn , β ∈ R
đi qua a0 , được gọi là một siêu phẳng tựa của C tại a0 nếu với mọi
α ∈ C ta đều có α · a − β ≤ 0. Khi đó ta còn nói một cách ngắn gọn H
là siêu phẳng tựa của C .
Cho P là một đa diện trong Rn , một mặt của P được định nghĩa là
giao của P với một siêu phẳng tựa của P . Một đỉnh của P là một mặt
có chiều 0, mặt có chiều 1 là một đoạn thẳng mà ta gọi là cạnh của P .
Định nghĩa 1.2.5. Cho A và B là hai tập con của Rn , tập hợp

A + B = {a + b | a ∈ A, b ∈ B}
được gọi là tổng Minkowski của A và B .
Ta thấy rằng tổng Minkowski của hai tập lồi cũng là một tập lồi. Ta
có bổ đề sau đây.
Bổ đề 1.2.6. Giả sử

A = conv(a1 , . . . , an ), B = conv(b1 , . . . , bm ),
khi đó ta có

A + B = conv ({ai + bj | 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ m}) .
Chứng minh. Ta chỉ cần chứng minh bao hàm “ ⊆ ”. Lấy phần tử v =
n

v1 +v2 ∈ A+B , khi đó v1 =

m

µj bj , λi , µj ≥ 0 với mọi i, j

λi ai , v2 =
i=1

j=1


8

m

n

µj = 1. Sắp xếp lại tập điểm {λ1 , λ2 + λ1 , . . . , λn + . . . + λ1 }

λi =

và

j=1

i=1

∪ {µ1 , µ2 + µ1 , . . . , µm + . . . + µ1 } theo thứ tự tăng dần ta được
{γ1 , γ1 + γ2 , . . . , γ1 + . . . + γt } ,
t

trong đó 0 ≤ γk ≤ 1 và

γk = 1.
k=1

Với mỗi 1 ≤ k ≤ t, ta xác định 1 ≤ k1 ≤ n và 1 ≤ k2 ≤ m thỏa mãn

λk1 −1 + . . . + λ1 ≤ γk−1 + . . . + γ1
≤ γk + γk−1 + . . . + γ1 ≤ λk1 + λk1 −1 + . . . + λ1 ,
βk2 −1 + . . . + β1 ≤ γk−1 + . . . + γ1
≤ γk + γk−1 + . . . + γ1 ≤ βk2 + βk2 −1 + . . . + β1 .
Khi đó ta có
t

γk (ak1 + bk2 ) ∈ conv ({ai + bj | 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ m}) .

v=
k=1

Bổ đề trên cho ta kết luận mỗi đỉnh của đa diện A + B đều là tổng
của các đỉnh của A và của B .
Một điểm tùy ý thuộc Rn được gọi là điểm nguyên nếu mọi tọa độ của
nó đều là số nguyên. Một đa diện trong Rn được gọi là đa diện nguyên
nếu mọi đỉnh của nó đều là các điểm nguyên.
Định nghĩa 1.2.7. Ta nói rằng đa diện nguyên C có thể phân tích
nguyên được nếu tồn tại đa diện nguyên A và B đều chứa ít nhất hai
điểm sao cho C = A + B . Khi đó A và B được gọi là các đa diện thành
phần của C . Ngược lại, C được gọi là không phân tích nguyên được hay
ngắn gọn là không phân tích được.
Mỗi đoạn thẳng conv(v1 , v2 ) ký hiệu đơn giản là v1 v2 . Với mỗi điểm

nguyên (hoặc vectơ với tọa độ nguyên) v = (a1 , ..., an ), ta ký hiệu
UCLN(v) = UCLN(a1 , ..., an ) là ước chung lớn nhất của a1 , ..., an .
Tương tự ta ký hiệu

UCLN(v1 , ..., vk ) = UCLN(UCLN(v1 ), ..., UCLN(vk ))


9

là ước chung lớn nhất của tất cả các tọa độ của các điểm nguyên (hoặc
các vectơ với tọa độ nguyên) v1 , v2 , ..., vk . Ta cũng nhận xét thêm rằng
với hai điểm nguyên v1 , v2 ta luôn có

UCLN (v1 , v2 ) = UCLN (v1 , v2 − tv1 ) ,
với mọi t ∈ Z.
Mệnh đề sau cho ta đếm được số điểm nguyên trên một đoạn thẳng
trong Rn .
Mệnh đề 1.2.8. Cho v0 , v1 là hai điểm nguyên phân biệt trong Rn . Khi
đó số các điểm nguyên trên đoạn thẳng v0 v1 kể cả v0 và v1 đúng bằng

UCLN(v0 − v1 ) + 1. Ngoài ra, nếu v2 ∈ v0 v1 là một điểm nguyên thì
|v2 − v0 | UCL N (v2 − v0 )
=
,
|v1 − v0 | UCL N (v1 − v0 )
trong đó |v| ký hiệu cho chuẩn Euclid của vectơ v trong Rn .
Chứng minh. Trừ v0 và v1 ra, còn lại tất cả các điểm của đoạn v0 v1 đều
có dạng

v = v0 + t (v1 − v0 ) , 0 < t < 1.

Vì v0 là điểm nguyên, nên v là điểm nguyên nếu và chỉ nếu t(v1 − v0 ) là
nguyên. Nhưng tất cả các tọa độ của v1 − v0 đều nguyên vì vậy t phải
là số hữu tỷ. Đặt

t=

i
với 0 < i < k và UCLN(i, k) = 1.
k

Ta nhận thấy t(v1 −v0 ) là nguyên nếu và chỉ nếu k là ước của UCLN(v1 −

v0 ). Vì vậy nếu v là một điểm nguyên khác v0 và v1 thì t là và chỉ là các
số
i
t = ,0 < i < d
d
trong đó d = UCLN (v1 − v0 ) ≥ 1. Rõ ràng số các lựa chọn của i là d−1.
Vậy tổng số các điểm nguyên v của đoạn v0 v1 là (d − 1) + 2 = d + 1.
i
Ta giả sử v2 = v0 + (v1 − v0 ) là một điểm nguyên bất kì trên v0 v1
d
v1 − v0
v1 − v0
với 0 ≤ i ≤ d. Khi đó
là nguyên và UCLN
= 1, nên
d
d

10

UCLN (v2 − v0 ) = UCLN i

v1 − v0
d

= i.

Đồng thời

|v2 − v0 | = i

v1 − v0
v1 − v0
, |v1 − v0 | = d
.
d
d

Từ các đẳng thức trên ta có

|v2 − v0 |
i
UCLN (v2 − v0 )
= =
.
|v1 − v0 | d UCLN (v1 − v0 )

Ta giới thiệu kết quả sau của S. Gao [3]. Kết quả này sẽ cho phép ta
nhận biết một số đa diện nguyên không phân tích được.
Định lý 1.2.9 ([3], Định lý 4.2). Cho Q là một đa diện nguyên trong Rn
chứa trong siêu phẳng H và v ∈ Rn là một điểm nguyên nằm ngoài H .
Giả sử v1 , v2 , . . . , vk là tất cả các đỉnh của Q. Khi đó đa diện conv(v, Q)
là không phân tích được nếu và chỉ nếu

UCLN (v − v1 , v − v2 , . . . , v − vk ) = 1.
Ví dụ 1.2.10. Đa thức

f = x3 + y 5 + 2z 3 + xyz + 4
có đa diện Newton Pf = conv((3, 0, 0), (0, 5, 0), (0, 0, 3), (1, 1, 1), (0, 0, 0))
là một tứ diện biểu diễn như Hình 1.2.

Hình 1.2


11

Cuối cùng ta trình bày khái niệm đa diện Newton của một đa thức n
biến trên một trường.
Định nghĩa 1.2.11. Cho F là một trường và

f=

fi1 i2 ...in X1i1 X2i2 . . . Xnin ∈ F [X1 , X2 , . . . , Xn ]

là một đa thức n biến trên trường F . Ta xét mỗi vectơ lũy thừa (i1 , i2 , . . . ,

in ) của f như một điểm trong Rn . Đa diện Newton của f , ký hiệu là Pf ,

là bao lồi trong Rn của tất cả các điểm (i1 , i2 , . . . , in ) mà fi1 i2 ...in = 0.
Khi f là đa thức hai biến thì Pf nằm trong R2 thì ta gọi Pf là đa giác
Newton.


12

Chương 2

Một số tiêu chuẩn bất khả quy của
đa thức
Chương 2 trình bày về một số tiêu chuẩn bất khả quy của đa thức,
từ đó có thể xét tính bất khả quy của đa thức hai biến dựa vào sơ đồ
Newton và đa giác Newton của đa thức. Tài liệu tham khảo chính của
chương là [2], [3] và [5].

2.1

Tiêu chuẩn Eisenstein-Dumas

Định lý 2.1.1 (Dumas). Cho R là vành nhân tử hóa và f = gh trong
đó f, g, h ∈ R[x]. Khi đó hệ các vectơ đoạn của sơ đồ Newton của f là
hợp của hệ vectơ đoạn của các sơ đồ Newton của g và h (sơ đồ Newton
của f, g, h ứng với cùng một số nguyên tố p).
Chứng minh. Đặt
n

m
αi i

f (x) =

ai p x ,

g(x) =

i=0

n−m
βj j

bj p x ,
j=0

ck pγk xk ,

h(x) =
k=0

trong đó ai , bj , ck không chia hết cho p.
Ta lấy một cạnh của sơ đồ Newton của f (Chú ý rằng cạnh Pl Pl+1 có
thể gồm vài đoạn của sơ đồ Newton). Giả sử Pl có tọa độ (i− , αi− ) và

Pl+1 có tọa độ (i+ , αi+ ). Khi đó độ dốc của đoạn thẳng Pl Pl+1 là
M=

αi+ − αi−
.
i+ − i−

13

Đặt αi+ − αi− = At và i+ − i− = It, trong đó t > 0 là ước chung lớn
A
trong đó (A, I) = 1.
nhất của αi+ − αi− và i+ − i− . Khi đó M =
I
Cạnh Pl Pl+1 của sơ đồ Newton thuộc đường thẳng

Iα − Ai = F, trong đó F = Iαi+ − Ai+ = Iαi− − Ai− .
Theo giả thiết, tất cả các điểm (i, αi ), i = 0, 1, ..., n đều thuộc hoặc nằm
phía trên đường thẳng này, tức là

Iαi − Ai ≥ F,
trong đó bất đẳng thức chặt với mọi i < i− và i > i+.
Số Iαi − Ai được gọi là trọng của đơn thức apα xi trong đó (a, p) = 1.
Các số i− và i+ là xác định duy nhất vì ứng với chúng là số mũ nhỏ
nhất và lớn nhất của x trong các đơn thức của f mà có trọng nhỏ nhất.
Với đa thức g , xét:

G = min {Iβj − Aj},
j=0,...,m

và xác định j− và j+ là các chỉ số nhỏ nhất và lớn nhất sao cho

G = Iβj− − Aj− = Iβj+ − Aj+ .
Tương tự, với đa thức h, xét

H=

min

{Iγk − Ak},

k=0,...,n−m

xác định k− và k+ là các chỉ số nhỏ nhất và lớn nhất sao cho

H = Iγk− − Ak− = Iγk+ − Ak+ .
Rõ ràng

aj− +k− pαj− +k− xj− +k− =

bj pβj xj

ck pγk xk .

(2.1)

j+k=j− +k−

Trọng của tích hai hạng tử bằng tổng của các trọng của mỗi hạng tử,
do đó trọng của hạng tử trong tổng (2.1) có j = j− và k = k− trùng
với G + H . Trọng của tất cả các hạng tử khác thực sự lớn hơn G + H
(bởi vì các hạng tử khác đều có các chỉ số j < j− hoặc k < k− , chẳng


14

hạn, nếu j < j− thì trọng của bj pβj xj thực sự lớn hơn G còn trọng của

ck pγk xk lại không bé hơn H ).
Trọng của bj pβj xj

ck pγk xk với j +k = hằng số là tăng theo βj +γk
tăng vì I > 0. Trong trường hợp đang xét là j + k = j− + k− và do đó
tổng βj + γk là cực tiểu tại j = j− và k = k− . Do đó từ (2.1) ta suy ra
trọng của aj− +k− pαj− +k− xj− +k− là

I βj− + γk− − A (j− + k− ) = Iβj− − Aj− + Iγk− − Ak− = G + H
Rõ ràng, theo cách chọn j− và k− và do f = gh nên ta có với mỗi

i < j− + k− , trọng của ai pαi xi là thực sự lớn hơn G + H , trong khi
i ≥ j− + k− trọng của ai pαi xi không nhỏ hơn G + H . Do đó G + H = F
và j− + k− = i− .
Hoàn toàn tương tự ta chứng minh j+ + k+ = i+ . Vì vậy

i+ − i− = (j+ − j− ) + (k+ − k− ).

(2.2)

Đặc biệt một trong các số j+ − j− và k+ − k− là khác không.
Nếu cả j+ − j− và k+ − k− đều khác 0, thì đoạn có điểm cuối là

(j− , βj− ) và (j+ , βj+ ) là một cạnh của sơ đồ Newton của g và đoạn có
các điểm cuối là (k− , γk− ) và (k+ , γk+ ) là một cạnh của sơ đồ Newton
A
vì
của h. Độ dốc của cả hai đoạn đều là M =

I
βj+ − βj−
A γk − γk−
= = +
.
j+ − j−
I
k+ − k−
Quan hệ (2.2) chỉ ra tổng độ dài của các cạnh với độ dốc M của sơ đồ
Newton của g và h trùng với độ dài của cạnh có độ dốc M của sơ đồ
Newton của f .
Nếu một trong các số j+ − j− và k+ − k− bằng 0, thì sơ đồ Newton
của g hoặc h có một cạnh với độ dốc M và độ dài của nó bằng với độ
dài của một cạnh của sơ đồ Newton của f và sơ đồ Newton của đa thức
còn lại sẽ không có cạnh nào có độ dốc M .
Vì vậy, các vectơ cạnh của sơ đồ Newton của f với độ dốc M bằng
tổng của các vectơ cạnh của sơ đồ Newton của g và h có cùng độ dốc

M . Quan hệ (2.2) cũng chỉ ra rằng nếu có một cạnh trong sơ đồ Newton


15

của g và h có độ dốc M thì sơ đồ Newton của f cũng phải có một cạnh
có độ dốc M . Từ đó ta có hệ vectơ đoạn của f là hợp của hệ vectơ đoạn
của g và h.
Từ định lý trên ta có một số tiêu chuẩn bất khả quy của đa thức.
Định lý 2.1.2 (Tiêu chuẩn Eisenstein-Dumas). Cho R là một vành
nhân tử hóa và f = f0 + f1 X + · · · + fn X n ∈ R[X], f0 fn = 0. Giả sử f
là đa thức nguyên thủy, nghĩa là f0 , f1 , . . . , fn không có ước chung không

khả nghịch trong R. Nếu đa giác Newton của f đối với phần tử nguyên tố

p ∈ R chỉ là một đoạn thẳng từ (0, m) đến (n, 0) với UCLN(m, n) = 1,
thì f là bất khả quy trong R[X].
Chứng minh. Áp dụng Mệnh đề 1.2.8, số các điểm nguyên trên đoạn
conv((0, m), (n, 0)) bằng UCLN(m, n) + 1 = 2. Vậy sơ đồ Newton của

f đối với p chỉ gồm đúng một đoạn. Vậy áp dụng Định lý 2.1.1 ta có f
là đa thức bất khả quy.
Ví dụ 2.1.3 (Tiêu chuẩn Eisenstein). Cho f = a0 + a1 x + . . . + an xn là
đa thức nguyên bản trên một vành nhân tử hóa R. Giả sử tồn tại một
phân tử nguyên tố p ∈ R thỏa mãn:
(1) an không chia hết cho p,
(2) các hệ số a0 , . . . , an−1 chia hết cho p,
(3) a0 không chia hết cho p2 .
Khi đó f là bất khả quy trên R.
Sơ đồ Newton của f gồm đúng một đoạn thẳng từ (0, 1) đến (n, 0).
Trong đoạn thẳng này không có điểm nguyên nào khác hai đầu mút.
Vậy áp dụng Định lý 2.1.1 ta suy ra f bất khả quy.
Cho R = F [Y ] là vành đa thức trên trường F . Khi đó Y là phần tử
nguyên tố của R và tiêu chuẩn Eisentein-Dumas có thể áp dụng trong
vành R[X] = F [X, Y ]. Ta có hệ quả sau.
Hệ quả 2.1.4 (Tiêu chuẩn Eisenstein-Dumas (trường hợp đặc biệt)).
Cho F là một trường và f = f0 (y) + f1 (y)x + · · · + fn (y)xn ∈ F [x, y].


16

Giả sử f0 (y) = 0 và fn (y) là hằng số khác không của F . Nếu đa giác
Newton của f đối với phần tử nguyên tố Y chỉ là một đoạn thẳng từ

(0, m) đến (n, 0) và UCLN(m, n) = 1, thì f là bất khả quy trên F .
Ví dụ 2.1.5. Đa thức

f = y 3 + 3y 4 x2 + 2y 3 x4 + x5
bất khả quy trên Q vì đa giác Newton của f đối với y là đoạn thẳng nối

(0, 3) với (5, 0) như Hình 2.1 và UCLN(3, 5) = 1.

Hình 2.1

2.2

Đa giác không phân tích nguyên được và tính bất khả
quy tuyệt đối của đa thức hai biến

Mệnh đề 2.2.1. Cho F là một trường. Giả sử f (x, y), g(x, y), h(x, y) ∈

F [x, y] với f = 0 và f = gh. Khi đó Pf = Pg + Ph .
Chứng minh. Ta biết rằng tổng Minkowski của hai đa giác cũng là một
đa giác và mỗi đỉnh của đa giác đều là tổng của các đỉnh của đa giác
thành phần. Đặt (α, β) ∈ Pf là một đỉnh tùy ý của đa giác Newton
của đa thức f (x, y). Tức là đa thức f chứa đơn thức xα y β với hệ số
khác không. Ta có f (x, y) = g(x, y)h(x, y) suy ra g(x, y) và h(x, y)
chứa các đơn thức xγ y δ và xα−γ y β−δ tương ứng, cả hai đều có hệ số
khác không. Các đơn thức này tương ứng với các điểm (γ, δ) ∈ Pg và

(α − γ, β − δ) ∈ Ph . Do đó (γ, δ) + (α − γ, β − δ) ∈ Pg + Ph tức là

17

(α + β) ∈ Pg + Ph , như vậy Pf ⊆ Pg + Ph . Ta còn phải chứng minh
Pg + Ph ⊆ Pf . Do đa giác Newton là bao lồi các đỉnh của nó, nên ta sẽ
chỉ ra rằng bất kỳ đỉnh nào của đa giác Pg + Ph đều nằm trong đa giác

Pf .
Giả sử v là một đỉnh của Pg + Ph . Vì v ∈ Pg + Ph nên tồn tại các
điểm vg ∈ Pg và vh ∈ Ph sao cho v = vg + vh . Ta sẽ chứng minh sự tồn
tại của vg và vh là duy nhất. Giả sử ngược lại, nếu có v = vg + vh =

vg + vh , vg , vg ∈ Pg , vh , vh ∈ Ph , với vg = vg và vh = vh .
Đặt v = (x, y), vg = (a, b) và vg = (c, d). Khi đó vh = (x − a, y − b) và
vh = (x − c, y − d). Ta xét điểm vg + vh , ta có vg + vh ∈ Pg + Ph và
vg +vh = (a, b)+(x−c, y−d) = (x+a−c, y+b−d) = (x+(a−c), y+(b−d)).
Tương tự điểm vg + vh ∈ Pg + Ph và

vg +vh = (c, d)+(x−a, y−b) = (x−a+c, y−b+d) = (x−(a−c), y−(b−d)).
Khi đó trung điểm của đoạn thẳng có các đầu mút là vg + vh và vg + vh
là

x + (a − c) + x − (a − c) y + (b − d) + y − (b − d)
,
2
2

= (x, y).

Nói cách khác trung điểm của đoạn thẳng có nối vg + vh và vg + vh là
điểm v = (x, y). Do đoạn thẳng trên nằm trong Pg + Ph suy ra v không

là đỉnh. Vô lý. Do đó, đối với mỗi đỉnh v tùy ý của đa giác Newton

Pg + Ph tồn tại duy nhất vg ∈ Pg và vh ∈ Ph sao cho v = vg + vh .
Vì v là một đỉnh của Pg + Ph nên ta có vg và vh là đỉnh của Pg và
Ph tương ứng. Vì sự tồn tại của vg và vh là duy nhất, nên tồn tại duy
nhất một hạng tử của của g(x, y) và một hạng tử của h(x, y) để v là
một vectơ lũy thừa trong g(x, y)h(x, y). Do đó v ∈ Pf . Ta đã chỉ ra
rằng tất cả các đỉnh của đa giác Pg + Ph nằm trong Pf . Từ đó ta có

Pg + P h ⊆ Pf .
Nhắc lại rằng, một đa thức trên trường F được gọi là bất khả quy
tuyệt đối trên F nếu nó bất khả quy trên mọi mở rộng đại số của F .


18

Định lý 2.2.2. Cho f (x, y) là đa thức hai biến khác 0 trên trường F
không chia hết cho x hoặc y . Nếu đa giác Newton của f không phân tích
nguyên được thì đa thức f (x, y) là bất khả quy tuyệt đối trên F .
Chứng minh. Vì đa thức f (x, y) không chia hết cho x hoặc y , nên nó
không có phân tích tầm thường. Giả sử đa thức f (x, y) không bất khả
quy tuyệt đối trên F , tức là trên một mở rộng đại số của F , ta có phân
tích f (x, y) = g(x, y)h(x, y). Trong đó g(x, y) và h(x, y) đều có ít nhất
hai hạng tử khác 0. Khi đó đa giác Newton Pg và Ph có ít nhất hai điểm.
Áp dụng Mệnh đề 2.2.1 ta có Pf = Pg + Ph , tức là đa giác Newton của

f phân tích nguyên được. Mâu thuẫn này cho ta kết luận f (x, y) bất
khả quy tuyệt đối trên F .
Chú ý 2.2.3. Ta có thể thay đổi tuỳ ý các hệ tử của đa thức f mà
đa diện Newton của f vẫn như cũ miễn sao các hạng tử có vectơ luỹ

thừa ứng với các đỉnh phải khác không. Nếu f bất khả quy và đa diện
Newton của f là không phân tích được thì khi ta thay đổi các hệ tử
của f sao cho mỗi hạng tử có vectơ luỹ thừa ứng với các đỉnh đều khác
không, đa thức mới nhận được vẫn bất khả quy tuyệt đối. Điều này cho
ta nhiều sự lựa chọn các đa thức thích hợp trong áp dụng.
Định lý 1.2.9 cho phép ta nhận diện được một số cấu trúc đa giác
Newton không phân tích được, từ đó dẫn đến một số dạng đa thức hai
biến bất khả quy.
Hệ quả 2.2.4. Các đa thức

aX n Y m + b, aX n + bY m , với a, b ∈ F \{0}
bất khả quy tuyệt đối trên F nếu UCLN(n, m) = 1.
Chứng minh. Áp dụng Định lý 1.2.9, ta có với hai điểm nguyên phân biệt

v0 , v1 trong R2 , đoạn thẳng v0 v1 không phân tích nguyên được khi và
chỉ khi UCLN(v0 − v1 ) = 1. Ở đây, ta có Pf là đoạn conv((n, m), (0, 0))
và Pg là đoạn conv((n, 0), (0, m)). Khi (m, n) nguyên tố cùng nhau thì

Pf , Pg không phân tích được. Áp dụng Định lý 2.2.2 ta suy ra f và g là
bất khả quy tuyệt đối trên F .


19

Hệ quả 2.2.5. Cho

f = aX n + bY m + cX u Y v +

cij X i Y j ∈ F [X, Y ] với a, b, c = 0.

Giả sử rằng đa diện Newton của f là tam giác với các đỉnh (n, 0), (0, m)
và (u, v). Nếu UCLN(m, n, u, v) = 1 thì f là bất khả quy tuyệt đối trên

F.
Chứng minh. Áp dụng Định lý 1.2.9, ta có với ba điểm nguyên phân
biệt v0 , v1 , v2 trong R2 không cùng thuộc một đường thẳng, tam giác
conv(v0 , v1 , v2 ) là không phân tích được khi và chỉ khi UCLN(v0 −v1 , v0 −

v2 ) = 1.
Ở đây ta có Pf là tam giác có ba đỉnh A = (n, 0), B = (0, m), C = (u, v)
thoản mãn:

UCLN(C − A, C − B) = UCLN(u − n, v, u, v − m)
= UCLN(u, v, m, n) = 1.
Vậy Pf không phân tích nguyên được. Áp dụng định lý 2.2.2 ta suy ra

f bất khả quy tuyệt đối.


20

Chương 3

Sự phân tích đa thức hai biến
thành nhân tử
Chương 3 trình bày điều kiện cần và đủ để một đa thức hai biến với
hệ số nguyên có thể phân tích thành tích của các đa thức nguyên không
tầm thường cùng với một số áp dụng. Tài liệu tham khảo chính trong
chương này là bài báo [2].

3.1

Sự phân tích đa thức hai biến thành nhân tử

Trong chương này, ta luôn xét các đa thức hai biến với hệ số nguyên,
tức là các đa thức f (x, y) ∈ Z[x, y]
Định nghĩa 3.1.1. Cho f (x, y) =

ce1 e2 xe1 y e2 ∈ Z[x, y]. Ta gọi là

dàn không mở rộng các điểm nút của đa thức f (x, y) là tập gồm tất
cả các điểm (e1 , e2 )i , i = 1, ..., k tương ứng với các hạng tử khác không
của đa thức. Nếu trong đa giác Newton của f (x, y) có một số điểm
nguyên khác với (e1 , e2 )i , i = 1, ..., k , những điểm này cùng với các điểm

(e1 , e2 )i , i = 1, ..., k được gọi là dàn các nút mở rộng của f (x, y).
Từ chứng minh Bổ đề 2.2.1, rõ ràng những đơn thức của f (x, y) nhận
được từ ít nhất hai cách khác nhau khi nhân các đa thức thành phần
g(x, y) và h(x, y), sẽ không tương ứng với đỉnh nào của đa giác Newton
Pf .


21

Ví dụ 3.1.2. Xét đa thức:

f (x, y) = x2 + 2xy + y 2 ∈ Z[x, y].
Đa thức f (x, y) được phân tích như sau

f (x, y) = (x + y)(x + y).

Đơn thức xy với hệ số 2 nhận được theo hai cách từ việc nhân các nhân
tử (x + y) với (x + y)

xy = (x)(y) = (y)(x).
Đa giác Newton của đa thức f (x, y) được biểu diễn trong Hình 3.1.

Hình 3.1

Rõ ràng, Pf = conv((1, 1), (0, 2), (2, 0)) là một đoạn thẳng nối (0, 2) và

(2, 0), trong đó điểm (1, 1) ứng với đơn thức xy và không là đỉnh của
đa giác Pf .
Định nghĩa 3.1.3. Cho f (x, y) là một đa thức hai biến trên Z. Đặt

P = {A1 , A2 , ..., An } là một dàn các nút của đa thức f (x, y) có thể
được mở rộng bởi một số điểm nguyên nằm trong đa giác Newton của
đa thức f (x, y). Không mất tính tổng quát, ta giả sử rằng sau khi xây
dựng đa giác Newton của đa thức f (x, y), A1 , A2 , ..., Ak , (k ≥ 2) là
các đỉnh và Ak+1 , ..., An thì không. Ta gọi một sự phân nhóm của tập

P, G1 , ..., Gl , (l ≥ 2) là một siêu phủ của P nếu:
1. Mỗi Gi , i = 1, ..., l, chứa số điểm bằng nhau và lớn hơn hoặc bằng
2 điểm,


22

l

Gi = P ,

2.
i=1

3. Các đỉnh A1 , A2 , ..., Ak xuất hiện trong duy nhất một tập G1 , ..., Gl ,
4. Các điểm Ak+1 , ..., An xuất hiện trong ít nhất một tập G1 , ..., Gl ,
5. Các đa diện lồi xác định bởi G1 , G2 , ..., Gl là tương đẳng và mỗi

G2 , ..., Gl đều nhận được từ G1 bởi một phép tịnh tiến.
Định nghĩa 3.1.4. Cho f (x, y) là một đa thức hai biến với các hệ tử
trên Z. Cho P = {A1 , A2 , ..., An } là dàn các nút mở rộng hoặc không
mở rộng của đa thức f (x, y). Đặt

G1 = conv(Ai1,1 , ..., Ai1,k ), ..., Gl = conv(Ail,1 , ..., Ail,k ), (k ≥ 2),
với {i1,1 , ..., i1,k , ..., il,1 , ..., il,k } = {1, ..., n} là một siêu phủ của P bởi l
đa giác (k−đỉnh) tương đẳng. Vì hợp thành của hai phép tịnh tiến là
một phép tịnh tiến, ta suy ra mỗi cặp Gp và Gq , (p = q, p, q ∈ {1, ..., l})
đều tồn tại phép tịnh tiến, ký hiệu τp,q , sao cho τp,q (Gp ) = Gq . Với mỗi
đa giác như vậy, ta liệt kê các đỉnh bằng cách: đầu tiên là đỉnh có tọa
độ x nhỏ nhất; nếu có nhiều đỉnh cùng tọa độ x, ta chọn đỉnh tọa độ

y nhỏ nhất trong số ấy. Và các đỉnh tiếp theo được liệt kê theo thứ tự
ngược chiều kim đồng hồ. Khi đó ta có

τp,q (Aip,ω ) = Aiq,ω ,
với mọi p, q, p = q, p, q ∈ {1, ..., l} và mọi ω = 1, ..., k .
Ta ký hiệu coef(Ai ) là hệ tử của đơn thức trong f (x, y) ứng với Ai .
- Giả sử các đa giác G1 , G2 , ..., Gl không có nút chung. Ta nói siêu phủ
này của P phù hợp với hệ số của đa thức f (x, y) nếu ta có

coef(Ai1,1 ) : coef(Ai1,2 ) : ... :coef(Ai1,k ) =
... = coef(Ail,1 ) : coef(Ail,2 ) : ... : coef(Ail,k ).
- Giả sử các đa giác G1 , ..., Gl có nút chung. Mỗi Gi , i = 1, ..., l xác định
một đa thức pi (x, y) sao cho

f (x, y) = p1 (x, y) + ... + pl (x, y),