Các phương trình thuần nhất hóa dạng hiện trong miền với biên phân chia có độ nhám cao và ứng dụng

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

ĐỖ XUÂN TÙNG

CÁC PHƯƠNG TRÌNH THUẦN NHẤT HÓA
DẠNG HIỆN TRONG MIỀN VỚI BIÊN PHÂN
CHIA CÓ ĐỘ NHÁM CAO VÀ ỨNG DỤNG

LUẬN ÁN TIẾN SĨ CƠ HỌC

Hà Nội - 2013


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

ĐỖ XUÂN TÙNG

CÁC PHƯƠNG TRÌNH THUẦN NHẤT HÓA
DẠNG HIỆN TRONG MIỀN VỚI BIÊN PHÂN
CHIA CÓ ĐỘ NHÁM CAO VÀ ỨNG DỤNG

Chuyên ngành: Cơ học Vật thể rắn
Mã số: 62 44 21 01

LUẬN ÁN TIẾN SĨ CƠ HỌC

Người hướng dẫn khoa học:
PGS. TS. Phạm Chí Vĩnh

Hà Nội - 2013


LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi.
Các số liệu và kết quả được trình bày trong luận án là trung thực và
chưa từng được ai công bố trong bất kỳ công trình nào khác.
Hà Nội, năm 2013
Nghiên cứu sinh

ĐỖ XUÂN TÙNG

i


LỜI CẢM ƠN

Luận án này được thực hiện và hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa
học của PGS. TS. Phạm Chí Vĩnh, người đã tận tình giúp đỡ tôi trên
con đường khoa học. Thầy đã dìu dắt tôi trên con đường làm cơ học,
luôn tạo ra những thử thách giúp tôi tự học hỏi, tìm tòi và sáng tạo. Tôi
xin bày tỏ lòng biết ơn vô cùng sâu sắc đến Thầy.
Tôi muốn bày tỏ sự cảm ơn chân thành đến ban Giám hiệu Trường
Đại học Kiến trúc Hà Nội, ban chủ nhiệm Khoa Xây Dựng, Thầy Đặng
Quốc Lương chủ nhiệm Bộ môn Cơ lý thuyết đã động viên, khuyến khích,
tạo mọi điều kiện cho tôi hoàn thành luận án. Tôi xin chân thành cảm
ơn các thầy trong Bộ môn Cơ học, Khoa Toán- Cơ- Tin học, Trường Đại
học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội, các anh chị trong
nhóm sermina của thầy Vĩnh đã hướng dẫn, chia sẻ kinh nghiệm, tạo
một môi trường nghiên cứu khoa học tốt.

Hà Nội, năm 2013
Nghiên cứu sinh

ĐỖ XUÂN TÙNG

ii


Mục lục
1 TỔNG QUAN
1.1 Biên phân chia có độ nhám thấp . . . . . . . . . . . . .
1.2 Biên phân chia có độ nhám cao . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Phương pháp thuần nhất hóa biên phân chia có độ nhám
cao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.1 Phương pháp thuần nhất hóa . . . . . . . . . . .
1.3.2 Các nghiên cứu liên quan đến thuần nhất hóa biên
phân chia có độ nhám cao . . . . . . . . . . . . .
1.4 Tình hình nghiên cứu trong nước . . . . . . . . . . . . .
1.5 Mục tiêu nghiên cứu của luận án . . . . . . . . . . . . .

5
5
7
8
8
10
12
13

2 PHƯƠNG TRÌNH THUẦN NHẤT HÓA DẠNG

HIỆN CỦA LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI TRONG
MIỀN HAI CHIỀU CÓ BIÊN PHÂN CHIA
15
ĐỘ NHÁM CAO
2.1 Biên phân chia dao động giữa hai đường thẳng song song
2.1.1 Các phương trình cơ bản . . . . . . . . . . . . . .
2.1.2 Phương trình thuần nhất hóa dạng hiện dạng ma
trận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.3 Hệ các phương trình thuần nhất hóa dưới dạng
thành phần cho một số trường hợp . . . . . . . .
2.2 Biên phân chia dao động giữa hai đường tròn đồng tâm .
2.2.1 Các phương trình cơ bản . . . . . . . . . . . . . .
2.2.2 Phương trình thuần nhất hóa dạng hiện dạng ma
trận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.3 Hệ các phương trình thuần nhất hóa dưới dạng
thành phần . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.4 Phương trình thuần nhất hóa cho vật liệu trực hướng
iii

16
16

19
29
35
35
37
47
51

3 PHƯƠNG TRÌNH THUẦN NHẤT HÓA DẠNG

HIỆN CỦA LÝ THUYẾT ĐÀN-ĐIỆN TRONG
MIỀN HAI CHIỀU CÓ BIÊN PHÂN CHIA
ĐỘ NHÁM CAO
55
3.1 Biên phân chia dao động giữa hai đường thẳng song song
3.1.1 Các phương trình cơ bản . . . . . . . . . . . . . .
3.1.2 Phương trình thuần nhất hóa dạng hiện dạng ma
trận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.3 Hệ các phương trình thuần nhất hóa dưới dạng
thành phần cho một số trường hợp . . . . . . . .
3.2 Biên phân chia dao động giữa hai đường tròn đồng tâm .
3.2.1 Các phương trình cơ bản . . . . . . . . . . . . . .
3.2.2 Phương trình thuần nhất hóa dạng hiện dạng ma
trận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.3 Hệ các phương trình thuần nhất hóa dưới dạng
thành phần . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

56
56

58
59
67
67
68
71

4 PHƯƠNG TRÌNH THUẦN NHẤT HÓA DẠNG

HIỆN CỦA LÝ THUYẾT ĐÀN-NHIỆT TRONG
MIỀN HAI CHIỀU CÓ BIÊN PHÂN CHIA
77
ĐỘ NHÁM CAO
4.1 Biên phân chia dao động giữa hai đường thẳng song song
4.1.1 Các phương trình cơ bản . . . . . . . . . . . . . .
4.1.2 Phương trình thuần nhất hóa dạng hiện dạng ma
trận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.3 Hệ các phương trình dưới dạng thành phần . . .
4.2 Biên phân chia dao động giữa hai đường tròn đồng tâm .
4.2.1 Các phương trình cơ bản . . . . . . . . . . . . . .
4.2.2 Phương trình thuần nhất hóa dạng hiện dạng ma
trận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.3 Hệ các phương trình dưới dạng thành phần . . .

77
77

80
81
82
82
85
86

5 THUẦN NHẤT HÓA BIÊN PHÂN CHIA DAO

ĐỘNG NHANH GIỮA HAI ELLIP ĐỒNG TÂM 89
5.1 Biên phân chia dao động giữa hai ellip đồng tâm . . . . .
5.2 Phương trình thuần nhất hóa dạng hiện . . . . . . . . .
iv

89
95


6 SỰ PHẢN XẠ, KHÚC XẠ CỦA SÓNG ĐÀN

HỒI SH ĐỐI VỚI BIÊN PHÂN CHIA CÓ ĐỘ
NHÁM CAO
103
6.1
6.2
6.3
6.4

Sóng đàn hồi SH . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Phương trình và điều kiện biên . . . . . . . . . . .
Phương trình thuần nhất hóa . . . . . . . . . . . .
Sự phản xạ, khúc xạ của sóng đàn hồi SH đối với
phân chia hình lược . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.5 Sự phản xạ, khúc xạ của sóng đàn hồi SH đối với
phân chia có độ nhám cao, hình dạng bất kì . . . .

TÀI LIỆU THAM KHẢO

v

. . .
. . .
. . .
biên
. . .
biên
. . .

103
104
106
107
110

120


DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ
Hình 1.1: Biên phân chia có độ nhám cao
Hình 2.1: Miền 2 chiều Ω+ và Ω− với biên phân chia L được cho bởi
x3 = h(x1/ε)=h(y), ở đây h(y) là hàm tuần hoàn với chu kì 1. Đường
cong L dao động giữa 2 đường thẳng x3 = 0 và x3 = −A (A > 0).
Hình 2.2: Miền lấy tích phân
Hình 2.3: Biên phân chia hình lược
Hình 2.4: Biên phân chia dao động giữa 2 đường tròn đồng tâm
Hình 2.5: Biên phân chia hình lược dao động giữa 2 đường tròn đồng
tâm
Hình 5.1: Biên phân chia độ nhám cao dao động giữa 2 đường thẳng
song song

Hình 5.2: Biên phân chia L dao động giữa 2 ellip đồng tâm E1 và E2
Hình 5.3: Đường cong L∗ , cho bởi r = h(θ/ ), dao động giữa 2 đường
tròn đồng tâm E1∗ : X 2 + Z 2 = 1 và E2∗ : X 2 + Z 2 = k 2
Hình 6.1: Sóng tới biên phân chia có độ nhám cao dao động giữa 2 đường
thẳng song song
Hình 6.2: Sự phản xạ và khúc xạ của sóng đàn hồi SH đối với biên phân
chia hình lược
Hình 6.3: Sự phản xạ, khúc xạ của sóng đàn hồi SH đối với biên phân
chia có độ nhám cao, hình dạng bất kì
Hình 6.4: Các lớp tinh thể áp điện

vi


MỞ ĐẦU
Các bài toán biên trong miền có biên hay biên phân chia độ nhám
cao xuất hiện nhiều trong thực tế như: sự tán xạ của sóng trên các biên
nhám, sự phản xạ, khúc xạ của sóng trên các biên phân chia có độ nhám
cao, các bài toán cơ học liên quan đến các bản được gia cường dày đặc,
các dòng chảy trên tường nhám, sự dao động của các vật thể đàn hồi
có tính chất cơ học thay đổi nhanh (có tính không thuần nhất cao),..vv.
Khi biên hay biên phân chia nhám có biên độ nhỏ hơn nhiều so với chu
kỳ của nó, để giải quyết các bài toán này, phương pháp nhiễu (perturbation method) thường được sử dụng. Khi biên độ của biên hay biên
phân chia nhám lớn hơn nhiều so với chu kỳ của nó, thì chúng được gọi
là các biên hay biên phân chia có độ nhám cao, và để giải quyết lớp các
bài toán này, các tác giả thường sử dụng phương pháp thuần nhất hóa
(homogenization method).
Thuần nhất hóa biên phân chia độ nhám cao đối với hệ các
phương trình của lý thuyết đàn hồi tuyến tính được Nevard và Keller
nghiên cứu. Sử dụng phương pháp thuần nhất hóa, các tác giả rút ra hệ

phương trình thuần nhất hóa của lý thuyết đàn hồi tuyến tính dị hướng
(hệ này không hoàn toàn chính xác, như đã chỉ ra bởi các tác giả Vinh
và Tung). Tuy nhiên, hệ các phương trình này còn ở dưới dạng ẩn, vì
các hệ số của chúng được xác định qua các hàm mà chúng là nghiệm
của bài toán biên trên nhân tuần hoàn, gồm 27 phương trình vi phân
đạo hàm riêng trong trường hợp 3 chiều. Bài toán biên trên nhân tuần
hoàn này chỉ có thể tìm nghiệm dưới dạng số. Vì hệ phương trình thuần
nhất hóa thu được ở dưới dạng ẩn nên không thuận tiện khi sử dụng,
khả năng ứng dụng vì vậy rất hạn chế.
Nếu các phương trình thuần nhất hóa thu được hoàn toàn tường
minh, tức là các hệ số của chúng là “các hàm hiện” của các tham số vật
liệu và đặc trưng hình học của biên phân chia, thì chúng trở nên rất tiện
1


lợi khi sử dụng, tính ứng dụng trở nên rất cao.

Mục tiêu của luận án
Mục tiêu của luận án là đi tìm hệ phương trình thuần nhất hóa
dạng hiện của lý thuyết đàn hồi tuyến tính, lý thuyết đàn-điện, đànnhiệt trong các miền hai chiều có biên phân chia với độ nhám cao. Biên
phân chia được giả thiết dao động nhanh giữa hai đường thẳng song
song, giữa hai đường tròn đồng tâm. Minh họa tính ứng dụng của các
phương trình thuần nhất hóa dạng hiện thu được bằng bài toán về sự
phản xạ và khúc xạ của sóng đàn hồi SH đối với biên phân chia có độ
nhám cao.

Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu: Các bài toán liên quan đến biên phân chia có độ
nhám cao. Biên phân chia dao động nhanh giữa hai đường thẳng song
song, hai đường tròn đồng tâm, hai ellip đồng tâm.

Phạm vi nghiên cứu: Tìm ra các phương trình thuần nhất hóa dạng hiện
trong miền hai chiều chứa biên phân chia độ nhám cao của các lý thuyết
đàn hồi tuyến tính, đàn-điện, đàn-nhiệt.

Phương pháp nghiên cứu
Trong luận án tác giả sử dụng phương pháp thuần nhất hóa (homogenization method) kết hợp với cách phát biểu ma trận của các lý thuyết
đàn hồi tuyến tính, đàn-điện, đàn-nhiệt và cách biểu diễn nghiệm vi
mô-vĩ mô.

Những đóng góp mới của luận án
Tìm ra các phương trình thuần nhất hóa dạng hiện (dạng tường minh)
của lý thuyết đàn hồi, lý thuyết đàn-điện, lý thuyết đàn-nhiệt, trong
2


miền hai chiều có biên phân chia với độ nhám cao, bằng cách sử dụng
phương pháp thuần nhất hóa kết hợp với ’cách tiệm cận ma trận’. Minh
họa tính ứng dụng của chúng bằng bài toán về sự phản xạ và khúc xạ
của sóng đàn hồi SH đối với biên phân chia dao động nhanh giữa hai
đường thẳng song song.

Cấu trúc của luận án
Cấu trúc của luận án gồm phần mở đầu, 6 chương, phần kết luận, danh
mục các công trình khoa học của tác giả liên quan đến luận án và tài
liệu tham khảo
Chương 1: Tổng quan.
Trình bày các bài toán với biên phân chia có độ nhám thấp-phương
pháp nhiễu (perturbation method), các bài toán liên quan đến biên phân
chia có độ nhám cao và phương pháp thuần nhất hóa (homogenization
method) được sử dụng để giải quyết lớp các bìa toán này. Tổng quan

tình hình nghiên cứu các dạng bài toán này ở trong nước và trên thế
giới.
Chương 2: Phương trình thuần nhất hóa dạng hiện của lý
thuyết đàn hồi trong miền hai chiều có biên phân chia độ nhám
cao.
Cách phát biểu ma trận của lý thyết đàn hồi tuyến tính, biểu diễn nghiệm
có tính đến đặc trưng vi mô và vĩ mô của bài toán, các bước cơ bản để
dẫn đến phương trình thuần nhất hóa dạng hiện dạng ma trận của lý
thuyết đàn hồi. Từ đó viết các phương trình thuần nhất hóa dạng hiện
dưới dạng thành phần.
Chương 3: Phương trình thuần nhất hóa dạng hiện của lý
thuyết đàn-điện trong miền hai chiều có biên phân chia độ
nhám cao.
Sử dụng phương pháp và các kỹ thuật trình bày trong chương 2 để tìm
ra các phương trình thuần nhất hóa dạng hiện của lý thuyết đàn-điện,
dạng ma trận cũng như dạng thành phần. Biên phân chia được giả thiết
dao động nhanh giữa hai đường thẳng song song, giữa hai đường tròn
đồng tâm.
Chương 4: Phương trình thuần nhất hóa dạng hiện của lý
thuyết đàn-nhiệt trong miền hai chiều có biên phân chia độ
nhám cao.
Tương tự như trong chương 3, các phương trình thuần nhất hóa dạng
3


hiện của lý thuyết đàn-nhiệt, dạng ma trận cũng như dạng thành phần
đã được tìm ra. Biên phân chia được giả thiết dao động nhanh giữa hai
đường thẳng song song, giữa hai đường tròn đồng tâm.
Chương 5: Thuần nhất hóa biên phân chia dao động nhanh giữa
hai ellip đồng tâm.

Trong các chương 2-4, biên phân chia được giả thiết dao động nhanh
giữa hai đường thẳng song song, hoặc giữa hai đường tròn đồng tâm.
Có nhiều bài toán thực tế liên quan đến biên phân chia dao động nhanh
giữa hai ellip đồng tâm. Do vậy, việc mở rộng các kết quả thu được cho
trường hợp này là cần thiết và rất có ý nghĩa. Như là sự khởi đầu cho
hướng phát triển này, chương 5 trình bày cách (bài toán) thuần nhất
hóa biên phân chia dao động nhanh giữa hai ellip đồng tâm đối với một
bài toán biên, gồm một phương trình, và có nguồn gốc từ các bài toán
thực tế khác nhau như: bài toán phản xạ và khúc xạ của sóng đàn hồi
SH, bài toán truyền nhiệt dừng,...
Chương 6: Sự phản xạ và khúc xạ của sóng đàn hồi SH đối với
biên phân chia độ nhám cao.
Như là một minh họa cho sự ứng dụng của các kết quả thu được, chương
6 nghiên cứu bài toán phản xạ và khúc xạ của sóng đàn hồi SH đối với
biên phân chia độ nhám cao.

4


Chương 1
TỔNG QUAN

1.1

Biên phân chia có độ nhám thấp

Các bài toán liên quan đến biên phân chia có độ nhám thấp xuất
hiện nhiều trong thực tế như sự tán xạ của các sóng trên mặt nhám, quá
trình truyền sóng của các sóng đàn hồi, sóng âm, sóng điện từ trên biên
phân chia nhám giữa hai môi trường...

Đối với lớp các bài toán về sự tán xạ trên mặt nhám, để giải quyết
các bài toán này có hai phương pháp thường được sử dụng là phương
pháp nhiễu (perturbation method-PM) và phương pháp xấp xỉ cổ điển
(quasi-classical approximation). PM được kiến nghị bởi Rayleigh trong
các nghiên cứu của mình, tham số bé của lý thuyết (tham số Rayleigh)
là giá trị tỉ số của độ cao biên nhám với độ dài của sóng tới. Với cách
tiếp cận này, các tác giả có thể tìm được các xấp xỉ tần số thấp của
nghiệm. Phương pháp PM sau này được Nayfeh [31] hoàn thiện thành
sách chuyên khảo sử dụng trong rất nhiều bài toán cụ thể. Phương pháp
quasi-classical approximation (geometrical optics approximation) được
xây dựng bởi Brekhovskikh [14]. Lý thuyết này giả thiết sự tương tác
giữa sự bức xạ và độ nhám có tính đến các đặc trưng địa phương. Khi
đó biên có thể xấp xỉ tại mỗi điểm bởi một mặt phẳng tiếp tuyến. Tuy
nhiên, về mặt vật lý, các xấp xỉ nghiệm chỉ phù hợp đối với các sóng ngắn.
Phương pháp này về sau còn được gọi là phương pháp mặt phẳng tiếp
tuyến (tangent method) hay xấp xỉ Kirchhoff (Kirchhoff approximationKA). Trong thực tế xuất hiện các bài toán mà không thể giải quyết được
bằng các phương pháp nêu trên, ví dụ như bài toán về các sóng âm, sóng
điện từ tán xạ trên mặt biển có sóng. Trong trường hợp này phương pháp
hai thang (two-scale model) được sử dụng bởi Kur’yanov [27], đó là sự
5


kết hợp của cả hai phương pháp trên. Biên nhám được chia thành hai
nhóm: thang lớn và thang nhỏ. Quá trình tán xạ tại các thành phần
thang lớn được mô tả bằng xấp xỉ mặt phẳng tiếp tuyến và thang nhỏ
(độ nhám) được tính toán bằng phương pháp nhiễu. Tuy nhiên, phương
pháp này lại không thuận lợi, tính toán phức tạp khi nghiên cứu bài
toán ngược: Xác định phổ của độ nhám bởi các đặc trưng của trường
tán xạ. Vì lý do này mà một số lý thuyết khác đề xuất hợp nhất các
cách tiếp cận nêu trên và đưa ra các trường hợp giới hạn tương ứng các

kết quả của phương pháp nhiễu và xấp xỉ. Đó chính là lý do về sự ra đời
của phương pháp xấp xỉ độ dốc nhỏ (small slope approximation-SSA)
do Voronovich [55] đề xuất. Đó là sự tổng hợp của tất cả các phương
pháp đã có dựa trên việc sử dụng sự thay đổi các tính chất của ma trận
SA tương ứng với sự thay đổi biên nhám trong không gian. Tham số bé
trong đề xuất này chính là độ dốc của biên nhám.
Một số nghiên cứu tiêu biểu trong việc áp dụng các phương pháp
trên trong các bài toán cụ thể có thể kể ra sau đây. Thorsos và Broschat
[40] sử dụng phương pháp SSA nghiên cứu sự tán xạ trên bề mặt nhám
với điều kiện biên Dirichlet trong đó đưa ra các điều kiện cần thiết để
xác định các số hạng trong chuỗi. Seshadri [36] khảo sát sự tương tác
của sóng Rayleigh trong một bán không gian đàn hồi, đẳng hướng vô
hạn tại bề mặt có dạng hình sin yếu và tự do đối với ứng suất. Sử dụng
phương pháp đa thang (multiple scales) của Nayfeh [31] biểu thức xấp
xỉ giải tích được tìm ra cho các đặc trưng của sự tương tác sóng. Đồng
thời tìm được hệ số phản xạ cho một sóng tới Rayleigh tới bề mặt nhám
thấp. Singh và Tomar [37] nghiên cứu sự phản xạ, khúc xạ của sóng P
tại biên phân chia nhám giữa hai bán không gian đàn hồi khác nhau có
ứng suất trước. Sử dụng phương pháp xấp xỉ Rayleigh các hệ số phản xạ,
khúc xạ được tìm ra cho các xấp xỉ bậc nhất của biên nhám, nó có dạng
đóng nếu biên phân chia nhám có cấu trúc tuần hoàn. Chúng phụ thuộc
vào góc tới, ứng suất trước, và gia số các tính chất đàn hồi của hai bán
không gian. Ekneligoda và Zimmerman [20] xét trạng thái ứng suất nảy
sinh trong mặt phẳng đàn hồi vô hạn chịu áp suất thủy tĩnh ở vô cùng
bên trong chứa bao cứng gần tròn (Nearly Circular Rigid Inclusions).
Để giải bài toán này các tác giả khai triển hàm ứng suất Airy đến bậc
4 đối với tham số bé đặc trưng cho nhiễu của biên. Các hệ số của khai
triển trên được xác định trên biên phân chia giữa bán không gian đàn
hồi và bao cứng (chuyển dịnh bằng không) chịu áp suất thủy tĩnh tại
vô cùng. Trong [23] Hawwa và Asfar nghiên cứu bài toán truyền sóng

SH trong lớp mà hai mặt của lớp có dạng hình sin yếu. Tác giả sử dụng
6


phương pháp nhiễu để giải bài toán. Biên cong được thay thế bởi biên
phẳng, trường sóng SH được biểu diễn thành chuỗi lũy thừa của tham
số bé đặc trưng cho nhiễu nhỏ của biên của lớp. Bài toán dẫn đến việc
giải liên tiếp các phương trình ứng với các xấp xỉ khác nhau. Trong hai
công trình trên thì phương pháp nhiễu biên được sử dụng.
Có thể nói rằng các bài toán liên quan đến biên phân chia có
độ nhám thấp đã được nghiên cứu từ lâu. Các phương pháp và các kết
quả đạt được là tương đối hoàn chỉnh. Một số phương pháp được sử dụng
trong các bài toán này đã viết thành sách chuyên khảo như của Nayfeh
[31], Voronovich [55]. Vì vậy luận án không đi theo hướng nghiên cứu
các bài toán với biên phân chia có độ nhám thấp.

1.2

Biên phân chia có độ nhám cao

Các bài toán biên trong miền có biên hay biên phân chia độ nhám
cao xuất hiện nhiều trong thực tế, như sự tán xạ của sóng trên các biên
nhám cao [59], sự phản xạ, khúc xạ của sóng trên các biên phân chia có
độ nhám cao [39], các bài toán cơ học liên quan đến các bản được gia
cường dày đặc [26], các dòng chảy trên tường nhám [6],...
Zaki và Neureuther [59] nghiên cứu sự tán xạ của một sóng phẳng
điện trên bề mặt có độ nhám cao có dạng hình sin. Bài toán dẫn đến
việc giải số các phương trình tích phân. Do biên phân chia là tuần hoàn,
nhờ định lý Floquet, miền xác định của các phương trình tích phân được
đưa về trên một chu kỳ của biên phân chia. Một số ví dụ cụ thể được

đưa ra. Khi biên có độ nhám cao thì khối lượng tính toán lớn và độ ổn
định không cao.
Talbot và các cộng sự [39] nghiên cứu sự phản xạ và khúc xạ của
một sóng phẳng điện từ đối với biên phân chia có độ nhám cao của hai
môi trường khác nhau. Biên phân chia là một đường cong tuần hoàn có
hình dạng tùy ý. Đầu tiên, bài toán đưa đến việc giải số phương trình
tích phân trên biên phân chia. Vì biên độ nhám cao nên khối lượng tính
toán lớn. Do vậy, tác giả đề xuất xấp xỉ: Thay thế miền có biên phân
chia nhám cao bởi một lớp vật liệu mà các tính chất của chúng thay đổi
theo chiều dày. Trường hợp biên phân chia có dạng hình răng lược được
khảo sát chi tiết. Các kết quả của nghiên cứu có thể được áp dụng để
thiết kế các bề mặt nhám làm giảm hệ số phản xạ của sóng.
7


Kohn và Vogenlius [26] nghiên cứu sự uốn của bản mỏng có độ
dày thay đổi nhanh, chẳng hạn như các bản được gia cường dày đặc.
Sử dụng lý thuyết đàn hồi tuyến tính ba chiều, phương pháp khai triển
tiệm cận, các tác giả thu được phương trình bậc 4 đối với chuyển dịch
của mặt giữa và có xét một số ví dụ cụ thể. Chú ý rằng các con tàu con
thoi (space shuttles) [6] có thể trở về trái đất mà không bị cháy là nhờ
có lớp ngói (tiles) đặc biệt phủ ở bên ngoài. Giữa các ngói có khoảng
cách đủ nhỏ để dãn nở. Do vậy, vỏ của con tàu con thoi có thể xem như
mặt có độ nhám cao tuần hoàn.
Achdou và các cộng sự [6] khảo sát dòng chảy phẳng không nén
được và nhớt trên tường nhám cao tuần hoàn. Để giảm bớt các khó khăn
về mặt tính toán, các tác giả thay thế biên nhám cao bằng biên phẳng
và xây dựng điều kiện biên hiệu dụng tương ứng trên biên phẳng. Các
điều kiện này xuất phát từ dạng khai triển tiệm cận nghiệm.
Các bài toán liên quan đến biên hay biên phân chia thường được

giải số. Khi biên độ nhám cao thì việc mô phỏng rất khó khăn vì ở miền
gần biên thì cần nhiều nút lưới và cấu trúc lưới không xác định, nghiệm
số có tính ổn định không cao. Để vượt qua khó khăn này, nảy sinh ý
tưởng thay thế biên phân chia độ nhám cao bởi các biên phẳng bằng
cách thay miền chứa biên phân chia có độ nhám cao bằng một lớp vật
liệu mới. Đó chính là ý tưởng của phương pháp thuần nhất hóa biên
phân chia có độ nhám cao.

1.3

Phương pháp thuần nhất hóa biên phân
chia có độ nhám cao

1.3.1

Phương pháp thuần nhất hóa

Trong khoa học và công nghệ, trong các nghiên cứu về vật liệu composite thường xuất hiện các bài toán biên trong môi trường với cấu trúc
tuần hoàn.
Nếu chu kỳ của cấu trúc tuần hoàn là nhỏ hơn nhiều so với kích thước
(độ dài đặc trưng) của miền đang xét thì nghiệm của bài toán được khai
triển tiệm cận đối với tham số bé , là tỷ số giữa chu kỳ của cấu trúc
8


tuần hoàn với độ dài đặc trưng của miền đang xét. Dựa vào khai triển
tiệm cận này chúng ta thu được đặc trưng vĩ mô của bài toán từ các
tính chất vi mô của chúng.
Một cách toán học, các bài toán nói trên có thể phát biểu như sau:
Cho trước một họ các toán tử đạo hàm riêng A phụ thuộc vào tham

số bé . Toán tử A có thể phụ thuộc vào thời gian hoặc không, tuyến
tính hoặc phi tuyến. Các hệ số của A là các hàm tuần hoàn theo một
số hoặc tất cả các biến không gian với chu kỳ . Vì được giả thiết là
nhỏ nên họ toán tử A có các hệ số dao động nhanh (biến đổi nhanh).
Trong miền Ω, xét bài toán biên sau:
trong Ω

A u = f,
u

thỏa mãn các điều kiện biên tương ứng

(1.1)
(1.2)

f cho trước.
Vì u phụ thuộc vào và là bé nên u được khai triển tiệm cận như
sau:
x
u = u0(x, y) + u1 (x, y) + 2 u2(x, y) + ...
y=
(1.3)
Các hàm uk (x, y) tuần hoàn theo y với chu kỳ 1.
Trong (1.3), vì nhỏ, u0 là phần chính của u (u0 = lim →0 u ). Mục tiêu
của chúng ta là đi tìm u0, nó là nghiệm của một bài toán biên
trong Ω

Au0 = f,
u0

thỏa mãn các điều kiện biên tương ứng

(1.4)
(1.5)

Điều kiện biên (1.5) phụ thuộc vào các điều kiện biên đặt lên (1.2).
Trong (1.4), A gọi là toán tử thuần nhất hóa (homogenized operator) của họ toán tử A . A có dạng đơn giản (không phụ thuộc vào ,
A = lim →0 A ) với các hệ số trong nhiều trường hợp là các hằng số. Các
hệ số này gọi là các hệ số hiệu dụng hoặc tham số hiệu dụng mô tả các
tính chất vĩ mô của môi trường. Phương trình (1.4) gọi là phương trình
thuần nhất hóa, u0 gọi là nghiệm thuần nhất hóa của bài toán (1.1),
(1.2). Để tìm toán tử thuần nhất hóa A ta phải giải bài toán biên nhân
tuần hoàn mà bài toán này chỉ có thể giải bằng số trong trường hợp tổng
quát. Có một số ít trường hợp các hệ số của toán tử A tìm được một
cách giải tích.
Phương pháp thuần nhất hóa đã được nghiên cứu và phát triển
mạnh bởi rất nhiều tác giả từ thế kỷ trước. Có thể nói rằng phương pháp
9


thuần nhất hóa ra đời xuất phát từ các bài toán của vật liệu composite .
Quá trình ra đời và phát triển của phương pháp thuần nhất hóa gắn liền
với Bensoussan và các cộng sự [12], Sanchez và Palencia [35], Bakhvalov
[10], Nevard và Keller [32], Pobedria [34]... Bensoussan và các cộng sự
[12] đưa ra các mô hình toán học cụ thể với các mô tả vi mô, vĩ mô của
bài toán có các hệ số là các hàm tuần hoàn, nhấn mạnh các yếu tố toán
học trong đó có tính hội tụ nghiệm trong các dạng khai triển tiệm cận.
Sanchez và Palencia [35] tập trung vào nghiên cứu các bài toán cơ học
thuần túy. Pobedria [34] sử dụng phương pháp thuần nhất hóa trong
các nghiên cứu vật liệu composite. Phương pháp thuần nhất hóa ra đời

là một yếu tố quan trọng trong việc giải quyết các bài toán của vật liệu
composite và sau này được phát triển để giải quyết các bài toán với biên
phân chia có độ nhám cao. Luận án đề cập đến lớp các bài toán với biên
phân chia có độ nhám cao. Lớp các bài toán này cũng đưa về bài toán
dạng (1.1), (1.2) như đã trình bày ở trên.

1.3.2

Các nghiên cứu liên quan đến thuần nhất hóa
biên phân chia có độ nhám cao

Có một số nghiên cứu tiêu biểu sau đây liên quan tới bài toán thuần
nhất hóa biên phân chia có độ nhám cao. Trong [32] Nevard và Keller
nghiên cứu thuần nhất hóa biên phân chia có độ nhám cao cho một bài
toán biên có nguồn gốc từ bài toán truyền nhiệt dừng và bài toán truyền
sóng. Bằng cách sử dụng phương pháp thuần nhất hóa, các tác giả thu
được phương trình thuần nhất hóa dạng hiện cho trường hợp khi biên
phân chia dao động nhanh giữa hai đường thẳng song song, hai đường
tròn đồng tâm. Trong [8] Amirat và các cộng sự phân tích dáng điệu
tiệm cận của các nghiệm cho các bài toán phổ với toán tử Laplace trong
các miền với biên dao động nhanh. Các số hạng chính trong khai triển
tiệm cận cho các hàm riêng được xây dựng, sau đó đưa ra các đánh giá
tiệm cận của nghiệm xấp xỉ so với nghiệm chính xác. Trong [9]Amirat và
các cộng sự nghiên cứu bài toán phổ Dirichlet cho toán tử Laplace trong
miền hai chiều có biên phân chia độ nhám cao hình răng lược. Các giá
trị riêng giả thiết là đơn. Brizzi [15] nghiên cứu một bài toán biên trong
miền với biên phân chia có độ nhám cao, gồm một phương trình đối
với một hàm cần tìm. Sử dụng phương pháp thuần nhất hóa kết hợp với
phương pháp năng lượng, tác giả đã tìm ra phương pháp thuần nhất hóa
10

và các điều kiện biên tương ứng. De Maio và các cộng sự [19] xét bài toán
biên cho phương trình Poisson trong miền với biên có độ nhám cao dạng
hình lược. Các răng lược chia làm hai nhóm với hai độ cao khác nhau.
Điều kiện biên trên các cạnh bên của các răng lược là điều kiện Robin.
Sử dụng các kỹ thuật của phương pháp thuần nhất hóa, các tác giả tìm
được phương trình thuần nhất hóa và thiết lập được các đánh giá sai số
giữa nghiệm chính xác và nghiệm thuần nhất hóa. Trong [17] Chechkin
và các cộng sự khảo sát bài toán biên cho phương trình Poisson trong
miền hai chiều với biên có độ nhám cao hình răng lược với hai độ cao
khác nhau cùng điều kiện biên Neumann. Áp dụng phương pháp thuần
nhất hóa, phương trình thuần nhất hóa của bài toán được tìm ra, các
đánh giá sai số cũng được thiết lập. Kazmerchuk và Mel’nyk [24]nghiên
cứu bài toán biên cho phương trình Poisson với biên phân chia hình răng
lược và điều kiện biên trên cạnh bên của các răng lược là điều kiện biên
Signorini. Sử dụng các kỹ thuật của phương pháp thuần nhất hóa, các
tác giả tìm được phương trình thuần nhất hóa và điều kiện biên tương
ứng. Định lý duy nhất nghiệm cho bài toán thuần nhất hóa cũng được
thiết lập.
Từ các phân tích trên có thể thấy rằng, cho đến nay, các nghiên
cứu về thuần nhất hóa biên phân chia có độ nhám cao chủ yếu tập trung
vào các bài toán biên gồm một phương trình và thành phần chủ yếu của
toán tử vi phân của phương trình là toán tử Laplace. Các kết quả chính
thu được là các phương trình thuần nhất hóa dạng hiện cùng các điều
kiện biên tương ứng. Các nghiên cứu về thuần nhất hóa biên hay biên
phân chia độ nhám cao đối với hệ có hai phương trình trở lên còn rất
hạn chế.
Trong [32] Nevard và Keller nghiên cứu thuần nhất hóa biên
phân chia có độ nhám cao đối với hệ (ba) phương trình của lý thuyết

đàn hồi tuyến tính dị hướng. Sử dụng phương pháp thuần nhất hóa, các
tác giả rút ra hệ phương trình thuần nhất hóa của lý thuyết đàn hồi
tuyến tính dị hướng (hệ này không hoàn toàn chính xác, như đã chỉ ra
bởi các tác giả Vinh và Tung). Tuy nhiên, hệ các phương trình này còn
ở dưới dạng ẩn, vì các hệ số của chúng được xác định qua các hàm mà
chúng là nghiệm của bài toán biên trên nhân tuần hoàn, gồm 27 phương
trình vi phân đạo hàm riêng. Bài toán biên trên nhân tuần hoàn này chỉ
có thể tìm nghiệm dưới dạng số. Vì hệ phương trình thuần nhất hóa thu
được ở dưới dạng ẩn nên không thuận tiện khi sử dụng, khả năng ứng
dụng vì vậy rất hạn chế.
11


Như vậy có thể kết luận rằng, cho đến nay, khi thuần nhất hóa
biên phân chia có độ nhám cao đối với hệ phương trình, các tác giả
chỉ mới thu được các phương trình thuần nhất hóa dạng ẩn. Do
vậy, mục tiêu chính của luận án là đi tìm các phương trình thuần nhất
hóa dạng hiện (dạng tường minh) cho các hệ phương trình của các lý
thuyết khác nhau của cơ học và vật lý như lý thuyết đàn hồi, đàn-điện,
đàn-nhiệt...

1.4

Tình hình nghiên cứu trong nước

Ở Việt Nam việc áp dụng phương pháp thuần nhất hóa để giải quyết
các bài toán của vật liệu composite đã được nhiều tác giả quan tâm. Đào
Huy Bích và các cộng sự [13] sử dụng phương pháp thuần nhất hóa để
khảo sát bài toán truyền sóng trong môi trường composite. Phạm Chí
Vĩnh sử dụng phương pháp thuần nhất hóa nghiên cứu các quá trình

truyền sóng trong lớp vật liệu composite nén được và không nén được
[45, 47], trong các môi trường composite phân lớp tuần hoàn vô hạn nén
được và không nén được [44, 46], bài toán truyền sóng trụ trong môi
trường composite [43]. Trong các công trình này, tác giả tìm được các
phương trình thuần nhất hóa dạng hiện cũng như nghiệm của chúng,
chứng minh sự hội tụ nghiệm thuần nhất hóa đến nghiệm chính xác.
Tác giả cũng đã xây dựng các khai triển tiệm cận của nghiệm dạng vi
mô-vĩ mô mà nhờ đó có thể thu được nghiệm xấp xỉ với độ chính xác tùy
ý. Chú ý rằng, trong [44]-[47] tác giả đã sử dụng cách tiệm cận ma trận
để tìm ra các phương trình thuần nhất hóa dạng hiện. Phạm Thị Toan
[1, 2] nghiên cứu các bài toán tĩnh và động trong môi trường composite
nhiều lớp. Bằng cách sử dụng phương pháp thuần nhất hóa tác giả đưa
về giải truy hồi dãy các bài toán với vật liệu thuần nhất, cho phép xác
định nghiệm xấp xỉ với độ chính xác tùy ý, trong đó việc giải nghiệm ở
xấp xỉ bậc không sẽ là dữ kiện ban đầu cho việc xấp xỉ nghiệm ở bậc
nhất...
Như vậy, trong những năm gần đây ở Việt Nam, một số tác giả
đã áp dụng phương pháp thuần nhất hóa để giải quyết các bài toán
liên quan đến vật liệu composite. Tuy nhiên, theo hiểu biết của nghiên
cứu sinh, ở trong nước chưa có nghiên cứu nào về thuần nhất hóa biên
phân chia có độ nhám cao. Đây cũng chính là một trong những lý do
để luận án này nghiên cứu các phương trình thuần nhất hóa dạng hiện
trong miền với biên phân chia có độ nhám cao.
12


1.5

Mục tiêu nghiên cứu của luận án

Như đã phân tích ở trên, các nghiên cứu về thuần nhất hóa biên
phân chia có độ nhám cao chủ yếu tập trung vào các bài toán biên có
một phương trình với thành phần chủ yếu là toán tử Laplace. Đối với
các bài toán biên có hai phương trình trở lên các nghiên cứu còn rất hạn
chế và các phương trình thuần nhất hóa thu được chỉ ở dưới dạng ẩn.
Do vậy mục tiêu của luận án là đi tìm các phương trình thuần nhất hóa
dạng hiện (dạng tường minh) cho các hệ phương trình của các lý thuyết
khác nhau của cơ học và vật lý như lý thuyết đàn hồi, đàn điện, đàn
nhiệt...
Cụ thể:
1. Tìm ra các phương trình thuần nhất hóa dạng hiện của lý thuyết
đàn hồi trong miền hai chiều có biên phân chia dao động nhanh giữa hai
đường thẳng song song, cho các trường hợp: khi vật liệu đàn hồi là đẳng
hướng, trực hướng, monoclinic x1 = 0, x2 = 0 và x3 = 0. (phương trình
thuần nhất hóa dạng ma trận cho trường hợp dị hướng tổng quát)
2. Tìm ra các phương trình thuần nhất hóa dạng hiện của lý thuyết
đàn hồi trong miền hai chiều có biên phân chia dao động nhanh giữa hai
đường tròn đồng tâm, vật liệu được giả thiết là đàn hồi đẳng hướng và
trực hướng.
3. Tìm ra các phương trình thuần nhất hóa dạng hiện của lý thuyết
đàn-điện trong miền hai chiều có biên phân chia dao động nhanh giữa
hai đường thẳng song song, giữa hai đường tròn đồng tâm.
4. Tìm ra các phương trình thuần nhất hóa dạng hiện của lý thuyết
đàn-nhiệt trong miền hai chiều có biên phân chia dao động nhanh giữa
hai đường thẳng song song, giữa hai đường tròn đồng tâm.
5. Tìm ra phương trình thuần nhất hóa dạng hiện của một bài toán
biên có nguồn gốc từ các bài toán khác nhau trong thực tế như: bài toán
truyền nhiệt dừng, bài toán truyền sóng đàn hồi SH,. . . trong miền hai
chiều có biên phân chia dao động nhanh giữa hai ellip đồng tâm.
6. Tìm ra các hệ số phản xạ và khúc xạ của của sóng đàn hồi SH đối

với biên phân chia dao động nhanh giữa hai đường thẳng song song.
Những kết quả chính của luận án theo các hướng nghiên
cứu trên đã được công bố trên 9 bài báo trong đó có 5 bài được
13


đăng trên các tạp chí quốc tế thuộc hệ thống SCI. Điều này
nói lên rằng việc chọn hướng nghiên cứu của luận án là đúng
đắn.

14


Chương 2
PHƯƠNG TRÌNH THUẦN NHẤT HÓA DẠNG
HIỆN CỦA LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI TRONG
MIỀN HAI CHIỀU CÓ BIÊN PHÂN CHIA ĐỘ
NHÁM CAO
Mục tiêu của chương 2 là “các phương trình thuần nhất hóa dạng hiện
của lý thuyết đàn hồi tuyến tính trong miền hai chiều có biên phân chia
với độ nhám cao”.
Chương 2 gồm hai phần
1. Biên phân chia dao động nhanh giữa hai đường thẳng song song.
2. Biên phân chia dao động nhanh giữa hai đường tròn đồng tâm
Trong phần một, tọa độ Đề-các được sử dụng. Từ các phương trình cơ
bản dưới dạng thành phần của lý thuyết đàn hồi tuyến tính đối với trạng
thái biến dạng phẳng suy rộng, phương trình dạng ma trận đối với véctơ
chuyển dịch và điều kiện liên tục trên biên phân chia được thiết lập. Sử
dụng biểu diễn nghiệm vi mô-vĩ mô cùng các kỹ thuật cơ bản của phương
pháp thuần nhất hóa, phương trình thuần nhất hóa dạng hiện dạng ma

trận được rút ra. Từ đó thu được các phương trình thuần nhất hóa dạng
hiện dạng thành phần cho các trường hợp khác nhau, khi vật liệu là
đẳng hướng, trực hướng, monoclinic với mặt phẳng đối xứng x1 = 0,
x2 = 0, x3 = 0. Trong phần hai, vì biên phân chia dao động nhanh giữa
hai đường tròn đồng tâm nên tọa độ cực được sử dụng. Các bước cơ bản
được tiến hành tương tự như trong phần một. Tuy nhiên, việc chuyển
từ dạng thành phần sang dạng ma trận của các phương trình cơ bản và
điều kiện liên tục trên biên phân chia khó khăn hơn. Việc tìm các hàm
địa phương cũng khó khăn và phức tạp hơn. Trong phần hai, vật liệu
được xét là đẳng hướng và trực hướng.
15


2.1

Biên phân chia dao động giữa hai đường
thẳng song song

2.1.1

Các phương trình cơ bản

Xét một vật thể đàn hồi chiếm các miền 2 chiều Ω+, Ω− của mặt phẳng
x1, x3 được phân chia bởi đường cong L dao động giữa 2 đường thẳng
x3 = −A, (A > 0) và x3 = 0 (xem Hình 2.1). Đường cong L được biểu
diễn bởi x3 = h(x1/ ), > 0, trong đó h(y), (y = x1/ ) là hàm tuần hoàn
chu kì 1 với giá trị lớn nhất và nhỏ nhất là 0 và -A.
Giả thiết rằng trong miền 0 < x1 < (0 < y < 1), với mỗi đường thẳng

Hình 2.1: Miền 2 chiều Ω+ và Ω− với biên phân chia L được cho bởi

x3 = h(x1/ε)=h(y), ở đây h(y) là hàm tuần hoàn với chu kì 1. Đường
cong L dao động giữa 2 đường thẳng x3 = 0 và x3 = −A (A > 0).
x3 = x03 = const, (−A < x03 < 0) giao với đường cong L tại đúng 2 điểm.
Giả thiết nhỏ hơn nhiều so với A. Khi đó L được gọi là biên phân chia
có độ nhám cao của Ω+ và Ω−.
Giả sử vật thể đàn hồi là dị hướng tổng quát. Xét trạng thái biến
dạng phẳng suy rộng [41], với các thành phần chuyển dịch u1, u2, u3 có
16


dạng

ui = ui (x1, x3, t),

i = 1, 2, 3

(2.1)

trong đó t là thời gian. Khi đó, các thành phần ứng suất σij liên hệ với
các gradients chuyển dịch bởi [41]
σ11 = c11 u1,1 + c13u3,3 + c14u2,3 + c15 (u1,3 + u3,1) + c16u2,1
σ22 = c12 u1,1 + c23u3,3 + c24u2,3 + c25 (u1,3 + u3,1) + c26u2,1
σ33 = c13 u1,1 + c33u3,3 + c34u2,3 + c35 (u1,3 + u3,1) + c36u2,1

(2.2)

σ23 = c14 u1,1 + c34u3,3 + c44u2,3 + c45 (u1,3 + u3,1) + c46u2,1
σ31 = c15 u1,1 + c35u3,3 + c45u2,3 + c55 (u1,3 + u3,1) + c56u2,1
σ12 = c16 u1,1 + c36u3,3 + c46u2,3 + c56 (u1,3 + u3,1) + c66u2,1
ở đây dấu phẩy chỉ đạo hàm theo biến không gian xi và cij là các hằng

số vật liệu. Các phương trình chuyển động là [41]
σ11,1 + σ13,3 + f1 = ρu¨1
σ12,1 + σ23,3 + f2 = ρu¨2

(2.3)

σ13,1 + σ33,3 + f3 = ρu¨3
trong đó f1 , f2, f3 là các thành phần lực khối, ρ là mật độ khối lượng, và
dấu chấm chỉ đạo hàm theo thời gian. Các hằng số vật liệu cij và mật
độ khối lượng ρ được xác định như sau


 cij+ , ρ+
với x3 > h(x1/ )
cij , ρ =
(2.4)

 cij− , ρ−
với x3 < h(x1/ )
trong đó cij+ , cij−, ρ+, ρ− là các hằng số. Thay (2.2) vào các phương trình
chuyển động (2.3) dẫn đến hệ các phương trình chuyển động đối với các
thành phần chuyển dịch, mà dạng ma trận của chúng là
(Ahk u,k ),h + F = ρ¨
u

(2.5)

trong đó u = [u1, u2, u3]T , F = [f1, f2, f3]T , ở đây T chỉ chuyển vị của
một ma trận, h, k lấy các giá trị 1, 3 và các ma trận Ahk cỡ 3 × 3 được
17