Giáo trình toán cơ sở (dùng cho hệ đào tạo từ xa – ngành GD mầm non) phần 2

Chương II : SỐ TỰ NHIÊN
A. NỘI DUNG BÀI GIẢNG
Lý thuyết về số tự nhiên có thể coi là cửa ngõ của toán học, vì vậy
những hiểu biết tối thiểu về số tự nhiên là rất cần thiết. Tập hợp số tự
nhiên có thể xây dựng bằng phương pháp tiên đề, tuy nhiên trong giáo
trình này chúng tôi giới thiệu với bạn đọc theo hướng số tự nhiên được
xác định như là bản số của tập hợp hữu hạn. Điều đó vừa phù hợp với
quá trình xuất hiện và hình thành khái niệm số tự nhiên trong hoạt động
thực tiễn của xã hội loài người, vừa phù hợp với việc hình thành khái
niệm số cho học sinh.
Từ xa xưa, khi còn chưa biết khái niệm về số lượng, con người
nguyên thủy do các nhu cầu của cuộc sống, đã biết so sánh số lượng giữa
các tập hợp, đã dần dần dần nhận thức được khái niệm ít nhiều.
Chẳng hạn, khi chuẩn bị chiến đấu, người tù trưởng bộ lạc phát
cho mỗi chiến binh một vũ khí. Nếu chiến binh nào cũng được phát mà
số vũ khí vẫn còn thì số vũ khí nhiều hơn số chiến binh. Ngược lại, nếu
còn có chiến binh chưa được phát mà vũ khí đẫ hết thì số vũ khí ít hơn
số chiến binh. Trường hợp thứ ba là mọi chiến binh đều đã được phát
một vũ khí mà trong kho không còn vũ khí nào.
Theo cách hiểu của chúng ta hiện nay thì ở trường hợp thứ ba,
người tù trưởng đã thiết lập một tương ứng một – một giữa tập hợp các
vũ khí và tập hợp các chiến binh (tất nhiên họ chỉ thực hiện một cách
trực giác). Ở trường hợp này đã có một song ánh giữa tập hợp các vũ khí
và tập hợp các chiến binh.
Sự đụng chạm thường xuyên đến nhu cầu so sánh (phân phối số
các cho mọi người trong bộ lạc, số ngựa với các kỵ sĩ, ...) và sự tiếp xúc
với các hiện tượng tự nhiên như: mỗi người có hai mắt, hai tai, một bàn
tay có năm ngón, ... đã làm cho con người cổ xưa đi đến khái niệm về số
lượng, về số.
Đầu tiên chỉ mới hình thành các con số nhỏ, đơn giản để phục vụ
nhu cầu đánh dấu các tập hợp như: đếm hai con mắt, hai cái tai, năm

ngón chân, ... Đó là việc hình thành các số tự nhiên đầu tiên : 1, 2, ...
Dưới đây ta sẽ trình bày khái niệm về số tự nhiên, mô phỏng theo
sự hình thành của chúng trong lịch sử.

35


§1. TẬP HỢP TƯƠNG ĐƯƠNG
1.1. Tập hợp tương đương.
Định nghĩa. Cho hai tập hợp A và B. Ta nói tập hợp A tương
đương với tập hợp B, ký hiệu là A  B, khi và và chỉ khi tồn tại một song
ánh từ A đến B.
Ví dụ:
1) Cho A ={1, 2, 3, 4} và B = {a, b, c, d}.
Ta thấy A  B vì có thể thiết lập một song ánh từ A đến B, chẳng
hạn song ánh f cho bởi bảng
1 2 3 4 
f :  a b c d  .




2) Cho A, B, C là ba điểm phân biệt không thẳng hàng. Gọi [AB],
[AC] lần lượt là tập hợp điểm trên đoạn AB
và AC. Khi đó ta sẽ có [AB]  [AC] .
A
Thật vậy, ta thiết lập được ánh xạ
f : [AB]  [AC]
M  M’ sao cho MM’//BC.
M’

M
Dễ dàng chứng minh được f là một song
ánh.
1.2. Một số tính chất
C
B
Tính chất 1.
Quan hệ  nói ở định nghĩa 1.1 có các tính chất của một quan hệ
tương đương, nghĩa là với các tập A, B, C bất kỳ, ta có:
a) Tính phản xạ: A  A,
b) Tính đối xứng: nếu A  thì B  A,
c) Tính bắc cầu: nếu A  B và B  C thì A  C.
Chứng minh.
a) A  A nhờ có ánh xạ đồng nhất
1A : A  A
a  a.
b) Nếu A  B thì sẽ tồn tại song ánh f : A  B.
Khi đó có ánh xạ ngược f-1 : B  A cũng là song ánh, do đó B 
A.

36


c) Giả sử có A  B và B  C. Khi đó sẽ tồn tại các song ánh f : A
 B và g : B  C. Suy ra ánh xạ tích h = g◦f : A  C cũng là song ánh,
vậy A  C.
Nhận xét: Quan hệ  xác định ở trên có các tính chất của một quan
hệ tương đương, vì vậy ta có thể gọi nó là quan hệ tương đương giữa các
tập hợp. Khi có A  B thì ta cũng có B  A và ta nói hai tập A và B
tương đương với nhau.

Tính chất 2.
Với các tập A, B, A1, B1 ta có:
a) Nếu A  A1, B  B1 thì A  B  A1  B1.
b) Nếu A  A1, B  B1 và A  B = A1  B1 =  thì A  B  A1 
B 1.
Chứng minh.
Vì A  A1, B  B1 nên sẽ có các song ánh: f : A  A1 và g : B 
B 1.
Dễ thấy rằng các ánh xạ  và  xác định như sau:
 : A  B  A1  B1
(a, b)  (a, b) = (f(a), g(b))
 : A  B  A1  B1 f ( x ), x  A

x  (x) = 
g( x ), xminh.
B
là những song ánh. Từ đó ta suy ra điều cầnchứng
1.3. Định lý Cantor.
Cho A, B là các tập hợp tuỳ ý. Xảy ra ít nhất một trong hai trường
hợp sau:
a) A tương đương với một tập con của B,
b) B tương đương với một tập con của A.
Nếu đồng thời xảy ra cả hai trường hợp a) và b) thì A và B tương
đương với nhau.
Chúng ta không chứng minh định lý này.
Ta chú ý thêm rằng nói A tương đương với một tập con của B
đồng nghĩa với việc nói rằng có một đơn ánh từ A đến B. Vì vậy khi cần
chứng minh A tương đương với một tập con của B ta chỉ cần chỉ ra rằng
có một đơn ánh từ A đến B.

§2. TẬP HỢP HỮU HẠN – TẬP HỢP VÔ HẠN
2.1. Định nghĩa và ví dụ
37


Định nghĩa.
- Một tập hợp được gọi là hữu hạn nếu nó không tương đương với
bất kỳ tập con thực sự nào của nó.
- Một tập hợp được gọi là vô hạn nếu nó không hữu hạn (Hay một
tập hợp là vô hạn nếu nó tương đương với một tập con thực sự nào đó
của nó).
Ví dụ:
1)  là tập hợp hữu hạn. Thật vậy, do  không có tập con thực sự
nên nó không thể tương đương với tập con thực sự nào. Theo định nghĩa
suy ra  là tập hợp hữu hạn.
2) Tập đơn tử {a} là hữu hạn. Thật vậy, vì {a} chỉ có một tập con
thực sự là  mà rõ ràng  không tương đương với {a}, nên {a} không
tương đương với tập con thực sự nào của nó.
3) Tập hợp điểm nằm trên một đoạn thẳng bất kỳ là vô hạn.
Thật vậy, giả sử AB là đoạn thẳng bất kỳ, ký hiệu [AB] là tập hợp
điểm trên AB.
Lấy điểm C bất kỳ không thuộc đường thẳng AB, trên đoạn thẳng
AB lấy điểm I với I  A, I  B.
C
Ta có [AB]  [AC] và [AI]  [AC]
(Theo ví dụ 2) của §1).
Do tính chất bắc cầu của quan hệ 
nên suy ra [AB]  [AI].
Mặt khác, rõ ràng [AI] là tập con
thực sự của [AB].

B
Theo định nghĩa suy ra [AB] là tập A
I
hợp vô hạn.
2.2. Một số tính chất (của tập hợp hữu hạn và tập hợp vô hạn).
a) Tính chất 1. Mọi tập hợp tương đương với một tập hợp hữu hạn
là tập hợp hữu hạn.
Chứng minh. Giả sử A là tập hợp hữu hạn và B ~ A, cần chứng
minh B là tập hợp hữu hạn.
Giả sử ngược lại, B là tập hợp vô hạn, khi đó tồn tại tập con thực
sự B’ của B sao cho B’  B.
Do B ~ A nên tồn tại song ánh f : B  A.
Ta thấy B’  f(B’) vì f là song ánh.
Khi đó ta có: A  B, B  B’, B’  f(B’). Áp dụng hai lần tính chất
bắc cầu của quan hệ , suy ra A  f(B’)
(1).
38


Vì f : B  A là song ánh mà B’ là tập con thực sự của B nên f(B’)
cũng là tập con thực sự của A
(2).
Từ (1) và (2) suy ra A là tập hợp vô hạn, điều này mâu thuẫn với
giả thiết.
Vậy giả thiết B là tập hợp vô hạn là sai, hay B hữu hạn (đpcm).
Hệ quả 1: Tập hợp tương đương với tập hợp vô hạn là tập hợp vô
hạn.
b) Tính chất 2. Mọi tập con của tập hợp hữu hạn là tập hợp hữu
hạn.
Chứng minh. Giả sử A là tập hợp hữu hạn và B  A, cần chứng

minh B là tập hợp hữu hạn.
Giả sử ngược lại, B là tập hợp vô hạn. Khi đó tồn tại tập con thực
sự B’ của B sao cho B’  B, do đó tồn tại song ánh g : B  B’.
Xét tập A’ = (A\ B)  B’, rõ ràng A’ là tập con thực sự của A.
Lập ánh xạ f : A  A’
 x, x  A \ B
x  f(x) =
 g ( x ), x  B
Ta thấy f là song ánh, do đó A  A’, tức là A tương đương với một
tập con thực sự của nó là A’. Suy ra A là tập hợp vô hạn, điều này mâu
thuẫn với giả thiết A hữu hạn, nghĩa là B là tập hợp vô hạn là sai.
Vậy B là tập hợp hữu hạn (đpcm).
Hệ quả 2: Tập hợp chứa tập hợp vô hạn là tập hợp vô hạn.
c) Tính chất 3. Nếu A, B là hai tập hữu hạn tương đương thì A\ B ~
B\ A.
Chứng minh.
Giả sử ngược lại, A\ B và B\ A không tương đương với nhau. Khi
đó theo định lý Cantor, một trong hai tập hợp đó sẽ tương đương với một
tập con của tập hợp kia. Không mất tính tổng quát, giả sử A\ B tương
đương với một tập con của B\ A. Nghĩa là sẽ tồn tại một đơn ánh f : A\ B
 B\ A, hiển nhiên f(A\ B)  (B\ A).
Lập ánh xạ g : A  B
 x, x  B
x  g(x) =
 f ( x), x  B
Ta thấy g là một đơn ánh và g(A)  B, A  g(A).
Vì B  A nên B  g(A), mà g(A) là một tập con thực sự của B, do
đó B là tập vô hạn, điều này trí với giả thiết B hữu hạn
Vậy A\ B  B\ A (đpcm).
39

d) Tính chất 4. Nếu A là tập hợp hữu hạn, A1 và A2 là những tập
con của A mà A1  A2, thì A\ A1  A\ A2.
Chứng minh.
Ta có
A\ A1 = (A\ (A1  A2))  (A2\ A1) với (A\ (A1  A2))  (A2\ A1)
=
và A\ A2 = (A\ (A1  A2))  (A1\ A2) với (A\ (A1  A2))  (A1\ A2)
=
Mặt khác, do A1  A2 nên A1\ A2  A2\ A1 (theo tính chất 3).
Sử dụng tính chất 2 trong §1 ta suy ra A\ A1  A\ A2 (đpcm).
e) Tính chất 5. Hợp của hai tập hợp hữu hạn là một tập hợp hữu
hạn.
Chứng minh.
Giả sử A và B là các tập hợp hữu hạn, ta cần chứng minh A  B là
tập hợp hữu hạn.
Xét hai trường hợp có thể xảy ra:
- Trường hợp 1: A  B = . Giả sử ngược lại, A  B là tập hợp
vô hạn, khi đó sẽ có một đơn ánh f : A  B  A  B sao cho f(A  B)
 A  B. Như vậy sẽ có a  A  B mà a  f(A  B).
Không mất tính tổng quát, ta có thể giả thiết a  A. Đặt f(A) = A’, f(B)
= B’.
Vì A  B =  và f là đơn ánh nên A’  B’ = .
Ta có B  B’ nên B\ B’  B’\ B = B’  A (theo tính chất 3), nghĩa
là có một song ánh g : B\ B’  B’  A.
Lập ánh xạ h : A  A
 f ( x), x  A
x  h(x) =
g ( f ( x)), f ( x)  A

Ta thấy h là một đơn ánh và h(A)  A’  B’ nên a  h(A). Như
vậy có một đơn ánh h : A  A mà h(a)  A, tức là A tương đương với
một tập con thực sự của nó, hay A là tập hợp vô hạn, điều này trái với
giả thiết A hữu hạn
Vậy A  B là tập hợp hữu hạn.
- Trường hợp 2: A  B  . Khi đó ba tập hợp A\ B, A  B, B\ A
đều là những tập hợp hữu hạn và rời nhau. Ta có
A  B = (A\ B)  (A  B)  (B\ A).

40


Áp dụng kết quả ở trường hợp 1, trước tiên ta có C = A\ B)  (A
 B) là tập hợp hữu hạn, và ta cũng có A  B = C  (B\ A) là tập hữu
hạn.
Vậy ta có điều phải chứng minh.
Hệ quả. Hợp hữu hạn các tập hữu hạn là một tập hữu hạn.
f) Tính chất 6: Tích Đề các hai tập hữu hạn là tập hữu hạn.
Chứng minh. Giả sử A và B là hai tập hợp hữu hạn. Nếu một trong
hai tập này là  thì hiển nhiên AB =  là một tập hữu hạn. Ta xét cả 2
tập đều khác .
- Nếu A là tập đơn tử bất kỳ: A={x}, xét tập {x}B. Thiết lập ánh
xạ
f : {x}B  B
(x, b)  b , bB.
Ta thấy f là một song ánh, do đó {x}B  B, mà B là tập hợp hữu
hạn, suy ra {x}B là tập hợp hữu hạn.
- Nếu A là tập hợp hữu hạn khác  tuỳ ý: A = {x1, x2, …, x n}, ta
có:
AB = {x1, x2, …, xn}B = {x1}B  {x2}B …  {xn}B.

Các tập {x1}B, {x2}B, …, {xn}B đều là tập hữu hạn, vì vậy
AB là hợp một họ hữu hạn các tập hữu hạn nên AB hữu hạn.
Vậy ta có điều phải chứng minh.

§3. SỐ TỰ NHIÊN
QUAN HỆ THỨ TỰ TRÊN TẬP HỢP SỐ TỰ NHIÊN
3.1. Bản số – Số tự nhiên.
a) Bản số:
Ta đã biết quan hệ  giữa các tập hợp là một quan hệ tương
đương. Như vậy, ta có thể phân lớp các tập hợp như sau: những tập hợp
tương đương với nhau thuộc cùng một lớp. Những tập thuộc cùng một
lớp theo quan hệ tương đương này còn được gọi là cùng bản số. Ta có
định nghĩa sau:
Định nghĩa. Nếu A  B ta nói A và B có cùng bản số hay cùng lực
lượng.
Bản số (lực lượng) của tập A được ký hiệu là card(A).
41


Ta thường ký hiệu bản số bởi các chữ cái thường như: a, b, c, ...
Chẳng hạn khi a là bản số của tập hợp A ta viết a=card(A).
Nhận xét: Card(A) = Card(B) khi và chỉ khi A  B.
b) Số tự nhiên.
Định nghĩa. Bản số của một tập hợp hữu hạn được gọi là một số tự
nhiên.
Tập hợp tất cả các số tự nhiên được ký hiệu là N.
Vậy: a  N khi và chỉ khi có một tập hợp hữu hạn A sao cho a =
Card(A).
Ví dụ:
1)  là một tập hợp hữu hạn nên Card() là một số tự nhiên. Ta

ký hiệu Card() = 0 (đọc là “số không”).
2) Tập đơn tử A = {a} là một tập hợp hữu hạn nên Card({a}) là
một số tự nhiên, ký hiệu Card({a}) = 1 (đọc là “số một”).
3.2. Quan hệ thứ tự trên tập hợp số tự nhiên.
a) Định nghĩa. Cho hai số a, b  N và gọi A, B là hai tập hợp hữu
hạn sao cho a = Card(A), b = Card(B).
Ta nói a nhỏ hơn hoặc bằng b, ký hiệu a  b, khi và chỉ khi A
tương đương với một tập con của B.
Nếu a  b và a  b, ta viết a < b (đọc là a thực sự nhỏ hơn b).
Nhận xét.
- Trong định nghĩa trên có mặt hai tập hợp A, B sao cho a =
Card(A), b= Card(B). Định nghĩa này không phụ thuộc vào việc chọn A,
B. Nghĩa là nếu A1, B1 là các tập hợp mà A  A1, B  B1 và A tương
đương với một tập con của B thì A1 cũng tương đương với một tập con
của B1.
Thật vậy, theo giả thiết suy ra tồn tại các song ánh f : A1  A và g
: B B1 và đơn ánh h : A  B. Khi đó ánh xạ tích g◦h◦f : A1  B1 là
một đơn ánh, chứng tỏ A1 tương đương với một tập con của B1.
- Khi A tương đương với tập con B’ của B mà Card(A) = a thì ta
cũng có Card(B’) = a, do đó theo nhận xét trên, có thể coi ab khi và chỉ
khi A  B.
Ví dụ: Vì  là tập con của mọi tập hợp nên 0  a, a  N.
b) Định lý. Quan hệ  nói trong định nghĩa trên là một quan hệ thứ
tự toàn phần trên tập hợp các số tự nhiên N.
Chứng minh.
42


Trước tiên ta chứng minh quan hệ  này là một quan hệ thứ tự trên
N. Thật vậy, quan hệ  có các tính chất sau:

a) Tính phản xạ: a  N, giả sử a = Card(A). Vì A luôn tương
đương với một tập con của nó chính là A, A nên a  a.
b) Tính phản đối xứng: giả sử a  b và b  a với a, b  N. Gọi A,
B là các tập hợp sao cho Card(A) = a, Card(B) = b.
Theo giả thiết suy ra A tương đương với một tập con của B và B
tương đương với một tập con của A, áp dụng định lý Cantor ta có A  B,
suy ra Card(A) = Card(B) hay a = b.
c) Tính chất bắc cầu: giả sử a  b và b  c với a, b, c  N. Gọi A,
B, C là các tập sao cho Card(A) = a, Card(B) = b, Card(C) = c. Từ giả
thiết suy ra tồn tại các đơn ánh f : A  B và g : B  C.
Do đó tồn tại ánh xạ h = g◦f : A  C là đơn ánh, vậy a  c.
Vậy quan hệ  là một quan hệ thứ tự trên N. Ta sẽ chứng tỏ quan
hệ thứ tự này là toàn phần trong N.
Giả sử a, b là hai phần tử bất kỳ thuộc N và a = Card(A), b =
Card(B).
Theo định lý Cantor thì hoặc A tương đương với một tập con của
B, hoặc B tương đương với một tập con của A, nghĩa là a  b hoặc b  a.
Vậy quan hệ  là một quan hệ thứ tự toàn phần trên N (đpcm).
3.3. Số liền sau.
a) Định nghĩa. Cho a và b là hai số tự nhiên với a  b.
Gọi B là tập hợp hữu hạn mà Card(B) = b, ta biết rằng khi đó vì a
 b nên sẽ có A  B mà Card(A) = a.
b được gọi là số liền sau của a khi và chỉ khi Card(B\A) = 1. Khi
đó ta cũng nói a là số liền trước của b hay a và b là các số liền nhau.
Số liền sau của a được ký hiệu là a’.
Ví dụ: Số 1 là số liền sau của số 0.
b) Một số tính chất.
1) Số 0 không phải là số liền sau của bất kỳ số tự nhiên nào.
Điều này là hiển nhiên vì 0 = Card() mà  không chứa tập con
nào.

2) Mỗi số tự nhiên có duy nhất một số liền sau.
Chứng minh.

43


- Tồn tại. Giả sử a   và a = Card(A). Xét tập {A} là tập đơn tử
mà phần tử là tập hợp A. Rõ ràng {A} không phải là phần tử của A. Khi
đó B = A{A} là một tập hữu hạn và Card(B\A) = Card({A}) = 1.
Vậy tồn tại số tự nhiên b = Card(B) là số liền sau của a.
- Duy nhất. Giả sử a   có hai số liền sau là b 1 và b2. Gọi B1, B2
là những tập hợp mà Card(B1) = b1, Card(B2) = b2.
Theo định nghĩa phải có các tập A1 B1, A2 B2 sao cho Card(A1)
= Card(A2) = a và Card(B1\A1) = Card(B2\A2) = 1
Các hệ thức trên cho ta A1  A2, B1\A1  B2\A2. Mà B1 = (B1\A1)
 A1, B2 = (B2\A2)  A2 nên ta suy ra B1  B2, do đó Card(B1) =
Card(B2) hay b1 = b2, nghĩa là phần tử liền sau là duy nhất.
Tính chất đã được chứng minh.
3) Mỗi số tự nhiên khác 0 đều là số liền sau của một số tự nhiên.
Giả sử b  N, b  0 và Card(B) = b. Thế thì B  , do đó tồn tại
phần tử x  B.
Đặt A = B\{x}. Dễ thấy B  A và Card(B\A) = Card({x}) = 1.
Vậy b là số liền sau của a = CardA.
4) Mỗi số tự nhiên khác 0 đều là số liền sau của duy nhất một số
tự nhiên.
Chứng minh. Giả sử b  N, b  0, b = Card(B) là số liền sau của
các số tự nhiên a1 và a2.
Theo định nghĩa sẽ có các tập A1 B, A2 B sao cho:
Card(A1) = a1, Card(B\A1) = 1,
Card(A2) = a2, Card(B\A2) = 1.

Từ đó ta có B\A1  B\A2, do đó A1 = B\(B\A1) và A2 = B\(B\A2) là
những tập hợp tương đương với nhau. Vì vậy Card(A1) = Card(A2) hay
a1 = a2 (đpcm).
5) Cho a, b   mà a < b, thế thì a’ b.
Chứng minh. Gọi B là tập hợp mà Card(B) = b. Vì a< b nên tồn tại
A  B, A  B sao cho Card(A) = a và tồn tại phần tử x  B\ A.
Khi đó ta có a’ = Card(A{x}) và A{x} B, do đó a’ b
(đpcm).
Tính chất này có hệ quả là: Giữa hai số tự nhiên liền nhau không
có một số tự nhiên nào khác.
3.4. Dãy các số tự nhiên.
Ký hiệu: card() = 0  N
44


0’ = 1
1’ = 2
2’ = 3
…
ta được dãy các số tự nhiên quen thuộc: 0, 1, 2, 3, 4, ...
BÀI TẬP
1. Cho A, B, A1, B1 là các tập hợp mà A  A1, B  B1. Bằng cách
chỉ ra các song ánh thích hợp hãy chứng minh rằng:
a) A  B  B  A
b) A  B  A1  B1 .
2. Chứng minh rằng tập hợp tất cả các số tự nhiên là tập vô hạn.
3. Cho a, b  N và a < b. Hãy so sánh a’ với b’ .
HD chương II
1. a) Tồn tại song ánh f: A  B  B  A
(a,b)  (b,a)

nên A  B  B  A.
Dễ dàng chứng minh được f là song ánh.
b) do A  A1, B  B1 nên có các song ánh
f: A  A1 và g: B  B1
a  a’
b  b’
Do đó tồn tại song ánh h: A  B  A1  B1
(a,b)  (a’ , b’)
nên A  B  A1  B1.
Dễ dàng chứng minh được h là song ánh.
2. Ký hiệu N là tập hợp tất cả các số tự nhiên và 2N là tập hợp tất
cả các số tự nhiên chia hết cho 2.
Xét ánh xạ f: N  2N
n  2n
Dễ dàng chứng minh được f là một song ánh nên ta có N  2N.
Ta thấy 2N là một tập con thực sự của N. Vậy ta suy ra N tương
đương với một tập con thực sự của nó nên N là tập vô hạn.
3.

45


§4. CÁC PHÉP TOÁN TRÊN TẬP HỢP SỐ TỰ NHIÊN
4.1. Định nghĩa phép cộng và phép nhân các số tự nhiên.
Cho a, b  N và A, B là các tập hợp hữu hạn sao cho a = Card(A),
b = Card(B). Ta có các định nghĩa sau:
a) Định nghĩa phép cộng. Giả sử A  B = . Khi đó ta gọi tổng
của a và b, ký hiệu là a + b, là phần tử được xác định như sau:
a + b = Card(A) + Card(B) = Card (A  B).
Chú ý:

- Do A  B cũng là tập hợp hữu hạn nên Card(A  B)  N hay
a+bN. Vậy tổng của hai số tự nhiên là một số tự nhiên.
- Ta thấy rằng a + b = card(A  B) không phụ thuộc vào việc chọn
các tập hợp A và B nói trên. Tức là nếu lấy A1, B1 là các tập hợp mà A 
A1, B  B1 thì ta cũng có: a + b = Card(A1  B1) (Vì A  B  A1  B1).
Ví dụ: Tính 0 + 1.
Ta có 0 = Card(), 1 = Card({a}) và   {a} = . Do đó:
0 + 1 = Card(  {a}) = Card({a}) = 1.
Tương tự ta cũng tính được 1 + 0 = 1.
b) Định nghĩa phép nhân.
Định nghĩa. Ta gọi tích của hai số a và b, ký hiệu là a.b (hoặc ab),
là phần tử được xác định như sau:
a.b = CardA.CardB = Card (A B).
Chú ý:
- Do AB cũng là tập hữu hạn nên Card(AB)  N hay a.b  N.
Vậy tích của hai số tự nhiên là một số tự nhiên.
- Ta thấy rằng a.b = Card(AB) không phụ thuộc vào việc chọn
các tập hợp A và B nói trên. Tức là nếu lấy A1, B1 là các tập hợp mà A 
A1, B  B1 thì ta cũng có: a.b = Card(A1B1) (Vì AB  A1B1).
4.2. Một số tính chất của phép toán cộng và phép toán nhân.
a) Tính chất của phép cộng. a, b, c  N ta có:
(i) Tính chất giao hoán: a + b = b + a.
(ii) Tính chất kết hợp: a + (b + c) = (a + b) + c.
(iii) Số 0 là phần tử trung lập: a + 0 = 0 + a = a.
Chứng minh.

46


Với mọi a, b, c  N, giả sử A, B, C là các tập hợp đôi một rời

nhau sao cho a = Card(A), b = Card(B), c = Card(C).
(i) Do A  B = B  A nên Card(A  B) = Card(B  A) hay a + b =
b + a.
(ii) Do A  (B  C) = (A  B)  C (Phép hợp các tập hợp có tính
chất kết hợp) nên Card(A  (B  C)) = Card((A  B)  C). Vì vậy
Card(A) + Card(B  C) = Card(A  B) + Card(C)
hay a + ( b+ c ) = ( a + b ) + c.
(iii) Vì 0 = Card(), A   =  và A   =   A = A nên ta
có:
Card(A  ) = Card(  A) = Card(A)
nên a + 0 = 0 + a = a, a  N.
Các tính chất của phép cộng đã được chứng minh.
b) Tính chất của phép nhân. a, b, c  N ta có:
(i) Tính chất giao hoán: ab = ba.
(ii) Tính chất kết hợp: a(bc) = (ab)c.
(iii) Số 1 là phần tử trung lập: a.1 = 1.a = a.
Chứng minh.
Với mọi a, b, c  N, giả sử A, B, C là các tập hợp sao cho a =
Card(A), b = Card(B), c = Card(C).
(i) Xét ánh xạ f : AB  BA
(x,y)  (y,x).
Dễ dàng kiểm tra được f là một song ánh, suy ra AB  BA.
Do đó Card(AB) = Card(BA) hay ab = ba.
(ii) Xét ánh xạ f : A(BC)  (AB)C
(x,(y,z))  ((x,y),z).
Ta thấy f là một song ánh, do đó A(BC)  (AB)C. Nên ta có:
card(A(BC)) = card((AB)C),
suy ra
CardA  Card(BC) = Card(AB)  Card(C),
hay a(bc) = (ab)c.

(iii) Lấy tập đơn tử {x} bất kỳ, ta thiết lập ánh xạ
f : {x}A  A
(x,y)  y , y  A.
Dễ thấy f là song ánh, do đó {x}A ~ A, suy ra
47


Card({x}A) = Card(A),
do 1 = card({x}) nên từ đó ta được 1.a = a.
Các tính chất của phép cộng đẫ được chứng minh.
c) Tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng. a, b, c
 N ta có:
a( b+c) = ab + ac.
Chứng minh.
Với mọi a, b, c  N, giả sử A, B, C là các tập hợp đôi một rời
nhau sao cho a = Card(A), b = Card(B), c = Card(C).
Trước tiên ta chứng minh A  (B  C) = (AB)  (AC).
Thật vậy, lấy bất kỳ phần tử (x,y)  A(BC), suy ra x  A và y
 BC. Khi đó:
Nếu x  A và y  B thì (x,y)  AB nên ta có (x,y)  (AB) 
(AC).
Nếu x  A và y  C thì (x,y)  AC nên ta có (x,y)  (AB) 
(AC).
Vậy luôn có (x,y) ( AB )  ( AC ). Suy ra
A ( B  C )  ( AB )  ( AC )
(1).
Ngược lại, lấy bất kỳ (x,y)  (AB)  (AC), suy ra (x,y)  AB
hoặc (x,y)  AC.
Do đó xA và yB hoặc yC, nên ta có (x,y)  A(BC). Suy
ra

(AB  (AC)  A (B  C)
(2).
Từ (1) và (2) ta được:
A  ( BC ) = ( AB )  ( AC ),
suy ra
Card(A(BC)) = Card((AB)  (AC)),

Card(A)  Card(B  C) = Card(AB) + Card(AC) ,
 Card(A)  (Card(B) + Card(C)) = Card(A)  Card(B) + Card(A) 
Card(C)

Card(A)  Card(B  C) = Card(AB) + Card(AC)

a(b+c) = ab + ac (đpcm)
Chú ý:
- Do tính chất kết hợp của phép cộng và phép nhân nên ta viết:
48


(a + b) + c = a + (b + c) = a + b + c
và gọi đây là tổng của ba số a, b, c;
(ab)c = a(bc) = abc
và gọi đây là tích của ba số a, b, c.
- Ta cũng có thể mở rộng một cách tự nhiên cho tổng và tích của
nhiều số:
a1 + a2 + … + an ; a1.a2…an.
Trong trường hợp đặc biệt a1 = a2 = … =an = a, ta có tích a.a…a (n
lần) và gọi đây là lũy thừa bậc n của a, ký hiệu là an.
4.3. Liên hệ giữa quan hệ thứ tự và phép toán cộng, phép toán
nhân.

a, b, c  N ta có:
(i) a  a + b.
(ii) a  ab.
(iii) a  b khi và chỉ khi a + c  b + c.
(iv) Nếu c  0 thì a  b khi và chỉ khi ac  bc.
Các tính chất trên có thể dễ dàng chứng minh bằng cách sử dụng
định nghĩa phép toán .
4.4. Phép trừ và phép chia.
a) Phép trừ.
Định nghĩa. Cho a, b  N. Nếu tồn tại x N sao cho x + b = a thì
x được gọi là hiệu của a trừ đi b, ký hiệu là x = a – b.
Phép tìm hiệu của hai số tự nhiên được gọi là phép trừ.
Điều kiện có hiệu. Cho a, b  N. Điều kiện cần và đủ để có hiệu a
– b là b  a.
Chứng minh.
Điều kiện cần. Giả sử có a – b, theo định nghĩa ta có b  b + (a –
b) =a.
Điều kiện đủ. Giả sử b  a. Suy ra sẽ có các tập A, B sao cho
Card(A) = a, Card(B) = b và B  A. Khi đó tồn tại hiệu a – b là số tự
nhiên: a- b = Card(A\B).
b) Phép chia hết.
Định nghĩa. Cho a, b  N và b  0. Nếu có số tự nhiên q sao cho a
= bq thì ta nói có phép chia a cho b, a chia hết cho b, ký hiệu là a  b.
Khi đó ta cũng nói b chia hết a, ký hiệu là ba.
c) Phép chia có dư.
49


Định lý. a, b và b  0, bao giờ cũng tồn tại duy nhất cặp số q,
r sao cho a = bq + r , trong đó 0  r < b.

Chứng minh.
- Tồn tại. Xét tập M các bội số của b mà nhỏ hơn hoặc bằng a:
M = {x  N x = bx  a}.
M   vì 0  M.
Mặt khác ta thấy M bị chặn trên bởi a, như vậy M có phần tử lớn
nhất, chẳng hạn phần tử lớn nhất là x0 = bq.
Vì b  0 nên bq < bq + b = b(q + 1).
b(q + 1) là một bội số của b lớn hơn bq nên b(q + 1)  M và a <
b(q + 1) = bq + b.
Như vậy ta có bq  a < bq + b.
Nếu lấy r = a – bq thì ta được a = bq + r và 0  r < b.
Như vậy ta đã chứng minh được sự tồn tại của b và q.
- Duy nhất. Giả sử ta còn có cặp số q1, r1   sao cho a = bq1 + r1
và 0  r1 < b. Như vậy: a = bq + r = bq1 + r1 , 0  r < b, 0  r1 < b.
Giả sử r1  r, ta có thể viết: bq + (r – r1) = bq1.
Đẳng thức này cho ta thấy r – r1  b , nhưng 0  r – r1 < b nên bắt
buộc r– r1 = 0 hay r = r1. Từ đó suy ra q = q1.
Tính duy nhất đã đươc chứng minh.
b) Định nghĩa. Đẳng thức a = bq + r ( 0 r < b ) gọi là phép chia
có dư của a cho b, q gọi là thương hụt, r gọi là số dư.
Chú ý: Phép chia hết là trường hợp đặc biệt của phép chia có dư
khi số dư r = 0.
BÀI TẬP
1. Chứng minh rằng:
a) a.b = 0 khi và chỉ khi a = 0 hoặc b = 0.
b) a + b = 0 khi và chỉ khi a = 0 và b = 0.
2. Cho A và B là hai tập tuỳ ý khác rỗng.
a) Hãy chỉ ra một song ánh để chứng tỏ A tương đương với một
tập con của A  B. Từ đó suy ra tính chất: a  ab, a, b  N, b  0.
b) Hãy chỉ ra một song ánh để chứng tỏ A tương đương với một

tập con của A  B. Từ đó suy ra tính chất: a  a + b, a, b  N.
3. Chứng minh các đẳng thức sau đây (với giả thiết các phép tính
đều thực hiện được):
50


a)
b)
c)
d)
e)

a – b = (a + c) – (b + c).
a – b = (a – c) – (b – c).
a – (b + c) = (a – b) – c.
a + (b – c) = (a + b) – c.
a – (b – c) = (a + c) – b.

HD chương II
1. Giả sử A, B là các tập sao cho CardA=a và CardB=b.
a) Do a.b = 0 tức là CardA.CardB = 0  Card(AB) = 0
 AB = 
 A =  hoặc B = 
 a = CardA = Card = 0 hoặc b = CardB = Card = 0 (đpcm).
b)Do a+b = 0 tức là CardA+CardB = 0  Card(AB) = 0
 AB = 
 A =  và B = 
 a = CardA = Card = 0 và b = CardB = Card = 0 (đpcm).
2. a) A tương đương với một tập con của A  B là tập hợp A  {x} (với
x là một phần tử thuộc tập hợp B). Thật vậy, tồn tại song ánh:

f : A  A  {x}
a  (a, x)
* Với hai số a, b  N, giả sử A, B là hai tập hợp hữu hạn sao cho a
= Card(A), b = Card(B).
Khi đó ab=Card(A  B)
Từ kết luận: Với hai tập hợp A, B khác rỗng ta luôn có A tương
đương với một tập con của A  B, ta suy ra a  ab , a, b  N, b  0.
b) A luôn tương đương với chính tập hợp A là một tập con của AB.
Thật vậy, tồn tại song ánh là ánh xạ đồng nhất:
1A : A  A
a a
* Với hai số a, b  N, giả sử A, B là hai tập hợp hữu hạn sao cho a
= Card(A), b = Card(B).
Khi đó a+b=Card(AB)
Từ kết luận: Với hai tập hợp A, B bất kỳ khác rỗng ta luôn có A
tương đương với một tập con của AB, ta suy ra a  a+b , a, b  N.
3.
51


52


B. HƯỚNG DẪN TỰ HỌC CHƯƠNG II
I. MỤC ĐÍCH – YÊU CẦU
Chương II đề cập đến một số vấn đề về số tự nhiên nhằm những
mục đích sau :
1. Cung cấp cho người học những khái niệm và kiến thức cơ bản
của số tự nhiên như: khái niệm hai tập hợp tương đương, tập hữu hạn,
tập vô hạn, số tự nhiên, các phép toán của số tự nhiên; bên cạnh các khái

niệm còn có một số tính chất của chúng. Từ đó giúp người học hiểu rõ
hơn về số tự nhiên, có cái nhìn rộng hơn và sâu hơn về nội dung và
phương pháp hình thành các biểu tượng Toán cho trẻ.
2. Rèn luyện cho người học sử dụng chính xác và thành thạo các
ký hiệu và ngôn ngữ của số tự nhiên.
II. NHỨNG KIẾN THỨC CẦN CHUẨN BỊ
- Các vấn đề liên quan đến tập hợp: khái niệm, quan hệ bao hàm,
hai tập bằng nhau, các phép toán, tích Đề các của hai tập hợp.
- Khái niệm và các tính chất của: ánh xạ, ánh xạ là song ánh, tích
các ánh xạ, ánh xạ ngược.
III. YÊU CẦU VỀ LÝ THUYẾT
3.1. Về khái niệm, học viên cần nắm được
- Khái niệm về hai tập hợp tương đương
- Khái niệm tập hợp hữu hạn, tập hợp vô hạn
- Khái niệm bản số, số tự nhiên, quan hệ thứ tự trên tập số tự
nhiên, số tự nhiên liền sau
- Định nghĩa về các phép toán trên số tự nhiên: phép cộng, phép
nhân, phép trừ, phép chia hết và phép chia có dư.
3.2. Về các tính chất, học viên cần nắm được :
- Các tính chất của quan hệ tương đương giữa hai tập hợp
- Một số tính chất của tập hợp hữu hạn
- Một số tính chất của phép toán cộng và phép toán nhân số tự
nhiên.
IV. CÁC DẠNG BÀI TẬP THƯỜNG GẶP
4.1. Chứng minh hai tập hợp đã cho là tương đương với nhau
Với dạng bài tập này, ta cần phải chỉ ra một ánh xạ là song ánh từ
một trong hai tập đến tập còn lại (Chỉ ra ánh xạ và chứng minh được nó
là một song ánh).
53

4.2. Chứng minh một tập hợp đã cho là tập hợp vô hạn
Để chứng minh một tập hợp nào đó là tập hợp vô hạn, có hai cách:
Cách 1: Ta cần chứng minh tập hợp đó tương đương với một tập
con thực sự của nó. Muốn vậy ta cần thực hiện theo các bước:
- Xác định được tập con thực sự mà ta dự đoán tập đã cho sẽ
tương đương với tập con này
- Chỉ ra được một ánh xạ là song ánh từ tập hợp đã cho đến tập
con nói trên (hoặc ngược lại)
Cách 2: Chứng minh tập hợp đã cho tương đương với một tập vô
hạn. Cần thực hiện các bước:
- Xác định được tập hợp vô hạn mà theo dự đoán tập này sẽ tương
đương với tập hợp đã cho
- Chỉ ra một ánh xạ là song ánh từ tập vừa xác định đến tập đã cho
(hoặc ngược lại)
4.3. Chứng minh một đẳng thức về các phép toán cộng, trừ và
nhân các số tự nhiên.
Với dạng toán này chúng ta cần sử dụng các định nghĩa về các
phép toán cộng, trừ, nhân (định nghĩa thông qua bản số của tập hợp).
Đồng thời cần nắm được các tính chất về các phép toán của tập hợp
(phép giao, phép hợp và phép trừ).
V. CÂU HỎI ÔN TẬP
5.1. Nêu định nghĩa hai tập hợp tương đương với nhau. Cho ví dụ
minh họa
5.2. Để chứng minh hai tập hợp tương đương với nhau ta cần thực
hiện như thế nào ?
5.3. Nêu định nghĩa tập hợp hữu hạn, tập hợp vô hạn
5.4. Nêu và chứng minh các tính chất của tập hợp hữu hạn, tập
hợp vô hạn
5.5. Định nghĩa số tự nhiên, số tự nhiên liền sau

5.6. Nêu các định nghĩa về các phép toán cộng, từ, nhân, chia trên
số tự nhiên
5.7. Nêu và chứng minh các tính chất về phép toán cộng, phép
toán nhân các số tự nhiên.

54


Chương III : CÁC HÌNH HÌNH HỌC
A. NỘI DUNG BÀI GIẢNG
§1. CÁC KHÁI NIỆM VỀ HÌNH HÌNH HỌC
Trong chương này, xem như không gian Ơclit đẫ được xây dựng,
nó là tập hợp nhiững phần tử gọi là những điểm, mỗi đường thẳng là một
tập con của không gian. Đó cũng là những ví dụ đầ tiên về các hình hình
học.
1.1. Định nghĩa.
Hình hình học là một tập khác rỗng những điểm của không gian.
Hình mà mọi điểm của nó cùng thuộc một mặt phẳng gọi là hình
phẳng.
Tập những điểm ở giữa hai điểm phân biệt A, B gọi là đoạn thẳng
mở với hai mút A, B. Đoạn thẳng mở cùng với hai mút của nó gọi là
đoạn thẳng đóng. Để ý rằng mỗi đoạn thẳng hoàn toàn được xác định bởi
hai mút của nó. Mỗi điểm cũng có thể xem là đoạn thẳng với hai mút của
nó trùng nhau, đó là một quy ước giúp cho việc đơn giản một số lý luận
về sau.
Mỗi điểm O trên đường thẳng xx’ phân hoạch tập điểm khác O
của xx’ thành hai lớp sao cho:
- Mỗi đoạn thẳng đóng có hai mút cùng thuộc một lớp không chứa
điểm O.
- Mọi đoạn thẳng đóng có hai mút huộc hai lớp đều chứa điểm O.

Mỗi lớp cùng với điểm O gọi là một tia (nửa đường thẳng) gốc O.
Cũng tương tự như thế: Mỗi đường thẳng nằm trong một mặt
phẳng phân hoạch tập điểm còn lại của mặt phẳng thành hai lớp sao cho:
- Mỗi đoạn thẳng đóng có hai mút cùng thuộc một lớp không cắt
đường thẳng.
- Mỗi đoạn thẳng đóng có hai mút thuộc hai lớp đều cắt đường
thẳng.
Mỗi lớp như vậy gọi là nửa mặt phẳng mở có bờ chung là đường
thẳng đó. Mỗi nửa mặt phẳng mở cùng với bờ của nó gọi là nửa mặt
phẳng (đóng).

55


Góc phẳng là hình gồm hai tia có gốc chung, mỗi tia được gọi là
cạnh của góc.
x

O
y
Nếu hai tia không đối nhau thì mỗi đường thẳng chứa một tia tạo
thành hai nửa mặt phẳng. Giao của hai nửa mặt phẳng chứa một tia và có
bờ chứa tia kia tạo thành một hình gọi là miền góc lồi.
Mỗi điểm của miền góc lồi không thuộc hai cạnh gọi là điểm trong
của góc lồi. Điểm của mặt phẳng không thuộc miền góc lồi gọi là điểm
ngoài của góc đó, tập các điểm ngoài của một góc lồi cùng với hai cạnh
được gọi là miền góc lõm.
Góc có hai cạnh là hai tia đối gọi là góc bẹt.
Đó là những ví dụ đầu tiên và quan trọng về các hình phẳng.
1.2. Xác định một hình bằng tính chất đặc trưng.

Một hình có thể được xác định bằng tính chất đặc trưng của các
phần tử thuộc nó.
Ví dụ: Đường tròn tâm O bán kính R là tập hợp (quỹ tích) những
điểm cách O một khoảng bằng R.
Nếu ký hiệu đường tròn đó là C(O,R) và độ dài đoạn OM là l(OM)
thì:
M  C(OM)  l(OM) =R.
Điểm có khoảng cách đến tâm O của đường trong nhỏ hơn (lớn
hơn) bán kính R gọi là điểm trong (tương ứng: điểm ngoài) đường tròn.
Tập các điểm trong của đường tròn C gọi là hình tròn mở nhận C làm
biên, hình tròn mở cùng với biên của nó được gọi là hình tròn (đóng).
Trong hình học sơ cấp, ta thường gặp các bài toán tìm hình biết
các tính chất đặc trưng của các phần tử của nó, đó chính là các bài toán
quỹ tích.

56


§2. TAM GIÁC
2.1. Định nghĩa.
Hình tam giác là giao của ba nửa mặt phẳng có bờ đôi một cắt
nhau nhưng không đồng quy và mỗi nửa mặt phẳng chứa giao điểm của
hai bờ kia.
Mỗi giao điểm của hai đường thẳng bờ gọi
là đỉnh, mỗi đoạn thẳng của bờ nối hai đỉnh gọi
A
là cạnh của tam giác.
Tập các cạnh của tam giác gọi là biên (hay
chu tuyến) của tam giác, đó là ranh giới tập
B

C
những điểm mà xung quanh nó có cả những điểm
của tam giác, cả những điểm không thuộc tam
giác.
Để ý rằng: tam giác được hoàn toàn xác định bởi biên, thậm chí
bởi ba đỉnh của nó và vì biên của tam giác đơn giản, dễ xác định nên
nhiều khi người ta cũng có thể định nghĩa:
- Tam giác là tập ba đoạn thẳng không cùng thuộc một đường
thẳng, đôi một có mút chung.
- Ta giác là tập ba điểm không thẳng hàng.
Đôi khi người ta cũng coi ba điểm thẳng hàng là đỉnh của một tam
giác (trường hợp suy biến).
Tại mỗi đỉnh của tam giác, ta có một miền góc lồi chứa tam giác,
nó được gọi là góc trong của tam giác. Mỗi góc kề bù với một góc trong
của tam giác gọi là góc ngoài của nó.
Chúng ta nhắc lại ở đây một số định lý cơ bản của “Hình học
trong tam giác”. Có thể dễ dàng thấy các chứng minh của chúng trong
sách giáo khoa hình học phổ thông.
Định lý 1. Tổng các góc trong của mỗi tam giác bằng 180 o.
Định lý 2. Trong tam giác, hai góc đối diện với hai cạnh bằng
nhau thì bằng nhau (tam giác cân), góc đối diện với cạnh lớn hơn thì lớn
hơn.
Định lý 3. Mỗi cạnh của tam giác nhỏ hơn tổng và lớn hơn hiệu
của hai cạnh kia (Bất đẳng thức tam giác). Ngược lại, bất cứ ba đoạn
thẳng mà mỗi đoạn nhỏ hơn tổng và lớn hơn hiệu hai đoạn kia đều là các
cạnh của một tam giác xác định.
Ta thường gọi:
57

- Tam giác có một góc vuông là tam giác vuông.
- Tam giác có một góc tù là tam giác tù.
- Tam giác có cả ba nhọn là tam giác nhọn.
- Tam giác có ba cạnh (hoặc ba góc) bằng nhau là tam giác đều.
Ví dụ: Cho hai điểm A, B ở về cùng một phía của đường thẳng d.
Hãy tìm trên d điểm C để cho AC + BC ngắn nhất.
Giải.
Lấy điểm D đối xứng vơi A qua d.
A
Khi đó với mỗi điểm M bất kỳ thuộc d ta
có MA = MD, do đó
B
MA + MB = MD + MB.
d
M
Mà trong tam giác MBD ta luôn có
MD + MB  BD,
dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi M 
D
BD.
Suy ra MA + MB sẽ ngắn nhất khi M  BD. Vậy điểm C cần tìm
phải là giao điểm của d với đoạn BD.
2.2. Các đường và các điểm đặc biệt trong tam giác.
- Trung tuyến của tam giác là đường thẳng đi qua một đỉnh và
trung điểm của cạnh đối diện đỉnh đó.
- Đường cao của tam giác là đường thẳng đi qua 1 đỉnh và trung
điểm cạnh đối diện đỉnh đó.
- Tia phân giác (trong hay ngoài) là tia xuất phát từ một đỉnh và
chia góc (trong hay ngoài) của đỉnh đó thành hai góc bằng nhau. Đường
thẳng chứa tia phân giác (trong hay ngoài) gọi là đường phân giác (trong

hay ngoài) của tam giác.
Định lý 4. Trong mỗi tam giác:
a) Ba đường trung tuyến đồng quy. Điểm đồng quy đó gọi là trọng
tâm của tam giác.
b) Ba đường cao đồng quy. Điểm đồng quy đó gọi là trực tâm của
tam giác.
c) Ba đường trung trực đồng quy tại tâm đường tròn ngoại tiếp
tam giác ( là đường tròn đi qua ba đỉnh tam giác).

58


d) Ba đường phân giác trong đồng quy tại tâm đường tròn nội tiếp
tam giác (đường tròn nằm trong tam giác và tiếp xúc với cả ba cạnh của
tam giác).
e) Đường phân giác trong và hai đường phân giác ngoài của hai
góc còn lại đồng quy tại tâm đường tròn bàng tiếp (đường tròn nằm
ngoài tam giác và tiếp xúc với cả ba cạnh của tam giác).

§3. ĐA GIÁC
Ta đã thấy, tam giác là một “mảnh” của mặt phẳng được bao bọc
bởi ba đoạn thẳng. Đó cũng là một lớp hình riêng của lớp hình rộng hơn
gọi là đa giác.
3.1. Đường gấp khúc.
Cho n điểm phân biệt A1, A2, ..., An. Tập các đoạn thẳng A1A2,
A2A3, ..., An-1An được gọi là đường gấp khúc.
A2

A5

A1

A4
A6

A7
A3
Mỗi điểm trong n điểm trên gọi là một đỉnh, mỗi đoạn thẳng trong
tập n-1 đoạn trên gọi là một cạnh (hay một đốt) của đường gấp khúc.
Ta ký hiệu đường gấp khúc như vậy là A1A2...An. Nếu điểm đầu
A1  A và điểm cuối An  B ta nói đường gấp khúc đó nối A với A.
Với hai điểm A, B bất kỳ, có vô số đường gấp khúc nối hai điểm
đó. Đoạn thẳng AB là một đường gấp khúc, nó là đường đi ngắn nhất từ
A đến B. Chính xác hơn là: Mọi đường gấp khúc nối hai điểm A, B có
tổng độ dài các đốt không nhỏ hơn độ dài đoạn AB.
Ta gọi tổng độ dài các đốt của đường gấp khúc là độ dài của nó.
Độ dài đường gấp khúc nối A, B ngắn nhất khi và chỉ khi các đỉnh của
nó đều thuộc đoạn AB và sắp xếp theo thứ tự A1  A, A2, ..., An  B
(nghĩa là A2 ở giữa A1, A3; A3 ở giữa A2, A4; ...; An-1 ở giữa An-2, An).
3.2. Đa giác.

59